如果存在一个标度函数d，使得LIMS→∞C(s)/d(s)=∞且测度序列sP(D-1(s)(X，)满足（1.1）的情况下，则称其具有隐藏的正则变化。..,Xh)∈·)模糊收敛于CH+1上的一个非零Radon测度。在适当的非退化条件下，函数d必须随某个指数β≥α而规律性变化。由于条件c(s)/D(s)→∞,HRV表示极端独立性，但HRV不表示存在拟条件分布。参见[HR07，第6节]或[DR11，例4]。相反地，itis在[DR11]中推测但没有证明条件极限律的极端独立性和存在性蕴涵着HRV。现在让我们突出这两个概念之间的区别。HRV与CEV之间的基本理论存在于模糊收敛的空间。结果表明：HRV只处理向量的两个分量的联合超越，在维数大于2的情况下，隐指数测度可以集中在超平面上；例如，一个有三个I.I.D的向量就是这种情况。有规律变化的成分。ECEV假设1防止了这种简并。例如，如果X，Y，Z是i.i.d。尾指数为α的非负变随机变量，那么(X，Y，Z)有HRV，β=2α，但是，对于u，v，w>0,limx→∞P(X>xu,Y>xv,Z>xw)P(X>X)=0,limx→∞P(X>xu,Y>v,Z>w)P(X>X)=u-αP(Y>v)P(Z>w),因此，HRV对于这种超越是没有信息的，但是CEV得到了一个非退化的极限。CEV假设也比HRV更适合，因为它也可以容纳极端依赖的向量（被HRV排除）和极端独立的子向量。例如，我们已经看到如果X和Y是I.I.D。尾指数为α的非负正则变随机变量，则(X，X，Y)是极相关的；然而，对你来说，U\'，v>0,limx→∞p(X>xu,X>XU\'，Y>xv)P(X>X)=0,limx→∞P(X>xu,X>XU\'，Y>v)P(X>X)=(uüu\')-αP(Y>v)。极限是由标准的多元正则变分性质得到的，即使向量是极端相关的，总之，我们可以说HRV和CEV的实际目的是相互独立的：HRV给出了极端独立向量的对分量在“不太极端”水平上的超越概率的近似，而CEV则给出了极端组合（在时间序列上下文中零时的极端事件）对所有其他分量（未来的观测）的影响，无论它们是极端独立的还是独立的。HRV和CEV之间没有隐含关系，不能认为一种方法优于另一种方法。在更高的维度上，CEV方法似乎更容易。2.6一个反例我们现在举一个例子，条件定律不存在。考虑一个平稳的标准高斯过程{ζt，t∈N}，且c<1/2。此外，假定所有n≥1的情况下，atcov(ζ,ζn)<1。这不是一个严格的假设，因为一个条件是过程{ζt}有一个谱密度f这样rπ-πf(t)dt=1。在这种情况下，二元分布的极值独立性成立，但不存在给定的非平凡极限条件分布ecζh，即ecζ>x。参见[HR07,第2.4节]3马氏链的极值独立马氏链的极值性质近年来受到了广泛的关注；见[JS13]、[RZ13]及其中的参考资料。在这一节中，我们将把[RZ13]的一些结果推广到目前允许前文独立的情况下。由于马尔可夫链的分布完全由它的初始分布和以π表示的转移核决定，在这种情况下，用下面的一个代替Eassumption1是很自然的，这类似于[RZ13，假设2.5]。

为了简单起见，我们假定状态空间为[0,∞)。对于所有Borel集a~(0，∞)，G(a)=0，存在一个指数κ≥0的规则变化函数b和一个分布函数G在[0，∞)上，它不集中在一个点s，limx→∞π(x，b(x)a)=G(a)(3.1)上，这意味着转移核是渐近齐次的。这也意味着在x=x的条件下，x/b(x)的分布弱收敛于分布g。本节的主要结果表明假设2隐含假设1。取b(x)=x,b(x)=b(x),对于h≥1,bh=bh-1,定理3.1。设{Xt}是一个马尔可夫链，其转移核满足假设2，且初始分布右尾指数α>0。此外，G({0}）=0。假设1成立，并且xx,Xb(x),的极限条件分布。..,Xhbh(x)，..给定x>x，当x→∞是指数AR(1)过程{Yt,t≥0}的分布时，Yt=yκt-1wt，其中{Wt}是一个I.I.D.与尾指数α无关的标准帕累托随机变量y，其分布为G。在第六节中给出了证明。对于马尔可夫链，尾过程称为尾链。通过归一化，我们得到了一类新的尾链，它是一个指数AR(1)过程。在极值相依的情况下，通常的尾链是指数随机游走，这对应于对所有J而言κJ=1的情况，因为马尔可夫链{Xt}总是可以表示为Xt+1=Φ(Xt,ut+1),其中{t,t≥1}是I.I.D.序列（新息）与X无关，条件（3.1）等价于b-1(X)Φ(X,p）弱收敛于（3.1）中的分布G。这是[JS13]中所考虑的框架，其附加假设是：对于所有J，bj(x)=x。如果G({0}）>0，则定理3.1可能不再为真。然而，如果没有这个条件，从证明中可以看出，在X，.的条件下，收敛性仍然成立。..,xh-1与零分离，即limx→∞pxx≤y,π≤xb(x)≤y,。..，π≤xh-1bh-1(x)≤yh-1，Xhbh(x)≤yhx>x=P(y≤y,π≤y≤y,...,π≤yh-1≤yh-1，yh≤yh),（3.2）{Yj}是定理3.1所描述的尾过程。在极性相依的情况下（其中bj(x)=x对于所有x）,收敛在附加的正则性条件下仍然成立，见[RZ13,命题5.1]。可以把这个条件推广到极端独立的上下文中，但是就像在极端依赖的情形中一样，这个条件对于收敛性成立并不是必需的。因此，我们不朝这个方向发展。我们给出了满足条件（3.1）的马氏链的例子。3.1指数AR(1)使时间序列{Vt}由Vt=eζt，且ζt=φζt-1+t,（3.3）表示，其中0≤φ<1且{φt,t∈Z}是一个I.I.D.对于某些α>0和一个缓慢变化的函数来说，e[ut]=0和p(Eut>x)=x-απ(x)，(3.4)是这样的序列。换句话说，eé有一个指数为α的有规律变化的右尾。[MR13,第3节]研究了该模型的规律性变化，并证明了该模型的极端独立性。设ζt=p∞j=0φj3 t-jbe为AR(1)方程（3.3）的定常解。条件（3.4）表明：对于φ∈[0,1）和j≥1,E[Eαφjà]<∞,因此，应用Breiman引理，我们得到了VEP(Vt>x)=P(Eζt>x)=P(Etep∞j=1φjàt-ji=P(E>x)eheαP∞j=1φjàt-ji=P(E>x)∞yj=1eheαφjàt-ji，即Vtha是一个规则变化的右尾，且尾等价于E。指数AR(1)满足Vt+1=Vφte±T+1等式。（3.5）这对应于函数表示Φ(x，pl)=xφ.我们有π(x，A)=P(Ely∈x-φA),因此，对于G为ep的分布，我们有π(x，xφA)=G(A)，由于G（{0}）=0，定理3.1是适用的。尾链是非平稳指数AR(1)过程{Yt}，由Yt=yφt-1e表示，Yt是标准的Pareto随机变量。对于(y，..，yh)∈[1,∞)×Rh，我们得到了x→∞p(V≤xy,V≤Xφy,...）。

,vh≤xφhyhv>x)=zyp(eζ0,1≤v-φy,。..,eζ0,h≤v-φhyh)αv-α-1dV,（3.6）其中对于h≥1,ζ0,h=pH-1j=0φj·h-j。给定V>x的条件分布为limx→∞p(Vh≤xφhyv>x)=z∞p(Eζ0,h≤v-φhy)αv-α-1dV,条件标度指数为κh=φh。我们还注意到，由于κH∈(0,1）,这个分布是与E_的分布等价的尾部，即我们有y→∞,P(VH>xφhyv>x)=z∞P(Eζ0,h>v-κhy)αv-α-1dvP(Eζ0,h>y)1-κhP(Eζ>y)(1-κh)e[eακhζ],如果α>1,我们可以应用Lemma2.3，我们得到limx→∞e vhxκhv>x=αe[eζ0,h]α-κh=αe[V](α-κh)(α-κh)(α-κh)(α-κh)(α-κh)(α-κh)(α-κh)。如果）E[VκH]。VVH的Tai l。递归（3.3）得到Vvh=V1+φheph-1j=0φjéh-j，指数级数与V无关。同时，E[Eα(1+φh)-1ph-1j=0φjéh-j]<∞并通过Breiman引理直接得到VVhisα/(1+φh)的尾指数。我们还可以检查条件（2.6）是否成立。将δ<α固定为δ(1+φH)>α，求bh(x)=xφH。然后，对于某个常数C>0,e“vx{v≤^x}Vhbh(x)δ#=e”vδ(1+φh)xδ(1+φh){v≤^x}#eheδpH-1j=0φj^h-ji≤C^δ(1+φh)P(E^>^x)。这个结果是supx→∞P(E^>x)e“vx{v≤^x}Vhbh(x)δ#≤C^δ(1+φh)-α。通过选择δ,这就得到了可忽略条件（2.6）。利用与上述相同的分解，我们得到了当i=0时，该条件（2.8）成立。.，h，ixj=0φjqh-j<α。这特别意味着对于所有j=0，，qj<α。...H.爆炸案。现在考虑φ>1的情况。如果指数AR(1)模型由递推方程(3.5):vt+1=Vφte=t+1,{t,t≥1}与V无关，则极限（3.6）仍然成立，但该马尔可夫链的平稳测度不存在。另一方面，方程（3.3）的平稳（非因果和非马尔可夫）解由ζt=p∞j=1(-φ)-j^t+j给出。结果表明，时间反向链有一个不变测度，且存在有限条件分布P(v<x1/φyv>x)。3.2切换指数AR(1)设{Ut}为I.I.D.在[0,1]上具有均匀边际分布的序列，且设{Rt}为ANI.I.D。边缘分布在[0，∞)上的序列，与序列{Ut}无关。设φ>0,k:[0,∞)→[0,1]为可测函数，由xandxt+1=rt+1(xφt{k(Xt)≤ut+1}+{k(Xt)>ut+1}）构造一个马氏链{Xt}，这是随机单位根过程的乘法形式；见[GR06]。链的跃迁核π由π(x，A)=FR(x-φA)(1-k(x))+FR(A)k(x)定义，如果limx→∞k(x)=η，则条件（3.1）成立，G定义为G(A)=limx→∞π(x，xφA)=FR(A)(1-η)+ηδ(A)，其中δ是Dirac质量为0。如果η=0，那么我们可以应用定理3.1。滞后1处的条件标度指数为κ=φ。若η>0，则G({0}）>0，定理3.1不适用。然而，在简单情况k(x)§η中，很容易证明定理3.1的结论不存在，即如果x=x=x=x=Y=Y=j=1wj,...什么是I.I.D.用分布G来讨论这个马氏链的平稳分布的存在性。我们应用了Foster-Lyapunov准则。见[MT09]。取值V(x)=log(x)和c=E[log(R)]。那么我们有πV(x)=φ{1-k(x)}V(x)+c。假设R，是一个绝对连续的分布，正密度在0附近，所以链是不可约的。若φ∈(0,1）,则πv(x)≤φv(x)+c,因而存在唯一的不变分布，且链是几何遍历的。4指数线性过程指数AR(1)模型的结果可推广为一个可能具有长记忆的（非马尔可夫）指数线性过程Eζ。引理4.1。

解ζt=p∞j=0φjàt-j,其中{}t}是I.I.D.的序列。对于所有j≥1的随机变量，当e[]=0且（3.4）成立时，φ=1,p∞j=1φj<∞和0≤φj<1。在(0，∞)×[0，∞]hbyp(Eζ>x)peζx,eζb(x),···,eζhbh(x)∈·上的测度序列模糊收敛于μh(·)=e[eαζ]z∞p(Veζ,vφeζ）的测度μhde。..,vφheζ*h)∈·αv-α-1dV,其中ζj=ζj-φj+和bj(x)=xφj，j≥1。等价地，我们得到了以下极限条件分布。对于y≥1和（y,y,）。..,yh)∈(0,∞)×Rh,limx→∞p(eζ>xy,eζ≤xφy,。..,eζh≤xφhyh eζ>x)=e[eαζ]z∞p eζ>vy,eζ≤vφy,。..,VφHeζ*H≤YHαV-α-1dV。（4.1）因此，滞后h条件标度指数为φh。若coe_cientsφja是递减的，即对于所有j≥0的coe_cientsφj=φj>φj+1，则(eζ,eζj)的隐正则变分指数为α(2-φj)。否则，它是一个内部尺寸优化问题的解，可以取任何值。有关更多细节，请参见[JD13]。Lemma4.1的证明。为了避免繁琐，我们假定至少有一个指数j≥1时，φj6=0。显然，对于所有k≥0，我们有ζk=φkπ+ζk，这是正确的。请注意，harbo与ζ*k无关，k≥0。用F~+去除了E~+的分布，并求出测度σxbyσx(dv)=f_x(xdv)/f_x(x)。测度σx在（0,∞）上模糊收敛于密度为αv-α-1dV的测度；参见[Res07，定理3.6].那么，对于(y，..，yh)∈(0，∞)×[0，∞]h,P(eζ>xy,eζ≤xφy,...,eζh≤xφhyh)=P(eut+ζ*>xφy，...,eφheζ*h≤xφhy)=z∞u=0P(eζ*>(x/u)y，eζ*≤(x/u)φy，...,eζ*h≤(x/u)φy，...,eζ*h≤(x/u)φy)f^(du)=f^(x)z∞v=0P(eζ*>v-1y,eζ*≤v-φy，...,Eζ*h≤v-φhyh)σx(dv)。为了证明积分的收敛性，我们必须把它分成两部分。定义函数～khon(0,∞)×rhby～kh(v,y,...,yh)=P(eζ*>v-1y,eζ*≤v-φy,..,eζ*h≤v-φhyh)。函数～khis一致有界（1）,因此对于c>0，我们有limx→∞z∞c～kh(v,y,y,...,yh)σx(dv)=z∞c～kh(v,y,y,..,yh)αv-α-1dv。设φ=supj≥1φj。根据假设，0<φ<1。因此Eζ具有尾指数α/φφ>α。此外，由于ζ与ζ无关，利用马尔可夫不等式，对于α<q<α/φ，zc～kh(v,y,y,）。...,yh)σx(dv)≤p(Eπeζ>xy,eπ≤cx)_fπ(x)≤e[eqζ]e[eqé{eπ≤cx}](xy)q_f_(x).我们得到了supx→∞zc～kh(v,y,y,）。..,yh)σx(dv)=O(cq-α)，因此由于q>α，limc→0 lim supx→∞zc～kh(v,y,y,）。..,yh)σx(dv)=0。我们现在可以得出结论:limx→∞z∞～kh(v,y,y,）。..,yh)σx(dv)=z∞～kh(v,y,y,...,yh)αv-α-1dV。由于limx→∞p(Eζ>x)/p(Eut>x)=e[eαζ]，我们得到limx→∞p(Eζ>xy,eζ≤xφy,。..,eζh≤xφhyh eζ>x)=e[eαζ]z∞～kh(v,y,y,...,yh)αv-α-1dV,正好是（4.1）。AR(1)过程是对所有j≥0的φj=φj的线性过程的特例，所以在这种情况下（4.1）和（3.6）必须重合。为了检查这个，回顾第3.1节的注释，注意，对于指数AR(1)，我们有ζ*k=ζ0,k+φkζ,而ζ与ζ0无关，对于每个k≥1，用f*表示eζ的分布，为了清楚起见，只考虑h=1的情况，我们有:[eαζ]Z∞p(Eζ*>v-1y,eζ*≤v-φy)αv-α-1dv=e[eαζ*]Z∞v=0Z∞s=v-1yp(Eζ0,1≤(sv)-φy)f://(ds)αv-α-1dv=e[eαζ]Z∞s=0Z∞v=s-1yp(Eζ0,1≤(sv)-φy)αv-α-1dv(fs)=e[eαζ]Z∞s=0sαf:/(ds)=e[eαζ]Z∞s=0sαf:/(ds)Z∞yp(eζ0,1≤(sv)-φy)Z∞yp(eζ0,5随机波动率模型5.1具有重尾挥发的随机波动率过程现如[MR13]中假定xt=vtzt=eζtzt，其中{ζt，t∈Z}是3.1节中考虑的AR(1)过程，{Zt，t∈Z}是I.I.D.的序列。对于某些q>α,使得e[Zq]<∞,与序列{ζ,t∈Z}无关的随机变量。Breiman引理对x→∞,P(x>x)§e[(Z)α+]P(eζ>x),(5.1)P(x<-x)§e[(Z)α-]P(eζ>x)。（5.2）设Fbe是x(du)=F(xdu)/F(x)的测度，则以x和序列{Zt}为条件，对y≥1和(y,...,yh)∈Rh,P(x>xy,x≤xφy,...,xh≤xφhyh x>x)=P(zv>xy,zeζ0,1vφ≤xφy,...

,zheζ0,hvφh≤xφhyh)P(x>x)=P(x>x)z∞P(z>(x/u)y,zeζ0,1≤(x/u)φy,。..,zheζ0,h≤(x/u)φhyh)F(du)=P(v>x)P(x>x)z∞P(z>v-1y,zeζ0,1≤v-φy,。..,zheζ0,h≤v-φhyh)x(dv)。通过与（4.1）的证明相似的论证，我们得到了limx→∞p(x>xy,x≤xφy,。..,xh≤xφhyhx>x)=e[(Z)α+]Z∞p(Z>v-1y,zeζ0,1≤v-φy,。..,zheζ0,h≤v-φhyh)αv-α-1dv。因此条件标度指数为κH=φ,给定x>x islimx→∞p(Xh≤xκhyx>x)=Z∞p(Z>v-1,zheζ0,h≤v-κhy)αv-α-1dv。如果α>1,我们可以应用Lemma2.3得到xxh的limx→∞e(Xh)+xκhx>x=αe(Z)α-κh+e[(Z)+]e[x](α-κh)e[(Z)α+]e[x](α-κh)e[(Z)α+]e[x](α-κh)e[xκh]采用与第3.1节类似的计算，我们得到“xx{x≤±xx}Xhbh(x)δ#=e”vδ(1+φh)zxδ(1+φh){vz≤±x}#eheδpH-1j=0φj±h-jie[zδh]，如果FZ是Z的分布函数，则P(v>x)e“vδ(1+φh)zxδ(1+φh){vz≤x)ze”vδ(1+φh)uxδ(1+φh){v≤x/u}#FZ(du)≤δ(1+φh)zu-δ(1+φh)P(v>x/u)P(v>x)uFZ(du)≤c^δ(1+φh)-αzuα+1-δ(1+φh)FZ(du)。如果选择δ<α，α<δ(1+φh)<α+1，则条件（2.6）符合5.2随机具有重尾创新的剧烈波动过程假定xt=σtzt，其中{Zt，t∈Z}是一个I.I.D.尾指数α，σtis非负，e[σqt]<∞对某些q>α和{σt}和{Zt}是独立的。然后，利用Breiman引理，Xtis正则变化，且具有极值独立性:p(x>x)→e[σα]_fz(x),和p(x>x,xh>x)=o(_fz(x)),其中fz是z的分布函数。对于任意整数h>0，我们得到x→∞pxx>y,x≤y,。..,xh≤yhx>x=e[σαFZ(y/σ)··FZ(yh/σh)]yαe[σα]。（5.3）特别地，limx→∞p(xh≤yhx>x)=e[σαfz(yh/σh)]e[σα]。另请注意:limx→∞p(xh>yhx>x)=E'Aσα_fz(yh/σh)E[σα]=fz(yh)E[σασαh]E[σα]=fx(yh)E[σασαh]E[σαh]E[σαα]，如yh→∞。因此，极限条件分布与无条件分布是尾等价的。关于该模型的极值行为的更多细节，我们参考[DM01]和[KS13]。5.3重尾新息和杠杆的随机波动率过程xt=σtzt，假定波动率σ为正函数，σt=p∞j=1cjηt-j,p∞j=1cj<∞,{(Zt，ηt)}为I.I.D。当α>1时，应用Lemma2.3得到limx→∞e[(Xh)+x>x]=e[(Z)+]e[σhσα]e[σα]。序列，但对于每一个t，Zt、ηt可能是相依的。这意味着波动率σ与每t的新息zt无关，但σt可能依赖于{Zj,j<t}。这就允许了一些杠杆：今天的价值影响未来的波动性。我们仍然假定Zi的分布随指数α的变化而规律性变化。对于每一个t，zt，σt，都是独立的，因此，如果E[σqt]<∞对于某个q>α，Breiman引理适用，我们得到(x>x)'Ae[σα]_fz(x)。现在考虑联合超越的概率。由于σhand Zmay是相依的，所以我们有，P(x>x,xh>x)=P(zσ>x,zhσh>x)=e·e·c·fz(x/σh){zσ>x}·c·fz(x)e·σαh{zσ>x}=o(·fz(x))。（在最后一部分，使用有界收敛参数。）因此，在没有杠杆作用的情况下，仍然存在极值独立性，但联合超越概率的衰减率是由σ-hand z之间的依赖关系所定的。在附加的假设下，我们可以得到极限条件分布。假定ηj=log(Zj)-e[log(Zj)]，σ(x)=ex，0<cj<1。definitne～σj=exp{pj-1i=1ciηj-i-cje[log(Z)]+p∞i=j+1 ciηj-i}。然后，xj=～σjzcjzj，通过相同类型的变元，我们得到：对于(y,...,yh)∈[1,∞)×Rh,limx→∞p(x>xy,x≤xcy,..,xh≤xchyh x>x)=z∞p(σ>yu-1,z～σ≤yu-c,..,zh～σh≤yhu-ch)αu-α-1du,条件标度指数依赖于h:κh=ch。

若α>1，则Lemma2.3再次应用，得到Limx→∞另见[RZ13，引理8.4].定理6.1。设(E，d)是一个完备的局部紧可分met r ic空间。设μnbe是弱收敛于E上一个概率测度的非齐次(i)如果是一个一致有界的连续函数序列，它在E的紧集上一致有界收敛于一个函数，则在E上是连续有界的，limn→∞μn(μn)=μ(μ)。(ii)设F是拓扑空间。如果GNS是一个一致有界连续函数序列F×E，并在F×E的紧集上一致收敛到函数g，则g在F×E上是连续有界的，且该函数序列在F的紧集上一致收敛为g(u，v)μn(dv)。我们从证明(i)开始。设C是SUPn≥1K∞nK∞≤C和K∞K∞≤C,Fixsome=>0,且K是一个紧集，且μ(Kc)=0和μ(Kc)≤3/(2C)。letkπ={x∈E d(x，K)≤θ}且设φ是一个连续函数，使得对于allx∈E，0≤ρ(x)≤1,如果x∈K，则ρ(x)=1；如果x/∈K，则ρ(x)=0。μn(Ωn)-μ(θ)=μn(θn)-μn(θ)+μn(θ)-μ(θ)。由于弱收敛，limn→∞μn(θ)=μ(θ)，所以我们只需要考虑μn(θn)-μn(θ)。利用上面给出的函数φ,我们得到了μn(θn)-μn(θ)≤μn(θn)-μn(θn)+μn((1-ρ)θn)≤μn(θ(1-ρ)TMn)+2cμn(1-ρ)).由于在紧集上，θn一致收敛于σ，且函数1Ωφ是有界连续的，我们得到了SUPn→∞μn(θn)-μn(θ)≤2cμ(1Ω)≤2cμ(1Ω)≤2 cμ(Kc)≤.由于θ是任意的，所以证明了(i)。现在证明了(ii)。definne Ln(u)=regn(u,v)μn(dv)、Ln(u)=reg(u,v)μn(dv)和L(u)=reg(u,v)μ(dv)。由于g是有界的且连续的，所以该定理的第二部分暗示了在F的紧集上_ln一致收敛于L。我们现在证明了在F的紧集上Ln-1nn收敛于zerouniformly。修复uth>0，并设ké如上所示。由于gnand g是均匀有界的，所以存在C>0这样的LN(u)-_ln(u)≤SUPV∈KàGN(u,v)-g(u,v)+2C~2。对于F的任意紧集S,GN一致收敛于S×K~3到g,thuslim SUPn→∞SUPU∈SLN(u)-LN(u)≤2C~2。由于μ是任意的，这证明了LN-_ln在F的紧集上一致收敛于0。我们需要下面的引理，即LN_(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤ln(u)≤0。设π和G如假设2所示，定义核πx和gbyπxf(u)=z∞f(v)π(xu,b(x)dv),Gf(u)=z∞f(uκv)G(dv)=z∞f(v)G(u-κdv)。引理6.2。设f,fx,x>0，是[0,∞)上一致有界的连续函数。证明了(i)Fx在[0,∞)的紧集上一致收敛到f；(ii)或Fx在(0,∞)的紧集上一致收敛到f且G（{0}）=0。则πxFx在(0,∞)的紧集上一致收敛到GF。修正一些正实数0<a<a。由于b在指数为正的情况下有规律地变化，所以在不丧失一般性的情况下，我们可以假定b在(a，∞)上是递增的，并且是正的。然后，比值b(xu)/b(x)在[a,a]上一致有界，即0<supx≥1supa≤u≤ab(xu)b(x)<∞。（6.1）修复一些uth>0。则存在Supx→∞Supa≤u≤aπ(xu,(b(x)aπ,∞))≤l,Supa≤u≤Ag((uκaπ,∞))≤l。（6.2）此外，如果G（{0}）=0，则还存在η>0，即supx→∞supa≤u≤aπ(xu,[0,b(x)η])≤l,supa≤u≤ag([0,uκη])≤l。（6.3）现在设fx，f和引理的陈述一样。

然后，通过一致有界假设和（6.2）,存在C>0,使得对于u∈[a,a],πxfx(u)-πxf(u)≤za^fx(v)-f(v)π(xu,b(x)dv)+C.在情形(i)中，假定fx一致收敛于[0,∞)的紧集上，因此先前的有界suldslim supx→∞supa≤u≤aπxfx(u)-πxf(u)≤C.由于p是任意的，所以该有界suldslim supx→∞supa≤u≤aπxfx(u)-πxf(u)=0。（6.4）在情形(ii)中，我们必须进一步分解积分intora^=rη+ra^η，并利用界（6.3）得到(6.4)，我们现在证明了πXF在(0，∞)的紧集上一致收敛到GF。用ft(u,v)=f(vb(t)/b(t/u))定义函数fton(0,∞)×[0,∞)。利用正则变函数的一致收敛性，在(0，∞)×[0，∞)的紧集上一致收敛到f(uκv)。ft(u)=r∞ft(u,v)π(t,b(t)dv)。根据定理6.1的(ii)项，FT收敛于(0，∞)的Gf一致紧集。注意，通过变量的变化，我们可以写出πxf(u)=zf(v)π(xu,b(x)dv)=zf vb(xu)b(x)π(xu,b(xu)dv)=zfxu(u,v)π(xu,b(xu)dv)=Fxu(u),所以πxf在(0，∞)的紧集上一致收敛到G。定理3.1的证明。我们必须证明，对于所有h≥1，limx→∞pxx≤y,Xb(x)≤y,。..,Xhbh(x)≤yhx>x=P(y≤y,y≤y,...,yh≤yh)。（6.5）证明是通过对H的归纳法。我们从在h=1的情况下证明（6.5）开始。回想一下，x(x)的分布定义了测度vxby vx(du)=F(xdu)/F(x)。设f是[0,∞)上的有界连续函数。f xb(x)x>x=z∞u=1z∞v=0f(v)π(xu,b(x)dv)vx(du)=z∞u=1πxf(u)vx(du),因此我们必须证明limx→∞z∞πxf(u)vx(du)=z∞gf(u)αu-α-1du。（6.6）我们知道测度vx在(0，∞)上模糊地收敛于Pareto测度αu-α-1du。Bylemma6.2（应用于fx=f，从而不需要假定G({0}）=0),πxf在(0，∞)的紧集上一致收敛Gf。因此，应用定理6.1(i)我们得到（6.6）。现在考虑高维分布。根据b(x)=x的约定，定义了跃迁核πx,hon[0,∞)×[0,∞)hbyπx,h(u,du)=hyi=1π(Bi-1(x)ui-1,bi(x)dui)。对于[0,∞)h上有界连续的f,definneπx,hf(u)=zu∈[0,∞)hf(u)πx,h(u,du）,则e f xb(x)，...,Xhbh(x)x>x=z∞u=1πx,hf(u)'Ax(du),还证明了核Ghon(0,∞)×[0,∞)hbyGhf(u)=z∞··z∞f(u,）。..,呃）hyi=1g(u-κi-1 dui).对于任意有界连续函数f。我们必须证明的是，对于[0,∞)H上的任意有界连续函数f，πx,hf将(0，∞)的单里昂紧集收敛到Ghf。根据定理6.1(i)，这将产生所需的结果。对于h=1，这就是我们刚刚证明的。假定对于h≥1，且[0,∞)h,πx上的任意有界连续函数f,hf收敛于(0,∞)的单里昂紧集。在不丧失一般性的情况下，我们可以假定函数f是形式f(u，)。.，uh+1)=f(u)f(u，...,uh+1),其中fand分别在[0,∞)和[0,∞)h上连续有界。然后回顾了bh=bh-1tob,πx,h+1f(u)=z∞f(u)πb(x),hf(u)π(xu,b(x)du)=πx(fπx,hf)(u)。（6.7）利用归纳法假设，序列函数fπx，Hff在(0，∞)的紧集上一致收敛于连续有界函数FGHF。因此，在(0，∞)的紧集上，H+1F一致收敛于G(fGhf)=GH+1FF=GH+1F。7结束语本文将条件极值的概念放在单变量时间序列的背景下。我们引入了时间序列{Xt}的条件标度指数κHH。如果时间序列是平稳的，其维数边缘分布是正则变化的，则κH∈[0,1]，且κH<1意味着二元分布(X，Xh)的极值独立性。我们给出了马尔可夫链和其他时间序列模型的条件，这些模型通常用于金融计量经济学中。这项工作是一个正在进行的关于极端独立时间序列的项目的一部分。我们现在讨论几个可能的未来研究领域。向量值时间序列。

考虑一个d维向量值时间序列{Xt,t∈Z}，使得对于每个h≥0，(h+1)d维向量(X，..，Xh)随指数-α有规律地变化。对于一个相对紧的Borel集C∈RH+1\\{0}（可能有进一步的正则性条件），我们可能对(X，..，Xh)的极限分布感兴趣，假定X∈xC，其中xC={xy,y∈C}且X是大的。在极值依赖的情况下，向量(X，..，Xh)的指数测度提供了必要的信息。在极端独立的情况下，它是无用的，我们必须考察标度函数b,的存在性。..,BHA使得XB(x)的条件分布。.给定x∈xC时，Xhbh(x)收敛于一个适当的概率分布。集合C的选择由所考虑的问题决定。如果关注事件是kXk大，或者如果关注事件是某个线性组合（一个投资组合）大，那么它可以是Rd上某个正规k·k的单位球的补，如果关注事件是kXk大，或者如果关注事件是半空间如C={y∈Rday+···+Akyd>1}，那么它可以是Rd上某个正规k·k的单位球的补。我们也可以考虑单变量时间序列和各种条件化事件，如{y>x,...,yk>x}(k+1个连续值较大），或{max{y,...,yk}>x}（k+1中至少有一个较大值），或这些事件的任何组合。同样，在极值依赖的情况下，适当的标度由多元正则性给出，整个信息由指数测度给出。在极值无关的情况下，对极值滞后必须使用极值标度函数，极限分布不是由指数测度给出的。下一步显然是提供有效的统计程序来估计条件标度指数、标度函数、条件极限分布和其他利益的数量，如CTE。正如在极值理论中通常一样，这些均衡性不能用经验来估计，因为它们只适用于很少有观测结果的领域。因此，需要在可用数据范围之外进行外推，必须对半参数估计进行修正。例如，我们可以用[ctesph(x)=xκH mh]估计mh（定义在(2.13))和κHand，然后用[ctesph(x)=xκH mh]估计数据范围外的x的cte+h(x)。条件极限分布和标度函数的非参数估计，以及条件标度指数的半参数估计是我们未来研究的主题。感谢Holger Drees和Anja Janssen在上海举行的第八届EVA会议上对参考文献[JD13]的交流和富有成效的讨论，这些讨论旨在纠正和改进本文的初步版本。我们也感谢一位副编辑和一位匿名裁判，他们帮助整理和改进了该报。参考文献[ADEH99]菲利普·阿尔茨纳、弗雷迪·德尔班、让-马克·埃伯和大卫·希思。一致的风险度量。数学金融，9(3):203-228，1999。Patrick Billingsley。概率测度的收敛性。纽约，威利，1968年。Bojan Basrak和Johan Segers。规则变化的多元时间序列。随机过程。Appl.,119（4）：1055-1080,2009.[DM01]Richard A.Davis和Thomas Mikosch.随机波动过程的点过程收敛性及其在样本自相关中的应用。应用概率学报，38A:93-104，2001。概率、统计和地震学。[文献11]Bikramjit Das和Sidney I.Resnick。对极端组件的条件：锥体上有规律变化的模型一致性。伯努利，17(1):226-252,2011.[GR06]Christian Gourieroux和Christian Y.Robert.随机单位根模型。《计量经济理论》，22(6):1052-1090,2006。Janet E.He与Ernan和Sidney I.Resnick。具有非极值分量的随机向量的极限律。

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