VolatilityRaoul Golanand Austin Gerig2，*金融学科组，University of Technology,Sydney,Broadway,NSW 2007,AustraliaCABDyN Complexity Centre,SaédBusiness School,Oxford University of Oxford,Oxford OX1 1HP,United Kingdonfinancial time series展示了许多有趣的特性，这些特性需要简单的模型来解释。这些性质包括价格（或收益）分布中的胖尾，在较长的时间尺度上缓慢去除，绝对收益中的强自相关，但收益本身的零自相关，多重分形标度。尽管这些特征的根本原因尚不清楚，但越来越多的证据表明，它们源于波动性行为，即价格上涨幅度的行为。在本文中，我们假设了一个反馈机制的波动率，密切地再现非平凡性质的经验价格。Themodel很简洁，只包含两个容易估计的参数，比标准模型更适合经验数据库，并且可以建立在一个简单的框架中，在这个框架中，波动性由外生泊松率的估计误差驱动。PACS数字：金融时间序列表现出许多有趣的规律性（或经济学家称之为“程式化的事实”），这些在文献[1-7]中都有充分的记录。它们包括在较长的时间尺度上缓慢去除的价格指数分布中的肥尾（称为收益）、绝对收益中的强自相关但收益本身的零自相关、多重分形尺度以及过去收益和未来收益之间的负相关（称为杠杆作用）。尽管目前对这些性质的潜在原因没有达成共识，但越来越多的证据表明它们都植根于波动性行为，即收益幅度的行为[3]。此外，有证据表明，像地震、湍流的齐诺和巴克豪森噪声这样的回报是由固原或内部反馈驱动的[8]。本文提出了一个波动率的随机反馈模型，它产生了许多金融时间序列的程式化事实。该模型是由最近的几项研究推动的，这些研究发现价格的方差，即波动率的平方，是缓慢变化的和逆伽玛分布[9-11]，因此在短时间尺度上收益很好地被学生的t分布所反映[9-18]。在这里，我们通过模拟超过一天的时间尺度上收益的性质来扩展这些结果。我们提出了一个简单的机制来产生逆伽马分布方差，并引入了一个反馈参数，允许方差随着时间的推移而缓慢变化，就像它在实际价格序列中所做的那样。结果是，收益率以日为间隔分布，但随着时间尺度增加到周、月、年的间隔，收益率逐渐接近高斯。尽管模型的结果与经验数据非常吻合，但我们并没有强烈地声称我们已经揭示了驱动现实世界波动性的机制。相反，我们为这些结果提供了一个新的解释，并为侧向分析留下了关于真正机制的任何结论。也产生反伽马分布方差（因此产生学生分布收益）的替代模型包括著名的GARCHModel[3,19,20]和MinimalMarket Model[22,23]，该模型可以由市场中止损订单的位置引起[21]和描述农业最优投资组合具有确定性漂移的动态变化的MinimalMarket Model[22,23]。

（1）我们将日收益率rt(t=1)建模为一个离散的时间随机过程，具有一个有正方差的过程，rt=μ+σtζ,（2）,其中μ是日平均收益率，ζ是一个IID高斯（0,1）随机变量，σ是收益率的局部方差（日波动率的平方，σt)。我们假定收益率的日方差σt是由一个随机反馈过程决定的，因此，σt≈σGamma(1+Bσ/σt-1,1+B),（3）其中，γ(a，B)是伽玛分布，f(xa,B)=(ba/'A[a])xa-1e-bx。在方程中只使用两个参数。3:1/σ是回归过程的平衡逆方差，b>1是反馈参数。注意，当σt-1=σ时，1/σ的期望值为1/σ。在由B决定的一段时间内，偏离该均衡值的偏差被消除。如果B较大，则方差需要多次迭代向σ放松，但对于较小的B，放松得很快。该模型可以由以下机制驱动：假设市场参与者持续观察一个外生泊松过程，该过程在他们如何交易的过程中（该过程可以描述，例如，新订单到达市场或经济消息的到达）。当他们估计这个过程的高利率时，他们增加了他们在市场上的活动，并提高了市场的波动性。同样，当他们估计这个利率的低值时，他们减少了他们的活动，并降低了市场波动性。具体来说，假设折损的日内收益率是不相关的，都是±δ的大小，并以每天变化的平均日收益率λ(t)发生。市场参与者对λ(t)的定义如下：（1）他们观察一个具有速率参数λe的外生泊松过程，(2)根据这个过程的估计速率，他们在市场中的行为使得平均每M个外生事件发生N个价格结果。用Bλe(t)表示他们对外生速率的估计，λ(t)=(n/m)Bλe(t)。（4）M个外生事件将在一定时间内发生，τéGamma(M,λe)，使得估计的反伽马速率分布为bλe(t)'AM/Gamma(M,λe)。因此，日收益率的方差为:σt=δλ(t)→δngamma(M,λe)。（5）注意，这种机制产生反伽马分布方差，但这些方差不是自相关的。为了引入反馈，我们假设M随时间变化，因此当局部方差高时，市场对外生事件的敏感性（以n/M度量）高，当局部方差低时，市场对外生事件的敏感性低。这种关系的最简单形式（考虑到M≥1)是，M(t)=1+a/σt-1。（6）得到的结果是:σtéδngamma(1+A/σt-1，λE)。（7）通过引入平衡逆方差1/σ，用关系式[1/σtσt-1=σ]=1/σ来简化方程。因此，σ=δnλe-a.利用这个关系式和简化假设，即在平衡态下，E[τσt-1=σ]=1，使A=σ(λe-1)，我们有，σt=σgamma(1+(λe-1)σ/σt-1,λe)。（8）注意这个等式与等式相同。3随变量λe=B+1的变化。根据所提出的机制，B+1是外生过程的日速率，如果B较大，则外生过程的日速率较高，市场参与者可以在没有太大误差的情况下估计。因此，波动性并不是每天都在变化，而是强烈的自相关。如果B较小，则外生过程的速率较低，估计误差较大，这意味着波动率的自相关性较弱。为了确定模型的参数a有何变化，我们使用σ和B的间接选择来模拟模型（每次运行包括5000万个时间步长）。σ只是在过程的规模和保持收益的统计性质不变（在我们的模拟中得到了结果），所以我们没有在这里显示改变σ的结果。1.给出了该模型的性质，并分别设σ=10-4和B=10,B=100,B=1000。

为了便于给出结果，我们对以下归一化变量进行了整理:rt(t)(rt(t)-μ)/(σ"at)，(9)σtσt/σ，(10)βtσ/σt。（11）如图所示。1（a和b)，参数b设置波动率自相关性的强度，较大的b值产生较强的自相关性。作为seenin Fig。1(c)，β的归一化反向波动率分布为伽玛分布，且在B处分布最大（当B=10时，分布的峰值略低于其它分布）。γ-分布的β应该产生t-分布的回报，当Δt=1时，这是在INFIG的最上面的曲线中观察到的。1(d).随着ΔT的增加（移动到图1(d)中的下曲线），回报分布从学生的t分布调整到高斯分布，调整的速度由B决定。B的较高值对应于缓慢变化的波动性，因此转向保持其非高斯形状的分布，图中的ΔT较大。2我们将模型的结果(σ=1,B=164)与两个实证时间序列进行了比较：(a)道琼斯工业平均指数(DJIA)从1896年5月26日到2013年9月13日的每日价格序列和(B)富时100指数从1985年1月2日到2009年12月31日的每日价格序列。DJIA数据来自圣路易斯联储网站，富时数据来自foungynance.yahoo.com。从价格序列中，每日回报重新计算，如EQ。1.使用两个月的日收益率（42个交易日）的滚动窗口估算挥发物平方，σt=pi=-21(RT+i-Ω)，(12)，其中μ是日收益率的估计平均值。我们系统地估计了方差，使用window2000 4000 6000 8000 1000005102000 4000 6000 8000 100000510σt2000 4000 6000 8000 10000000510t(a)10010110210310-210-1100拉格自相关rtb=10b=100b=1000(b)0 1 2 3 4 5000.10.20.30.40.50.60.70.8β-f(β)b=10b=100b=1000gamma Fit0 5 101 0-5100 f(βc)-15-10-5 0 5 10 151 0-8100 r-f(rp)b=10b=100b=1000gamma Fit0.1：不同参数B的模型性质。(a)波动率序列为B=10（上）、B=100（中）和B=1000（下）。(b)绝对标度收益的自相关函数。(c)比例逆方差的概率密度函数（插图在半对数坐标中）。对于b=100，Gamma分布显示了一个参数。(d)与学生t-分布和高斯分布相比较的比例收益的概率密度函数。DJIA数据集的di-erent@t曲线是从上到下任意垂直设置的曲线，其范围为@t=1,@t=10,@t=100和@t=1000。大小为10到100天。方差分布随窗口尺寸的增加而变化，但当窗口尺寸大于40时，方差分布趋于稳定。我们发现，对σ的一个好的估计是均值逆方差的反演，σ=H1/σti。（13）利用这个方程，我们对DJIAdata的σ=5.1×10-5，对FTSE的σ=6.3×10-5。我们通过最小化1/σt与其期望值之间的平方之和来估计每个系列的B，即我们对最小化的B，即=1/σt-(1+Bσ/σt-1)/((1+B)σ)。使用这种方法，我们对DJIA数据的DBB=164，对FTSE数据的BB=167。尽管我们对两个经验价格序列获得了一个di-erentBB，但这些值非常相似，因此可以将这两个数据集与使用dJIAftert的模型进行比较，B=164（见图2）。如无花果。1、图式。2使用EQs的重整化。9-11但与参数的估计值。为了证明模型与数据的匹配程度，我们将其预测结果与替代方案进行了比较。在无花果。2(b)将模型的自相关函数与GARCH(1,1）过程的自相关函数和幂律函数进行了比较。该模型再现了两个数据集的自相关函数，直到大约25个滞后。对于较高的滞后，它继续与盗窃数据匹配，但对于DJIA，它的表现优于幂律数据。

然而，当从这些结果中得出结论时，应该小心，因为自相关函数会产生相当大的结果，如果数据包含结构突变，则会产生误导[24]。注意，该模型不产生波动的长记忆性，即模型的自相关函数是完整的。对于归一化逆方差的分布，我们将该模型的预测与a1000 2000 3000 4000 5000 6000051000 2000 3000 4000 5000 6000055,000 10000 15000 2000000 25000 30000 0510t5000 10000 15000 2000000 25000 30000 0510σt(a)10010110210-1LAG自相关ràtftsedjiamodelgarchpower-Law50 100 150 200 250 000.10.20.30.4(b)0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.20.40.60.81β-F(βc)FTSEDJIAModelGARCHLognormal0 2 4 610-2100）-10-5 0 5 101-610-410-2100 r（p）F（r）FTSEDJIAModelGARCH（d）图。2：模型(σ=1，B=164)与数据的比较。(a)富时数据的波动率序列（上）、与富时数据相同时间长度的模型（中上）、DJIA数据（中下）以及与DJIA数据相同时间长度的模型（下）。(b)绝对标度收益的自相关函数。用GARCH(1,1）过程和幂律法对DJIA数据进行了校正，并给出了预测的自相关函数，以供比较。这些插图是在规则坐标中。(c)1减去比例逆方差的累积分布函数。insetplot在半对数坐标中。用GARCH(1,1）过程和对数正态分布对DJIA数据进行校正后的预测分布进行了比较。(d)规模收益的概率密度函数。从上到下垂直地任意设置的曲线是:Δt=1，Δt=5（一周）和Δt=42（两个月）。GARCH(1,1）过程校准到每个数据集（参数见表I的标题），也校准到伽马、反伽马（Heston模型[25]预测伽马分布方差，即反伽马分布方差）和对数正态分布（这在文献中经常被假定：见[26]并注意对数分布变量的反平方也是对数分布的）。我们在图中详细展示了DJIA数据的GARCH(1,1）预测和DJIA数据的LogNormal。2(c)，以及最潮湿的所有预测和使用chi-square-goodness of-government测试（见表一）。与前人的结果[9，10]一致，两个数据集的伽马分布都不能被排除。对于任何一个数据集，来自模型的预测分布也不能被拒绝（对于非规范化的分布，预测也不会被拒绝）。对于DJIA数据，不采用GARCH(1,1）过程预测的分布，但是对于FTSE数据，不采用GARCH(1,1）过程预测的分布（虽然未示出，但是对于非归一化分布的预测都被拒绝）。数学家和物理学家多年来一直在研究金融时间序列[1,6,27,28]。尽管价格的动态特征现在已经很好地描述和理解了，但仍然不清楚为什么价格会表现出它们所做的有趣的特性。这种缺乏了解的情况特别麻烦，因为价格是以一种普遍的、有规律的方式产生的，也就是说，许多直接交易的物品的回报都具有相同的非平凡性质。因此，很可能价格动态的基础是一些小的、稳健的机制，evenChi-square p-valuesGamma模型GARCH Logn InvGamFTSE 0.49 0.19 0.13 0.03*0.00**djia 0.42 0.38 0.00**0.00**0.00**0.00**表I:thromaged逆方差分布f(β)的chi-square优性检验的p-值。在5%的水平上，带星的条目代表拒绝，在1%的水平上，带双星的条目代表拒绝。FTSE和DJIAdata的gamma参数{a,b}分别为{2.0,0.50}和{1.6,0.6}。对数正态分布参数{μ,σ}分别为{-0.27,0.83}和{-0.33,0.90}。

反γ参数{a,b}分别为{1.3,0.64}和{1.1,0.45}。参数{常数，σT-1 COE.,RT-1 COE.}GARCH(1,1）过程分别为{1.5E-6,0.90,0.091}和{1.3E-6,0.90,0.089}。如果我们还没有发现它[18],我们提出了一个简单的波动反馈模型，仅使用两个参数就能很好地匹配经验数据。该模型不同于任何其他波动率模型，因为我们的反馈机制嵌入了一个噪声项的参数，该参数是逆伽马分布的。虽然我们在这里没有给出它，但由于在一定的限制下，它可以归结为3/2随机波动率模型，因此可以与随机波动率文献联系起来[23]。虽然也没有说明，但我们发现该模型复制了收益率的多重分形结构，并比标准的GARCH(1,1）模型更好地用于预测波动性。该模型没有产生众所周知的负收益率和波动性之间的相关性（称为杠杆效应），也没有明确地包括多个时间尺度上的反馈效应[21,29-31]，但这些特征可以不加限制地添加。这项工作得到了欧盟委员会FP7 FET-Open Project FOC-II（No.255987）和UTS商学院研究补助金。*电子地址:austin.gerig@sbs.ox.ac.uk[1]B.Mandelbrot,J.Business 36,394（1963）.[2]E.F.Fama,J.Business 38,34（1965）.[3]T.Bollerslev,R.F.Engle和D.B.Nelson in：,计量经济学手册，第四卷（North-Holland,Amsterdam,1994）.[4]D.M.Guillaume,M.M.Dacorogna,R.D.Dav\'e,U.a.M-uller,R.B.Olsen和OFinance 1,223（2001）.[6]J.P.Bouchaud和M.Potters，《金融风险和衍生品定价理论》（剑桥大学出版社，剑桥，英国，2003),第2版[7]L.Borland,J.-P.布肖，J.-F。Muzy和G.Zumbach,Wilmott Magazine,第86-96页（2005）。[8]J.P.Bouchaud in：,2008年危机的教训（RiskBooks,London,U.K.,2011）。[9]A.Gerig,J.Vicente和M.A.Fuentes,Phys。E80修订本，065102（2009）.[10]M.A.Fuentes,A.Gerig，和J.文森特，PLoS ONE 4,e8243（2009）.[11]T.Ma和R.A.Serota,电子印刷品ARXIV:1305.4173.[12]P.D.Praetz，J.Business 45,49（1972）。[13]R.C.Blattberg和N.J.Gonedes,J.Business 47,244（1974）。[14]A.Peir o,应用金融经济学4,431（1994）。[15]C.Tsallis,C.Anteneodo,L.Borland和R.Osorio,Physica A 324,89（2003）。[16]E.Platen和R.Rendek,J.统计理论与实践2,233（2008）。[17]G.F.Gu,W.Chen,和W.X.Zhou,Physica A 387,495（2008）。[18]A.Gerig[20]D.B.Nelson,J.计量经济学45,7（1990）.[21]L.Borland和J.-P.Bouchaud,J.Investment Strategies,1,65（2011）.[22]E.Platen,in：,数学金融（Birkhauser,Basel,2001）.[23]E.Platen和D.Heath,一种量化金融的基准方法（Springer-Verlag,Berlin,2006）.[24]C.W.J.Granger和N.Hyung,J.经验金融11,399（2004）.[25]S.L.Heston,Rev.Financial Studies 6,327（1993）.[26]T.G.Andersen,T.Bollerslev,F.X.Diebold,Andh.Ebens,J.Financial Economics 61,43（2001）。[27]L.Bachelier,《股票价格的随机特征》，由H.Cooper,P.编辑（麻省理工学院出版社，剑桥，1964)。[28]R.N.Mantegna和H.E.Stanley,《经济学物理学导论：金融中的相关性和复杂性》（剑桥大学出版社，剑桥，1999)。[29]U.A.M-Uller,M.M.Dacorogna,R.D.Dav\'e,R.B.Olsen,O.V.Pictet和J.E.Weizs-Acker,J.《经验金融》第4，213页（1997）。[30]B.LeBaron,Quant.金融1,621（2001）.[31]G.Zumbach和P.Lynch,Physica A 298,521（2001）.