因为0≤ L≤ 下面就是- 五十） /（1）- p）≤ 类似地，s（1- 五十） /p≤ (1 - p） 。因此，0≤ α<s（1）- 五十） /（1）- p） <p，0≤ α<s（1）- 五十） /p<1- p、 然而，这两个值不能同时出现。对于σw小于（1）的任何值- 五十） 与α和α相关的曲线必然位于函数E（α）=[s（1）下方-L）- (1 - p） ]α/（p- α） ，因为α=σw- (1 - p） αp- α<s（1）- L）- (1 -p） αp- α.函数E是由图1中的黑色虚线给出的外包络线，由于命题2.2中的Eκ>L，它实际上无法获得。固定eκ决定了α和α之间的功能关系。为了找到ψ的相应界，我们使用ψ=-（α+α）byLemma 3.1（i）。由于α是α的严格凹函数，α+α的最小值是角点解：s（1- eκ/p或s（1）- eκ）/（1- p） 取决于p是否大于1-p、 同样，由于函数是严格凹的，α+α的最大值可以是内部的，也可以出现在相反的角上。为了求解内部极大值，我们用约束α=[s（1- eκ）- (1 - p） α]/（p-α） 目标函数为（α+α）=α+[s（1- eκ）- (1 - p） α]/（p- α） 将右侧与α区分开来，得到了一阶条件（p- α） +s（1）- eκ）- p（1）- p） =0。这是一个平方根α=p±pp（1- p）- s（1）- eκ）。因为p（1-p） >σw这两个都是真实的。然而，“+”根违反了约束α<p，因此唯一的解是-” 根将其代入约束中，我们得到了α对应的在线附录-9解。因此，（α+α）的内部最大值出现在α=p处-pp（1）- p）- s（1）- eκ），α=（1）- p）-pp（1）- p）- s（1）- eκ）注意α≥ 0 i ff（1）- eκ>p（1）- 2p）。

类似地，α≥ i ff（1）- eκ）>（1- p） （2p）- 1).因此，（α+α）的最大值为内部作用力（1- eκ）>m（p），在这种情况下（α+α）=2pp（1- p） s（1）- eκ）- 1.B附加结果本附录包含两个附加结果的证明，这两个结果没有出现在我们的论文中，但在相关的R包ivdoctr中使用：命题B.1和命题B.2。这些命题在eκ和ρuξ的区间限制下给出了ρuζ和β的界f*.B.1提案。假设（eκ，ρuξ）*) k nown是先验的，位于一个以R为形式的集合R中吗≡ea，eb×C*, D* （L，1）×[-1, 1]. 然后，在摩尔M2.1的条件下，ρuζ的锐识别集是开放区间（minSf，maxSf），其中（eκ，ρuξ*) ≡rρuξ*eκ1/2- （rr）- reκ）1.- ρuξ*eκ（eκ- r）1/2和S是由S=S定义的有限集∪ s∪Nea，eb×{c*, D*}这是什么≡ R∩Nea，h（ea）,eb，h（eb）o、 h（eκ）≡-r（eκ- r） 1/2[（右后）- eκr）+r（eκ- r） ]1/2和Sis≡ R∩Ξ（c）*) ×{c*}∪Ξ（d）*) ×{d*}Ξ（c）在哪里*) 和Ξ（d）*) 表示（1）的根集合- ρuξ*)（2rr）- rr）eκ-rr- ρuξ*r（eκ- r） =0，ρuξ*固定在c*和d*, 分别地建议B.1的证明。为了简化这个论点中的假设，我们采用简写的x≡ eκ和x≡ ρuξ*并相应地写出f（x，x）来代替f（eκ，ρuξ）*). 同样，我们写[a，b]和[c，d]来代替[ea，eb]和[c]*, D*]. 让（x）*, 十、*) 是f的极值，定义为bx=rr/r。有两种可能性：x或*是内部的还是边界上的。我们首先展示如果x*是内部的，x*必须在边界上。如果x*如果是内部，则必须满足第一个或第二个条件f（x，x）x=r√x+（右后）- rx）px（x- r） #“xp1- （x） #=0。在线附录10我们可以假设x*6=bx，因为x*= bximplies f（x，x）=rx/bx1/2，在这种情况下x*不可能是内部的。

通过求解一阶条件，我们得到x*= h（x）*) 其中h（x）=-r（x）- r） 1/2[（右后）- rx）+r（x- r） [1/2，通过注意x来消除无关的溶液*必须与比率具有相同的符号-r/（rr）- 接收*). 从f中，我们有g（x）≡ Fx、 h（x））=-符号{rr- xr}s（rr- xr）+r（x- r） x（x）- r） 。区分和简化givesg′（x）=-（L）- r） （1）- r） 2g（x）（x）- r） 有三种情况。如果b<bx，那么g′在[a，b]上是严格正的，因此g在这个区间上单调增加，这意味着x*如果不是bx<a，那么g′在[a，b]上是严格负的，因此g在这个区间上单调地去增，同样意味着x*必须在边界上。剩下的情况是≤ bx≤ b、 注意，对于x，g是严格增加的∈ [a，bx）和严格递减f-orx∈ （bx，b）。在这种情况下，我们在x=a和x=b处获得候选极小值，但不获得候选极大值。这就完成了我们对候选极值f或内部x的刻画*.现在假设x*发生在拐角处。一种可能性是x*同样发生在一个角落；另一个是x*这是室内设计。在后一种情况下，它必须满足第一个订单条件f（x，x）x=-rx2x2/3+（rpx（x- r） +（rr- xr）（2x- r） 2[x（x- r） [3/2）第一季度- 因此多项式（1）的根- x） [（2rr）- rr）x- rr]- xr（x）- r） =0在c和d处保持x固定同样是候选极值。最后，由于f是一个连续函数，因此可以得到结果范围内ρuζ的任何值。B.2提案。假设（eκ，ρuξ）*) k nown是先验的，位于一个以R为形式的集合R中吗≡ [ea，eb]×[c*, D*]  （L，1）×[-1, 1].

然后，在M2.1以上的条件下，β的严格识别集由B给出=(-∞, ∞) , 如果[c]*, D*] = [-1, 1]党卫军- maxQg，ss- 明格, 另一方面，在线附录-11g（eκ，ρuξ*) ≡√sseκsrqeκ-Rρuξ*q1- ρuξ*- （rr）- eκr）Q是由Q=Q定义的有限集∪n{ea，eb}×c*, D*}Q在哪里给n byQ≡ R∩ （{ψ（c）*) ×{c*}} ∪ {ψ（d）*) ×{d*}})用ψ（ρuξ）*) =n2r1.-q1- ρuξ*/ρuξ*, 2r1+q1- ρuξ*/ρuξ*o、 建议B.2的证明。为了简化这个论点中的假设，我们采用简写的x≡ eκ和x≡ ρuξ*并相应地写出g（x，x）来代替g（eκ，ρuξ）*). 同样，我们写[a，b]和[c，d]来代替[ea，eb]和[c]*, D*].首先要注意，对于任何固定的x，g是x的严格单调函数。这意味着g的极值位于x的边界上。首先假设[c，d]=[-1, 1].如果r>0，对于任何x，g严格地以x和增加∈ （L，1）我们有limx→-1= -∞ 安德利姆→1= +∞. 如果r<0，则g严格减小，极限值颠倒。因此B=(-∞, ∞) . 现在假设[c，d]是（-1, 1). 在这种情况下，我们刻画了xat x=c和x=d的最佳值=√s（r）- rr/x），当x=0出现在a和b时，g作为x函数的极值。如果不是x6=0，极值仍可能出现在a和b，或者它们可能是内部的。如果是内饰，则必须满足Firstorder条件X/4- rx/x+r/x=0产生一组解ψ（x）=2r1.-q1- 十、/x、 2r1+q1- 十、/十、.因此，必须在R的所有元素上计算g∩（{ψ（c）×{c}∪ {ψ（d）×{d}）和a t角{a，b}×{c，d}。由于g是一个连续函数，因此可以得到β边界内的任何点。B.3提案。假设（eκ，ρuξ）*) 是已知的，先验的，在于R≡ [ea，eb]×[c*, D*] （L，1）×[-1, 1].

然后，在3.1的条件下，min[eα，eb]β（eκ）≤ β ≤ max[eα，eb]β（eκ），其中β（eκ）≡ min B（eκ），β（eκ）≡ 最大B（eκ），B（eκ）=（1+ψ）（s/s）- g） ：ψ∈ψ（eκ），ψ（eκ）, G∈g（eκ），g（eκ）g（eκ）=min{g（eκ，c*), g（eκ，d*)}g（eκ）=max{g（eκ，c*), g（eκ，d*)}在线附录-12和g如B.2提案B.3的顶部所述。这源于命题3.1，以及在ρuξ中gis单调的事实*对于固定的eκ和β=（1+ψ）[s/s- g（eκ，ρuξ）*)].C统一利用本附录中设定的条件，我们提供了利用Θ（Θ（j））进行统一利用的详细方法，这是我们进行第4.2小节θ推断程序的一个组成部分。我们首先描述了经典的测量误差情况，然后解释了在一元T的情况下发生了什么变化*. 在经典的测量误差情况下，ψ=0，因此eκ=κ。因此，等式（25）描述了与ρuζ、ρuξ相关的流形*和κ。为了根据研究人员的信念，统一利用这一模型，我们进行如下操作。设R表示一个矩形区域，该区域编码κ和ρuξ上的区间限制*. 我们首先在R上均匀绘制，然后根据每次绘制时歧管的局部表面积（ρ）对这些图纸重新加权(l)uξ*, κ(l)). 根据局部表面积，我们指的是toM（ρuξ*, κ） =s1+ρuξρuξ*+ρuζκ. （C.1）评估函数M所需的导数为ρuζρuξ*=ρT z√κ+ρuξ*（rr）- κr）qκ（κ- r）1.- ρuξ*ρuζκ= -ρuξ*r2κ3/2+s1- ρuξ*κ (κ - r）r+（rr- κr）κ+κ - R.为了完成重新加权，我们首先评估M(l)= M（ρ）(l)uξ*, κ(l)) 每次抽签l 这在第一步就被接受了。然后我们计算Mmax=maxl=1.LM(l)然后重新采样ρ(l)uζ，ρ(l)uξ*, κ(l)概率为p(l)= M(l)/Mmax。现在假设T*是二进制的，所以测量误差不是经典的。

在这种情况下，我们分两步进行。首先，我们在流形（ρuξ）上生成图*, ρuζ，eκ）与经典测量误差情况完全相同，只需在前面的方程式中用eκ替换κ即可。给定adraw（ρ(l)uζ，ρ(l)uξ*, eκ(l)) 然后我们生成相应的ψ(l)通过在区间上均匀绘制ψ（eκ）(l)), ψ（eκ）(l))在提案3.1中定义。在线附录-13D贝叶斯与频度推断在某些假设下，我们对第4.1小节中确定的集合的推断可以在第4.4小节中描述的∑的后验极限下开始频度重复ed-抽样解释。我们现在简要概述如何实现这一目标，并参考Kline和Tamer（2016）的研究结果。或者，你也可以效仿北川（20-12）的亲密关系。设φ表示简化形式参数向量的“真”值，即总体最大似然准则函数的解。在我们的例子中，这对应于真正的简化形式协方差矩阵∑。在（y，T，x，z）的真实数据生成过程中的弱正则性条件下，我们的逆Wishart后验根据Doob定理对φ是一致的。现在，让我们来说明基于n个观测样本的最大似然估计。在我们的例子中，这对应于样本协方差矩阵- k） 回归残差- XbB。因为我们的先验是连续的，且我们的后验是一致的，所以Hartigan（1983）定理11.2建立了√n（ν）-在truedata生成过程中，在弱正则条件下，b~nn）是渐近的nor ma l。关键的是，这对可能性是否正确确定没有影响：所需的正则性条件实际上与用于建立频率准最大似然估计的渐近正态性的条件相同。

因此，在温和的条件下，贝叶斯后验概率和频率最大似然估计都是渐近正态的。现在，让J表示信息矩阵，让h表示期望的Hessian。当信息M t r ix等于H=-J保持不变，贝叶斯后验分布和频度大样本分布一致：两者都有方差矩阵J-1.在这种情况下，我们引用Kline和Tamer（2016）的定理5来证明A（1）- δ） Θ的可信集也是精确的逐点（1）- δ） 常客信任集。如果正确规定了减少形式误差的正常可能性，则信息矩阵等式成立。然而，正确的规格并不是必要条件。设bsij和bslm为简化形式协方差矩阵∑的两个ar比特元素sijand和Sjmof的最大似然估计量。在我们的例子中，Bayesian后验和频数推断的必要和充分条件是BSIj和bslmequals（sijsjm+simsjl）之间的渐近协方差。当该条件失效时，前一段中描述的可信集和置信区间之间的等价性不再成立。该问题的一个解决方案是避免明确指定先验和似然，而是从多元正态分布（构造为与频率渐近分布精确匹配）中取样。这一想法与西姆斯（2010年）和穆勒（2013年）的“艺术的‘三明治’后验法”所描述的“实用主义贝叶斯”方法相对应。虽然我们总体上支持这一想法，但出于两个原因，我们在这里不采纳它。首先，在我们的例子中实现它需要依赖（ε，ξ，ζ）分布的估计四阶矩，这在实践中可能是不可靠的。

第二，我们的部分识别边界在很大程度上依赖于Doob定理适用的正则条件的正定义SSEEHARTIGAN（1983）4.4。形式上，必须首先验证Kline a and Tamer（2016）假设5中给出的渐近独立性。然而，本文中考虑的例子属于Kline和Tamer（2016）在备注5和引理1中讨论的情况，因此只需要通常的频率增量方法及其贝叶斯模拟的有效性。在线附录-14of∑，但从多元正态分布中绘制该矩阵的半向量化vech（∑），可以生成违反此限制的绘图。与经典测量误差情况一样，当T*是二进制的。当然，如果变量（y，T，z）中的任何一个是离散的，那么U的分布实际上不可能是正态的。尽管如此，简化形式参数的后验值仍将是渐近正态的，以最大似然估计为中心。假设前面提到的关于BSIJ和BSLM之间渐近协方差的条件近似成立，则该渐近正态后验分布将近似于频率分布的大样本分布。原则上，人们可以写下二进制T的不同可能性*案例但这需要我们对T的分布进行建模*|x、 一种应用研究人员在报告INGOLS和IV结果时通常不可知的对象。出于这个原因，我们更喜欢处理连续和二进制T*案例有一个共同的框架。然而，请注意，命题3.1中rψ的界包含p。我们建议采用经验贝叶斯方法，并将p设置为与样本模拟bp相等。

从大样本的角度来看，这是无关紧要的，而且在应用中也会引起错误。当外生协变量x仅包括一个常数时，pequals~nT，因此可以直接从我们的正态分布模型中获得该参数的后验分布。然而，在一般情况下，获得p的后验概率就不那么容易了。首先，T的简化F-r-m回归不是生成模型：它可能包含[0,1]之外的条件概率。解决这一难题需要采用非n参数方法或对T | x的分布施加参数假设。此外，将条件概率P（T | x）转换为无条件概率P需要对x的分布进行积分。对于一般x，将P的后验不确定性纳入P所需的额外复杂性似乎过大，特别是考虑到P中的采样不确定性小于∑中的采样不确定性。在线附录-15