全部版块 我的主页
› 论坛 › 经济学人 二区 › 外文文献专区
复合Wishart矩阵与噪声协方差矩阵：风险 低估
能者818
1456 12
2022-04-16
摘要翻译：
本文得到了复Wishart矩阵的逆的期望的一个性质，它是由复Wishart矩阵的正交不变性引起的。利用这一性质和随机矩阵理论(RMT)的结果，我们得到了估计协方差矩阵所引起的噪声对最优投资组合风险计算的渐近影响。这进而使我们不仅在独立观测情况下，而且在相关观测情况下，得到最优投资组合风险的渐近无偏估计。这种改进提供了一种基于指数加权移动平均股票收益估计的协方差矩阵估计投资组合风险的新方法。
---
英文标题：
《Compound Wishart Matrices and Noisy Covariance Matrices: Risk
  Underestimation》
---
作者：
Beno\\^it Collins, David McDonald and Nadia Saad
---
最新提交年份：
2013
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
英文摘要：
  In this paper, we obtain a property of the expectation of the inverse of compound Wishart matrices which results from their orthogonal invariance. Using this property as well as results from random matrix theory (RMT), we derive the asymptotic effect of the noise induced by estimating the covariance matrix on computing the risk of the optimal portfolio. This in turn enables us to get an asymptotically unbiased estimator of the risk of the optimal portfolio not only for the case of independent observations but also in the case of correlated observations. This improvement provides a new approach to estimate the risk of a portfolio based on covariance matrices estimated from exponentially weighted moving averages of stock returns.
---
PDF下载：
-->
English_Paper.pdf
大小:(1013.23 KB)

 马上下载

二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复
nandehutu2022
2022-4-16 14:30:57
复合WISHART矩阵和噪声协方差矩阵：低估风险Beno It COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saadabstract。本文得到了复Wishart矩阵的逆的期望的一个性质，它是由复Wishart矩阵的正交不变性引起的。利用这一性质和随机矩阵理论(RMT)的结果，我们得到了估计协方差矩阵所引起的噪声对最优投资组合风险计算的渐近影响。这进而使我们不仅在独立观测情况下，而且在相关观测情况下，得到最优投资组合风险的渐近无偏估计。这一改进提供了一种基于指数加权移动平均股票收益率估计的协方差矩阵估计投资组合风险的新方法。引言在投资组合管理的实际情况中，既不知道资产的收益期望，也不知道协方差矩阵，我们总是处理估计量。由于估计器只依赖于观察数，估计投资组合的参数会产生噪声，并且随着投资组合规模的增加，噪声也会增加。在这里，我们将重点讨论由估计协变量引起的噪声。协方差矩阵在投资组合优化理论和风险管理中有着重要的作用。投资风险的概念试图量化投资结果的不确定性，从而量化可能损失的大小。在投资方面，最优投资组合被定义为在一定的回报水平下提供最小风险的投资组合。投资组合的风险是指投资组合不能实现其目标的可能性。马科维茨将最优投资组合的风险定义为资产组合收益的标准差。因此，为了确定最优投资组合的权重和风险，我们本质上需要估计收益的协方差矩阵。估计一组关键字和短语的协方差矩阵。正交不变随机矩阵，复合Wishartt矩阵，Weingarten函数，Markowitz问题，风险管理。2 COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saad，对于n个不同的资产，我们需要从n个长度为T的时间序列中确定n(n+1)/2个条目。如果T相对于n不是很大，这是现实生活中常见的情况，那么协方差的确定是有噪声的。Laloux等人在[LCBP]中指出，由Foungnancial returnseries导出的经验相关矩阵含有大量的噪声。除了少数大的特征值和相应的特征向量外，经验相关矩阵的结构可以看作是随机的。不幸的是，这意味着在估计最优投资组合的风险时有很大的误差。因此，Laloux等[LCBP]认为“Markowitz的基于协方差矩阵的纯历史确定的投资组合优化方案是不充分的”。改进对最优投资组合风险的估计是许多科学家的一个基本目标（参见[LCBP],[PGRAGS],[PK],[K])。在[LCBP],[PGRAGS])中，人们发现，如果在优化前去掉协方差矩阵的特征值谱中与“噪声”随机矩阵的特征值谱相一致的部分，可以提高最优投资组合的风险水平。
二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi
2022-4-16 14:31:03
[PK]和El Karoui[K]能够计算由协方差矩阵的最大似然估计量(MLE)对最优投资组合风险估计的渐近影响。在我们的工作中，我们处理了协方差矩阵的一个更一般的估计B∑，它包含并推广了MLE协方差。我们的目的是测量噪声对独立观测和相关观测的影响。我们主要依靠随机矩阵理论(RMT)来量化由估计协方差矩阵而产生的噪声对预测最优投资组合风险的渐近影响。利用这一渐近结果，模拟表明我们能够提供最优投资组合风险的无偏估计。在独立观测的情况下，我们的结果与Pafka等人的结果一致。在第二节中，我们解释了最优投资组合问题，并给出了贯穿全文的符号。我们还介绍了随机矩阵理论的一些工具和技巧，这些工具和技巧对证明我们的结果是必不可少的。第3节包含我们的主要结果和证明。在第四节中，我们给出了我们的结果的一些应用和仿真。作为应用，我们得到了指数加权移动复合WISHART矩阵和噪声协方差矩阵的协方差矩阵估计所引起的噪声的影响：风险低估3Average(EWMA)协方差矩阵。在第5节中，将根据真实数据进行模拟。初步2.1.现代投资组合理论(MPT)。MPT是通过选择各种资产的相关权重，试图在给定的投资组合风险下最大化投资组合的预期收益，或者在给定的预期收益水平下最小化投资组合的风险的一种理论。MPT也被认为是投资规避概念的数学形式，目的是选择一个总体风险低于任何单个资产的投资资产组合。MPT将资产的收益建模为正态分布的随机变量，将风险定义为收益的标准差，并将投资组合建模为资产的加权组合，因此投资组合的收益是资产收益的加权组合。对于一个由n个资产组成的投资组合P，该投资组合的预期收益μpi定义为:μP=nxi=1ωiμi，其中ωi(i=1,2,...,n）是投资于资产i的资本数量，{μi}是单个资产的平均收益。Markowitz使用著名的方差和协方差统计度量对风险概念进行了修正，如[Mark]所示。因此，投资组合的风险σ可以与总方差σp=nxi,j=1ωiσijωj，其中∑=(σij)ni,j=1是收益的协方差矩阵。投资组合优化的目标是在任何给定的预期收益水平下，找到一个使投资组合的风险最小化的资产组合{ωi}，换句话说，在任何给定的风险水平下，找到一个使投资组合的预期收益最大化的资产组合。用数学方法表述这个优化问题的一种方法是下面的二次规划:(1)min wt∑wwt∑=α,wte=1,其中wt=(ω,ω,...,ωn)是最优权重的n维向量w的转置，μ是n维向量，其第i个条目是μi，α表示所需的期望报酬，e是n维向量，每一个条目都有1。4 Beno It COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA SAADIn实践中，∑、μ是未知的，我们分别处理b∑、bμ表示的估计量。因为，在我们的研究中，我们着重于估计协方差矩阵所引起的噪声及其对度量风险的影响。我们将考虑以下投资组合优化问题的简单版本，其中我们处理风险资产；即。
二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022
2022-4-16 14:31:10
没有一个资产具有零方差，协方差矩阵是非奇异的:(2)min wt∑WWTE=1。使用拉格朗日乘子的方法，最优投资组合的权重由:(3)ωi=npj=1σ(-1)ijnPj,k=1σ(-1)jk(i=1,...,n）给出。其中，∑-1=(σ(-1)ij)ni,j=1是协方差矩阵∑.使用(3)，风险σp可以用∑-1的条目表示如下:(4)σp=snpi，j=1σ(-1)ij.2.2。对问题的认识。由于我们处理的是方差矩阵的估计量而不是∑，所以对于一个具有n个资产和长度为T的收益的有限观测时间序列的投资组合，我们可以划分出多种风险；一种使用∑，我们称之为真风险，其中（5）真风险=√wt∑w，其中w表示使用∑-1项确定的最优权重的向量。另一种风险依赖于b∑，称为预测风险，其中（6）预测风险=p^wtb∑^w，^w表示使用b∑-1项确定的最优权重的向量。注2.1。请注意，在实践中，只有预测风险可以计算，而真实风险是未知的。复合WISHART矩阵和噪声协方差矩阵：风险低估5let(7)Q=（真实风险）（预测风险）我们的目标是使（7）中的比率Q尽可能接近1。通过(4)，wecan写出(8)Q=npi，j=1^σ(-1)ijnPi，j=1σ(-1)ij，很明显，这个比率接近于1，因为样本量T在保持合格的情况下趋于合格。利用随机矩阵的结果，我们将考虑T和n趋于偶合且T>n+3的情况。我们的目的是推导一个确定性的偏差因子，可以用来校正上述预测的风险。记谱法。对于n×n矩阵M，我们用Tr(M)表示矩阵M的迹，用Tr(M)表示矩阵M的归一化迹，即Tr(M)=ntr(M)；对于正整数k,[2k]={1,2,...,2k}。设S2k为作用于集合[2k]上的对称群。对于σ∈S2k，我们给出了一个顶点为1，2，.的无向图γ(σ)。.,2k和由{2i-1,2i}i=1,2,构成的边集。..,Ké{σ(2i-1),σ(2i)}i=1,2,.例2.1。设σ=1 2 3 4 5 6 7 82 5 4 3 1 8 7 6∈S，则关联图γ(σ)如图（1）所示。注意，我们将每个边{2i-1,2i}与{σ(2i-1）,σ(2i)}区分开来，即使这些边对重合。则图的每个顶点恰好位于两条边上，每个连通分量中的顶点数是均匀的，若图的连通分量中的顶点数为2η≥2η≥···≥2η，则我们将序列η=(η，η，..，ηL)称为σ的陪集型，详见[Mac,VII.2]。用σ(σ)的陪集型的长度来表示，或者等价地表示σ(σ)的连通分量的个数。设M2k，是集合[2k]的所有对分块的集合，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k，即M2k)。对划分π∈M2k可以唯一地表示为π={π(1)，π(2)}，{π(3)，π(4)}，。.{π(2k-1),π(2k)}6 Beno It COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saad，图1。γ(σ),1=
二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022
2022-4-16 14:31:16
关于更多的细节，我们参考[CS,CM,Mat]。设HKK是阶2kk的超八面体群。它是由转置(2s-1→2s)(1≤s≤k)和二重转换(2i-1→2j-1)(2i→2j)(1≤i<j≤k)生成的S2k的子群。设L(S2k)是S2k上复值函数的代数，具有卷积。设L(S2k,Hk)是L(S2k)中所有HK-双不变函数复合WISHART矩阵和含噪协方差矩阵的子空间：风险低估7,即L(S2k,Hk)={f∈L(S2k)f(ζσ)=f(σ)=f(σ),(σ∈S2k,ζHk）}。对于f,f∈L(S2k,Hk),我们得到(f]f)(σ)=Xτ∈M2KF(στ)f(τ-1)(σ∈S2k)。我们注意到L(S2k,Hk)是乘积]下的交换代数，恒等式elementHk(σ)=1,如果σ∈Hk0。考虑函数zκ(·)的复参数z为S2K3σ7→zκ(σ)∈C，它属于L(S2k,Hk)。对于σ∈S2k，正交Weingartenfunction WgO(σ；z）是L(S2k,Hk)中唯一的满足zκ(·)]WgO(·；z)]zκ(·)=zκ(·)和WgO(·；z)]zκ(·)]WGO(·；z)=WgO(·；在[CM]中，Collins和Matsumoto用正交Weingarten函数给出了Haar正交随机矩阵的局部矩公式，如下命题所示：命题2.1.[CM]设O=(oij)1≤i,J≤nbe是一个n×n的Haar分布多项式矩阵。..,i2k)和j=(j，..，j2k),我们有(9)E[oijoij··oi2kj2k]=xσ,τ∈m2kδσ(i)δτ(j)WgO(σ-1τ；n）.在[CMS]中，函数WgO(·；引入了z，w)∈L(S2k，Hk),并引入了两个复参数z，w(10)WgO(·；z,w)=WgO(·；z)]WGO(·；w）.函数WgO(·；在[CMS]中，Collins等人用WgO(·；8 Beno It COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saad2.5.复合Wishart矩阵及其逆。复合Wishart矩阵是Speicher[Sp]引入的，它可以看作是Wishart矩阵的推广，更准确地说，它们是独立Wishart矩阵的加权和。设X是正态分布为零均值和零单位方差的i.i.D.项的T×n矩阵，即(11)X=(xij)(i=1,）。..,T；j=1，...,n）使得xijén(0,1）。（实复合Wishart矩阵）设∑=n×n正矩阵，B=T×T实矩阵。我们说随机矩阵W是一个具有形状参数B和尺度参数∑，ifW=∑xTbx∑，其中∑是∑的对称根的实复合Wishart矩阵。如[BJJNPZ]所示，如果B是正数，则W可以解释为一个样本协方差矩阵。在续集中，我们将考虑B是正的。关于复合Wishart矩阵的更多细节可以在[H]中找到。对于复合Wishart矩阵W，如果∑=Inwe称为白色复合Wishart矩阵。（正交不变性）设M为n×n实随机矩阵。如果对于每个正交矩阵O,Omotha与M的分布相同，则称M为正交不变矩阵。我们写Omotl=M.注意白复合Wishart矩阵就是这种正交不变矩阵的例子。对于一个具有n个资产和长度为T的收益的时间序列，我们得到协方差σ的一般估计B∑:(12)B∑=tr(B)yt，其中Y=(yij)是一个T×n矩阵，它的行是按时间顺序取的中心收益的n维向量:Y，Y，....,YT。假设这些载体是I.I.D.对于分布N(0,∑),使得在时间i时第j个资产的yijis eturn,因此YéN(0,it∑),其中表示矩阵的Kronecker积，B是一个T×T已知的加权矩阵。
二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88
2022-4-16 14:31:22
如果B=IT，T×T单位矩阵，则B∑是分布为T个自由度的实Wishart矩阵的协方差矩阵的极大似然估计(MLE)。真正的Wishart矩阵是由Wishart[W]提出的，大量的文献证明了Wishart定律在统计学中是最重要的，见([A],[Mu])。复合Wishart矩阵和噪声协方差矩阵：风险低估9因为(13)YL=x∑.那么(14)B∑L=TR(B)∑xTbx∑.从（14）开始，B∑是一个具有尺度参数∑+形状参数B的复合Wishart矩阵。给出了逆复合Wishart矩阵的局部矩，如下定理所示：定理2.1。[CMS]设W是一类T×T实矩阵B的n×n复合Wishart矩阵W∈W(∑，B)。设W-1=(W(-1)ij)是W的逆矩阵，设q=T-N-1,设n≥k，q≥2K-1。对于任意序列i=(i,..,i2k)，我们得到[W(-1)II··W(-1)I2k-1 i2k]=(-1)kxσ,ρ∈M2ktrσ(b-)WgO(σ-1ρ，T，-q)Y{u,v}∈ρσ(-1)iuiv,其中b-是矩阵B.3的伪逆。主要结果为了得到一个确定性偏差因子来改进最优投资组合的预测风险，我们需要得到以下的反转复合Wishart矩阵的性质。为此，我们认为，对于具有标度参数∑-形状参数B的复合Wishart矩阵W，W-1的期望迹与其项的期望和之比等于∑-1的迹与其中心和之比。命题3.1。对于一个n×n矩阵W∈W(∑，B),E(Tr(w-1))/E(nXi,J=1W(-1)ij)=Tr(∑-1)/nXi,J=1σ(-1)ij.在证明这个命题之前，我们需要回顾以下众所周知的事实：引理3.1。若M是一个n×n正交不变矩阵，则(i)E(M)=βin，其中β是标量。(ii)MKI对每个整数k∈Z.10是正交不变的，COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saadpropery命题3.1。考虑(15)A=XTBX，显然A是正交不变的。引理3.1(ii)取k=-1，对于一些标量β,a-1也是正交不变的，(16)E(a-1)=βin。另一个重要的注释是，E(nXi，j=1W(-1)ij)=E(Tr(ETW-1E))=Tr(E(ETW-1E)).(17)由于W∈W(∑，B)那么，W-1L=∑-A-1∑-所以，E(nXi，J=1W(-1)ij)=E(Tr(ET∑-A-1∑-E))。由于Tr在循环排列下是不变的，E(nXi，J=1W(-1)ij)=E(Tr(∑-EET∑-A-1))=E(Tr(∑-EET∑-A-1))=Tr(∑-EET∑-E))=Tr(∑-EET∑-E(A-1))。下面是（-1）ij)=Tr(∑-1)Tr(∑-eet∑-E(A-1))=Tr(β∑-1)Tr(ET∑-1E)(from（16））=Tr(E(A-1)∑-1)nXi,j=1σ(-1)ij=Tr(E(A-1∑-1))nXi,j=1σ(-1)ij=E(Tr(W-1))nXi,j=1σ(-1)ij=E(Tr(W-1))nXi。注3.1。注意T×T矩阵B本质上依赖于维数T，因此，从现在起我们将B替换为BT。复合WISHART矩阵和噪声协方差矩阵：风险低估11在下面的定理中，我们研究了（7）中所包含的ratioQ的渐近行为，这将对改进最优投资组合的风险预测起到很大的作用。定理3.1。设BTB是一个T×T实矩阵，使得(18)(tr(BT))tr(B-2T)=o(T)，如（12）所示。如果T>n+3，则当n和T趋于n/T→r<1时，我们有(19)q-tr(BT)E(Tr((XtBTX)-1))p-→0。注3.2。条件T>n+3与定理2.1有关，以便计算复合Wishartmatrix的逆的二阶矩，得到差q-tr(BT)E(tr((XtBTX)-1))的方差公式。为了证明定理3.1，我们需要考虑以下关于比值Q的方差的结果。命题3.2。设BTbe为T×T实矩阵，且LetB∑B如（12）所示。
二维码

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…
相关推荐
栏目导航
热门文章
推荐文章

说点什么

分享

微信QQ空间QQ微博
扫码加好友，拉您进群
各岗位、行业、专业交流群