第二个结果（D.13）来自（D.12），其中^Z=0，supθ∈假设为| g（0，θ）|<\'C。引理D.6（用于tvGARCH）。让q>0，ι>0。让我们来看看∈ Hmultι（M，χ，`C）。设^X=（^Xj）j∈N、 ^X=（^Xj）j∈Nbe随机变量序列。假设存在某个d>0，这样对于所有j∈ N、 （D.14）k^XjkqM≤ D、 k^XjkqM≤ D.设ζ独立于^X，^X与kζkqM≤ 然后存在一个常数C>0，仅依赖于M，D，χ，`C，使得sup |θ-~θ|<ι| | g)θ（ζ，^X，θ）- ~g~θ（ζ，^X，θ）|Q≤“C·C”∞Xj=1χjk^Xj-^XjkqM（D.15）supθ6=θ，|θ-~θ|<ι,|θ-~θ|<ι| | g)θ（ζ，^X，θ）- ~gθ（ζ，^X，θ）|θ- θ|Q≤“C·C，（D.16）sup |θ-~θ|<ι| | g)θ（ζ，^X，θ）|Q≤\'C·C.（D.17）52 S.KARMAKAR等人。引理D.6的证明。由于霍尔德的不平等，sup |θ-~θ|<ι| g |θ（ζ，^X，θ）- g~θ（ζ，^X，θ）|Q≤\'C|^X-^X|χ（1+|X|M）-1χ+|^X | M-1χ）（1+|ζ| M）Q≤\'C|^X-^X|χqM（1）+|^X|χM-1qM+|^X|χM-1qM）（1+kζkMqM）≤\'C（1+2（D|χ|）M-1） （1+DM）·∞Xj=1χjk^Xj-^XjkqM。这表明（D.15）。结果（D.16）与引理D.4中的结果类似。将（D.15）与^X=0和sup |θ-~θ|<ι| | g |θ（ζ，0，θ）|Q≤\'Ck1+|ζ| Mkq≤\'C（1+DM），我们得到（D.17）。引理D.7。让q≥ 1.假设假设A.1（A5），（A6）与一些r保持一致≥ q、 让g∈ H（M，χ，C），其中χi=O（i-(1+γ)). 然后它认为（我）支持∈[0,1]δsupθ| g（~Z（t），θ）| q（j）=O（j）-(1+γ)).（ii）对于Mi（t，η，u）：=^Kbn（u）- t） g（~Zi（u），η+η（u）- t） b-1n），我们有SUPU∈[0,1]supt，ηδM（t，η，u）q（j）=O（j）-（1+γ），supu∈[0,1]δsupt，η| M（t，η，u）| q（j）=O（j）-(1+γ)).（iii）设du（t）=θ（u）- θ（t）- （u）-t） θ（t）和M（2）i（t，u）：=^Kbn（u- t） {Rg（~Zi（u），θ（t）+sdu（t））ds}·du（t）。然后它适用于SUPU的每个组件∈[0,1]δM（2）（t，u）q（j）=O（bnj-（1+γ），supu∈[0,1]δsupt | M（2）（t，u）| q（j）=O（bnj-(1+γ)).（*）如果假设E.5（A5\'），（A6\'）对所有足够小的s>0保持一些r>q和g=`ful fill（E.13），则上述陈述仍然有效。证据（i） 设Zj（t）*是一个耦合版本的Zj（t），其中ζ被ζ取代*.

根据Emma D.4，我们得到了在某些常数C>0的情况下：δsupθ| g（~Z（t），θ）| q（j）=ksupθ| g（~Zj（t），θ）|- supθ| g（~Zj（t）*, θ） | kq≤ ksupθ| g（~Zj（t），θ）- g（~Zj（t）*, θ） | kq≤~C∞Xi=0^χik~Zj-i（t）-~Zj-i（t）*kqM≤~CjXi=0^χiΔY（t）qM（j）- i） 。（D.18）时变模型的同时推理53在（*）的情况下，设s>0，使得q（1+s）<r。然后我们通过引理D.5，存在一些C>0，使得δsupθ∈Θ| g（~Z（t），θ）| q（j）≤~C∞Xi=0^χ（s）ik~Zj-i（t）-~Zj-i（t）*kqM（1+s）+k~Zj-i（t）-~Zj-i（t）*ksqM（1+s）≤~CjXi=0χ（s）iδ∧Y（t）qM（1+s）（j）- i） +[δY（t）qM（1+s）（j）- i） ]s.（D.19）注意，如果两个序列ai，i<0时ai=bi=0的bi服从ai，bi=O（i-（1+γ）然后卷积cj=P∞i=1aibj-i+1直到服从cj=O（j-（1+γ））由于| cj |≤j+1Xi=1，i≥（j+1）/2 | ai |·| bj-i+1 |+j+1Xi=1，|j-我|≥（j+1）/2 | ai | bj-i+1|≤j+1-（1+γ）j+1Xi=1 | bj-i+1|+j+1-（1+γ）j+1Xi=1 | ai |=O（j）-(1+γ)).再加上假设（A6）和（D.18）或（在（*）情况下）假设E.5（A6\'）和（D.19），这表明支持∈[0,1]δg（~Z（t），θ）r（j）=O（j）-(1+γ)).第（二）、（三）项的证据相同，因为supt，η| Mi（t，η，u）|- supt，η| Mi（t，η，u）*|≤ supt，η| Mi（t，η，u）- Mi（t，η，u）*|≤ |^K|∞supθ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u）*, θ） |和（自| du（t）|∞≤ sups |θ（s）|∞· bnif | t- u|≤ bn），对于每个l，支持|M（2）i（t，u）l |- supt |M（2）i（t，u）*l|≤ 监督| M（2）i（t，u）l- M（2）i（t，u）*l|≤ |^K|∞sups |θ（s）|∞bn×suptZ | g（~Zi（u），θ（t）+sdu（t））- g（~Zi（u）*, θ（t）+sdu（t））|ds≤ |^K|∞sups |θ（s）|∞bnsupθ∈Θ| g（~Zi（u），θ）- g（~Zi（u）*, θ)|.引理D.8（用于tvGARCH）。让q≥ 1.假设假设E.5（A5’，（A6’）与一些r>q保持一致。对于s>0，让χ（s）=（χ（s）i）i∈Nbe一个χ（s）i=O（i）的序列-(1+γ)).设g是这样的：g＠θ（y，x，θ）：=g（F（x，x，θ，y），x，θ）full fill＠g∈ Hmultι（M，χ（s），\'C（s）），适用于足够小且大于0的ALL。然后是54秒。

KARMAKAR等人（i）支持∈[0,1]δsup |θ-θ（t）|<ι| g（~Z（t），θ）| q（j）=O（j）-(1+γ)).（ii）对于足够大的n，supu∈[0,1]支持，|η-ηbn（t）|<ι/2δM（t，η，u）q（j）=O（j）-（1+γ），supu∈[0,1]δsupt，|η-ηbn（t）|<ι/2 | M（t，η，u）| q（j）=O（j）-(1+γ)).（iii）对于足够大的n，supu∈[0,1]δM（2）（t，u）q（j）=O（bnj-（1+γ）和supu∈[0,1]δsupt | M（2）（t，u）| q（j）=O（bnj-(1+γ)).引理D.8的证明。（i） 设Zj（t）*是耦合版本的Zj（t），其中ζ由ζ代替*. 通过引理D.6，我们得到了在某些常数C>0时：δsup |θ-θ（t）|<ι| g（~Z（t），θ）| q（j）≤ k sup |θ-θ（t）|<ι| gθ（t）（ζj，| Xj（t），θ）- ~gθ（t）（ζj，~Xj（t）*, θ） | kq≤~C∞Xi=1χik~Xj-i+1（t）-~Xj-i+1（t）*kqM≤~C∞Xi=1χiδ≈Y（t）qM（j）- i+1）。现在的结果与引理D.7（i）在假设E.5（A6\'）下的证明一致。（ii）对于n，我们有足够大的|η-ηbn（t）|=|η-θ（t）|+|η-bnθ（t）|<ι/2意味着|（η+η（u-t） b-1n）-θ（t）|≤ |η-θ（t）|+|η|<和|θ- θ（t）|<ι，| u- t|≤ bn |θ- θ（u）|<由于θ（·）的一致连续性。因此，对于足够大的n：监督，|η-ηbn（t）|<ι/2 | Mi（t，η，u）|- 监督，|η-ηbn（t）|<ι/2 | Mi（t，η，u）*|≤ 监督，|η-ηbn（t）|<ι/2|^Kbn（u- t） |·| g（| Zi（u），η+η（u）- t） b-1n）- g（~Zi（u），η+η（u）- t） b-1n）|≤ supt，|θ-θ（t）|<ι|^Kbn（u）- t） | | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）- ~gθ（u）（ζi，~Xi（u）*, θ)|≤ |^K|∞· sup |θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）- ~gθ（u）（ζi，~Xi（u）*, θ)|.其余部分如（i）所示。（iii）对于足够大的n，它认为| u-t|≤ 这意味着∈[0,1]|θ（t）+sdu（t）-θ（u）|<由于θ（·）的一致连续性。因此监督| M（2）i（t，u）|- 主管| M（2）i（t，u）*|≤ |^K|∞sups |θ（s）|∞bnsup |θ-θ（u）|<ι| | gθ（u）（ζi，~Xi（u），θ）- ~gθ（u）（ζi，~Xi（u）*, θ)|.时变模型的同时推理其余的工作如（i）所示。附录E：假设集的证明在本节中，我们证明假设2.1意味着假设A.1（案例1），假设2.2意味着假设E.5（案例2）。我们需要以下一般性声明（参见[？]，第46页或[12]页，命题证明2。1).

设| x |：：=Pdj=1 | xj |表示x的1-范数∈ 引理E.1。让我们∈ Rd×dbe a矩阵，设ρ（a）：=max{|λ|：a}的λ特征值为a的最大绝对特征值。设ε>0。然后存在一个可逆矩阵xm=M（ε）∈ Rd×d，使得范数|x | M:=|M-1x |，x∈ Rdon Rd和相应的矩阵范数|A | M:=sup{Ax | M:|x | M=1}在Rd×dSaties | A | M上≤ ρ（A）+ε。与[12]中命题2.1的证明类似，我们得到以下结论。引理E.2。让A:[0,1]→ Rd×dbe是一个连续函数。设ρ：=supu∈[0,1]ρ（A（u））<1。设ε>0。然后存在可逆矩阵M。。。，毫升∈ Rd×d如下所示：存在一个分区[0，1]=SLk=1Ikinto区间iku∈ Ik，|A（u）|Mk≤ ρ + ε.此外，存在一个常数c>0，因此对于任何a∈ Rd×d，|A |：：=dXi，j=1 | Ai，j |≤ c·infk=1，。。。，L | A | Mk.引理E.2的证明。我们采用[？]的证据。为了你∈ [0,1]，设M（u）表示与引理E.1中的A（u）和ε相关的矩阵。从第7节开始→ A（v）是连续的，存在δ（u）>0，因此对于所有v∈ （u）- δ（u），u+δ（u）），（E.1）|A（v）|M（u）≤ |A（v）- A（u）|M（u）+|A（u）|M（u）≤ε+ρ（A（u））+ε≤ ρ + ε.因为[0，1]是紧的并且（（u- δ（u），u+δ（u）））u∈[0,1]是开集的覆盖，存在很多u。。。，uL∈ [0,1]使得[0,1]SLk=1（英国）- δ（uk），uk+δ（uk））。LetMk:=M（英国）。我们现在证明第一个断言。那么对于任何v∈ [0,1]，让k∈ {1，…，L}是这样的∈ （英国）-δ（uk），uk+δ（uk））。然后通过（E.1），|A（v）|Mk≤ ρ + ε. 第二个断言是因为所有范数在Rd×d上都是等价的，所以特别是|·|和|·|是等价的。56 S.KARMAKAR等人。以下结果采用了一个引理[？]，引理6.2.10（第6.2节）中，对时变迭代模型。引理E.3。

假设zt，t>-p和ηt，t>0是两个正实数序列，每个t∈ N、 存在一个。。。，美联社：[0,1]→ [0, ∞) 和苏普∈[0,1]Ppk=1ak（u）<1和zt≤pXk=1ak（t/n）zt-k+ηt，t=1。。。，n、 然后存在0≤ a<1和一些常数c≥ 0这样的≤ c·T-1Xk=0akηt-k+在·|（z，…，z）-p+1）T|, t=1。。。，n、 引理E.3的证明。确定伴随矩阵X（u）：=a（u）a（u）。ap（u）10。00 1 0。0...............0 . . . 0 1 0特征多项式Qu（x）=1-a（u）z-...-ap（u）zp。因为苏普∈[0,1]Ppk=1ak（u）<1，多项式Quis是因果的，因此a:=supu∈[0,1]ρ（C（u））<1。定义ξt:=-zt+（Ppk=1ak（t/n）zt-k+ηt）≥ 然后z（p）t:=（zt，…，zt-p+1）Tandt:=（ηt）- ξt，0。。。，0）Tsatisfyz（p）t=C（t/n）·z（p）t-1+t，t∈ N.设Ht:=（ηt，0，…，0）t.带Cs，t:=C（t/N）······C（（s+1）/n），我们得到（这些不等式是按分量表示的）z（p）t=C0，t·z（p）+t-1Xk=0Ct-k、 tt-K≤ C0，t·z（p）+t-1Xk=0Ct-k、 tHt-k、 修正一些α∈ (~α, 1). 引理E.2在C（u）和ε=α中的应用- ~1α产生L∈ N、 M。。。，毫升∈ Rp×pand一个分区[0,1]=SLk=1 kinto interval Ik（较大的k表示Ik包含较大的值），这样对于u∈ Ik，| C（u）| Mk≤ α.对于时变模型的同时推理，我们用引理E.2再次得到| Cs，t|=LYk=1于∈{s+1n，…，tn}∩IkC（美国）≤LYk=1于∈{s+1n，…，tn}∩IkC（美国）≤ cLLYk=1于∈{s+1n，…，tn}∩IkC（美国）Mk≤ cLLYk=1Yu∈{s+1n，…，tn}∩IkC（u）Mk≤ cLLYk=1Yu∈{s+1n，…，tn}∩Ikα=cLαt-s、 （E.2）E.1。案例1：递归定义的模型。提案E.4。如果假设2.1成立，那么假设A.1充满了everyr=2+~A，~A<A，相应的M和γ>2任意大。它认为V（t）=∧（t）。如果（i）Eζ=0，或（ii）u（x，θ）≡ 0或（iii）σ（x，θ）≡ βandEm（~X（t））=0，则i（t）=Ik0（Eζ）-1） Il+1/2· V（t），其中Id表示d维单位矩阵。命题E.4的证明。

选择0<a<一个足够小的值，使（2.5）保持kζk（2+-a）m被kζk2M取代（这是可能的，因为a=0中的项是连续的）。设q=（2+~a）M.设ν=（ν，…，νl）和M=（M，…，mk）T.define Wn（y，T）：=Gζn（Gζn）-1（…Gζ（y，t）。。。，t） 式中gζ（y，t）：=u（y，θ（t））+σ（y，θ（t））ζ。我们有|σ（y，θ）- σ（y，θ）|≤lXi=0βi |νi（y）- νi（y）|≤lXi=0pβi | y- y |ρi·，1·pβiνi（y）+pβiνi（y）≤lXi=0pβi | y- y |ρi·，1·σ（y，θ）+σ（y，θ）,58 S.KARMAKAR等人，即|σ（y，θ）- σ（y，θ）|≤lXi=0pβi | y- y |ρi·，1，我们有kgζ（y，t）- Gζ（y，t）kq≤ |u（y，t）- u（y，t）|+|σ（y，t）- σ（y，t）|·kζkq≤kXi=1 |αi（t）|·| mi（y）- mi（y）|+lXi=0pβi（t）|y- y |ρi·，1≤kXi=1 |αi（t）|·| y- y |κi·，1+lXi=0pβi（t）|y- y |ρi·，1=kXi=1 |αi（t）| pXj=1κij | yj- yj |+lXi=0pβi（t）pXj=1ρij | yj- yj |=pXj=1kXi=1κij |αi（t）|+lXi=0ρijpβi（t）· |yj- yj |。（E.3）定义（t）：=kXi=1κij |αi（t）|+lXi=0ρijpβi（t）。然后我们有zn（t）：=kWn（y，t）- Wn（y，t）kq，n≥ p+1:zn（t）≤pXj=1aj（t）·zn-j（t）。自从苏普特∈[0,1]Ppj=1aj（t）<1表示θ（t）∈ Θ，引理E.3意味着∈ （0,1），c>0，zn（t）≤ c·安-p·|（zp，…，z）T |。根据Wn（·）和（E.3）的定义，kzj（t）kq≤ c·y- y代表j∈ {1，…，p}。因此，对于某些常数c>0，kWn（y，t）- Wn（y，t）kq≤ c·安·y- y |。通过[52]定理2，我们得到了supt∈[0,1]δY（t）（k）=O（)ρk）和一些)ρ∈ （0,1）和d:=支持∈[0,1]k~Y（t）kq<∞.因此，A.1（A6）适用于任意大的γ>0。时变模型的同时推断通过θ与常数Lθ的Lipschitz连续性，我们有（E.4）|u（y，θ（t））- u（y，θ（t））|≤ Lθ| t- t | kXi=1 | mi（y）|和|σ（y，θ（t））- σ（y，θ（t））|≤ Lθ| t- t|lXi=0pνi（y）2β1/2minpβi（t）νi（y）+pβi（t）νi（y）≤Lθ2β1/2min | t- t | lXi=0pνi（y）（σ（y，θ（t））+σ（y，θ（t）），这表明（E.5）|σ（y，θ（t））- σ（y，θ（t））|≤Lθ2β1/2minlXi=0pνi（y）。注意，（2.4）意味着mi（y），pνi（y）≤ C | y |+C，一些常数C，C>0。

通过（E.4），（E.5），我们得到了t6=tkGζ（y，t）- Gζ（y，t）kq≤ |u（y，θ（t））- u（y，θ（t））|+kζkq |σ（y，θ（t））- σ（y，θ（t））|≤ C|t- t|1+| y|,一些常数C>0。这意味着q≥ 1，kYi（t）-~Yi（t）kq=kGζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）- Gζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）kq≤ 千克ζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）- Gζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）kq+kGζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）- Gζi（~Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t），t）kq≤pXj=1aj（t）·kYi-j（t）- 易-j（t）kq+C | t- t|1+k |（| Yi）-1（t）。。。，~Yi-p（t）| kq≤pXj=1aj（t）·kYi-j（t）- 易-j（t）kq+C1+pD· |T- t |。D=suptkY（t）kq<∞. 我们有ρ：=supt∈[0,1]Ppj=1aj（t）<1，因此通过平稳性，k~Y（t）-~Y（t）kq≤pXj=1aj（t）| {z}≤ρ·kY（t）-~Y（t）kq+C1+pD· |T- t|.60 S.KARMAKAR等人因此（E.6）kY（t）-~Y（t）kq≤C1+pD1.- ρ·t- t |。这仍然是为了证明这一点-~Yi（i/n）kq≤ Cn-1.给你，姬-~Yi（i/n）kq=kGζi（Yi）-1.易-p、 i/n）- Gζi（~Yi）-1（i/n）。。。，~Yi-p（i/n），i/n）kq≤pXj=1aj（i/n）kYi-J-~Yi-j（i/n）kq≤pXj=1aj（i/n）kYi-J-~Yi-j（（i）- j） /n∨ 0）kq+pXj=1aj（i/n）kYi-j（（i）- j） /n∨ 0) -~Yi-j（i/n）kq≤pXj=1aj（i/n）kYi-J-~Yi-j（（i）- j） /n∨ 0）kq+ρCp/n对于某些C>0，其中最后一步是由于（E.6）。定义zi:=kYi-■易（识别号）∨0）kq。注意，对于i，zi=0≤ 0.在引理E.3处使用ηi=ρCp/n，可以得到thatkYi-~Yi（i/n）kq≤ Cρp/n对于某些C>0。接下来是苏皮，恩基克≤ 苏皮，恩基-~Yi（i/n）kq+supi，nk~Yi（i/n）kq<∞.因此，我们已经展示了假设A.1（A5），现在我们检查函数“”的属性。首先要注意的是，静态近似的递推，~Yi（t）=u（~Xi（t），θ（t））+σ（~Xi（t），θ（t））ζi，意味着E~Y（t）=0和E~Y（t）=Eu（~X（t），θ（t））+Eσ（~X（t），θ（t））≥ βminνmin>0。此外，对于L（t，θ）：=E`（~Z（t，θ），它认为L（t，θ）- L（t，θ（t））=Eu（X（t），θ）- u（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）+Ehσ（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）- 对数σ（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）- 1i。（E.7）在下文中，我们使用符号| x | A:=xTAx表示加权向量范数。

注意（E.8）Eu（X（t），θ）- u（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）≥ c |α- α（t）|M（t），时变模型61c=（maxθ）的同时推理∈Θmaxiθi）-1和M（t）：=E[M（~X（t））M（~X（t））T1ν（~X（t））ν（~X（t））t]。如果M（t）不是正定义，这意味着存在v∈ 这意味着vu（~X（t））u（~X（t））v=0 a.s.，因此e[u（~X（t））u（~X（t））t]的非正不确定性与假设相矛盾。通过f（x）=x的泰勒展开式- 日志（x）- 1，我们得到了σ（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）- 对数σ（~X（t），θ（t））σ（~X（t），θ）- 1i≥Eh（σ（~X（t），θ）- σ（~X（t），θ（t））（σ（~X（t），θ）- σ（~X（t），θ（t））+σ（~X（t），θ）i≥c |β- β（t）|M（t），（E.9），其中M（t）=E[ν（~X（t））ν（~X（t））T1ν（~X（t））ν（~X（t））t]根据假设为正定义（使用与上述类似的论证）。通过（E.7），（E.8）和（E.9），我们得出θ7→ L（t，θ）在θ=θ（t）中唯一最小化。这显示了A.1（A3）。省略参数z=（y，x）和θ，我们得到`=h（y）- hα，mi）hβ，νi+loghβ，νii，（E.10）θ` = -θmσY- mσ+θ（σ）2σh1-Y- mσ我=-mσY-mσν2σ1.-Y-mσ!=mhβ，νi（y）- hα，mi）ν2hβ，νi1.-（y）-hα，mi）hβ，νi!,（E.11）θ` =θmθmTσ+Y- mσ·Hθmθ（σ）T+θ(σ)θmTσ-θmσi+θ（σ）2σh1-Y- mσ我+θ(σ)θ（σ）T2σhY- mσ- 1i=mmTσy-mσ·mνTy-mσ·νmTνT2σY-mσ- 1.!=mmThβ，νiy-hα，mihβ，νi·mνTy-hα，mihβ，νi·νmTνT2hβ，νi（y）-hα，mi）hβ，νi- 1.!.（E.12）因为ζ与＠X（t）无关∈ 如果Eζ=0，Eζ=1，我们得出结论[θ`（Z（t），θ（t））|Ft-1] =呃-u（~Xj（t），θ（t））σ（~X（t），θ（t））ζ+ν（~X（t），θ（t））2σ（~Xj（t），θ（t））（1- ζ)英尺-1i=0,62 S.KARMAKAR等人，即。θ`（Z（t），θ（t））是一个鞅差序列，表明V（t）=∧（t）。

我们进一步得到（我们省略了u，σ的参数（~X（t），θ（t））：V（t）=Eθ`（Z（t），θ（t））=EmmThβ，νi0 EννT2hβ，νi!.通过与上述类似的论证，我们得出结论，V（t）是正定义（通过连续性，这意味着V（t）的最小特征值在t中一致地有界于0之外）。根据鞅差性质，I（t）=∧（t）。省略参数（X（t），θ（t）），I（t）=E[θ（~Zj（t），θ（t））θ（~Z（t），θ（t））t]=EmmTσE[ζ]·EmνT2σE[ζ]·EνmT2σE[ζ]-1·EννTσ!= EhσmE[ζ]2σν！TmE[ζ]2σν！i+0E[ζ]-E[ζ]-1.EννTσ!,这是正半定义，因为E[ζ]=E[ζ（ζ- 1)] ≤ E[ζ]1/2E[（ζ]- 1） [1/2=（E[ζ]- 1)1/2. 正不确定性源于（v，v）TI（t）（v，v）=0意味着上一次求和中的νTv=0 a.s.和前一次求和中的vTm+E[ζ]2σvTν=0 a.s.即vTm=0 a.s.这导致与正不确定性E[νt]或E[mmT]相矛盾。因此，我们得出假设A.1（A4）已满。仔细检查（E.10）、（E.11）和（E.12）可以发现`，θ`, θ` ∈ H（3，)χ，)C），其中一些)C>0和)χ=（1，…，1，0，0，…）由最大{k，l}个1后跟0组成，表示假设A.1（A1）。在特殊情况下u（x，θ）≡ 0，似乎不可能直接改善M值。在σ（x，θ）的特殊情况下≡ β、 我们有`=h（y）- hα，mi）β+logβi，θ`=mβ（y）- hα，mi）2β（1-（y）-hα，mi）β）！，θ` =mmTβy-hα，miβmy-hα，miβmT2β（y）-hα，mi）β- 1.,这意味着`，θ`, θ` ∈ H（2，~χ，~C）。时变模型的同时推理63E。2.案例2：tvGARCH。类Hmultι（M，χ，\'C）。在tvGARCH的情况下，我们需要一个更具体的`结构来获得弱力矩假设下的结果。

为了利用tvGARCH似然分析中出现的独立性，让我们引入Hmultι（M，χ，\'\'C）类，它由函数g:R×RN×Θ组成，使得supθ∈Θ| g（y，0，θ）| 1+| y | M≤\'C和sup |θ-~θ|<ιsupysupx6=x | g（y，x，θ）- g（y，x，θ）| | x- x |χ（1+| x | M）-1χ+| x | M-1χ（1+| y | M）≤\'C，supx，ysupθ6=θ，|θ-~θ|<ι,|θ-~θ|<ι| g（y，x，θ）- g（y，x，θ）| |θ- θ|（1+| x | Mχ）（1+| y | M）≤C.现在给出了一组略微不同的假设（假设E.5），这些假设是为条件异方差模型（导致较弱的矩假设）专门设计的。假设E.5（异方差递归定义的时间序列情况）。让我，我∈ Zbe是一个i.i.d.序列。假设对于任何t∈ [0,1]它认为∧Yi（t）=F（∧Xi（t），θ（t），ζi），i∈ Z、 其中F是一些可测函数。设<<<<θ（y，x，θ）：=`（F（x，θ，y），x，θ）。假设有一天≥ 2，（A1\'）`是两次连续可微的w.r.t.θ。有M≥ 1使得对于每一个>0的，存在χ（s）=（χ（s）j）j=1,2，。。。χ（s）j=O（j）-（1+γ）和`C（s）>0，这样o`，θ`, θ` ∈ H（2M（1+s），χ（s），\'C（s））。o（E.13）supθsupz6=z |`（z，θ）- `（z，θ）| | z- z | s^χ（s），s（1+| z | M^χ+| z | M^χ）+z- z|^χ（s）（1+|z|M）-1^χ+|z|M-1^χ）1+s）≤“C（s）。”存在ι>0，这样θ~`, θ~` ∈ Hmultι（M（1+s），χ（s），\'C（s））（A2\'）（A2）保持，（A3\'）（A3）保持，（A4\'）（A4）保持，（A5\'）（A5）保持和kζkrM≤ D.（A6\'）监督∈[0,1]δ∧Y（t）rM（k）=O（ρk）和一些ρ∈ （0，1）。64 S.KARMAKAR等人。我们现在证明假设2.2意味着假设E.5。提案E.6。假设2.2成立。然后假设E.5中充满了每一个r=2+~a、~a<a和M=2。它认为∧（t）=I（t）=（（Eζ- 1） /2）V（t）。对于下面的命题，让我们介绍下面的符号。对于随机向量v∈ rdq>1，我们定义kvkq:=（kvjkq）j=1，。。。，d、 类似于随机矩阵∈ Rd×d，定义kAkq:=（kajkq）j，k=1，。。。，D

如果A，v是独立的，那么对于任何j∈{1，…，d}，（E.14）（kAvkq）j=dXk=1AjkvkQ≤dXk=1kAjkvkkq=dXk=1kajkkkkkkkq=（kAkq·kvkq）j.特别是，我们编写了kAvkq≤ kvkqin在这种情况下，这意味着不平等性具有组成部分的智慧。命题E.6的证明。对于t∈ [0,1]，我们缩写为Mi（t）：=Mi（θ（t））。自那时起[|ε| 4+a]<∞ 对于某些a>0，映射Φ：[0,1]×[1,1+a）→ [0, ∞), （t，t，q）7→ρ（kM（t）M（t）kq）在每个（t，t，1）中是连续的，Φ（t，t，1）=ρ（E[M（t）M（t）]）<1。因此存在q>1，使得（E.15）supt，t∈[0,1]ρ（kM（t） M（t）kq）=支持，t∈[0,1]Φ（t，t，~q）<1。特别是，我们有（E.16）支持∈[0,1]ρ（kM（t）2k~q）<1。同样，由于E[ζ]≥ 1.我们从supt得出结论∈[0,1]ρ（E[M（t）]小于1，即（w.l.o.g.，具有与上述相同的q>1）（E.17）支持∈[0,1]ρ（kM（t） Ik~q）<1。设M=1。修正t∈ [0, 1]. 考虑相应的平稳逼近的递归，即Yi（t）＝α席I（t）Zij i，αi i（t）＝α（t）+Mxj＝1αj（t）i。-j（t）+lXj=1βj（t）~σi-j（t）。（E.18）定义Pi（t）：=（Yi（t），~Yi-m+1（t），σi（t），σi-l+1（t）t，ai（t）：=（α（t）ζi，0，0，α（t），0，0）T.时变模型的同时推理65为简洁起见，设Mi（T）=Mi（θ（T））。根据[51]中的第3.1节，模型（E.18）采用了表示法（E.19）~Pi（t）=Mi（t）~Pi-1（t）+ai（t）。因此，~Pi（t）=Gζi（~Pi-Gζi（y，t）=Mi（t）·y+ai（t）。设Wn（y，t）：=Gζn（Gζn-1（…Gζ（y，t）…）。然后我们有了（y，t）- Wn（y，t）=Mn（t）（Wn（y，t）- Wn（y，t））=…=锰-1（t）·…·M（t）·（y）- y） 。使用（AB） （CD）=（A） C） （B） D） ，我们得到（E.20）（Wn（y，t）-Wn（y，t））2=Mn（t）2（Wn（y，t）-Wn（y，t））2=Mn-1（t）2·...·M（t）2·（y）-y）我们从（E.20）和（E.14）thatk（Wn（y，t）中获得- Wn（y，t））2kq≤ kMn-1（t）2kq·。。。公里（吨）2kq（y）- y）2=公里（吨）2kqN-1·（y）- y）2.根据（E.16），[52]中的定理2给出了存在性和a.s。

~Yi（t）=H（t，Fi）的唯一性，supt∈[0,1]k~Y（t）k~q<∞ 还有监督∈[0,1]δ≈Y（t）~q（k）=kYi（t）-■易（t）*对于某些0<c<1的情况，kq=O（ck）。这显示了假设E.5（A6\'）。我们现在的目标是展示E.5（A5\'）。（E.19）表示（E.21）~Pi（t）=∞Xk=0K-1Yj=0Mi-j（t）人工智能-k（t）。因此我们对t，t∈ [0,1]：π（t）-~Pi（t）=∞Xk=0k-1Xl=0Ck，l+∞Xk=0Ck，其中ck，l:=nL-1Yj=0Mi-j（t）· {Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）}·K-1Yj=l+1Mi-j（t）oai-k（t）Ck：=K-1Yj=0Mi-j（t）· （哎-k（t）- 人工智能-k（t））.66 S.KARMAKAR等人，我们得到（~Pi（t）-~Pi（t））2=∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0Ck，l 克，我+∞Xk，k=0k-1Xl=0{Ck，l Ck+Ck Ck，l}+∞Xk，k=0Ck Ck，尤其是，它保持了组件级的thatk（~Pi（t）-~Pi（t））2kq≤∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0CK，l Ck，lkq+∞Xk，k=0k-1Xl=0{kCk，l Ckkq+kCk Ck，lkq}+∞Xk，k=0kCk Ckkq.（E.22）对于（E.22）中的第一个总结，我们只调查l<l<k<k的情况。由于出现了类似的术语，所有其他情况都可以进行类似的处理。我们有（AB） （CD）=（A） C） （B） D） ：Ck，l 克，我=L-1Yj=0Mi-j（t）2.·{Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）} 惯性矩-l（t）·L-1Yj=l+1Mi-j（t） 惯性矩-j（t）×惯性矩-l（t） {Mi-l（t）- 惯性矩-l（t）}·K-1Yj=l+1Mi-j（t）2.·K-1Yj=kMi-j（t） 我×（人工智能）-k（t） 人工智能-（k（t））通过独立性和（E.14），它认为克，我 克，我~q≤ 公里（吨）2klq·k{M（t）- M（t）} M（t）kq·kM（t） 吉隆坡M（t）酒店-L-1~q×kM（t） {M（t）- M（t）}k＠q·kM（t）2kk-L-1~q·kM（t） Ikk-k~q×ka（t） 通过引理E.1和（E.15），（E.16），（E.17），我们得到了带有一些ρ的结果∈ （0,1）和某个常数c>0，克，我 克，我~q≤ ~c·△ρl·k{M（t）- M（t）} M（t）kq· ρl-L-1×公里（吨） {M（t）- M（t）}kq· ρk-L-1·ρk-k=~c·△ρk-2·k{M（t）- M（t）} M（t）kq·公里（吨） {M（t）- M（t）}kq用θ（·）和E[|ζ| 4+a]的Lipschitz连续性同时推断时变模型∞, 柯西-施瓦兹不等式（E.23）k{M（t）-M（t）}M（t）kq≤M（t）-M（t）2q·kM（t）k2q≤ C·t-t |一些常数C>0。

类似的结果公里（吨） {M（t）- M（t）}kq暗示克，我 克，我~q≤ ~c·△ρk-2·C·t- t |。因此，我们有（E.24）X0≤l<l<k<k<∞kCk，l Ck，lkq≤ ~c·c | t- t|·∞Xk=0（k）·ρk-2.对于（E.22）中的第三个summand，我们将只调查k<k的情况。这里我们有Ck=K-1Yj=0Mi-j（t）2.·K-1Yj=k{Mi-j（t）我}·{（ai）-k（t）-人工智能-k（t））（哎-k（t）-人工智能-k（t））}。如前所述，我们得出结论，当一些∧c>0时∈ （0,1）它认为Ck Ck~q≤ ~c·ρk·ρk-k·（a（t）- a（t）） （a（t）- a（t））~q.通过θ（·）和E[|ζ4+a]的Lipschitz连续性∞, Cauchy-Schwarz不等式具有常数C>0（a（t）- a（t）） （a（t）- a（t））~q≤ka（t）- a（t）k2q≤ C·t- t |。我们得到了Ck Ck~q≤ ~c·△ρk·c·| t- t |，因此（E.25）X0≤k<k<∞Ck Ck~q≤ ~cC | t- t|·∞Xk=0kρk（E.22）中的第二个和可以类似于第一个和第三个和。我们从（E.24）和（E.25）中得到，存在一个常数c>0，使得k（~Pi（t）-~Pi（t））2kq≤ ~c·| t- t |。由于π（t）中包含的第一个元素是πYi（t），因此我们特别得到了thatkYi（t）-~Yi（t）k2~q≤ ~c|t- t |，68 S.KARMAKAR等人，即E.5（A5\'）的第二部分，方程式（A.5）。我们现在讨论E.5（A5\'）的第一部分，方程式（A.5）。LetPi:=（Yi，…，Yi）-m+1，σi。。。，σi-l+1）T，那么它认为Pi=Mi（i/n）·Pi-1+ai（i/n），i=1。。。，n、 定义为P=~P（0）。因此，PIIK定义明确，kYik2q<∞ 存在。

因此，我们有代表=∞Xk=0K-1Yj=0Mi（i- jn∨ 0)· 人工智能-k（i）- 千牛∨ 0），这将导致（Pi-■Pi（i/n））2=h∞Xk=0nK-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)-K-1Yj=0Mi-j（英寸）oai-k（i）- 千牛∨ 0)+∞Xk=0K-1Yj=0Mi-j（英寸）{ai-k（i）- 千牛∨ 0) - 人工智能-k（in）}i2=∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0Dk，l Dk，l+∞Xk，k=0k-1Xl=0{Dk，l Dk+Dk Dk，l}+∞Xk，k=0Dk Dk，其中Dk，l:=nL-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)· {Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）}·K-1Yj=l+1Mi-j（英寸）oai-k（i）- 千牛∨ 0）丹麦：=K-1Yj=0Mi-j（i）- jn）· （哎-k（i）- 千牛∨ 0) - 人工智能-k（in））。如（E.22）所示，我们有组件式thatk（Pi-~Pi（in））2kq≤∞Xk，k=0k-1Xl=0k-1Xl=0kDk，l Dk，lkq+∞Xk，k=0k-1Xl=0{kDk，l Dkkq+kDk Dk，lkq}+∞Xk，k=0kDk 由于（E.26）几乎与（E.22）具有相同的结构，我们只讨论（E.26）对于l<l<k<k的第一次总结中出现的新方面 Dk，l=L-1Yj=0Mi-j（i）- jn∨ 0)2.·{Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）} 惯性矩-l（英寸）×L-1Yj=l+1Mi-j（英寸） 惯性矩-j（i）- jn∨ 0)·惯性矩-l（英寸） {Mi-l（我）- 自然对数∨ 0) - 惯性矩-l（in）}×K-1Yj=l+1Mi-j（英寸）2.·K-1Yj=kMi-j（英寸） 我×（人工智能）-k（i）- 千牛∨ 0)  人工智能-k（i）- 千牛∨ 0)).使用（E.14）和独立性，我们得到了Dk，l Dk，l~q≤L-1Yj=0kM（i- jn∨ 0)2kq· k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq×L-1Yj=l+1kM（英寸） M（我）- jn∨ 0）k~q×公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - 米（英寸）}k!q·公里（英寸）2kk-L-1~q×kM（英寸） Ikk-k~q·a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）q.（E.27）定义A（t，t）：=kM（t）M（t）kq。

从（E.15）中，我们得到ρ：=supt，t∈[0,1]ρ（A（t，t））<1。我们可以直接推广引理E.2（用[0，1]代替[0，1]作为a的定义域），从而得出存在一组有限的可逆矩阵M。。。，MLA有限分区[0,1]=SLk=1INTO矩形Ik [0，1]使得对于（t，t）∈ Ik，|A（t，t）|Mk≤1 + ρ< 1.类似于引理E.3的证明，等式（E.2），这表明存在常数C=C（L）>0，这样L-1Yj=0kM（i- jn∨0)2kq≤ C（L）·1 + ρL公里（英寸）2kk-L-1~q≤ C（L）·1 + ρK-L-1,70 S.KARMAKAR等人和L-1Yj=l+1kM（英寸） M（我）- jn∨ 0）k~q≤ C（L）·1 + ρL-L-1，作为（E.17）的含义，公里（英寸） Ikk-k~q≤ C（L）·1 + ρK-k、 将这些结果转化为（E.27）收益率Dk，l Dk，l~q≤ C（L）1 + ρK-2·k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq×公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）}kq×a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）~q.（E.28）如（E.23）所述，我们获得k{M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）} M（in）kq≤ C·ln，公里（英寸） {M（i）- 自然对数∨ 0) - M（in）}kq≤ C·ln，常数C>0，与i，l，l，k，k，n和a（我）- （千牛） a（我）- （千牛）~q≤ C.插入（E.28）并使用l<l<k<kyieldsDk，l Dk，l~q≤ C（L）C1 + ρK-2·（k）n，因此X0≤l<l<k<k<∞Dk，l Dk，l~q≤C（L）Cn·∞Xk=01 + ρK-2·（k）。（E.26）中所有其他可能性和总和的类似计算表明：（~Pi）-■Pi（i/n））2.~q≤有些D>0，与i，n无关。我们得出结论：易-~Yi（识别号）~q≤Dn，时变模型的同时推断，显示了E.5（A5\'）的第一部分，方程（A.5）。设∑（x，θ）：=（σ（x，θ），σ（x（l）-1)→, θ） ）和A（x，θ）：=（α+Pmj=1αjxj，…，α+Pmj=1αjxj+l-1） T和b（θ）=β. . . . . . . . . βl10。0.....................0 . . .

0 1 0.如[36]中定理2.1所述，ρ（EM（θ）2） <1是参数为θ的相应GARCH过程具有4阶矩的充分必要条件。我们的结论是ρ（EM（θ））<1，而[19]中的命题1意味着ρ（B（θ））<1。我们有明确的表示（E.29）σ（x，θ）=∞Xk=0B（θ）kA（xk→, θ).因为A（0，θ）=（α，0，…，0）T，我们有σ（0，θ）=α∞Xk=0（B（θ）k）。从（E.29）我们还得到（E.30）σ（x，θ）=c（θ）+∞Xj=1cj（θ）·Xj，其中cj（θ）≥ 0满意度（E.31）supθ∈Θ| cj（θ）|≤ C·ρj和一些ρ∈ （0,1）和c（θ）≥ σmin>0（由于α≥ αmin>0）。由于显式表示（E.29）具有几何衰减的总和，很容易看出σ（x，θ）是（E.32）连续可微w.r.t.θ的四倍kθ（σ（x，θ））=kθc（θ）+∞Xj=1kθcj（θ）·xj，k∈ {0,1,2,3,4}，其中(kθcj（θ））jis仍然随supθ呈几何衰减∈Θ|kθcj（θ）|∞≤ 比如说C·ρj。72 S.KARMAKAR等人从（E.32）中得出结论，k=0,1,2,3时（分量方面）：|kθ（σ（x，θ））- kθ（σ（x，θ））|≤ C | x- x |（ρj）j，1，（E.33）|kθ（σ（x，θ））- kθ（σ（x，θ））|≤ |θ - θ|·supθ∈Θ|k+1θ（σ（x，θ））|∞≤ C |θ- θ|·|x |（ρj）j，1。（E.34）我们得到，`（y，x，θ）是四次连续可微的，`（y，x，θ）=yσ（x，θ）+log（σ（x，θ））,θ`（y，x，θ）=θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）1.-yσ（x，θ）,θ`（y，x，θ）=h-θ（σ（x，θ））θ（σ（x，θ））T2σ（x，θ）+θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）i1.-yσ（x，θ）+θ（σ（x，θ））θ（σ（x，θ））T2σ（x，θ）·yσ（x，θ）。[19]中定理2.1的证明表明θ7→ L（t，θ）=E`（~Z（t），θ）在θ=θ（t）中唯一最小化，这显示了假设E.5（A3\'）。比如命题的证明。4，我们得到v（t）=Eθ（σ（~X（t），θ（t）））θ（σ（~X（t），θ（t）））T2σ（~X（t），θ（t））= I（t）Eζ- 1.此外，θ`（z（t），θ（t））=θ（σ（~Xi（t），θ（t）））2σ（~Xi（t），θ（t））{1- ζi}，这表明θ`（Zi（t），θ（t））是一个鞅差序列w.r.t.Fi。因此∧（t）=I（t）。

文献[19]中定理2.2的证明表明，V（t）对每一项都是正定义∈ [0, 1]. 通过连续性，我们得出结论，假设E.5（A4\'）已完成。假设E.5（A1\'）的证明：它认为2 |`（y，x，θ）-`（y，x，θ）|≤ |Y-y |·σ（x，θ）+y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）+|对数（σ（x，θ））-log（σ（x，θ））|。因为σ（x，θ）≥ σmin>0，对数的Lipschitz连续性[σmin，∞) （E.31）存在一些常数C>0，使得（E.35）2 |`（y，x，θ）-`（y，x，θ）|≤ C（| y）-y |+| x-x |（ρj）j，1）+y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）.时变模型的同步推理σ（x，θ）-σ（x，θ）≤P∞j=0cj（θ）|xj。xj |σ（x，θ）σ（x，θ）≤∞Xj=1cj（θ）|Xj- xj |（σmin+cj（θ）xj）（σmin+cj（θ）xj）≤σmin∞Xj=1cj（θ）|Xj- xj |σmin+cj（θ）|xj- xj |。最后一步之所以成立，是因为以下参数：它要么成立| xj-xj|≤ xjor | xj-xj|≤xj自从xj，xj≥ 因此，分母中的一个因子可以由σmin下界，另一个因子由σmin+cj（θ）|xj下界-xj |。遵循[19]的思想，对于任意小的>0，我们使用不等式x1+x≤ 获得σ（x，θ）-σ（x，θ）≤σ4+2smin∞Xj=1cj（θ）s |Xj- xj|s≤Cσ4+2smin | x- x | s（ρjs）j，sTogether与（E.35），我们得到（E.13）。直接使用（E.35）和（E.33），我们得到了supθ∈Θsupz6=z |`（z，θ）- `（z，θ）| | z- z |（ρj）j，1·（1+| z | 2M-1（ρj）j+| z | 2M-1（ρj）j）<∞.注意，对于一些常数C>0,2 |`（z，θ）- `（z，θ）|≤ |y |·hσ（x，θ）-σ（x，θ）i+| log（σ（x，θ））- 对数（σ（x，θ））|≤ C（1+| y |）·|σ（x，θ）- σ（x，θ）|。与（E.34）一起，我们得到了supθ6=θsupz | `（z，θ）- `（z，θ）| |θ- θ|·（1+| z | 2M（ρj）j+|z | 2M（ρj）j）<∞.这表明`∈ H（2M，（ρj）j，\'C）以及一些适当选择的\'C>0。设s>0是任意的。[19]，（4.25）中显示，对于一些小的ι>0仅取决于s，Θ，它认为（E.36）sup |θ-θ|<ισ（x，θ）σ（x，θ）≤\'C（1+| x | s（ρjs）j，s）。类似地，对于k=1，2，3，我们可以得到（E.37）sup |θ-θ|<ιkθσ（x，θ）∑（x，θ）≤\'C（1+| x | s（ρjs）j，s）.74 s。

KARMAKAR等人在下面我们展示θ` ∈ H（2M（1+s），（ρj）j，\'C）以及一些适当选择的\'C>0。我们有（组件方面）：2|θ`（y，x，θ）- θ`（y，x，θ）|≤ |Y- y |·σmin|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+|y |·σ（x，θ）-σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+| y |σmin·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.33）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.38）2|θ`（y，x，θ）- θ`（y，x，θ）|≤“C|z”- z |（ρj）j，1·（1+| z | 2M-1（ρj）j+| z | 2M-1（ρj）j）1+s.我们有（分量方面）：2|θ`（z，θ）- θ`（z，θ）|≤ |y|·σ（x，θ）-σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+| y |σmin·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.33）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.39）2|θ`（z，θ）- θ`（z，θ）|≤\'C|θ- θ|·（1+| z | 2M（ρj）j+|z | 2M（ρj）j）1+s。我们从（E.38）和（E.39）得出结论：θ` ∈ H（2M（1+s），（ρj）j，\'C）。证明θ′在（E.33）、（E.34）和（E.37）中类似，因此省略。设s>0是任意的，且ι>0使得（E.36）和（E.37）成立。在下面的例子中θ~` ∈ Hmultι（M（1+s），（ρj）j，\'C）与一些合适的选择\'C>0。

它认为θ∧`∧θ（y，x，θ）=θ（σ（x，θ））2σ（x，θ）1.- yσ（x，θ）σ（x，θ）.我们有|θ-~θ|< ι:2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤ |y |·h |σ（x，|θ）- σ（x，θ）|σmin+σ（x，θ）σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|i·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+|y |·∑（x，θ）σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.对时变模型的同时推断：使用（E.33）和（E.37），我们得到了（分量方面的）一些适当选择的¨C>0:（E.40）2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤\'C（1+| y |）·x- x |（ρj）j，1·|x | s（ρjs）j，s，我们对|θ有-~θ|, |θ-~θ|< ι:2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤ |y |·∑（x，θ）σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|·|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）+1+|y |·∑（x，θ）σ（x，θ）·|θ（σ（x，θ））- θ（σ（x，θ））|σmin+|θ（σ（x，θ））|σ（x，θ）σmin |σ（x，θ）- σ（x，θ）|.使用（E.34）和（E.37），我们得到了一些适当选择的‘C>0:（E.41）2|θ∧`∧θ（y，x，θ）- θ∧`∧θ（y，x，θ）|≤\'C（1+| y |）·θ- θ|·（1+|x | M（ρj）j）·|x | s（ρjs）j，s.我们从（E.40）和（E.41）得出结论：θ~` ∈ Hmultι（M（1+s），（ρj）j，`C）。证明从（E.33），（E.34）和（E.37）的角度来看，θ*\'是相似的，因此省略了。