一个自动有限样本稳健性度量：什么时候可以稍微降低

2022-4-24 17:32:13

一个自动的有限样本稳健性度量：何时丢弃一点数据会产生巨大差异？塔玛拉·布罗德里克，瑞安·乔达诺*, Rachael Meager+2021年11月4日摘要我们提出了一种方法来评估经济计量分析对一小部分数据移除的敏感性。手动检查所有可能的小子集的影响在计算上是不可行的，因此我们提供了一个近似值来查找最有影响的子集。我们的度量标准“近似最大受影响扰动”，可自动计算常用方法，包括（但不限于）OLS、IV、MLE、GMM和变分贝叶斯。我们提供了逼近性能的有限样本误差范围。以最低的额外成本，我们提供了一个准确的样品灵敏度下限。我们发现，在推理问题中，灵敏度是由信噪比驱动的，不反映在标准误差中，不渐进消失，也不是由于误判。虽然一些实证应用是可靠的，但几个经济学论文的结果可以通过移除不到1%的样本来推翻。1导言理想情况下，决策者将利用经济学研究，为影响人们生计、健康和福祉的决策提供信息。然而，研究样本可能会以非随机的方式与这些决策的目标人群产生差异，这可能是因为在获取真正随机样本方面存在实际挑战，或者是因为人群在时间和地点上通常存在差异。当这些偏离理想的随机变量*同等贡献主要作者+同等贡献主要作者Tamara Broderick和Ryan Giordano获得了海军研究基金会早期关怀奖、NSF职业奖和陆军研究基金会叶奖的部分支持。

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2022-4-24 17:32:18

我们感谢Avi Feller、Jesse Shapiro、Emily Oster、Michael Kremer、Peter Hull、Tetsuya Kaji、Heather Sarsons、Kirill Borusyak、Tin Danh Nguyen和我们所有申请书的作者，感谢他们提出的见解和建议。所有的错误都是我们自己的。通讯作者：Rachael Meager，可在r。meager@lse.ac.uk.sampling这些活动很小，人们可能会认为经验结论在受政策影响的人群中仍然适用。因此，谨慎的做法是询问研究样本的一小部分或少数数据点是否有助于确定其结果。在本文中，我们提供了一个简单的、可自动计算的指标，说明删除少量数据如何改变实证结论。我们证明，即使在标准误差很小的情况下，通过去除不到1%的样本，也可以逆转经济学中高绩效研究的某些实证结果，我们调查了原因。有几个原因值得关注的是，经验结论是否会受到有限样本的小百分比的实质性影响。在实践中，即使我们可以从直接感兴趣的人群中取样，也会有小部分数据丢失；要么调查人员和实施人员无法找到这些人，要么他们拒绝回答我们的问题，要么他们的答案在数据处理过程中丢失或混乱。由于这种缺失不能被安全地假设为随机的，研究人员可能会关心他们的实质性结论是否会被丢失的少量数据点推翻。类似地，在分析的任何阶段，担心样本构建中潜在非随机错误的研究消费者可能会对该指标感兴趣，该指标可以衡量astudy的结论对该问题的暴露程度。

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2022-4-24 17:32:24

受少数数据点高度影响的结论在数据分析过程中更容易出现不良事件或错误，包括p-hacking，即使这些错误是无意的。然而，即使研究人员可以从给定的研究人群中构建一个完全随机的样本，我们决策的目标人群始终与研究人群不同，哪怕只是因为世界可能在研究和决策之间发生变化。出于这个原因，社会科学家往往渴望揭示关于世界的普遍真理，并提出比单一研究人群更广泛的政策建议。在本文中，我们建议直接测量一小部分数据样本对一项研究的核心主张或结论的影响程度。对于特定的分数α（例如，α=0.001），我们建议在从样本中移除这些观察值时，找出影响估计器最大变化的所有观察值中不超过100%的一组，并报告这种变化。例如，假设我们在实施一些经济政策干预后，发现住宅消费的平均增长具有统计意义。进一步假设，通过减少0.1%的样本（通常少于10个数据点），我们发现消费量的平均下降具有统计学意义。那么，要说有强有力的证据表明这种干预会导致即使是略有不同的人群的消费增加，这将是一个挑战。为了量化这种敏感性，我们可以考虑每一个可能的1。- α部分的数据，并对所有这些数据子集重新运行原始分析。

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2022-4-24 17:32:30

但这种直接实现在计算上是禁止的。我们提出了一种适用于常见估计量的快速近似方法，包括广义矩法（GMM）、普通最小二乘法（OLS）、工具变量（IV）、最大似然估计量（MLE）、变分贝叶斯（VB）和所有平滑经验损失的最小值。大致上，我们给每个数据点一个权重，并在权重中应用泰勒展开（第2.1节和第2.2节）。我们的近似运算速度快、自动化程度高且易于使用，我们在GitHub上提供了一个名为“zamin fluence”的R包通过理论分析、仿真研究和应用实例，我们证明了我们的近似方法具有良好的性能。我们证明，当移除的样本百分比很小时，近似误差很低（第3.3节）。此外，对于单个额外数据分析的成本，我们可以在删除100α%数据后，提供分析中最坏情况变化的准确下限（第2.2.1节）。我们检查我们的指标是否检测到数据点的组合，这些数据点在从现实数据集中删除时会推翻实证结论（第4节）。例如，在俄勒冈州医疗补助研究（Finkelstein et al.，2012）中，我们可以确定一个包含不到原始数据1%的子集，该子集控制医疗补助对某些健康结果影响的迹象。在墨西哥小额信贷研究（Angelucci et al.，2015）中，我们在16500项研究中发现了一项单一的观察结果，该观察结果控制了ATE对家庭福利的影响。我们调查了这种敏感性出现时的来源，并表明它不在常规标准误差中。我们发现，结果在样本的一小部分影响范围内的暴露不需要反映模型误判问题，也不需要反映总体异常值的存在。

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2022-4-24 17:32:36

根据我们的度量标准，灵敏度会上升，即使模型完全正确且数据集很大，但前提是信噪比较低：也就是说，如果索赔（信号）的强度相对于一个数量而言很小，该数量一致地估计了根N的限制分布乘以感兴趣数量的标准偏差（第3节）。例如，当残差方差与回归方差的比率很高时，这种“噪音”很大（第3.1节）。即使标准误差很小，这种噪声也可能很大，因为它不会随着N的增长而消失。我们研究了实证经济学论文中的几个应用，发现在实际分析中，我们的指标捕捉到的敏感性差异很大。在许多情况下，即使t统计量非常大且推断非常精确，某些估计治疗效果的迹象和意义也可以通过减少样本的不到1%来逆转；例如，参见第4.1节中的俄勒冈州医疗补助RCT（Finkelstein等人，2012）。在第4.2节中，我们检查了Progresa，Young（2019）发现，当保留两个数据点的非常可能子集时，重新运行分析在计算上是禁止的。为了说明，考虑一个需要1秒运行的分析；检查从一个400大小的数据集中每删除4个数据点需要33年以上的时间。详见第2节。https://github.com/rgiordan/zaminfluence.该名称代表“Z-估计近似最大影响”现金转移RCT（Angelucci和De Giorgi，2009）表明，剔除结果数据中的异常值并不一定会降低敏感性。

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nandehutu2022

2022-4-24 17:32:42

在第4.3节中，我们研究了七个小额信贷RCT（Meager，2020）的简单双参数线性回归，在第4.4节中，我们研究了相同数据的贝叶斯层次分析；最后两项分析表明，无论是非常简单的还是相对复杂的贝叶斯模型，都不会对数据的小部分下降敏感。然而，并非所有我们研究的分析都是非稳健的。在我们研究的应用程序中，某些结果的鲁棒性高达5%，甚至10%。我们建议研究人员使用我们的指标来补充标准误差和其他稳健性检查。我们的目标不是取代其他分析，而是提供一个额外的工具，以便纳入数据科学中更广泛的系统稳定性分析生态系统（Yu，2013）。例如，由于泰勒展开，我们的近似基本上是局部的，从业者也可以考虑全局灵敏度检查，如莱默（1984、1985）提出的那些；索波尔（2001）；Saltelli（2004），或He等人（1990）的分解前沿方法；马斯滕和波里耶（2020年）。我们的方法也不能替代由研究人员设计的定制鲁棒性检查，以调查结果对特定结构或假设的敏感性。即使通过了我们的检查，从业者也可能从他们的分析中受益（Mosteller和Tukey，1977；Hansen和Sargent，2008；Chen等人，2011）。我们的度量也是对经典稳健性度量的补充，尽管我们能够通过影响函数将我们的度量与这些度量联系起来。我们看到，粗差敏感性是为设计估计器和对人口分布的任意对抗性扰动而设置的，而我们的度量是为评估在分析完成后删除手头数据的所有子集的敏感性而设置的。

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2022-4-24 17:32:48

我们不建议研究人员放弃那些对删除一小部分高流动性数据不可靠的结果，而是调整他们对这些结果的解释，因为这些结果不太普遍适用于有点不同的人群。我们不推荐根据我们的标准对普通推理程序进行任何特定的修改，但我们相信这一方向对未来的研究是有希望的。2我们观察到N个数据点d，dN。例如，在回归问题中，第n个数据点可能由协变量xn和响应（s）yn组成，其中dn=（xn，yn）。标准杆数∈ RPof利息。通常，我们通过数据的某个函数^θ来估计θ。经验主义经济学论文的核心主张通常集中在θ的某些属性上，例如特定影响或数量的符号或意义。如果删除数据中的一小部分α会改变影响的迹象，常客分析师可能会担心改变影响的重要性产生相反符号的显著结果。为了解决这些问题，我们定义了以下数量：定义1。假设最大影响扰动是通过减少不超过100α%的数据而引起的最大可能变化。我们通常会对达到最大干扰的集合感兴趣，所以我们称之为最具干扰的集合。我们将对最小数据比例α感兴趣∈ [0,1]需要实现某种大小的更改在感兴趣的量中，我们称之为α，扰动诱导比例。如果不存在这样的α，我们报告NA。一般来说，为了计算某个α的最大影响扰动，我们需要列举掉不超过原始数据100α%的每个数据子集。对于每个这样的子集，我们都需要重新运行entiredata分析。

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mingdashike22

2022-4-24 17:32:54

如果m是小于100α的最大整数，则此类子集的数量大于纳米. 对于N=400和m=4，纳米= 1.05* 10.即使在这种简单的情况下，计算最大影响扰动也需要进行10亿次以上的数据分析。如果每次数据分析耗时1秒，计算最大影响扰动将需要超过33年的时间。事实上，即使对于相对较小的分析，最大影响扰动、最大影响集和扰动诱导比例在计算上也可能是禁止的。2.1设置：符号和假设为了解决这个计算问题，我们建议使用（快速）近似。我们将看到，对于一个额外的数据分析，我们的近似可以提供精确的最大影响扰动的下限。更一般地说，我们提供理论和实验来支持我们近似的质量。我们提供了开源代码，并表明我们的近似值在实践中是完全自动的（第2.2节）。我们的近似类似于泰勒展开式，因此它要求我们的估计量的某些方面是可微的。现在，我们总结了近似存在的假设，并注意到许多常见分析满足这些假设，包括但不限于OLS、IV、GMM、MLE和变分贝叶斯。下面，在第3.3节中，我们将说明更严格的有效条件，这些条件不仅能保证近似的存在，而且能保证有限的样本准确性。https://github.com/rgiordano/zaminfluenceAssumption1.^θ是Z-估计量；也就是说，θ是以下估计方程的解，其中G（·，dn）：RP→ Rp是一个两次连续可微分函数，0Pis是P零点的列向量。NXn=1G（^θ，dn）=0P。（1）假设2。

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2022-4-24 17:33:00

φ：RP→ R、我们将其解释为一个函数，它接受完整参数θ，并从θ返回感兴趣的数量，它是连续可微的。例如，从向量θ，φ（θ）=θp中提取p效应的函数满足这一假设。为了形成近似值，我们引入一个数据权重向量，~w=（w，…，wN），其中wN是第n个数据点的权重。我们通过赋予每个数据点1:~w=~1=（1，…，1）的权重来恢复原始数据集。我们可以将原始数据的一个子集表示为：从~w=~1开始；然后，如果n索引的数据点被忽略，则设置wn=0。我们可以收集与所有数据集相对应的权重，这些数据集的下降幅度不超过原始数据的100%，如下所示：Wα：={~W:W的不超过bαNc元素为0，其余为1}。（2）我们的主要想法是将感兴趣的数量φ作为权重的函数进行泰勒展开，而不是重新计算每个数据子集（即每个权重）的φ。为此，我们首先重新制定设置，现在使用权重~w；请注意，我们通过在whatfollows中设置~w=~1来恢复上面的原始问题（对于完整数据）。设^θ（~w）是我们在~w所描述的加权数据集上的参数估计。也就是说，^θ（~w）是加权估计方程nxn=1wnG（^θ（~w），dn）=0P的解。（3）我们允许感兴趣的数量φ不仅通过估计量θ依赖于~w，所以我们可以选择用φ（·，·）：RP×RN写出φ（θ，~w）→ R.每当我们把φ（·）写成一个参数的函数时，我们都会隐式地表示φ（·，~1）。我们要求φ（·，·）在两个参数中都是连续可差的。例如，我们可以用φ（θ，~w）=θ来挑选θ的第p分量。

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2022-4-24 17:33:07

或者，考虑统计符号的问题，我们可以选择ωp（Th，~w）＝π（Th，~w）＝Th p+1.96的西格子p（Th，~w），其中Sp（Th，~w）是标准误差在Th和W上平稳地估计；这个例子有时等式1与优化光滑目标函数的“M-估计”有关，因为这种M-估计通常采用Z-估计的形式。然而，一些Z-估计，如IVR回归，不会优化任何特定的经验目标函数，因此Z-估计的概念实际上更一般。下面，我们将考虑φ对数据权重的额外依赖。是我们允许φ（θ，~w）中更一般的~w依赖性的动机。有了这个符号，我们可以重申我们最初的目标，即计算最具影响力的集合，即求解~w**:= arg max~w∈Wαφ（θ（~w），~w）-^φ. （4）这里我们关注φ的正变化，因为负变化可以通过翻转φ的符号和使用-而是φ。特别是~w的零指数**对应于最有效的集合：Sα：={n:~w**n=0}。ψα=φ（~w）**) -^φ是最大影响扰动。微扰诱导比例是诱导至少大小变化的最小α: α*:= inf{α：ψα>}.2.2一个易于处理的近似我们的近似集中在~w 7中的一阶泰勒展开（以及线性近似）→ φ（^θ（~w），~w）在~w=~1附近。设φ：=φ（θ（~1），~1），原始数据集的感兴趣数量。那么：φ（θ（~w），~w）≈ φlin（~w）：=φ+NXn=1（wn）- 1） ψn，带ψn：=φ（θ（~w），~w）wn~w=~。（5）反过来，我们可以近似计算最具影响力的集合，如下所示。设ψ（n）表示ψn的阶统计量，即从最负到最正的ψ。LetI（·）表示参数为false时取值为0，为true时取值为1的指示符函数。

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2022-4-24 17:33:13

然后~w**≈ ~W*:= arg max~w∈Wαφlin（~w）-^φ= arg max~w∈WαXn:wn=0(-ψn）=>φlin（~w）*) -^φ = -bαNcXn=1ψ（n）Iψ（n）<0. （6）计算~w*（类似于~w**这决定了精确的最有效集），我们计算每n的ψ，然后选择~w*在ψ为最负的bαNc指数n处，条目等于零（在其他地方，条目等于一）。与扰动诱导比例类似，我们可以找到实现某种大小变化所需的最小数据比例α:i、例如φlin（~w*) -^φ > . 特别是，我们迭代移除最负的ψn（和指数n），直到实现变革；如果移动点的数量为M，则我们报告的比例为α=M/N。回想一下，要找到准确的最大影响扰动、最大影响集和扰动诱导比例，需要进行超过MbαNc时报。相比之下，我们的近似只需要运行单个原始数据分析，N个额外的快速计算来计算每个ψN，最后对ψN值进行排序。我们确定了我们的近似数量，如上文所述，如下所示。定义2。最具影响力的近似集合是最多100α%数据指数的集合^Sα，如果忽略该集合，会导致最大的近似变化φlin（~w）-^φ;i、例如，它是~w遗漏的一组数据索引*:^Sα：={n:~w*n=0}。近似最大影响摄动（AMIP）^ψα是在~w处观察到的近似变化*:^ψα：=φlin（~w）*) -^φ.近似摄动诱导比例^α*是引起近似变化φlin（~w）所需的最小α-^φ大于. 也就是说，α*:=inf{α：^ψα>}. 如果没有α，我们报告NA∈ [0,1]会影响这种变化。下面，我们有时会强调，AMIP是一种敏感性，并将其称为AMIP敏感性。

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2022-4-24 17:33:20

如果对于某个特定的α，AMIP足够大，足以改变分析的实质性结论，我们会说分析是AMIP非稳健的。相反，如果AMIP不够大，我们说分析是AMIP稳健的。我们通常使用AMIP首字母缩略词来描述我们的方法，即使是在计算近似的最有效集或近似的扰动诱导比例时。2.2.1最大流量扰动的精确下界对于任何问题，如果第二次进行估算并不困难，我们可以在没有近似最大流量集中的数据点的情况下重新运行分析，从而提供精确最大流量扰动的下界。正式地说，让~w**是精确的最有效集的权重向量，让~w*是近似最有效集^Sα的权重向量。我们额外运行估算程序，以恢复φ（^θ（~w）*), ~W*). 然后，通过定义，ψα=φ（^θ（~w**), ~W**) -^φ=最大~w∈Wαφ（θ（~w），~w）-^φ≥ φ（^θ）~w*), ~W*) -^φ.因为φ（^θ（~w*), ~W*) -^φ是ψα的下界，我们可以使用近似的MostIn流集来最终证明非稳健性。当然，这个lowerbound适用于任何权重向量，如果近似最大流量摄动接近精确最大流量摄动，它将非常有用。在下面的第3.3节中，我们确定了在温和正则条件下小α的近似精度。2.2.2计算影响分数为完成对近似值的描述，仍需详细说明如何计算ψn=φ（θ（~w），~w）wn~w=~来自等式5。我们将参考数量φ（θ（~w），~w）wn~是φat~w的数据点n的影响核心，因为正如我们在下面第3.2节中所示，它是在数据点dn处评估的经验影响函数。

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2022-4-24 17:33:26

为了计算影响内得分，我们首先应用链式规则：φ（θ（~w），~w）wnθ（~w），~w=φ（θ，~w）θT^θ（~ w），~ w^θ（~w）wn~w+φ（θ，~w）wn^θ（~w），~w.（7）φ（·，·）的导数可以使用Python的autograd库等自动微分软件计算（Maclaurin等人，2015；Baydin等人，2017）。一旦我们从原始数据分析中得到^θ（~1），我们就可以在~w=~1:。，φ（θ，~w）θTθ（~1），~w=~。术语^θ（~w）wn~w=~需要稍微多做一些工作，因为^θ（~w）是隐式定义的。我们遵循统计学和数学文献（Krantz and Parks，2012；Hampel，1974）中的标准参数，在下面展示如何计算它。首先考虑更一般的设置，其中θ（~w）是方程γ（θ（~w），~w）=0P的解。我们假设γ（·，~w）与满秩雅可比矩阵是连续可微的；然后是导数^θ（~w）wn~我们通过隐函数定理（Krantz and Parks，2012，定理3.3.1）存在。因此，我们可以使用链式规则来解决^θ（~w）wn~W在下面的内容中，0P×Nis是零的P×N矩阵。P×N=dγ（^θ（~w），~w）d~wT~w=γ（θ，~w）θT^θ（~w），~wd^θ（~w）d~wT~w+γ（θ，~w） ~wTθ（~w），~w（8）=>d^θ（~w）d~wT~w=-γ（θ，~w）θTθ（~w），~w！-1.γ（θ，~w） ~wT^θ（~w），~w，（9），其中我们可以通过满秩假设求逆。我们将上面的一般设置应用于我们的特殊情况，即γ（θ，~w）=PNn=1wnG（θ，dn），以确定^θ（~w）d~wT~w=-NXn=1wnG（θ，dn）θT^θ（~w）！-1.G（θ（~w），d），G（θ（~w），dN）, （10）这也可以通过自动微分软件进行计算。2.3感兴趣的函数示例我们在本节末尾给出了一些感兴趣的量的具体示例。

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2022-4-24 17:33:34

从第2节开始，再次说明我们通常感兴趣的是，我们是否可以改变估计器的符号或意义，或者产生相反符号的重要结果。回想一下，只有一个参数的φ（·）是θ的函数，有两个参数的φ（·，·）是θ和权重~w的函数。为了形成我们的激励示例，在本节的剩余部分，假设我们对^θ的第p分量感兴趣，其中^θpis是正的，并且统计意义重大。也就是说，让^σpbe估计√N^φ，设θp-1.96√N^σpbe是我们信任区间的下限。所以我们假设θp>0和θp-1.96√N^σp>0。此外，我们将写出^σp（θ，~w），以强调标准误差通常作为θ和权重~w的函数给出。例如，基于观察到的Fisher信息矩阵的标准误差xnpnn=1~wnG（θ，dn）θ^θ（~w）通常取决于显式和粗略的^θ（~w）的权重。要使^θ改变符号，我们可以取φ（θ）=- θp（变化符号）（11）我们使用-θpin代替θpsince，我们将φ定义为我们试图增加的函数（参见等式4和后面的讨论）。增加φ（^θ），对于等式11中的φ，增加一个量 =^θpis相当于^θP将符号从正变为负。为了使^θp在统计学上不重要，我们希望将置信区间的下限取为0。为此，我们可以取φ（θ，~w）=-θp-1.96√N^σp（θ，~w）. （变化显著性）（12）与前一种情况一样，我们选择带有前导负号的等式12，因为我们试图增加φ（参见等式4）。增加φ（^θ，~w），对于等式中的φ。

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2022-4-24 17:33:39

12，按一定数量 =^θp-1.96√N^σpis相当于^θP，在统计学上不显著。类似地，为了得到相反符号的重要结果，我们可以取φ（θ，~w）=-θp+1.96√N^σp（θ，~w）（显著符号反转）和 =^θp+1.96√N^σp，因为如果置信区间的上限为负，则估计值必须为负且具有统计学意义。在上述每种情况下，数量代表我们必须走多远才能扭转我们的结论。从这个意义上说，是原始数据集中“信号”量的度量。正如我们将在下面第3节中讨论的，信号是决定AMIP稳健性的三个关键参数之一。2.4实际OLS回归示例在继续之前，我们用一个示例来说明我们的方法。经济学家经常使用通过普通最小二乘法（OLS）估计的线性回归来分析因果关系，但研究人员很少相信条件均值相关性是线性的。相反，研究人员使用线性回归，因为它允许对平均治疗效果或局部平均治疗效果进行透明而直接的估计。研究人员经常援引大数定律来证明对样本均值的关注，并援引中心极限定理来证明在样本较大时使用高斯置信区间的合理性。我们现在讨论最近经济学文献中的一个例子，说明在实践中，即使在全样本很大的情况下，忽略极少量的数据点也会对有限样本中的回归参数产生巨大影响。我们将在下面第3.1节中使用模拟和理论进一步研究OLS的AMIP敏感性。作为一个例子，考虑七个随机对照试验的扩展小额信贷的访问讨论了微薄（2019）。为了便于说明，我们选择了样本量最大的研究：Angelucci等人。

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2022-4-24 17:33:45

(2015). 这项研究有大约16500个家庭。第4.3和4.4条以及下面讨论的结果表和图表对所有七项研究进行了全面处理。我们考虑了关于家庭业务PROT的回归结果和一个二元变量，即一个家庭是否被分配给治疗组或对照组。让Yikdenote为现场k中的家庭i测量利润，并让Tikdenote为其治疗状态。我们使用回归公式Yik通过OLS估计以下模型~ β+βTik。在第2.1节的旋转中，我们有θ=（β，β）T，dik=（Yik，Tik），其中n=（i，k），和g（θ，dik）=（Yik）- （β+βTik）T.我们确认了本研究的主要结论，即估计每2周-4.55美元PPP的无显著平均治疗效果（ATE），标准误差为5。88.我们感兴趣的是是否可以将β的符号从负拓扑正变为φ（θ）=β。我们计算样本中每个数据点的ψ，使用我们的Zamin fluence软件包，在R中只需要几分之一秒。检验~ψ，我们发现一个家庭的ψn=4.95；如果近似值是准确的，则删除该单亲家庭应忽略该符号。我们手动移除数据点并重新运行回归，确实发现ATE现在为0.4，标准误差为3.19。此外，通过删除15个家庭，我们可以生成7.03的ATE，标准误差为2.55：这是一个显著的相反符号结果。如果没有一个单独的家庭，那么表面上基于16500个样本的所有信息的麻醉症状怎么可能出现？人们可能会怀疑样本均值的使用，因为已知样本均值对粗差不具有鲁棒性，或者推测这种过度敏感性只是标准误差充分捕捉到的普通采样噪声的简单表征。

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2022-4-24 17:33:51

在接下来的第3节中，我们证明了这种直觉是不正确的。相反，AMIP的鲁棒性实际上与标准误差和经典的粗差鲁棒性根本不同。3基础理论和解释我们现在确定AMIP稳健性的决定因素和准确性。首先，我们推导了正确指定的单变量OLS回归的简单情况下AMIP稳健性的关键数量（第3.1节）。对于这个简单的例子，我们通过理论和模拟表明，AMIP鲁棒性不一定由误判驱动，AMIP非鲁棒性不会渐近消失，并且AMIP鲁棒性不同于标准误差。接下来，我们在第3.2节中正式将这些结论推广到一般Z-估计。最后，在第3.3节中，我们建立了一个条件，在这个条件下，无论是在有限样本还是渐近样本中，小α的近似值都是一致准确的。我们将看到，在我们理解AMIP鲁棒性时，一个中心方程是将其分解为三个关键量：信号、噪声和形状。首先是信号是我们的兴趣量变化的大小，这将推翻我们的实质性结论（见上文第2.3节）。信号的大值表明需要做出重大改变才能做出不同的决定。其次，噪声∑ψ由∑ψ定义：=NNXn=1（NψN）（13）。我们称∑ψ为噪声，因为∑ψ通常是极限分布方差的一致估计√Nφ（^θ），这一事实将从以下AMIP稳健性、稳健性标准误差估计器和影响函数之间的关系中得出（见第3.2.1节（b）段或更一般地说，第3.2.3节（d）段）。

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2022-4-24 17:33:57

第三，形状^Tα定义为^Tα：=-NbαNcXn=1Nψ（n）^σψIψ（n）<0, （14）式中，ψ（n）表示影响分数的n阶统计量，I（·）表示指示函数，当其参数为真时取值1，否则取值0。形状^Tα以一种复杂的方式取决于影响分数分布尾部的形状，但我们表明0≤^Tα≤pα（1）- α）概率为1，且^Tα在标准假设下以概率收敛到非零常数（见第3.2.1节，第（c）段）。鉴于这三个数量，我们将在第3.2.1节（a）段中说明分析是AMIP非稳健的<=>^σψ≤^Tα。（15）我们指的是数量/^σψ为信噪比。对于给定的α，等式15表明，主要决定AMIP稳健性的是信噪比。此外，这种分解允许我们简洁地比较标准误差和粗差稳健性的不确定性，以及分析AMIP稳健性的大N行为。本节将使用以下符号。让符号-→ 表示概率收敛，表示分布收敛，均为N→ ∞.设k·kopdenote为矩阵的算子范数。3.1普通最小二乘法的理论和解释我们首先关注正确指定的单变量线性回归的简单情况，以提供直觉并激发更一般的结果。3.1.1普通最小二乘法示例（a）模型的问题设置。设X=（X，…，xN）t表示N个连续平均零回归器的向量，从具有有限方差σX的分布中提取IID。设ε=（ε，…，εN）表示从N（0，σε）分布中提取的IID向量，我们假设σε已知。对于未知θ∈ R、设yn=θxn+εn，使向量Y=（Y。

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2022-4-24 17:34:04

，yN）给定的X是从一个正确指定的回归模型中得出的，该模型具有真实系数θ。（b）加权估计方程。OLS估计量^θ传统上是通过最大化（对数）似然找到的：对数p（yn|θ，xn）=-2σε（yn）- θxn）+C，其中C不依赖于θ。特别是，将对数似然的导数设置为零，得到估计方程G（θ，dn）=-σε（yn）- θxn）xn=0。也就是说，^θ是选择G的Z-估计量（见等式1）。典型的Zestimators没有封闭形式的解决方案。但在这种情况下，估计方程的解返回通常的OLS估计。类似的推导返回等式3中给出的加权估计方程的解：^θ（~w）=NPNn=1~wnxn-1NPNn=1~wnynxn。（c）利息的数量。假设我们对θ的符号感兴趣。在不丧失一般性的情况下，我们假设^θ<0。那么我们感兴趣的量是φ（θ）=θ。（d）信号和噪音。对于我们感兴趣的数量，信号是 =^θ既然，如果我们能增加θ^θ, 它的标志会改变。为了计算噪音，我们计算影响分数。直接对^θ的显式公式进行微分，必然会得到与等式9的隐式函数定理结果相同的ψ值。任εn:=yn-^θx和SX:=NPNn=1xn，我们通过直接微分或等式9看到，ψn=n-1S-1Xxn^εn.对于噪声^σψ的直觉，我们观察它的渐近行为。OLS的标准结果给出：^σψ=NNXn=1（NψN）=S-2XNNXn=1xn^εnp-→σεσx.（16）注意，噪声包括残差和回归方差的贡献。我们将^σψ称为“噪声”，因为它估计了√N^θ，而不是残差（见下文第3.1.2节第（e）段）。

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mingdashike22

2022-4-24 17:34:10

最后，我们强调，虽然我们将使用渐近性来提供直觉，但“噪声”指的始终是有限样本量^σψ，而不是其渐近极限。3.1.2什么决定了普通租赁方的AMIP稳健性？既然我们已经将OLS翻译成了我们的框架，我们就可以分析OLS的AMIPfor了。为此，我们使用了理论和模拟研究。在描述我们的主要结论之前，我们概述了模拟研究。对于N=5000个数据点，对于σx和σε的范围，我们绘制了正态回归方程xn~ N（0，σx）和残余εN~ N（0，σε）。对于θ=0.5，我们设置yn=θxn+εn。我们计算了theOLS估计量^θ=PNn=1ynxn/PNn=1xn。图1：N=5000个观测值的单变量线性回归模拟结果。左面板：在σx和σε的不同值下的近似扰动诱导比例。红色表示当丢弃少于1%的数据点时，其符号可能会发生变化的数据集。灰色区域表示^ψα=NA，线性近似法无法找到任何改变符号的方法。右面板：实际变化、变化的线性近似值，以及σx=2和σε=1的近似误差。（a）信噪比驱动AMIP鲁棒性。从第3节开始的讨论中，我们预计信噪比将决定分析是否具有AMIP鲁棒性。在我们的模拟中，N很大，我们保持θ固定，因此我们预计信号在模拟过程中不会发生实质性变化。因此，信噪比由噪声控制。根据上面的渐近性论证，我们将噪声近似为σε/σx。在图1的左面板中，我们改变σε和σx，并绘制得出的近似扰动诱导比例α*改变^θ的符号。

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2022-4-24 17:34:16

正如预期的那样，我们看到，具有最大近似噪声∑ε/σx的模拟是最不稳健的，从某种意义上说，可以通过删除一小部分点来反转^θ的符号。（b）流动数据点具有较大的残差和较大的回归系数。设（εx）（n）表示乘积εnxn，从最负到最正排序，因此排序的影响分数为ψ（n）=n-1S-1X（εx）（n）。从这个公式中，我们观察到，流动数据点既有较大的残差，也有较大的回归系数（相对于回归系数方差）。一个典型的影响分数在速率N时为零-1，尽管像maxn |ψn |这样的极值可能服从不同的规律。然而，sincenpn=1xnandNPNn=1εn具有高概率，在这种情况下，即使maxn |ψn |也不会发散。（c） AMIP敏感性不会随着N的增加而消失→ ∞. OLS的标准结果给出了SXp-→ σx和εn- εnp-→ 0.So NψN- σ-2xxnεnp-→ 因此，NψN的经验分布收敛为具有有限方差的非退化分布。设qα表示随机变量σ分布的第α分位数-2xxε。由于xnandεNAR是独立的，大约一半的εN将为负，我们预计大约一半的影响分数为负。α也是如此 1/2，很可能至少αN影响分数为负值。然后，拜伊。6和Slutsky定理，我们有φlin（~w）*) -^φ = -αNXn=1ψ（n）=-NαNXn=1S-1X（εx）（n）p-→ E-Xε-西席xεσx≤ qα.前一个显示屏的右侧显示的是精确的α。因此，对于固定的α，我们预计AMIP敏感性不会随着N而消失→ ∞.（d） AMIP的非稳健性不仅仅是由于错误指定。我们的模拟非常精确。

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2022-4-24 17:34:23

然而，我们从图1中看到，根据不同的信噪比，不同的情况在不同的鲁棒性削减下仍然可以是鲁棒的或非鲁棒的。渐近为N→ ∞, 即使是在一个明确的模型中，对于一个足够小的|θ|，我们实际上也期望在任何α下都具有非稳健性。AMIP灵敏度的极限值与θ无关。因此→ ∞, 当且仅当|θ|<Eh时，我们的兴趣量（用于改变估计量的符号）将是高概率的AMIP非稳健性-Xε-西席xεσx≤ qαi、如果我们对θ的符号感兴趣，|θ|相对于σ的尾均值很小-2Xxε，那么问题将是AMIP非稳健的，概率接近1，不管模型的规格是否正确，数据中是否存在异常。（e）虽然两者都是通过噪声来衡量的，但标准误差与AMIP灵敏度不同，通常小于AMIP灵敏度。一开始可能看起来像是一个显著的巧合，nψn的极限分布方差（决定AMIP敏感性，见等式5）与实际方差相同，如果我们取φ（θ）=^θxn=^yn，那么第n个影响分数应该是S-1Xxn^εn，即杠杆率分数乘以剩余值。该表达式形式化了Chatterjee和Hadi（1986）在影响、杠杆和^εn的大值之间建立的概念联系。不一致性源于不平等性nmaxnxn≤NPNn=1xnp-→ σx，εn的一个类似不等式。然而，因为我们知道εnis高斯，所以在这种情况下，我们实际上有一个更强的结果：maxn∈{1，…，N}|εN |以速率plog（2N）增长（Rigollet，2015，定理1.14）。然而，正如所期望的那样，期望值确实会变为零，即α→ 自E[|xε|]起为0∞.我们利益数量的有限分配√N（^θ）- θ）（这决定了经典标准误差）。

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2022-4-24 17:34:29

这两种分布并不相同。Nψnis的极限分布通常不是正态分布，但它们具有相同的尺度。特别是，将公式16中的噪声限值与以下限值进行比较，后者是OLS的标准结果。√N（^θ）- θ） N0，σεσx！。正如我们在下文第3.2.1节第（b）段和第3.2节第（d）段中所讨论的那样，这种平等并非巧合，而是影响分数与感兴趣数量的极限分布之间的一般（众所周知）关系。对于较大的N，使用标准误差将承认当|θ|<1.96时θ可能为0的假设√Nσεσx。因此，对于每一个θ6=0，对于足够大的N，使用标准误差总是拒绝θ=0。相比之下，正如我们上面所看到的，使用AMIP将允许一个足够大的变化，每当|θ|时，将^θ移动到0≤E-xσxεσεIxσxεσε≤σxσεqασεσx6=1.96√Nσεσx。因此，我们看到，当信噪比的极限值|θ|/（σε/σx）较大时，AMIP灵敏度和标准误差都允许更大的^θ可能值。但AMIP敏感性由标准化影响分数的尾部平均值决定，标准误差由一个变为零的数量决定，即N→ ∞. 因此，AMIP灵敏度不同于标准误差，并且通常大于标准误差。单位方差随机变量xσxεσε的尾部行为正是我们在第3节开头介绍的形状。该形状捕捉了影响分数分布尾部的与尺度无关的形状；详细和一般性分析见下文第3.2.1节（c）段。（f）对于小α，我们的近似是精确的。^θ（~w）的表达式取决于两个项，NPNn=1~wnxn-1和NPNN=1~wnynxn，这两个函数都是~w/N的一致光滑函数，对于足够小的~W-~/N

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2022-4-24 17:34:35

由于平滑，我们希望在~w=~1处形成的线性近似在以下情况下是准确的：~W-~/N很小。当~w包含的零值不超过bαnc0和其他零值时，我们得到了它~W-~/N≤ α、因此，当α很小时，我们期望线性近似是准确的。我们在下面的第3.3节中对这一直觉进行了精确和概括。我们在图1中根据经验检查了近似值的准确性。对于图1中的右手图，我们确定了σε=1和σx=2。我们计算了0%到10%范围内遗漏比例α的近似最有效集。对于每个α，我们计算线性近似值，重新运行回归计算实际变化，并计算线性近似值的误差作为两者的差异。图1的右面板显示了小α近似的相对误差是如何消失的，并且从定性上讲，对于小于2.5%的去除比例，近似非常好。3.2一般Z-估计的理论和解释我们接下来显示，第3.1节的结论不仅适用于OLS，而且适用于Z-估计。在本节中，我们将更普遍地确定，AMIP敏感性不是误判的产物，不会随着N的增加而消失，并且不同于标准误差。为此，在第3.2.1节中，我们首先将AMIP正式分解为第3节开头定义的形状和噪声项，并确定形状在分布中大致恒定。然后，在第3.2.2节中，我们使用这种分解来回顾我们关于AMIP敏感性的OLS结论，但现在更广泛。最后，在第3.2.3节中，我们将AMIP连接到影响函数，展示了不确定性与粗差稳健性的区别。3.2.1 AMIP的分解（a）AMIP是噪声乘以形状。设ψ（1）。

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2022-4-24 17:34:42

，ψ（N）表示影响分数的顺序统计。回想一下，近似最大流量扰动由bαNc最大流量分数之和的负值给出。所以我们可以写出^ψα=φlin（~w）*) -^φ = -bαNcXn=1ψ（n）Iψ（n）<0= ^σψ^Tα。（17）第一个等式源自AMIP^ψα（定义2）的定义。第二个等式来自等式6。第三个等式来自第3节开头对噪声∑ψ和形状∑Tα的定义。（b）噪声是感兴趣的数量的限制分布的标准偏差的估计器（Z-估计器版本）。对于Z-估计，我们可以通过直接计算证明∑ψ是极限分布方差的估计√Nφ（^θ）由delta方法和“三明治”或“稳健”协方差估值器给出（Huber，1967；Stefanski和Boos，2002）。要了解这一点，首先观察NPNN=1d^θ（~w）d~wn~d^θ（~w）d~wn~T、如式10所示，正是有限分布协方差的三明治协方差估计量√N^θ。反过来，等式7中给出的线性近似的样本方差，由∑ψ给出，则为√N^φ。请注意，我们在上文第3.1.2节第（e）段的OLS特例中得出了相同的结论。因此，我们可以使用^σψ来形成φ的一致可信区间，这一事实在下面比较AMIP稳健性和标准误差时非常有用。具体来说，如果∑ψp-→ σψ和^θp-→ θ∞, 然后√N（φ（^θ）- φ(θ∞)) N（0，σψ）。

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nandehutu2022

2022-4-24 17:34:49

（18）正如我们在下面第3.2.3节（d）段中所讨论的，症状方差和影响分数之间的这种关系实际上是影响函数和分布极限之间的一般关系的结果。（c）形状主要取决于α，而不是模型规格。更准确地说，我们接下来展示了形状^Tα满足以下性质。（1）概率为1，0≤^Tα≤pα（1）- α). （2）通常，^Tα不可能收敛到一个非零常数，如N→ ∞. （3） ^Tα在遗漏点的影响范围得分均相等时最大。相反，ψn分布中的重尾导致^Tα值较小。（4）根据经验，^Tα在常见的抽样分布中变化相对较小。为了证明（1）中的下限，我们观察到指示符Iψ（n）<0说明了这样一个事实，即对抗权重会漏掉更少的点，而不是漏掉一个正ψ（n）的点。因此，^Tα≥ 0.我们将（1）的上界显示为下面（3）的极值化参数的一部分。为了证明（2），请注意^Tα是bαnc正项的和，除以N。总的来说，只要NψN的分布在非退化随机变量的分布上略微收敛，我们就期望^Tα收敛到固定α的非零常数。事实上，通过Eqs。7和10，只要^θ和npnn=1，我们就可以从Slutsky定理中得到这样的收敛性G（^θ，dn）θ^θ以constants的概率收敛，因为Nψnis与G（^θ，dn）成正比，G本身具有非退化极限分布。我们接下来展示（3），当所有的影响因素都是ψ（1），…，时，^Tα取其最大可能值，ψ（αN）取相同的负值。为此，为了简单起见，将αN设为bean integer。根据^σψ（等式13）的定义，NPNn=1Nψ（N）^σψ= 根据下面详述的影响函数的性质，PNn=1ψn=0（第3.2.3节，第（c）段）。

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2022-4-24 17:34:55

所以^Tα是样本均值和单位样本方差为零的标量的尾平均值。因此，等价于考虑标量Z，…zNwithNPNn=1zn=0和NPNN=1zn=1，并询问如何最大化平均值-αNPNαn=1z（n）。为了实现最大化，我们将数据点划分为D组DropPedIndicates，K组Keep Indicates。精确地说，D:={n:z（n）≤ z（αN）}和k:={1，…，N}\\D。我们将样本均值和方差分别写为uD:=αNPn∈Dznand vD:=αNPn∈D（zn）- uD），带有uk和vK的模拟表达式。在这种表示法中，我们的目标是最大化uD，即删除集的平均值。然后，可以将分布的约束写为npnn=1zn=0=> αuD+（1）-α） uK=0，NPNN=1zn=1=> α（vD+uD）+（1）-α）（vK+uK）=1。考虑到这些限制，我们通过设置vK=vD=0使uD达到极值，在这种情况下，我们实现uD=-p（1）-α)/α. 将NψN/^∑ψ与zn、^Tα与αuD区分开来，我们发现当所有的影响因素都是ψ（1），ψ（αN）取相同的负值。这个观察结果完成了我们对（3）的论证。从这个论点也可以得出^Tα≤pα（1）- α）概率为1时，在最坏情况下达到的界限。这个观测结果提供了（1）中的上限。为了确定第（4）点，我们用一个具有代表性的α，模拟大量IID从一些常见分布中提取zn，标准化得到zn:=zn-`zqNPNn=1（`zn-\'\'z），并计算形状^Tα=-NPbαNcn=1z（n）。我们发现，在常见分布中，^Tα变化相对较小。例如，对于α=0.01，正态分布给出^Tα=0.0266，柯西分布给出^Tα=0.0022。根据上一段的推理，正如预期的那样，重尾柯西分布的形状比正态分布小。

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