然而，命题3表明，一些“纵向”和“对角线”约束足以保证机制的激励相容性。条件（3）对应于垂直约束，(4)对应于对角线约束。图3中的箭头表示激励约束需要优化的方向。为了了解为什么条件（3）和（4）对IC是必要的，请注意对firegure中指示的类型应用条件（1）和(2)，然后简化IC表达式就会产生表达式。有趣的是，这些“本地”约束足以保证全球激励相容性。在多维模型中描述最优机制是一个非常困难的问题，部分原因是绑定约束不能被固定下来（Rochet and Chone(1998))。然而，由于激励约束的性质，我们可以在这个模型中这样做。我们陈述了我们在分析中使用的两个引理。引理1如果一个机制（f,p）是IC，那么对于所有k来说p(0,k)=p(0,1）。（v,k0)(v,k)(vkk0,k)(4)(1)-(2)(3)vk图3:IC约束证明：对于任何k来说，(0,1)→(0,k)意味着-p(0,1)≥-p(0,k)，而(0,k)→(0,1)意味着-p(0,k)≥-p(0,k)，而(0,k)→(0,1)意味着-p(0,k)≥-p(0,1）。与机构设计中的其他模型一样，以下标准结果在此设置中也成立。引理2一个IC机构（f,p）是个别有理的当且仅当p(0,1)≤0。证明：确定一个IC机构（f,p）。假定(f，p)是IR。考虑类型(0，1)，IR意味着U(0，1)(f(0，1)，p(0，1))≥0，这个简化为p(0，1)≤0。为了证明另一种方法，我们将any（v,k）和U(v,k）（f（v,k）,（v,k）=v min{f（v,k）k,f（v,k）}-p（v,k）≥v min{f（0,k）k,f（0,k）}-p（0,k）≥-p（0,k）≥0。第二个不等式来自于分配函数的非负性，第三个不等式是真的，因为p(0,1)≤0意味着由于引理1，所有k的p(0,k)≤0。利用引理1,引理2和命题3,最优程序可以概括为：最优程序xf:v×k→[0,1]z“zφ(v,k)f(v,k)g(vk)dv#gk(k)dk(O)f(v,k)≤f(v,k)对所有v<v,k,k,k,(C1)Zvf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt对所有v,k>k,(C2)Zvkkf(t,k)dt≤Zvf(t,k)dt,(C3)注意，分别由命题2和命题3确定fand p。3.3.2定理1的证明，我们通过忽略约束(C3)来求解最优机制。我们证明了在这个简化问题中的最优是一个公布价格机制。引理3如果G满足条件A，那么对于满足约束(C1)，(C2)的每个机制(f，p)∈M，那么机制(f，p)∈M，如果v≤1-rf(t，k)dt1，则f(v，k)=(0如果v≤1-rf(t，k)dt1。满足约束(C1)，(C2)并产生比（f，p)更多（弱）的预期收入。证明：很容易看出约束(C1)是满足条件的。对于(C2)，请注意，对于任意(v，k)，如果v≤1-rf(t，k)dt=(0，否则，rf(t，k)dt-1+rf(t，k)dt。（1）固定任意k>k，并且由于（f，p)满足约束(C2)，我们有Zf(t，k)dt≤Zf(t，k)dt。（2）如果v≤1-rf(t,k)dt，则rvf(t,k)dt=0≤rvf(t,k)dt，即f(v,k)≥0±(v,k)；否则，如果v>1-rf(t,k)dt，则v>1-rf(t,k)dt由公式2表示。因此，Rvf(t,k)dt=V-1+RF(t,k)≤V-1+RF(t,k)=Rvf(t,k)dt。这个不等式是第二个不等式。方程由表达式1表示。现在我们证明(f，p)产生的预期收益弱于(f，p)。修复Anyk。

表示β(f，p，k):=1-rf(t，k）dt,并考虑了这些机构的期望收益的变化，zφ(v),k)g(vk)f(v)，k)-f(v，k)^dV=Zβ(f，p，k)φ(v，k）g（vk）f（v,k）-f（v,k）f（v,k）g（vk）f（v,k）dv≥φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）f（v,k）f（v,k）dv=φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）k）z（f,k）-f（v,k）dv=φ(β(f,p,k）,k）g（β（f,p,k）k）z（f,k）-f（v,k）dv该方程利用了（f,p）的识别和项的重排，不等式是由φ(v,k)g(vk)增大而得的。因为我们已经对任意k证明了这一点，所以预期的（f,p）收入比（f,p）大（弱）。引理3暗示，在不丧失一般性的情况下，我们可以集中讨论机制(f，p)∈M，即存在ρ(k)在k中增加，如果v≤ρ(k)1，则f(v，k)=(0)，否则，ρ(v，k)=(0)增加是因为(C2)在引理3中被充分利用，并且由于fin引理3的发现。我们将表明我们可以将这样的机制改进为张贴价格机制。固定任意这样的机制(f，p)，并注意条件B意味着φ-1 k(0)>φ-1 k(0)±k>k。考虑以下三个互斥的穷举情况：1。ρ(1)≤φ-1(0)。考虑下面的机制（f,p）由f(v,k)=(0，如果v≤ρ(1)1。固定任意k，注意ρ(k)≤ρ(1))。如果v≤ρ(k)或v>ρ(1)，则f(v，k)=f(v，k)，ρ(1)≤φ-1(0)≤φ-1k(0)意味着φ(ρ(1)，k)g(ρ(1)k)≤φ(φ-1k(0)，k)g(φ-1k(0)k)=0，因为φ(v，k)g(vk)在v中增大。这意味着对于所有v≤ρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(vk)≤0。因此，Rρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(v)dv≤0。注意到rρ(1)ρ(k)f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv=0，我们通过构造得出：（f,p）中的收入大于（f,p）中的收入，我们用ρ(0+)表示limk→0+ρ(k)，用φ-1+(0)表示limk→0+φ-1k(0)。ρ(1)>φ-1(0)和ρ(0+)<φ-1+(0)。ρ(k)-φ-1k(0)在k中严格递减且连续，因此函数ρ(k)-φ-1k(0)严格递增（且连续A.E.）。因此，存在一个唯一的k*,即ρ(k)>φ-1k(0)k>k*和ρ(k)<φ-1k(0)k<k*。设V~*:=ρ(k~*)。将一个已知的价格机制（f,p）定义为：f（v,k)=(0,如果v≤v*1。我们证明了在两种情况下，对于每k,f,p）产生的预期收益大于f,p。(a)确定任意k>k*。请注意V*≤ρ(k)。若v≤v*或v>ρ(k)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≤φ-1k＇(0)=v＇，φ(v,k)g(vk)随v增加，所以对于所有v>v＇，φ(v,k)g(vk)>0。因此，在此范围内，由于f(v，k)=1，所以rρ(k)v*f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0。请注意V*≥ρ(k)。如果v>v*或v≤ρ(k)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≥φ-1k＇(0)=v＇，φ(v,k)g(vk)随v增加，所以对于所有v<v＇，φ(v,k)g(vk)<0。因此，在此范围内，由于f(v，k)=0，所以rv*ρ(k)f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0。ρ(0+)≥φ-1+(0)。考虑下面的机制（f,p）由f(v,k)=(0，如果v≤ρ(0+)1。固定任意k并注意ρ(k)≥ρ(0+)。如果v≤ρ(0+)，则f(v，k)=f(v，k)。由于φ-1k(0)≤φ-1+(0)≤ρ(0+)且φ(v,k)g(vk)随v增大，所以当v>ρ(0+)时，φ(v,k)g(vk)>0。因此，在此范围内rρ(0+)f(v，k)-f(v，k)φ(v，k)g(vk)dv≥0sincef(v，k)=1。在上述三种情况中，我们都证明了对于任意k,postedprice机制下的收益较高。因此，在我们所考虑的简化问题中，一个公布价格机制是最优的。这也意味着它是最优的机制，因为我们已经表明，公布价格机制满足了所有的限制，3.3.3定理2的证明。忽略约束(C1)、(C2)和(C3)，目标函数(O)的逐点最大化（对于每个k）意味着最优分配函数fis如定理的陈述中所示，因为对于所有(v，k)且v≤φ-1k(0)且所有(v，k)且v>φ-1k(0)时φ(v，k)≤0，由于条件a意味着该机制是依赖于比率的公布价格机制。

我们已经在IC上证明了这种机制（命题1）。因此，在定理1和定理2的su-cient条件下，被忽略的约束条件是部分互补的，前者说函数φ-1k(0)是递减的，而后者说函数φ-1k(0)是递增的（且递增率是有界的），在下面的例子中，条件A是充分的，而条件B和条件B都不成立。我们说明了最优机制不属于简单机制的一类。例3。V×K[0,1]×{0.75,1}。密度g由：g（v,k)=0（如果v<,k=0.75)或v<,k=1)100a（如果v≥),k=0.75a（如果v∈[,）,k=110a）给出。这里a是归一化常数。很容易证明g(v，k)满足条件a。我们现在将最优确定性机制归入非浪费机制类。设(f，p)是确定性机制。对于K=0.75和1的类型，它分别用两个价格ρ、ρ进行修正。因此，如果(v<ρ，k=0.75),（f（v,k）,p（v,k))=(0,0,0）；如果v≥ρ，k=1，(v<ρ，k=1)(k,1,ρ),如果v≥ρ，k=0.75(k,1,ρ)。对于任何v≥ρ，(v,0.75)→(v,1）类型的激励约束意味着V-ρ≥V-ρ.类型为(v，1)→(v，0.75)的激励约束意味着对于任何v≥ρ，v-ρ≥0.75v-ρ.这些约束条件合在一起意味着0.75ρ≤ρ≤ρ.很容易看出约束0.75ρ≤ρ.revenueexpression（因为ρ≥0.5和ρ≥)由-(100+)aρ+(100++1)aρ，这在ρ=0.512处最大，得到的收入为(26.74)a。现在，考虑一个非确定性机制（f,p）是激励相容的，其产生的收益为(26.76)a,严格高于最优确定性机制。在定理1的证明中，我们利用了条件a（引理3）的凹性性质，条件a（v<,k=0.75),条件p（v,k))=(0,0,0）,条件(v<,k=0.75)或条件(v<,k=1)(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥，k=0.75(k,1,）,条件v≥(v≥，k=1(3k,）。这种证明方法不能削弱这种条件。这并不是说条件A对结果是必需的，下一节将说明独立类型的这一事实。我们的结果或条件都不依赖于类型空间K是连续的。然而，对于定理2中的结果，我们可以用一个更规范的正则性条件来代替条件A，即φ(v，k)在v中严格地增加。这是真的，因为我们只需要以k为条件的最优价格增加（并且有界）。关于规则性条件与条件a的详细比较，请参见Devanur等人。(2020)6.1.3.3.5节独立型下面的命题描述了值和比随机变量独立时的最优机制。此结果不需要TypeDistribution上的任何其他条件。命题4如果g(v，k)=gv(v)gk(k),那么下面的价格机制是最优的，f(v，k)，p(v，k)=(k，1，p*)v≥p*(0，0，0)另一个，其中p*是任何使p1-gv(p)最大化的p。证明：我们通过忽略约束(C2)和(C3)来解决约化问题；这可以写成：使用g(vk)=gv(v)我们重写(O)为，maxf:v×k→[0,1]z“zàv-1-gV(v)gv(v)gv(v)f(v，k)dv#gk(k)dk。(O)f(v，k)≤f(v，k)对所有v<v，k。(C1)我们对每个k逐点最大化目标函数，同时满足该k的约束。为了达到这个目的，我们需要一些k，并观察到最大化大括号内的项以及单调城市约束与一般分布的标准Myerson问题是相同的。因此，如Myerson(1981)所描述的，f的解是一个阶梯函数，如下所示，f(v，k)=1v≥p*0如果p*是任何使p1-gv(p)最大化的p，因为我们选择了一个任意的k，并且这个分配函数与k无关，那么逐点最大化必然产生一个公布的价格机制。

我们需要验证约束(C2)和(C3)是否也已被充分利用。但是，由于我们在命题1中已经表明，一个公布价格机制是IC机制；这个事实和命题3一起意味着约束(C2)和(C3)被充分利用。4结论明显，模型在多维情况下是难以处理的，即使在二维情况下也是如此。即使有些模型是可处理的，也很难得到最优机制的简化解。在本文中，我们考虑了一个在维度上有“分离”的自然二维私有信息模型。当一个维度捕获捆绑包的价值时，另一个维度表示消费比率。这个特性帮助我们解决这个问题，并提供一个简单直观的简化形式的解决方案。公布的价格机制可以用一个参数来描述，并包含一个结果菜单。虽然依赖于比例的张贴价格机制涉及到菜单的潜在尺寸，但它是一个简单的特征，即按期望的比例充分分配主要商品和次要商品。可以扩展这项工作的主要方向有三个。首先，在更广泛的分布类别中探索结果，并确定比依赖的公布价格机制之外的非浪费机制。其次，分析了一个多优完美互补模型。第三，考虑一个多个代理人竞争互补产品的场景。ReferencesArmstrong，M.(1996):《多产品非线性定价》，Econometrica,64,51-75。Bikhchandani,S.和D.Mishra(2022):《销售两个相同的对象》，经济理论杂志，200，105397。Carroll，G.(2017):《多维筛选中的稳健性和分离》，Econometrica,85,453-488。Che，Y.K.和I.盖尔（2000）：“向预算受限的买家出售的最优机制”，《经济理论杂志》，92，198-233.德瓦努尔，N.R.N.哈格帕拿，和A.Psomas(2020):“具有私人需求的最优多单位机制”，博弈和经济行为，121，482-505.菲亚特，A、K.戈德纳，A.R.卡林，和E.Koutsoupias(2016):《FedExProblem》，2016年ACM经济和计算会议录-EC16。哈特，S.和P.J.Reny(2015):“多种商品的最大收益：非单调性和其他观察，“理论经济学，10，893-922.马内利，A.M.和D.R.Vincent(2006):“捆绑销售作为一种多品垄断者的最优销售机制”，《经济理论杂志》，127,1-35.----（2007）：“多维机制设计：收入最大化和多优垄断”，《经济理论杂志》，137，153-185。McAfee,R.和J.Mcmillan(1988):《多维激励相容和机制设计》，《经济理论杂志》，46，335-354。Myerson,R.B.(1981):《最优拍卖设计》,《运筹学数学》，6，58-73。Pavlov,G.(2011):《线性垄断问题解的一个性质》,《理论经济学杂志》，11,1-18。Riley,J.和R.Zeckhauser（1983）：“最优销售策略：何时讨价还价，何时持有》，经济学季刊，98，26 7-289.罗切特，J.-C.和p.Chone(1998):《熨烫、清扫和多维筛选》，《经济计量学》，66，783-826；Telser，L.G.(1979):《互补商品垄断的理论》，《商业杂志》，5211-230；Thanassoulis,J.(2004):《替代产品的讨价还价》，《经济理论杂志》，117，217-245。附录：省略的证明1命题的证明1.证明：考虑一个由函数φ定义的比率依赖的公布价格机制(f，p)。我们证明(f，p)是IR。对于任何类型（v,k）,U(v.k)(f(v，k),p(v，k))=(0,如果v≤ψ(k)V-ψ(k),显然，U(v.k)(f(v，k),p(v，k))≥0,因此（f,p）是IR。我们现在证明了（f,p）是ISIC的。在不丧失一般性的情况下，考虑任何两个代表性类型（v,k）,（v,k）,这样的k≥k。注意KKψ(k)≤ψ(k)≤ψ(k).（v,k)→(v，k)。

注意f（v,k）,p（v,k）要么是（0,0,0）,要么是（k,1,ψ(k))，我们只需要检查对后一种结果的偏差，因为IR意味着（v,k）不偏离类型结果（0,0,0）。我们在两种情况下检验对结果(k，1，ρ(k))的偏差。情况1:v≤ρ(k)。(v，k）没有动力偏离（v,k）因为eu(v，k)(0,0,0)=0≥v-ψ(k)≥v-ψ(k)=v min{kk,1}-ψ(k)=U(v，k)(k,1,ψ(k))=v-ψ(k)≥v-ψ(k)=v min{kk,1}-ψ(k)=U(v,k)(k,1,ψ(k)),第二种不等式和第二种不等式都是由ψ(k)≤ψ(k)这一事实而来的。这意味着(v，k)没有偏离(v，k)的动机。(v，k)→(v，k)。同样，我们只需要检查（v,k）是否偏离结果(k，1，ψ(k))，情况1:v≤ψ(k)，U(v,k)(0,0,0)=0≥ψ(k)kk-ψ(k)≥vkk-ψ(k)=v(k)≥kkψ(k)=U(v,k)(k,1,1)=U(v,k)(k,1,φ(k))=v-ψ(k)≥vkk-ψ(k)=vmin{kk,1}-ψ(k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,k)=U(v,这个不等式来自于下面的论点。ρ(k)≥kkρ(k)意味着ρ(k)(1-kk)≥ρ(k)-ρ(k)。由于v>ρ(k)，我们有v(1-kk)≥ρ(k)-ρ(k)。重新排列术语我们得到不等式。A.2命题的证明2.证明：确定一个IC和IR机制（f,p）,并将（f,p）定义为：（f（v,k）,p（v,k）k,p（v,k）=(f(v,k）,f(v,k）,f(v,k）,p(v,k)→IFF(v,k）>f(v,k）。新机制产生与原机制相同的收益，并满足非浪费分配条件。表明它满足IC和IR条件将证明这一命题。修复任何类型(v，k）并表明这种类型不会偏离其他类型(u，j）,我们在两种情况下这样做。情况1f(u,j)j≤f(u,j).U(v，k)(f(v，k）,p(v)，(k))=U(v，k)(f(v),k）,p(v)，(k))≥U(v,k）（f（U,j）,p（u,j))=v min{f（u,j)k，f(u，j）}-p(u，j)≥Vmin{f（u,j)k，f(u，j)j}-p(u，j)=U(v,k）（f（U,j)，f(u，j)j，p（u,j))=U(v,k）（f（U,j）,p（u,例2 f(u,j)j>f(u,j).U(v，k)(f(v，k）,p(v)，(k))=U(v，k)(f(v),k）,p(v)，(k))≥U(v,k）（f（U,j）,p（u,j))=v min{f（u,j)k,f（u,j)}-p（u,j)≥v min{jf（u,j)k,f（u,j),p（u,j))=u(v,k)(jf（u,j),f（u,j))=u(v,k)(f（u,j),p（u,j))。在这两种情况下，第一个不等式是由（f,p）的激励相容性决定的，第二个不等式是由（f,p）的条件决定的，第二个方程和最后一个方程是由（f,p）的构造决定的，其余的是由决定的。利用方程式和(f，p)是虹膜的事实，即(f，p)是IR。a.3命题的证明3.证明：设一个机制(f，p)∈M为IC，则表示（1）和（2）为某K。对于任意v>v，考虑以下IC约束，(v，k)→(v，k)vf(v，k)-p(v，k)≥vf(v，k)-p(v，k)(v，k)→(v，k)vf(v，k)-p(v，k)≥vf(v，k)-p(v，k)。在抑制上述不等式中的k之后，注意到这些是两种类型v，v之间的标准一维约束。因此，以类似于一维问题的方式，我们将不等式相加得到（1）。对于任意k应用Myerson(1981)的等价公式，我们得到p(v，k)=p(0，k)+vf(v，k)-zvf(t，k)dt对于所有引理1应用于这个表达式，我们得到（2）。为了表示（3）和（4）考虑任意v，k>k。IC约束(v，k)→(v，k）意味着，U(v，k)(f(v),k）,p(v)，(k))≥U(v，k)(f(v),k）,p(v)，(k))=yenvf（v,k)-p(v，k）≥v min{f（v,k)k，f(v)，k）}-p(v，k)=v min{kf(v,k)k，f(v)，k）}-p(v，k)=vf(v，k)-p(v，k)=yenZVF（t,k)dt≥zvf(t,k）dtIC约束(v，k)→(vkk，k)意味着，U(v，k)(f(v，k),p(v，k))≥U(v，k)(f(vkk，k),p(vkk，k))=yenvf(v，k)-p(v，k)≥v min{f(vkk，k)k,f(vkk，k)}⑵zvf(t,k)dt≥zvkkf(t,k)dt，这两个约束条件中的相等性使用了如下事实：（f,p)∈M。

第二个蕴涵使用了这个命题的必要条件（2）。(v，k0)(v，k)(vkk0，k)(4)(1)-(2)(3)vk图4:IC约束对于唯一的当部分来说，取任意k，注意当k=k时(v，k)→(v，k)类型的IC约束是由条件（1）和（2）所满足的，因为这与标准的一维一主体模型等价。因此，它足以表明任何类型(v，在以下两种情况下，k)不偏离a(v，k)。情况1:k>k.U(v，k)(f(v，k),p(v，k))=vf(v，k)-p(v，k)=zvf(t，k)dt-p(0，1)=vf(v，k)-p(v，k)≥vf(v，k)-p(v，k)=v min{kkf(v，k)，f(v，k)，p(v，k)=U(v，k)(f(v，k)，p(v，k))第二和第三个方程使用条件（2）。第二个不等式来自ICconstraint(v，k)→(v，k）这反过来又来自条件（1）和(2)，正如前面所说的那样。第一个不等式来自条件（3）。情况2：k<k.u(v,k）（f（v,k）,p(v)，k))=vf(v，k)-p(v，k)=zvf(t,k)dt-p(0,1)≥zvkkf(t,k)dt-p(0,1)=vkkf(vkk,k)-p(vkk,k)≥vkkf(v,k)-p(v,k)=vmin{kkf(v,k),f(v,k)}-p(v,k)=U(v,k)(f(v,k),p(v,k))第二个和第三个方程使用条件(2)，第二个不等式来自IC约束(vkk,k)→(v,k)，后者又来自前面所讨论的条件（1）和（2）。第三个不等式来自条件（4）。