协整函数时间的函数主成分分析

2022-4-24 15:37:42

协整函数时间序列的函数主成分分析*功能性主成分分析（FPCA）在功能时间序列分析的发展中起着重要的作用。本文研究了FPCA如何用于分析协整函数时间序列，并提出了FPCA作为一种新的统计工具的改进。我们改进的FPCA不仅为协整向量提供了一种更有效的渐近估计，而且还引入了新的基于FPCA的测试，用于检验协整函数时间序列的一些基本属性。作为实证说明，我们的方法应用于两个实证例子：美国特定年龄段的就业率和收入密度。1简介数据收集技术的进步增加了时间序列分析的必要性。例如，我们有时会处理函数观测，如随时间变化的曲线、概率密度函数和图像。在最近的文献中，称为函数时间序列（FTS）分析，提供了理论和统计处理，将函数观测视为随机元素，在潜在的有限维Hilbert空间或Banach空间中取值。Bosq（2000）对线性过程进行了严格的理论处理，Horváth和Kokoszka（2012年，第13-16章）讨论了平稳FTS的统计方面。最近，Chang等人（2016年）、Beare等人（2017年）、Seo和Beare（2019年）、Beare和Seo（2020年）以及Franchi和Paruolo（2020年）提出了协整函数过程，以模拟经济或统计时间序列，这些序列往往是非平稳的。功能主成分分析（FPCA）一直是功能观察分析的核心工具。

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2022-4-24 15:37:48

与多元数据分析的PCA类似，FPCA基于样本协方差算子的一个独立成分，并以一种有效的方式对大多数情况下高维的功能观察结果进行降维。因此，FPCA已广泛应用于各种环境中，包括函数自回归（AR）模型的推理（Bosq，2000），测试结构突变（Berkes等人，2009；Horváth等人，2010；*我感谢布伦丹·贝尔和莫顿·尼尔森对本文初稿的有益评论。作者的网站上提供了复制模拟和实证结果的数据和R代码。Zhang等人，2011年）、FTS回归（Park和Qian，2012年）、预测/预测（Hyndman andUllah，2007年；Aue等人，2015年）和长记忆FTS（Li等人，2020b）等等。Shang（2014）和H"ormann及Kokoszka（2012）很好地说明并总结了FPCA在分析中的应用。Chang等人（2016）最近的一篇文章是利用FPCA分析FTS的另一个例子；然而，与前述文章不同的是，FPCA适用于允许协整（又称协整FTS）的非静态FTS，以刻画此类时间序列的一些基本特性。假设许多经济和统计时间序列是非平稳的，但允许长期稳定的关系，它们的分析为许多潜在的应用铺平了道路；例如，参见Chang等人（2020年）。此外，Li等人（2020a）最近对非平稳分数积分FTS采用并扩展了他们的方法。本文的目的是进一步研究FPCA如何用于协整FTS{Xt}t的统计分析≥1在希尔伯特空间H中求取值。

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2022-4-24 15:37:55

本文考虑的协整FTS是一个部分非平稳过程，可以通过正交投影Pnps=I进行分解-PNXt转化为有限维单位根过程{PNXt}t≥1和潜在的有限维平稳线性过程{PSXt}t≥1.当给出这样一个时间序列时，重要的是根据观测值估计PNor Ps，因为其中任何一个都表征了时间序列的协整行为；注意，这是一个线性变换，它消除了{Xt}t的单位根分量≥1只留下它的平稳分量，这是多元协整系统中的协整向量。事实上，如果H是传统的欧氏空间，则Pnorp的估计就简化为协整向量的估计。样本协方差算子的特征元素及其渐近性质在FTS的统计推断中起到了重要作用，这在该问题中也是如此。在本论文之前，Chang等人（2016）展示了如何使用这些特征元素来构造Pn的一致估计，并提供了一些相关的渐近结果；更具体地说，他们表明，Pn可以通过投影到前导的特征向量（即对应于前导的特征值的特征向量）的跨度来一致地估计，其中是单位根分量的尺寸，可以通过其顺序测试程序来估计。在本文中，我们首先添加了一些新的渐近结果，包括从FPCA获得的PN（或等效PS）的现有估计的收敛速度和渐近极限。基于这些结果，我们提出了一种改进的FPCA方法，该方法可以保证（i）Pn的估计更为渐近有效，以及（ii）更为方便的渐近极限，从而产生新的统计学家来检验关于协整的假设。

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2022-4-24 15:38:02

为了更详细地阐述后一点，我们首先开发了基于FPCA的单位根分量尺寸测试，与Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）为相同目的开发的现有测试不同。然后，该检验被用于检验关于协整的各种假设。我们对普通FPCA的修改是由Phillips和Hansen（1990）、Park（1992）和Harris（1997）提出的，他们提出了半参数修改，以获得多元协整系统协整向量的渐近有效性。如第3.3节所述，我们改进的FPCA可以理解为Harris（1997）开发的PCA方法的扩展，即（i）如果H是有限维欧氏空间，我们对PNI的估计渐近等价于Harris（1997）提出的估计，并且（ii）我们的方法可以应用于涉及有限维H的更一般环境中跟随。第2节提供了我们关于协整FTS的符号、标准术语和主要假设。在第3节中，我们讨论了普通FPCA和我们提议的将其作为统计工具来估计PNor PS的修正，并提供了相关的渐近理论。根据我们修改后的FPCA，第4节给出了检验协整各种假设的统计测试，并报告了测试的有限样本性质的蒙特卡罗结果。我们在第5节用实证例子说明了我们的方法。所有证据都在附录中给出。希尔伯特空间中的2个协整FTS 2。1.表示内积为H·，·i且范数为k·k=H·，·i1/2的实可分希尔伯特空间。Welet LH表示H上有界线性算子的空间，配备了常用的算子normkklh=supkxk≤1kAxk。

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2022-4-24 15:38:08

对于操作员A∈ LH，我们让一个*∈ lh表示A的伴随，rana（resp.ker A）表示A的范围（resp.kernel），分别由an A={Ax:x定义∈ H} ，kera={x∈ H:Ax=0}。如果A=A*, 然后A被称为自伴。接线员∈ LHIS正半席≥ 0代表任何x∈ H和正De nnITE如果HAX，席6＝0对于任何非零x∈ H.在本文中，x y代表x，y∈ H表示运算符z 7→ hx，一级的齐伊。操作员A∈ 如果存在两个正交基{uj}j，则称LHis为紧的≥1和{vj}j≥1和实值序列{aj}j≥1变为零，这样A=P∞j=1ajujvj；我们可以假设uj=vjand a≥ A.≥ . . . ≥ 如果A也是自伴和正半限定，则为0（Bosq，2000，第35页）。对于任何一个∈ LH在封闭范围内，我们让a+∈ lh表示摩尔-彭罗斯逆；见Engl和Nashed（1981）。对于任何自伴、正半限定和紧算子∈ LHA=P∞j=1ajuj uja≥ A.≥ . . . ≥ 当am>0时，我们在此假设A |+m=Pmj=1a-1juj ujand可以称为A.A |+的m正则化逆，错误设置为0∈ LHifm=0。m-正则化逆A |+错误地理解为A在受限域跨度（{uj}mj=1）上的部分逆。如果排名A=m，则A |+m=A+。随机元素取附录A.1中介绍的H和LHare-brie fly值。我们这里只回顾一些基本的符号。lh表示H值随机变量x满足EX=0和EkXk<∞. 对于任何X∈ LH，其协方差算子由cx=E[X]定义十] 。LH值的随机元素称为随机有界线性算子。对于这类算子A和B，我们说它们具有相同的有限维分布，并写出A=fddB，如果hAx，yi，hAxk，yki）=d（hBx，yi，…，hBxk，yki）对于每个k和x，xk，y，yk∈ H

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2022-4-24 15:38:14

对于随机序列{Aj}j≥1在LH中，我们写Aj→拉卡- 阿克尔→p0。2.2模型我们让{εt}t∈Zbe是lhd中的一个iid序列，协方差为正且let{Φj}j≥0以令人满意的方式进行排序∞j=0jkΦjkLH<∞. 我们定义了{ζt}t∈Zand{ηt}t∈Zas如下，ζt=∞Xj=0Φjεt-j、 ηt=∞Xj=0eΦjεt-j、 t∈ Z、式中Φj=-P∞k=j+1Φk.在{Φj}j的可和性条件下≥0，ζtandηtare收敛于LH，算子Φ（1）：=P∞j=0ΦjandeΦ（1）：=P∞j=0eΦjare收敛于LH。我们考虑序列{Xt}t≥0其中第一个差异Xt=Xt- Xt-1使方程满意Xt=ζt端口≥ 1.然后Xt允许Beverridge-Nelson分解：Xt=（X- η） +Φ（1）Pts=1εs+ηt，对于t≥ 1.参见Phillips and Solo（1992）、Chang等人（2016）和Beare等人（2017）。忽略在发展渐近理论中不重要的初始值X和η，我们得到xt=Φ（1）tXs=1εs+ηt，t≥ 1.（2.1）注意{Xt}t≥1是非平稳的，除非Φ（1）=0；然而，它可能有一个元素x，使得{hXt，xi}t≥它静止不动。这样的元素称为协整向量，用HS表示的点积分向量的集合称为协整空间（或平稳子空间）。吸引子空间（或非平稳子空间）由HN表示，由HS的正交补定义。借用欧几里德空间中关于协整时间序列的文献中的术语（参见Stock and Watson，1988；Johansen，1995），HNmay的一个元素被称为随机趋势。当满足度（2.1）时，HS（分别为HN）由[ranΦ（1）]⊥（分别为ranΦ（1）的闭合）；见Beare等人（2017）的提案3.3。显然，H=HN⊕HS和Hn上的理论正交投影是唯一定义的，用PN表示。那么PS=I- Pn是HS上的正交投影。

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2022-4-24 15:38:20

这些投影分解{Xt}t≥在{PNXt}t的意义上，进入单位根分量和固定分量≥1是一个单位根过程，不允许任何协整向量和{PSXt}t≥1在H中是一个平稳的过程。注意{Xt}t≥1的构造均值为零，但这在本文中并不是必需的。在我们的分析中，可以允许使用非零截距或线性趋势等确定性成分进行小的修改，这将在第3.4节中讨论。对于渐近分析，我们始终应用以下附加条件。假设M.（i）P∞j=0jkeΦjkLH<∞ 和（ii）ψ=秩Φ（1）∈ [0, ∞).假设M-（i）用于数学证明，这在实践中可能没有限制性。假设M-（ii）意味着dim（HN）<∞, 在最近的文献中，基于样本协方差算子特征分解的协整FTS统计分析中通常假设这一点，参见Chang等人（2016）和Nielsen等人（2019）。备注2.1。在许多实证例子中，φ的有限性似乎是合理的，包括我们在第5节中给出的例子，以及Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）给出的例子。此外，众所周知，具有单位根的函数自回归过程（包括Klepsch et al.，2017中考虑的函数自回归过程）和紧自回归算子总是低于有限维HN；参见Beare和Seo（2020）以及Franchi和Paruolo（2020）。在这类时间序列的统计分析中，假设自回归算子的紧性是很常见的，因此在这种情况下，我们使用假设M-（ii）不会失去任何通用性。

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mingdashike22

2022-4-24 15:38:26

在这方面，在实践中，k的完整性似乎没有限制性。如果φ=0，{Xt}t≥1是静止的，HN={0}；对于我们的综合FTS研究来说，这是一个无趣的案例，除非我们在第4节中检验了φ=0的零假设。因此，我们的渐近理论（将在本节中发展）涉及以下情况：≥ 1.关于序列{Xt}t≥1为了满足假设M，可以方便地引入一些附加符号。请注意，标识I=PN+p包含以下运算符分解：对于任何∈ LH，A=ANN+ANS+ASN+ASS，Aij=PiAPj，i∈ {N，S}，j∈ {N，S}。（2.2）我们也需要PNζt，ESt=PSηt，Et=ENt+ESt。（2.3）然后我们让Ohm （resp.Γ）表示{Et}t的长期协方差（resp.单边长期协方差）算子∈Z、定义如下：Ohm = E[Et [Et]+∞Xj=1{E[Et Et-j] +E[Et-J [Et]}，（2.4）Γ=E[Et [Et]+∞Xj=1E[Et Et-j] 。（2.5）在可求和条件下∞j=0jkΦjkLH<∞, Ohm 和Γ在LH中会聚（见Beare等人2017年第3.1节）。如（2.2）所示，我们也可以将这些操作符分解为Ohm = OhmNN+OhmNS+OhmSN+OhmSSandΓ=ΓNN+ΓNS+ΓSN+ΓSS。设W={W（r）}r∈[0,1]表示H中的布朗运动，其协方差算子由Ohm, 读者可以参考Kuelbs（1973）和Chen and White（1998）对H中的布朗运动进行更详细的讨论。然后让WN=PNW和WS=PSW。请注意，Wn和Ws是相关的，除非OhmNS=OhmSN=0。为了便于数学分析，我们采用了以下高级假设：对于x，xk∈ h，我们让Ek，t=（HET，席，HET，席，…，HET，XKI）和WK（S）=（HW（S），席，HW（S），席，…hW（s），xki）。假设W.对于任何k≥ 1和x。

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大多数88

2022-4-24 15:38:32

，xk∈ H、 T-1/2PTt=1Pts=1Ek，sEk，t合并不分配工作组（s）dWk（s）+P∞j=0E[Ek，t-喷气式飞机]。上述收敛结果的适当条件可以在Hansen（1992）中找到；具体地说，从本文的定理4.1中，我们可以推断假设W满足（i）{T-1/2PbT sct=1Et}s∈[0,1]在Skorohod拓扑中弱收敛到Wk，（ii）supt≥1kEtka<∞,和（iii）{Et}t≥1是大小的强烈混合-ab（a）- b）。在这些条件中，第一个事实上是假设M的结果（见引理B.1）。3协整FTS的FPCA和渐近结果3。1协整FTS的普通FPCA对于给定的函数观测{Xt}Tt=1，我们对协整的统计推断感兴趣，这归结为HNor HS的估计和假设检验。在这里，我们将重点放在估算方面，并研究如何使用和改进FPCA。在这一节中，我们假设已知φ=dim（HN）。当然，在大多数实际应用中，这不是一个现实的假设。然而，我们已经有了一些可用的方法，可以从功能观察中确定φ，例如Chang等人（2016年）、Nielsen等人（2019年）和Li等人（2020a）中的方法。除此之外，第4节还将说明，本节给出的渐近结果将导致一种基于FPCA的新测试程序，以确定φ。如Changet al.（2016）所示，FPCA是研究协整FTS的有用统计工具。我们在这里为普通FPCA提供了一些有用的渐近结果，这将是我们改进的FPCA发展的重要输入。{Xt}Tt=1的样本协方差算子bc是bc=T给出的随机算子-1PTt=1XtXt。广义地说，FPCA简化为解决以下与bC相关的特征值问题，bC^vj=^λj^vj，j=1，2，（3.1）式中^λ≥ . . .^λT≥ 0=λT+1=λT+2=。

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2022-4-24 15:38:39

和{^vj}j≥1从估计的特征向量集{^vj}j构成H的正交基≥1.我们构造了Pn和PSA的初步估计量，如下所示，bPN k=k Xj=1^vj ^vj，bPS~n=I-bPN~n，（3.2）分别是span{^vj}~nj=1及其正交补的正交投影。Hn和Hs的估计值由bhnа=ranbPNа和bhsа=ranbPSа给出。值得注意的是，bpnа和bpsа仅由一组估计的特征向量而非整个特征向量构成，因此在计算这些特征向量时没有理论困难。还应注意，作为（3.2）中的下标，φ表示用于构造bpn的特征向量的数量；即使保留这样一个下标可能会增加符号的复杂性，当我们需要考虑第4节中的假设值φ的bpn^vj}j=1上的投影时，最终也有助于避免潜在的混淆。为了研究初步估计量的渐近性质，我们可以建立任意一个ofbPN的极限行为- PNorbPS~n- PS（一个简单地由另一个的负数表示）。下面的定理处理前一种情况：我们在下文中写出（r）来表示[0，1]上定义的任何算子或向量值函数的RA（r）dr。定理3.1。假设假设M和W与φ保持一致≥ 1.ThenT（bPN）- （请注意）→LHF+F*,其中F=fddRWN（右） WN（右）+RdWS（r） WN（r）+ΓNS.定理3.1中给出的Bpn~n的渐近性质足以证明Bpn~n的一致性→LHPN。然而，定理3.1不利于直接渐近性差异，因为F取决于干扰参数。我们特别关注ΓNSandOhmNS；如定理3.1所示，ΓNS6=0构成极限随机算子F+F*不以零为中心，以及OhmNS6=0使Wn和Ws相互关联。

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2022-4-24 15:38:45

因此，基于bpnΓorbPSΓ的任何统计的渐近极限，如果存在，也取决于ΓNSandOhm康涅狄格州将军。正如本文所示，消除这种依赖性是我们改进的FPCA和基于它的统计测试最重要的性质。备注3.1。Chang等人（2016年，提案2.1）早些时候确定了kbPN~n- PNkLH=Op（T-1）因此，我们已经知道，在LH的规范中，Pnа的一致性。应该注意的是，定理3.1通过提供所考虑的估计量的更详细的极限行为，扩展了他们的结果。更重要的是，下一节将说明，定理给出的收敛结果是修改后的FPCA方法的重要输入。3.2个修正的FPCA用于协整FTSN，我们提出了一个普通FPCA的修正，它不仅提供了PNOR PSS的渐近估计，而且为我们将在第4节中开发的统计试验奠定了基础。我们修改后的FPCA可能被视为对协整FTS的普通FPCA的调整，而不是替代方法；我们实际上充分利用了第3.1节中给出的初步估计的渐近性质。为了介绍我们的方法，我们首先定义了φ，t=bPNXt+bPS~nXt，t=1，T、（3.3）其中，bpnа和bpsа是从第3节中的普通FPCA中获得的初步估算值。然后是Ohm （2.4）和（2.5）中的Γ由B定义Ohm~n=TTXt=1Z，tZ~n，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1{Z~n，tZ~n，t-s+Z~n，t-sZΓ，t}，（3.4）bΓ~n=TTXt=1ZΓ，tZ~n，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1Z~n，tZ~n，t-s、（3.5）其中k（·）（resp.h）是满足以下条件的内核（resp.带宽），givenby Horváth等人（2013）：假设k。

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2022-4-24 15:38:51

（i） k（0）=1，k（u）=0，如果u>κ，其中一些κ>0，k在[0，κ]上是连续的，并且（ii）h→ ∞ 和h/T→ 0作为T→ ∞.从恒等式I=bPN~n+bPS~n，我们可以OhmΓ和bΓΓΓOhm~n=bOhmNN~n+bOhmNSИ+bOhmSN~n+bOhmSSΓ，bΓΓ=bΓNNΓ+bΓNSΓ+bΓSNΓ+bΓSSΓ。（3.6）然后，我们定义了一个修正变量Xа，tas如下，Xа，t=Xt-BOhmSN~nBOhmNN|+bPN~nXt，t=1，T.（3.7）φ-正则化逆EBOhm（3.7）中的NN| |+k可以很容易地从B的本征分解计算出来Ohm一旦我们知道了。设bC~n为{X k，t}Tt=1的样本协方差算子，即bC k=TTXt=1X k，t 粗略地说，在特征值问题（3.1）中，用bc~n替换gbc具有将Ws（出现在定理3.1中F的表达式中）转化为另一个独立于WN的布朗运动的效果；然而，这并不能解决限制运算符的中心依赖于干扰参数的问题。因此，我们需要进一步调整，这是通过考虑以下修改的特征值问题来实现的，卑诗省-bΥ~n^wj=^uj^wj，j=1,2，（3.9）或卑诗省-bΥ~n-bΥ*φ^wj=^uj^wj，j=1,2，（3.10）其中-bΓNNΓBOhmNN|+BOhm纳什。（3.11）我们的渐近分析不依赖于在（3.9）和（3.10）之间选择哪个特征值问题。但在实践中，强烈建议使用（3.10），因为它不会产生复杂的IGENV值，这是因为BCV的自伴性-bΥ~n-bΥ*φ. 出于这个原因，我们以后只关注后一个特征值问题。从估计的特征向量集{^wj}j≥1.我们构造了我们提出的NAND PSA估计量，如下所示：b∏N=Xj=1^wj ^wj，b∏S~n=I-b∏N~n。（3.12）请注意，B∏Nа和B∏Sа只是通过用^wjin（3.2）替换^vjj获得的。下面的定理描述了b∏Nаorb∏Sа的渐近性质。定理3.2。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.

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mingdashike22

2022-4-24 15:38:57

ThenT（b∏N- （请注意）→LHG+G*,其中G=fddRWN（右）WN（右）+RdWS。N（r）WN（右）, WS。N=WS-Ohm锡(OhmNN）+WN和ws。Nis独立于WN。与基于普通FPCA的初步估计相比，所提出的估计B∏N~n的渐近极限的形式更为方便。首先请注意，限制运算符org+G*现在以零为中心，而F+F*在定理3.1中，由于ΓNS的存在，一般情况下并非如此。此外，G的特征是两个独立的布朗运动，而F一般不是这样，因为Ohm纳什。B∏Nа的这些性质不仅有助于我们发展统计测试，以检验第4节中关于协整的各种假设，而且在某种意义上，B∏Nа渐进地比BPnа更有效，见备注3.2。备注3.2。对于任意k，x=（x，…，xk）∈ hk和y=（y，…，yk）∈ Hk，letbP（k，x，y）=（hT-PNbPSаx，yi，…，hT-PNbPSаxk，yki）和b∏（k，x，y）=（hT-PNb∏Sаx，yi，…，hT-PNb∏Sаxk，yki）。根据Saikkonen（1991）的定理3.1和Harris（1997）的第2节，可以得出以下结论：对于k、x、y和Θ的任意选择它是凸的，并且围绕原点limT对称→∞问题。nb∏（k，x，y）∈ Θo≥ 极限→∞问题。nbP（k，x，y）∈ Θo，除非OhmNS=ΓNS=0，等式一般不成立；参见附录B.1.2和Harris（1997）第2节。这意味着，对于任意选择的k、x和y，B∏（k、x、y）的渐近分布在零处比B∏（k、x、y）的渐近分布更集中。对于PSb∏Nа和PSbPNа，可以给出类似的结果。在这个意义上，我们称B n是一个特殊的情形：3.3，一个特殊情况：Harris（1997）的协整时间序列的PCA（这里）考虑了一个特殊情况：DIM（H）<∞ 和E[Et]的最小特征值 Et]呈绝对阳性。

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何人来此

2022-4-24 15:39:04

即使在这种情况下，我们修改的FPCA可以在不进行任何调整的情况下应用，我们这里也提供了一种方法来获得一个估值器，其渐近性质等于定理3.2中给出的b∏N~n。定义–X~n，t=Xt-BOhmSN~nBOhmNN|+bPN~nXt-bΓSNΓbC-1英寸，ZZ英寸。t、 t=1，T、式中bc~n，Z=T-1PTt=1Zа，t Z k，t.设k为{X k，t}Tt=1的样本协方差算子，并考虑以下特征值问题，¨C k¨wj=¨uj¨wj，j=1，2，昏暗（H）。（3.13）然后我们定义¨∏N k=P k j=1¨wj ¨wjand¨∏S k=I-二∏N。事实上，（3.13）是Harris（1997）提出的多元协整系统的奇异值问题的简单改编。根据Harris（1997）给出的症状结果，可以显示以下内容。提议3.1。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.dim（H）<∞, 和E[Et]的最小本征值 Et]绝对是积极的。然后（¨∏N~n）- （请注意）→LHG+G*,其中G在定理3.2中给出。然而，命题3.1中给出的渐近结果本质上需要bc-1~n，Zto收敛到E[Et]的逆概率（参见哈里斯1997年定理2的证明）。在有限维环境中，E[Et Et]不允许其逆作为LHand的元素，而且，bC-1~n，Zdoes不收敛于任何有界线性算子，因为最小特征值的倒数总是发散到单位。这就是为什么命题3.1不同于定理3.2，不适用于更一般的情况，允许在有限维H.3.4中包含确定性术语。我们现在调整讨论，允许可能包含在感兴趣的时间序列中的确定性术语。特别地，我们考虑以下未观测的分量模型：模型D1：XC，标准杆数＝+XT，（3.14）模型D2：X’，T＝+ + T +XT，（3.15）其中Xtis在前一节中考虑的协整时间序列。我们定义了D1型的功能要求Ut（分别为eUt）。

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2022-4-24 15:39:10

模型D2）如下：对于t=1，T，Ut=Xc，T-TTXt=1Xc，teUt=X`，t-TTXt=1X`，t-T-T+1PTt=1T-T+1X`，tPTt=1T-T+1;见Kokoszka和Young（2016）。{Ut}Tt=1和{eUt}Tt=1的样本协方差算子由C=TPTt=1Ut给出 UTADEC=TPTt=1输出分别为eUt。考虑由c vj＝sj jvj，j＝1, 2…给出的特征值问题，（3.16）eCevj=eλjevj，j=1,2。（3.17）我们同样从（3.16）（和（3.17））中获得我们的初步估算值PN~n（和ePN~n），如（3.2）所示，并让PS~n=I- PN k andePSа=I-ePN~n。如定理3.3所示，这些初步估计的渐近极限取决于Ohm恩桑德斯。定义t=1，T，Zа，T=PNаUt+PSаUt，eZа，t=ePNаeUt+ePS~neUt。{Z~n，t}Tt=1的样本长期协方差（分别为单侧长期协方差）与（3.4）（分别为（3.5））中的定义相似，并表示为OhmΓ（分别为ΓΓ）。这类运算符也被定义为{eZ~n，t}Tt=1，并表示为byeOhm分别为Γ和ΓΓ。在（2.2）和（3.6）中，我们考虑以下算子分解：I∈ {N，S}和j∈ {N，S}，Ohmij~n=πOhmΓPjΓ，ΓijΓ=PiΓΓPjΓ，eOhmij k=ePi k eOhm~nePjΓ，eΓijΓ=ePiΓeΓΓePjΓ。对于t=1，T，defineu~n，T=Ut- OhmSN~nOhmNN|+PN~nUt，eU~n，t=eUt-EOhmSN~nEOhmNN|+ePN~neUt。如（3.8）和（3.11）中所述，我们将c~n=T-1TXt=1U~n，t UΥ，t，ΥΥΧ=ΓNSΧ- ΓNNΓ(OhmNN|+OhmNS~n，eC~n=T-1TXt=1eU~n，teUΥ，t，eΥΥΧΧΧ=eΓNSΧ-eΓNNΓ（e）OhmNN|+|eOhm标准杆数，并考虑与（3.10）平行的下列修正特征值问题，C~n- Υφ- Υ*φwj=ujwj，j=1,2，欧共体-eΥΥ-eΥ*φewj=eujewj，j=1,2。然后，我们构造∏Nа、∏Sа、e∏Nа和∏Sа，如（3.12）所示。为了描述PN~n、πN k、ePN k和∏N k的渐近性质，我们下面让WN（r）=WN（r）-RWN（s）和FWN（r）=WN（r）+（6r）- 4） RWN（s）+（6）- 12r)南九龙(s)。

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nandehutu2022

2022-4-24 15:39:16

此外，welet F、eF G和G是满足thatF=fdd的随机有界线性算子ZWN（r） WN（右）+ZdWS（r） WN（r）+ΓNS,eF=fddZfWN（r）fWN（右）+ZdWS（r）fWN（r）+ΓNS,G=fddZWN（r） WN（右）+ZdWS。N（r） WN（右）,eG=fddZfWN（r）fWN（右）+ZdWS。N（r）fWN（右）,式中，如定理3.2所示，WS。N=WS- Ohm锡(OhmNN）+Wn和WS。Nis独立于WN。估计量的渐近性质如下所示。定理3.3。假设假设M、W和K的假设均成立≥ 1.T（PN~n）- （请注意）→LHF+F*和T（N∏）- （请注意）→LHG+G*如果模型D1为真，则T（ePN）- （请注意）→LHeF+eF*和T（e∏N- （请注意）→LHeG+eG*如果D2模型为真。与注释3.2中相同的意义上，可以类似地表明∏Nа（分别为e∏Nа）比PNа（分别为ePNа）的渐近效率更高；另见第2.2节。4基于修正后的FPCA的统计测试我们开发统计测试，以检验关于HNor Hs的各种假设。基于第3.2.4.1节基于FPCA的HN维度测试中给出的渐近性结果，在前面的章节中，我们需要预先了解k=dim（HN）。我们在这里提供了一种基于NovelPCA的测试，可以按顺序应用该测试来确定φ；如图所示，本节开发的测试类似于著名的KPSS类型测试，用于在有限维欧几里德空间环境中检查平稳性或协整。考虑下面的空的和可替代的假设，H:DIM（HN）＝反对h：DIM（HN）＞，（4.1）≥ 0.（4.1）中的无效假设可以是预先指定的感兴趣的假设，也可以通过一个顺序程序（从φ=0开始）来实现，以估计真实尺寸。值得一提的是，{Xt}t的平稳性≥1，即φ=0，可通过待开发的测试进行检查。这意味着我们的测试可以作为现有FTS平稳性测试的替代品，该测试由Horváth等人提出。

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大多数88

2022-4-24 15:39:23

（2014年）、科科什卡和杨（2016年）、奥伊和范德尔夫特（2020年）。还应注意，我们在（4.1）中选择的假设与Chang et al.（2016）和Nielsen et al.（2019）提出的现有测试中使用的假设相反，因为这些测试中的替代假设设置为H:dim（HN）<~n。由于这一差异，我们的测试有其自身的优势，尤其是当它被依次应用于估算时；基于任何现有测试的顺序程序需要事先知道φ的上限，而我们的程序不需要；见后面的备注4.2。我们首先考虑不确定项的情况，然后将讨论适应于具有确定性分量的允许时间序列，如（3.14）和（3.15）。由于没有确定的参数，我们从特征值问题（3.1）中构造出（3.2）中的BPNа和BPSа；如果φ=0，则bPNφ设置为零。给定Pn k和Bps k，定义Z k，t，bOhm第3节中所述的Γ、bΓ、bΥ、XΓ、t和bcΓ；见（3.3）-（3.8）和（3.11）。我们从定理3.1中期望{bPS~nXt}t≥1如果φ=φ（自kbPS以来），将作为一个静止过程- PSkLH=Op（T-1））和特征向量{^vj}~nj=~n+1渐近地包含在nif~n<~n中。在后一种情况下，（hXt，^v k+1i，…，hXt，^v k i）预期表现为一个单位根进程，因此{bPS k Xt}t≥1不会静止不动。基于这一想法，我们可以通过检查{bPS k Xt}t的平稳性来区分正确假设和不正确假设≥1.为了便于说明，我们将重点放在时间序列{hXt，^v~n+1i}t上≥1，它在H下是一个单位根过程。

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何人来此

2022-4-24 15:39:30

检查{hXt，^v~n+1i}t的平稳性≥1，我们考虑下面的检验统计量，TTXT＝1TXS＝1HXS，V V +1I/LRV（HXT，V V +1I），（4.2）其中LRV（Hxt，v v +1i）＝TPT。-1s=-T+1k（|s|/h）PTt=|s|+1hXt，^v|+1hXt-|s|、^v+1i和k（·）以及hs满足假设k。注意，对于每个T，检验统计量由单变量时间序列的平方部分和之和（{hXt，^v+1i}Tt=1）与其样本长期方差（LRV（hXt，^v+1i））的比率给出。这类似于著名的KPSS测试，用于检验平稳性的零假设；然而，应注意的是，（4.2）与最初的KPSS测试统计数据并不相同，除非{hXt，^v~n+1i}Tt=1被降级（见Kwiatkowski等人，1992年的附录）。如果OhmNS=ΓNS=0，则（4.2）的渐近零分布不依赖于任何干扰参数，仅由两个独立标准布朗运动的泛函给出。因此，我们可以渐近地评估（4.1）中的零假设相对于极限分布的交替分位数的合理性，该分位数可以很容易地用标准方法模拟。一般情况下OhmNS=ΓNS=0并不总是令人满意的，检验统计量（4.2）的极限分布取决于两者OhmNSandΓNS，这在实践中是未知的（见定理4.1及其在附录B.1中给出的证明）。正如定理3.1所预期的那样，这个问题与BPS~n的渐近极限取决于Ohm恩桑德斯。假设OhmNS=ΓNS=0在对协整FTS进行建模时限制太大，hencea在实践中天真地使用（4.2）来检验（4.1）应该局限于非常特殊的情况。然而，使用第3节中我们修改的FPCA的渐近结果，可以修改teststatistic（4.2），使其具有在一般情况下无干扰参数的渐近零分布。

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2022-4-24 15:39:37

考虑给定的Muffi特征值问题卑诗省-bΥ~n-bΥ*φ^wj=^uj^wj，j=1,2。（4.3）然后，我们将XT和^v k+1in（4.2）分别替换为X k和^w k+1，并获得以下统计数据：TTXt=1tXs=1hX k，s，^w k+1i/LRV（hX k，t，^wа+1i）。（4.4）这种简单的替换有很大的好处：与（4.2）不同，（4.4）的渐近零分布不依赖于任何干扰参数，由两个独立的标准布朗运动的泛函给出，无需OhmNS=ΓNS=0；当然，这与定理3.2给出的渐近结果密切相关。因此，我们可以以一种明显的方式渐进地评估相对于替代方案的无效假设的合理性；正如将要更详细地讨论的，基于（4.4）的渐近测试实际上对应于我们将要开发的基于FPCA的测试的一个特例。我们现在正式介绍我们提议的测试的通用版本。设b∏K为任意有限整数K满足K>的{wj}Kj=1跨度的投影；也就是说，b∏K~n=PKj=1^wj ^wj。definez~n，t=（hX k，t，^w k+1i，…，hX k，t，bwKi）。（4.5）一旦给出{^wj}Kj=1，就可以很容易地计算出z^，tca。注意，zа，t可以是尺寸K的有限维元素b∏SаXа，tonspan（{^wj}Kj=1）的投影图像；这是z的K维时间序列，这是我们构造检验统计量所需要的全部。勾勒出序列{z~n，t}t≥1在确定测试统计数据之前，应掌握以下信息。从第3节中导出的渐近结果可以看出（引理B.3）：对于任何φ≤ ^，^wj→pwj∈ HN，j=1，^，^wj→pwj∈ HS，j=~n+1，K.根据上述结果，我们预计子向量（hX K，t，^w K+1i。

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2022-4-24 15:39:43

，hX k，t，^w k i）的zа，twillbehave作为单位根过程，而剩余的子向量将作为平稳过程。仅当φ=φ，{z~n，t}t时≥1将表现为一个平稳的过程。基于这一思想，我们构造了teststatistic来检验{z~n，t}t的平稳性≥1如下所示，bQ（K，~n）=TTXt=1tXs=1z~n，s！LRV（z k，t）-1tXs=1z~n，s！，（4.6）式中lrv（z k，t）=TTXt=1z k，tz k，t+TT-1Xs=1k嘘TXt=s+1nzа，tzа，t-s+z~n，t-sz~n，到。（4.7）测试统计量的构造类似于为多变量集成系统开发的其他KPSS类型统计量；参见Shin（1994）、Choi and Ahn（1995）和Harris（1997）。一旦从修正的价值问题（4.3）中产生预测的时间序列{z~n，t}Tt=1，我们的测试统计的计算就很容易了。如果K=а+1，则试验统计（4.6）与（4.4）相同。我们在下文中让B和W表示独立的φ-维和（K）-η）-分别为二维标准布朗运动。我们的检验统计量的渐近性质由这些独立的布朗运动描述如下。定理4.1。假设假设M、W和K成立。在H，Q（K，~n）下→dZV（r）V（r），其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）（RB（s）B（s））-1RrB（s），如果φ=0，则第二项视为零。在H，Q（K，~n）下→P∞.至少在某种程度上，我们的测试可以被视为哈里斯（1997）提出的基于主成分分析的测试的扩展，该测试扩展了单变量/多变量协整时间序列的KPSS测试。在这种有限维欧氏空间设置中，测试统计（4.6）可以通过第3.3节中描述的PCA输出进行重建，K可以设置为dim（H）；这使得我们的测试与哈里斯（1997）给出的测试完全相同。在实践中选择K时，应该注意，除了K>~n外，我们的测试没有其他限制，但渐近零分布取决于K。

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何人来此

2022-4-24 15:39:49

这是一个新的方面，因为拟议的测试检查了潜在的有限维时间序列{b∏SX，t}t的平稳性≥1通过将其投影到K维子空间，如Horváth等人（2014年）所述。因此，测试统计量的临界值取决于K和φ；然而，对于任何固定的K和φ，都可以用标准方法轻松模拟，因为检验统计量的极限分布仅由两个独立的标准布朗运动的函数给出。可以参考Harris（1997）的表1，该表报告了几个不同选择的Kan~n的临界值，但需要注意的是，该表报告的临界值取决于时间序列的维度以及对应于K和K的协整秩- 分别在本文中给出。备注4.1。为了确定~n，我们可以应用我们的测试，以确定~n=0，1，2。按顺序。^^k表示在固定显著水平α下首次未被拒绝的H项下的值。然后，我们从定理4.1推导出这个问题。{^φ = φ} → 1.- α和Prob。{^φ < φ} → 0.应注意的是，即使顺序程序需要多次应用建议的测试，在没有任何进一步调整的情况下，可以保证正确的渐近大小α；这一特性仅在欧几里德/希尔伯特空间环境中开发的现有顺序程序中共享（见Johansen，1995，Nyblom and Harvey，2000，Chang et al.，2016，Nielsen et al.，2019）。如果选择显著水平，则α→ 0作为T→ ∞ 那么Prob。{^φ = φ} → 1.备注4.2。在Chang等人（2016年）和Nielsen等人（2019年）中，通过测试以下假设来确定φ：对于预先指定的正整数φmax和φ=φmax，φmax- 1.1，H:dim（HN）=相对于H:dim（HN）<~n，依次进行，直到他的第一次未被拒绝。

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nandehutu2022

2022-4-24 15:39:56

请注意，我们需要有关这类程序的上限的先验信息，即|max。然而，在有限维设置中，没有dim（HN）的自然上限。另一方面，我们在备注4.1中描述的顺序程序不需要此类事先信息；在没有任何关于φ的先验信息的情况下，该程序首先检查零假设H:dim（HN）=0，0是dim（HN）的最小可能值。备注4.3。如果≥ 1是预先已知的，在Li等人（2020a）的假设下，也可以通过特征值比标准来估计。该估计器最初用于估计非平稳分数积分函数时间序列{Xt}t的优势子空间的维数≥1.如果论文中的最高分数阶等于1，则支配子空间等于HN。使用确定性TelmiWe现在分别考虑由（3.14）和（3.15）给出的模型D1和模型D2，并保持使用在第3.4节中引入的符号。对于任何假设值，我们同样从（3.16）和（3.17）中构造PNа和PSа。定义Z~n，t，Ohm模型D1中的Γ、Γ、Υ、UΓ、t和CΓ，以及Ohm如第3.4节所示，D2型的Γ、eΓ、eΥ、eUΓ、t、andeCΓ。Wethen考虑下面的修正的特征值问题，C~n- Υφ- Υ*φwj=ujwj，j=1,2，(4.8)欧共体-eΥΥ-eΥ*φewj=eujewj，j=1,2。（4.9）与（4.5）类似，我们定义了以下内容：对于K>а，zа，t=（hUа，t，wа+1i，…，hUа，t，wKi），ezа，t=（heUа，t，ewа+1;。

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mingdashike22

2022-4-24 15:40:02

，heU~n，t，ewKi）。我们对D1型和D2型的统计数据如下所示，Q（K，~n）=TTXt=1tXs=1z~n，t！LRV（z k，t）-1tXs=1z~n，t！，等式（K，~n）=TTXt=1tXs=1ez~n，t！LRV（ez~n，t）-1tXs=1ez~n，t！。为了描述Q（K，~n）和Q（K，~n）的渐近性质，我们假设B（r）=B（r）-RB（s），eB（r）=B（r）+（6r）-4） RB（s）+（6）-12r）RsB（s），W（r）=W（r）-rW（1）和fw（r）=W（r）+（2r）-3r）W（1）+（6r-6r）RW（s），其中B和W是为无确定性项的情况定义的独立布朗运动。统计量的渐近性质如下：定理4.2。假设假设M、W和K成立。在H，Q（K，~n）下→dZV（r）V（r）如果模型D1为真，则等式（K，~n）→dZeV（r）eV（r）如果模型D2为真，其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）RB（s）B（s）-1RrB（s），eV（r）=fW（r）-RdW（s）eB（s）新界北(s)新界北(s)-1RreB（s），并且如果φ=0，则V和V的每个表达式中的第二项视为零。在每种模型下，相关统计数据不可能完全一致。Harris（1997）的表2和表3报告了一些K和а选择的临界值。4.2应用：关于协整假设的测试在实践中，我们可能有兴趣测试关于HNor或HS的各种假设。特别地，我们在本节中考虑以下假设：对于一个特殊子空间m，h：m HN，或相当于M⊥ 他说的不是真的 HN，或相当于M⊥ 他说的不是真的。（4.11）我们在下文中让PMdenote投影到M上。如将详细讨论的，如果已知φ，可以通过检查与残差{（I）相关的吸引子空间的维数来检验上述假设-PM）Xt}t≥1使用第4.1节中提出的测试。因此，我们假设整个本节中都知道φ；在实践中，我们可以将基于FPCA的顺序程序应用于Chang等人（2016）和Nielsen等人提出的程序。

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2022-4-24 15:40:08

（2019）提前确定；此外，Li等人（2020a）提出的估计器也可以在以下情况下使用：≥ 1.提前知道。当不存在确定性项时，吸引子子空间的推断考虑（4.10）的检验；作为一个简单的例子，我们可能对测试HN中是否包含特定元素xis感兴趣。注意，如果M HN，然后是与{（I）相关的吸引子空间-PM）Xt}t≥1is（~n）-昏暗（米）-维度的。LetbQ（K）表示我们基于FPCA的测试统计（4.6），由{（I）计算得出-PM）Xt}Tt=1，用于-暗度（M）和K>~n。那么，可以从定理4.1中推导出以下结果。推论4.1。假设假设M、W和K成立。根据Hof（4.10），bQ（K）→dZV（r）V（r），其中V（r）=W（r）-RdW（s）B（s）（RB（s）B（s））-1RrB（s）和独立于频带的器件- 尺寸（M））-尺寸和（K）- ν+dim（M））-分别为维标准布朗运动。Vis表达式中的第二项，如果φ=0，则视为零。根据Hof（4.10），bQ（K）→P∞利用定理3.3中给出的结果，推论4.1可以很容易地扩展，以允许模型具有（3.14）中给出的非零截距或（3.15）中给出的线性趋势。在吸引子超空间的推论中，我们现在考虑（4.11）当没有确定性项时。如果我那么{（I）-PM）Xt}t≥1必须保持静止。LetbQ（K）是我们基于FPCA的检验统计量（4.6），由{（I）计算得出-PM）Xt}Tt=1，用于φ=0和K>0。然后从定理3.1，我们可以推导出Bq（K）的下列渐近性质。推论4.2。假设假设M、W和K成立。根据Hof（4.11），bQ（K）→dZW（r）W（r），其中是K维标准布朗运动。根据Hof（4.11），bQ（K）→P∞.因为我们要研究的是{（I）的平稳性- PM）Xt}t≥1.我们可以使用其他现有的平稳性测试，如Horváth等人的测试。

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2022-4-24 15:40:16

（2014年）和Aue和Van Delft（2020年）（根据这些论文中采用的相关假设）来检验兴趣假设。讨论可以毫无困难地扩展，以允许（3.14）和（3.15）中给出的模型使用定理3.3.4.3蒙特卡罗模拟中给出的结果。我们通过蒙特卡罗研究调查我们测试的有限样本性能。对于所有模拟实验，复制次数为4000次，标称大小为5%。模拟设置slet{fj}j≥1作为L[0,1]的傅里叶基函数，[0,1]上定义的平方可积函数的希尔伯特空间，配备内积hf，gi=Rf（u）g（u）du。固定值为(≤ 5，在我们的模拟实验中），我们让ENt和EST由以下平稳函数AR（1）模型生成：ENt=~nXj=1αjhgNj，Et-1igNj+PNεt，ESt=Xj=1βjhgSj，Et-1igSj+PSεt，（4.12）其中{gNj}j=1（resp.{gSj}j=1）是从{f，…，f}（resp.{f，…，f}）中随机抽取的，无需替换，ε如下所示：对于标准正态随机变量{θj，t}j≥1在j和t之间是独立的，εt=Pj=1θj，t（0.95）j-1fj。然后，我们从关系PN中构造XTXt=entan和PSXt=est表示t≥ 1.注意，Hn由{gNj}~nj=1的跨度给出，该跨度在DGP的不同实现中不固定；此外，HN的正交基{gNj}~nj=1仅从一组更平滑的傅里叶基函数{fj}j=1中选择。前者是为了避免Nielsen等人（2019年）中HNA的特定形状所造成的潜在影响，后者不是为了在小样本情况下对HNA进行估计，因为Nielsen等人（2019年）给出的结果表明，HNA维度测试的有限样本性能可能会变得更差，因为HNA包含的函数不太平滑。

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2022-4-24 15:40:22

我们也可以让{αj}~nj=1和{βj}j=1随机选择如下：对于某些βmin和βmax，αj~ U[-0.5,0.5]，βj~ U[βmin，βmax]。众所周知，平稳分量（{ESt}t）的持久性∈Zin（本文）对KPSS型式试验的有限样本特性有显著影响（见Kwiatkowski等人，1992年；Nyblomand Harvey，2000年）。因此，我们将在低持久性方案（βmin=0，βmax=0.5）和高持久性方案（βmin=0.5，βmax=0.7）下研究我们测试的有限样本特性。在实践中，考虑非零截距模型MODED1可能更为常见。因此，我们在DGP的每个实现中添加u（也是随机选择的）；具体而言，u=Pj=1＠θjpj/qPj=1＠θj，{＠θj}j=1是独立的标准正态随机变量，pjis（j- 1） -在[0,1]中定义的第四阶勒让德多项式（附录D的表9中报告了D2模型的一些模拟结果，以类似方式随机选择u）。最后，通过使用30个三次B样条基函数（基本函数的选择在我们的模拟设置中影响最小）对[0,1]的200个规则间隔点进行平滑处理，构建用于计算检验统计量的函数观测值。为了实现我们的测试，我们需要指定核函数k（·）、带宽h和一个正整数k satisfying k>~n。在我们的模拟实验中，将k（·）设置为Parzen核，并使用两个不同的h值，T1/3和T2/5，来观察带宽参数对我们测试的有限样本性能的影响。此外，我们在本节中报告的模拟结果是通过设置K=а+1获得的，这是K的最小可能选择。

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大多数88

2022-4-24 15:40:28

我们发现一些模拟证据支持K的选择倾向于产生更好的有限样本特性；要了解这一点，可以比较表1和表8（附录D）中报告的结果。模拟结果我们调查了HN维度的拟议测试的有限样本性能。在我们的模拟实验中，有限样本功率是在以下情况下计算得出的：ψ=ν+1；随着魟距离魟越来越远，我们的测试往往会显示出预期的更好的有限样本功率（见附录D中的表7和表1）。表1总结了两种不同方案下的模拟结果。在较低持久性方案（βmin=0，βmax=0.5）下，对于所有考虑的μ和h值，试验具有良好的尺寸控制和合理的有限样本功率。另一方面，在更高的持久性方案下（βmin=0.5，βmax=0.7），它表现出过度排斥。我们的模拟结果明显表明：（i）随着T getslarger和/或h变得更大，这种过度抑制倾向于消失；（ii）使用固定T选择更大的带宽倾向于降低有限采样功率。总而言之，使用更大的带宽有助于我们避免潜在的过度发射，当{ESt}t∈他以牺牲权力为代价，坚持不懈。在其他KPSStype测试中，通常会观察到有限样本中正确尺寸和功率之间的这种权衡；例如，见Kwiatkowski等人（1992年）和Nyblom和Harvey（2000年）。我们还调查了测试的有限样本性质，以检验HNor或HS的假设。在许多潜在有趣的假设中，我们考虑如下：对于一个特殊的向量x∈ H和一个正交集{xj}~nj=1 H、 H:x∈ H反对H:x/∈ HN，（4.13）H:span（{xj}j=1）=HNagainst H:span（{xj}j=1）6=HN。（4.14）注意span（{gNj}~nj=1）=Hn和gS∈ HSin每次实现DGP（见（4.12））。

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2022-4-24 15:40:34

表1（4.1）试验的拒识频率（%），K=~n+1（a）βj~ U[0,0.5]，h=T1/3Tа=0 1 2 3 4尺寸（а=а）250 4.8 4.9 4.4 4 4.8 5.2500 4.9 5.0 4.4 4 4.9功率（а=а+1）250 97.0 88.3 81.6 75.1 69.3500 99.4 96.9 94.4 92.9 91.2（b）βj~ U[0,0.5]，h=T2/5T洎=0 1 2 3 4尺寸（洎=洎）250 4.4 4 4.6 4.3 4.4 4 4.3500 4.8 5.1 4.4 4 4.4功率（洎=洎+1）250 93.1 76.0 64.2 56.1 49.6500 97.7 90.2 83.4 78.0 75.8（c）βj~ U[0.5,0.7]，h=T1/3Tа=0 1 2 3 4尺寸（а=а）250 12.4 11.1 11.1 14.0 14.7500 8.6 8.7 9.0 9.4 11.1功率（а=а+1）250 96.9 88.3 81.6 75.4 69.6500 99.4 96.9 94.5 93.0 91.2（d）βj~ U[0.5,0.7]，h=T2/5T~n=0 1 2 3 4size（~n=~n）250 9.27.8 8 8.4 9.8 11.7500 6.9 7.0 6.6 6 6.9 7 7 7幂（~n=~n+1）250 93.1 76.1 64.4 56.5 50.1500 97.7 90.2 83.4 78.0 75.8我们的（4.13）有限样本大小和幂的模拟实验通过设置x=gN+γTgS，γ=0,20,40,60来计算。显然，x=gN∈ HNifγ=0。另一方面，当γ>0时，xD在Gs的方向上略微偏离Hn，但随着T的增加，这种偏差变得更小。在（4.14）的实验中，通过设置x=gN+γTgS，xj=gnjj=2，…，计算有限样本量和功率，φ, γ = 0, 20, 40, 60. （4.15）显然，γ=0意味着span（{xj}j=1）=HNin（4.15），而γ>0则使span（{xj}j=1）在gS方向上略微偏离HNin。表2和表3总结了我们对假设（4.13）和（4.14）进行测试的模拟结果，这些假设是针对几项不同的φ值。由于提议的测试基本上是我们对HN维度测试的简单修改，它们似乎具有与我们在表1中观察到的类似的有限样本性质。

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