电视和电视台TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT5 0.020欧元0.019英镑0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 292.3.469 2.307 1.463 1.741 1.216SP500 0.371 0.503 0.328 0.2760 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3380.2430.5580.2290.4880.232 0.4330.206NYSE 0.375 0.3290.3740.2070.2710 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.347 1.151 0.825 0.982 0.681 0.834 0.5815.3.2。一步预测和半时变推理模型。我们使用以下一步领先的AMSE（灵感来源于[45]）来验证我们的模型：AMSE=nnXi=1（Xi- ^σ（i/n））。这里，Xtare是对数收益率，^σ（·）是指使用ARCH（1）表示外汇数据集，使用GARCH（1,1）表示股市指数的拟合模型。

在每一行中，我们用粗体显示最好的型号。请注意，此处展示的示例表明，与时变模拟相比，时间常数模型通常具有较差的一步预测质量。然而，从表6可以看出，在一些时变模型中，我们有一部分参数并没有拒绝时间恒定性假设。我们怀疑，将subsetof参数设置为时间常数，并允许其余参数随时间变化，可以改善这两种模型的预测。该分析的一个结论是，对于一些数据集（如USGBP），半时变模型在预测方面可能优于时间常数模型。请注意，可以很容易地定制和找到时间常数，以实现甚至更好的预测，但这些模型对于已经观察到的数据没有适当的可信度（就接近真实模型而言）。上表中24秒的数字。

KARMAKAR等人表6预测波动率：在渐近95%正确时变，半时变和时间常数模型指数（opt^bn）时变时间常数时间常数系数半时变模型GBP（0.26）0.570109 0.5956046α0.5697231USCHF（0.24）45.42274 45.61378无Nauscad0.1604907 0.1672808α0.1616965EURBP（0.34）0.778459 0.789287α0.7837281EURSD（0.23）0.3234517 0.3399221 NASP Merval（0.026）226α，β61.58843SP500 old（0.29）26.48272 26.12195 None NASP500 None NANASDAQ（0.22）3.543.527918α，β3.529355Wilshire 5k（0.35）1.943517 1.964926α，α，β1.972347 FTSE（0.45）3.650331 3.687818 None NANASDAQ（0.405）5.4258546 5.446805α，β5.611163Smallcap（0.35）12.36647 12.56344，β12.537924α，纽约证券交易所，β5.287622DAX（0.44）9.908042 9.987583 None-NAApple（0.27）48.06839 46.4968 None-NAMicrosoft（0.39）38.08752 38.33715 None-NAAXP（0.28）37.39755 37.90381α，β38.1988半时变列，我们保持时变系数不变，并在完全在带内的水平线中寻找最佳（以AM-SE为单位）常数。在这里，我们还想提出一个警告：注意，半时变分析有点特殊。原则上，也可以通过仅将适当的子集设置为时变且保留为时间常数来重新运行优化。我们已经用上述多个数据集对此进行了检查，并且THAMSE与上述报告没有太大差异。这一分析的主要结论是，我们的时变函数虽然不是用于预测，并且仅用于建立同时的置信区间，但可以比相应的时间常数更好地实现预测。此外，我们的理论还可以产生新的模型，这些模型只具有时变系数的子集。6.确认。

我们感谢编辑、副编辑和两位匿名推荐人，感谢他们在不同环节提出的宝贵意见和反馈，这有助于显著改进本文。这项研究得到了NSF/DMS1405410的部分支持。附录A：技术工具和更一般的假设A。1.功能依赖性度量。为了说明我们在整个附录中使用的依赖结构，我们使用Wu[50]中所做的耦合思想，对基础过程引入了功能依赖度量。设q>0，设Zi，时变模型的同时推理25i∈ Z一个平稳的过程，它允许因果表示Zi=J（ζi，ζi）-1, . . .).（A.1）假设（ζ）*i） 我∈ZI是（ζi）i的独立副本∈Z.对于一些随机变量Z，letkZkq:=（E | Z | q）1/qdenote Z的Lq范数≥ 0，定义功能相关性测量δZq（i）=kZi- Z*ikq，（A.2）其中Z*i=J（F）*i） withF*i=（ζi，ζi）-1, ··· , ζ, ζ*, ζ-1, ζ-2、·（A.3）一个带有ζ的耦合版本，由一个独立副本ζ放置在壁炉中*. 注意，δZq（i）根据qth矩测量了Zionζ的依赖性。尾部累积相关性度量Zq（j）代表j≥ 0定义为Zq（j）=∞Xi=jδZq（i）。（A.4）让α>0。我们将调整后的依赖性度量k·kq，α定义如下（参见[57]）：对于平稳过程Zi=J（ζi，ζi）-1, ...), letkZkq，α：=supm≥0（m+1）αZq（m）。A.2。病例1的H类（M，χ，`C）。为了证明Lcn、B及其导数w.r.t.θ的一致收敛性，我们要求第2.2节中引入的目标函数`在θ方向上保持连续，并在z=（y，x）方向上最多多项式增长，其中度由实数M测量≥ 1.因此，我们将要求`及其衍生物属于H类（M，χ，`C），这一类现已定义。设χ=（χi）i=1,2，。。。是一个非负实数序列，其|χ|：=P∞i=1χi<∞,C>0是一个常数。设| x |χ，s:=（P∞j=1χj | x | s）1/s，并放置|x |χ：=|x |χ，1。放^χ=（1，χ）。函数g:RN×Θ→ 如果supθ，R在H（M，χ，`C）中∈Θ| g（0，θ）|≤\'C，supzsupθ6=θ| g（z，θ）- g（z，θ）| |θ- θ|（1+| z | M^χ）≤\'Candsupθsupz6=z | g（z，θ）- g（z，θ）| | z- z |^χ·（1+| z | M）-1^χ+|z|M-1^χ)≤\'C.如果g是向量值或矩阵值，则g∈ H（M，χ，\'C）意味着g的每个组成部分都是inH（M，χ，\'C）。26 S.KARMAKAR等人A.3。一组更一般的假设。我们展示了在更一般的假设集下的主要定理，这些假设包含过程和目标函数的更多“高级”性质。因此，在我们的证明中，这些假设可以被视为一个“中间测试”：我们首先推导出了在更具体的假设2.1和2.2下所保持的过程的这些高级属性。这些高级假设在假设A.1和E.5中给出。在补充材料末尾的E节中，我们表明假设2.1意味着假设A.1，假设2.2意味着假设E.5。为了保持陈述的简洁，我们仅在本文的主要部分陈述假设A.1。每个t∈ [0, 1],

设| x |χ，s:=（P∞j=1χj | x | s）1/s，并放置|x |χ：=|x |χ，1。放^χ=（1，χ）。函数g:RN×Θ→ 如果supθ，R在H（M，χ，`C）中∈Θ| g（0，θ）|≤\'C，supzsupθ6=θ| g（z，θ）- g（z，θ）| |θ- θ|（1+| z | M^χ）≤\'Candsupθsupz6=z | g（z，θ）- g（z，θ）| | z- z |^χ·（1+| z | M）-1^χ+|z|M-1^χ)≤\'C.如果g是向量值或矩阵值，则g∈ H（M，χ，\'C）意味着g的每个组成部分都是inH（M，χ，\'C）。26 S.KARMAKAR等人A.3。一组更一般的假设。我们展示了在更一般的假设集下的主要定理，这些假设包含过程和目标函数的更多“高级”性质。因此，在我们的证明中，这些假设可以被视为一个“中间测试”：我们首先推导出了在更具体的假设2.1和2.2下所保持的过程的这些高级属性。这些高级假设在假设A.1和E.5中给出。在补充材料末尾的E节中，我们表明假设2.1意味着假设A.1，假设2.2意味着假设E.5。为了保持陈述的简洁，我们仅在本文的主要部分陈述假设A.1。每个t∈ [0,1]，让)Yi（t）=)J（t，Fi）和一些可测函数)J。这个过程作为观察到的过程Yi的平稳近似（参见第3节的引言）。在下面的假设A.1（对于情况1）或假设E.5（对于情况2）中，对必要的属性进行了严格的描述。回想一下，Xi:=（Yj:-∞ < J≤ 我- 1） andZi:=（Yi，Xi）和Xi（t）：=（Yj（t）：-∞ < J≤ 我- 1），席子（t）：＝（i，（t），，x-1（t））。假设A.1。假设有一天≥ 2和一些γ>1，（A1）（θ方向上的光滑度）`是两次连续可微的w.r.t.θ。它承载着`，θ`, θ` ∈ 对于某些M，H（M，χ，\'\'C）≥ 1，`C>0且χ=（χi）i=1,2，。。。用χi=O（i-(1+γ)).（A2）（关于未知参数曲线的假设）Θ是紧的，并且对于所有t∈ [0,1]，θ（t）位于Θ的内部。

θ（·）的每个分量都在C[0,1]中。（A3）（正确的型号规格）适用于所有t∈ [0,1]，函数θ7→ L（t，θ）：=E`（Z（t），θ）被θ（t）唯一最小化。（A4）在（3.1）、（3.2）和（3.3）中定义的矩阵V（t）、I（t）和∧（t）的特征值从下方以λ>0为界，在t（A5）（平稳近似）中一致存在CA、CB、D>0，因此对于所有n∈ N、 i=1，n、 t，t∈ [0,1]：max{kYikrM，kY（t）krM}≤ D、 （A.5）季-~Yi（i/n）krM≤ 可以-1，k~Y（t）-~Y（t）krM≤ CB | t- t |（A6）（弱依赖）支持∈[0,1]δY（t）rM（k）=O（k）-(1+γ)).附录B：定理的证明在本节中，我们分别在更一般的假设A.1或假设E.5下证明了本文中所述定理的有效性。我们利用D节中导出的元素引理。让我们介绍一些符号。对于η=（η，η）∈ Θ×（Θ·bn）=：恩，定义o,cn，bn（t，η）：=（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- t） `（Zci，η+η（i/n- t） b-1n）时变模型和^L的同时推理on、 bn，Lon、 与L类似o,cn，bn，但Zcire分别由Zi（i/n）或Zi代替。此外，putηbn（t）=（θ（t）t，bnθ（t）t。ηbn（t）由^ηbn（t）=（^θbn（t）t，bnbθbn（t）t）t估计∈ argminη∈英语o,cn，bn（t，η）。B.1。定理3.2的证明。定理3.2的证明。根据命题E.4，假设A.1充满了somer>2。根据命题E.6，假设E.5充满了一些r>2。在下文中，我们将分别使用更一般的假设A.1或E.5。引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（假设a.1成立的情况下）或引理。2（i），（iii）（c）和引理D.3（a）（如果假设E.5成立）应用于g=`，我们得到了这个支持∈Tnsupη∈恩| Lo,cn，bn（t，η）- Lo（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中o（t，η）：=Z-1K（x）L（t，η+ηx）dx。就是我o,cn，bn（t，η）收敛于Lo当bn=o（1）和βn=o（1）时，在t，η中均匀地（t，η）。ByLemma D.4，η7→ Lo（t，η）在两个分量中都是Lipschitz连续的。因为θ（t）是θ7的唯一极小值→ L（t，θ），我们得到η（t）=（θ（t）t，0）是η7的唯一极小值→ Lo（t，η）。因为ηbn（t）=（θbn（t）t，bnbθbn（t）t是L的极小值o,cn，bn（t，η），标准参数yieldsupt∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。自从苏普特∈Tn |η（t）- ηbn（t）|=o（1），我们有（B.1）支持∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。因此，对于足够大的n，^ηbn（t）位于t的内部∈ Tn：（B.2）ηbn（t）- ηbn（t）=-五、o（t） +Rn，bn（吨）-1· ηLo,cn，bn（t，ηbn（t）），式中，bn（t）=ηLo,cn，bn（t，η（t））- 五、o（t） 带有一些η（t）∈ 满足|η（t）- ηbn（t）|≤ |ηbn（t）- ηbn（t）|和（B.3）Vo（t） :=100uK，2 V（t）.28 S.KARMAKAR等人通过引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（如果假设a.1成立）或引理。2（i）、（iii）（c）和引理D.3（b）（如果假设E.5成立）适用于g=θ′和^K（x）=K（x），^K（x）=K（x）x或^K（x）=K（x）x，对于某些固定的ι>0，我们有：（B.4）支持∈Tnsup |η-ηbn（t）|<ι|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中（B.5）Vo（t，η）=Z-1K（x）1xx V（t，η+ηx）dx。现在，让我们?嗨（t）=

因为θ（t）是θ7的唯一极小值→ L（t，θ），我们得到η（t）=（θ（t）t，0）是η7的唯一极小值→ Lo（t，η）。因为ηbn（t）=（θbn（t）t，bnbθbn（t）t是L的极小值o,cn，bn（t，η），标准参数yieldsupt∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。自从苏普特∈Tn |η（t）- ηbn（t）|=o（1），我们有（B.1）支持∈Tn|^ηbn（t）- η（t）|=oP（1）。因此，对于足够大的n，^ηbn（t）位于t的内部∈ Tn：（B.2）ηbn（t）- ηbn（t）=-五、o（t） +Rn，bn（吨）-1· ηLo,cn，bn（t，ηbn（t）），式中，bn（t）=ηLo,cn，bn（t，η（t））- 五、o（t） 带有一些η（t）∈ 满足|η（t）- ηbn（t）|≤ |ηbn（t）- ηbn（t）|和（B.3）Vo（t） :=100uK，2 V（t）.28 S.KARMAKAR等人通过引理D.2（i）、（iii）（a）和引理D.3（a）（如果假设a.1成立）或引理。2（i）、（iii）（c）和引理D.3（b）（如果假设E.5成立）适用于g=θ′和^K（x）=K（x），^K（x）=K（x）x或^K（x）=K（x）x，对于某些固定的ι>0，我们有：（B.4）支持∈Tnsup |η-ηbn（t）|<ι|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中（B.5）Vo（t，η）=Z-1K（x）1xx V（t，η+ηx）dx。现在，让我们hi（t）=θ`（∧Zi（t），θ（t））。请注意，Eh（t）=E假设A.1（A3），（A1）（或假设E.5（A3\'），（A1\'））下的θ`（Z（t），θ（t））=0。通过引理D.7（i）（如果假设A.1成立）或引理D.8（i）（如果假设E.5成立），我们得到了suptδh（t）j2+（k）=suptδθj`（Z（t），θ（t））2+k=O（k）-（1+γ））对于每个j=1，dΘ。

使用单独的引理D.4（如果假设A.1成立）或引理D.6（如果假设E.5成立），我们可以看到引理B.3的条件已完全满足，因此，适用于hi（t），（B.6）supt∈Tn（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）- （t）θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（（nbn）-1/2log（n））。用引理C.3，我们得到了∈Tnη^Lon、 bn（t，ηbn（t））- Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））= OP（（nbn）-1/2log（n）+βnbn）。自从Eθ`（Z（t），θ（t））=0，我们用引理C.1（偏差展开结果）和引理D.2（i）得到：（B.7）supt∈Tn|ηjLo,cn，bn（t，ηbn（t））|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+βnbn+b1+jn），其中j=1，2。自θ7→ V（t，θ）=Eθ`（Z（t），θ）是Lipschitz连续的（假设A.1采用引理4，假设E.5采用引理D.6）`), η7的相同holds→ 五、o（t，η）。我们得出结论，当某个常数C>0时，（B.8）supt∈Tn | Rn，bn（t）|≤ 监督∈Tnsupη∈嗯|ηLo,cn，bn（t，η）- 五、o（t，η）|+C支持∈Tn|^ηbn（t）- ηbn（t）|。在（B.2）中插入（B.7），（B.8）和（B.1），我们得到（B.9）支持∈Tn|^ηbn，j（t）- ηbn，j（t）|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+βnbn+b1+jn），时变模型的同时推理，其中j=1，2。在（B.8）中插入（B.9），（B.4），我们得到支持∈Tn | Rn，bn（t）|=OP（βn+bn+（nbn）-1). 连同五、o（t）ηbn（t）- ηbn（t）- Lo,cn，bn（t，ηbn（t））≤I2k×2k+Vo（t）-1Rn，bn（t）-1.- 我-12k×2k· |ηLo,cn，bn（t，ηn（t））|≤I2k×2k+Vo（t）-1Rn，bn（t）-1.·五、o（t）-1Rn，bn（t）· |ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））|，和（B.7）我们得到了断言（3.4）。另一个结果（3.5）来自引理D.2（i）、引理C.3和引理C.1。B.2。定理3.3的证明。在本节中，我们分别在morel一般假设A.1或E.5下证明定理3.3。我们首先引用了一些辅助结果：引理B.1是i.i.d.高斯向量引理B的置信带结果。3通过使用高斯近似结果（定理B.2，参见[53]），将该结果推广到因变量之和。

然后，通过将引理B.3应用于定理3.2中的^θbn的aBahadur表示来证明定理3.3。根据[59]中的引理1，我们对高斯随机向量采用以下SCB结果：引理B.1。设Fn（t）=Pni=1^Kbn（ti）- t） Vi，在哪里Vi，我∈ Z是i.i.d.N（0，Is×s）。bn→ 0和nbn/对数（n）→ ∞. 让我*= 1/10亿。然后（B.10）林→∞Pσ^K，0√nbnsupt公司∈Tn | Fn（t）|- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ）。其中B^Kis在（3.7）中定义。对于下面的结果，我们假设存在一些可测量的函数H（·，·），使得对于每个t∈ [0,1]，~hi（t）=~H（t，Fi）∈ RSI定义明确。把S)h（i）：=Pij=1)hj（j/n）。定理B.2（吴和周[53]的定理1和推论2）。假设每个分量j=1，学生：（a）支持∈[0,1]k~h（t）jk2+h<∞,（b） supt6=t∈[0,1]kh（t）j-~h（t）jk/|t- t|<∞,（c） 监督∈[0,1]δ~h（t）j2+k=O（k）-（γ+1））与一些γ≥ 1.对一些人来说≤ 2.在更丰富的概率空间上，有i.i.d.V，V。~ N（0，Is×s）和一个过程sh（i）=Pij=1∑h（j/N）Vjsuch，即（sh（i））i=1，。。。，nd=（Sh（i））i=1，。。。，nandmaxi=1，。。。，n | Sh（i）- 30 S.KARMAKAR等人，其中（B.11）πn=n（2+2γ+γ）/（2+8γ+4γ）log（n）2γ（3+）/（+4γ+2γ）和∑h（t）=Xj∈ZE[~h（t）~hj（t）t]1/2.下面的引理类似于[59]中的引理2。由于我们使用了定理B.2中的其他高斯逼近率，我们很快给出了完备性的证明。引理B.3。让定理B.2中的假设和符号成立。定义h（t）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） 你好（i/n）。假设∑h（t）是Lipschitz连续的，且其最小特征值在[0,1]上从0一致有界。假设log（n）bnn（2γ+γ）-)/(+4γ+2γ)-1.→ 0和bnlog（n）3/2→ 0.然后（B.12）limn→∞P√nbnσ^K，0支持∈TnΣ-1~h（t）D~h（t）- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ），引理B.3的证明。

根据定理B.2和部分求和，存在i.i.d.Vi~ N（0，是×s）使得（B.13）支持∈（0,1）|D＠h（t）- Ξ（t）|=OPn2+2γ+γ2+8γ+4γlog（n）2γ（3+）+4γ+2γnbn= 操作日志（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1/2（nbn）1/2对数（n）1/2,式中Ξ（t）=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n-t） ∑h（i/n）Vi.这里，（B.13）是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）到期日（n）bnn（2γ+γ）-)/(+4γ+2γ)-1.→ 0.由于∑h（·）在假设（b）下是Lipschitz连续的，我们可以在t中使用一个标准的链式参数（就像引理C.3中对∏n（t）所做的那样），并且（nbn）-1Pni=1（∑h（i/n）-∑h（t））^Kbn（i/n- t） 六~ N（0，vn），带|vn|∞≤ CbNN对于某些常数C>0可获得支持∈（0,1）|Ξ（t）- （nbn）-1∑h（t）nXi=1^Kbn（i/n- t） Vi |=支持∈(0,1)（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） （i/n）- ∑h（t））Vi= 操作bnlog（n）（nbn）1/2= 操作bnlog（n）3/2（nbn）1/2日志（n）1/2,（B.14）时变模型的同时推理，即oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）由于bnlog（n）3/2→ 0.所以结果来自LemmaB。1鉴于（B.13）和（B.14）。定理3.3的证明。根据命题E.4，假设2.1意味着假设A.1具有任意大的γ>0。根据命题E.6，假设2.2意味着假设。5，任意大的γ>0。现在，我们分别在更一般的假设A.1或E.5下证明该陈述。选择足够大的γ>0，以便2γ+γ-+4γ+2γ>αexp.因此我们有（B.15）log（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1.→ 假设是0。让~ki（t）：=θ`（Zi（t），θ（t））和^K（x）=K（x）或^K（x）=K（x）x。定义OhmC（t）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） AC（i/n）t＠ki（i/n）和D＠k（t）=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n- t） ~ki（识别号）。

类似于引理C.3中对∏n（t）的讨论（注意，（C.13）和（C.14）中的速率随后变为O（bn）而不是O（bn）），我们可以证明（B.16）支持∈(0,1)|OhmC（t）- AC（t）t·Dk（t）|=OP（βnbn）=OPb1/2nlog（n）（nbn）1/2log（n）1/2,这就是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）自bnlog（n）→ 0.~hi（t）：=AC（t）t ~ki（t）是一个局部平稳过程，其长期方差∑h（t）=∑C（t）。通过引理B.3（由于（B.15）而适用），我们得到了（B.17）limn→∞P√nbnσ^K，0支持∈TnΣ-1C（t）OhmC（t）- B^K（m）*) ≤up2原木（米）*)= 经验(-2经验(-u） ）。根据定理3.2，我们得到了∈TnV（t）{θbn（t）- θ（t）}- bnuK，2V（t）θ（t）- dk（t）= 操作bn+（nbn）-1b-1/2nlog（n）3/2+（nbn）-1/2磅（北）= 操作（nbnlog（n））1/2+（nbnlog（n）-4)-1/2+bnlog（n）3/2（nbn）1/2log（n）1/2,（B.18）这是oP（（nbn）-1/2对数（n）-1/2）自nbnlog（北）→ 0，nbnlog（n）-4.→ ∞ 和bnlog（n）→0.加上（B.16）和（B.17）（含^K=K），这意味着（3.6）。32 S.KARMAKAR等人参考文献[1]Andreou，E.和Ghysels，E.（2006）。监控金融市场的中断。J.计量经济学135 77–124。MR2328397[2]安德鲁斯，D.W.K.（1993）。参数不稳定和结构变化的测试，变化点未知。计量经济学61 821–856。MR1231678[3]白，J.（1997）。多元回归模型中变化点的估计。经济与统计回顾79551–563。[4] 比林斯利，P.（1999年）。概率测度的收敛性，《概率与统计学：概率与统计学》第二版。约翰·威利父子公司，纽约，威利国际科学出版社。MR1700749[5]Bollerslev，T.（1986）。广义自回归条件异方差。J.计量经济学31307–327。MR853051[6]Brown，R.L.，Durbin，J.和Evans，J.M.（1975）。测试回归关系随时间变化的稳定性的技术。J.罗伊。统计学家。Soc。爵士。B 37 149–192。D.R.考克斯、P.R.菲斯克、莫里斯·肯德尔、M。

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（i） 引理D.2（i）、（iii）、引理D.3及其应用于g=θ′impulysupt∈Tn|^uK，0，bn（t）^Vbn（t）- ^uK，0，bn（t）V（t）|≤ 监督∈Tn，η∈En | Gcn（t，η）-^Gn（t，η）|+supt∈Tn，η∈En|^Gn（t，η）|+支持∈Tn，η∈En|E^Bn（t，η）- 五、o（t，η）|+supt∈Tn | Vo（t，ηbn）- ^uK，0，bn（t）V（t）|=OP（（nbn）-1） +oP（βn）+O（bn）+supt∈Tn | Vo（t，ηbn）- ^uK，0，bn（t）V（t）|。（C.1）我们得到了与定理3.2（B.9）的证明相似的结果∈Tn|^ηbn（t）- ηbn（t）|=OP（（nbn）-1/2log（n）+（nbn）-1+β-nbn+bn）。自η7以来→ 五、o（t，η）通过引理D.4是Lipschitz连续的，结果来自（C.1）和bnlog（n）→ 0.（ii）由于θ` · θ\'T∈ H（2M，χ，\'C），有些\'C>0。命题4.3的证明。我们的过程与定理3.2的证明类似。现在我们使用引理D.3（a）应用于g=`（假设a.1和E.5）的显式结果，我们得到了∈（0,1）supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|=OP（βn+（nbn）-1） +O（bn），其中Lobn（t，η）=R（1）-t） /bn-t/bnK（x）L（t，η+ηx）dx。通过^ηbn（t）的最优性，0≤ Lon、 bn（t，θ（t））- Lon、 bn（t，ηbn（t））≤~Lobn（t，θ（t））-~Lobn（t，^ηbn（t））+2 supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|36 S.KARMAKAR等人。这意味着Minnz-1K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）- L（t，θ（t））dx，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）- L（t，θ（t））dxo≤ 2 supη∈恩| Lon、 bn（t，η）-~Lobn（t，η）|。（C.2）假设对于某些ι>0，lim supn→∞监督∈（0,1）|ηbn（t）- （θ（t）t，0）t|≥ ι.

然后就有了∈ （0，1）使得（c1）^θbn（t）- θ（t）|≥|bnbθbn（t）|因此|θbn（t）- θ（t）|>ι/3，或（c2）^θbn（t）- θ（t）|<|bnbθbn（t）|，因此| bnbθbn（t）|>2ι/3。在（c1）的情况下，我们有|θbn（t）+bnbθbn（t）x- θ（t）|≥ |θbn（t）- θ（t）|- |x | | bnbθbn（t）|≥ιforx∈ [0，]，因此有些c>0，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥Z1/4K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥ csinceθ7→ L（t，θ）是连续的，在θ=θ（t）时达到其唯一的最小值。在（c2）的情况下，我们有|θbn（t）+bnbθbn（t）x- θ（t）|≥ |x | | bnbθbn（t）|- |θbn（t）- θ（t）|≥ιforx∈ [1]，因此有些c>0，ZK（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥Z3/4K（x）L（t，^θbn（t）+bnbθbn（t）x）-L（t，θ（t））dx≥ c、 在这两种情况下，（c.2）都是矛盾的。因此，支持∈（0,1）|ηbn（t）- ηbn（t）|=oP（1）。使用部分求和和和高斯近似，类似于OREM B.2中给出的过程θ`（Zi（i/n），θ（i/n）），存在i.i.d.V，V。~ N（0，Is×s）在一个更丰富的概率空间上，对于（B.11）（C.3）中的πnas∈(0,1)（nbn）-1nXi=1Kbn（i/n）-（t）(θ`（Zi（i/n），θ（i/n））-六）| = OP（（nbn）-1πn）=OP（（nbn）-1/2log（n））。时变模型的同时推理37因此可以代替supt∈Tnby supt∈（B.6）中的（0,1）。

仔细检查定理3.2的其余证明（引理C.1（C.7）替换为引理C.1（C.8）），结果（C.4）支持∈（0,1）|Vobn（t）·（^ηbn（t）- ηbn（t））- ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））= OP（τ（1）n），其中（我们很快写出^uK，j（t）=^uK，j，bn（t））~Vobn（t）=^uK，0（t）uK，1（t）uK，1（t）uK，2（t） V（t）。通过引理D.2（i）、引理C.1和引理C.3，我们进一步得到了Ui，n（t）=（Kbn（i/n- t） ，Kbn（识别号- t） ·（i/n）- t） b-1n）T:支持∈(0,1)ηLo,cn，bn（t，ηbn（t））- bn^uK，2（t）^uK，3（t） [V（t）θ（t）]-（nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（βnbn+bn+（nbn）-1).（C.5）回顾引理B.3，（B.13）和（B.14）的证明，以及定理3.3，（B.16）的证明，我们看到存在i.i.d.Vi~ N（0，是×s）使得对于^K=K和^K（x）=K（x）·x，supt∈(0,1)AC（t）t（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- （t）θ`（Zi（i/n），θ（i/n））-∑C（t）（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） 六= 操作日志（n）bnn2γ+γ-+4γ+2γ-1/2（nbn）1/2log（n）1/2+bnlog（n）3/2（nbn）1/2log（n）1/2+b1/2nlog（n）（nbn）1/2log（n）1/2=: OP（wn）。（C.6）带有（C.4）和＠Vobn（t）-1=^uK，0（t）uK，1（t）uK，1（t）uK，2（t）-1. V（t）-1=uK，2（t）N（0）bn（t）^uK，2（t）V（t）-1.-^uK，1（t）V（t）-1.-^uK，1（t）V（t）-1uK，0（t）V（t）-1.,我们获得：supt∈(0,1)N（0）bn（t）·{θbn，C（t）- θC（t）}-hAC（t）tηLo,cn，bn（t，ηbn（t））-^uK，1（t）^uK，2（t）AC（t）tηLo,cn，bn（t，ηbn（t））i= OP（τ（1）n）。38 S.KARMAKAR等。关于（C.5）和（C.6），我们有∈(0,1)N（0）bn（t）·{θbn，C（t）- θC（t）}+bnN（1）bn（t）θC（t）- ∑C（t）Q（0）bn（t）-μK，1（t）μK，2（t）Q（1）bn（t）= OP（τ（1）n+（βnbn+bn+（nbn）-1） +wn），完成证明。C.1。^L的中间引理on、 bn。在本节中，我们展示了^L的一些引理on、 这是证明主要结果所需要的。为了做到这一点，我们利用了D部分中导出的基本引理。

引理C.1导出了η^Lon、 bn（t，ηbn（t）），引理C.3表示η^Lon、 bn（t，ηbn（t））乘以θ`（Zi（i/n），θ（i/n）），也就是说，引理只是替换了局部平稳过程Ziinη^Lon、 bn（t，ηbn（t））以一定的收敛速度。引理C.2讨论了引理C.3证明中出现的水性∏n的Lipschitz性质。引理C.1。设ηbn（t）=（θ（t）t，bnθ（t）t。设假设A.1保持r=1，或设假设E.5保持r=2+，>0。然后均匀地在t中∈ Tn，（C.7）Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））=bnuK，2V（t）θ（t）+O（bn+（nbn）-1).此外，它在t中保持一致∈ （0,1）该（C.8）Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））=bnZ（1）-t） /bn-t/bnK（x）xxdx [V（t）θ（t）]+O（bn+（nbn）-1).引理C.1的证明。设Ui，n（t）=（Kbn（i/n- t） ，Kbn（识别号- t） （i/n）- t） b-1n）T。通过θ（i/n）在T周围的阿泰洛展开，我们得到了θ（i/n）=θ（T）+θ（T）（i/n）- t） +rn（t），其中rn（t）=θ（t）（i/n）-t） +θ（t）（i/n）-t） t在t和i/n之间。我们得出结论：η^Lon、 bn（t，ηbn（t））- （nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）Zθ`（Zi（i/n），θ（i/n）+srn（t））ds·rn（t）.（C.9）时变模型的同时推理θ` ∈ H（M，χ，C）（如果假设A.1成立）或θ` ∈ H（M（1+s），χ，`C），当s>0足够小（如果假设E.5成立），我们用引理D.4得到| i/n- t|≤ bn:（约10）kθ`（Zi（i/n），θ（i/n）+srn（t））- θ`（z（t），θ（t））k=O（bn+n-1).使用（C.9），Eθ`（Zi（i/n），θ（i/n））=0（根据假设A.1（A1），（A3）或假设E.5（A1\'），（A3\'））和（C.10），我们得到η^Lon、 bn（t，ηbn（t））=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）Eθ`（Zi（t），θ（t））·θ（t）（i/n）- （t）+ O（bn+n）-1） =bnZ（1）-t） /bn-t/bnK（x）xxdx [V（t）θ（t）]+O（bn+n-1+（nbn）-1） ，（C.11），其中显示（C.8）。方程式（C.7）如下所示：∈ K implyZ（1）的对称性-t） /bn-t/bnK（x）xxdx=ZK（x）xxdx=uK，2.引理C.2（n的Lipschitz性质）。

让我们≥ 0.假设假设A.1适用于r≥ 1或假设E.5在r>1时成立。定义∏n（t）：=（nbn）-1nXi=1（M（2）i（t，i/n）- EM（2）i（t，i/n）），其中m（2）i（t，u）=^Kbn（u）- t） ZMi（t，u）ds·du（t），Mi（u，t）=θ`（Zi（u），θ（t）+sdu（t））和du（t）=θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）。然后就有常数C，ι>0，这样supt6=t，| t-t |<ι|∏n（t）- πn（t）|t- t|≤~C.引理C.2的证明。我们有| M（2）i（t，u）- M（2）i（t，u）|≤ |^Kbn（u）- （t）-^Kbn（u）- t） | | Mi（t，u）| | du（t）|+|Kbn（u）- t） | |米（t，u）- Mi（t，u）| | du（t）|+|Kbn（u）- t） | | Mi（t，u）| | du（t）- du（t）|.40 S.KARMAKAR等人。如果假设A.1成立，我们有g=θ` ∈ H（M，χ，`C）。初步计算表明| Mi（t，u）|≤ supθ∈|g（|Zi（u），θ）|，|Mi（t，u）- 米（t，u）|≤ supθ∈Θ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u），θ）| |θ- θ|·{|θ（t）- θ（t）|+|du（t）- 只要| t |}- u |<1和| t- t |足够小，我们得到| t- u|≤ 1.在这种情况下- u |<1或| t- u |<1，θ（·）的Lipschitz连续性，θ（·）意味着存在一些常数|C>0，使得|du（t）-杜（t）|≤~C|t-t |，|θ（t）-θ（t）|≤~C|t-t |，| du（t）|≤~C.这意味着| M（2）i（t，u）- M（2）i（t，u）|≤~Cb-1nL^Ksupθ∈|g（|Zi（u），θ）|·t- t |+2 | K|∞~C·supθ∈Θ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u），θ）| |θ- θ| | t- t|+|^K|∞~C·supθ∈|g（|Zi（u），θ）|·t- t |。（C.12）利用引理D.4（i）我们得到了结果。现在假设假设E.5成立。只要| t- t |足够小，n足够大，|u-t|≤ bn（或| u-t|≤ bn）和θ（·）的两次微分意味着supν∈[0,1]|θ（u）-（θ（t）+νdu（t））|<ι，supν∈[0,1]|θ（u）-（θ（t）+νdu（t））|<ι。把<<<<θ（y，x，θ）=g（F（x，θ，y），x，θ）和<<g=θ~`. 根据假设E.5，g∈ Hmultι（M（1+s）、χ（s）、C（s））适用于足够小且大于0的ALL。

然后| Mi（t，u）|≤ sup |θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）|，|Mi（t，u）- 米（t，u）|≤\'C·supθ6=θ，|θ-θ（u）|<ι，|θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）- ~gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）| |θ- θ|×{|θ（t）- θ（t）|+|du（t）- du（t）|，给出了（C.12）的适当结果，从而给出了引理D.6的断言。引理C.3。Let Ui，n（t）：=Kbn（i/n-t） ·（1）（识别号-t） b-1n）T.假设A.1或E.5成立，一些r=2+，>0。然后它就保持住了∈(0,1)η^Lon、 bn（t，ηbn（t））- Eη^Lon、 bn（t，ηbn（t））-（nbn）-1nXi=1Ui，n（t） θ`（Zi（i/n），θ（i/n））= OP（βnbn）。时变模型的同时推理。注意，E假设A.1（A1）、（A3）或假设E.5（A1’，（A3’）下的θ`（Zi（i/n），θ（i/n））=0。放置∏n（t）：=（nbn）-1nXi=1Ui，n（t）[θ`（i/n），θ（t）+（i/n）- t） θ（t））- θ`（Zi（i/n），θ（i/n））]-E[θ`（i/n），θ（t）+（i/n）- t） θ（t））- θ`（Zi（i/n），θ（i/n））]}。我们必须证明这一点∈Tnπn（t）= OP（δnbn）。定义Mi（t，u）：=Rθ`（Zi（u），θ（t）+s（θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）））ds和M（2）i（t，u）=Ui，n（t）Mi（t，u）{θ（u）-θ（t）-（u）-t） θ（t）}.通过泰勒展开θ`w.r.t.θ，我们有∏n（t）=（nbn）-1nXi=1（M（2）i（t，i/n）- EM（2）i（t，i/n））。我们现在应用了一种类似于引理D.2（iii）证明的技巧，即使用类似于（D.5）的caining参数来证明监督∈（0,1）|∏n（t）|>Qβnbn→ 0，对于一些足够大的Q>0。定义离散化Tn，r:={l/r:l=1，…，r}和r=n。通过引理C.2，我们得到了Q>0:P的马尔可夫不等式辅助-t|≤R-1∏n（t）- πn（t）|>Qβnbn/2= OB-2nr-1βnbn,收敛到0。选择α=1/2。通过引理D.7（iii）或引理D.8（iii）在Q=2+s（s）足够小的情况下应用，我们得到了supusupt | M（2）（t，u）| 2+s（k）=O（k）-(1+γ)).

因此，W2+s，α：=supu∈[0,1]支持∈[0,1]ksupt，η| M（2）i（t，u）| k2+，α=supm≥0（m+1）αsupt | M（2）（t，u）| 2+s（M）=O（bn）（C.13）（该常数与n无关）和W2，α：=supt，ukM（2）i（t，u）k2，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持M（2）（t，u）（M）=O（bn）（C.14）（常数与n无关）。现在，我们应用[57]中的定理6.2（该证明适用于一致函数依赖度量），q=2+s，α=1/2到42 s。KARMAKAR等人（M（2）i（t，i/n））t∈Tn，r，其中l=1∨ #（田纳西州，右）≤ 5对数（n）。对于足够大的Q，我们得到了一些常数Cα，s>0:P监督∈Tn，r |∏n（t）|≥ Qβnbn/2≤Cα，sn·l1+s/2W2+s2+s，α（Q/2）2+s（βnbn（nbn））2+s+Cα，sexp-Cα，s（Q/2）（βnbn（nbn））n~W2，α. N-/2+exp-（nbn）b-1nlog（n）n→ 0，这就完成了证明。附录D：基本结果本节总结了观测值Zi=（Yi，Xi），Xi=（Yj:-∞ < J≤ 我-1） 参数θ∈ Θ. 它们随后被用于定理的证明。根据情况1或情况2，我们引入了不同的引理，它们在不同的条件下几乎陈述了相同的结果。D.1。局部平稳过程均值的一致上界和连锁结果。对于t∈ （0,1）和η∈ En=Θ×（Θ·bn）和一些Lipschitz连续函数^K（Lipschitz常数L^K）和紧支撑[-1,1]（^K以|^K为界）|∞),定义Kbn（·）：=K（·/bn）和（D.1）Gn（t，η）：=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n-t） ·{g（Zi，η+η（i/n）]-t） b-1n）-Eg（Zi，η+η（i/n-t） b-1n）}。设Gcn（t，η），^Gn（t，η）分别表示相同的量，但用ZciorZi（i/n）代替。在本小节中，我们分别推导了Gn（t，η）、Gcn（t，η）和^Gn（t，η）的一些基本结果。在本文定理的证明中，结果主要应用于：kθ′与k∈ {0, 1, 2}.

引理D.1总结了^Gnin两个酶1和2的Lipschitz性质，引理D.2提供了基于简单链式方法的^gnint，η随机行为的结果，以及引理D.1的Lipschitz结果。最后一个引理D.3讨论了与^Gn有关的几个术语的偏差。引理D.1（^Gn的Lipschitz性质）。让我们≥ 0.（i）让g∈ H（M（1+s），χ，`C）。假设A.1（A5）与r保持一致≥ 1+s。那么就存在一些常数C>0，这样就不存在了∈[0,1]supη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤§C，时变模型的同时推理和supt6=tsupη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|t- t |+|η- η|≤~Cb-2n，（ii）（对于tvGARCH）设g是这样的：~gθ（y，x，θ）：=g（F（x，x，θ，y），x，θ）full fillg∈ Hmultι（M（1+s），χ（s），C（s）），其中χ（s）i=O（i）-(1+γ)). 假设E.5（A5\'）与r保持一致≥ 1+让θ（·）连续。然后存在一些常数C（s）>0，因此∈[0,1]supη6=η|η-ηbn（t）|<ι/2，|η-ηbn（t）|<ι/2|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤~C（s），以及supt6=tsupη6=η|η-ηbn（t）|<ι/2，|η-ηbn（t）|<ι/2|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|t- t |+|η- η|≤C（s）b-2n，引理D.1的证明。（i） 自从g∈ H（M（1+s）、χ、\'C）和| i/n- t|≤ 在这个定理中，它认为（D.2）|Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤\'C|η-η|·（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）-t） |·{2+| Zi（i/n）|M（1+s）^χ+k | Zi（i/n）|M（1+s）^χk}此外，（nbn）-1Pni=1|^Kbn（i/n）- t） |≤ |^K|∞. 我们的结论是supη6=η|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|η- η|≤ 2|C^K|∞1+supi|~Zi（i/n）|M（1+s）^χ≤ 2|C^K|∞（1+（D|^χ|）M（1+s））。这就产生了第一个断言。自从g∈ H（M（1+s），χ，\'C），我们有一个常数C>0:|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- （t）-^Kbn（i/n）- t） | supθ{|g（|Zi（i/n），θ）|+kg（|Zi（i/n），θ）k}+（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·| g（| Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）- g（~Zi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|≤B-2nL^K|t- t |+b-1n | K|∞{|η - η|+|η|·| t- t|b-1nx nnXi=1{2+|Zi（i/n）|M（1+s）^χ+k|Zi（i/n）|M（1+s）^χk}44 s。

KARMAKAR等人。自从Enis compact以来，我们有了supη∈En|η<∞. 加上k |Zi（i/n）|M（1+s）^χk≤（D |χ|）M（1+s），我们得到了结果。（ii）我们现在有|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）-~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）.这里，|η- ηbn（t）|<ι/2意味着|（η+η（i/n- t） b-1n）- θ（t）|<对于足够大的n。由于θ（·）是一致连续的，|θ- θ（t）|<ιi/n- t|≤ bn|θ- θ（i/n）|<ι足够大。因为∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s）），我们得到|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤\'C（s）|η- η|（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·{（1+| Xi（i/n）|Mχ）1+s（1+|ζi | M）1+s+k（1+| Xi（i/n）|Mχ）1+s（1+|ζi | M）1+sk），给出结果。我们有|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- （t）-^Kbn（i/n）- t） |×sup |η-ηbn（t）|<ι/2{|gθ（i/n）（ζi，| Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|+kgθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）k}+（nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |·|gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）-~gθ（i/n）（ζi，~Xi（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）|。与之前相同的论证允许我们使用∧gθ（i/n）w.r.t.θ的Lipschitz性质，给出结果。引理D.2。让γ>1。对于s≥ 0，设χ（s）i=（χ（s）i）i∈Nbe一个χ（s）i=O（i）的序列-(1+γ)). 回想一下（D.1）中的符号。假设（在下面的断言（a）中）假设a.1（A5），（A6）或（在下面的断言（b），（c）假设E.5（A5\'），（A6\'）与下面的某些特定r保持一致。时变模型的同时推理45（i）Let r≥ 1 + ,  ≥ 假设=0和g∈ H（M，χ（0），\'C（0））或>0，对于所有足够小的s>0，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s））。监督∈（0,1）supη∈En|^Gn（t，η）- Gcn（t，η）|k=O（（nbn）-1).（ii）修复t∈ [0,1]并假设nbn→ ∞.

让r≥ 1 + ,  > 0.（a） 如果所有s>0足够小，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是supη∈En | Gn（t，η）|=oP（1）。（b） 如果对于所有足够小的s>0，则＠g＠θ（y，x，θ）：=g（F（y，x，x，θ），x，θ）full fills＠g∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s）），然后sup|η-ηbn（t）<^Gn（t，η）|=oP（1）如果bn→ 0.（c）如果所有s>0足够小，g=`full fill（E.13）和g∈ H（2M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是supη∈En | Gn（t，η）|=oP（1）。（iii）让r≥ 2 + ,  > 0. 定义βn=对数（n）1/2（nbn）-1/2b-1/2n。（a） 如果所有s>0足够小，g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后是SUPT∈（0,1）supη∈En | Gn（t，η）|=OP（βn）。（b） 如果g是这样的，那么gθ（y，x，θ）：=g（F（y，x，θ），x，θ）满填充g∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s））对于足够小的s>0，则支持∈（0,1）sup |η-ηbn（t）|<ι|^G（t，η）|=OP（βn）。（c） 如果所有s>0足够小，则填充满g（E.13）和g∈ H（2M（1+s），χ（s），\'C（s）），然后支持∈（0,1）supη∈En | G（t，η）|=OP（βn）。引理D.2的证明。我们缩写为χ=χ（s）和“C=”C（s）。（i） 通过引理D.4（i）、（ii），我们得到了一些C>0:ksupθ的结果∈Θ| g（Zi，θ）- g（Zci，θ）|k≤ C∞Xj=0^χjkZij- ZcijkM≤ 2C∞Xj=iχjkZijkM≤ 2CD∞Xj=iχj.46 S.KARMAKAR等人。类似地，对于一些C>0的thatksupθ∈Θ| g（Zi，θ）- g（~Zi（i/n），θ）|k≤ C∞Xj=0^χjkYij-~Yij（输入/输出）公里≤ CCA |χ| n-1.Thusk supt∈（0,1）supη∈En|^Gn（t，η）- Gcn（t，η）|k≤ |K|∞（nbn）-1nXi=1ksupθ∈Θ| g（~Zi（i/n），θ）- g（Zci，θ）|k≤ 2CD | K|∞（nbn）-1nXi=1∞Xj=iχj+|K|∞CCA |χ|（nbn）-1=O（（nbn）-1).最后一步是由于χj=O（j-（1+γ）），因为这意味着Pni=1P∞j=iχj=O（1）。从引理D.5来看，假设E.5下的屋顶是相似的。（ii）（a）修正Q>0。让κ>0。设E（κ）nbe为每个η的Ensuch的离散化∈ Enone可以找到η∈ E（κ）n带|η-η|≤ κ. 注意#E（κ）n不需要依赖于n。

然后supη∈En | Gn（t，η）|>Q≤ #E（κ）nsupη∈恩普|^Gn（t，η）|>Q/2+P（sup |η）-η|≤κ|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Q/2）。（D.3）根据马尔可夫不等式，我们得到了0≤ s≤ 、 P|^Gn（t，η）|>Q/2≤k^Gn（t，η）k1+s1+s（Q/2）1+s。使用伯克霍尔德矩不等式（参见[7]）和引理D.7（i）应用于Q=1+s，s>0足够小的情况下，计算k^Gn（t，η）k1+s（D.4）≤ （nbn）-1.∞Xl=0nXi=1^Kbn（i/n- t） 圆周率-lg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）1+s≤ s-1（nbn）-1.∞Xl=0nXi=1^Kbn（i/n- t） 圆周率-lg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）（1+s）/2（1+s）/21/（1+s）≤ s-1（nbn）-s/（1+s）| K|∞∞Xl=0supt∈[0,1]δsupθ∈|g（|Z（t），θ）|1+s（l）=O（（nbn）-s/（1+s）），时变模型的同时推理表明（D.3）中的第一个和趋于零。第二个夏天，LemmaD。1（i）impliesP（sup |η）-η|≤κ|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Q/2）≤~CκQ，通过选择足够小的κ，可以使其任意变小。我们已经证明，对于n，D.3趋于零→ ∞.（b） 通过使用D.1（ii）和引理D.8（i）代替引理D.1（i）和引理D.7（i），证明类似于（a）。（c） 通过使用引理D.7（i）（*）而不是引理D.7（i），证明类似于（a）。（iii）（a）我们使用链接论点。设r=n，n，rbe为每η∈ Enone可以找到η∈ En，rwith |η- η| ≤ R-1.将Tn，r:={i/r:i=1，…，r}定义为（0，1）的离散化。然后#（En，r×Tn，r）=O（r2dΘ+1）。对于Q>0的常数，我们有supη∈嗯，t∈（0,1）|^Gn（t，η）|>Qβn≤ Psupη∈恩，r，t∈Tn，r|^Gn（t，η）|>Qβn/2+Psup |η-η|≤R-1 | t-t|≤R-1|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|>Qβn/2.（D.5）设α=1/2。设Mi（t，η，u）：=^Kbn（u- t） g（~Zi（u），η+η（u）- t） b-1n）。

通过引理D.7（ii），当q=2+s，s>0足够小时，我们得到了supu支持，η| M（t，η，u）| 2+s（k）=O（k）-(1+γ)).ThusW2+s，α：=supu∈[0,1]ksupt，η| Mi（t，η，u）| k2+s，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持，η支持，η| M（t，η，u）| 2+s（M）<∞.（独立于n）和w2，α：=supu∈[0,1]supt，ηkMi（t，η，u）k2，α=supm≥0（m+1）αsupu∈[0,1]支持，ηM（t，η，u）（M）<∞（与n无关）。请注意，l=1∧对数#（En，r×Tn，r）≤ 3（2dΘ+1）log（n）和Qβn（nbn）=Qn1/2log（n）1/2≥√nlW2，α+n1/（2+s）l3/2W2+s，α&n1/2log（n）1/2+n1/（2+s）log（n）3/2足够大。通过应用[57]的定理6.2（其中的证明也适用于统一函数依赖度量），q=2+s，α=1/2至（Mi（t，η，i/n））t∈Tn，r，η∈n，r，48 S.KARMAKAR等人，我们有一个常数Cα>0:Psupη∈恩，r，t∈Tn，r|^Gn（t，η）|≥ Qβn/2≤Cαn·l1+s/2W2+s2+s，α（Q/2）2+s（δn（nbn））2+s+Cαexp-Cα（Q/2）（βn（nbn））nW2，α. N-s/2+exp-（nbn）b-1nlog（n）n→ 0.（D.6）由马尔可夫不等式和引理D.1（i），（D.7）Psup |η-η|≤R-1 | t-t|≤R-1|^Gn（t，η）-^Gn（t，η）|≥ Cβn/2= OB-2nr-1βn.我们有b-2nr-1β-1n=b-2nn-3（nbn）1/2b1/2nlog（n）-1/2→ 0.将（D.6）和（D.7）插入到（D.5）中，我们得到了结果。（b） 该证明类似于（a）使用D.1（ii）和引理D.8（ii）代替引理D.1（i）和引理D.7（ii）。（c） 通过使用D.1（ii）（*）而不是引理D.1（ii），证明类似于（a）。引理D.3。

设g:RN×Θ→ R、 定义Bn（t，η）=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） g（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）。（a） 如果假设a.1（A5）中充满了r≥ 1+s，s≥ 0和g∈ H（M（1+s），χ，\'\'C），然后是supt∈（0,1）supη∈En|E^Bn（t，η）-Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx |=O（（nbn）-10亿欧元）。（b） 如果假设E.5（A5\'）充满了r≥ 1+s和g是这样的：~gθ（y，x，θ）：=g（F（y，x，x，θ），x，θ）fullg∈ Hmultι（M，χ，`C），然后支持∈（0,1）sup |η-ηbn（t）|<ιE^bn（t，η）-Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx |=O（（nbn）-10亿欧元）。如果最高法院被接管∈ 而不是TNT∈ （0,1），然后（1）-t） /bn-t/BN可由-1.时变模型的同时推理49引理D.3的证明。（a） 设Bn（t，η）：=（nbn）-1Pni=1^Kbn（i/n- t） g（~Zi（t），η+η（i/n）- t） b-1n）。通过引理D.4（i），我们得到了一个常数为C>0，即kg（~Z（i/n），η+η（i/n）- t） b-1n）- g（~Z（t），η+η（i/n）- t） b-1n）k≤~C∞Xi=0^χik~Y-i（i/n）-~Y-i（t）公里≤~CCB|^χbn。Thusk^Bn（t，η）-~Bn（t，η）k≤ （nbn）-1nXi=1|^Kbn（i/n）- t） |×kg（~Zi（i/n），η+η（i/n- t） b-1n）- g（~Zi（t），η+η（i/n）- t） b-1n）k≤|C^K|∞CB（1+|χ|）bn。因为^K是有界变差的，θ7→ 由于tog，Eg（~Z（t），θ）是Lipschitz连续的∈ H（M，χ，\'\'C）和引理D.4，黎曼和引理产生Bn（t，η）=（nbn）-1nXi=1^Kbn（i/n- t） Eg（~Z（t），η+η（i/n）- t） b-1n）=Z（1）-t） /bn-t/bn^K（x）Eg（~Z（t），η+ηx）dx+O（（nbn）-1） ，均匀地在t中∈ (0, 1), η ∈ EN（b） 用引理D.6代替引理D.4，证明是一样的。D.2。基本Lipschitz、偏差和依赖结果。引理D.4、D.5和D.6说明了g（Zi，θ）的偏差- g（Zi，θ）可以由Zi控制-子。在GARCHcase中，由于对可能性的第一和第二导数的处理不同，这需要两个结果。在引理D.7和D.8中，根据引理D.4、D.5和D.6中关于情况1和2的H？older型结果计算g（~Zi（t），θ）的依赖性度量。引理D.4。让q>0。让g∈ H（M，χ，`C）。

设^Z=（^Zj）j∈N、 ^Z=（^Zj）j∈随机变量序列。假设存在一些D>0，这样对于allj∈ N、 （D.8）k^ZjkqM≤ D、 k^ZjkqM≤ D.50 S.KARMAKAR等人。然后，存在一些常数C>0，仅依赖于M，D，χ和＠D（仅在（ii）中），比如ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤“C·C”∞Xj=0^χjk^Zj-^ZjkqM（D.9）supθ6=θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|θ- θ|Q≤\'C·C，（D.10）ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）| kq≤\'C·C，（D.11）引理D.4的证明。注意k|^Z|^χkqM≤Xj=1^χjk^ZjkqM≤ D |^χ|。我们通过H¨older不等式得到了thatksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤\'C|^Z-^Z |^χ（1+|^Z | M）-1^χ+|^Z|M-1^χ)Q≤\'C|^Z-^Z|^χqM1 +|^Z|^χM-1qM+|^Z|^χM-1qM≤\'C（1+2（D|^χ|）M）-1) ·∞Xj=1^χjk^Zj-^ZjkqM，显示（D.9）。从（D.9）和supθ可以明显看出（D.11）的证明∈Θ| g（0，θ）|≤“C.最后，supθ6=θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）| |θ- θ| kq≤\'C1+|^Z | M^χQ≤ C（1+D |^χ|）。下面的引理在不同的连续性条件下给出了与引理D.4相同的结果。引理D.5（用于tvGARCH）。设q>0，s>0。设^Zbe如引理D.4（D.8）中所示，用M（1+s）代替M。设g=`满足（E.13）和g∈ H（M（1+s），χ（s），\'C（s））。然后存在一些常数C（s）>0，仅与M，D，χ（s）有关，如ksupθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|kq≤\'C（s）·C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjkqM（1+s）+k^Zj-^ZjksqM（1+s）,（D.12）时变模型51ksupθ的同时推理∈Θ| g（^Z，θ）| kq≤\'C（s）·C（s），（D.13），其中^χ（s）=（1，χ（s））。引理D.5的证明。根据霍尔德的不平等，supθ∈Θ| g（^Z，θ）- g（^Z，θ）|Q≤\'\'C（s）|^Z-|Z|χ（s），s·（1+|Z|M^χ+|Z|M^χ）q+-C（s）|^Z-^Z|χ（s），1·（1+|Z|M）-1^χ+|^Z|M-1^χ）1+sQ≤\'\'C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^Zjksq（M+s）·1+k|^Z|^χkMq（M+s）+k|^Z|^χkMq（M+s）+\'\'C（s）∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjkqM（1+s）1+k|^Z|^χkM-1q（M+s）+k|^Z|^χkM-1q（M+s）≤\'\'C（s）1+（2|^χ|）M+（2|^χ|）M-1.·∞Xj=0^χ（s）jk^Zj-^ZjksqM（1+s）+k^Zj-^ZjkqM（1+s）.这表明（D.12）。