设S={σ，σ}并假设Pr（σ）=Pr（σ）=1/2。考虑信息Rima-函数（S=）{{ S}}和P（Sigi）＝{ S}}（S=）{ S=，Sig}＝P（α）。对于事件E={σ}，一个结果sPr（E | P（σ））=1和Pr（E | P（σ））=0Pr（E | P（σ））=1/2和Pr（E | P（σ））=1/2。Ground集合S={σ，σ}对应于事件“两个p层对E发生的可能性的估计不同”。这两个状态σ，σ中的每一个都是（微不足道的）常识。然而，对于一大类信息函数，我们的初始问题有一个确定的答案“否”。例如，如果每一个明显的事件E都是成对不相交集P（σ）的并，我们就称一个信息函数P为strict。建议4.2。假设两个信息函数都是严格的。让E 这是一件非常罕见的事。那么就没有状态σ了*这可能是球员们的共同知识，他们的健康状况估计ηres p。η对E的发生有不同的影响。证据考虑EngEsI= {西格玛PR（Eππ（α））＝ε}（i＝1, 2）。事件E∩ 这是指当玩家p的估计值为η时，玩家对η的概率进行测量的事件。假设E∩Eis是σ状态下的常识，即存在一个事件F E∩ 如此*∈ F和K（F）=F=K（F）。因为信息函数Pis stri ct，F是成对不相交集P（σ）的并，P（σk），比如。因为F E∩ E、 一个hasPr（E | P（σ））=…=Pr（E | P（σk））=η.6。常识71考虑到前4.14，我们因此发现Pr（E | F）=Pr（E | P（σ）=η）。同样地，Pr（E | F）=η被推导出来，因此η=η如下。例4。1 4. 假设A，B是这样的事件：∩ B=.

然后条件概率满足：Pr（E|A）=Pr（E|B）==> Pr（E | A）∪ B） =Pr（E | A）。第3部分n人博弈5效用、潜力和均衡在讨论n人博弈本身之前，回顾博弈的基本模型并研究博弈的特征是有用的。其目的是从总体角度对国家和战略决策的价值进行数字评估。1.实用性和潜力1。1.实用性。系统S上的一个实用程序是一个集合u={uσ|σ∈ S} 函数uσ：S→ R、 所谓的U的局部效用函数。我们认为U是一种测量工具，所有这些工具都能让我们评估可能的移动σ7→ τ通过随后的边缘差进行数值计算U（σ，τ）=Uσ（τ）- uσ（σ）如果任何移动的质量σ7→ τ在博弈Γ中是通过效用U来计算的，我们称U为Γ1.2的特征效用。潜力。有“潜力”意味着有能力做某事。在物理学中，势一词是指系统的特征量，其变化导致系统的动态行为。例如，势能可以使物体运动。由此产生的动能对应于势能的变化。引力被认为是由相应的势、所谓的引力场等的变化引起的。从数学上讲，势被表示为实值数值参数。换句话说，系统S上的电势只是一个函数→ r分配给一个状态σ∈ S是一个数值v（σ）。势能v产生相关的效用v={vσ|σ∈ S} 式中，vσ=v表示所有σ∈ S.76.5。效用、势与均衡如果V是S上对策Γ的效用，则势V称为Γ的特征函数。

移动值σ7→ τi s由边缘差给出V（σ，τ）=v（σ，τ）=v（τ）- v（σ）路径独立性。给定S上的效用U，路径γ=σ7→ σ7→ σ7→ . . . 7.→ σk-17→ σkof系统转换具有总效用权重U（γ）=U（σ，σ）+U（σ，σ）…+U（σk）-1，σk）。如果任何路径的效用权重仅取决于其初始状态σ和最终状态（但不取决于状态σi6=σ，σkin）：U（σ7）→ . . . 7.→ σi7→ . . . 7.→ σk）=U（σ，σk）。建议5.1。效用U在S上是路径无关的当且仅当U是从S上的势导出的。如果U是从势U:S导出的→ R、 我们有U（σi）-1，σi）=u（σi）- u（σi）-1） 因此，对于任何γ=σ7→ σ7→ . . . 7.→ σk：U（γ）=kXi=1（U（σi）- u（σi）-1） ）=kXi=1u（σi）-K-1Xi=0u（σi）=u（σk）- u（σ）=U（σk，σ），表明U处的th与路径无关。相反，假设U={Uσ|σ∈ S} 是一个路径无关的实用程序。修正一个状态σ，注意效用函数u=uσ本身就是一个势函数。因为U是路径无关的，所以我们有σ，τ∈ sU（σ，σ）+U（σ，τ）=U（σ，τ），因此，U（σ，τ）=U（σ，τ）- U（σ，σ）=U（τ）- u（σ）。因此，U与从潜在U导出的效用是相同的。2.平衡772。当我们讨论效用的平衡时，U={Uσ|σ∈ S} 在系统S上，我们假设每个状态σ都关联了一个邻域fσ S与σ∈ Fσ。这意味着我们将状态转换集中到邻居，即转换到σ7→ τw与τ∈ Fσ。我们现在说，如果系统状态σ产生效用函数的一个局部极值，则它是一个“等平衡”，从该极值到一个邻域的转移似乎是有吸引力的。

准确地说，我们区分了最大极值和最小极值，因此定义：（1）σ是U-ifuσ（τ）的增益（或收益）平衡≤ uσ（σ）适用于所有τ∈ Fσ；（2） σ是U ifuσ（τ）的成本均衡≥ uσ（σ）适用于所有τ∈ Fσ。许多现实世界中的系统都被假定为受到一个动态过程的影响，该过程最终会根据某种效用度量在平衡状态（或至少近似于非平衡状态）下稳定下来。这一现象在物理学中得到了惊人的观察。但经济理论长期以来一直怀疑，经济系统可能会趋向于均衡状态。如果效用衡量指标表明价值最大化，那么收益均衡是有意义的。如果一个最小值是可取的，一个是成本均衡。备注5.1（收益和成本）。用C表示=-U带有localutility函数的实用程序cσ=-uσ。那么σ是U的增益平衡<==> σ是成本均衡。从抽象的角度来看，收益均衡理论相当于成本均衡理论。2.1. 平衡的存在。在实践中，平衡点的确定通常是一项非常困难的计算任务。事实上，许多效用并不均衡。一般来说，要确定一个给定效用是否存在非平衡并不容易。所以我们对能得出至少存在一个平衡态的条件感兴趣。A.A.古诺（1838年）：巴黎理工大学数学研究院，78 5。效用、潜力和平衡2。1.1. 潜在的效用。

考虑潜在的U：S→ R与派生的效用值u（σ，τ）=u（τ）- u（σ）。这里，有一个条件显然是充分的：（1）如果u（σ）=maxτ∈σu（τ），那么σ是增益平衡。（2） 如果u（σ）=minτ∈σu（τ），则σ是成本均衡。由于有限集上的每个函数都达到了最大值和最小值，因此我们得出了第5.2点的结论。如果S是有限的，那么每一个潜在函数都会产生至少一个收益和一个成本均衡的效用。类似地，我们可以导出坐标空间中表示的系统的平衡点的存在性。建议5。3.如果S可以表示为紧集S 这样的话→ R是连续的，那么u意味着S上的效用至少有一个增益和一个代价相等的平衡。事实上，众所周知，紧集上的连续函数达到最大值和最小值。备注5.2。请注意，本节中给出的条件足以保证平等的存在——无论假设S上的社区结构是什么。2.1.2. 凸面和凹面的u形瓷砖。如果效用不是由势函数隐含的，则即使S的完整性也不足以保证平衡的存在（见例5.1）。例5.1。给出一个效用U相对有限状态的例子，该状态没有g a in，也没有成本均衡。现在，我们推导了状态由非紧凸集S表示的系统上效用U的充分条件 Rm。2.平衡点我们说：oU是凸的，如果每个局部函数us:S→ R是凸的如果每个局部函数都是S，那么U是凹的→ R是凹的。定理5.1。设U是一个具有连续局部效用函数us:S的效用函数→ 非空紧集S上的R Rm。然后（1）如果U是凸的，则存在成本均衡。（2） 如果U是凹的，则存在一个引力平衡。证据

定义函数G:S×S→ R和估值G（s，t）=所有s，t的us（t）∈ 然后定理的假设是G满足附录A.1的条件。因此，一个元素∈ S存在于这样的情况下：t=G（S，t）≤ G（s，s）=美国（s）对所有s都适用∈ 因此，S*是U的增益等式（凸情况也用同样的方法证明。）第六章n人博弈n人博弈概括了2人博弈。然而，事实证明，分析双人游戏的特殊技术也适用于这一看似更广泛的背景。例如，交通系统自然就属于这一类。n人博弈的模型假定存在一个有限集n，其中n=|n |元素将她与一个家庭X={Xi | i联系在一起∈ n次非空集席的n}元素i∈ N被认为是球员或经纪人。席席∈ X代表代理i可用的资源集合（或行动、策略、决策等）∈ N.Γ的状态是一个特定的选择x=（xi |i）∈ n）个人资源席∈ Xiby n agents i.因此，所有Γ状态x的集合由直接乘积x=Yi表示∈NXi。备注6.1。用自然数来标记N的元素，并假定N={1，2，…，N}，这通常是很方便的，以简化计算。在这种情况下，Γ的状态x可以用形式x=（x，x，…，xn）表示∈ X×X×。×Xn（=X）。我们进一步假设每个玩家∈ N有一个单独的实用性ui={uxi | x∈ 十} 所以uxi（y）评估状态转换x7的值→ y代表i.整个上下文Γ=Γ（Ui | i∈ N） 集合中的玩家及其工具现在描述了N人游戏的欠考虑。82 6. N人游戏性爱。6.1.

具有行玩家R和列玩家C的矩阵对策Γ与支付矩阵XP=（p，q）（p，q））（p，q）（p，q）=(+1, -1) (-1, +1 )(-1, +1) (+1, -1).是一个两人游戏，玩家设置N={R，C}，策略设置xr={1，2}和XC={1，2}。相应地，状态集是x=XR×XC={（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）}。单个效用函数u（i，j）R，u（i，j）C:X→ R取所有（s，t）的值su（i，j）R（s，t）=pst和u（i，j）C（s，t）=qstf∈ 十、潜在的游戏。n人游戏Γ=（Ui | i）∈ N） 如果有一个p势v:X，则称为势对策→ R那么，无论如何∈ N和x，y∈ X边际效用的变化等于潜力的变化：uxi（y）- uxi（x）=v（x，y）=v（y）- 五（十）合作。一组N人的基本博弈模型很容易被推广到一个模型，在这个模型中，一组人（而不仅仅是个人）从某个状态x得到一个效用值∈ 为此，我们称之为子集 N个参与者组成一个联合体，并假设一个单独的ut函数us:X→ 然而，从抽象的数学观点来看，这个广义模型可以被视为标准的N人博弈，具有S etN={S N} 将联盟视为其“超级层”的集合。事实上，我们可以允许每个联盟拥有自己的一套资源。因此，在本章中，我们保留了关于基本参与者集N的基本c模型。第七章将详细研究一类特殊的合作博弈，即所谓的合作博弈。概率模型。n-persongames有许多概率方面。一个是从概率模型开始（见Ex.6.2）。例6.2（模糊游戏）。假设一个游戏Γ∈ n必须在两个备选方案之间作出决定，比如说“0”和“1”，d用概率席选择“1”。

那么Γ是一个|N |人的游戏，其中每个玩家i都有t heunit intervalXi=[0,1]={x∈ R | 0≤ 十、≤ 1} 作为它的一套资源。联合战略CycEX＝（x，…，席，…，Xn）∈ [0,1]N2。平衡点可以用“模糊”的决定来表示，以形成一个协整X 玩家：我将成为X席的成员，概率XI。因此，x是模糊联盟的描述。Γ是奥比恩意义上的模糊合作博弈，如果用我们的术语来说它是一个潜在博弈。另一个模型来自n人GAME的随机化（见第3节）。第7章和第8.1章研究了n人游戏的其他概率方面。n人博弈的动力学∈ N） 在游戏中，一个游戏实例会产生一系列状态转换。这些转换被认为是由于玩家策略选择的改变。我想∈ N将其当前战略XIB替换为战略y∈ Xiwhileall其他玩家j 6=我保留他们的cho ICE xj∈ Xj。然后是状态转换7→ y=x-i（y）结果，其中新状态具有分量syj=如果j=ixjif j 6=i，则为y。请特别注意x-i（xi）=x在该定义下成立。让我们假设setFi（x）={x-i（y）|y∈ Xi}作为x国的社区∈ X代表我的球员∈ 因此，从我的观点来看，X的成员是那些可以通过I改变当前策略席I来实现的状态，提供了所有其他玩家J 6 =保留当前策略XJ。2.均衡增益均衡Γ=Γ（Ui | i∈ N） 是联合战略选择∈ 因此，没有一个玩家有一个效用激励，可以切换到另一种策略，即uxi（x）≥ uxi（z）为al l i保留∈ N和z∈ Fi（x）。完全类似地，成本均衡是通过相反的条件定义的：uxi（x）≤ uxi（z）为al l i保留∈ N和z∈ Fi（x）。J-P.奥宾（1981）：模糊合作博弈，数学。

运筹学6，1-1384 6。N人博弈这个均衡的概念可以与第2章中的一般定义相一致。假设状态X，想象一下每个玩家我都认为它的当前策略是席。结果效用y值的总和为g（x，y）=Xi∈Nux（x）-i（yi））（y=（yi | yi）∈ Xi））。引理6.1。十、∈ X是Γ（Ui | i）的增益平衡∈ N） 如果只有d个ifG（x，y）≤ G（x，x）代表所有y∈ X.证据。如果x是增益平衡，y=（yi | i∈ N）∈ 十、 我们哈沃西（X）≥ ux（x）-我（易）为了所有的易∈ 席，这意味着G（x，x）≥ G（x；y）。相反地，如果x不是一个引力平衡，则存在一个i∈ N和y∈ Xisuch that0<uxi（x-i（y））- uxi（x）=G（x，xi（y））- G（x，x）。也就是说y=x-i（y）∈ X违反了不平等。引理6.1将对Γ平衡的追求简化为对效用G={gx | x非平衡的追求∈ 十} 其值为gx（y）=G（X，y）。因此，我们可以立即将第5章中关于均衡存在的一般充分条件转移到n人博弈Γ=（Ui | i）中∈ N） 利用效用聚合函数G：（1）如果Γ是一个具有有限集X的有效博弈，那么收益和成本均衡的存在是有保证的。（2） 如果X表示为有限维实参数空间中的非空紧凸集，则→ G（x，y）是连续且凹的，则Γ再次允许平衡。（3） 如果X表示为有限维实参数空间中的非空紧凸集，则→ G（x，y）是连续且凸的，则Γ承认成本平衡m.ex6.3。证明Ex.6.1中的矩阵g不是一个潜在的游戏（提示：状态集是有限的。）3.矩阵游戏的随机化853。

矩阵博弈的随机化n人博弈Γ=（Ui | i）∈ N） 如果（i）任何玩家的资源集合i∈ N是有限的。（ii）每位球员i∈ N只有一个实用函数ui:X→ R.对于术语的动机，假设多维矩阵U的坐标席集XAAS索引集的n={ 1，…，n}和thi-nk，特定的In Ex VECtox＝（x，…，Xi，…，Xn）。∈ X=X×。×席××…Xnthus指定了一个在U中的位置，其中n维坐标入口=（U（x），ui（x），un（x））∈ 注册护士。现在让我们用以下方式改变矩阵对策的规则：（R）对于每个i∈ N、 玩家i选择一个概率分布p（i）在Xiand上选择元素x∈ xi概率p（i）x。根据规则（R），玩家实际上在玩相关的n人游戏（Ui |i）∈ N） 使用资源集和实用程序功能ui:Pi→ R，其中（1）πs的所有概率分布在席上。（2） ui（p）是ui相对于联合概率分布p=（p（i）|i的期望值∈ N） 球员的名字。n人博弈Γ是矩阵博弈Γ的随机化。假设sum ingN={1，…，n}，一个具有给定asui（p（1），…）的预期效用值，p（n））=Xx∈十、Xxn∈Xnui（x，…，xn）p（1）x··p（n）xn。如例6.1所示，一个（非随机）矩阵博弈不一定有均衡。另一方面，请注意坐标生产函数（t，…，tn）∈ Rn7→ t··tn∈ R86 6。N人配子在每个变量中是连续的和线性的。随机博弈Γ的每一个效用函数都是这类函数的线性组合，因此在每个变量中也是连续的和线性的。由于线性离子既是凹的又是凸的，且状态setP=P×。x pn是凸紧的，我们得出结论：定理6.1（纳什）。

n人矩阵博弈的随机化既允许收益均衡，也允许成本均衡。备注6.2。一个随机矩阵对策的均衡是一个纳什均衡。4.交通流量交通网络流量分析的基本模型可追溯到WARDROP。它基于一个图G=（V，E）和一组（有限）节点集V，以及节点之间（有向）边集E，ve-→w、 表示从节点到其他节点的定向连接。模型假设：（W）有N个参与者。我喜欢的球员∈ N想沿着一条从起点到终点的路径旅行，并且有一组路径可供选择。从游戏理论上讲，一个策略性的行动是玩家i∈ N表示路径P的特定选择∈ 圆周率。让我们确定一条路径P∈ π及其关联向量在组件SPE中倒转=如果P通过gh e0，则为1，否则为。玩家的联合出行路径选择产生交通流量x=Xi∈恩智浦∈πλsPP的大小|xs |=XPλsP≤ n、 纳什（1950）：n人博弈中的均衡点，Proc。美国国家科学院36，48-49J。G.WARDROP（1952）：道路交通研究的一些理论方面。土木工程学会1325–3784。交通流87，其中λ表示选择s中路径P的参与者数量。组件x表示选择s导致的e边上的交通量。我们假设交通流x沿e边产生拥堵成本c（xe），从而导致总拥堵成本c（x）=xe∈Ece（xe）穿过所有边缘。

单个玩家i在其选择的路径P:C（P，x）=Xe上有阻塞成本∈Pce（xe）xe。如果我们将流量x与累计成本的潜力Φ（x）=Xe相关联∈ExeXt=1ce（t），我们发现p层i沿路径p in x的阻塞成本等于边际电势：C（p，x）=Xe∈Pce（xe）=Φ（x）- Φ（x）- P）=PΦ（x）- P）。因此，WARDROP交通模型中的玩家在可能的交通流的有限集合X上玩一个n人潜在博弈。十、∈ 如果没有一个玩家我可以通过改变当前路径P来改善其拥挤成本，那么X被认为是一个纳什流∈ Pito在总部使用另一个p∈ 圆周率。换句话说，纳什流就是成本均衡流。由于势函数Φ是在一个有限集上定义的，我们得出结论oWARDROP交通流模型允许纳什流。布雷斯悖论。如果有人假设WARDROP模型中的raf最终将TLE设置为纳什流，即交通流向成本均衡状态发展，那么众所周知的Braessis观察结果是非常直观的：（B）可能发生的情况是，特定连接上的拥堵减少会增加（！）总拥堵成本。作为Bress’s佯谬的一个例子，考虑V＝{s，r，q，t}和e= {（s，r），（s，q），（r，t），（q，t），（r，q）}的网络g=（v，e）。D.布雷斯（1968年）：¨这是一个悖论。N人博弈假设边上的代价函数是CSR（x）=x，csq（x）=4，crt（x）=4，cqt（x）=x，crq=10，并且有四个网络用户，他们选择从起点s到终点t的单独路径，并希望最小化各自的旅行时间。由于拥堵成本高，没有用户会沿着（r，q）行驶。

作为一个序列，纳什流将有两个路径P=（s）的用户→ R→ t） 而另外两个用户则会沿着P=（s）移动→ Q→ t） 。总成本为：C（2P+2P）=2·2+4·2+4·2+2·2=24。如果采取道路改善措施来减少（r，q）toc′rq=0上的拥堵，路径P的用户可以通过切换到路径q=（s）来降低当前成本C（P）=6到C（q）=5→ R→ Q→ t） 。然而，由此产生的交通流会导致更高的总成本：c′（P+Q+2P）=2·2+4·1+3·1+4·2+3·2=25。第七章合作博弈合作博弈中的玩家努力实现一个共同的目标，他们可能会从中受益。从数学上讲，这类博弈是特殊的势博弈，最好在线性代数的背景下进行研究。核心问题是如何适当分配已实现目标的利润。合作博弈的核心是一个重要的分析概念。它提供了一个链接到离散优化理论，尤其是贪婪算法。此外，联盟形成动力学的自然模型与统计物理学中的热力学模型密切相关。因此，例如，在一个潜在的游戏中，温度的概念可以变得精确。虽然前几章的两人博弈中的代理人通常称为Y，但合作博弈的模型指的是一组N=|N |玩家，他们可能会或可能不会积极地朝着一个共同目标前进。一个子集 N个潜在活跃的参与者传统上都被称为联盟。

从数学上讲，有几种方法来看待联盟系统：从集合论的观点来看，我们有第二个联盟系统 N} 。另一方面，一个可以表示子集S∈ N按其发生率x（s）∈ 与协调人一道=1如果我∈ 如果我/∈ S.关联向量x（S）表明了对i的解释∈ N在x（S）i=1时被激活。联盟是活跃玩家的集合。更进一步的解释是我想象的每一个球员∈ N有一个二进制策略集Xi={0，1}，从中选择一个元素。A=x，…，xn）∈ X×···×Xn={0,1}N RN907。合作博弈给出了n个参与者的联合策略决策，我们得到了相应的结果←→ {0，1}N=2N根据向量空间的集合论观点，通过一个合作博弈，我们将只理解一个N人博弈，它包含层集N和状态集X=N或X=2N。1.合作博弈相对于一组N个参与者的可转移效用是一个数量v，其值v（S）取决于活跃参与者的联盟，因此是一个潜在的v:n7→ R.由此产生的强对偶对策Γ=（N，v）代表一个在v.v.上具有特征函数的合作TU对策() 如果没有Nis成员在游戏Γ中活动，则为效用值。通常，（N，v）被假定为零或零化，即有v() = 0.在案例v中() 6=0，我们考虑TU博弈（N，v（0））而不是（N，v），其标准化特征函数值为零SV（0）（S）=v（S）-五().在续集中，我们将集中讨论TU游戏，因此只讨论合作游戏（N，v）。备注7.1（术语）。合作博弈（N，v）的特征函数v通常被称为合作博弈。在离散数学和计算机科学中，函数v:{0，1}n→ Ris也被称为伪布尔函数。

决策论将伪布尔函数称为集合函数。合作博弈的特征函数v可以表示成本效用或利润效用。当然，对数学分析的真实解释取决于假设的是成本模型还是收益模型。通常情况下，莫德林的背景说明了这一点。例如，参见M.GRABISCH（2016）：设置功能、游戏和容量，在De c isio nMaking，Springer-Verlag1。合作TU-GAMES 911.1。图对策的向量空间。识别一个TU博弈（N，v）及其特征值v，我们考虑函数间隔N={v:N→ R} N={S N} 作为N上所有图对策的向量空间，RN与坐标空间RN同构，且维数为dim RN=|N |=2n=dim RN。RNT的2n单位向量对应于所谓的狄拉克函数δS∈ Rn的值为δS（T）=1如果T=S0如果t6=S.集合{δS | S∈ N} 是RN的基础。任何v∈ RNhas代表v=XS∈N=v（S）δS.1.1.1。二元性。保留N作为指数集是有利的，因为可以使用N的集合论结构进行博弈论分析。一个这样的例子是d算子v7→ 五、*在RN上，其中（36）v*（S） =v（N）- v（N\\S）表示所有的 我们说游戏*) 是（N，v）的对偶。为了任何可能的联盟∈ N、 数值v*（N\\S）=v（N）- v（S）是游戏中“大联盟”N对S（N，v）的“盈余”。鸡奸表达了一种平衡*（N\\S）=v（N）适用于所有联盟S.EX.7.1。节目：（1）V7→ 五、*是RN上的线性算子。（2） 双v**= （五）*)*双重v*v的零标准化正好产生v.1.1.2的零标准化。莫比乌斯变换。对于任何v∈ RN，让我们将tsM–OBIUStransform定义为函数^v∈ Rn的值^v（S）=XTSv（T）（S）∈ N） 。A.F.M–OBIUS（1790-1868）92 7。合作博弈^v（S）总结了所有子博弈T的v值 s

从这个意义上说，特奥比乌斯变换是函数空间RN上的一种“离散积分”。例7.2（一致同意游戏）。M¨OBIUS transformbδsofthedirac函数δ称为一致性博弈，其值为bδS（T）=1如果是 T0如果s6 T当联盟T包含S的所有成员时，联盟T具有非零值BδS（T）=1。一致性博弈似乎非常简单，但却是基本的（推论7.1）。合作ga m e理论中的许多概念都是根据它们在单一博弈中的性能进行测试的。显然，莫比乌斯变换是V7→ ^v是一个线性算子。重要的观察涉及到一个逆性质：每一个特征函数v都是一个新确定的其他特征函数w的变换。定理7.1（M¨OBIUS反演）。每v∈ 恩，这里有一个女的∈ 使v=w.证明。回想一下线性代数，它足以证明^z=O意味着z=O，也就是说，M¨OBIUS变换的核只包含零向量O∈ 注册护士。让我们考虑一个任意函数z∈ RNwith transform^z=O.let∈ N是一个凝聚体，在S=:z() = ^z() = 现在，通过归纳，假设z（T）=0适用于所有T∈ N的大小为| T |<|S |。那么结论z（S）=^z（S）-XTSz（T）=0- 0=0遵循并完成证明的归纳步骤。所以z（S）=0对于所有联盟S都是正确的。1.合作图对策93因为M¨OBIUS算子是线性的，所以T heorem 7.1暗示它实际上是RN的自同构，它将基映射到基上。因此，我们特别发现：推论7.1（一致性基础）。RN的一致性对策bδSforma基础，即每个v∈ R输入formv=XS的唯一表示形式∈NλSbδ开关系数λS∈ R.EX.7.3（哈萨尼股息）。

其中v=w，在合作博弈论中，w（S）的值被称为博弈（N，v）中联盟的HARSANYI红利。任何联盟的价值v（S）都是其子联盟的哈桑红利的总和T:v（S）=^w（S）=XT西南（T）。备注7.2。文献中关于逆变换^v 7的术语和术语并不十分清楚→ v代表莫比乌斯的转变。不管怎样，M¨OBIUS变换也是数论和组合数学中一个经典而重要的工具。1.1.3. 势函数和线性泛函。A势f:N→ R、 解释为向量f∈ 定义一个线性函数f:RN→ R、 式中，f（g）=hf | gi=XS∈NFSGSFORALL g∈ 注册护士。如果g（S）是特定联盟S的（0，1）-关联向量∈ N、 我们有f（g（S））=hf | g（S）i=fS·1=fS。也就是说，f将2N（=N）上的p势f延伸到所有RN。相反，每个线性泛函G7→ hf | gi on RN定义了唯一的电势f on N vi af（S）=hf | g（S）i for all S∈ 参见，例如，g.-C.R OTA（1964）：基于组合理论I.M–OBIUS函数的理论。《华尔街日报》和《华尔街日报》94 7。合作博弈这些考虑表明，与非线性泛函上的势（特征函数）是同一枚硬币的两面。从线性代数的观点来看，我们可以等价地定义：o合作TU博弈是一对Γ=（N，v），其中N是一组参与者，v7→ hv | gi是向量空间RN上的线性函数。1.2. 边际价值。合作博弈Γ=（N，v）的特征函数v是相对于N的联盟系统N的效用。

单个p层i∈ N将通过评估v的变化来评估其相对于v的价值，v的变化可以通过活跃或不活跃来影响。作为一名球员，我∈ N、 因此，我们将其相对于公司的边际价值定义为：四(S)=v（S）∪（一）- v（S）如果我∈ N\\Sv（S）- v（S\\i）如果我∈ 美国的加法游戏。边际价值一名球员的iv（S）∈ N取决于它所指的联盟。不同的联盟可能会为玩家i产生不同的边际值。如果每个玩家的边际值相对于所有可能的联盟都是相同的，则游戏Γ=（N，v）被称为加法。所以这里有一些数字iv（S）=所有的vis∈ N和我∈ 因此，如果v是加法的，我们有v（S）=v() +席∈Svi。相反，每个向量∈ 定义一个零标准化加法博弈（N，a），理解（37）a() = 0和a（S）=Xs∈所有S 6=.例7.4。哪些一致性游戏（见Ex.7.2）是加法游戏？证明了N上所有加法对策的向量空间都有维数|N |+1。N上所有零正规加法对策的子空间都有维数|N |。现在我们来看更多合作游戏的例子。1.合作TU-GAMES 951.3。制作游戏。在第4.2节中，考虑从M原料M生产K种不同类型的产品的工厂，…嗯。Letx=（x，…，xk）是一个计划，该计划提出生产第j种商品的xjunits，并假设（1）x需要ai（x）单位的材料Mifor i=1，M（2） 产品x可以以f（x）的价格出售（欧元、美元或其他任何价格）；（3） 有一组供应商，每个供应商∈ N拥有两个单位的材料Mi。如第4.2节所述，寻求最佳生产计划*导致优化问题Maxx∈Rk+f（x）s.t.ai（x）≤Xs∈Nbis（i=1，…m）。假设材料的市场价格为y*, . . .

Y*m（每单位）。然后是一个可选的imal生产计划x*需要购买v（N）=Xs∈纽约*iai（x）*) =mXi=1y*ibi（含bi=mXs）∈NBI）供应商提供的材料价值。一个人的价值应该如何∈ N需要评估吗？自然参数是s：（38）w拥有的所有材料的市场价值*s=nXi=1y*宜必思。这是s 7吗→ W*sto个别供应商的“公平”？为了在这个问题上大开眼界（不回答它），让我们考虑另一种方法：假设一个联盟从阴影PrICESYSI，评估它的内在价值，…S-限制优化问题（39）maxx的性质∈Rk+f（x）s.t.ai（x）≤Xs∈SBI（i=1，…m）。最优解xSof（39）要求V（S）=mXi=1YSAI（xS）=mXi=1ySibSi（bSi=mXs∈Sbis）96 7。合作博弈是物质的结合，产生了合作博弈（N，v）。在这种情况下，供应商的价值∈ N\\T对于一个coaliti on T是sv（T）=v（T∪（s）- v（T）。因此，有人可能会认为，对供应商的“公平”评估应该考虑其边际价值。（下文第3.2节将进一步研究这一想法。）1.4. 线性生产游戏。暂时不考虑边际值，在线性目标和线性生产需求的情况下，情况尤其明显：f（x）=cTx=cx+…+cnxnai（x）=aTix=ai1x+…+ainxn（i=1，…，m）。其中A表示带有m行向量aTi的矩阵，即阴影向量y*是对偶线性规划的最优解∈Rm+yTb s.t.yTA≥ cTand的属性为yv（N）=mXi=1biy*i=nXj=1cjx*j=f（x）*).请注意，S-限制生产问题的对偶具有相同的约束，不同之处仅在于目标函数的系数：miny∈Rm+yTbSs。T

伊塔≥ 计算机断层扫描。最优解xS和影子价格向量ySyieldv（S）=mXi=1bSiySi=nXj=1cjxSj=f（xS）。所以影子价格向量y*对于S-限制也是可行的（但不一定是最优的），我们得出结论（w*sas in（38））：（40）v（S）≤mXi=1bSiy*i=Xs∈西南*s=w*（S） 。备注7。3.不确定性（40）表明影子价格是不稳定的*令人满意的联盟在某种意义上说，每一个联盟都获得了一个有价值的物质财富*（S） 这至少和它的纯市场价值v（S）一样大。这就是游戏核心概念背后的想法（参见下面第2节）。合作TU-GAMES 971.5。网络连接游戏。考虑某个实用程序的用户的集合n＝{p，…，pn }，这些用户将直接或间接地连接（ViaTor用户）到S OME的S上节点P。假设TH以建立PijPito与CIJ（欧元，美元或任何东西）之间的链路为代价。关联合作博弈具有效用函数C（S）=仅将S连接到p的最小成本。相关问题是：o一个用户需要多少pi∈ N充电，以便建立具有所需连接的网络？从最小总成本c（N）的一种构造方法出发，导出了一种可能的成本分配方案。贪婪算法建立了一个联盟链 = s s s . . .  Sn=n根据以下迭代程序：（G）S=;（Gj）如果已建造SJ，则选择p∈ N\\Sj使C（Sj∪ p） 尽可能小，收取边际成本jv（S）=c（Sj）∪ p）- c（Sj）。（Gn）设置Sj+1=Sj∪ p并继续，直到所有用户都被选中。不是贝尼。贪婪算法确保用户在Totalis中设置N收取最小可能的连接成本：nXj=1[c（Sj）- c（Sj）-1） ]=c（序列号）- c（S）+n-1Xk=1[c（Sk）-c（Sk）]=c（N）- c（) = c（N）。从这个意义上说，贪婪算法是有效的。

然而，从个人用户的角度来看，贪婪的成本分配方案可能显得“不公平”（见例7.5）。博弈论者对“最佳”网络成本分配方案存在分歧98 7。合作游戏性爱。7.5. 考虑一个用户集N={p，p}，连接成本系数c=100，c=101，c=2。贪婪算法构造了凝聚链 = s S={p} S={p.p}=Nand向用户和c（S）收费c（S）=100- c（S）=2对用户p。SOP将承担约98%的总成本c（N）=102.1.6。投票游戏。例如，有一组N个选民（不一定相等）的投票权。用我能投的票数来表示。给定阈值w，关联的投票游戏具有特征函数V（S）=1如果XI∈Swi≥ w0否则。在投票环境中，v（S）=1的解释是，联盟拥有使某项拟议措施获得通过的投票权。请注意，在v（S）=0的情况下，投票人i的值为miv（S）=v（S）∪（一）- v（S）=1有权通过加入S来改变投票。一般问题具有高度的政治重要性：o如何（或应该）在投票环境中评估选民i的总体投票权？备注7。4.一个流行的个人投票权指数是BANZHAFpower指数（见下文第3节）。然而，也有其他评估方法也有其优点。与净工作成本分配一样，抽象数学无法决定什么是“最佳”方法。2.Core在我们当前的讨论中指出了这一特点：o为了避免技术问题，我们假定本节中的所有合作游戏都是零标准化的。（零规范化）合作博弈（N，v）的核心是集合核（v）={x∈ RN | x（N）=v（N），x（S）≥ 五(S)s N} ，也称为阈值游戏2。核心99带有符号und erst和ing x（S）=Pi∈Sxs。

数学上讲，核（v）是欧几里德空间RN中有限个线性不等式的解集。在她手上的博弈论解释中，向量x∈ 核心（v）是指将个人价值观分配给我的球员∈ N，使得值v（N）完全分布，并且每个联盟S至少接收到适当的值v（S）。例如，上面的不平等（40）体现了供应商的市场价值w*s（见等式（38））是线性生产博弈中核心向量的系数。成本博弈（N，c）的核心被类似地定义为：核心*（c） ={x∈ RN | x（N）=c（N），x（S）≤ 丙(S)s N} 。十、∈ 果心*（c） 在我的球员中分配成本c（N）∈ 因此，N ocalition S支付的费用比其适当的成本c（S）要多。例7。6.展示（零规范化）合作博弈（N，v）及其对偶（N，v）*):核心（v）*) = 果心*（v） 。例7.7。给出一个合作博弈（N，v）的例子，其核心（v）=.遗憾的是，正如Ex.7.7所示，对于合作游戏中单个p层的“公平”利润（或成本）分配，核心不是一个普遍适用的概念，因为它可能是空的。因此，更进一步的价值分配概念很有意思。第3节将提供此类概念的示例。现在，让我们继续研究核心问题。2.1. MONGE算法。我们考虑了一个带n个PL埃尔斯的合作博弈（n，v）和联盟的集合n。给定一个参数向量c∈ n和一个排列π=ii。在N元素中，MONGEalgorithm构造了一个原始MONGE向量∈ r与对偶MONGE向量yπ∈ RNA如下：（M）集Sπ= 对于k=1，2，…，Sπk={i，…，ik}，n、 （M）设置xπik=v（Sπk）- v（Sπk）-1） 对于k=1，2，n、 （M）设置yπSn=cin和yπSl= 词l-词l+1用于l = 1, 2, . . . , N- 1.否则设置yπS=0。G.蒙格（1746-1818）100 7。

合作博弈不难看出，MONGE向量xπ和yπ满足恒等式ymπ（c）=Xi∈Ncixπi=XS∈N的不同排列π和ψ，当然，可能会产生不同的mπ（c）和mψ（c）。重要的是以下观察。引理7.1。设π=ii。inandψ=jj。N的两种安排≥ 词≥ . . . ≥ 辛德和cj≥ cj≥ . . . ≥ cjn。n nπ（c）=XS∈Nv（S）yπS=XS∈Nv（S）yψS=mψ（c）。证据请注意，cil= 词l+例如，1意味着yπSl= 所以我们可以假设c的分量有不同的值。但π=ψ成立，这使得这个说法变得微不足道。2.1.1. MONGE分机。Lemm a.7.1说有一个定义良好的实值函数C7→ [v] （c），其中[v]（c）=mπ（c），如果π=ii。ins。t、 词≥ 词≥ . . . ≥ 辛。函数[V]是特征函数V的Mange扩展，为了证明术语“扩展”，考虑S上的CaliTI。 N及其（0，1）关联向量c（S），在情况i中分量c（S）i=1∈ N元素的适当排列首先列出所有1个组分，然后列出所有0个组分：π=i。ik。ins。t、 c（S）i。c（S）ik…c（S）in=1。10 . . . 因此，对于t6=S，我们有yπS=1和yπT=0，对于所有的S，我们得出[v]（c（S））=v（S） N.备注7.5（CHOQUET和LOV\'ASZ）。将蒙古人的思想应用于不增加价值的安排≤ . . . ≤ 非负函数的fn:N→ R+，一个人到达CHOQUET积分ZFDV=nXk=1fk（v（Ak）- v（Ak+1）），其中Ak={k，k+1，…，n}和An+1=.参见附录2第5节。核心是地图f 7→Rfdv是函数v:N的所谓LOV\'ASZ扩展→ R.当然，mutatis mu tandis是从MONGE到CHOQUET和LOV\'ASZ的所有结构属性。2.1.2. 线性规划方面。

由于核（v）被定义为一组有限个不等式（和一个等式）的解集，因此研究以核为可行解集的线性规划是很自然的。考虑线性规划（41）MIX∈RNcTx s.t.x（N）=v（N）和x（s）≥ v（S）如果s6=N，则其对偶（42）maxy∈RNvTy s.t.XS艾斯≤ 词我∈ N和Y≥ 如果S 6=N，则为0。在ci的情况下观察≥ . . . . . . ≥ 从yπS出发，证明了相对于c的对偶MONGE向量yπ是一个可行解≥ 0满足所有S 6=N。因此，如果核心（v）6=, 两个线性规划都有最优解。线性规划对偶进一步显示（43）~v（c）=minx∈核心（v）cTx≥ vTyπ=[v]（c）。定理7.2。~v=[v]适用于对策（N，v）当且仅当所有原始MONGE xπ向量位于核（v）中。证据假设ci≥ . . . ≥ cinandπ=i。在里面如果xπ∈ 核（v），则Xπ是线性程序（41）的一个可行解。由于对偶MONGEvector yπ对（42）是可行的，我们发现xπ≥ 五（c）≥ [v] （v）=cTxπ，因此v（c）=[v]（c）。相反地，~v=[v]意味着对偶MONGE向量保证产生（42）的最优解。所以考虑阿纳尔的安排。jnn与参数向量c∈ RN的组件SCJK=n+1-k代表k=1，n、 对偶向量yψ在集Sk上有严格的正分量yψSk=1>0。根据o p时间解的KKT条件，an102 7。合作对策最优解x*∈ 相应线性规划（41）的核（v）必须满足等式X*（Sk）=Xi∈Skx*i=v（Sk）表示k=1，n、 也就是说x*正是原始MONGE向量xπ，因此，xπ∈ 核心（五）成立。2.2. 康涅狄格州。

我们把一个特征函数称为v:2N→ R凹如果v是由凹函数t对联盟S的（0，1）-关联向量c（S）的限制而产生的，即如果存在凹函数f:RN→ R使得v（S）=f（c（S））适用于所有S 因此，如果v是凹的，那么合作对策Γ=（N，v）是凹的。我们将不研究一般的conacave合作对策，而是关注一类特别重要的凹对策，它通过定理7.2与MONGE算法密切相关。建议7.1。如果对策（N，v）的所有MONGE向量都位于中心（v），则（N，v）是凹的。证据根据Theorem 7.2，这个命题的假设是，对于所有的c，v（c）=[v]（c）∈ 注册护士。因此，有必要证明v是一个凹函数。显然，对于λ>0的所有标量，λλc=λvhc）都成立，也就是说，v是正齐次的。现在考虑任意参数向量C，D∈ RNand x∈ 磁芯（v），例如：v（c+d）=（c+d）Tx.Th en＠v（c+d）=cTx+dTx≥ ~v（c）+~v（d），其显示为凹形。备注7.6。命题7.1）的逆命题是不成立的：存在一个重凹博弈，其核心不包括所有原始MONGE向量。2.核心部分是一个术语上的谨慎。博弈论文献经常将术语“凸合作博弈”应用于在核（v）中包含所有原始MONGE向量的博弈（N，v）。然而，在我们的术语中，这样的曲面不是凸的，而是凹的。为了避免术语上的混淆，人们可能更愿意将其称为超模博弈（参见下一节2.3中的定理7.3）。超常。将MONGEalgorithm与凹性联系起来的核心概念是超模性：定理7.3。

对于合作对策（N，v），下列陈述是等价的：（I）所有的MONGE向量xπ∈ Rn位于核心（v）。（二） v是超模的，即满足不等式v（s∩T）+v（S）∪ （T）≥ v（S）+v（T）代表所有S，T N.证据。假设（I），N的元素按I的顺序排列。因苏奇∩ T={i，…，ik}，S={i，…，il}, s∪T={i，…，im}。通过MONGE算法的定义，xπ然后满足xπ（S∩ T=v（S）∩T），xπ（S）=v（S），xπ（S∪ T=v（S）∪ T）。此外，xπ（T）≥ 如果xπ，v（T）成立∈ 核心（五）。所以我们推导出了超模不等式v（S）∩T）+v（S）∪ T）=xπ（S）∩ T）+xπ（S）∪ T）=xπ（S）+xπ（T）≥ v（S）+v（T）。相反，假设v不是超模。我们将展示一个MONGEvector xπ，它不是核心（v）的成员。让我们，T N是这样的亚视∩T）+v（S）∪ T）<v（S）+v（T）为真，N的元素按π=i的顺序排列。因苏奇∩ T={i，…，ik}，S={i，…，im}，S∪T={i，…，il}.104 7. 因此，MONGE向量xπ满足v（S）+v（T）>v（S）∩T）+v（S）∪T）=xπ（S）∩ T）+xπ（S）∪ T=xπ（S）+xπ（T）=v（S）+xπ（T），因此v（T）>xπ（T），表示xπ/∈ 核心（五）。例7.8。前面的证明使用了一个事实，即任何向量x∈ 满足性测试模块等式∩ T）+x（S∪ T）=x（S）+x（T）表示所有S，T N，在不理解x（S）=Pi的情况下∈Sxi。2.4. 子模块化。一个特征函数v被称为submodu larif不等式v（S∩T）+v（S）∪ （T）≤ v（S）+v（T）适用于所有S，T N.ex7.9。证明z-ero标准化对策（N，v）的等价性：（1）v是超模的。（2） 五*是子模。（3） w=-v是次模。鉴于平等的核心（c*) = 果心*（c） （例7.6），我们发现Monge算法也在核心构造向量*（c） 具有子模特征函数的合作代价对策（N，c）的注7.7。

注意定理7.3的最后一点，它在子模性语言中说：（n，c）是一个子模代价博弈当且仅当所有的向量xπ位于核中*（c） 。网络连接游戏通常不是子模块。然而，第1节中讨论的特殊成本分配向量。5 d oes位于核心*（c） ，正如这位雄心勃勃的读者所展示的。备注7.8。由于MONGE算法，子模函数和超模函数在离散优化领域发挥着重要作用。事实上，离散优化的许多结果在CFC中有直接的解释。S.FUJISHIGE（2005），《子模函数与优化》，第二版，离散数学年鉴583。合作博弈理论。相反，合作博弈模型为离散优化问题的结构提供了概念上的视角。备注7.9（贪婪算法）。Monge算法应用于具有核心类型约束的线性规划，也称为离散优化中的贪婪算法。3.价值而非边际价值球员i决定加入resp的iv（S）。从直觉上看，要想离开联盟S，还不太清楚应该如何评估ofi的整体实力。从数学的角度来看，有很多可能做到这一点。一般来说，我们理解所有TU对策（N，v）a函数Φ：RN类的b y a值→ 与每个特征函数v相关联的向量Φ（v）∈ 注册护士。给定Φ，数字Φi（v）是对Φi强度的评估∈ 根据评估概念Φ3.1，游戏中的N（N，v）。线性值。如果Φ是一个线性算子，也就是说，如果对所有的对策v，w和标量λ都有一个值Φ，那么Φ就是线性的∈ R、 等式Φ（λv+w）=λΦ（v）+Φ（w）。换句话说：如果每个分量函数Φ是向量空间RN上的线性函数，那么Φ是线性的。从前任召回。

7.2一致性对策构成RN的基础，这意味着每一个对策v都可以独立地表示为非动物性对策的线性组合。因此，一个线性值Φ完全由分配给一致性对策的值决定。当然，对于任何其他基础来说也是如此。的确，如果v，vk∈ G（N）是任意对策，λ，λkarbitraryreal标量，Φ的线性产生Φ（λv+…+λkvk）=λΦ（v）+…+λkΦ（vk）。我们给出了线性值的两个典型例子。106 7. 合作游戏SHAPLEY的价值。考虑到一致的gamebδT与conalition T的关系∈ 其中bδT（S）=1如果是 否则。在这种情况下，评估球员的实力似乎是合理的∈ N\\T为空，即ΦShj（bδT）=0，且每个参与者的强度为T∈ T的等比例为ΦSht（bδT）=| T |。将Φshv扩展到sensev=XT中的所有博弈v b y线性∈NλtbδT==> ΦSh（v）=XT∈NλTΦSh（bδT）得到一个线性值v7→ ΦSh（v），即所谓的SHAPLEY值。例7.10。显示在（N，v）和它的零规范化（N，v）中的游戏者**) 被赋予相同的形状值。班扎电力指数。BANZHAF功率指数Φbap与SHAPLEY值非常相似，评估功率ΦBs（bδt）=0（如果s∈ N\\t治疗所有t∈ T是平等的。假设t6=, 数学上的差异在于比例因子：ΦBi（bδT）=T|-1对于所有t∈ T与SHAPLEY值一样，BANZHAF幂指数从一致对策线性扩展到所有对策（N，v），从而给出一个线性值v7→ ΦB（v）。正如我们将在第3.2节中看到的，ΦShand和Φbc值之间的差异也可以通过关于联盟形成方式的两种不同概率假设来解释。备注7.10（效率）。如果| T |≥ 1、SHAPLEY值对总金额的影响∈NΦShi（bδT）=1=bδT（N）3。

对N的成员来说，值为1070，因此被认为是有效的。相比之下，wehaveXi∈NΦBi（（bδT）=| T | T|-1<1=bδT（N）如果| T |≥ 2.因此，班扎电力指数并不有效。3.2. Random值。随机值的概念是基于一个假设，即玩家∈ N加入联盟S N\\{i}以一定的概率π作为一个新的成员。i的预期边际值∈ Nthus-isEπi（v）=XSN∈{i}函数Eπ：G（N）→ RNwith components Epii（v）是关联的随机值。请注意，边际值是线性的。事实上，如果u=λv+w，则iu（S）=λ四(S)我为所有我∈ N和S 因此，随机值Eπ也是线性的：（44）Eπ（λv+w）=λEπ（v）+Eπ（w）。备注7.11。线性关系（44）隐含地假设概率π与特定的特征函数v无关。如果π依赖于v，则不再保证Eπ的线性！玻尔兹曼值（将在下文第4节中讨论）是一个随机值，在（44）的意义上不是线性的，因为相关的概率分布取决于特征函数。3.2.1. 板斧的价值。作为一个例子，让我们假设一个玩家i加入了2n中的任何一个-1.托拉斯 N\\{i}具有相等的可能性，即概率πBS=N-1、考虑一致性vt= bδt并观察ivT（S）=0持有ifi/∈ 另一方面，如果我∈ T，然后一个h作为ivT（S）=1<==> T\\{i} 因此，与美国的联盟数量ivT（S）=1等于|{S N\\{i}|T s∪{i} }|=2n-|T|-1.因此我们得出结论e108 7。合作对策（45）EπBi（vT）=XSN\\{i}ivT（S）πBS=n-|T|-1n-1=|T |，这意味着随机值EπBis与BANZHAFpower指数相同。概率方法得到了显式公式（46）ΦBi（v）=EπBi（v）=n-1XSN\\{i}（v（S）∪ （一）- 五(S)(i)∈ N） .3.2.2。边缘向量和SHAPLEY值。

让我们想象一下，N的成员以一定的顺序σ=Ⅱ建立了“大煤系离子”N。因此，他们加入了联盟的行列 = Sσ Sσ。 Sσk . . .  Sσn=nW这里Sσk=Sσk-1.∪ {ik}对于k=1，n、 给定对策（n，v），σ给出了边际向量σ（v）∈ 带组件的RNSik（v）=v（Sσk）- v（Sσk）-1） （k=1，…，n）。注意v7→ σ（v）是G（N）的线性值。我们可以根据概率分布π，从所有N阶的∑Nof集合中选取阶数σ，将该值随机化。然后是期望的边缘向量π（v）=Xσ∈∑Nσ（v）πσ当然也代表G（N）上的一个线性值。例7.11。显示值v7→ π（v）是线性且有效的。（提示：回想一下第1.5节中关于网络连接游戏贪婪算法的讨论）。边缘向量正是第2.13节的原始MONGE向量。值109PR位置7.2。SHAPLEY值是相对于∑N上的均匀概率分布的期望边缘向量，其中所有阶数的可能性相等：ΦSh（v）=N！Xσ∈∑Nσ（v）。（回忆一下组合数学中有n！=|∑n | n的有序排列）证明。由于线性关系，证明一致对策vT=bδT的命题是足够的。在里面∈ ∑Nand elementik∈ N\\T，我们有ik（vT）=0和hencen！Xσ∈∑Nσi（vT）=0表示所有i∈ N\\T。另一方面，统一分配对待所有成员∈ T相等，从而在T:N的成员之间平均有效地分配值vT（N）=1！Xσ∈∑Nσi（vT）=vT（N）|T |=所有i∈ 这正是夏普利的概念。我们可以在最初引入的随机值的框架内解释SHAPLEY值。所以我们假设一个订单σ∈ ∑Nis的选择概率为1/n！考虑一个联盟 N\\{i}。