股票价格密度和隐含波动率的渐近分析

2022-5-6 01:05:05

混合随机模型中股价密度和隐含波动率的渐近分析Sarchil Gulisashvilia，Josep VivesbadDepartment of Mathematics，俄亥俄大学，雅典，俄亥俄州，45701，我们得到了（0，∞), 并利用这些公式刻画了混合随机模型中股票价格过程边际分布密度的渐近行为。混合模型的特殊例子是跳跃扩散模型和带有跳跃的随机波动模型。我们将我们的一般结果应用于具有双指数跳跃的Heston模型，并详细分析了该模型中股票价格密度、看涨期权定价函数和隐含波动率的不对称行为。对于Heston模型，我们也得到了类似的结果，跳跃分布符合NIG定律。关键词：混合随机股价模型；梅林卷积；具有双指数跳跃的Heston模型；隐含波动率。1简介混合模型中股票价格的随机行为由随机过程X=X（1）X（2）描述，其中X（1）和X（2）是完全过滤概率空间上严格正的独立可积过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。混合模型的重要例子是跳跃扩散模型和具有L’evy类型跳跃的随机波动模型。关于带有跳跃的模型的更多信息，请参见[11]和[27]。本文得到了特殊混合随机股价模型中股价分布密度和隐含波动率的带误差估计的渐近公式。

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2022-5-6 01:05:08

假设混合随机模型中随机变量X（1）和X（2）的分布u（1）和u（2）分别允许密度D（1）和D（2）t。然后，股票价格的分布utof也允许密度Dt，可以用梅林卷积Dt（x）=D（1）tM表示 D（2）t（x），x>0（1）（梅林卷积的定义如下）。[13]中提到了两个独立随机变量乘积的分布密度是其密度的梅林卷积。在[5]（另见[9]）中，D.Arandelovi’c获得了半直线（0，∞). 然而，Arandelovi\'c的公式不包含------------------------------------------电子邮件地址：gulisash@ohio.edu（A.Gulisashvili），约塞普。vives@ub.edu（J.Vives）。误差估计。在本文的2.3小节中，建立了Mellin卷积的误差估计渐近公式（见定理8和9中的公式）。这些公式解释了阿兰德洛维奇的结果。本文用它们刻画了特殊混合随机股价模型中股价密度的渐近行为。请注意，R.a.Handelsman和J.s.L e w（见[28]第3.4节）获得了梅林卷积在不同约束条件下的交感展开式，这些约束条件与Arandelovi’c的工作和本文中施加的约束条件不同。下面的例子之一是具有不对称双指数跳跃的赫斯顿模型。本文得到的定理13和14涉及混合模型跳跃部分占主导地位的情况，而定理15和16涉及赫斯顿部分占主导地位的情况下股价密度的a辛。在[20]早些时候获得了较弱的估计值。

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2022-5-6 01:05:11

在第7节中，我们简要讨论了其他一些模型。在[23]（se e[24]）中，S.Kou介绍并研究了一个跳跃扩散模型，该模型实际上是Black-Scholes模型和双指数跳跃模型的混合体。在[2]例7.6中获得了Koumodel中股票价格分布函数的渐近公式（无误差估计）。在[29]和[16]中，对于Kou模型中的看涨期权定价函数，发现了一个带有误差估计的n渐近公式。在本文中，我们得到了一类模型的类似公式，包括具有双指数跳跃的Heston模型和Kou模型（见（92））。公式（92）中的误差或估计值比[16]中的好。在分析受双指数跳跃扰动的赫斯顿模型中的股价密度时，我们使用了[23]中获得的一些结果。有趣的是，在没有跳跃的赫斯顿模型中，股票价格密度的渐近行为与双指数跳跃部分相关的绝对连续部分的渐近行为相似（比较（31）与（78）和（32）与（79））。因此，在研究赫斯顿模型和双指数跳跃模型的混合中股票价格密度的交感行为时，我们必须考虑混合模型的哪一部分主导另一部分。这种二分法并不出现在Kou模型中，因为双指数跳跃部分总是支配Black-Scholes部分。请注意，在[16]中也观察到了无跳跃的赫斯顿模型和库恩模型中调用定价函数的渐近行为之间的相似性。股票价格密度的渐近公式可以用来研究期权定价函数的渐近行为和隐含波动率。

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2022-5-6 01:05:14

在本文的第6节中，我们得到了带有五个显式项的渐近公式，以及具有双指数跳跃的Heston模型中极值隐含波动率的误差估计。第7节建立了类似的Heston-mo-de-lwith NIG型跳跃公式。我们使用[15]和[18]中开发的一些方法来估计隐含波动率。对于[15]中没有跳跃的Heston模型，以及[29]和[16]中的Kou模型，建立了具有四个显式项的隐含效用的较弱的渐近公式。这些公式可以扩展到包括五项和误差估计。我们还想让读者注意到[3]中关于指数L’evy模型中隐含波动率的交感行为。接下来，我们将简要概述本论文的内容。在2.1小节中，我们定义了梅林卷积，并介绍了几个相关的数值。规律变化的函数在本文中起着重要作用。在第2.2小节中，收集了规则变化函数理论的各种定义和事实，而第2.3小节则致力于阿兰德洛维奇的理论及其推广。在第三节中，我们给出了赫斯顿模型中股票价格过程边际分布密度的已知渐近公式。第4节介绍了具有双指数跳跃的Heston模型。在这里，我们得到了关于扰动Heston模式l的跳跃部分的新结果。我们证明了与扰动Heston模型相关的指数l’evy过程的边际分布的绝对连续部分是规则变化的，并提供了表征其接近零和接近零的渐近行为的渐近公式。本文第5节讨论了具有双指数跳跃的Heston模型中的密度近似。

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2022-5-6 01:05:19

我们得到了扰动Heston模型中股票价格分布度的带误差估计的精确渐近公式（见定理13-16）。证明中使用了定理8和9中获得的Arandelovi’c定理的公式化。在第6节中，为具有双指数跳跃的Heston模型（见定理18和19）和更一般的模型中的隐含波动率提供了带误差估计的渐近公式。最后，第7节讨论了Heston模型中的隐含波动率，其跳跃分布符合对称中心的NIG定律。2梅林卷积和Ar andelovi’c理论在本节中，我们讨论了梅林变换和梅林卷积，建立了Arandelovi’c定理，考虑了梅林卷积的渐近性，并获得了Randelovi’c定理的基因化（定理8和9）。2.1梅林变换和梅林卷积定义1。设U是（0）上的可测函数，∞). U的梅林变换定义如下：MU（z）=z∞T-zU（t）dtt，z∈ C.（2）U的梅林变换域是所有z的集合∈ （2）中的积分绝对收敛。定义2。两个实勒贝格可测函数f和g在（0，∞)由FM定义 g（x）=Z∞f（t）-1x）g（t）dtt，对于存在积分的x>0的情况。这很清楚 g（x）=Z∞f（t）-1） g（xt）dtt。此外，fM g（x）=efM eg（x）-1）式中，ef（u）=f（u）-1）和eg（u）=g（u）-1）（4）对于所有u>0。我们还有meu（z）=mu(-z）。（5）设ub e[0]上的分布，∞), 让η为实数。分布u的阶矩η定义如下：mη（u）=Z∞tηdu（t）。

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2022-5-6 01:05:23

（6）不难看出，如果U是分布密度，那么mu（η）=M-η-1（U）对于MU.2.2正则变函数域中的所有真数η，本小节讨论了正则变函数理论的一些概念和结果。这些函数在本文中起着重要作用。关于规则变化函数的丰富信息来源于N.H.宾厄姆、C.M.戈尔迪和J.L.特格尔的书[9]。定义3。（0，∞) 称为随指数ρ有规律地变化∈ R如果每λ>0，f（λx）f（x）→ λρ（7）as x→ ∞. 指数为ρ的所有规则变化函数的类用Rρ表示。来自稀有类的函数称为慢变函数。下一个结果称为正则变函数的一致收敛定理。定理1（见[9]中的定理1.5.2]）。设f是（0）上的非负可测函数，∞).那么以下是正确的：1。假设f∈ Rρρρ>0，f在a>0的每个区间（0，a）上有界。那么公式（7）在λ中不一致地适用于每个区间（0，a），a>0.2∈ 公式（7）在每个区间[a，b]上以λ的形式表示，且0<a<b<∞.3.条件f∈ ρ<0的Rρ意味着公式（7）在λ中一致地适用于每一个参数[b，∞), b>0。慢变函数理论的另一个基本结果是表示定理（见[9]，定理1.3.1）。定理2。对于非负可测函数l，条件l∈ 以下x（exp）相当于Zxaε（u）udu, x>a，（8）对于some a>0，其中函数c和ε为c（x）→ C∈ (0, ∞) 作为x→ ∞ ε（u）→ 0作为u→ ∞.定义4。

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2022-5-6 01:05:27

函数l∈ 如果函数x7→ （8）中的c（x）在区间l[a]上是常数，∞) 对于一些人来说，a>0。设l是一个标准化的慢变函数。定理2显示了l（x）=expC+Zxaε（u）udu, x>a，（9）对于某些C∈ R和a>0，其中函数ε为ε（u）→ 0作为u→ ∞.对于标准化慢变函数l，我们有ε（x）=xl′（x）l（x）a.e.（10）（见[9]，第15页）。如果函数l是可微的，那么（10）中的等式适用于（a，∞).下面的课程是由A.Zygmund介绍的。定义5。定义在（0，∞) 如果函数φα（x）=xαl（x）最终递增，函数ψα（x）=x，则属于zygmund类Z-αl（x）最终会减少。下一条已知语句给出了Zy-gmund类的描述。定理3（见[9]中的定理1.5.5]）。Z类与标准化慢变函数类一致。本文讨论了具有误差估计的各种渐近公式。注意，在本文中，φ（x）=O（φ（x））表示为x→ ∞, 其中φ是实函数，φ是正函数，意味着存在c>0和x>0，使得|φ（x）|≤ cφ（x）for all x>x.φ（x）=O（φ（x））作为x的e解释→ 0是相似的。以下已知定义引入了带余数的缓慢变化函数（见[17]，另见[9]）。定义6。设l和g是（0，∞) 带g（x）→ 0作为x→ ∞.如果对于所有λ>1，l（λx）l（x），则调用函数l，它随余数g缓慢变化- 1=O（g（x））（11）as x→ ∞.我们将用Rg表示余数为g的缓慢变差函数类。不难看出这一点 R.带余数的慢变函数的统一m收敛定理如下。定理4（见[9]中的推论2.2.1]）。

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2022-5-6 01:05:30

让我∈ RGG在哪里∈ R.然后条件（11）在λ中的每一个区间[1，b]上保持一致，b>1。下一个陈述比定理4更有力，它提供了带余数的慢变函数一致收敛结果中变量λ的增长估计。定理5。固定δ6=0，设f和g为[0]上的正函数，∞) 以至于∈ 兰德夫∈ Rg。假设函数f，g，f和GARE在[0]上局部有界，∞). 然后存在A>0使得| f（λx）- f（x）|≤ Af（x）g（x）max{λδ，λ-δ} 对于所有λ>0和x≥ 0.定理m 5中的估计包含在[9]中定理3.8.6的（b）部分中。注意，条件f∈ R包含以下内容：f∈ O∏l=f g，因此定理3.8.6（b）中的条件成立（有关O∏类土地的定义，请参见[9]）。带余数的慢变函数的结构是已知的。下一个结果是带余数的慢变函数的表示定理（见[17]，另见[9]）。定理6。让g∈ 兰特g（x）→ 0作为x→ ∞. 然后我∈ Rgif和仅ifl（x）=expC+O（g（x））+ZxaO（g（t））t-1dt（12）作为x→ ∞, C在哪里∈ R、 O函数是局部可积的。推论1。让我∈ Z.然后我∈ R |ε|，其中ε是公式（9）中出现的函数。证据因为l是一个标准化的慢变函数，所以公式（9）成立。这意味着公式（12）适用于g=|ε|。接下来，利用定理6，我们建立了推论1.2.3阿兰德洛维奇定理及其推广。下一个陈述由阿兰德洛维奇获得（见[5,9]）。定理7。假设函数U的Mellin变换mu至少在条带σ上收敛≤ R（z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 假设以下两个条件成立：1。f（x）~ xρl（x）为x→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ）和l∈ R.2。

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2022-5-6 01:05:35

函数x7→ 十、-σf（x）在a>0的每个区间（0，a）上有界 f（x）~ mu（ρ）[xρl（x）]（13）as x→ ∞.注意，公式（13）中没有误差e估计值。下一个断言在某些附加限制下提供了这样的估计。定理8。假设可测函数U的Mellin变换mu至少在str-ipσ中收敛≤ R （z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 并假设以下条件成立：1。f（x）=xρl（x）（1+O（h（x））作为x→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ），l∈ RGG∈ R、 h∈ Z.上一公式中的函数g和h满足g（x）→ 0和h（x）→ 0作为x→ ∞.2.函数g，l-1和g-1在区间（x，∞) 对于某些x>0.3的情况。函数x7→ 十、-σf（x）在a>0的每个区间（0，a）上有界 f（x）=mu（ρ）[xρl（x）]（1+O（g（x））+O（h（x）））（14）as x→ ∞.证据假设f（y）=yρl（y）表示y>y，（15），并将x=max{x，y}，其中xis如条件2中所示。然后我们有 f（x）=Zxxf（xv）U（v-1） v+dvz∞xxvρl（xv）U（v）-1） dvv=I（x）+I（x）。（16）由于xv<xin是（16）中的第一个积分，条件3意味着：≤ cxσZxxvσU（v-1） dvv=cxσZ∞xxy-σ-1U（y）dy≤ cMU（σ）xσ。固定ε>0，使ε<ρ- σ、考虑到lg∈ R.那么前面的估计就是I（x）=O（xσ）=O（xρ）-ε）和henceI（x）=O（xρl（x）g（x））a s x→ ∞. （17）因此，积分Ican可并入公式（14）中的误差项中。我们的下一个目标是估计积分I。很明显，I（x）=xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv+xρl（x）Z∞xxvρU（v）-1） dvv=xρl（x）Z∞vρU（v）-1） dvv- xρl（x）ZxxvρU（v）-1） dvv+xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv=mu（ρ）[xρl（x）]-xρl（x）Z∞xxy-ρU（y）dyy+xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv=mu（ρ）[xρl（x）]+J（x）+J（x）。（18）固定ε>0，使ε<ρ- σ.

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2022-5-6 01:05:38

然后，对于x的大值，我们有| J（x）|≤ xρl（x）Z∞xxy-σ-εU（y）dyy≤ xρ-εl（x）xεMU（σ）。自从g∈ 兰特MU（σ）<∞, 我们得到了j（x）=O（xρl（x）g（x））asx→ ∞. （19）仍然需要估计J。表示byel和eg函数l和g，由（x）的正常数外推，∞) 到[0，∞). 塞内尔∈ 规则。此外，条件2和functionsel和eg的定义暗示了functionsel，eg，el-1-1在[0]上局部有界，∞). 现在，利用定理5，我们看到对于每个δ>0，存在一个常数a>0，使得| el（xv）-el（x）|≤ Ael（x）eg（x）max{vδ，v-δ} 对于所有v>0和x≥ 0.回顾函数SEL和eg的定义，我们发现对于x>x和v>xx，|l（xv）- l（x）|≤ Al（x）g（x）max{vδ，v-δ}. （20）根据（20）中的估计，对于每个δ>0，存在x>0，取决于δ，因此| J（x）|≤ Axρl（x）g（x）Z∞xxmax{vδ，v-δ} vρU（v）-1） dvv≤ Axρl（x）g（x）Z∞max{vδ，v-δ} vρU（v）-1） dvv，（21）对于所有x>x。不难看出，对于足够小的δ值，（21）中的最后一个积分是有限的。在这里，我们使用mu（s）的fa c t∞ 无论如何≤ s≤ τ和不等式σ<ρ<τ。现在，（21）意味着j（x）=O（xρl（x）g（x））a s x→ ∞. （22）接下来，考虑公式（18）、（19）和（22），我们将o btainI（x）=MU（ρ）[xρl（x）]+o（xρl（x）g（x））（23）作为x→ ∞. 最后，很容易看出公式（16）、（17）和（23）暗示了公式（14）。在（15）成立的特殊情况下，这建立了定理8。接下来我们将在通则中证明定理8。假设定理8的公式中的条件成立。然后存在x>0，使得对于所有x>x，f（x）=xρl（x）+xρl（x）η（x），其中η是一个可测函数，使得|η（x）|≤ 啊（x），对于所有的x>x，对于一些康斯坦塔>0。把f（x）=f（x）χ{0<x<x}，f（x）=xρl（x）χ{x>x}，f（x）=xρl（x）η（x）χ{x>x}。鱼际 f（x）=UM f（x）+UM f（x）+UM f（x）。

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2022-5-6 01:05:41

（24）将上述定理8的特殊情况应用于函数f，我们得到 f（x）=MU（ρ）[xρl（x）]（1+O（g（x））（25）as x→ ∞. 此外，正如（17）中所说的推理，我们得到 f（x）=O（xρl（x）g（x））（26）as x→ ∞.接下来我们将估计函数 f、使用与函数估计相同的想法 f、但是，我们将使用函数el=lh而不是函数l∈ Rg。此外，h∈ R |ε|，其中ε是函数h（见推论1）的公式（9）中出现的函数。我们有el（xv）el（x）- 1.≤l（xv）l（x）- 1.h（xv）h（x）+h（xv）h（x）- 1..因此，el∈ Rg+|ε|。很明显嗯 f（x）≤ AxρZ∞xxvρl（xv）h（xv）U（v）-1） dvv。现在，在公式（23）的证明中，我们可以看到 f（x）=O（xρl（x）[h（x）+h（x）g（x）+h（x）|ε（x）|]）=O（xρl（x）h（x））（27）as x→ ∞.最后，考虑到公式（24）-（27），我们发现公式（14）成立。这是托勒姆8的完整证明。一个类似的定理刻画了接近零的Mellin余解的渐近行为。定理9。假设可测函数U的Mellin变换mu至少在str-ipσ中收敛≤ R （z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 并假设以下条件成立：1。f（y）-1） =y-ρl（y）（1+O（h（y））作为y→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ），l∈ RGG∈ R、 h∈ Z.上一公式中的函数g和h满足g（y）→ 0和h（y）→ 0为y→ ∞.2.函数g，l-1和g-1在区间（x，∞) 对于某些x>0.3的情况。函数y7→ yτf（y）-1）在a>0.ThenUM的每个区间（0，a）上有界 f（x）=mu（ρ）[xρl（x-1） [1+O（g（x）]-1））+O（h（x）-1））作为x→ 0.证明。定理9源自定理8，适用于函数sef（x）=f十、-1.安第乌（x）=U十、-1..

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2022-5-6 01:05:44

在这里，我们考虑了（3）、（4）和（5）。3赫斯顿模型在本节中，我们收集了赫斯顿模型的几个已知结果，这是一种流行的随机波动性模型。在续集中假设利率r等于零。赫斯顿模型中的股票价格过程X和方差过程Y满足以下随机微分方程组：dxtt=uXtdt+√YtXtdWtdYt=（a）- bYt）dt+c√YtdZt，（28）式中∈ R、 a≥ 0，b≥ 0，c>0。在（28）中，W和Z是相关的标准布朗运动，即dhW，Zit=ρdt和ρ∈ (-1, 1). 在赫斯顿模型中，股票价格的分布utof的密度为D（1）t。过程X和Y的初始条件将分别用X和Y表示。[21]中介绍并研究了赫斯顿模型。我们有xt=xexput-ZtYsds+ZtpYsdWs,在μ=0和x=1的情况下，以下公式适用于Heston模型中的密度D（1）：D（1）t（x）=Ax-AexpnAplog xo（日志x）-+交流电1+O（（对数x）-)（29）作为x→ ∞, and d（1）t（x）=eAxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（30）作为x→ 0.公式（29）和（30）中出现的常数将在下面描述。在ρ=0的情况下，公式（29）和（30）在[19]中得到；在[14]中，公式（29）和（30）在ρ=0的情况下得到-1 < ρ < 0 . 关于这些和类似结果的更详细讨论见[18]。对于l x和u，我们得到了（1）t（x）=Bx-AexpnAplog xo（日志x）-+交流电1+O（（对数x）-)（31）作为x→ ∞, and d（1）t（x）=eBxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（32）作为x→ 0.在（3.1）和（32）中，常数带宽定义如下：B=Axeut-A.-1andeB=eAxeuteA-（32）的证明使用（29）和以下简单公式：expnrplog x+ro=expnrplog xo1+O（（对数x）-), 十、→ ∞, R∈ R、 R∈ R、和（logx+R）R=（logx）R1+O（（对数x）-), 十、→ ∞, R∈ R、 R∈ R.（32）的证明是相似的。

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2022-5-6 01:05:47

它基于公式（30）。接下来，我们将为公式（29）和（30）中出现的常数提供明确的公式。考虑到≥ 1.确定s byT订单时刻的爆炸时间*（s） =sup{t≥ 0:E[Xst]<∞},对于任何t>0，让s+是由s+=s+（t）=sup{s定义的上临界力矩≥ 1:E[Xst]<∞}.对于赫斯顿模型，爆炸时间T*是明确已知的（见[4,22]）。然后，可以从t确定固定t的临界时刻*（s+（t））=t。前面的等式表示s+（t）≥ 1是函数T的广义逆*(·).下临界力矩定义如下：-= s-（t） =inf{s≤ 0:E[Xst]<∞}.对于固定t>0，数量σ+=-T*（s）ss=s+和κ+=T*（s）ss=s+分别称为上临界斜率和上临界曲率。同样，低临界斜率和曲率由σ定义-= -T*（s）ss=s-和κ-=T*（s）ss=s-我很高兴。在公式（29）中，常数A、A和Aare由A给出=√π--强迫症-acc2ac-σ-交流电-+×exp-Ycρs+- bc+κ+cσ+-atc（cρs）+- b）×q（b）- cρs++c（s）+- s+）cs+（s+- 1） sinhhtq（b）- cρs++c（s）+- s+）i2ac，A=2p2yc-1σ-+,andA=s++1。此外，constantseA、eA和andeAin公式（30）如下：=√π（2y）1/4-a/cc2a/c-1/2σ-空调-1/4-经验-Ys-ρc- bc+κ-cσ--atc（cρs）-- b）PB- 2bcρs-+ 反恐精英-(1 - (1 - ρ） s-)反恐精英-（s）-- 1）新罕布什尔州- 2bcρs-+ 反恐精英-(1 - (1 - ρ） s-)!2ac，eA=2p2yc-1σ--,安第斯山脉=-（s）-+ 1).注意，上述常数取决于t。备注1。

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2022-5-6 01:05:50

从（29）和（30）可以看出(-A、 eA）属于Mellin变换形式MD（1）t的域。4具有双指数跳变的Heston模型可以是强度λ>0的标准泊松过程，并考虑由jt=NtXi=1（Vi）定义的复合泊松过程- 1），t≥ 0，其中为正同分布随机变量，使得随机变量Ui=log Vi的分布密度为双指数。这意味着g（u）=pηe-ηuχ{u≥0}+qηeηuχ{u<0}。其中η>1，η>0，p和q是正数，因此p+q=1。η>1的条件是随机变量JT具有有限期望的必要条件和充分条件。S.Kou介绍并研究了基于上述跳跃过程的Bla-ck-Scholes模型的扰动（见[23]，另见[24]）。在[20]中，我们考虑了Heston模型的类似扰动。扰动Heston模型中的股价过程和方差过程Y满足以下随机微分方程组：deXt=ueXt-dt+√YteXt-dWt+eXt-dJtdYt=（a）- bYt）dt+c√YtdZt。（33）复合泊松过程J独立于标准布朗运动W和Z。过程X和Y的初始条件分别用X和Y表示。不难看出ext=xexp（ut-ZtYsds+ZtpYsdWs+NtXi=1Ui）。（34）第（34）条中等式的有效性源自多尔-戴德公式（例如，见[26]）。具有双指数跳跃的赫斯顿模型是一种混合随机模型。实际上，使用公式（34），我们可以将processeX分解为以下过程的乘积：X（1）t=xexput-ZtYsds+ZtpYsdWs（35）和x（2）t=exp（NtXi=1Ui）。（36）注意X（1）=X，其中ex是（28）描述的赫斯顿模型中的股价过程。还要注意的是，对于每个t≥ 0，我们有EhX（2）ti<∞ （见下文备注2）。让我们把Tt=PNti=1Ui。

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2022-5-6 01:05:53

随机变量TTI的分布由dut（y）=e给出-λtdδ（y）+G（t，y）e-ηyχ{y>0}+G（t，y）eηyχ{y<0}dy，（37）y在哪里∈ (-∞, ∞) δ是y=0时的δ值。前面公式中的函数和Gin由g（t，u）定义=∞Xk=0akuk，u>0，（38）且ak=ηk+1k！∞Xn=k+1πnPn，k+1，（39）和g（t，-u）=∞Xk=0bkuk，u>0，其中bk=ηk+1k！∞Xn=k+1πnQn，k+1。（40）前面公式中的数字π取决于t。它们由π=e定义-λtandπn=e-λt（λt）n（n！）-1对于所有n≥ 1.此外，数字Pn，k=n-1Xi=kN- K- 1i- K镍ηη+ η我-Kηη+ ηN-ipiqn-我（41）代表所有人1≤ K≤ N- 1，和qn，k=n-1Xi=kN- K- 1i- K镍ηη+ ηN-我ηη+ η我-荷兰皇家电信-iqifor all 1≤ K≤ N- 1.我们还有Pn，n=Pn和Qn，n=Qn。公式（37）可以使用[23]中的命题B.1推导（见[20]中的推导，或[18]第10.8节）。由（37）可知，随机变量X（2）t的分布u（2）t（X）=e-λtdδ（x）+H（t，x）dx，x>0。（42）在（42）中，δ是x=1时的增量度量，函数H由H（t，x）=H（t，x）x定义-η-1χ{x>1}+H（t，x）xη-1χ{0<x<1}，（43），其中h（t，x）=G（t，logx），x>1，（44）和h（t，x）=G（t，logx），0<x<1。（45）下一节提供了（39）和（40）中系数akand Bk的有用近似值。定理10。存在与k无关的正常数c和c，并且0<ak-贝克≤ cbakk+1，k≥ 0，（46）和0<bk-bbk≤ cbbkk+1，k≥ 0，（47）式中bak=expηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！，K≥ 0，且bbk=expηλtpη+η- λt（ηλtq）k+1k！（k+1）！，K≥ 0.证明。因为我≥ 1和m≥ i+1，放γk+m，k+i=M- 2i- 1.k+mk+iηη+ η我-1.ηη+ ηM-ipk+iqm-i、从（39）和（41）中可以看出，对于所有k≥ 1，ak=∞Xi=0ak，i，（48）式中，0=ηk+1k！πk+1pk+1andak，i=ηk+1k！∞Xm=i+1πk+mγk+m，对于所有i≥ 1.我们有ak，0+ak，1=e-λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！\"1 +∞Xm=2（m- 1)!ηλtqη+ηM-1#=经验ηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！=贝克。

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2022-5-6 01:05:57

因此，（48）、（49）和（50）意味着：≤ ak-贝克=∞Xi=2ak，i=e-λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！∞Xi=2（k+i）·（k+2）（i）- 1)!ηη+ η我-1pi-1.∞i（xmt）1+λ-1（m）- 2)!（m）- 我- 1)!（m）- i） !！ηη+ ηM-智商-我≤ βbakk+1∞Xi=2i！（一）- 1)!ηη+ η我-1（λtp）i-1.∞Xj=0（λt）j+1（j+i）- 1)!J（j+1）！ηη+ ηj+1qj+1，（51），其中β为正常数。因为我≥ 2和j≥ 1.我们有（j+i）- 1)!我J≤（j+i）ii！≤ βei1+ji我≤ βei+j，其中β为正常数。在证明之前的估计时，我们使用了斯特林公式。现在，不难看出（51）中的最后一个双系列收敛，由此可知（46）中的估计是有效的。（47）中估计值的证明是相似的。这就完成了定理10的证明。接下来我们将进一步简化公式（46）和（47）。SetC=ηλtp2πexpηλtqη+η- λt, B=ηλtp，C=ηλtq2πexpηλtpη+η- λt, B=ηλtq，并考虑以下顺序：d=C，dk=CBke2kk2k+2，k≥ 1，（52）和L=C，lk=CBke2kk2k+2，k≥ 1.推论2。以下公式适用：|ak- dk|≤αk+1dk，k≥ 0，（53）和| bk- lk|≤αk+1lk，k≥ 0，（54），其中α和α是一些正常数。证据我们需要m:n的渐近斯特林公式=√2πnn+e-N1+ON（55）as n→ ∞. 不难看出，使用（46）和（55）thatak=expηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！KK1+k1+Ok+1= 经验ηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！KK1+Ok+1=2πexpηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1e2k2k+21+Ok+1作为k→ ∞. 这建立了（53）。（54）的证明类似。4.1函数的性质在本小节中，我们研究（44）和（45）中定义的函数的渐近行为。首先将表明，这些函数与余数之间的变化缓慢。引理1。对于每t>0，函数x7→ H（t，x）和x7→ H（t，x）-1）属于Zygmundz类证明。让我们假设t>0。

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2022-5-6 01:06:01

因为函数x7→ H（t，x）在x>1时增加，函数φα（t，x）=xαH（t，x），其中α>0，也在增加。还有待证明函数ψα（t，x）=x-αH（t，x）最终会下降。我们有ψ′α（t，x）=-αx-α-1G（t，对数x）+x-α-1G′（t，对数x）。因此，条件ψ′α（t，x）≤ 0相当于条件‘（t，logx）G（t，logx）≤ α对于所有x>xα，它依次等价于条件G′（t，logx）G（t，logx）→ 0（56）为x→ ∞. 现在很明显，这需要证明（56）。利用函数G的定义，我们得到了G′（t，logx）G（t，logx）=P∞k=1akk（对数x）k-1P∞k=0ak（对数x）k（57），其中系数由（39）定义。不难看出，使用（46）来表示所有k≥ 2.卡卡-1.≤ck+1（58），有些c>0。因此，对于每一个ε>0，都存在一个正整数kε，使得kak≤ εak-1所有k>kε。它由（57）thatG′（t，logx）G（t，logx）得出≤Pkεk=1akk（对数x）k-1P∞k=1ak（对数x）k+ε。（59）很明显，对于固定ε，（59）右侧的第一项在x时趋于0→ ∞. 现在，不难看出条件（56）成立。这就完成了函数x7引理1的证明→ H（t，x）。函数x7的证明→ H（t，x）是相似的。备注2。根据（42），Z R、引理1表示过程t7→ X（2）tisan可积过程。引理2。对于每t>0，函数x7→ H（t，x）和x7→ H（t，x）-1）属于Rg类，其中函数g由g（x）=（logx）给出-.证据函数x7→ H（t，x）是一个与Zygmundclass越来越不同的函数。因此，必须证明存在ec>0，这样xh′（t，x）H（t，x）≤ ec（对数x）-（60）对于所有x>x（见推论1和（10））。

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2022-5-6 01:06:04

很容易看出，在（60）中的估计相当于如下：G′（t，logx）G（t，logx）=O（日志x）-（61）作为x→ ∞.我们有G′（t，logx）G（t，logx）=（logx）-1P∞k=1akk（对数x）kP∞k=0ak（对数x）k=（对数x）-1P[√对数x]k=1akk（对数x）k+P∞k=[√对数x]+1akk（对数x）kP∞k=0ak（对数x）k≤ （日志x）-+ （日志x）-1P∞k=[√对数x]+1akk（对数x）kP∞k=0ak（logx）k.（62）接下来，利用（62）中的（58），我们得到了‘（t，logx）G（t，logx）≤ （日志x）-+ （日志x）-1P∞k=[√对数x]+1cak-1k+1（对数x）kP∞k=1ak（对数x）k≤ （日志x）-+ c（对数x）-P∞k=[√对数x]+1ak-1（对数x）kP∞k=1ak（对数x）k=O（日志x）-作为x→ ∞. 这就确定了估算值（61）。函数x7的引理2的证明→ H（t，x）就这样完成了。对于函数X7→ Ht、 x, 证据是相似的。回想一下G（t，·）=P∞k=0akuk（见（38）），其中系数由（39）给出。将网络辅助功能seg（t，·）和bg（t，·）定义如下：eG（t，u）=Xk=0dkukandbG（t，u）=∞Xk=0dkk+1uk，其中≥ 0，序列d由（52）给出。那么（53）意味着| G（t，u）-例如（t，u）|≤ αbG（t，u）。函数segandbg定义为某些幂级数的和。我们的下一步是将这些函数与一些标准函数进行比较。通过分析系数dk的结构，我们猜测以下函数族可能有用：λs，r（u）=s cosh（r√u）=∞Xk=0edkuk，u≥ 0，r>0，s>0，（63），其中K=sr2k（2k）！。它是clear thated=s。此外，使用斯特林公式，我们可以看到edk=sr2ke2k√π22kk2k+1+OK作为k→ ∞. 接下来，比较系数dkanddk，我们看到如果我们设置=2√πCand r=2pB，（64）然后| dk- （k+1）-埃德克|≤ δ（k+1）-对于某些δ>0和所有k，edk（65）≥ 0

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2022-5-6 01:06:08

最后，根据（53）和（65）可知，系数Akandedk满足以下条件：|ak- （k+1）-埃德克|≤ δ（k+1）-对于某些δ>0和所有k≥ 0.4.2 Riemann-Liouville积分在本小节中，我们只考虑由具有正系数的处处幂级数给出的函数的分形积分。设f（u）=P∞n=0不能是R上的一个函数，使得所有n的cn>0≥ 0和函数F（z）=P∞n=0Cnz是C上的一个整函数。对于α<0，theRiemann-Liouville分数积分Dαf定义如下：Dαf（u）=Γ(-α） Zuf（y）（u）- y）-α-1dy。（67）那么下面的公式是有效的：Dαf（u）=u-α∞Xn=0cn，αcnun，（68），其中cn，α=Γ（n+1）Γ（n- α+1）（参见[25]第5节中黎曼-刘维尔积分的定义，以及[25]第3节中的公式（3.2））。我们将进一步刻画序列cn，α的渐近行为。使用伽马函数的交感公式，即公式Γ（u）=√2πuu-E-U1+OU作为你→ ∞, 我们得到了cn，α=e |α|（n+1）n+|α|+（n+|α|+1）n+|α|+（n+1）|α|1+ON= e |α|n+1n+|α|+1n+|α|+1（n+|α|+1）（n+1）（n+1）|α|1+ON= e |α|1.-|α| n+|α|+1n+|α|+1（n+1）|α|1+ON作为n→ ∞.不难证明，对于每一个c>0，1.-cxx=e-C1+O十、作为x→ ∞. 因此，cn，α=（n+1）|α|1+On+1作为n→ ∞, 因此（n+1）|α|=cn，α1+On+1（69）as n→ ∞. Sincecn，αn+1=Γ（n+1）（n+1）Γ（n+|α|+1）≤ cΓ（n+1）（n+|α|+1）Γ（n+|α|+1）=cΓ（n+1）Γ（n+|α|+2）=c·cn，α-1，公式（69）意味着存在一个常数δ>0（n+1）|α|- cn，α≤ δcn，α-1（70）适用于所有n≥ 0.我们的下一个目标是综合上述系数的各种估计。引理3。存在一个常数δ>0，使得ak- ck，-埃德克≤ δck，-edkfor all k≥ 0.证明。

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2022-5-6 01:06:12

从（66）、（69）和（70）中可以得出：ak- ck，-埃德克≤ak- （k+1）-埃德克+ck，-- （k+1）-埃德克≤ δ（k+1）-edk+δck，-埃德克≤ δck，-埃德克。这就完成了引理3的证明。下面的断言可以很容易地从（38）、（63）和（68）中导出。定理11。存在一个正常数，比如G（t，u）- U-D-λs，r（u）≤ 铜-D-λs，r（u）（71）表示所有u>0。在（71）中，根据（64）选择参数r和s的值。从定理11可以看出，为了理解函数g（t，u）的渐近行为→ ∞, 我们必须研究（71）中出现的分数积分在u的大数值下的表现。使用（63）和（67），我们得到了u-D-λs，r（u）=sΓZcosh（右）√（1）- y） dy=sΓ泽尔√uzz（1）- z） dz+sΓ泽-R√uzz（1）- z） dz（72）andu-D-λs，r（u）=sΓZcosh（右）√（1）-y） dy=sΓ泽尔√uzz（1）- z） dz+sΓ泽-R√uzz（1）- z） dz。我们有-R√uzz（1）- z） dz=z+z=OU-1.. （74）事实上，（74）中的第三个积分是OE-R√U, 而第二个积分可以通过两次分段积分来估计。类似地，Ze-R√uzz（1）- z） dz=OU-1.（75）美国→ ∞. 此外，泽尔√uzz（1）- z） dz=er√乌泽√u（z）-1） z（1）- z） dz=er√尤兹-R√uy（1）- y） (二)-y）伊迪。对于较小的y值，我们有（1-y） (二)-y） y=√2y+cy+··。利用沃森引理（见[10]，第103页），我们得到了√uzz（1）- z） dz=er√U√2ΓR-U-+ OU-（76）作为y→ ∞. 同样，泽尔√uzz（1）- z） dz=er√UΓR-U-+ OU-（77）作为y→ ∞.现在，我们准备阐述并证明本文的主要结果之一。定理12。设H（t，·）和H（t，·）分别为（44）和（45）定义的函数。下面的渐近公式成立：H（t，x）=√π（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}1+O（日志x）-（78）as x→ ∞, andH（t，x）=√π（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）1+Ologx-!!（79）as x→ 0.证明。公式（78）来自公式（71）和公式（72）-（77）。

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2022-5-6 01:06:15

这里我们考虑到参数r和s的值由（64）给出。公式证明（79）使用了相同的公式，我们将其作为练习留给感兴趣的读者。5具有双指数跳跃的Heston模型中股票价格密度的渐近行为在本节中，我们研究了扰动Heston模型中边际密度的渐近行为。我们的第一个目标是描述随机变量X（2）t的分布的绝对连续部分H的密度的渐近性。回想一下du（2）t（X）=e-λtdδ（x）+H（t，x）dx，x>0，其中H（t，x）=H（t，x）x-η-1χ{x>1}+H（t，x）xη-1χ{0<x<1}（见（42））。从定理12可以清楚地看出，下面的断言成立。推论3。对于每t>0，H（t，x）=√π（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}x-η-1.1+O（日志x）-（80）作为x→ ∞, andH（t，x）=√π（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）xη-11+Ologx-!!（81）作为x→ 0.接下来我们将考虑扰动Heston模型的情况，其中跳跃部分占主导地位。定理13。固定t>0，假设1+η<A，则以下渐近公式适用于具有双指数跳跃的Heston模型中的股价密度Dt:Dt（x）=√πmη（D（1）t）（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}x-η-1.1+O（日志x）-（82）作为x→ ∞. 这里D（1）是由（35）定义的随机变量X（1）的密度。定理14。固定t>0，假设ea>η- 1.对于具有双指数跳跃的赫斯顿模型中的股价密度Dt，以下渐近公式成立：Dt（x）=√πm-η（D（1）t）（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）xη-11+Ologx-!!（83）as x→ 0.备注3。符号mη（D（1）t）和m-公式（82）和（83）中的η（D（1）t）代表边缘密度D（1）t的动量（见（6））。

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2022-5-6 01:06:19

为了得到Hestondensity矩的显式公式，我们可以使用等式（D（1）t）=Ehexp{s log X（1）t}i（84）和Hestondensity模型中对数价格矩母函数的已知显式公式（例如，见[12]中的公式（3））。备注4。注意，如果1+η=A，公式（82）就变得毫无意义。事实上，如果前面的等式成立，那么mη（D（1）t）=∞ （使用（29））。类似地，ifeA=η- 1，然后我-η（D（1）t）=∞（使用（30）），公式（83）不成立。定理13的证明。回想一下，我们在Hestonmodel中用D（1）t表示股价密度。注意，随机变量exp{Tt}的分布u（2）tof有一个单数分量a音调（参见（42））。然而，我们仍然可以使用类似于公式（1）的公式来估计Dt。我们有dt（x）=e-λtD（1）t（x）+D（1）tM H（t，·）（x）。（85）我们的下一个目标是应用定理8来描述（85）中最后一项的渐近行为。我们把U（x）=D（1）t（x），ρ=-η-1，l（x）=H（t，x），f（x）=H（t，x），σ=-A、 τ=eA，h（x）=0。那么，σ<ρ<τ。事实上，条件1+η<Ais相当于σ<ρ。此外，因为- 1（利用函数D（1）和（30）的可积性），我们得到ρ<τ。现在，根据注释1和emma 2，我们可以看到，公式中的条件是8倍。它跟在D（1）tM后面 H（t，·）（x）=md（1）t(-η- 1） x-η-1H（t，x）1+O（日志x）-（86）as x→ ∞. 最后，不难看出（29）、（80）、（85）、（86）和条件1+η<Aimply公式（82）。这就完成了定理13的证明。定理14的证明与定理13相似。它基于T heorem 9、（30）、（43）、引理2、（81）和（85）。我们把细节留给感兴趣的读者。接下来，我们将解释密度dt在赫斯顿部分占主导地位的情况下的行为。定理15。固定t>0，假设1+η>A。

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2022-5-6 01:06:22

然后，在具有双指数跳跃的Heston模型中，以下渐近公式适用于股票价格密度Dt:Dt（x）=E-λt+mA-1（H（t，·））Bx-Aexp{Aplog x}（log x）-+交流电1+O（日志x）-（87）作为x→ ∞.定理16。固定t>0，假设ea<η- 1.对于具有双指数跳跃的Heston模型中的股价密度Dt，以下渐近公式成立：Dt（x）=he-λt+m-eA-1（H（t，·））ieBxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（88）作为x→ 0.备注5。回想一下这些符号-1（u（2）t）和m-eA-公式（87）和（88）中的1（u（2）t）代表边际分布u（2）t的矩（见（6））。为了计算公式（87）和（88）中出现的力矩，我们可以使用与公式（84）类似的公式，以及根据非对称双指数定律分布跳跃幅度的经验跳跃模型中对数价格的力矩评级函数的显式公式（例如，见[16]中b=0和σ=0的公式（1））。备注6。在1+η=A的极端情况下，公式（87）不成立，因为在前面的条件下，我们有m-eA-1（u（2）t）=∞ （使用（42）、（43）和（80））。同样，公式（88）如果ea=η则无效-1，因为在这种情况下，我们有m-eA-1（u（2）t）=∞ （使用（42）、（43）和（81））。定理15和16可以使用定理8和9从公式（31）、（32）和（85）中导出。6.在具有双指数跳跃的Heston模型中，为了创建风险中性环境，我们假设以下无套利条件适用于扰动Heston模型中的参数：u=λqη+1-pη- 1.. （89）这里我们考虑r=0。那么（34）定义的过程就是鞅（见[18]第10.8节）。请注意，证明使用了均值校正参数（例如，参见[18]中的引理10.40，或[27]，第79-80页）。

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2022-5-6 01:06:25

在本节中，假设条件（89）成立。具有双指数跳跃的Heston模型中的看涨期权定价函数C和P由C（T，K）=Eh（eXT）定义- K） +i和P（T，K）=Eh（K）-分别是eXT+i。在前面的公式中，T是到期日，K是履约价格。在具有双指数跳跃的Heston模型中，隐含波动率I（T，K），T>0，K>0定义如下。在Black-Scholes模型中，隐含波动率I（T，K）等于波动率σ=σ（T，K）的值，因此C（T，K）=CBS（T，K，σ）。这里的符号CBS代表Black-Scholes模型中的callpricing函数。在续集中，到期日T将是固定的，我们将把函数C、P和I仅视为执行价K的函数。在具有双指数跳跃的Heston模型中，隐含波动率I的渐近行为将使用理论ms 13-16中提供的股票价格密度的渐近公式来描述。我们将从大规模罢工的案例开始。通过分析理论13和15中的公式，我们发现，如果股价密度dt满足条件dt（x）=rx，那么理解隐含波动率的行为非常重要-rexp{rplog x}（log x）r1+O（日志x）-（90）作为x→ ∞, 其中r>0，r≥ 0、r>2和r∈ R.定理17。假设条件（90）成立。那么下面的渐近公式对于隐含波动率是有效的：I（K）=√√T(√R- 1.-√R- 2） rlogKx+r√2T√R- 2.-√R- 1.+2r+1√2T√R- 2.-√R- 1.日志logKxqlogKx+√2Tlog√R- 1.√R- 2(√R- 1.-√R- 2)√πr+r√2T（r）- 2)-（r）- 1)qlogKx+r（2r+1）√2T（r）- 2)-（r）- 1)logKxlogKx+OlogKx！（91）作为K→ ∞.证据为了简单起见，我们假设x=1。一般情况下的证据是相似的。从[18]中的（90）、推论7.13以及[18]中的orem 8.10得出：→ ∞,C（K）=r（r）- 1）（r）- 2）（log K）rexp{rplog K}K2-R1+O√日志K.

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2022-5-6 01:06:28

（92）因此→ ∞,对数c（K）=对数r- 1）（r）- 2） r- rlog log K- rplog K+（r）- 2）原木K+O√日志K. （93）此外，中值定理和（93）意味着logC（K）=logk+loga- 2） +O√日志K作为K→ ∞. 接下来，使用[18]中的定理9.16，λ=r- 2和∧（K）=√记录K，我们得到（K）=√√Thp（r）- 1）对数K+L（K）-p（r）- 2）日志K+L（K）i+O日志K（94）作为K→ ∞, 其中l（K）=-rplog K-r+对数K+log（r- 1）（r）- 2） r- 对数（r）- 2） +日志√R- 1.-√R- 2.√πr- 1、从（94）可知i（K）=√√T“√R- 1plog Ks1+L（K）（r）- 1）日志K-√R- 2plog Ks1+L（K）（r）- 2）日志K#+O日志K（95）作为K→ ∞. 现在，我们来看看这个公式√1+h=1+h-h+OH, H→ 在（95）中，通过简化，我们得到了x=1的公式（91）。这就完成了定理17的证明。下一个theo-rem刻画了具有双指数跳跃的Heston模型中大冲击时隐含波动率的渐近行为。定理18。设T>0，假设1+η<A，则公式（91）适用于r=√πmη（D（1）T）（ηλtp）expηλtqη+η- λT,r=2pηλtp，r=η+1，r=-.另一方面，如果1+η>A，则公式（91）适用于r=E-λT+mA-1（H（T，·））B、 r=A，r=A，r=-+交流证明。定理18源自定理13、15和17。备注7。在K.Gao和R.Lee[15]的文章中，给出了一个四项渐近公式和阶数的误差估计（日志K）-, K→ ∞, （96）在负相关Heston模型中发现了隐含波动性（见[15]，Corolla ry8.1）。利用（29）和定理17，我们可以得到一个更精确的五项渐近公式和O阶误差估计（日志K）-1.作为K→ ∞. 这个公式中的第五项是clog log Klog K。前面的表达式比（96）中的表达式快。[15]中公式d包含较弱误差估计的原因如下。

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2022-5-6 01:06:31

在证明其结果时，Gao和Lee使用了[14]中的公式（4.2），这是Heston模型中call Pricing函数的渐近公式，相对误差估计为（日志K）-. 然而，在公式a.4中，含有[ty]。更准确地说，是力量-在误差估计中，该公式可以用幂代替-. 实际上，需要将公式（4.1）中的表达式在[14]中积分两次。公式（4.1）是负相关Heston模型中股票价格密度的渐近公式，包含正确的相对误差估计（日志x）-. 注意，在boo k[18]中[14]结果的表述中，负相关Heston模型中调用优先级函数的渐近公式包含一个正确的误差项（见[18]中的公式（8.2 8））。备注8。[29]和[16]研究了寇的模型中隐含波动率在大罢工时的交感行为。由于寇的模型是具有双指数跳跃的Black-Scholes模型，因此跳跃部分始终占主导地位。事实上，BlackScholes模型中的股价密度的衰减是对数正态的，而Kou模型中的初始部分的密度是一个规则变化的函数。[16]的作者得到了一个关于四项隐含效用的符号公式，以及O阶误差估计（日志K）-如[15]所述。用五项和O阶误差估计得到类似的展开式并不难（日志K）-1.作为K→ ∞,利用本文建立的定理8、12和17。我们的下一个目标是描述小冲击下隐含波动率的渐近行为。这里我们借用了[18]第9.7节中使用的各种想法。为了简短起见，我们再次假设x=1。集合G（K）=KPK-1.. 那么G是一个通话定价函数。

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2022-5-6 01:06:35

相应的边缘密度如下：eDT（x）=x-3DT十、-1.（97）（见[18]中的备注9.20）。现在，使用定理14和16，公式（97），以及i（K）=IG的事实K-1.（参见[18]中的引理9.23），我们得到以下断言。定理19。设T>0，假设ea>η- 1.下面的公式适用于具有双指数跳跃的赫斯顿模型中的隐含波动率：I（K）=√√T(√s+1-√s） rlogxK+s√2T√s-√s+1+2s+1√2T√s-√s+1log logxKplogxK+”√2Tlog√s+1√s(√s+1-√（s）√πs+s√2Ts-（s+1）#plogxK+s（2s+1）√2Ts-（s+1）！对数logxKlogxK+OlogxK（98）作为K→ 0.In（98），s=√πm-ηD（1）T（ηλtq）expηλtpη+η- λT,s=2pηλtq，s=η，s=-.另一方面，ifeA<η- 1，则（98）与=E-λT+mA-1（H（T，·））eB，s=eA，s=eA+1，s=-+ac.7更多应用本节讨论的示例是随机s股票价格模型，该模型是赫斯顿模型与特殊指数L’evy模型的混合。扰动模型中的对数价格过程是具有正态逆高斯n边值的L’evy过程（NIG过程）。我们将在上面提到的扰动Heston模型中描述大冲击下隐含波动率的渐近行为。小罢工时的行为可以用类似的方式来描述。O.Barndorff Nielsen在[6]和[7]中分别介绍了正态逆高斯分布和NIG过程（另见[8]）。为了简单起见，我们将只考虑对称中心的NIG过程。一般情况也可以类似地处理。L etα>0且δ>0，设W（α）t=Wt+αt，t≥ 0是带漂移的布朗运动，设A是由At=infns>0:W（α）s=δto给出的逆高斯过程。再考虑一个独立的标准布朗运动：fWt，t≥ 0.然后通过Yt=fWAt，t定义NIG过程≥ 0

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2022-5-6 01:06:38

参数α控制边缘分布的尾部重量，而δ是尺度参数。让我们考虑一个混合d模型Xt=X（1）tX（2）t，t≥ 0，其中X（1）是（28）中定义的赫斯顿模型中的价格过程，而X（2）=exp{Yt}。如前所述，我们用D（k）t表示随机变量X（k）t的分布密度，k=1，2，用y的密度。密度d（2）t存在一个clos e d形式表达式。第三类血管功能的修改将在续集中需要。该函数由k（z）=z定义∞经验-z（u+u）杜。用（γ，0，ν）表示与过程Y相关的L′evy三重态。已知γ=2αΔπZK（αx）dx和ν（dy）=αΔπK（α| y |）| y | dy。以下公式适用于密度为（2）t:eD（2）t（y）=K（t）K（αpy+δt）py+δt，其中K（t）=αδteαδtπt。因此，对于所有的x>0，D（2）t（x）=k（t）xK（αp（logx）+δt）p（logx）+δt。前面的公式可在[27]中找到。已知k（z）=rπ2ze-Z1+OZ作为z→ ∞ （见[1]中的公式9.7.2]）。因此，d（2）t（x）=k（t）xrπ2αexpn-αp（logx）+δ到（（logx）+δt）1+O对数x（99）作为x→ ∞.因为对于每一个A>0和α>0，（（logx）+A）=（logx））1+O对数x安第斯潘-αp（对数x）+Ao=expn-αp（logx）o1+O对数x作为x→ ∞, 公式（99）表示d（2）t（x）=k（t）rπ2αx-α-1（对数x）-1+O对数x（100）作为x→ ∞.使用公式（100）和（31）不难看出，对于A<α+1，混合模型的赫斯顿部分占主导地位，而对于α+1<A，NIG部分占主导地位。我们的下一个目标是将EoREM 17应用于Heston+NIG模型。该模型的无ar比特率条件如下：α≥ 1和u=δ（pα- 1.- α），（101），其中u是赫斯顿模型中的漂移参数。回想一下，我们假设r=0。

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