因此，负sifrom(1)暗示了转换和健康都不是破产的可行选择。作为一个结果，我们证明了对于每一个股票价格向量s∈Rn，存在一个唯一的资产价值向量和一个破产银行、转换银行和健康银行的划分。引理1对于每一个s∈Rn，存在一个[n]的唯一划分(B，C，H)和一个资产价格向量a，使得(a，s)是一个(B，C，H)-均衡。具体而言，划分（B,C,H）由B={isi<0},C={i0≤si≤li},H={isi>li}给出，资产价格向量由该划分（B,C,H）的线性系统（1-2）的唯一解a给出。引理的思想简单地说，siin与0和LIN的关系的位置决定了银行i是否应该破产、转换或保持健康。然而，一旦所有银行都获得了这些信息，我们就知道了划分，从s计算a就简化为求解线性系统（1-2）。引理表明存在一个映射Φ:Rn→Rn，它将股票价格向量映射到唯一的资产价值向量，从而使它们在均衡中合理化。因此，从股票价格到资产价值的映射Φ易于理解和计算。不幸的是，在实践中，重要的是这种映射的反面--从资产价值到股票价格。给定一个已实现的资产价值向量，是否存在唯一的股票价格向量s使得Φ(s)=a？如果不是这样，那么均衡股价可能存在多个候选值，或者可能存在非均衡状态。这个问题背后的基本原理如下：我们考虑一个周期市场模型。在这一步骤中，所有银行的资产价值（或资产减去负债价值）实现到一定的a∈RN。在下一步，市场希望为银行达成均衡的股票价格。如果一个唯一的均衡存在，这就是市场将会发现的。如果存在多重均衡，市场是混乱的。如果不存在均衡，市场是不可预测的。只考察(1-2)，看起来a和s之间的关系似乎是线性的。然而事实上，由于分区(B，C，H)，它是分段线性的。平衡分区可以很容易地从s中读取，但不能从A中读取。这使得从MA到s的映射比从s到A的映射更需要分析。对这种不对称的直觉是直截了当的。银行i是否健康，转换或破产只取决于股票价格SI。然而，由于相互联系，股票价格几乎依赖于许多银行的资产价值。重写到目前为止的问题，我们看到均衡的存在性和唯一性问题可以归结为映射Φ的结构性质。如果映射Φ是从Rn到Rn的满射，即对于每一个资产值a∈Rn，存在一个股票价格向量s∈Rn，使得a=Φ(s),均衡的存在性成立。超额利润本身并不意味着均衡的唯一性，即在超额利润条件下，a可能是一个以上股票价格向量唯一的合理化资产价值向量。如果映射Φ是从Rn到Rn的双射，即对于每一个a都存在唯一的s，使得a=Φ(s),我们就有存在唯一性。为了更好地理解映射Φ，我们需要引入一些加法。给定一个向量v=(v,...,vn)和一个集合F[n]，我们用vF∈Rnthevector表示，它由(vF)i=vifor所有i∈F，vi=0所有i/∈F。对于任意向量v∈Rn，我们用Diag(v)表示Rn×n中具有对角项v的对角矩阵。我们用e=(1，..，1)∈Rn表示所有1向量，用ei=e{i}表示除位置i中的a1以外的所有为零的向量。对于给定的划分(B，C，H)，条件（1）和（2）可以概括为asa=s+Diag(mB)s+(I-W)Diag(mC)s+(I-W)CH。

（3）因此，对于给定的划分（B,C,H）,a是s的一个αne函数，我们有a=LB,Cs+BH，其中LB,C=I+Diag(mB)+(I-W)Diag(mC)和BH=(I-W)CH。由于Atpi∈[n]wij≤1,mj>0,矩阵LB严格对角占优，因而是满秩可逆的。这表明，对于给定的分割anda和给定的s,向量a是唯一确定的。3均衡分析3.1回顾到目前为止的一个主要观察是，股票价格的任何向量都决定了破产银行、转型银行和健康银行的唯一相关分割。对于给定的划分（B,C,H）,用SB,C,H表示导致这个划分的股票价格向量的集合，即SB,C,H={ssi<0 For i∈B,0≤si≤lifor i∈C,si>lifor i∈H},显然SB,C,H构成了一个Rn到3n个不相交集的划分。我们用AB,C,H表示SB,C,HunderΦ.的象，即AB,C,H=Φ(SB,C,H)={LB,Cs+bHs∈SB,C,H}（4）,因为在前面的讨论中，Φ=LB,Cs+bHfor s∈SB,C,H.无论映射Φ是满射还是双射，我们都需要了解集AB,C的并在什么条件下盘旋于整个空间RN的所有可能的分块，而在什么条件下这个覆盖是不相交的。作为一个起点，注意集合SB，C，Hare多面体和集合AB，C，Hare a的ne变换-因此也是多面体。其原因是Φ对SB,C,Hisan A\\ne函数的限制如（4）所示，对于n=2的情形，图1给出了股价和资产值各自空间中的集合SB,C,H（左面板）和关联集合AB,C,H=Φ(AB,C,H）（右面板）。突出显示的是中间两家银行转换的集合(CC)，左上角银行1破产和银行2健康的集合(BH)。这两个集合分别对应于（B,C,H）=(θ,{1,2},)和图1：映射Φ.参数分别为m=m=1,C=4,w=w=0.75和l=l=8。股票价格空间显示在左边，资产价值空间显示在右边。（B,C,H）=（{1},μ,{2}）。我们看到两个突出显示的集合AB、C、Hare重叠，这表明对于这个参数星座，映射Φ是（满射但）不是双射。因此，资产价值的组合可能产生不止一个均衡分割，从而产生不止一个均衡股票价格向量。本文的一个主要贡献是根据银行选择的转换阈值，给出了该模型均衡存在唯一性的精确条件。例如，图1中描述的情况是存在性和非唯一性的情况之一。在本节的其余部分，我们将为two bank案例说明这些条件，并介绍必要的术语。作为步骤，比较两个候选股票价格在转换和不转换的情况下（1-2）,sci=ai-misci+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj,shi=ai-ci+xj∈Cwijmjsj+xj∈Hwijcj。这是给第一银行的债权人的。我们认为，如果债权人在边际情况下处于转换和不转换之间，银行i设定的阈值是公平的，即对于转换，阈值为Si=Li。因此，组i的公平阈值由ci=mili给出，即li=ci/mi。我们说，如果LI>CI/MI，即如果在阈值上的转换对应于银行原始股票持有者向债权人的财富转移，则i银行设定的阈值是超级公平的。在上面的数值例子中，公平阈值由li=ci/mi=8给出，因此图1中描述的平衡存在性和非唯一性对应于超公平情况的一个例子。

更一般的图解是givenin图2，它显示了发行债务的直接选择在资产价值空间中的划分。图2：平衡点的不存在性、唯一性和多重性，参数分别为m=m=1,w=w=0.75和l=l=8。信贷量在资产价值空间的(a)中为(c，c)=(8,8)，在(b)中为(c，c)=(12,12)，在(c)中为(c，c)=(4,4)，因此均衡的存在性和唯一性。中间面板对应于两家银行的次公平阈值，显示了一个不重叠的带间隙的分区。因此，每当平衡存在时，它都是唯一的。然而，存在着资产价值的组合，这些组合不存在于集合AB、C、H中的任何一个。对于这些资产价值，不存在均衡股价。右边的面板，对应于两家银行的超公平阈值，显示了一个重叠的分区。在这种情况下，每一个资产价值星座都导致至少一个均衡股价向量，但在某些情况下，我们看到对应于多个均衡的重叠。例如，（仅）集合HC和CH重叠的wesee区域。在这里，一家银行必须转换非均衡来拯救另一家银行--但不确定是哪一家银行。我们在本节结束时预览了我们对n银行案例的主要结果，并将其划分为公平、超级公平和次公平市场。o如果所有银行都设置公平阈值，任何资产价值向量都存在唯一的均衡。我们称之为公平情形。o如果所有银行都设定公平或超公平的阈值，那么任何资产价值向量都存在一个均衡的股票价格。我们称之为超公平情形。o如果某银行设定了一个次公平阈值，那么当均衡股价存在时，存在一个资产价值向量。我们称之为次公平情形。注意，次公平情形被定义得更宽泛一些：假设一些银行设置公平阈值，一些银行设置超公平阈值，而另一些银行设置（严格的）次公平阈值。那么我们说我们处于次公平情形，因为我们不存在均衡，这比超公平阈值所暗示的非唯一性更严重。命题1假设我们处于次公平情形，即存在一个具有LI<CI/MI的银行i。那么存在一个向量a∈Rn，使得对于所有s∈RnΦ(s)6=a。证明背后的直觉是直截了当的。当除i以外的所有银行的资产价值都远远高于转换阈值时，可以孤立地研究i银行的可能转换，因为所有其他银行只能是健康的非均衡。不存在性之后是与Sundaresan和Wang(2015)、Glasserman和Nouri(2016)的单一银行模型相同的论点。图3显示了发行债务的非对称选择在资产价值空间中的划分。在左边的两个面板中，银行1处于公平情况，而银行2分别处于超级公平和次公平情况。在右边的面板中，银行1是超级公平，而银行2是次公平。我们看到，本质上，一家银行的选择不能解决因另一家银行的回声而可能出现的问题。即使只有一家银行有一个不公平的门槛，也会有直接的溢出效应。例如，在左面板中，我们观察到CC和BH集合之间的重叠，对应于具有两个可能均衡的情况：要么两个银行都转换，要么银行1破产，而银行2健康。因此，在一个均衡中，第二个银行转换为拯救第二个银行。在另一个平衡中，情况并非如此。(a)公平/超级公平(b)公平/次公平(c)超级公平/次公平图3：平衡不存在和多重的不对称例子。参数是m=m=1，w=w=0.75和l=l=8。

3.2公平情形下均衡的存在唯一性下一步，我们证明了在公平情形下，即当阈值为li=ci/mifor all i时，股票价格到资产价值的映射φ是满的。这意味着，对于每一个资产价值向量a，我们可以找到一个股票价格向量，即a是唯一的资产价值向量，它使s合理化。我们的存在性证明依赖于下一个给出的中间值定理的多元版本。结果是Poincar e-Miranda定理的推论，而Poincar e-Miranda定理本身是Brouwer闭点定理的等价公式。命题2设f:Rn→Rn,f(x)=(f(x，)。..,xn）,...,fn（x,...,xn))是一个具有以下性质的连续函数：(i)对于所有i∈[n],fi(x)在xi中弱增，在xj中弱减，j6=i。(ii)对于所有i∈[n],我们有limt→∞fi(te)=∞和limt→∞fi(-te)=-∞。那么f是满射的，即对于每个y∈rn，存在x∈rn，使得f(x)=y。这个命题是一个观察的多元版本，即当x到达±∞时，一个连续的单变量函数f(x)到达±∞必须经过每个点。为了保证一个连续的多元函数通过每一个向量，我们需要假设一些更多的结构。在(i)中，我们假定所有分量都是单调的。在(ii)中，我们假设，本质上，当x的所有组成部分都达到±∞时，那么f的所有组成部分都达到±∞。在我们的可转换债务设置中，这个条件成立，因为如果银行i自己的资产是正的还是负的，其他银行的资产价值就与银行i的地位无关。原因很简单，借入的金额是cjarefinite的，转换只发生在中间的股票价格价值。我们在我们的设置中应用命题2，验证了在公平的情况下，函数Φsatis包含了它的所有要求。这里的大部分工作来自于验证φ是连续的。一旦证明了这一点，单调性(i)和(ii)就很容易得到了，因为Φ是一个局部线性函数。命题3在fair情况下，li=ci/mifor所有i∈[n]，映射Φ是满射连续的。因此，对于每一个资产价值向量a∈Rn，存在[n]的一个分块(B，C，H)和一个股票价格向量s，使得(a，s)是一个(B，C，H)-平衡点。这个命题的形式假定fii在xi中增加，在xj中减少，j6=i是我们这里所需要的。当条件(ii)适当地适用时，条件(i)可以很容易地放宽到所有分量中的分量都是增加或减少的函数。为了总结我们对公平情形的分析，我们证明了映射Φ不仅是满射的，而且是内射的。这里的主要问题是φ的分量在一个坐标系中增加，而在其他坐标系中减少。因此，人们可能会担心，在两个方向上的运动可能会相互抵消。我们依靠矩阵LB,Cto的严格对角占优性证明这不可能。命题4在Li=ci/mifor所有i∈[n]的公平情形下，映射φ是内射的，因而也是双射的。因此，对于每一个资产价值向量a存在一个[n]的唯一划分（B,C,H）和一个股票价格向量s，使得（a,s）是一个(B,C,H）-均衡。这个二元性结果证明了均衡的存在性和唯一性：对于任何一个资产价值向量a都存在一个均衡股票价格的唯一匹配向量。3.3超公平情形下均衡的存在性在本节中，我们证明了当所有银行都有设定的公平或超公平阈值时，总是存在一个均衡，li≥ci/mifor所有i∈[n]。

在这一节中，我们提出了一个进一步的技术条件，假设矩阵I-W是可逆的。假设1矩阵I-W是可逆的。直观地说，假设1意味着至少有一小部分可可豆已经在银行系统以外的地方出售。证明中的主要问题是，从股票价格到资产价值的映射不再像公平情况下那样连续。因此，基于Brouwer的闭点定理的变化来证明超公平的可能性几乎没有希望。相反，我们的基本策略是将超公平情况视为公平情况的扭曲。我们认为，与连续性和注入性不同，从股票价格到资产价值的映射在这种扭曲下保持了超公平。这意味着，对于每一个资产价值向量，至少有一个相关的股票价格向量。我们猜想，这个假设可以以更多的技术证明为代价来消除。在公平的情况下，映射Φ(s)=LB，Cs+Bh，其中LB，C=I+Diag(mB)+(I-W)Diag(mC)和BH=(I-W)CH，对于s∈SB,C,H。公平性是指对于所有j∈[n]，LJ=CJ/MJ。在公平的情况下，φ是双射。因此，我们可以在公平情形下定义a中健康的银行集合a={i:Φ-1(a)i>`i}。现在我们引入超公平情形Φ，它具有相同的m，W和l值，但信用额较小，对于所有j∈[n]，CJ=CJ-DJ，dj≥0。在本节中，我们保留向量d∈Rn+。由于任何超公平情形都可以写成一个信用额减少的扭曲公平情形，因此证明Φ是满的。对于s∈SB,C,H,我们知道Φ(s)=LB,Cs+(I-W)CH，这意味着对于所有s,Φ(s)=Φ(s)-(I-W)dH(Φ(s))与Φ(s)=Φ(s)-(I-W)dH(Φ(s))有关。因此，φ与φ之间的距离仅依赖于健康banksH(a)的集合。此外，通过(i-w)dH(a)=xj∈H(a)(i-w)d{j}=xj∈H(a)dj(i-w)ej的关系，我们可以看出，有选择性地，每个组j都有一个移位向量(i-w)d{j}，该向量在a中健康时对从公平到超公平的失真做出贡献。因此，在该银行的情况下，只有银行1健康的资产值被移动(i-w)d{1}，而两个银行都健康的资产值被移动(i-w)d{1}和(i-w)d{2}。理解这些变化的组合能把我们引向何方是至关重要的。图4说明了我们对两点A的超然性证明的中心思想。为了方便起见，我们只绘制正象限。两个右面板显示了超级公平案例的实例，而左面板显示了相应的具有调整信贷金额的公平案例。在上面的面板中，我们有一种情况，在超级公平的情况下，a中可能的均衡要么是两个银行都转换，要么是银行1转换，而银行图4：证明策略。在所有四个面板中，我们有m=m=1，l=l=8和w=w=0.3。在左面板中，我们有FAIR信用额，C=C=8，而在右面板中，我们有C=C=2。移位向量由(i-w)d{1}=(i-w)(c-c){1}=(6，-1.8)和(i-w)d{2}=(-1.8，6)给出。2是健康的。在下层图中，两个平衡点要么都是健康的，要么bank1是健康的，而Bank2转换。我们可以通过研究右面板的重叠很容易地看到这一点。关键的观察是，我们也可以通过研究左边面板中箭头所跨越的四边形来看到这一点。在这里，我们画出了四个点，通过将移位向量应用于a可以达到。hh是当我们应用两个向量时达到的点，hx是当我们应用第一个移位向量时达到的点，很快。这里的“X”代表“B”或“C”，破产或转换，因此没有转移。我们的主张是，我们可以通过研究梯形的哪个角位于分区的匹配集合中来发现超级公平情况的均衡。在上面的面板中，xx点位于CC，xh点位于CH。我们把这些算作火柴，因为这些银行是健康的。

点hx和hh位于CC和CH中，所以它们不是匹配的。实际上，CC和CH对应于超公平情形下A的两个平衡点。类似地，在下面的面板中，我们计算点hx和hh的匹配，这与HC和hh中的平衡相对应。因此，在这个双银行的例子中，证明SUJJECTION归结为显示我们在图片中放置梯形的Nomater，其中一个角将永远在该集合中。该声明的一般版本被形式化为一个固定点问题引理2，这是本节的主要技术结果。对于每一点a，存在一个具有以下性质的银行集。在pointa+(i-w)dxx中健康的组是X本身。这里，点a+(i-w)dX，是我们将与X有关的移位向量应用到起点a时所达到的点。引理2在假设1下，对于所有a∈rn，存在X=n，使得H(a+(i-w)dX)=X。一旦我们建立了引理2，就很容易证明φ的全面性。这是下列定理的结论。直观地，它的简短证明建立了我们关于图4中左右面板之间联系的主张。定理1在假设1下，与超公平情形相关的映射φ是满射的。因此，对于所有的资产价值向量a∈Rn，存在一个与Φ(s)=a相关的均衡股票价格向量s。定理1的证明：设a∈Rnbe给定。从引理2中有X[n](a+(i-w)dX)=X。从对φ的认识中，我们得到Φ(Φ-1(a+(i-w)dX))=a+(i-w)dx-(i-w)dH(a+(i-w)dX)=a。作为引理2证明的第一步，我们证明了关于平移与健康库集相互作用的两个定性结果。firefrst引理考虑在集合X中移动银行后是健康的银行。其主张是所有这些银行都位于移动银行X和原来健康的银行H(a)的并集中。在第二个引理中，我们考虑在a中移动一些健康的银行。引理3设a∈Rnbe。对于任意X[n],H(a+(I-W)dX)H(a)TMX.引理4设a∈Rnbe。那么，在假设1下，对于任意X[n]，6=xh(a)蕴涵XüH(a+(i-w)dX)6=.从本质上说，我们对引理2的证明现在是基于构造[n]子集的适当序列，并表明它是否围绕一个规定点收缩。为此，在本节的其余部分，我们定义了一些A∈Rn，并定义了映射h(X)=h(A+(i-w)dX),X=[n]。因此，h将[n]的子集映射到[n]的子集。我们要说明的是存在一个被定义的点，即一个使得h(X)=X的X。我们将通过迭代映射h来构造这样一个被定义的点。按照惯例，对于所有m≥0，我们定义h(X)=X和hm+1(X)=h(hm(X))。在推论1中，我们收集了关于H单调性行为的一些事实。我们看到h远不是单调的，而是在多次应用时表现出某种类型的循环行为。假设1下的推论1，设X[n].(i)若X Y h(X)则h(Y)h(X).(ii)若h(X)Y X则h(X)h(Y).(iii)若X h(X)h(X)则h(X)h(X)h(X).(iv)若h(X)h(X)X则h(X)h(X)h(X).引理2的证明策略是基于X=h(a)和Xm+1=h(Xm)对m≥0所给出的集合序列。从推论中，我们可以推导出X是X的一个子集，X位于Xand X之间，X位于Xand X之间，以此类推。推论1中的一些主张是严格包含的事实，则意味着这个集合序列不能永远循环下去，而必须经过许多步骤后变得恒定，h(Xm)=Xm+1=Xm。这是所需的修改点。图5说明了这种构造。我们从两个银行都健康的点a开始，X=H(a)={1,2}。因此，下一步是考虑A+(I-W)dX点中的健康银行，转移两个银行。

从点“1”可以看出，这导致只有2组是健康的集合，X=h(X)=h(A+(I-W)dX)={2}。接下来，我们考虑X=h(X)，A+(I-W)dX点中的健康组。从图中的“2”点，我们可以看到X={2}=X，即所需的调整点。图5：调整点的构造。公平情况下M=M=1,L=L=6,W=W=0.6,C=C=6的平衡点。移位向量对应于C=3.5,C=0.1的超公平情况，因此（I-W）d{1}=(2.5,-1.5）和（I-W）d{2}=(-3.54,5.9）。4转换与破产在本节中，我们讨论如何将我们的带有CoCos的模型看作是在没有CoCos的情况下的插值：作为一个极值情况，我们得到了一个符合艾森伯格和诺（2001）精神的模型，在破产情况下，银行的资产被充分用于偿还未偿债务。在另一个极端，我们发现了一个有选择性地取消所有债务的模型。作为一个步骤，我们将原来的基于银行股票价格的模型改写为基于银行总股本价值的模型。股票价格和股票价值之间的关系如下。当银行i是健康的，i∈H时，我们有vi=sias，所有的股权都属于原始股东。当银行i不健康时，i∈B(R)C，mi在转换过程中发行了额外的股票，我们有VI=(1+mi)si.当我们用总权益值重写我们以前的均衡条件时，我们得到了下面的结果。给定银行集合[n]的一个划分（B,C,H）为破产银行(B)、转换银行(C)和健康银行(H),我们说股权价值向量v=(v，。..,vn）和资产向量a=(a，......如果它们解以下方程组:vi=ai+xj∈Cwijmj1+mjvj+xj∈Hwijcj，对于所有i∈BTMC(5)vi=ai-ci+xj∈Cwijmj1+mjvj+xj∈Hwijcj(6)a(B，C，H)-平衡候选（a,v）是a(B，C，H)-平衡，如果vi<0对于所有i∈B，如果0≤vi≤(1+mi)lifor所有i∈C，如果vi>lifor所有i∈H。比较（5）和（6）,我们看到，在转换阈值附近，总权益值较高比健康的情况下颠倒。其原因是在转换过程中，一些债务被取消，以换取所有权结构的转移，而所有权结构的转移不包括在总股本价值中。与我们以前基于S的制度相比，这种制度的一些性质变得更加清晰。首先，权重MI/(1+MI)在（5）和（6）中出现的方式表明，通过降低miwe降低了银行间相互作用的强度。我们将在下面更详细地讨论这一点。第二，与我们以前对李思威的比较不同，我们现在对健康银行和转型银行有了明确的门槛。因此，在转换点有两个潜在的不连续性来源，阈值的转移和总股本价值的转移。当转换和非转换股权价值之间的折算值等于阈值的折算值时，我们就具有连续性了，即当转换和非转换股权价值之间的折算值等于阈值的折算值之间的折算值等于阈值的折算值之间的折算值之间的折算值等于阈值的折算值之间的折算值之间的折算值。这归结为vci-vhi=limi，即ci=limi，公平情况的特征。写这个条件的另一种方式是ci=vcimi/(Mi+1)。以前，在破产的情况下，负资产价值应该被理解为理论候选资产价值。当然，实际的股权价值是零。阈值，拥有转换后股权VCII的分数MI/(MI+1)作为接收CI的价值。在本节的其余部分，我们研究系统的比较静力学（5-6）。我们保留债务金额和权重，并将注意力限制在公平的情况下。而且，为了简单起见，我们假定mi=m对于所有banksi都是相同的。因此，阈值由li=ci/m给出。通过前文的分析，对所有m∈(0，∞)和所有a∈Rn都存在一个唯一均衡的公平值。我们现在考虑方程组（5-6）的极限m→∞。

在这一限制下，在转换的情况下移交给债权人的股权价值的比例接近100%。对于原始系统（1-2）来说，该限制不会被很好地定义。这是切换到总股本价值视角的主要动机。在这个限制下，所有银行的Li=0和资产和权益估值器a和v的组合，以及一个分区(B，C,H）形成了一个等式ifvi=ai+xj∈Cwijvj+xj∈Hwijcj，对于所有i∈H(8)vi=ai+xj∈Cwijvj+xj∈Hwijcj，并且如果vi<0对于所有i∈B，0≤vi≤cif对于所有i∈C，vi>0对于所有i∈H。将方程组（7-8）与Eisenberg和Noe(2001)的银行间信贷模型中的破产模型进行比较，我们发现这两个模型在一个潜在的重要术语上是一致的。在我们的模型中被称为转换，在他们的模型中被称为破产。对这一结果的乐观解读如下：在一个普通债务被可可替代的世界中，只要总资产价值在艾森伯格和诺（2001）以及随后的文献如罗杰斯和维拉特（2013）中，破产就被转换所取代，通常假设所有i的ai≥0。然后，完全破产，甚至没有部分偿还债务，我们的B集的意义被排除。在这里，我们允许负aito获得完整的图片。如果它从竞争对手那里收到一定数量的未偿债务，那么它就健康（或转换）了。非负。事实上，有人可能会说，用转换来取代破产不仅仅是术语的改变。有了CoCos，一个潜在的不可预测的破产过程被有序的合同义务所取代。然而，在m→∞范围内，银行的完全控制权转移给了新的所有者，这在实践中肯定会导致摩擦--即使避免了“破产”一词。基于这些考虑，似乎值得考虑其他值为m的CoCos。直观地看，a转换的性质随M逐渐变化。m越多，转换事件的破坏性就越小。特别是，只要m≤1，原始所有者保留了大部分股票，这样在发生转换时银行的控制权就不会改变。选择较小的m的另一个好处是，这削弱了银行之间潜在的相互作用和溢出效应。形式上，当我们将Eisenberg-Noe方程（7-8）与（5-6）的公平情形相比较时，我们观察到两个E----结果。首先，银行健康的阈值从0向上移动到Li=CI/MI。类似地，转换的界限从cito(1+mi)Li=ci+ci/mi移动。然而，第二，当权重wijare下降到Wijmi/(1+mi)时，这给我们带来的好处是银行系统的互联性增加了。从视觉上看，当我们比较图6a、6b和6c时，两家银行的情况，我们确实看到，随着m的减少，区域变得更加矩形。这意味着，当一家银行的资产减少时，这通常只会影响该银行的地位，而通常不会影响其他银行的地位。在最连通的极端情况下，w=w=1和m=∞,两个库的转换区域退化为一条递减的直线，如图6d所示。直观地说，同时转换意味着每个银行的所有权完全转移到另一家银行，然后在一个投资周期中不断地转移。这是不可能的。因此，两家银行破产的地区与银行健康的地区相联系。当然，这种推理假设银行在转换前的所有权结构不是过于分散的。(a)m=1(b)m→∞(c)m→0(d)m→∞,W=W=1图6：限制行为。在c=c=8和（除非另有说明）W=W=0.75变化m的公平情况下的均衡。为了理解选择m太小的不利影响，研究图6c中描述的m→0是有益的。

在这个极限中，所有银行都有Li=∞,资产和股权价值向量a和v与分块（B,C,H）的结合形成一个平衡，如果所有i∈B"aC(9)vi=ai+xj∈Hwijcj，所有i∈H(10)都有xj∈Hwijcj，如果i∈B都有vi<0，i∈C都有0≤vi≤∞,则与i∈H相关的条件变成vi>∞,这意味着我们必须有H=.因此，该系统将所有i简化为vi=ai。当AI≥0时，银行i转换。否则，我银行破产了。没有健康的银行。因此，在m→0的极限中，用可可斯替换债务归结为取消所有债务。没有付款或收到付款，银行生存当且仅当它的资产扣除债务后是su-cient。特别是，银行之间不再有任何溢出效应。为了理解这种情况如何与我们实施的“公平”转换阈值结合在一起，回顾一下公平只适用于发生在该阈值的转换。当m接近0时，公平转换阈值变为实际，在公平转换的边界情况下，一家银行的债权人以实际有价值银行的一小部分的形式获得CIN。现实地说，一旦银行规模小，它几乎总是会转换，而且转换的价值远远低于公平阈值。虽然我们没有明确建模可可豆的初始、定价和销售阶段，但似乎很明显，用公平阈值太高(m→0)的可可豆来增加大量资本是不可能的。相反，阈值太低的CoCos的行为将越来越类似于普通债务(m→∞)，在这些极端之间，至少比普通债务有两个优势的CoCos有一个潜在的空间。首先，可以预期网络环境下的ECTS会变得更弱；其次，转换事件将与市场直接感知的破产事件明显不同。后一点与Chen等人的结果一致。（2017）他们在一个动态的单银行模型中研究了基于会计的触发器的CoCos。他们认为转换阈值应该非常高，以防止他们所说的债务引发的崩溃，在这种情况下，可可转换债券被选择性地还原为直接债务。5结论在本文中，我们研究了或有可转换债券的交易如何影响银行的均衡股价。我们的出发点是一场关于收益的持续辩论，也是关于此类或有债务的危险。在以前的文献中提出的一个主要问题是，当转换依赖于股票价格的现值时，均衡股票价格可能不再存在或唯一。我们给出了保证均衡存在唯一性的明确的割集条件。我们的结果为解决银行间网络中带有股票价格触发的或有可转换债务的作用提供了依据。因此，还有许多事情要做。首先，我们的背景的自然延伸考虑了发行了多个具有直接投资临界值或直接投资到期日的可持续发展债券的银行。其次，为了将第4节的讨论扩展到全面的福利分析，有必要明确地建立一个发行、定价和销售可可豆的初始阶段模型。这将使更多的洞察力的可能性，筹集资金与DI公司的Erent CoCo设计。第三，与此相关的是，有可能研究Glasserman和Nouri(2016)以及Pennacchi和Tchistyi(2019a)关于单一银行案例的模型的动态版本。第四，我们可以尝试刻画超级公平情形的全套均衡。

最后，研究类似于Schuldenzucker et al.(2017)对信用违约掉期情况的分析的均衡计算将是有趣的。引理1的证明1第2节的证明：确定均衡的一致性条件意味着股票价格向量立即确定引理中所述的均衡划分的唯一候选。对于一个给定的股票，虽然我们在陈述中很大程度上忽略了计算方面，但我们的结果确实有一些计算方面的含义，这仍然是值得证明的。超公平情形的解析点构造隐含了一个由公平情形的平衡点计算超公平情形的一个平衡点的显式算法。此外，fair案例和Eisenberg-Noe模型之间的形式上的相似性意味着工具可以在这些设置之间被出卖。例如，他们的“有限缺省”算法可以被转化为“有限转换”算法，用于在a≥0的正象限中寻找均衡。价格向量s和划分(B，C，H)线性系统（1-2）具有唯一的解a。这是从下面（3）的讨论中得出的。a.2第3.1节的证明命题1的证明：假设银行i设置了一个次公平阈值Limi<Ci。为了构造一个不存在均衡的资产值向量a∈Rn，我们假定其余银行的资产值都很高，使得如果均衡存在，它们的股票价格一定在阈值之上，并且对于所有J6=I，su条件是对于所有J6=I，ajsatis为Aj-Cj>lj(1+mj)。如果SI≤LI，且SI=AI-CI+Ciif SI>LI，则i银行股票价格的两个候选值为SI=MI(AI+Ci)。将候选股票价格插入约束条件，求解ai，得到ai>li+ci-ci和ai≤li(1+mi)-ci不等式。均衡的存在意味着至少有一个不等式在ai∈R之前被满足。而ci>limi蕴涵li+ci-ci>li(1+mi)-ci。因此，存在anai∈R，使得li+ci-ci>ai>li(1+mi)-ci。对于这种人工智能，不存在均衡的股票价格。a.3第3.2节的证明我们的存在性证明是基于Poincar e-Miranda定理，这是一个来自实分析的经典结果，参见Browder(1983)中命题3的推论。定理2(Poincar\'e-Miranda)ui={u∈[-1，1]nui=1}和u-i={u∈[-1，1]nui=-1}。设F:[-1,1]n→Rn是一个连续函数，其性质为：对于所有i∈[n]u∈Uiimplifi(u)≥0，u∈U-iimplifi(u)≤0。则存在w∈[-1，1]n，使得对于所有i∈[n]，Fi(w)=0。命题2的证明：该证明依赖于定理2。我们主要需要说明如何在我们的上下文中应用这个定理。注意，它需要证明存在x∈Rn，使得f(x)=0。原因是如果f满足连续性和性质(i)和(ii)，那么对于已满足的y∈Rn的任何平移ef(x)=f(x)-y也是如此。因此，我们的结果同样适用于f和def。证明x∈Rnwithef(x)=0的存在性意味着f(x)=y的x的存在性。其次，我们必须证明可以将我们的函数重新化为单位立方体上的一个函数，该函数具有定理2所要求的边界条件。通过性质(ii)，存在常数t>0，使得对于所有i∈[n]，fi(te)≥0，fi(-te)≤0。在定理2中，我们根据性质(i)得出：对于所有u∈Ui，fi(tu)≥fi(te)≥0，对于所有u∈U-i，fi(tu)≤fi(te)≤0。由此，函数F:[-1,1]n→rnde=F(tu)，u∈[-1,1]n满足定理2的要求。特别地，F是连续的，对于u∈Ui，Fi(u)≥0，对于u∈U-i，Fi(u)≤0。因此，根据该定理，存在一个w∈[-1,1]n，且F(w)=0。观察f(x)=f(w)=0对x=tw的结论。命题3的证明：我们证明了命题2在f≈φ的情况下是适用的。

为此，我们需要验证φ是连续的，并且满足性质(i)和(ii)。注意：对于任何给定的分割（B,C,H）和相关的股票价格集SB,C,HweaveΦ(s)=LB,Cs+BH，对于所有s∈SB,C,H，其中矩阵LB,Chas正对角元素和非正对角元素。这表明，在SB,C,H的每个集合内，函数φ是连续的，并且具有(i)所要求的单调性。下面所示的φ的全局连续性意味着φ也包含了全局的(i)。我们接下来谈(ii)。我们提出了一个稍微有力的主张，涵盖了这两种情况。固定一些u∈{-1,1}n。对于t>maxi∈[n]Li,我们得到tu∈SB,C,H,B={i∈[n]∈ui=-1},C=é,H={i∈[n]∈ui=1},相关矩阵LB,ci是一个具有正对角项的对角矩阵。因此，Φi(tu)在ui=1时收敛于+∞,在ui=-1时收敛于-∞。为此，我们考虑了Φ在两个分区元素之间的边界上的行为。具体地，我们证明了如果s∈SB,C,HüSB,C,H对于两个分块B,C,Hand B,C,H，则Φ对应的局部定义重合，LB,Cs+BH=LB,Cs+BH。（11）条件s∈SB,C,H≈SB,C,H意味着至少有一家银行i认为该银行的状况处于破产与转换之间或转换与健康之间的界限Si=0或Si=liso。由于这些条件在两个库之间是独立的，所以我们可以给出（11）两个分区对的情况，它们恰好位于一个库中。我们需要考虑两种情况。在第一种情况下，si=0,B=B{i},c=cé{i},h=h.设ii=eitibe是（i,i）中除a1外所有项都为零的矩阵。我们有LB,c=LB,c-miii+mi(i-w)ii=LB,Cs+bH)-(LB,Cs+bH)=miW Iis=simiW ei=0。第二种情况下，si=li,B=B,c=c\\i},h=h=héi}。然后是LB，C=LB，C-MI(I-W)II，以及BH=BH+ci(I-W)EI。因此，我们发现，在这种情况下（LB,Cs+bH)-(LB,Cs+bH)=-MI（I-W）Iis+ci（I-W）EI=（ci-limi）（I-W）EI=0，通过查看例如图1的左面板，可以很容易地看出这一点。为了检查位于集BH和CC的（完备）交点的条件，需要检查BH和CH以及CH和CC的交点的条件，其中结论使用公平性假设Li=CI/MI。命题4的证明：超然性已经在命题3中得到了证明。因此，为了证明双jectivity我们只能证明内射性。我们的证明分两步进行。首先，我们证明了下面的主张：考虑RN中的两个向量s和t，使得s≥t，并且集合I={ISI>ti}是非空的。然后存在一个i∈i，使得Φi(s)>Φi(t),而且对于所有的j/∈i,Φj(s)≤Φj(t)。其次，我们利用这一要求来完成证明。为了证明这一要求，我们考虑j/∈i的情况，从而得到SJ=TJ。根据命题3，函数φ是连续的。此外，在每个分区元素SB，C，Hit中是形式为LB，Cs+bh，其中LB，Chas严格正对角线条目和非正对角条目。因此，对于所有I6=j，Φj(s)是弱递减的，并且由于SJ=TJ，我们有Φj(s)≤Φj(t)。为了完成索赔的证明，我们给出了>Φ(s)>E>Φ(t)，即Φ(s)的元素之和严格大于Φ(t)的元素之和。为了了解这一点，我们需要回顾φ的连续性和φ的局部分布，并注意向量E>LB在某些严格的正项下是非负的，因为E>(I-W)≥0。因此，一定存在一个具有Φi(s)>ΦJ(t)的i，并且通过该主张的另一部分，这个i一定位于集合i中。考虑两个向量s和u，其中s6=u。我们需要证明Φ(s)6=Φ(u)。为此，definne t=min(s，u)∈Rn，其中最小值是从入口取的。definne is={isi>ti}和iu={iui>ti}。请注意Isand Iuare是不相交的，并且其中至少有一个是非空的。

在不丧失一般性的情况下，假定为6=.将这一主张应用于s和t表明，存在一个iuturi，即Φiuturi(s)>Φiuturi(t)。此外，我们知道i*/∈Iu，即ui*=ti*。因此，对u和t适用这一主张意味着ΦI*(u)≤ΦI*(t)，因此ΦI*(u)6=ΦI*(s)。这就完成了证明。a.4 3.3节的证明我们从一个技术引理开始本节。最后证明了引理2。引理5：如果I-w是可逆的，则矩阵(I-w)-1只有非负熵，而且对于任意B，C[n]矩阵L-1 B，C(I-w)在对角线上有非负项和非正项。引理5的证明：对于任意α∈(0,1）,矩阵I-αW是严格列对角占优的，有正对角线项和非正对角项，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的，矩阵I-αW是列对角占优的。这是thusan M-矩阵，它意味着它的逆(i-αw)-1只有非负项，见Horn和Johnson(1991)第2.5章。作为非负矩阵的极限α→1，则(i-w)-1也是非负的。对于第二个权利要求，请注意，L-1 b,C(i-w)是矩阵Mα=(I+Diag(mB)+(i-αW)Diag(mC))-1(i-αW)的极限α→1，因此可以证明Mα具有所需的符号模式。为此，我们写出α=(i-αw)-1(I+Diag(mB))+Diag(mC)-1。如前所述，对于α∈(0,1)，(i-αw)-1是M-矩阵的逆。根据Johnson(1982)的定理1和定理3，逆M-矩阵族在正对角的对角矩阵乘和非负对角的对角矩阵加下是闭的。因此，M-1α是逆M-矩阵。因此，Mα本身是一个M-矩阵，这意味着它具有所需的符号模式。引理3的证明：考虑线段a(t)=a+t(i-w)dx，其中t∈[0,1]。由于Φ是连续的分段线性双射，我们得到s(t)=Φ-1(a(t))是Rn中的分段线性路径。此外，存在0=t<t<···<Tn=1，使得对应于平衡点(s(t)，a(t))的[n]的分配(B(t)，C(t)，H(t))在区间(Tk-1，tk)中对于每个k=1，tk)是常数。..,n。我们表示这个划分(Bk，Ck，Hk)。设1≤k≤N。对于任何t∈(TK-1，tk),存在sk，UK∈RN，使得s(t)=sk+TUK。恒等式a(t)=Φ(s(t))于是变成a+t(I-W)DX=LBk，Ck(sk+TUK)+(I-W)CHK，这意味着(I-W)DX=LBk，Ckuk，因此UK=L-1BK，Ck(I-W)DX。从引理5，行向量eTil-1 bk，Ck(i-w)除了非负进入位置I之外具有非正进入。另一方面，如果i/∈X，(dX)i=0。因此(uk)I=etiuk=etil-1 bk,Ck(i-w)dx≤0对于所有I/∈X。这意味着HK+1HKTMX,利用H=H(a)，我们通过归纳得到对于所有t∈[0,1]的H(a(t))H(a)TMX。通过取t=1，引理的主张随之而来。引理4的证明：首先注意，在不丧失一般性的情况下，我们可以对所有j∈X假定dj>0，否则我们可以用{j∈X:dj>0}代替X。我们在X的大小上通过归纳法证明了这一说法。为此，我们将构造f∈Rn，即对于某些j∈X和XH(a+(i-w)f)而言，0≤f≤dX,fj=dj.给出这样一个f，我们可以得到X={j∈X:DJ>fj}(X.如果X=，则我们必须有f=dX，从而得到H(A+(I-W)dX)。否则，将归纳法假设应用于a=a+(i-w)f、d=d-f和X，我们得到了π6=Xàh(A+(i-w)dX)。由于dX=(d-f)X=dx-f，因此我们可以写a+(i-w)dX=a+(i-w)f+(i-w)(dx-f)=a+(i-w)dX。注意，这个参数还包括了归纳基础，其中X是一个单例，所以X=.为了完成证明，我们需要证明这样一个f是存在的。设u=(i-w)-1dx。根据引理5，我们知道u≥0，因为(i-w)-1是非负矩阵。此外，对于任意j∈X，我们有0<dj=etjdx=eTj(i-w)u。然而eTj（I-W）是非正的，除了J项。因此UJ>0。设t=minj∈xdjuj，设f=tux。然后，对于某些j∈X我们有0≤f≤dx和fj=dj。

首先，我们论证了H(a+t(I-W)u)=H(a)。为了证明这一点，设（B,C,H）是[n]的分部，使得（a,Φ-1(a))是（B,C,H）平衡。当X H(a)=H时，我们得到B,C(Φ-1(a)+tdX)+ch=a+tdX，使得(a+tdX，Φ-1(a)+tdX)也是一个(B，C，H)平衡。这意味着H(a+t(i-w)u)=H(a+tdx)=H=H(a)。从引理3出发，得到XH(a)=H(a+T(I-W)u)=H(a+T(I-W)UX+T(I-W)u[n]\\X)H(a+(I-W)f)TM([n]\\X)。推论1的证明:(I)假定X Y H(X)。则h(Y)=h(A+(i-w)dX+(i-w)dY\\X)h(X)(Y\\X)=h(X)，来自引理3。(ii)假设h(X)Y X。则h(X)=h(A+(i-w)dX)h(A+(i-w)dx-(i-w)dX\\Y)(X\\Y)=h(Y)(X\\Y)，来自引理3。但是，h(X)(X\\Y)=，因而h(X)h(Y)。(iii)假定X h(X)h(X)。在(i)中取Y=h(X)得到h(X)h(X)，将(ii)应用于h(X)h(X)h(X)，得到h(X)h(X)。现在给出h(X)6=h(X)。为了矛盾起见，假定h(X)=h(X).那么，设:6=h(X)\\h(X)h(X)=h(A+(I-W)dh(X))。从引理4中，我们得到了π6=(h(X)\\h(X))h(A+(I-W)dh(X)+(I-W)dh(X)\\h(X))=(h(X)\\h(X))h(X)=(iv)假设h(X)h(X)X。取Y=h(X)中的(ii)我们得到h(X)h(X)。将(I)应用于h(X)h(X)h(X)h(X)我们得到h(X)h(X)。现在我们需要显示h(X)6=h(X)。请注意:①6=h(X)\\h(X)h(X)=h(A+(I-W)dh(X))。从引理4我们得到了:②6=(h(X)\\h(X))TMh(A+(I-W)dh(X)+dh(X)\\h(X))=(h(X)\\h(X))=(h(X)TMh(X)=h(X)\\h(X)\\h(X)\\h(X)\\h(X)\\h(X).引理2的证明：设XM=hm(h(A))，对于所有m≥0，其中A∈Rns是任意的，且h在正文中被定义。我们声称，对于某些m我们有xm+1=xm.xmis，那么通过对H的认识，所期望的满足点为xm=H(a+(i-w)dXm)。首先注意xxas x=H(a+(i-w)dX)H(a)x=x，引理3。类似地，从推论1.(ii)中，我们得到X X X：如h(X)=X X。此外，X=h(a+(i-w)dX)h(a)=X=X。现在通过交互地应用推论1中的(iii)项和(iv)项，我们得到对于所有奇数m的xm xm+2xm+1和xm=xm+1\\xm+2<xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm+1\\xm。对于偶数m>0,xm+1xm+2xm，或者xm=xm+1,或者xm+2\\xm+1<xm\\xm+1。这意味着对于某些m为x\\x≤n的情形，xm+1=xm.参考Sacemoglu,D,Ozdaglar,A,和Tahbaz-Salehi,A.（2015）。金融网络的系统性风险与稳定性。《美国经济评论》，105(2):564-608.Avdjiev,S.,Bolton,P.,Jiang,W.,Kartasheva,A.和Bogdanova,B.（2015）.可可债券和银行融资成本。工作文件，国际清算银行，S.Avdjiev，A.Kartasheva和Bogdanova，B.(2013)。可可斯：一个入门。第四季度回顾之二，3:43-56。博尔曼斯，马丁·路德·金和范·维恩伯根（2018）。或有可转换债券：谁投资欧洲可转换债券？《应用经济学快报》，25(4):234-238.白劳德主编（1983）。不动点理论与非线性问题。美国数学会公报（新丛书），9(1):1-39.陈氏，范维恩伯根，s.(2014)。可可豆、传染和系统性风险。TinbergenInstitute讨论文件，14-110/VI/DSF 79.Chen,N.,Glasserman,P.,Nouri,B.和Pelger,M.（2017）.或有资本、尾部风险和债务引发的崩溃。《金融研究评论》，30(11):3921-3969.戴蒙德，D.W.和戴维格，P.H.(1983)。银行挤兑、存款保险与清算。政治经济学学报，91(3):401-419。艾森伯格，L.，Noe，T.H.(2001)。渔业系统中的系统性风险。管理科学，47(2):236-249.范斯坦，Z.和赫德，T.(2020).或有可转换债务及财务稳定性。arXiv预印本arXiv:2006.01037.弗兰纳里，M.J.(2014)。大型金融机构的或有资本工具：文献综述。《金融经济学年评》，6(1):225-240.Glasserman,P.和Nouri,B.（2012）.

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