它们的区域返回值为▄rm=▄Pm1-“Pm0”Pm0，m=A，B。投资于A和B的投资组合x的随机单期回报率=[xA，xB]为▄r（x）=▄rAxA+▄rBxB。处理投资组合风险和预期回报之间最佳权衡的一种方法是通过某种风险规避效用函数来评估风险头寸。如果二次函数u（x）=x- 0.5αx，α>0，x≤ 选择1/α，仅需要▄稀有的前两个时刻。事实上，E[u（≈r（x））]=Er（x）- 0.5αОr（x）= \'\'r（x）- 0.5αEr（x）,因此，作为Var（▄r（x））=Er（x）- E[~r（x）]，E[u（~r（x））]=(R)r（x）- 0.5αVar（▄r（x））+▄r（x）,式中，r（x）=rAxA+？rBxBandVar（~r（x））=Var[~rA]xA+2Cov[~rA，~rB]xAxB+Var[~rB]xB。那么，“最优”投资组合就是唯一向量x*解决了约束最大化问题Maxx∈SE[u（￠r（x））]，其中S={x∈ R： xA+xB=1}。标准拉格朗日方法yieldsx*A=α-1（(R)rA- (R)rB）- 冠状病毒[￠rA，￠rB]+变异病毒[￠rB]- \'rB（\'rA- (R)rB）（Var[￠rA]- 2Cov[￠rA，￠rB]+Var[￠rB]+（(R)rA）- (R)rB）（4.1）并确保x*确实是E[u（~r）]的约束最大化子。rmis表示Pm1的关键点。公式（2.2）得出▄Pm1=（1+km）▄Pm0-dm1，m=A，B，因此'Pm1=（1+km）'Pm0- dm0（1+gm），VarhPm1i=（1+km）VarhPm0i- 2（1+km）Covhdm1、~Pm0i+dm0Var[~gm）、CovhPA1、~PB1i=CovhPA0、~PB0iYm=A、B（1+km）-m6=lXm，l=A，B（1+km）Covhdm1，Pl0i+dA0dB0Cov[gA，gB]。为了完成这项任务，需要确定单个股息和股票价格之间的协方差。

再次使用f或m，l=A、B和p的事实≥ 1（见（3.6）），Eh▄dm1▄dlpi=dA0dB0（1+Gm）（1+gl）p，结果是COVH▄dm1，▄Pl0i=dm0Cov[▄Gm，▄gl]1+gl▄Pl0；特别是，对于m=l，Covh▄dm1，▄Pm0i=dm0Var[▄gm]1+▄gm▄Pm0。后一个表达式最终包含了确定（4.1）和最优投资组合策略所需的所有元素。4.1计量经济分析为了对之前章节中提出的理论结果进行实证检验，利用了E.O N（A）和圣戈班（B）的真实市场数据（来源：彭博社）。截至2016年12月31日，这两家公司已被纳入欧洲斯托克50指数，该指数涵盖了欧洲市值最大的50家公司。选择这些公司的原因在于，他们的股息历史序列是可用的最充分的，从1989年到2016年，共有28笔股息的数据。此外，他们的数据满足（2.4）分母为严格正的条件，导致两种股票价格的正方差。表1总结了这些数据。它显示1989年和2016年支付的股息、时间序列中的最低和最高年度股息增长率以及增长率的几何平均值和中值。这两家公司的贴现率k是通过使用标准资本资产定价模型（CAPM）方法获得的。对于每家公司，都要估计一个线性回归模型，其中因变量是股票收益率超过无风险利率的部分，而回归变量（即CAPM的市场投资组合收益率）是Eurostoxx 50指数收益率。特别是，为了估计回归线的斜率，即夏普β，使用了2012年1月至2016年12月的每周收益（共261次观测）。风险降低率的代表是RF=0.5%。

一方面，欧洲央行利率指数已于2015年初终止，而另一方面，欧洲利率在过去几年中已达到非常低的水平，这一事实证明了这一选择的正确性。作为预期市场回报率RM的近似值，采用2012年1月至2016年12月Eurostoxx50指数的对数年平均值（即RM=6.905%）。使用比股息考虑的时间风小的时间风，使得估计的折扣不会受到时间上非常遥远的值的影响。从这个角度来看，五年期的选择似乎是足够的。根据标准CAPM模型，风险调整贴现率areki=RF+βi（RM- 因此kA=6.631%，kB=7.943%。回归结果如表2和表3所示，其中显示了参数估计、t统计量和p值。斜率参数β在两个模型中都很重要，其值与CAPM的常见解释一致。圣戈班的估计β指数大于1，属于被认为“放大”股市波动的制造业，而E.ON股票对系统可变性的敏感性略有降低（β<1），这是公用事业部门公司常见的情况。常数参数α在两种模型中均不显著。我们还计算了R平方值，这在两种情况下都是令人满意的。有限的可用股息数量表明，对于两家公司来说，股息增长率只有两种替代结果（即gand g）。这样的价值稳定1：divid ends（及其增长率）摘要时间序列：1989-2016年公司ddMin Max Geom。

平均中值。0.293 0.5上- 0.4545 0.2239 0.02 0.09091 SAINT-Gobain0。664 1.24-0.4631 0.25 0.0234 0.0303表2：线性回归输出-Eurostoxx 50 vs E.ON：R=0.3741参数估计t-统计P-值α-0.0032-1.6591 0.0983β0.9571 12.4647 2.8504·10-28通过两种不同的方式获得：1。gand gare恰好低于或高于几何平均值的增长率的几何平均值（如表1所示），以及2。并计算低于或高于其中值的增长率中值（即第一和第三个四分位数）（见表1）。之所以选择这一点，是为了调查离群值对股息增长率的影响，因为众所周知，四分位数是描述性统计数据，不受极值的影响。历史概率πCd是股息增长率联合低于或高于两个阈值之一的年份数与观察次数之间的比率。表4和表5报告了联合概率和边际概率，以及通过ju st描述的两种方式获得的增长率值。每个双向表导致增长率之间协方差的不同值。在Firstcase（几何平均数）中，协方差和相关性分别为0.043%和18.232%；考虑中间值时，该值分别为0.036%和12.179%。第二种情况下观察到的不相关减少至少可以部分解释为，2007年和2008年，股息增长率达到了E.ON的21.818%和22.388%，圣戈班的25%和20.588%。

其他地方找不到类似的情况。当Var【~ gA】=0.02431，d Var【~ gB】=0.01447时，将可用数据插入公式（2.3）和（2.4）中，得出以下值：(R)PA0=11.01和'PB0=22.65，VarhPA0i=44.60表3：线性回归输出-Eurostoxx 50 vs S aint Gobain：R=0.5639参数估计t-统计P-值α0.0007 0.4341 0.6646β1.1621 18.3010 1.3869·10-48表4:E.ON vs Saint Gob ain联合概率双向表-几何平均案例1=-2.627%gB2=5.100%gA1=-5.019%π=0.25926π=0.18519 pA1=0.44444 GA2=7.390%π=0.22222π=0.33333 pA2=0.55556pB1=0.48148 pB2=0.51852表5：E.与圣戈班联合概率双向表-中值案例GB1=0.000%gB2=8.688%gA1=0.000%π=0.28π=0.24 pA1=0.52gA2=13.810%π=0.2π=0.28 pA2=0.48pB1=0.48 pB2=0.52，VarhPB0i=79.86。最后，将所有数据插入（3.7），当考虑几何平均增长率时，两家公司股价之间的协方差为1.11872，如果使用中间值，则协方差为0.93951。这些数据最终用于执行本节开头介绍的均值-方差分析。为了简单起见，只考虑几何平均数情况。期望收益向量和方差与协方差矩阵，“rA”rB=2%2.34%和Var【~ rA】Cov【~ rA，~ rB】Cov【~ rA，~ rB】Var【~ rB】=0.4155 0.00510.0051 0.1798.最小方差投资组合xminis是在预算约束下，通过最小化Var[~r（x）]获得的。结果表明，xmin=[29.85%，70.15%]，其中rmin=2.24%，Var[ rmin]=0.1276。根据（4.1）组合x的构成*取决于参数α：图（1）显示了风险厌恶与投资于E.on的数量之间的单调关系。

随着α的增长，风险厌恶情绪增加，因此投资于E.ON的财富比例增加，直到达到其最小投资组合水平xmin。之所以会出现这种情况，是因为即使圣戈班在均值方差方面占主导地位（即“rA<”rBand，同时Var[~rA]>Var[~rB]），两支股票的组合（由于协方差非常接近于0）也可以降低投资者在选择其中一种资产时应承担的风险。E.ON股票在投资组合中的适当比例会导致多元化。5结论性意见本文提出了一个确定股票价格之间协方差的封闭式公式，该公式根据SDDM表现。这个公式表明，正如人们所期望的那样，股价之间的协方差与它们的利率的协方差严格相关。图1：E.ON的最优投资与α0.5 1 1.5051015253035αE.ON的最优投资（增长百分比）。这意味着随机股票价格之间的协方差行为是由其增长率的共同概率决定的。DDM股票价格方差及其协方差的公式可以作为一套完整的工具，能够调查并可能扩展公司金融中的现有结果（例如Larsonand Gonedes（1969）和Yagil（1987）分析mergingagreements中的汇率决定）以及金融数学（价值-at-R isk和预期短缺风险衡量指标，用于包含价格根据SDDM表现的股票的投资组合）。

除此之外，基于联合概率的股价协方差公式为引入copulae提供了空间，这一点松散地达到峰值，允许对两支股票的边际行为之间的大量（不一定是线性）联系进行建模。6附录H▄PA0▄PB0i的解析表达式=+∞Xj=1+∞Xp=1EhdAjdBpi（1+kA）j（1+kB）通过召回获得的PI（3.6）。结果是EHPA0PB0i=dA0dB0+∞Xp=1pXj=1（1+GA）j（1+gB）p（1+kA）j（1+kB）p |{z}#1++∞Xj=p+1（1+(R)gA）j（1+GB）p（1+kA）j（1+kB）p |{z}#2.（6.1）为了便于记法，对于i=A，B，γgi=1+(R)gi1+ki和γgi=1+gi1+ki，let。总和#1变为γpgBpXj=1γjGA=γGA1- γGA1.- γpGAγpgB，当总和#2，一旦'gA<kA，就收敛到正值时，减少到γpgB+∞Xj=p+1γjgA=γgA1- γgA（γGBγgA）p.观察γGBγgA=（1+’gA）（1+’GB）+Cov[’gA，’GB]（1+kA）（1+kB）=γgAγGB，和（6.1）结果+∞Xp=1γGA1- γGAγpgB-γGA1- γGA（γGAγgB）p+γgA1- γgA（γGBγgA）p= dA0dB0γGA1- γGA+∞Xp=1γpgB+γgA1- γgA-γGA1- γGA+∞Xp=1（γGBγgA）p.现在，P+∞p=1γPGB接近γgB1- γgB=1+(R)gBkB- 如果“gB<kB”，则“gB>0”，其中SP+∞p=1（γGBγgA）p接近γgAγgB1- γGAγgB=（1+’GA）（1+’gB）+Cov[~GA，~gB]（1+kA）（1+kB）- （1+/gA）（1+/gB）- 冠状病毒[￠gA，￠gB]如果|（1+(R)gA）（1+(R)gB）+冠状病毒[￠gA，￠gB]|<（1+kA）（1+kB）。此外，ob服务于“Pm0=dm0γgm1- γgm，m=A，B.～PA0和～PB0is之间的协方差，则Covh～PA0～PB0i=dA0dB0γGA1- γGAγgB1- γgB+γgA1- γgA-γGA1- γGAγGAγgB1- γGAγgB-γgA1- γgAγgB1- γgB= dA0dB0γGA1- γGAγgB1- γgB+γgA1- γgA-γGA1- γGAγGAγgB1- γGAγgB-γgA1- γgAγgB1- γgB= dA0dB0γGA1- γGA-γgA1- γgAγgB1- γgB-γGAγgB1- γGAγgB= dA0dB0×γGA- γgA（1- γGA）（1- γgA）×γgB（1- γ（GA）（1）- γgB）（1- γGAγgB）=dA0γgA1- γgA×dB0γgB1- γgB×γGA- γgAγgA（1- γGAγgB）=PA0？PB0？γGA- γgAγgA（1- γGAγgB）。

（6.2）现在，回顾γGA、γGA、γgB和GA的定义。然后，γGA- γgA=Cov[￠gA，￠gB]（1+kA）（1+gB）和γgA（1- γGAγgB）=（1+(R)GA）（（1+kA）（1+kB）- （1+/gA）（1+/gB）- Cov[￠gA，￠gB]（1+kA）（1+kB）替换（6.2）中的这些表达式，Covh▄PA0▄PB0i=▄PA0▄PB0×Cov[￠gA，▄gB]（1+kA）（1+kA）（1+kB）（1+kA）（（1+kA）（1+kB）- （1+/gA）（1+/gB）- Cov[￠gA，￠gB]=？PA0？PB0×（1+kA）（1+kB）（1+gA）（1+gB）×Cov[￠gA，￠gB]（1+kA）（1+kB）- （1+/gA）（1+/gB）- Cov[￠gA，￠gB]。这证明了所声称的公式。参考文献[1]Agosto A.，Moretto E.《方差问题》（在随机股息贴现模型中），《金融年鉴》11283-295（2015）。[2] D\'Amico G.《股票估值问题的半马尔可夫方法》，《金融年鉴》，9（4），589-610（2013）。[3] D\'Amico G.：广义半马尔可夫分割D贴现模型：风险和回报。arXiv。http://arxiv.org/abs/1605.02472（2016）。2016年7月13日查阅。[4] Gordon M.J.，Shapiro E.：《资本设备分析：所需收益率》，管理科学3，102-110（1956）。[5] Hurley W.J.《计算广义随机股息贴现模型的时机和置信区间》，数学金融杂志3275-279（2013）。[6] Hurley W.J.，Johnson L.D.：一个现实的股息估值模型。金融分析师Journal，50（4），50-54（1994）。[7] Hurley W.J.，Johnson L。D、 ：广义马尔可夫股息贴现模型，《投资组合管理杂志》，25（1），27-31（1998）。[8] Larson K.D.，Gonedes N.J.：《公交组合：汇率决定模型》，会计评论，444720-728（1969）。[9] Williams J.B.：投资价值理论。

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