因此，为了对ρuζ进行推断，我们可以完全按照经典测量误差的情况进行：所有的变化都是对eκ的解释。这突出了使用无标度PAR同位化的一个关键优势：对püz和püz的解释。*不要依赖于ψ。然而，命题3.1确实在eκ和ψ之间建立了一个cro-ss限制。如果β是我们感兴趣的参数，我们可以忽略这一事实，继续测量，就好像测量误差是经典的一样。因为我们实际上对β=（1+ψ）eβ感兴趣，所以需要额外的步骤。为了对β的已识别集进行推断，我们依赖命题B.3在任何给定的简化形式下得出β的屈服边界。为了对部分识别的参数β进行推断，我们首先画出φ（j），然后采样（eκ（j），ρ（j）uξ）*, ρ（j）uζ）统一于结果条件识别集，如第4.2节所述。然后，我们从命题3.1中定义的区间[ψ（eκ（j）），ψ（eκ（j））]中均匀地画出ψ（j）。考虑到这些绘图，我们使用第2.4.4节简化形式参数的后验推断的推导构造β（j）的隐含绘图，以执行第4.1小节和第4.2小节的程序。研究人员必须为简化形式参数获得后验。正如我们在上文第2节中所示，m回归斜率的减少（φy、φT、φz）在确定识别集f或θ时不起作用。因此，我们只需要∑的后向图。在下面的实证例子中，我们采用以下简单方法。给定一个包含n个观测值（yi，Ti，zi，xi）的iid样本，让y=（y，…，yn）′，并以类似方式定义T和z。进一步定义X′=（X′…，X′n）andY=[y T z]。

我们从逆Wishart（ν，S）分布中得出∑，其中ν=n- k+3+1，S=（Y）- XbB）′（Y- XbB），bB=（X′X）-1x’y和k是外生协变量向量席的维数。注意，这个分布的平均值等于S/（n）-k） ，从（6）中给出的简化形式回归得到的OLS残差的样本协方差矩阵。逆Wishart（ν，S）分布是多元简化形式回归中的边际后验概率∑，通过叠加（6）在一个有效的先验误差和正态误差下获得（参见例如Zellner，1 971，第8.1节）。为了简单起见，我们从经典测量误差和二进制测量误差的逆Wishart后验中得出简化形式的协方差矩阵*案例。当然，如果任何变量（y，T，z）是离散的，则简化形式的误差不能是标准的。尽管如此，我们发现Wishart后验f或∑仍然以S/（n）为中心-k） 正如我们在附录D中所讨论的，在温和条件下，在大样本中几乎是正常的。注意二元t中命题3.1的ψ的界*病例涉及p。为了解决这个小的并发症，我们采用经验贝叶斯方法，将p设置为样本分析bp。因为这个数量是非常精确的估计，它对我们的影响可以忽略不计。我们的∑逆Wishart后验法的另一种替代方法是Bayes Bootstrap方法，该方法遵循了ByBollinger和van Ha sselt（2017）。5个经验示例我们现在给出了三个经验示例，说明了上述框架如何应用于实践。第5节中的示例。1和5.2涉及一个连续处理，我们假设它受到经典测量误差的影响，即ψ=0，eκ=κ和β=β。相反，第5节中的例子。3涉及一个二元处理，所以任何存在的测量都必须是非经典的。5.1比较发展的殖民起源Acemoglu等人。

（2001）使用64个国家的横截面研究机构对人均GDP的影响。由于制度质量是内生的，他们将早期西方移民在不同殖民地的死亡率差异作为工具变量。我们考虑他们的基准指标GDP/人均=常数+β（机构）+单位=常数+π（对数沉降器死亡率）+V，其中不包括协变量。这导致IV估计值为0.94，标准误差为0.16——几乎是OLS估计值0.52（标准误差为0.06）的两倍。作者将这种差异归因于经典的测量误差：根据要求，可以考虑包括协变量的替代性的特殊阳离子。结果基本上没有变化。这个估计非常重要。事实上比OLS估计的要大。这表明，机构变量中产生衰减偏差的测量误差可能比逆转因果关系和忽略变量更重要。（Acemoglu等人，2001年，第1385页）Acemoglu等人（2001年）陈述了与我们的部分识别相关的两个信念。首先，他们的讨论意味着“真正的”制度和主要方程式错误术语u之间可能存在正相关关系。这可能来自反向因果关系——更富裕的社会可以提供更好的制度——或者忽略了一些变量，例如法律起源或英国文化，这些变量可能与当今的制度质量正相关。

我们使用先验限制0<ρuξ对这种信念进行编码*< 0.9，排除了治疗内生性的不合理大值。第二，在一个脚注中，作者认为测量误差可能很大，该脚注首次使用了一种替代性的机构测量工具。从表面上看，这个脚注中的计算意味着κ=0.6的点估计，这意味着测量机构中40%的变量是噪声。下面我们考虑两种可选择的方法来编码关于席夫的辅助信息。殖民地起源示例的结果见表1。β的估计值和界限表示人均GDP的增长百分比，该百分比将由机构质量提高一个百分点而产生，通过平均征收风险保护来衡量。表中的所有其他值都是无单位的：它们要么是概率、相关性，要么是方差比s.O LS和IV估计值和标准误差，以及κ的下限L估计值，出现在面板（I）的第一行。面板（I）给出了识别集的推论。面板（II）的第一列给出了简化形式参数的后验绘图分数，该参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的f r作用：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。相比之下，根据推论2.2，面板（III）中β的识别集为(-∞, ∞) 除非ρuξ*限制。在这里，我们强调theresear chers所陈述的信念，即ρuξ*> 0以及ρuξ的n个非常保守的上界*为0.9。Emoglu等人的脚注#19。

（2001）指出，“在某种程度上，我们可以确定OLS和2SL估计值之间的差异是否可能是由于使用机构的替代测量值产生的测量误差造成的……这表明机构变量中的‘测量误差’在解释OLS和2SL估计值之间的差异方面具有正确的量级。”假设两个机构的测量值都服从经典测量误差或：T=T*+ 魔杖T=T*+ w、 两者都承受着完全相同程度的内生性，因为他们从T*在经典测量误差的假设下。因此，基于T的OLS估计收敛到κ（β+σT）*u/σT*) 而使用TTO仪器进行T转换的IV e刺激器则转换为β+σT*u/σT*. 识别率κ：0.52/0.87≈ 0.6.根据前文第4.2节所述的统一参考，给出了ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度区间。我们考虑先验限制，即κ＜0.6，在测量误差的范围上设置一个下限。这种限制来自于与Emoglu等人（2001）的作者之一的个人交流。在这一限制下，约26%的简化形式参数的绘图产生了一个空的识别集，如面板（II）的第一列所示。直观地说，这意味着有一些协方差∑与最大似然估计b∑很接近，但它不在该区域内（κ，ρuξ）*) ∈ （0,0.6]×[0,0.9]。问题不是对ρuξ的限制*但是关于κ：数据对治疗内生性的范围没有限制，尽管它们确实提供了测量误差范围的上限，如OREM 2.1所示。

事实上，κ的先验上界为0.6，仅略大于我们对L的点估计值0.54，即2.2中定义的下界。在考虑∑的不确定性后，我们发现L的后验密度有26%在0.6以上。因此，我们的框架强烈地表明，b eliefκ<0.6与数据不兼容，我们不能在这个前提下进一步进行。现在我们考虑第二个限制，它取0.6作为κ的下界，同时继续施加πu z。*∈ [0, 0.9]. 这种限制对测量误差的范围设定了上限，排除了κ的最极端可能值。该限制的结果见表1的第三行。正如我们从面板（II）的第一列所看到的，该限制不会产生空的标识集。然而，这有力地表明沉降器死亡率是一个无效的工具：在限制条件下（κ，ρuξ），70%的简化形式参数的后向图排除ρuζ=0*) ∈ （0.6,1]×[0,0.9]。图2通过描述r（κ，ρuξ）的识别集，以略微不同的方式得出了这一点*, ρuζ），在ρuζ*这是积极的。灰色区域对应于L<κ<0.6，最大测量误差与B∑一致。我们从图中看到，平面ρuζ=0仅与测量误差极其严重的区域中的识别集相交。此外，除非κ=L，否则ρuζ=0意味着ρuξ*必须接近于零，换句话说，制度几乎是外生的。这似乎难以置信。

实际上，在（κ，ρuξ）的限制下*) ∈ (0.6, 1] × [0, 0.9]，在图2a中用红色和蓝色阴影表示，确定的集合仅位于平面ρuζ=0下方，表明原木沉降器死亡率与不可观察物呈负相关。图2a显示，人们需要对不可信的事物赋予高度的先验概率。基于本文的注释19，他表示相信，机构质量的测量变化中至少有40%可能是噪音。请注意，在我们的假设前提下，后验平均值等于最大似然估计值。确定集的区域，以支持定居者死亡率是va lid工具的信念。然而，由于该集合是以∑的单个值进行评估的，因此该图并未考虑简化形式参数的不确定性。相比之下，面板（III）中ρuζ的后验可信区间通过统一的参考先验值，在条件识别集本身的∑和d的后验可信区间上平均bot h。该区间显示，平均过度递减的表格绘制，与有效仪器兼容的条件识别的相对面积非常小。图（III）中参数tρuζ的可信区间与图（II）中参数tρuζ的确定区间形成鲜明对比。面板（II）表明，我们不能排除ρuζ的识别集包括零的可能性，即∑的平均不确定性。

相比之下，专家组（III）显示，需要在识别集的极小区域上放置过多的先验概率，以支持z是有效工具的说法-0.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8βρuξ*0.00.20.40.60.8κ0.60.70.80.91.0ρuζ-0.50.00.5（a）∑β-1.0-0.50.0.0.0.0.5 1.00.0.5 1.0 1.5（b）治疗效果的后验平均值。图2：第5节中殖民起源示例的结果。1.面板（a）绘制了（ρuζ，ρuξ）的识别集*, κ） 在对应于正选择效应的区域中，∑的后验平均值进行评估：ρuξ*∈ [0, 0.9]. 0.6>κ的区域为灰色，而表面其余部分的颜色对应于处理效果β的隐含值。面板（b）给出了部分确定的参数β在限制（κ，ρuξ）相交的统一先验下的后验概率*) ∈ [0.6,1]×[0,0.9]与条件识别集（详情见第4.2小节）。红色虚线表示OLS估计，蓝色虚线表示IV估计。当然，人们感兴趣的主要问题不是定居者死亡率作为工具变量的有效性，而是制度对发展的因果影响。颜色见第4.2小节。图2a中的区域显示了κ，ρuξ*和ρuζ映射为β的相应值。蓝色表示积极的治疗效果，红色表示消极的治疗效果，白色表示零治疗效果。在bo t h方向上，颜色越深表示震级越大。从图中可以看出，我们不能排除β的负值。面板（II）第3-4列中β识别集的后可信集讲述了相同的故事，同时考虑了∑中的样本确定性。

然而，请注意，从图2a中可以看出，至少当以b∑计算时，识别集仅在ρuξ所在的区域中表示β的负值*非常大，测量误差非常小（κ接近1）。由于β的后验值完全由这些极值点确定，因此得出的推论非常保守，正如我们在第4.2节中提出的那样。这一观察结果不仅证明了m图∑的平均值过小，而且证明了条件识别集本身的平均值过小，正如我们在面板（III）中所做的那样，使用统一的参考值。与面板（II）中β的识别集的后验可信区间不同，我们的部分识别参数β的后验可信区间在有条件的统一参考之前构建，仅包含正值。这表明（κ，ρuξ）的条件识别集*, ρuz）平均只包含一个小区域，其中β为负。事实上，β的后中值为0.49，非常接近Acemoglu等人（2001）的OLS估计值。正如我们从2b中看到的，小组（III）中可信区间的后验值，IV估计值很可能过高。尽管在符合数据的合理先验信念下，死亡率和u之间可能存在负相关，但Emoglu等人。

（2001）继续讨论：似乎制度对人均收入的影响几乎肯定是积极的。5.2韦伯错了吗？现在我们考虑一个应用，在这个应用中，我们的框架从前面的例子中得出了非常明确的结论。Becker和Woessmann（2009）研究了16世纪普鲁士采用新教对许多经济和教育成果的长期影响，使用了与维滕堡相距较远的各县的差异，作为19世纪70年代新教人口比例的工具。维滕堡是马丁·路德介绍其思想和传教的城市。在这里，我们考虑他们对第4部分的估计，以详细讨论部分识别参数的识别集和推理之间的二度推理。由于先验值是一致的，“小”是指识别集上区域的相对面积：例如，图2a中，红色区域比蓝色和白色区域小。新教对识字率的影响，基于特定识字率=常数+β（新教份额）+x′γ+根除份额=常数+π（到维滕堡的距离）+x′δ+vw，其中x是人口和区域控制的向量。Becker和Woessmann（20 09）表达了对我们框架中三个关键参数的看法。首先，他们的IV策略依赖于ρuζ=0的假设，这是一个我们将在下面放松的假设。其次，作者认为1870年普鲁士人口普查被历史学家认为是非常准确的。因此，新教徒份额的测量误差应该相当小。

最后，Becker和Woessmann（2009）对新教份额内生性的本质进行了长时间的讨论，表明新教很可能与不可观察的事物呈负相关：富裕地区在宗教改革时选择新教的可能性较小，因为他们从天主教等级结构中受益更多，因为放纵所提供的机会对他们有吸引力，而且放纵成本对他们的影响较小。“新教”最初是一场涉及农民起义的“抗议”运动，反映了社会的不平等，这一事实表明了这种消极的选择偏见（第556-557页）。“韦伯错了吗？”示例见表2。β的估计值和界限表明，如果新教徒的比例增加一个百分点，那么一个县的识字率将发生一个百分点的变化。表中的所有其他值都是无单位的：它们是概率、相关性或方差比。OLS和IVE估计a和标准误差，以及面板（I）第四行中出现的κ的下界L的估计值。面板（II）给出了识别集的推断。面板（II）的第一列给出了减少后的for m参数的后向绘制分数，这些参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的分数：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。

相比之下，面板（III）显示了零件识别参数ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度间隔。在本练习中，我们包括贝克尔和沃斯曼（2009）第三节中列出的控制措施，具体包括：10岁以下人口、犹太人、女性、在该市出生的个人、普鲁士血统个人的比例、平均家庭规模、对数人口、前十年的人口增长，未报告教育信息的人口比例，以及盲人、聋哑人和疯子的人口比例。如表2所示，Becker和Woessmann（2009）得出的OLS估计值为0.10，IV估计值几乎是前者的两倍：0.19，标准误差为0.03。如果仪器有效，这相当于一个特定县的新教普及率每增加一个百分点，新教普及率就会增加不到0.2个百分点。在这个例子中，κ的估计下限不到一半，这意味着新教徒所占份额中最多有50%的测量变化可归因于测量恐惧。请注意，这个界限有些弱：鉴于作者关于普鲁士人口普查数据准确度的论点，它允许比人们认为合理的测量误差大得多。图3A描述了（κ，ρuξ）的识别集*, ρuζ）以∑的后验平均值计算。如上所述，表面用颜色表示相应的β值：蓝色表示正的处理效果，红色表示负的效果，零无效果。在两个方向上，较深的颜色表示较大的幅度。我们立即从图中看到，除非ρuξ*无论测量误差有多大，治疗效果都是积极的。

被厚厚的黑色边界包围的矩形区域表明与贝克和沃斯曼（2009）先前的信念非常接近：负选择，测量误差不太严重。该区域位于蓝色区域内，与积极的治疗效果相对应。尽管从图中可以看出有些困难，但在黑色边界a lso中包含的区域包含ρuζ=0。ρuξ*< 0，并且测量误差不大，在本例中，它似乎确实与有效仪器兼容。虽然这个例子的实质是从图3A中清楚的，但仅仅检验MLE中所评价的识别集是因式的，因为它不能解释R导出形式的不确定度。表2第3行通过为韦伯示例中的已识别集和部分识别参数提供贝叶斯推断完成了我们的分析，施加了图3A中黑色边界表示的限制：κ>0.8和-0.9<ρuξ*< 0.在本例中，小组（II）中已识别集合的推论和小组（III）中部分识别集合的推论都说明了同样的道理：鉴于我们强加的研究者信念，在本例中β极不可能为负。这是因为100%的简化形式为该Previor绘制生成一个包含ρuζ=0的识别集。类似地，如图（III）所示，在条件一致的参考先验下，ρuζ的后中值非常接近于零。如果我们希望报告β的点估计值，那么从第二栏（III）中的统一参考值得出的后中值表明，IV估计值大致正确，尽管最高后验密度区间有点偏向更大的因果影响。

此外，这些结果都对限制性κ>0.8，-0.20.0.0.2 0.4 0.6 0.8βρuξ不敏感*-0.50.00.5κ0.60.81.0ρuζ0.00.5（a）在∑β0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60 1 2 3 4（b）治疗效果的后验平均值确定集图3：“韦伯错了吗？”第5节的例子。2.面板（a）绘制了（ρuζ，ρuξ）的识别集*, κ） 以∑的后验平均值进行评估。表面颜色与治疗效果β的隐含值相关。面板（b）给出了在约束交叉点（κ，ρuξ）上的均匀先验下部分识别参数β的后验概率*) ∈ [0.8, 1] ×[-0.9,0]和条件识别集（详情见第4.2小节）。灰色红线表示OLS估计，蓝色线表示IV估计。正如我们从表2第2行看到的，该行仅-0.9<ρuξ*< 在这个例子中，作者的信念是相互一致的，他们的结果非常可靠。5.3阿富汗女孩RCTBurde和Linden（2013）使用随机对照试验的数据，研究了乡村学校对阿富汗西北部农村儿童学习成绩的影响。与没有被分配到学校的村庄相比，被分配到学校的村庄的考试成绩和报告入学率都显著提高。对女孩来说，这种影响尤为显著，她们的入学率增加了52个百分点，考试成绩增加了0.65个标准差。这两种效应在1%的水平上都具有统计学意义，并且在控制了大量人口统计学协变量后基本保持不变。这些结果量化了在农村建立学校的因果影响。

但是Burde和Linden（2013年）的数据非常丰富，足以让我们提出一个作者在论文中没有直接提到的更具体的问题：就学率对阿富汗女孩考试成绩的因果影响是什么？学校入学率作为我们对兴趣的处理方式，考试分数的0.65标准差增加成为意向性治疗（ITT）效应，而报告入学率的52%增加则成为第四阶段。在这个例子中，我们考虑了特殊阳离子测试得分＝常数+β（招生）+X’γ+ε和仪器登记使用实验随机化：在一个村子里建立的学校的女孩有Z＝1，女孩在一个村庄中没有Z＝0。vectorx包含Burde和Linden（2013）使用的相同协变量。这个数据集有三个特点，使其成为我们上面开发的方法的理想候选者。首先，入学变量不是衡量一个女孩是否上了新成立的乡村学校，而是衡量她是否上过任何类型的学校。这意味着，我们对兴趣的处理，即入学，是内生的：样本中有248名女孩没有入学，而他们的村庄正在建立一所茶学校，还有49名女孩尽管在他们的村庄里没有上过课。在这个例子中，正选择，ρuξ*> 0，似乎没有争议：让女儿入学的家长可能会有其他不受观察的特征，这有助于他们的学业成绩。第二，尽管乡村学校的分配是随机的，但这并不一定使其成为有效的工具。

事实上，作者认为，如果乡村学校的质量低于传统公立学校，并且一些原本会就读于传统公立学校的受教育学生转而就读于乡村学校，那么建立乡村学校可能会通过除增加入学人数之外的其他渠道影响绩效，或者，如果未被纳入治疗组的儿童经历了来自已纳入治疗组的兄弟姐妹或其他同龄人的积极溢出效应。（Burde and Linden（2013），第36页。）第三，学校入学状况是根据家庭调查确定的，因此可能会出现大量误报。请注意，入学过程中的非差异性测量误差不会影响ITT的估计，但会使建立学校对入学的估计因果影响产生偏差。阿富汗女孩随机对照试验的结果见表3。β的估计值和界限表明女孩入学后考试成绩的标准差增加。表中的所有其他值都是无单位的。面板（I）的前两列显示了OLS和IV估计值以及标准误差。面板（I）的最后三列包含错误分类概率（α，α）上界的后验平均值，这些是：女孩是否为户主子女的指标、女孩的年龄、家庭在村庄居住的年数、法尔西假人、塔吉克假人、农民假人、户主年龄、，户主的受教育年限、家庭人口数量、杰里布索夫兰、绵羊数量、到nea rest正规学校的距离，以及查查兰省的假人。ψ的下界=-(α+ α). 通过设置eκ=L并应用命题3.1计算，因此对应于图1中da shed曲线的轴截距和点o。

面板（II）的第一列给出了简化形式参数的后验图分数，这些参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的分数：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。相比之下，根据之前在第4.2节中描述的统一参考，图（III）显示了ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度间隔。在0.86标准偏差下，本例中的OLS估计值相当大，但IVestimate甚至很低：1.3标准偏差。ψ的后验平均值，ψ的下界=-然而，（α+α）等于-0.3. 从简化形式参数的抽样不确定性中提取，这意味着（1）-α-α） 位于[0.7,1]范围内。因此，如果z是一个有效的工具，我们将通过（17）获得约[0.9,1.3]的真实因果效应范围：二元回归器中的n-差异测量误差不影响IVestimate。然而，如果z可能无效，情况就更复杂了。我们考虑了回归子内生性的四种可能的限制条件，即ρuξ*> 0，相应的正性选择进入治疗。前三组ρuξ*∈ [0，\'ρ]表示\'ρ∈ {0.2,0.5,0.9}，对应于关于正选择的最大可能范围的信念。如表3所示，我们对ρuζ和ρuξ下的β了解很少*∈ 标准杆数（0，0.9），无论我们考虑在面板（II）中是否识别出了一个识别集，还是在面板（iii）中对T部分识别的标准杆数进行推断。但是ρuξ*= 0.9将需要一个极端的积极选择。

降低ρuξ的上界*在0.5和0.2之间，我们看到β的推论变得信息丰富。在ρuξ下*∈ [0,0.2]正如我们从面板（II）中看到的，β的识别集的90%后验可信区间不包括零。底部ρuξ*∈ [0,0.5]和ρuξ*∈ [0,0.2]，在传统一致的先验条件下，β的90%后验可信区间表明，注册率显著正回归。然而，在所有这些情况下，我们对ρuζ的推断都不能表明z是否无效。最后两个行3考虑了一个可替代的约束条件，在该约束下*∈ [0.5, 0.9]. 这与研究人员的一个信念相符，即存在很大程度的积极选择。在这种限制下，情况发生了转变：虽然我们对β一无所知，但我们有非常明确的证据表明z是无效的，ρuζ是正的。因此，相信高度积极选择的研究者将为积极溢出理论找到经验支持，该理论被认为是Burde和Linden（2013）中工具失效的可能渠道。6结论和扩展性因果推理依赖于研究者的信念。这篇论文的主要信息是，实施它们需要一个正式的框架，以防止矛盾，并确保我们了解数据所教给我们的一切。虽然这一点是一般性的，但我们在这里关注的是一个简单但常见的设置，即一个线性模型，该模型具有错误测量、内源性治疗和潜在无效的仪器，呈现了受经典测量误差影响的连续治疗和无差异测量误差影响的二元治疗的结果。

通过描述测量误差、治疗内禀性和仪器无效性之间在直观和经验上有意义的参数方面的关系，我们开发了一种贝叶斯工具，用于解释、约束和合并以符号和区间限制形式存在的可信研究者信念。正如我们通过大量的说明性实证样本所证明的那样，即使是相对较弱的研究者信念在实践中也能提供令人惊讶的信息。我们上面描述的方法可以在多个方向上扩展。一种可能性是考虑多个工具变量。另一种方法是在当地平均治疗效果（后期）环境中考虑异质性治疗效果。参考资料：塞塞莫格鲁，D.，约翰逊，S.，罗宾逊，J.A.，2001年。比较发展的殖民起源：一项实证研究。《美国经济评论》91（5），1369-1401。阿米尔·艾哈迈迪，P.，德克萨斯州德劳茨堡，2019年。具有排名限制的识别和推断，工作文件。Arias，J.E.，Rubio Ramirez，J.F.，Waggoner，D.F.，2018年。基于符号和零限制的结构自回归推理：理论和应用。鲍迈斯特，C.，汉密尔顿，J.D.，2015年9月。符号限制、结构向量自回归和有用的先验信息。《计量经济学》83（5），1963-1999年。贝克，S.O.，沃斯曼，L.，2009年。韦伯错了吗？新教经济史的人力资本理论。《经济学季刊》124（2），531-596。贝克，P.，卡普泰恩，A.，T.温斯贝克，1987年。在所有变量的任意子集中具有相关或不相关测量误差的回归的一致估计集。计量经济学：计量经济学学会杂志，1223-1230。布莱克，D.，伯杰，M.，斯科特，F.，2000年。具有非经典测量误差的边界参数估计。

美国统计协会期刊95（451），739-748。Bollinger，C.R.，1996年。当二元回归系数被误判时的边界平均回归。《经济计量学杂志》73，3 87–399。博林格，C.R.，2003年。人力资本计量误差与黑白工资差距。《经济学与统计学评论》85（3），578–585。博林格，C.R.，范·哈塞尔，M.，2017年。具有错误分类错误的回归模型中基于贝叶斯矩的推理。计量经济学杂志200282-294。伯德，D.，林登，L.，2013年。给阿富汗女孩带来教育：一个乡村学校的随机控制试验。AEJ：应用经济学5（3），27-40。陈，X.，T.克里斯滕森，K.奥哈拉，E.塔默，2016年。用于识别集的MCMC信任集，arXiv:1605.00499。康利，T.G.，汉森，C.B.，罗西，体育出版社，2012年。似乎是外生的。《经济学与统计学评论》94（1），260–272。迪特拉格利亚，F.，加西亚-吉梅诺，C.，2019年。识别错误分类的二元内生回归变量的影响。《计量经济学杂志》209（2），376-390。弗雷齐斯，H.，洛温斯坦，医学硕士，2003年。用错误测量的、可能是内在的、二元解释变量估计线性回归。《计量经济学杂志》117（1），151–178。冈德森，C.，克雷德，B.，佩珀，J.，2012年。国家学校午餐计划对儿童健康的影响：一项非参数Bounds分析。《计量经济学杂志》166（1），79-91。古斯塔夫森，P.，2015年。部分识别模型的贝叶斯推理：探索有限数据的局限性。统计和应用概率专著第141号。华润出版社，博卡拉顿。哈恩，P.R.，默里，J.S.，伊利诺伊州马诺洛波卢，2016年。贝叶斯部分识别法，用于推断会计不当行为的普遍性。美国统计协会杂志111（513）。哈蒂根，J.，1983年。贝叶斯理论。斯普林格，纽约。胡，Y.，2008年。

使用工具变量识别和估计具有误分类错误的非线性模型：一般解决方案。计量经济学杂志144（1），27–61。卡尼曼，D.，特沃斯基，A.，1974年。不确定性下的判断：启发和偏见。科学185（4157），1124-1131。凯恩，T.，劳斯，C.E.，斯泰格，哥伦比亚特区，1999年7月。NBER工作文件#7235估计了当学校被误传时，学校的回报。北川，T.，2012年7月。使用后验较低概率估计和推断设定的识别参数，工作文件。统一资源定位地址http://www.homepages.ucl.ac.uk/~uctptk0/Research/LowerUpper。PDFkleper，S.，东东莱默，1984年。所有变量均存在误差的回归的一致估计集。《计量经济学》52（1），163-184。克莱恩，B.，塔默，E.，2016年7月。一类部分识别模型中的贝叶斯推理。数量经济学7（2）。Krasker，W.S.，Pratt，J.W.，1986年。界定代理变量对回归系数的影响。《计量经济学》54（3），641-655。Kreider，B.，Pepper，J.V.，2007年。残疾与就业：根据报告错误重新评估证据。《美国统计协会杂志》102（478），432-441。克雷德，B.，佩珀，J.V.，冈德森，C.，乔利·弗夫，D.，2012年。确定snap（食品券）对儿童健康结果的影响，当参与是内源性的且被误传时。《美国统计协会杂志》107（499），958-975。莱默，E.E.，1987年。线性系统中变量的误差。《计量经济学》55（4），893-909。路易贝尔，A.，2007年3月。估计错误分类的平均治疗效果。计量经济学75（2），537-551。Mahajan，A.，2006年。识别和估计有误分类的回归模型。计量经济学74（3），631-665。文在，H.R.，舍尔菲德，F.，2009年。具有过度识别不等式矩条件的估计。

计量经济学杂志153136–154。文在，H.R.，舍尔菲德，F.，2012年。部分识别模型中的贝叶斯和频繁推理。计量经济学80（2），755-782。嗯，U. K.，2013岁。错误指定模型中的贝叶斯推断风险，以及三明治协方差矩阵。《计量经济学》81（5），1805-1849年。内沃，A.，罗森，A.M.，2012年。识别不完善的仪器。《经济学与统计学评论》94（3），659–671。波里耶，D.，1998年。修正未识别模型中的信念。计量经济学理论14483–509。Richardson，T.S.，Evans，R.J.，Robins，J.A.，2011年。潜在结果的模型透明参数化。内容：贝叶斯统计。第九卷。第569-610页。西姆斯，C.，2010年。了解非Bayesian人。普林斯顿大学经济系未出版章节。范·哈塞尔特，M.，博林格，C.R.，2012年。回归模型中的二元误分类和识别。《经济学快报》115、81-84。泽尔纳，A.，1971年。介绍计量经济学中的贝叶斯推理。约翰·威利·安德森，新泽西州霍博肯市。仅附录一个用于在线性模型中引出、合并和约束识别信念的框架Francis J.DiTra Gliaunversity of OxfordCami lo Garcia-Jimenoferal Reserve Bank of Chicago和NBERA Lemma 2.1的证明。根据（u，v，ζ，w）的定义和协方差的性质，σuw=[Cov（u，ew）-ψCov（u，T）*)]σζw=[Cov（z，ew）- ψCov（z，T）*)] - [Cov（ew，x′）- ψCov（T）*, x′）/zσvw=[Cov（T*, （电子战）- ψVar（T）*)] - π[Cov（z，ew）-ψCov（z，T）*)] - [Cov（x′，ew）- ψCov（x′，T）*)] η.通过定义ψ，[Cov（T*, （电子战）- ψVar（T）*)] = 此外，根据假设2.2，方括号中的所有列项同样等于零。因此，σuw=σζw=σvw=0。接下来，σvζ=Cov（v，z）- 根据假设2.1（ii），由于Cov（v，z）和Cov（v，x′）=0，所以Cov（v，x′）~nz=0。

最后，Cov（x，w）=[Cov（x，ew）- ψCov（x，T）*)] = 假设2.2和w的定义为0。引理2.2的证明。将（2）代入（1），并将z的约化形式代入（1），通过与（4）中y的约化形式等式相等，y=x′аy+ε=x′[β（πаz+η）+γ]+[β（πζ+v）+u]。同样地，将（2）和z的简化形式替换为（5），通过与（4）中T的简化形式等式相等，给出=x′аT+ξ=x′[τe+（1+ψ）（πаz+η）]+[（1+ψ）（πζ+v）+w]。现在，E（w）=0，因为x包含一个常数，ζ和v同样是平均值。结果如下，因为（ζ，v，u）与假设2.1和引理2.1下的x不相关。引理2.3的证明。随后立即检查（9）-（13）和联机附录-1E质量σuσ′uvσuζσ′uv（σ′v）σuζ0σζ=1 0 01+ψ1+ψ′0 0 1σuσuvσuζσuvσvσuζ0σζ1 0 01+ψ1+ψ′0 0 1,（1+ψ）>0和（1+ψ′）>0。命题2.1的证明。将（18）代入（19）并重新排列，eβ=（s-σuζ）/s，当解（21）前β时，给出β=（s- eσuξ*)/eκs。将这两种表达等同起来- σuζs=s- eσuξ*eκs（A.1）类似地，取代eβ=（s- σuζ）/sandeβeκs=（s）- eσuξ*) 转化为（22），（σu）- （s）+s- σuζs（eσuξ）*+ s） =0。（A.2）重新排列（24）得到eσuξ*= ρuξ*σu（eκs）1/2。将其替换为σuζ=σuρuζsinto（A.1）-（A.2），s- σuρuζss=s- ρuξ*σu（eκs）1/2eκs（A.3）（σu）- （s）+s- σuρuζssρuξ*σu（eκs）1/2+s= 0.（A.4）将（A.3）代入（A.4）并重新测量，我们得到σu=s（eκ）- r） eκ（1）-ρuξ*). （A.5）通过将（A.5）的正平方根代入（A.3）并求解ρuζ的结果表达式得出结果。引理A.1。在假设2.1-2.3下，（a）eσv=s（eκ- r） （b）ρuv=eρuv=ρuξ*√eκ- ρuζrpeκ- R位置2.1中定义的ris，ρuv≡ Cor（u，v）和eρuv≡ Co ru、 （1+ψ）v.艾玛A.1（A）的证明。到（18），r≡ Cor（ξ，ζ）=eπs/s。通过（11）和（17），seκ=eπs+eσv。

结果是将这些因素结合起来并重新安排。在线附录2引理A.1（b）的证明。通过（15）和（24），ρuξ*=eσv√eκsρuv+eπσζ√eκsρuζ。（A.6）通过操纵引理A.1（A），我们得到eσv/√eκs=p1- r/eκ。根据A.1（A）的定理，r=eπs/s，因此eπσζ/√eκs=r/√eκ。结果是将这两个等式代入（A.6）并求解ρuv。因为σv>0当且仅当ifeσv>0，而eσv>0当且仅当eκ>rby引理a.1（a），所以径向下的量总是严格正的，使得除以peκ- 这里是允许的。引理A.2。根据假设2.1、2.2和2。3（i）矩阵Ohm引理2.1中定义的是正定义，当且仅当σu，σv，σζ>0和ρuv+ρuζ<1。艾玛A.2.的证明。引理2.1，Ohm正定义当且仅当σu>0（A.7）σuσv- σuv>0（A.8）σζ（σuσv- σ（紫外线）- σvσuζ>0。（A.9）对于“如果”方向，首先请注意，通过（A.7），我们可以重新安排（A.8）以产生σv>σuv/σu≥0.除以σv，这意味着|ρuv |<1。现在，由于σu和σv都是正的，我们可以用σvσuto除以（A.9）的两边，得到σζ（1）- ρuv）>σuζ/σu≥ 0.由于ρuv<1，这意味着σζ>0。因此，将（A.9）除以σvσuσζ并重新排列，我们发现ρuv+ρuζ<1。对于“仅当”方向，ρuv+ρuζ<1意味着ρuv<1。通过σuσv将两侧复乘，得到σuσvρuv<σuσvsinceσu，σv>0。替换ρuv=σuv/（σuσv）并重新排列意味着（A.8）。方程式A.9采用类似的方法，将ρuv+ρuζ<1的两侧乘以σuσvσζ，然后重新排列。命题2.2的证明。根据假设2.3（ii），Ohm是积极的定义。因此，byLemma A.2σv、σu、σζ>0和ρuv+ρuζ<1。因为σv>0和ψ6=-1根据假设2.1（v），eσv≡ （1+ψ）σv>0。因此，通过引理A.1（A），eκ>ρtz。同样地，由于σu>0，它遵循m方程A。5在命题2.1的证明中，eκ>r。结合这些，我们看到eκ>max{r，r}。

根据引理A.1（A），ρuv+ρuζ<1相当于ρuξ*√eκ-ρuζrpeκ- r！+ρuζ<1（A.10）将（A.10）的项置于公分母之上并重新排列，ρuζ*+ ρuζ-2ρuξ*ρuζreκ1/2<eκ- ρeκ利用eκ>r的事实完成平方，ρuζ-ρuξ*reκ1/2<1.- ρuξ*eκ- reκ.在线附录-3现在，用（2.1）代替（ρuζ）- ρuξ*r/√eκ），我们发现（rr- eκr）1.- ρuξ*eκ（eκ- r）<1.- ρuξ*eκ- reκ取消系数（1）- ρuξ*)/eκ从两侧a和重新排列（rr- eκρ）- （eκ- r） （eκ- r） <0（A.11）使用eκ>r.扩展和简化（r- 1） eκ+（r+r）- 2rrr）eκ<0。因为∑是正定义，所以r<1。因此，前面的不等式定义了一个eκ不能取的值区间，一个由向下打开的二次函数的根限定的区间。为了确定这些根，我们将a s分解如下：eκ（r）- 1） eκ+r+r- 2rrr= 因此一个根是零，另一个是L。为了完成证明，我们证明了L<1和L>max{r，r}。对于第一种说法，请注意，∑的正不确定性意味着1- R- R- r+2rrr>0。用r<1重新排列这个不等式，就建立了L<1。对于第二个声明，注意（A.11）在eκ=max{r，r}处被违反。这与帕拉博拉函数向下展开的事实相结合，证明了L大于零和max{r，r}。定理2.1的证明。设（ρuζ，ρuξ）*, eκ）是任何满足|ρuξ的三重数*| < 1，eκ∈ （1）和（25）。考虑到这个三元组，论证通过构造错误（u，v，w，ξ）进行*) 和参数值（ψ，τ，π，η，γ，ψ）*T、 β）满足假设2.1–2.3，并生成（1）、（2）和（5）下的观测随机变量。这种结构取决于可观察到的减少的形状参数（φy、φT、φz）和误差（ε、ξ、ζ）。第一步构造w，使E（w）=0，σw=s（1）-eκ，Cov（w，ε）=Cov（w，ζ）=0，Cov（w，x）=0，Cov（w，ξ）=σw。

为此，假设χ是ζ在ζ和ε上的投影的残差，即ξ=aε+bζ+χ，Cov（ε，χ）=Cov（ζ，χ）=0。接下来，设W为任意随机变量，E（W）=0，Var（W）=1，与χ、ε、ζ和x不相关。我们根据χ和W asw定义W=1.- eκ1- Lχ +s（1）- eκ）（eκ-五十） 一,- L1/2W。（A.12）注意，（A.12）A中的常数定义良好且非负，因为L<eκ≤ 1根据提议2.2。现在，因为x包含一个常数，（ξ，ζ，ε）的平均值为零，而henceE（w）=0。此外，由于χ在构造上与ε和ζ不相关，因此Cov（w，ε）=Cov（w，ζ）=0。同样，由于χ和W都与附录-4中的x不相关，所以W也是不相关的。要计算σ和Cov（W，ξ），没有te thatVar（χ）=s-党卫军ssss-1.党卫军= s（1）- 五十） 由此得出σw=1.- eκ1- Ls（1）- L）+s（1）- eκ）（eκ- 五十） 一,- L= s（1）- eκ）和Cov（w，ξ）=Cov（w，aε+bζ+χ）=Cov（w，χ）=1.- eκ1- LVar（χ）=s（1）- eκ=σw。第二步构造误差（ξ）*, v、 u）和参数（ψ）*T、 η，γ），从而（1）生成观测到的y分布，（2）生成分布f或T*这与我们的观测值是相容的，（5）生成了观测到的T的分布。为此，设置ξ*=ξ - w1+ψ，v=ξ- w1+ψ- πζ，u=ε- βξ - w1+ψ以及*T=~nT- τe1+ψ，η=φT- τe1+ψ- πνz，γ=Пy- β~nT- τe1+ψ.将前面的表达式和简化形式一起替换为T*z和简化，我们得到βT*+ x′γ+u=x′аy+ε，πz+x′η+v=x′а*T+ξ*, τ+（1+ψ）T*+ w=x′~nT+ξ（按要求）。注意，τ在这个构造中是完全不受约束的。此外，迄今为止对ψ施加的唯一限制是ψ6=-所以除以1+ψ是很好的定义。第三步设置π和ψ，使我们的构造满足假设2.1。

首先，wehaveCov（x，u）=Covx、 ε- βξ - w1+ψ= 0，Cov（x，v）=Covx、 ξ- w1+ψ- πζ= 0因为x通过定义与减少的形状误差（ε、ξ、ζ）不相关，并且通过构造与w不相关。本验证（i）和（ii）的第一部分。现在设置π=s/[（1+ψ）s]。由于x与（ζ，ξ，w）不相关，因此Cov（z，v）=Covx′~nz+ζ，ξ- w1+ψ- πζ=s1+ψ- πs=0满足（ii）的第二部分。由于s6=0，π6=0满足（iii）。由于（iv）simpler要求x包含一个常数，这个要求基本满足。对于（v），sinceOnline附录-5T=τ+（1+ψ）T*+ w、 我们有Cov（T，T*) > 0表示任何ψ>-1.第四步验证我们的施工满足假设2.2。解决（5）堡垒问题*并将结果与（3）结合，得到ew=ψ（T+τ+w）/（1+ψ）。因此，对于任何随机变量Ξ，我们有Cov（Ξ，ew）=ψCov（Ξ，T+w）/（1+ψ）和Cov（Ξ，T）*) =Cov（Ξ，T）-w） /（1+ψ）。因此Cov（Ξ，ew）=ψCov（Ξ，T*) 当且仅当Cov（Ξ，w）=0。因此，为了验证假设2.2，必须证明Cov（u，w）=0，Cov（z，w）=0，以及Cov（x，w）=0。第一个和最后一个等式由我们对w和uabove的建设决定。对于第二种情况，我们有Cov（z，w）=~n′zCov（x，w）+Cov（ζ，w）=0。最后一步设置β=（s-σuζ）/以确保我们的施工满足假设2.3。通过引理A.2，可以验证σu、σv、σζ>0和ρuv+ρuζ<1。首先，σζ=s>0，因为∑是正定义。接下来，σv=Varξ - w1+ψ- πζ=1 + ψVar（ξ）- w） +πs- 2.π1 + ψCov（ξ）- w、 ζ）=1 + ψseκ+s（1+ψ）s-2s（1+ψ）s=1 + ψs（eκ- r） 用π=s/[（1+ψ）s]代入，并利用w的性质来构造上述结构。因为L<eκ≤ 1和L>rbyProposition 2.2，它允许σv>0。为了确定σu>0，我们证明了我们的构造满足（A.3）和（A.4）的命题2.1的证明。

通过命题2.1的论证，这意味着（A.5），并且由此得出σu>0，因为eκ>r。为此，首先注意σu=Var（ε）+β1 + ψVar（ξ）-w）-2β1+ψCov（ε，ξ）-w） =s+eβeβseκ- 2秒（A.13）为了简化这个表达式，我们使用σuξ*≡ Cov（u，ξ）*) = 冠状病毒ε - βξ - w1+ψ,ξ - w1+ψ=1 + ψ（s）-eβseκ）。重新排列，eσuξ*≡ （1+ψ）σuξ*= s-eβseκ。将其与eβ=（s）一起代入（A.13）- σuζ）/sgives（A.2）。所以lving eσuξ*= s-eβseκforeβ并将其与eβ=（s-σuz）/sgives（A.1）。如前位置2.1的证明中所述，（A.3）和（A.4）通过取代ρuζ=σuρuζ和eσuζ，从（A.1）和（A.2）开始*= ρuξ*σu（eκs）1/2。第一个等式只是定义ρuζ，因此需要验证第二个等式。通过我们的构造，Var（ξ）*) = 变量ξ - w1+ψ=1 + ψseκ=1 + ψs(1 + ψ)κ= sκ与henceeσuξ*≡ （1+ψ）σuξ*= ρuξ*σu（1+ψ）σξ*= ρuξ*σups（1+ψ）κ=ρuξ*σupseκ在线附录-6A是必需的。剩下的就是验证ρuv+ρuz<1。为了证明这一点，我们证明我们的构造满足给定引理A.1（b）的rρuv表达式。鉴于我们选择ρuζ来满足（25），所需的不等式随后出现，因为命题2.2证明中的步骤是可逆的。通过我们从上面构造u和v，σuv=Covε - βξ - w1+ψ,ξ - w1+ψ- πζ=1 + ψs-eβ1 + ψseκ-πs+πeβs.将我们选择的π和β与表达式一起替换为eσuξ*在我们对σu的推导中，这个简化为σuv=1 + ψeσuξ*-ssσuζ.替换σuv=ρuvσuσv，eσuξ*= ρuξ*σu（seκ）1/2，σuζ=ρuζρu√重新排砂会产生σvρuv=1 + ψρuξ*（seκ）1/2-s√sρuζ.期望的结果如下，因为σv=[s（eκ- r） ]1/2/（1+ψ），如上所示。推论2.1的证明。这个论点是用R=（L，1）×证明命题B.1的一个特例[-1, 1].

我们依赖另一个事实，即thatg（L）=-符号{rr- Lr}，它来自于一些简单的代数。首先假设RR<Lr。在这种情况下，g对所有x都是正的∈ （L，1）。如果x*是内部，然后是x*是Lor 1。但在这种情况下，g（L）=1，所以最大值必须出现在（L，x）处*). 找到最大值后，我们现在需要最小值。最小值可能等于g（1）。或者，它可能发生在x的一个角解上*, 在这种情况下，f简化为f（x，1）=r/√xorf（x，-1) = -r/√X取决于xequals 1还是-1.这两种功能中的一种为阴性。相比之下，g（1）是正的，所以它不能是最小值：通过检查，最小值出现在-|r|/√L.类似推理适用于rr>Lr的情况。如果rr=Lr，那么f（x，x）=xr/√因此，我们可以通过检查再次找到极值。推论2.2的证明。参见命题B.2的结果，其中推论2.2是一个特例。引理3.1的证明。根据概率定律，Cov（t*, T）=（1）- α） p*- 聚丙烯*= {(1 - α) - [α(1 - P*) + (1 - α） p*]}P*= P*(1 - P*)(1 - α- α） =Var（T）*)(1 - α- α） 因此ψ=Cov（T*, ew）Var（T）*)=Cov（T*, T）Var（T*)- 1=Var（T*)(1 - α- α） Var（T）*)- 1 = -（α+α）由（3）中的ew定义，建立第（i）部分。对于第（二）部分，首先请注意，ew只能在附录7中采用这些值{-1,0,1}yieldingE[ew]=P（ew=1）- P（ew=-1） =P（T=1，T*= 0) - P（T=0，T*= 1)= α(1 - P*) - αp*= α- （α+α）p*从中我们得到τ≡ E[ew]- ψE[T*] = [α- （α+α）p*] + （α+α）p*= α.最后，w≡ 电子战- τ - ψT*= （T）-T*) - α+（α+α）T*= （T）- α) - (1 - α- α） T*建立（三）。引理3.2的证明。根据全概率定律，p=α（1- P*) + (1 - α） p*. 重新安排这种平等会产生（i）。对于第（ii）部分，首先请注意σw=E（w），因为w在构造上是零。

现在，使用单MMA 3.1（iii）w isP（w=-α） =P（T=0，T*= 0) = (1 - α)(1 - P*)P（w=α）- 1） =P（T=0，T*= 1） =αp*P（w=1- α） =P（T=1，T*= 0) = α(1 - P*)P（w=α）=P（T=1，T*= 1) = (1 - α） p*因此，我们有e（w）=α（1- α)(1 - P*) + (1 - α） αp*+ (1 - α)α(1 - P*) + α(1 - α） p*= P*α(1 - α) + (1 - P*)α(1 - α） 经过扩展和简化。消除p*使用第（i）部分给出σw=1- α- α[（p- α)α(1 - α) + (1 - P- α)α(1 - α） 【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】。命题3.1的证明。首先，我们展示一下p*不能等于零或一。根据假设2.1（iv），ξ*如果p*∈ {0, 1}. 但是自从ξ*= πζ+v根据等式14，如果|Cor（ζ，v）|=1，则通常会发生这种情况，这被假设2.3排除。类似地，∑的正不确定性意味着p/∈ {0, 1}. 现在，依次求解α和α的引理3.2（b），我们得到α=σw- pα1- P- α、 α=σw- (1 - p） αp- α.式中σw=s（1- eκ）乘以（20）。引理3.2（a）得出α<p和α<1- pOnline附录-8自0起<p*< 1，所以分母都不能为零。现在，把α看作α的函数，α=σw- p（1）- p） （p- α),αα= 2σw- p（1）- p） （p- α)所以我们看到，一阶和二阶导数的符号完全由σw的符号决定- p（1）- p） 。因为T=τ+（1+ψ）T*+ w其中Cov（T*, w） =0，它遵循Var（T）=p（1- p） =（1+ψ）Var（T）*) + Var（w）=（1）- α- α） p*(1 - P*) + σwSince p*/∈ {0，1}，我们有σw- p（1）- p） <0。因此，α是α在区间α上的严格递减和严格共凹函数∈ [0，p）.在α=0时计算这个函数，我们得到α=s（1）-eκ）/p.设置α=0并求解α，我们得到α=s（1）-eκ）/（1-p） 。这些分别是图1中的α和α轴截距。请注意，这两个都不是负的≥ 0和eκ≤ 1.因为sis是T在x上投影的残差的方差，我们知道≤ p（1）- p） 。