社会贴现与长期利率

2022-4-16 14:22:17

在这种情况下，我们说{P0t}t>0是一个社会贴现函数，并且是渐近的广义hyperbol i c型或tail-Pareto型。但是对于具有这种性质的利率，有可能建立一致的数学模型吗？在价值的主要决定因素之一是贴现因子的情况下，是否有可能为项目的估价建立一个动态框架？我们能否考虑到这样一个事实，即折扣系数可能随着社会态度的变化或新信息的到来而适时增加，这些信息可能会损害当前和未来资源分配的平衡？我们的目标是为这些问题的正面回答提供基础。本文的结构如下。在第二节中，我们讨论了指数贴现的利弊，并提出了一些社会贴现的a r纪念碑。指数系统是有利的，因为它的简单性和事实，它是时间一致的。我们观察到，如果一个无套利的贴现函数系统是时间一致的，那么它是指数的，具有常数的速率。然而，在实际应用中，我们需要允许系统具有随机动力学，并允许输入一个本质上是仲裁的初始折扣函数。要求贴现函数的长端为尾帕累托型是否一致？社会贴现的论据分为两类。首先，我们有规范性论证。这些都是道德、伦理和政治性质的。这些论点很有说服力，但没有得到普遍的支持，而且很难用科学的语言来表述。然而，巨大的纪念碑确实为在一个严格的框架内发展社会折扣理论提供了一个任务，以使其原则能够在需要的情况下得到一致的应用。其次，有一种观点认为，社会贴现是由于社会的集合作用而产生的。事实是否如此值得商榷；但是，如果一个社会所组成的大多数个人都是短缺者，那么就应该应用社会贴现这一论据而言，总结性的观点是很重要的。我们给出了一个简单而有用的aggr egation的例子，它也自然地引出一类重要的社会贴现函数，即那些渐近行为是上面提到的tail-Pareto型的社会贴现函数。另一方面，如果一个人在一定时间内聚集了一定数量的个人的偏好，每个人都是指数贴现者，那么聚集的贴现函数本身是渐近指数的，所得的渐近率等于各个个人应用的最低贴现率。Weitzman(1998)提出的这一观点被用来证明，人们可以在应用中使用指数贴现，并且适当的渐近速率应该是原则上可以达到的最低的amo ng。魏茨曼的论点，乍一看，对那些希望利用低指数贴现率来评估社会项目估值的人来说，似乎是一种安慰，一旦有人要求没有套利，就会成为一种耻辱。特别是，在确定性利率模型中，没有套利意味着长期指数利率必须是常数。在考虑指数折扣数的集合的情况下，这个常数确实是集合的各种比率中的最低比率；但这一结果一般是正确的，并且不依赖于聚集的e-效应。总之，长指数速率没有动态性。在一般的套利树随机利率模型中，长指数利率的行为也是有约束的。

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2022-4-16 14:22:23

一个是所谓的DIR定理(Dybvig，Ingersoll&Ross，1996):长指数率永远不会下降。长期指数率的退化行为使长期项目估价中指数折现的使用变得复杂，因为它意味着人们不能使用长期指数率作为状态变量。这似乎与直觉背道而驰，因为我们愿意认为，长鼠e应该利用，应该适应变化的环境，应该重新创造新信息的接收。特别是，如果长期利率下降，我们现在无法计划未来会如何反应，也无法对冲这种可能性。在本文中，我们展示了如何通过使用社会贴现来解决这个问题。我们将争辩说，长期指数率不是一个人应该在适当的地方考虑的率--长期指数率应该被理解为取值为零，而注意力应该集中在更适合构建社会折扣动态模型的长期兴趣上。考虑到这个方案，在第三节中，我们考虑长期投资项目的估值。我们采用了一种定价核方法，在定义1中给出的最小a ssumptionslaid下，研究了设想一个项目在某个遥远的时间T产生一个随机实际现金的理想化情况。现金表表示项目产生的收益。在任何较早的时间t≥0（其中t=0是现在）的pr oject的价值由定价公式（8）给出，在单位现金的情况下，我们得到单位折扣债券tha t在t到期时的价格PTTT。在第四节中，我们对与折扣债券系统相关的各种利率进行了分析，并讨论了它们之间的关系。这些特别包括指数（或连续复合）利率RTT，以及Libor（或简单）利率LTT。值得注意的是，在我们的一般分析中，我们没有必要假设短期利率或瞬时远期利率系统的存在。在结论2中，我们引入了一族“尾帕累托”率，以L(λ)tT为标号，以参数λ∈(0，∞)为索引。尾帕累托率在社会折扣模型的发展中起着关键的作用。在第五节中，我们介绍了相关的渐近率，并发展了一些在一般情况下一致处理长率所必需的血液工具。渐近率是根据Golda mmer&Schmock(2012)提出的长指数ial率的处理方法，通过使用上界来定义的。对于指数利率，我们写出RT∞；对于长Libor利率，我们写出LT∞；对于指数为λ的长尾Pareto利率，我们写出L(λ)T∞。在命题1中，我们证明了长指数ra t e是非负的。这个结果是在第1(c)部分中引入的“横截性”条件的一般形式的结果。在命题2中，我们观察到如果rt∞>0,则lt∞=∞；如果lt∞<∞,则rt∞=0；在Pro位置3和4中，我们给出了tail-Pareto率的类似关系。这些结果表明，根据贴现债券系统的渐近性质，利率模型存在一个新的层次。在第六节，建议5中，我们证明了DIR定理的一个较一般的版本，扩展了Hubalek等人的结果。(2002)，其框架使得在极小假设下，比较长指数利率与长Libor和长尾帕累托利率的性质成为可能。在第六章第一节中，我们表明，与受高度约束的lo ngexp onential利率相比，LON Libor和tail-Pareto利率是动态的。

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2022-4-16 14:22:30

这个性质在无套利确定性模型中很明显：命题6、7和8,我们证明了在确定性模型（无论初始期限结构如何）中，长指数利率是常数，而长Libor和长尾利率是可变的，并且由特定的初始期限结构决定。然后，我们考虑了如何确定定价核所必须满足的渐近条件，以确保所得到的折扣函数系统是sociallye-cient的问题。本文针对贴现债券系统是渐近的Libor或尾帕累托型的情形，提出了一个解决这个问题的方法，并在定义3中引入了尾帕累托型定价核的思想，从而得到了命题9和命题10。由此，我们得出结论：为了在短期设定中发展社会贴现理论，将长指数利率设定为零，就必须要求定价核具有确保利率系统是渐近的尾帕累托型的性质。在这一原则的基础上，我们在第八节中构建了一些明确的社会利率模型的例子，这些模型是动态的和套利的。特别地，在命题11中，我们给出了一个由正鞅驱动的单因素有理模型的例子。该模型包含两个确定性函数，它们可以以确保社会贴现性质的方式进行选择。Libor长期利率可以显式地计算出来，我们证明它可以作为一个状态变量f或模型。在命题12中，构造了一族允许任一sp ECI指数的长t ail-Pareto率作为状态变量的interestrate模型。最后，在命题13中，我们构造了一个显式的社会贴现双因素模型，其中短期利率和长期利率都作为状态变量。相当惊人的是，由此产生的债券价格在短期内变成线性，而在长期利率中变成反线性。因此，双因素模型具有很高的可处理性，因此可以作为实际实现、模拟研究和情景分析的可能起点。社会折扣方面不久前，在英国《金融时报》(Warrel 2013）的一篇文章中，据说安德鲁·霍尔丹，然后是英格兰银行的金融稳定主任，在一次关于高等教育在促进经济中的作用的会议上，他告诉代表们如下：我们知道，金融市场对在遥远的未来产生回报的长期项目的折扣太大，以至于其中一些项目可能不会在金融市场启动。霍尔丹的言论表明了悬而未决的问题的重要性，以及关于折扣函数形式的争论，该函数应该用于对长期项目的成本/收益分析或社会收益。其核心是当未来消费收益与当前消费收益不相同时，作为理性决策基础的标准贴现消费效用模型的不足。为此目的使用指数贴现函数，加上贴现率，是有问题的，因为即使贴现率的值很小，连续复合也会使在遥远的未来获得的收益的表现价值几乎为零。因此，对于如何实施长期风险管理贴现，人们提出了各种不同的建议并付诸实施。

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2022-4-16 14:22:36

似乎，或者说，人们认为，出于社会目的，需要“双曲线”形式的贴现，在这种情况下，贴现的r值是适用利率的时间间隔的递减函数，其结果是增加未来收益的重要性。suchan方法的真正意义是什么，它在科学上有意义吗？许多作者对这一讨论的各个方面做出了贡献，包括例如Arrow(1995)，Arow et al。(1996)，Azfar(1999)，Chichilnisky(1996)，Farmer&Geanakoplos(2009)，Gollier(2002a，b)，G.r.oomet a l.(2005)、哈维(1994)、亨德森和贝特曼(1995)、朱尼等人。(2010)、Laibson(1997)、Lengwiler(2005)、Lind(1997)、Loewenstein&Prelec(1992)、Nocetti等人例如，(2008)、Reinschmidt(2002)、Schelling(1995)和Weitzman(1998，2001)。关于长期贴现函数选择的争论可以用不同的方法来解决。人们可以简单地假设贴现函数是指数函数，而问题是利率的确定。然后，贴现率的选择就成了政治上有争议的意见被引导的一根杆子。指数折扣函数具有“时间一致”的首选状态。设时间0表示现在，对发生在timeT>t的单位现金的值a t时间t≥0写PTTT。让初始折扣函数已知。假定(a){P0T}T>0是T的连续f项，(b)lim infT→∞P0T=0,这使得初始折扣函数具有良好的渐近性态，而不必要求它在大T时收敛。当ptt=P0,t-t=T>T≥0时，我们可以说一个折扣函数系统是时间一致的。那么，在没有rbitrage的情况下，一个折扣函数系统是时间一致的当且仅当ptt=e-r(t-t)对于某个常数r>0。对于满足f(0)=1和lim infx→∞f(x)=0的连续函数f:r+→[0,∞)，ptt=P0,t-t，因而ptt=f(T)，f(T)/f(T)不存在套利意味着ptt=p0t/p0t，因此f(t-t)=f(T)/f(T)。设x=t-t，得到柯西函数方程f(T+x)=f(T)f(x)。我们可以证明，对于任意有理的K，t，泛函方程意味着对于某种实的r，f(K)=exp(-rk)。(i)Letm是一个整数，nd集t=1/m，x=1-1/m。然后f(1)=f(1/m)f(1-1/m)，并且通过迭代f(1)=f(1/m)m，或者等效地f(1/m)=f(1)1/m。(ii)下，设n为整数，设T=n/m,a nd T=1/m。观察f(n/m)=f(n/m-1/m)f(1/m)，然后通过迭代f(n/m)=f(1/m)n。最后，结合(i)和(ii)，我们得到f(n/m)=f(1)n/m，现求出r=-ln f(1)。那么f(n/m)=exp(-rn/m)，因此对于所有的有理K>0来说f(K)=exp(-rk)。对于所有的实x≥0，通过连续性得到f(x)=exp(-rx)。因此ptt=e-r(t-t)，并且为了保证lim infx→∞f(x)=0，我们要求r>0。事实上，Cauchy函数方程可以在可测性下单独求解，而没有连续性(ACZ′EL 1966,Letac 1978）。因此，如果初始贴现函数是可测量的，那么套利和时间一致性的缺乏意味着贴现系数是指数的。然而，长期的指数贴现是有问题的：如果在特定时期就指数贴现系数的选择达成一致，那么在较长时期内以同样的速度产生的贴现可能过于严重，导致这样一种情况，即一个项目在200年后为社会带来好处，而另一个项目在300年后为社会带来同样好处，而另一个项目却被拒绝。

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2022-4-16 14:22:42

为什么生活在200年后的人比生活在300年后的人更好？有一个思想流派可以追溯到拉姆齐(1928)，最近在斯特恩（2007）中得到代表，它坚持认为在代际分配问题中应该很少或不应用“纯时间折扣”--并且认为在决策过程中纳入纯时间折扣的唯一正当理由是考虑到灾难将阻止实现proj ect fr om的好处的可能性。如果人们认为这样的灾难是不可预测的--战争、自然灾害、或中止项目的政治决定--那么使用一个具有恒定贴现率的指数贴现率来考虑这种可能性可能是合理的。灾害风险产生的长期贴现类似于信用风险产生的短期贴现，与时间偏好产生的短期贴现是分开的，应该纳入描述利率的随机变量中。或者，如果考虑到金融市场的主导因素，我们可以完全拒绝贴现函数必须是时间一致的。对于每一个金融市场以外的到期日，贴现函数是由社会对自身长期和短期收益的权重决定的，这是有争议的。一个负责任的社会将在这样的权重中分配一个合理的平衡，允许未来没有投票权，现在必须以公平的方式行事，无论是代表未来还是为了未来。关于代际分配问题的这一观点似乎得到了她的广泛支持（例如，见箭头1 995）。除了这些规范性考虑之外，也有人提出了这样一种观点，即社会贴现可能起源于聚合的副产品。为了了解这是如何工作的，我们构建了下面的模型，尽管它很简单，但它有一些令人惊讶的特性。设R是取值于R+的随机变量，并考虑随机折扣函数{e-rt}t>0。我们将R a s解释为异质总体中与个体随机选择相关的贴现率，人们可以认为p0t=z∞e-rtμ(dr)(1)是该总体的“聚合”贴现率函数。这里μ(dr)=P(R∈dr)是R+与R相关联的概率测度。因此，R代表了s对贴现率应该是多少的不同观点，而aggr egate贴现率函数是通过对群体中不同成员的观点进行平均得到的。例如，如果μ(dr)=PIPIδRI(dr)，其中δRI(dr)是以rifor i=1,2为中心的狄拉克测度。.，n，其中p，p，···，pna是满足pipi=1的非负数，t hen p0t=pipie-rit,下面是L\'H Opital的r ule thatr∞:=-limt→∞tln p0t=miniri。（2）我们看到任何指数折扣的集合都是渐近的，并且渐近率是在一定条件下各个体的最小率。Weitzman(1998)在此基础上提出，遥远的未来应该以尽可能低的速度贴现。另一方面，如果我们对某个平均利率L>0的R设μ(dr)=1{R≥0}l-1e-r/ldr,我们发现p0t=1+lt。（3）换句话说，用指数分布扩展贴现率的e-ect是总的贴现率函数是所谓的双曲型。等价地，如果我们知道总体由指数折扣组成，但如果我们只知道他们的观点是他们的平均折扣率是L，t，从信息理论的角度来看，折扣函数的最小偏差模型由（3）给出。

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大多数88

2022-4-16 14:22:48

作为suchprobability加权贴现的另一个例子(Brody&Hughston2001，2002；Weitzman2001)，考虑了R具有g amma分布的情况，其形式为μ(dr)=1{R>0}à[λ]θλRλ-1e-θrdr，(4),其中θ,λ>0。计算表明，贴现函数为P0t=[θ/(θ+t)]λ,形状指数λ,尺度参数θ。如果我们设置θ=λ/L，我们得到关键表达式p0t=1+λ-1ltλ。（5）因此，我们得到了广义双曲型（Harvey 1986,1994；Loewenstein&Prelec 1992）的双参数贴现函数族，其特征是具有恒定年化利率L的Groat项结构，假设在债券的寿命内以fr等式λ复利(λ不必是整数）。例如，如果λ=2，那么对于到期日t，我们在一段时间内以年化利率L进行简单贴现，然后通过第二次应用相同的贴现因子将其复合，得到p0t。λ=1（双曲折现）的情况是简单基础上的波动率，而极限λ→∞给出了连续复数基础上的波动率。就固定λ而言，短期债券的年复利频率高于长期债券的年复利频率。对于给定的利率L,增加λ是为了深化贴现。贴现函数作为尾部分布的解释(Brody&Hughston2001，2002)可以放在一个更一般的背景下，包括上面举的特例。在概率空间(Ω，F，P)上，设随机变量R满足R>0，则存在一个随机时间τ，使得F或所有t≥0，我们有P(τ>t)=e-e-rt。（6）证明如下。设Z为标准指数分布随机变量，具有R和Z相互独立的性质，且设τ=Z/R。则我们有p(τ>t)=E[1{Z∈(tR，∞)}]=ez∞1{Z∈(tR，∞)}e-zdz=e-e-tr。（7）如果R允许指数矩，因此在其尾部分布中是“小的”，那么τ=z/R具有“重的”尾部分布(C\'Inlar2011，第2章，62-63)。这解释了当我们在指数范围内聚合时，如何产生有效的折现函数。折现可以采取重尾折现函数的形式。社会折扣是否可以完全建立在综合论证的基础上，这是一个悬而未决的问题；似乎最终必须发挥某种形式的规范作用--这最终是我们作为一个社会必须做出的积极决定，以将社会折扣化为行动。然而，聚合确实具有增强论据的作用，支持在为长期项目提供资金的决策过程中使用社会贴现。通过上述论证，对于总折扣的那个要素，对可能发生外部规模的不同观点的集合将产生一个社会折扣函数，而不是指数折扣函数。长期项目的估值为进一步研究问题，我们着手考虑项目估值和评估的原则，以考虑项目长期收益的情况。我们的目标是分离问题中那些与如何建立所感兴趣的长时间模型相关的方面。我们认为，长期项目投资的成本/收益分析和风险管理可以在该框架内制定，就像一般情况下的投资/收益分析和风险管理一样。这可能涉及为分析成熟市场而开发的各种概念；但是，任何处理长期投资的努力都将涉及一些这样的理想化--如果一个人假设是精确的而不是模糊的，这不应该被视为一种缺陷。我们对一个满足“通常条件”的投资{Ft}t≥0的概率空间(Ω，F，P)进行投资。这里P表示真实世界的度量。

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可人4

2022-4-16 14:22:55

随机变量之间的等式和不等式被理解为具有p-几乎肯定性。对于P下关于fts的条件期望，我们写ET[·]；对于ft-可测的r-va lued（扩展）随机变量空间，我们写mft.价格通常以实际价格表示。价格过程采用C`ADL`AG半鞅模型。为了保证不存在仲裁ge，我们假设存在一个既定的定价核（stocha stic贴现因子，状态-价格密度）。所谓定价核，是指一个{Ft}自适应的c`adl`a g半马项a l e{πt}t≥0满足(a)πt>0,(b)e[πt]<∞,(c)lim inft→∞e[πt]=0,即如果一个具有价值过程{St}t≥0的资产提供一个有界现金，则它在时间t≥0时的价值为byst=1{t<t}πtet[πtht]。（8）在一个长期的社会项目的情况下，上面概述的估值原则是否适用可能并不明显，因为所涉及的理想化在某些方面超出了目前所理解的资产定价理论的有效性。然而，我们知道，如果定价算子是线性的，并且满足一些简单的一致性条件(Rogers1998，Jobert&Rogers2006)，那么它一定是（8）的形式。如果一个项目规模很大，它的成功或对经济的影响很大（而不仅仅是扰动），那么人们可能会认为线性定价算子的使用是不合适的。例如，如果在全球范围内开展气候变化项目，就可能属于这一类别。我们把这些问题放在一边，本着这一精神来研究项目的长期价值评估问题，希望至少能得到一些启示。在一个长期项目中，这种现象已经很明显了，该项目在某个遥远的时间产生了一个单独的payo，HTat。现实项目中涉及的现金供应更加复杂，但主要的概念问题出现在这个问题的简单版本中。不言而喻，当一个人试图对与遥远未来的任何方面有关的概率分配进行建模时，就会出现不确定性。利率体系关于定价核心模型在利率理论中应用的概述，见Hunt&Kennedy(2004)。当所谓的贴现债券（或零息债券）t在t处生成一个单位的实际现金流时，根据（8）给出了t处的价格，对于t<t,Byptt=πtet[πt](9),对于t≥t,ptt=0,其中limt→tptt=1。然后，对于每个T≥0，对所有T≥0的priceprocess{PtT}进行修改。债券初始价格为P0T。当t接近t时，价格接近1,然后在t处突然下降到零，当1的本金以单一现金的形式出现时，债券ha s va lue为零。贴现债券系统的渐近性质最好通过考虑与之相关的各种利率系统来寻求。因此，如果我们回顾相关的规定，可能会有所帮助（例如，参见Brigo&Mercurio2007，Filipovi\'c2009)。所谓的连续复合（或指数）率RtTis在0≤t<t下由关系式ionptt=exp[-(t-t)rtt]计算。（10）接下来，我们将所谓的L ibor利率（或“简单”利率）LTT定义为0≤t<t旁路=1+(t-t)LTT。(11)LTTIS和RtTis之间的关系一般依赖于语旨。更详细地说，我们有VERTT=t-tln(1+(t-t)LtT)。（12）对数不等式ln x≥1-x-1对所有x>0都有效，如果x6=1，则为严格不等式，意味着ln ptt≥1-p-1 tt，因此-(t-t)-1 ln ptt≤(t-t)-1(p-1 tt-1)。因此，我们得到了RTT≤LtT，当两个速率都消失时，它使a s是一个严格的不等式例外。

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nandehutu2022

2022-4-16 14:23:01

也许很明显，连续复合利率应该低于Libor利率，但请记住，不等式RTT≤LtTremains即使在利率为负值时也是真实的。在接下来的工作中，引入一个利率的参数fa mily，在指数利率和Libor利率之间进行某种意义上的插值，这是有用的，这意味着tail-Pareto（或广义双曲）利率。Tail-Pareto利率在社会贴现的一般无套利利率模型的发展中具有重要意义。对于指数λ>0的每一种选择，0≤t<t的尾帕累托率L(λ)tTis用关系式ptt=“1+λ-1(t-t)L(λ)tt#λ。（13）注意，如果我们把t=0 a nd假定tail-Pareto率L(λ)0tis proat(constant）crossmaturity，则o ne被引回到广义双曲型贴现函数（5）。因此，尾部帕累托利率渐近良好的利率模型可能成为考虑社会贴现的动态模型的可行候选者。TheLibor系统由λ=1给出。对于0≤t<t的t、t，以及对于α，β>0，利率RtT、L(α)tT和L(β)tT中的任意两个可以表示为彼此的函数。特别地，我们有:tT=λt-tln1+λ-1(t-t)L(λ)tT(14)和L(α)tT=αt-t1+β-1(t-t)L(β)tTβ/α-1。（15）那么，检验如果α>β>0，我们Havertt≤L(α)Tt≤L(β)Tt是一个练习。（16）为了得到左边的不等式，在ln z≥1-z-1中插入z=p-1/αtt，经过一些重排后，结果如下。对于右不等式，设函数Φ(z，λ)=λ(z-1/λ-1)(17)为z>0和λ>0。通过对数不等式的计算表明，对于所有z>0和λ>0的情况，Φ(z,λ)λ=-z-1/λln z-1/λ-(1-1/z-1/λ)<0(18)。但是L(λ)tt=(t-t)-1Φ(PtT,λ)，(19)和从（18）可知，尾帕累托率随λ的增加而减小。利率的渐近性质有了这些事实，我们就可以研究利率的渐近性质了。使用定价核函数的一个优点是，人们能够避免在利率的渐近分析中使用度量变化函数可能出现的潜在陷阱(Delbaen1993,Karatzas&Shreve1998,section 1.7）。由于各种长期利率可以被定义，我们需要理解它们彼此之间的关系。例如，假设RTT在某种意义上收敛于一个长期指数利率RT∞,而LTT同样收敛于一个长期Libor利率LT∞。然后看一下（12）至少可以启发式地表明，如果lt∞是非负的，那么rt∞一定是负的，如果rt∞严格为正，那么lt∞一定是正的。我们的目标是理解这些陈述为真的意义，并研究其结果。然而，从观察中产生了一个微妙的现象，即尽管它通常在文学中被假定（例如在Hubalek等人中）。200 2）对于大成熟度的指数率RTT应该收敛，长指数率的t heory可以在一般情况下发展（Goldammer&Schmock 2012）,其中收敛性放宽，长指数率ra t e被Byrt∞=lim supT→∞-t-tln ptt定义为rt∞=lim supT→∞-t-tln ptt。（20）在f法案中，利率的一般理论在某些方面更加透明，没有指数利率收敛的假设。将这一原理贯彻到社会贴现的情况中，从而得出Libor的长利率BYLT∞=lim supT→∞T-T P-1 TT-1。（21）类似地，对于长尾Pareto率，我们写出(λ)t∞=lim supT→∞λt-tp-1/λt-1。

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2022-4-16 14:23:07

（22）在实践中，我们发现，即使在不收敛的情况下，证明1的条件也只是为了保证其收敛率具有良好的渐近性。为了在这里进行，我们需要发展一些数学工具，使我们能够在参数空间为r+的情况下，对这些运算应用于随机va r iables的参数族时，提供适当的上极限和下极限的一般证明。例如，我们考虑了一族指数ialrate{Rt,T+x}x∈r+x+mFt的情况，其中x=t-t是Musiela参数。通常的sup、inf、lim sup和lim inf运算在随机变量的可数集上逐点作用，并将这些可数集映射到随机变量上。在不可数的随机变量集的参数是R+而不是N的情况下，标准的定义需要适当地调整。为此，我们回顾一下Brie Comey关于随机变量集的所谓本质上确界的一些事实（Karatzas&Shreve 1998,Jeanblanc et al2009,Lamberton 2009,F-Ollmer&Schied 2011）。让R表示扩展实数。我们构造了一个概率空间(Ω,F,P）,对于某些指数集λ，我们设λ={ζ,λ∈λ}是由λ的元素标号的r-va随机变量的集合。可以证明（直到零集）存在一个惟一的r-va lued随机变量ζ,称为μ的本质上确，并表示为Essup或ess supλ,{ζ},其性质是f或任一r-va lued随机变量Z,它对于所有λ∈λ都认为Z≥ζ当且仅当Z≥ζ。这就是说，我们要求(a)对于所有λ∈λ都是ζ≥ζ,(b)如果Z是满足Z≥ζ的任意随机变量，则Z≥ζ。可以证明，存在一个可数子集{ζλn}n∈n多解，使得ess sup=SUPnζλn，其中上确界是在Ω上逐点取的。由settingess inf=ess infλ∈λ{ζλ}=-ess supλ∈λ{-ζλ}来修正参数的本质。具体地说，它证明了：(a)对于所有λ∈λ，ess inf≤ζ；(b)如果Z是任意r值随机变量，对于所有λ∈λ，Z≤ζ满足，则Z≤ess inf.当不存在混淆的危险时，我们可以用ess SUPλ∈λ{ζλ}的ess SUPλζ和ess INFλ∈λ{ζ}的ess INFλζ来缩写该表达式。我们说，如果对任意两个元素ζα，ζβ∑，都有一个满足ζγ≥max(ζα，ζβ)的元素ζγ∈，则一组随机变量ζ是有向的。可以证明，如果存在一个非递减序列{ζλn}n∈nin，则存在一个非递减序列，即ess supλ∈λ{ζλ}=SUPnζλn=limn→∞ζλn。例如，当λ=r+和态态是线性化的，即对于x≤y，ζx≤y，其中x，y∈r+时，就会出现这种情况。比较检验会产生有用的不等式。设A={Aλ}λ∈λ和B={Bλ}λ∈λ是由同一参数空间λ参数化的随机变量的包围。那么，如果对于所有λ∈λAλ≥Bλ，我们可以证明ess sup A≥ess sup B，因为对于所有λ∈λ，我们有ess sup A≥Aλ≥Bλ。通过对Essup的认识，如果Z≥Bλ，对于所有λ∈λ，我们有Z≥Esssup B。那么我们设Z=Esssup A,结果如下。同样地，我们有ess inf A≥ess inf B。显然，对于所有λ∈λ，我们有ess inf B≤Bλ≤Aλ。通过对ess inf的认识，如果Z≤Aλ对于所有λ∈λ，我们有Z≤ess inf A,那么我们设Z=ess inf B,结果如下。现在假定我们专门化到λ=R+的情形，并对para米空间的典型点写出x，y∈R+。然后，我们将Supx→∞ax=ess infx∈R+ess supy≥xay,(23)作为可数集经典定理lim supnan=infnsupm≥nama的推广。对于lim的本质扩张infnan=supninfm≥namwe definnelim infx→∞ax=ess supx∈R+ess infy≥xay。（24）如果本质上极限和本质下极限ar e相等，则得到的本质极限表示为limx→∞ax。

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2022-4-16 14:23:13

为了使表示法稍微不那么麻烦，当从上下文中可以清楚地看出需要操作的基本版本时，我们在lim sup、lim inf和lim前面取消了“ESS”。现在假设tha t A={Ax}x∈R+和B={Bx}x∈R+是由R+参数化的随机变量集。如果ax≥bx，对于所有x∈R+，则。lim sup A≥lim sup B和lim inf A≥lim inf B,其中lim sup和lim inf都被理解为上述的“ess”意义。ess sup和ess inf的定义取决于σ-代数的选择。这种选择并不总是被陈述出来，但通常会在上下文中显而易见。例如，在方程组(20)、(21)、(22)中，相关的σ-代数是Ft，因此渐近速率rt∞,lt∞,L(λ)t∞通过构造是Ft可测的。有了这些约定，我们就有了关于长指数率、长Libor率和长尾Pareto率的渐近运算的精确陈述。在接下来的工作中，我们需要以下有用的引理，它们是关于可数序列的众所周知的经典定理的基本扩展。在Lamberton(2009)中可以找到引理1在稍微更一般的条件下保持不变的一个版本。Doob(2001)附录IV，在一定程度上假设下，出现了一个变体ofLemma 2。给出相关陈述的条件版本将便于应用。我们构造了一个概率空间(Ω，F，P)，设G为子σ-代数。引理1。设{φx}x∈R+是一组非负可积随机变量，其性质为φx≥φy，如果x≥y，且E[ess SUPXφx]<∞。然后它持有supxeφxg=e ess supxφxg。（25）证明。由于集合{φx}x∈R+是有向的，所以存在一个序列{φxn}n∈N，且supxφx=supnφxn。利用单调收敛定理，我们得到supxφxg=e，supnφxn，g=supnehφxn，gi。（26）我们将证明(a)对于所有x≥0,supne[φxng]≥e[φxg]；(b)如果对于所有x≥0,Z≥e[φxg],则Z≥supne[φxng]。对于所有x≥0，我们有ess supxφx≥φx，因此supnφxn≥φx，因此E[supnφxng]≥E[φxg]，因此利用单调收敛定理supnE[φxng]≥E[φxg]，给出(a)。现在假设对于所有x≥0的情况，z≥e[φxg]。显然，对于所有n∈n，Z≥E[φxng]。通过对上确界的认识，我们有Z≥SUPNE[φxng]，这就给出了(b)。下面是supne[φxng]=ess supxe[φxg]，利用（26）我们得到（25）。引理2。设{ρx}x∈R+是一组非负可积随机变量，其性质为[lim infx→∞ρx]<∞。然后证明了lim infx→∞eπφxg≥Ehlim infx→∞φxgi。（27）证明。对于x≥0的每一个va lue，对于所有y≥x，我们有φy≥ess infy≥xφy(28)。对于所有的y≥x，取关于每边G的条件期望，我们Obtain[ψyg]≥e ess infy≥xψyg(29)。因此，通过对ess inf的认识，它认为ess infy≥XE[ψYG]≥E ess infy≥XψYG。（30）这是一个形式为Ax≥Bx的n不等式，其中{Ax}x∈R+和{Bx}x∈R+是Mg中的曲线。因此，我们得到了ess SUPxAx≥ess supxBx,fr om如下：ess supxess infy≥XE[ψyg]≥ess supxess infy≥Xψyg。（31）但是{ess infy≥xψy}x∈R+是一个向上向的非负随机变量集，所以byLemma 1我们有ess infy≥xψy g=e ess supxess infy≥xψy g,（32）由（31）给出ess inpxess infy≥xe[ψyg]≥e ess supxess infy≥xψy g,（33）即（27）,并由此得到证明。在我们所作的假设下，我们现在能够建立一套由各种长期利率所构成的一般关系。我们从以下命题开始：命题1。长指数率是无法证明的。我们希望证明Rt∞≥0。通过文献1的(c)部分和引理2,我们得到了0=lim infT→∞e[πt]=lim infT→∞e[et[πt]]=Ehlim infT→∞et[πt]i,（34）,由此我们推导出lim infT→∞et[πt]=0,从而lim infT→∞ptt=0,或者等价地利用Musiela参数lim infx→∞pt,t+x=0。

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2022-4-16 14:23:20

（35）另一方面，通过对方程（20）中给出的RT∞的认识，我们得到了Havert∞=-lim infx→∞x-1ln Pt,t+x。（36）现在很清楚Pt,t+x≥x-1 ln Pt,t+x=x≥1。因此，我们在MFTT中有一对曲线，由ax=Pt,t+x和bx=x-1ln Pt,t+x给出，使得x≥1时ax≥bx，由此我们得出lim infxax≥lim infxbx，从而得出lim infxPt,t+x≥lim infxx-1ln Pt,t+x。由（35）和（36）可知rt∞≥0。作为命题1和不等式（16）的结果，所有渐近的rat es都是正的，并且对于α>β我们有0≤rt∞≤L(α)t∞≤L(β)t∞。（37）长期指数利率和长期Libor利率之间的关系可以用以下方式更加明确地表述：命题2。若rt∞>0,则lt∞=∞；若lt∞<∞,则rt∞=0。证明。首先，我们观察到对于z∈(-1,∞)\\0}由φ(z)=Zln(1+z)(38)和对于z=0由φ(0)=1所定义的函数φ(z)是严格递减的。这可以通过使用inequalityln(1+z)>z/(1+z)来检查，它适用于所有z>-1。因此，对于所有x，y，L∈R，即y≥x>0且L>-y-1,我们有yln(1+yL)≤xln(1+xL)。（39）现在，通过方程(12)，对于x>0，我们得到t+x=xln(1+xLt,t+x)(40)，并且我们知道Lt，t+x>-x-1。对y≥x>0我们haveRt,t+y=yln(1+yLt,t+y)≤xln(1+xLt,t+y)。（41）对于已知x>0，我们在MFTT中有一对曲线，由AY=Y-1 ln(1+yLt,t+y)和by=X-1 ln(1+xLt,t+y)给出，对于所有y≥x,f rom,t等于AY≤by，因此supy≥xRt,t+y=ess supy≥xyln(1+yLt,t+y)≤ess supy≥xxln(1+xLt,t+y).我们得出结论：supy≤ess supy≥xyln(1+xLt,t+y)。（42）利用对数的单调性，我们可以将右项重排到supy≥xRt,t+y≤xln(1+xess supy≥xLt,t+y)。（43）同样，在MFT中，我们有一个涉及一对曲线的不等式系统。因此，(43)的每边都可以得到rt∞=lim supx→∞rt,t+x=ess infxessupy≥xRt,t+y≤ess infxxln(1+xess supy≥xLt,t+y)。（44）让我们在（44）的右边为t he t erm写J。通过对本质的认识，我们知道当x>0时，xln(1+xess supy≥xLt,t+y)≥J(45)。supy≥xLt,t+y≥x[exp(xJ)-1]。（46）现在假定J>0。如果将ess INFXS应用于上述不等式的每一边，则得到ess infxess supy≥xLt,T+Y=lim SUPX→∞LT,T+X=LT∞=∞。（47）因此，我们得出结论：如果lt∞<∞，则J≤0，因此rt∞≤0。但我们通过命题1知道rt∞≥0。因此，如果lt∞<∞我们有rt∞=0，如果rt∞>0，我们有lt∞=∞。我们留给读者去验证，从（14）开始，并使用一个类似于证明命题2时所用的论证，我们得到了与长尾函数和长尾函数有关的下列不等式。命题3。对于所有λ>0，它认为如果Rt∞>0，则L(λ)T∞=∞；而如果L(λ)T∞<∞，则Rt∞=0。那么在一般的尾帕累托率对的情况下，我们有：命题4。对于所有α，β∈(0，∞)使得α>β的情况，本文认为如果L(α)T∞>0，则L(β)T∞=∞；如果L(β)T∞<∞，则L(α)T∞=0。由（15）我们得到(α)t,t+x=αx-11+β-1×L(β)t,t+xβ/α-1。（48）现在，我们可以检查一下，对于p<1，对于x>0用μp(x)=x[(1+x)p-1](49)换出的函数μp(x)是严格递减的。因此，如果α>β，则对于y≥x，我们有αy-11+β-1y L(β)t,t+yβ/α-1≤αx-11+β-1xl(β)t,t+yβ/α-1。（50）对于x>0，我们在mFt中得到了一个包含一对曲线的不等式系统，由此我们得出sessupy≥xLαt,t+y=essupy≥xαy-1 1+β-1 y L(β)t,t+yβ/α-1(51)≤essupy≥xαx-1 1+β-1 x L(β)t,t+yβ/α-1,(52),因此由函数(1+x)的单调性得到supy≥xLαt,t+y≤αx-1“1+β-1 x essupy≥xL(β)t,t+yβ/α-1,t+yβ/α-1,t+yβ/α-1）在mFt中，我们又有一个涉及一对曲线的不等式系统。

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nandehutu2022

2022-4-16 14:23:26

因此，对（53）的每边应用infx，我们得到L(α)t∞=ess infxess supy≥xLαt,t+y≤ess infxαx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#！。（54）让我们为（54）的右侧写K。通过对本质的理解，我们得到αx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#≥K(55),对所有x>0的都有αx-1″1+β-1×ess supy≥xL(β)t,t+yβ/α-1#≥K(55)。supy≥xL(β)t,t+y≥βx-1H1+α-1xKα/β-1i。（56）现在假定K>0。由于α/β>1，如果我们对不等式（5-6）的每边应用ess infx，我们将得到ess infxess supy≥xL(β)t,t+y=lim supx→∞L(β)t,t+x=L(β)t∞=∞。（57）可以看出，如果L(β)T∞<∞则K≤0，因而L(α)T∞≤0。但是我们知道L(α)T∞≥0。因此，如果L(β)T∞<∞,我们有L(α)T∞=0,如果L(α)T∞>0,我们有L(β)T∞=∞。我们得出结论，期限结构模型可以根据其渐近结构进行分类，长指数率非消失的模型与长尾帕累托率非消失的模型是不同的。这导致我们重新考虑Dybvig等人的著名定理的地位。（1996）。DIR定理表明，长指数速率的动力学是严格约束的。但是，长尾帕累托利率中的一个是什么呢？是否受到类似的约束？这是我们着手研究的，因为一个nswer与社会折扣模型的构建有关。指数速率的渐近性我们将给出一个相当一般的形式Dybvig-Ingersoll-Ross定理的证明。本文的框架将与我们进行兴趣渐近分析的框架相同，如果我们从我们所做的假设的简要概要开始，将会很有帮助。我们(Ω，F，P)，其中P是真实世界的度量，加上一个市场值{Ft}t≥0。等式和不等式最肯定地支持P-a。我们得到了一个数值型核和一个相关定价核，满足(a)πt>0,(b)E[πt]<∞,(c)lim inft→∞E[πt]=0,符合定义1。在到期日交付一单位枚举值的贴现债券在时间t的价格由（9）给出。指数RATIs被（10）所取代，指数RT∞被（20）所取代。为了方便起见，我们设置xtt=exp(-rtt)，并写xt∞=exp(-rt∞)。在这些假设下，我们知道命题1对所有t≥0的rt∞≥0，因此xt∞是可积的。当t≥s≥0时，Rt∞≥rs∞当且仅为ife~(xt∞-xs∞)+=0。（58）在下面的论证中，我们将要求条件H-older不等式。设G是F在(Ω，F，P)上的子σ-代数。设A和B为随机变量，使得E[Ap]<∞和E[Bq]<∞,其中p,q满足1≤p<∞,1≤q<∞,p-1+q-1=1。然后我们就有了ab g≤e ap g.1/p.e bq g.1/q。（59）有了这些预备条件，我们就可以建立以下命题5。当t≥s≥0时，Rt∞≥Rs∞。证明。在所述假设下，我们希望t o证明（58）成立。根据（20）给出的frt∞的定义，我们得到了ext∞=lim infT→∞(PtT)t-t，(60)和[xt∞1(xt∞≥xs∞)]=Eshlim infT→∞(PtT)t-t1(xt∞≥xs∞)i=Eshlim infT→∞(πtpt)t-t1(xt∞≥xs∞)i=Eshlim infT→∞(πttpt)t-t1(xt∞≥xs∞)i，(61)。（62）利用引理2，我们得到[xt∞1(xt∞≥xs∞)]≤lim infT→∞esh(πtptt)t-t1(xt∞≥xs∞)i。（63）现在，通过条件H-older不等式，我们得到了(πTPTT)t-t1(xt∞≥xs∞)i≤es[πTPTT]t-tes[1(xt∞≥xs∞)]inter1-t-t=πt-ts(XsT)t-st-tes[1(xt∞≥xs∞)]inter1-t-t，(64)，其中在第二步中，我们使用πTPTT上的鞅le条件，以及pst=(XsT)t-s的事实。（65）此外，我们观察到t hatlim infT→∞πt-ts(XsT)t-st-tes[1(xt∞≥xs∞)](1-t-t=xs∞es[1(xt∞≥xs∞)]。（66）这可以通过取出现在（66）的每一侧的项的对数，并使用该对数是单调的f动作来交换左侧的lim inf和theln操作的or der来检查。

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2022-4-16 14:23:32

由此得到了(63)satis fieslim infT→∞esh(πtptt)t-t1(xt∞≥xs∞)i≤es[xs∞1(xt∞≥xs∞)]，(67)右侧的表达式，其中在(67)右侧我们使用了xs∞∈MFS的事实。我们由此建立了[(xt∞-xs∞)1(xt∞≥xs∞)]≤0,(68),由此if得到(58)ho lds,从而得到t≥s≥0的rt∞≥rs∞。DIR定理既适用于利率，也适用于名义利率，许多作者（Biagini&H-Artel 2012；Cairns 2004a,b；Deelstra 2000；El Karoui et al.19 98；Goldammer&Schmock 2012；Hubalek et al.2002；Ingersoll 2010；McCulloch 20 00；Kardaras&Platen 2012；Schulze 2 009；Yao 1999）讨论过，并提出了各种替代证明和g能量化。上面提出的定理的相当一般的版本在各个方面建立在Hubalek等人的论文上。(2002)，并通过(i)纳入Hubalek等人的“技术引理”的简短证明的要素来改进该工作的论点。（2002）由于Rogers和Tehranchi(2010)，(ii)遵循Goldammer和Schmock(2012)的建议，在指数长期利率的确定中使用了上限值，以及(iii)引入定价内核作为不存在套利的基础，这使得我们可以在P下框架论证，从而消除Hubalek等人使用的度量的各种变化。（2002）,Goldammer&Schmock（2012）等。除了第四节中介绍的指数利率和Libor利率之外，经常使用的另一种利率体系是所谓的零息利率体系。这些利率起源于这个行业，在那里它们被证明在掉期市场上很有用。零息票利率取决于一个实际的para meterκ>0，它具有反向时间的维度，并决定了一个“复合频率”。如果我们让t ime的单位是一年，那么κ=1代表年度复合，κ=2代表半年复合，以此类推。对于复合频率κ，零票面利率Z(κ)TT由关系式PTT=1+κZ(κ)TT-κ(T-T)确定。（69）对于任何一种债券，每年以相同的频率进行复合。在应用中，因子t-t有时被函数τ(T，T)代替，以处理日数约定（参见，例如，Brig o&Mercurio2007)，但这里不需要考虑这一点。对于已知的κ，r ates上的零政变和指数率之间的r elat，由RTT=κLN1+κZ(κ)TT，(70)给出，我们看到指数率和零政变率之间有一个一对一的r elat，它不依赖于基调。特别地，长指数率和长零息票大鼠e的值是一个对应关系，如果我们设Z(κ)T∞=lim supT→∞κp-1/κ(T-T)TT-1,(71),则得出RT∞=κLn1+κZ(κ)T∞。（72）从数学的角度来看，指数系统在某种程度上更容易使用，这可能是为什么后来的作者更愿意用Dybvig等人的r值来替换的原因。（1 996）在这个系统中。因为Dybvig等人。（1996）研究零票面利率（单位复合），而不是指数利率，我们发展了这两个系统之间的关系，以使关于指数利率的陈述可以由其翻译成关于零票面利率的陈述。由于对应关系是一对一的，即使在成熟的时候，也必须使用一个系统而不是另一个系统。通过等式（72）和命题5，我们特别看到长期零息票利率永远不会下降。人们应该顺便注意到，虽然这里的t在复合频率κ、以（69）为参数的零息票利率和尾帕累托r以指数λ、以（13）为参数的零息票利率之间具有超级相似性，但这些系统是不同的，它们的症状行为是独立的。

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2022-4-16 14:23:38

实际上，如果零息票系统中的复合频率通过将κTT=λ/(t-t)设置为tenordinated的形式，那么我们就得到了ta il-Pareto系统。TAIL-PARETO RATESTo的渐近性更好地揭示了Dire定理所隐含的利率的渐近性，对于研究确定性利率模型的情形是很有帮助的。其中一个发现，arbitrag e-free条件导致对长指数过程的强约束。我们有以下几点：命题6。在确定性利率模型中，长指数ra te是常数。证明。通过对指数率的认识，我们得到了对于0≤T<T的ptt=exp[-(t-t)rtt]和对于T≥0的p0t=exp[-tr0t]。在确定性利率系统的情况下，不存在ar位r年龄意味着PTT=P0T/P0T。下面是rtt=t r0t-tr0tt-t。（73）写R0∞=Limsupt→∞R0T,我们看到对于所有t≥0的情况，RT∞=R0∞。另一方面，在确定性社会贴现函数的情况下，相关的长期利率行为是完全不成立的。我们有：命题7。在确定性i-最大利率模型中，如果Libor长期利率是i-最大利率，则Libor长期利率是i-最大利率，且LT∞=P0TL0∞给出。证明了Libor长期利率是i-最大利率。根据Libor系统的规定，我们有PTT=1/[1+(t-t)LTT]。在不存在套利的情况下，我们有PTT=P0T/P0T，并且ForelTT=1+TL0T T L0T-tL0tT-T。（74）如果初始长率L0∞=lim supT→∞L0t=1/(lim infT→∞t P0T)是有限的，则对于所有t≥0的情况，Lt∞=lim supT→∞LTt=L0∞/(1+tL0t)是有限的。人们可以看到，如果长期Libor利率是固定的且不消失的，那么它就包含了初始期限结构的全部信息。更一般地说，我们有：命题8。在确定性利率模型中，如果ind exλ的长尾帕累托利率初始为零，则它在所有时间都为零，且给定b y L(λ)t∞=p1/λ0tl(λ)0∞。证明。通过对tail-Pareto系统的认识，我们得到了ptt=[1+λ-1(t-t)L(λ)tt]-λ。在确定性情况下，计算表明t hatL(λ)tt=1+λ-1 tL(λ)0t“t L(λ)0t-tl(λ)0tt-t#。（75）如果初始速率L(λ)0∞=lim supT→∞L(λ)0t=1/(lim infT→∞tλp0t)是给定的，则L(λ)t∞=lim supT→∞L(λ)Tt=L0∞/(1+λ-1TL(λ)0t)在所有t≥0时是给定的。考虑到这些事实，我们得到了一个广义半马丁格尔模型的定价核的条件，即当相关的贴现债券是指数λ∈(0，∞)的渐近尾帕累托时，保证所得到的利率系统是“社会的”。这一概念可以用以下方法精确地形式化：定义3。如果一个定价核{πT}t≥0,则称其为指数为λ的渐近尾帕累托核，如果它成立(A)Liminft→∞TλπT>0,(b)Liminft→∞E[TλπT]<∞,则得到如下结论：命题9。（socially-e-cient贴现债券系统）如果一个定价核具有指数λ，则对于所有t≥0，相关的d i s计数债券系统满足0<lim infT→∞tλptt<∞。（76）证明。为了建立（76）左手边的不等式，我们注意到，由第3的条件(a)，lim infT→∞tλπt>0,因此对于t≥0我们有ET[lim infT→∞tλπt]>0,这通过引理2意味着lim infT→∞tλet[πt]>0,因此lim infT→∞tλptt>0。为了建立（76）右边的不等式，我们观察到当πT>0时，lim infT→∞Tλptt<∞i？lim infT→∞Tλet[πT]<∞。然后我们注意到:ehlim infT→∞tλet[πt]i≤lim infT→∞e[tλπt]<∞,(77)，其中（77）中的第一个不等式后面是引理2和塔性质，第二个不等式后面是条件3的n(b)。由此我们得到（76）。提案10。（长尾-Pareto r ates）如果一个定价kerne l是指数为λ的尾-Pareto,则当t≥0时，其尾-Pareto率为0<l(λ)t∞<∞(78),并取形式l(λ)t∞=λ(πt/θt)1/λ，(79),其中{θt}t≥0是严格正上鞅证明。

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何人来此

2022-4-16 14:23:44

根据第2项，即lim infT→∞TλPTT=lim infT→∞T+λ-11-TT L(λ)TT-λ，(80)，因此，通过对数的单调性，我们得到了NLIM infT→∞TλPTT=lim infT→∞ln T+λ-11-TT L(λ)TT-λ=-λln lim supT→∞T+λ-11-TT L(λ)TT=-λlnλ-1 lim supT→∞L(λ)TT。（81）重排t erms，我们利用命题9推导出ATL(λ)t∞=λhlim infT→∞tλptti-1/λ，(82)，由此（78）立即得到。利用引理2我们还看到(79)成立，其中θt:=lim infT→∞et[tλπt]≥et[lim infT→∞tλπt]>0,（83）。我们注意到，上面的严格不等式是通过第3项条件(a)得到的。最后，再利用引理2和塔性质，我们得到[θt]=es[lim infT→∞et[tλπt]]≤lim infT→∞es[tλπt]=θs，(84)，这使得我们可以得出{θt}是严格正上鞅的结论。八。社会贴现的利率模型事实证明，人们可以构造一组相当明确的例子，说明动态间关系模型承认社会贴现。这些例子是在Flesaker-Hughston理论中出现的所谓“理性”模型的变体（Bj-ork 2009,Brody&Hughston 2004,Brody et al.2012；Cairns 200 4a,b；Flesaker&Hughston 1996,1 998；Goldberg 1998；Hug hston&Rafailidis 2005；Hunt&Kennedy 2004；Jin&Glasserman2001；Musiela&Rutkowski 2005；Rutkowski 1997）。为了简单起见，我们考虑了一个渐近的“双曲”长率结构，对应于λ=1的情况。我们将严格正函数f:R+→R+\\{0}的空间写成λ+，使得{ft}t≥0∈C(R+)和lim inft→∞ft=0。f的导数将表示为f\'。用{Ft}定义概率空间(Ω，F，P)，并设{Mt}为t=0的严格正鞅。设{at},{bt}是满足Liminft→∞tat=a,Liminft→∞tbt=b的能量元,对于a,b∈R+,使得a+b>0。设初始折扣函数p0t=at+btbe为t≥0作为模型的输入。（long Libor利率状态变量模型的存在性）定价核πt=at+btMt决定了一个无套利的单因素利率模型，对于该模型，可以选择相应的状态变量为ei ther short ra te,给定rt=-ant+bnt MTat+btMt,(85),或者选择lon g Libor利率，给定bylt∞=at+btMta+bmt。（86）证明。在上述假设下，我们发现贴现债券体系的形式为PTT=AT+BTMTAT+BTMT。（87）计算表明，由（85）给出了短率rt=-(UPTU)u=TIS，由（86）给出了lo ngrate lt∞=1/lim infT→∞t PtTis。由于RTAs和LT∞都是Mt的有理函数，我们可以将这些关系反演得到Mtas是rtor的一个函数，从而使我们可以将PTAs是rtor的一个有理函数表示为LT∞的一个有理函数。事实上，我们发现贴现债券价格，当表示为短期利率的函数时，取formptt=(atb-bta)+(atb-btat)rtatb-bta，(88)，当表示为长期利率的函数时，取formptt=(atb-bta)+(atbt-btat)l-1t∞(atb-bta)。（89）因此，我们看到在RTA中PtTis是线性的，在LT∞中是反线性的。整个期限结构由单一利率驱动似乎是不合适的，但这是one-fa cto r设置的伪影，是许多利率模型的特征。事实上，无论他的特定模型在应用中是否直接有用，它确实证实了这样一个事实，即o ne可以构造完全动态的期限结构模型，承认长期利率可变状态，而且承认这种可能性似乎是社会贴现理论的一个特征。注意，我们没有假定{at}、{bt}、{tat}和{tbt}函数对于larg e t是收敛的。

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大多数88

2022-4-16 14:23:52

在实际例子中，我们通常假设收敛，但上面的结构说明了这样一个事实，即理论在没有这样一个假设的情况下顺利地进行。同样，我们没有假设{at}和{bt}是递减的，所以原则上短期利率可以时不时地假设负值，这在实际利率率理论中并不是没有根据的。对于到期日，Libor利率也可以假设为负值。特别地，我们haveltt=t-t(at-at)+(bt-bt)mtat+btmt。（90）显然，如果在<bT<bT，那么负ive L ibor率可以是一个r ise。另一方面，对于名义利率体系的应用，o ne可以等于{at}和{bt}应该是递减的，在这种情况下利率是正的。还应该顺便注意，我们可以放弃{at}和{bt}应该是可执行的条件。然后，我们得到了一个长期利率状态变量模型fo，(86)和（89）仍然成立，即使短期利率没有被定义，在一个具有一般指数λ∈(0，∞)的尾Pareto定价核的比率l模型的情况下，其设置与双曲情况相当相似。我们设定价核为πt=at+btmt，其中{at}和{bt}是满足lim inft→∞tλat=a和lim inft→∞tλbt=b的λ+元素，对于a,b∈r+,使得a+b>0。为了方便起见，我们设置了_a=aλ-λ和_b=bλ-λ。然后，定价核心满足了第3个条件，并借助命题10得出了以下结论：命题12。（长尾-Pareto利率状态变量模型的存在性）在具有尾-Pareto定价核的单因素模型中，长尾-Pareto利率取形式L(λ)t∞=at+btmt a+bmt 1/λ，(91)并作为相关贴现债券系统的状态变量，该系统被给定为byptt=(atb-bt a）+(atbt-btat）(L(λ)t∞)-λ(atb-bt a）。（92）我们并不特别认为，对于每一个到期日T,债券价格与时间T的尾帕累托利率的幂值成反比，其中幂值由指数λ给出。作为期限结构的一个更现实的动态模型，可以如下构造一个基于短期利率和长期利率的无套利双因素状态变量模型的显式示例。设{Mt}a nd{Nt}是在t=0时归一为单位的一对严格正态矩阵。设{at},{bt},{ct}为λ+的元素，对于a,b,c满足yinglim inft→∞tat=a,lim inft→∞tbt=b,lim inft→∞tct=c，使得a+b+c>0。当t≥0时，给出初始项结构p0t=at+bt+ctbe。然后我们有：命题13。（长利率/短利率双因子状态变量模型的存在性）定价kern elπt=at+btmt+ctNt确定了一个双因子利率模型，其中状态变量包括s hort利率（给定rt=-at+btmt+ctNt+ctNt，93)和长Libor利率（给定bylt∞=at+btmt+ctNta+bmt+cnt）。（94）证明。在所述假设下，我们发现贴现债券体系是BYPTT=AT+BTMT+CTNTAT+BTMT+CTNT。（95）一个计算建立了形式（93）的rtis，以及形式（94）的LT∞。由于Usert、Lt∞是MT、Nt的有理函数，我们可以将这些关系反演得到RT、Lt∞的MT、Ntin项，从而可以表示RT、Lt∞的PtTin项。事实上，我们发现，当贴现债券价格表示为长期利率和短期利率的函数时，其形式如下:PTT=FTT+GTTRT+HTTL-1T∞,（96）其中，上面出现的三个确定性coe cient由FTT=(b\'tct-c\'tbt)at+(C\'tat-A\'tct)bt+(A\'tbt-b\'tat)cT(btc-atc)bt+(atb-bta)c）A NOT+(CTA-ATC)B NOT+(ATB-BTA)C NOT。（99）有趣的是，贴现函数在短期利率中是线性的，在长期利率中是反线性的。

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2022-4-16 14:23:59

这可以与单因素模型相比较，在单因素模型中，贴现函数可以表示为短期利率的线性函数，也可以表示为长期利率的反线性函数。的确令人吃惊的是，在一个双因素模型中，债券价格出现了这样一个简单的表达式，而且很明显，可以用同样的方法来发展该模型的n-fa模型。在一般情况下，债券价格可以表示为短期利率、长期利率和一个或多个中间利率的函数，而长期利率可以是ta il-Pareto型，这与命题12中所介绍的例子相同。为了保持一般性，我们没有在上面所考虑的任何例子中强加马尔可夫性质，事实上，整个框架是非马尔可夫的。然而，构造马尔可夫的显式例子是很简单的。例如，如果我们设命题1,1和12中的正鞅是几何布朗运动（具有确定性的随时间变化的挥发物），那么所得到的模型就是马尔可夫模型。特别地，可以证明长率状态变量遵循Brody&Hughston2004例4.2所讨论的特殊的“多项式”类型（具有二次波动性和三次漂移）的离散过程。同样，通过设命题13中的正鞅为几何布朗运动，我们可以构造一个短率和长率共同作用于离散过程的双因子马尔可夫模型。在这方面，我们赞同Dybvig等人的一个令人惊讶的结论。用他们的话说，(2006)是：构建期限结构模型的理论家应该把结果作为一个警告，在一个无套利的文本中，可以对利率做出什么假设。例如，假设长期零息票利率或远期利率遵循一个固定的过程必然意味着套利，利率可以作为多因素离散期限结构重塑中的一个因素。对此，我们可以补充一个进一步的警告，即理论家应该注意到任何可能建立在期限结构模型渐近行为中的隐含假设。应该强调，另一方面，DIR定理与允许Libor利率长尾和无套利模型的存在完全相容，因为在这种模型中，长期的零票面利率消失了。在英国财政部发布的《绿皮书：中央政府的评估和评价》，附件6（2 003版，2011年7月更新）中，可以找到一个相当明确的关于社会贴现的规定性使用的例子，该绿皮书提供了一个在英国社会项目提案评估中不同时期使用的相关STPRS（“社会时间优惠率”）表。规定的利率（通常按指数计算）范围从30年期的3.5%到31至75年期的3%，然后是76至125年期的2.5%，以此类推，301年期的1%再次保持不变。

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2022-4-16 14:24:05

根据Ramsey(1928)的一个众所周知的公式，在计算30年STPR时，采用了附件6所述的Brie Comey的计算方法：灾变率约为1%，纯时间偏好率约为0.5%，弹性调整增长率约为2%，合计3.5%；在第10项（“长期贴现率”标题下）中，有人说：如果对一项建议的评价在很大程度上取决于长期贴现率，这个例子说明，至少在目前，社会贴现模型的输入参数不能很容易地被液体市场上可用的价格所抵消，事实上，在构建任何长期利率模型时，确定如何进行校准和估计仍然是一个具有挑战性的问题。然而，鉴于发行的长期票据稳步增加，市场不变，人们不应过于气馁。新的市场需要时间来发展，人们也许应该记得，在20世纪80年代美元互换市场出现之前，名义利率的evensimple模型的系统市场校准范围相当有限。同时，我们有一个可以用于模拟研究、情景分析和价格报价的工具。最后值得一提的是，虽然我们所描述的理论主要是为了应用于非常长期的erm社会项目而构建的，由此产生的模型原则上也适用于涉及中长期财务合同的事项--例如，与养老基金估值和非寿险索赔储备相关的公关业务，在某种程度上，这些业务往往超出了流动性的范围，但肯定需要合理的监管和风险管理。在这种情况下，社会贴现的一个因素的应用往往会导致人们认识到需要更高水平的养老金缴款和保险费。这在国家资助的计划中尤其如此。承认作者感谢I.Buckley、M.G.r.asselli、t.Hurd、S.Jaimungal、a.Kirman、M.udkovski,E.Mackie,D.Madan,D.Meier,B.Meister,T.Pennanen,M.Pistorius,T.津本，H.图恩特，J.祖贝利，和英国Mat hematicalFinance研讨会的与会者，伦敦国王学院（2013年6月），商品、能源和环境融资重点方案，多伦多菲尔兹研究所（2013年8月）、伦敦布鲁内尔大学金融数学进展（2013年9月）、多伦多菲尔兹研究所新经济思维数学研讨会（2013年11月）、里约热内卢期权研究（2013年12月）、伦敦第三届WBS利率会议（2014年3月）、卡萨布兰卡证券交易所（2014年5月）、布鲁塞尔第八届巴切利耶金融学会世界大会（2014年6月）、巴黎伦敦-巴黎巴切利耶数学金融研讨会（2014年9月）和圣彼得堡ITMO大学（2014年11月），会上介绍了该工作的初步版本，以征求有益的意见。参考文献[1]Acz\'el,J.1 966函数方程及其应用讲座（纽约：学术出版社）[2]Arrow,K.J.1995年代际公平和长期社会投资中的折价问题。《当代经济问题：经济行为与设计》。Sertel（编辑）,4,89-102（纽约：Basingstoke和Macmillan）.[3]Arrow,K.J.,Cline,W.R.,Maler,K-G,Munasinghe,M.,Squitieri,R.&Stiglitz,J.

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2022-4-16 14:24:11

E.1996年跨期股权、贴现和经济交易。第4章，《1995年气候变化：气候变化的经济和社会影响》（剑桥：剑桥大学出版社）。Azfar,O.1999,合理化双曲线贴现。经济与组织学报38,245-252。（DOI:10.1016/S0167-268 1（99）00009-8）[5]Biagini,F.&H-Artel,M.2014 L\'evy t erm结构下的长期收益率行为。国际理论与应用金融杂志1714 500 16。(DOI:10.1142/S0219024914500162)[6]比约克，T.2009连续时间套利理论。第3版（牛津：牛津大学出版社）。[7]布里戈，D.&默丘里奥，F.2007《利率模型-理论与实践》。第二次演讲（柏林：斯普林格）。[8]Brody,D.C.和Hughston,L.P.2001年利率和信息离子几何学。伦敦皇家学会会刊A457，1343-1364。(BoI:10.1098/RSPA.2000.0722)[9]Brody,D.C.&Hughston，L.P.2002.利率结构中的熵与信息。定量Fina NCE2,70-80。[10]Brody,D.C.和Hughston,L.P.,2004混沌与相干：一种新的利率建模框架。伦敦皇家学会学报A460,85-110.(DOI:10.1098/RSPA.2003.1236)[11]Brody,D.C.,Hughston,L.P.&Mackie,E.2012具有几何L\'Evy鞅的比率nal期限结构模型。随机：一个国际概率杂志一ndStoc hastic过程84,719-740。（Doi：10.080/17442508.201 2.689835)[12]Cairns,A.J.G.2004A Interes t Rate models：An In troduction（普林斯顿：普林斯顿大学出版社）[13]Cairns,A.J.G.2004b长期风险管理和衍生品定价的期限结构模型系列。Mathematica l Finance 14，415-444。(DOI:10.1111/J.09601627.2004.00198.x)[14]Chichilnisky,G.1996.社会选择与福利13(2)，231-257。（Doi：10.1007/BF00183353)[15]C.inlar,E.2011概率与随机（Berlin：Springer-Verlag）.[16]Deelstra,G.2000 sto chastic利率模型中的长期回报：应用.Astin Bulletin 30,123-140.(DOI:http://dx.doi.org/10.2143/AST.30.1.504629)[17]Delbaen,F.1993 Consols in CIR模型。数学金融3,（2）125-134.(DOI:10.1111/J.1467-9965.1993.TB00082.x)[18]杜伯，J.l.2001.经典势论及其对应关系。1984年版（柏林：斯普林格）。[19]Dybvig,P.H.,Ingersoll,J.E.&Ross,S.A.1996年Long f orward和零息票利率永远不会下降。商业杂志69,1-25。（www.jstor.org/stable/2353247)[20]El Karoui,N.,Frachot,A.&Geman,H.1998.关于无套利框架下长期零息票利率行为的注记。工作文件。(http://libra.msra.cn/publication/2603642/a-note-on-the-Behavior-o f-long-zero-coulon-rates-in-a-no-abritr age-framework）[21]Farmer,J.D.&Geanakoplos,J.2009双曲线贴现是一种方法：用不确定的贴现率来评估遥远的未来。考尔斯基金会讨论文件第1719号，纽黑文，CT：耶鲁大学。[22]Filipovi\'c,D.2 009期限结构模型：研究生课程。（柏林：斯普林格）。[23]弗莱塞克，B.&Hughston，L.P.，1996年积极利益。风险9，46-49。再版inVas i cek and Beyond，L.P.Hughston，编辑。（伦敦：Risk Publications,1996）。[24]Flesaker,B.和Hughston,L.P.1998.积极利益：后记。《树木套期保值：衍生品定价和风险管理的进展》，M.Broadie和P.Glasserman编辑。（伦敦：风险出版物）。[25]F-Ollmer,H.&Schied,A.2011年S tochastic Finance,第三版（柏林：Walter deGruyter）。[26]Goldammer,V.&Schmock,U.2012年Dybvig-IngersollRoss定理的推广和渐近极小性数学Fina nce 22,185-213.(DOI:10.1111/J.1467-9965.2010.00459.x)[27]Goldberg,L.R.1998有理对数正态模型中的短鼠e的波动性。金融与随机2,199-211.

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2022-4-16 14:24:18

(DOI:10.007/S007800050038)[28]Gollier,C.2002a贴现不确定的未来。《公共经济杂志》85，149-166。(DOI:10.1016/S0047-2727(01)00079-2)[29]Gollier,C.2002b时间范围和贴现率。经济理论杂志107，463-473。(DOI:10.1006/Jeth.2001.2952)[30]Groom,B.,Hepburn,C.,Koundouri,P.&Pearce,D.2005递减的贴现率：它的长处和短处。[环境与资源经济学]32,445-493.（DOI：10.1007/S10640-005-4681-Y）[31]哈维，C.M.1986。管理学学报，32,1 123-1139。(DOI:10.1287/MNSC.32.9.1123)[32]Harvey,C.M.1994非恒定贴现的合理性。公共经济学杂志53,31-51。[33]Henderson,N.&Bateman,I.1995超社会贴现率的实证和公共选择证据及其对代际贴现率的影响。(DOI:10.016/0047-2727(94)90012-4)[33]Henderson,N.&Bateman,I.。环境资源经济学5,413-423。(DOI:10.1007/BF00691577)[34]Hubalek,F.,Klein,I.&Teichmann,J.20.02 Dybvig-IngersollRoss定理的一般证明：远期远期利率永远不会下降。数学金融12,447-451。（DoI:10.1111/J.1467-9965.2002.TB00133.x)[35]休斯顿，李平，拉菲利迪斯，2005.利率模型的混沌方法。金融与随机9,43-6 5.“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”,“金融学”。[36]Hunt,P.J.&Kennedy,J.E.2004年《金融衍生品理论与实践》修订版（Chichester：Wiley）.[37]Ingersoll,J.2010年《正利率与收益率：额外的严肃思考》,载于《定量金融与风险管理手册》.李，A.C.Lee&J。李编辑，1503-1522年（纽约：斯普林格）。DoI:10.1007/978-0-387-77117-5102)[38]Jeanblanc,M.,Yor,M.&Chesney,M.2009金融市场的数学方法。（伦敦：斯普林格-弗拉格）。[39]金，Y.&G·拉瑟曼，第2001页，均衡利率：一个完整的观点。《金融研究iew》第14页，第187-214页。DoI:10.1093/RFS/14.1.187)[40]Jobert,A.&Rogers,L.C.G.2002估值与动态凸风险度量。数学金融18,1-22.（DOI:10.1111/J.1467-9965.200 7.0032.x)[41]Jouini,E.,Marin,J.-M.2010年贴现与观点分歧，《经济理论杂志》145,830-859。（Doi：10.101 6/J.Jet.2010.01.002)[42]Karatzas,I.&Shreve,E.S.1998数学金融方法。（纽约：Springer-Verlag）.[43]Kardaras,C.和Platen,E.2012关于Dybvig-Ingersoll-Ross定理。数学金融22,729-74 0.(DOI:10.1111/J.1467-9965.2011.00476.x)[44]Laibson,D.1 997克旧鸡蛋和双曲线贴现。经济学季刊112，443-477。（DOI：10.11 62/003355397555 253）[45]Lamberton,D.2009最优止损和美式期权。课堂讲稿，老师。巴黎大学-EST,Laboratoire d\'Analysis et de Math Ematiques appliquees。(http://www.fmf.uni-lj.si/firenmath 09/shortcourseamericanoptions.pdf)[46]Lengwiler，Y.2005.异质耐性和真实间的t erm结构。《美国经济评论》95，890-896。（Doi：10.1257/000282805 4201288）[47]Letac,G.1978 Cauchy函数方程aga in.美国数学月刊85，(8)663-664。（Doi：1 0.1257/0002828054201288)[48]林德，R.C.19 97跨期公平、贴现和水政策评估中的经济价值。气候变化37,41-62。(DOI:10.1023/A:1005349311705)[49]Loewenstein,G.&Prelec,D.1992跨期选择的异常：证据与解释。《经济学季刊》107,573-597.(DOI:10.2307/2118482)[50]McCulloch,J.H.2000长期远期利率和零息利率确实会下降，但不确定：评Dybvig,Ingersoll andRoss,工作文件00-12，俄亥俄州立大学经济系。(http://Economics.sbs.ohio-state.edu/pdf/McCulloch/dir.pdf)[51]Musiela,M.&Rutkowski,M.2005年金融安全模型中的鞅方法（柏林：Springer-Verlag）.[52]Nocetti,D.,Jouini,E.&Napp,

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