我们问：o我加入S的概率是多少？让k- 1=|S |是S的大小，我要加到S上的序列σ的数量是|{σ| i=ik和Sσk-1=S}|=（k）-1） 哦！（n）- k） !！这是因为：（1）第一个k-1元素必须从任何（k）中的S中选择-1） 哦！可能的命令。（2） 剩下的n- k元素必须来自N\\（S）∪{i} ）。所以我们得出πShS=（k- 1） 哦！（n）- k） !！n=（|S |）！（n）-|S|-1） 哦！N并得到另一个SHAPLEY值的显式公式：110 7。合作对策（47）ΦShi（v）=XSN\\{i}iv（S）πShS=XSN\\{i}四（S）S！（n）- |S|- 1） 哦！N例7.12。考虑一个投票/阈值游戏（参见第1.6节），权重为W＝3，W＝2，W＝2，W＝1。在阈值w=4.4的情况下，计算每个玩家的Banzhafan和SHAPLEY值。Boltzmann值上一节的概率分析显示，例如，班扎夫权力指数和沙普利值的价值评估概念隐含地假设，参与者只是在合作博弈中加入——但永远不会离开——现有联盟（N，v）∈ G（N）。相比之下，本节的模型在所有联盟的集合2n上假设一个潜在的概率分布π，并分配给playeri∈ N其预期边际值ei（v，π）=XSNiv（S）πS=XSN（v（S）（一）- 我们进一步允许π依赖于所考虑的特定特征函数v。

那么功能V7→ Ei（v，π）不能保证是线性的。在这个模型中，人们应该合理地期望什么样的概率分布π？为了回答这个问题，我们考虑了相关的期望特征值Nv（S）π作为一个相关参数，并询问：o仅给出u，哪个概率分布^π将是（未知）π的最佳无偏猜测？从信息论的角度来看，最好的无偏猜测^π是那些产生期望值u的概率分布π中熵最高的一个。因此，我们寻求优化问题的解决方案。玻尔兹曼值111（48）maxxS≥0H（x）=-nXSNxSln xSs。t、 u=XSNv（S）xS1=XSNxS。定理7.4。对于每一个潜在的v:N→ R和v的可能期望值u存在唯一参数-∞ ≤ T≤ +∞使（1）u=XSNv（S）ev（S）T/ZT，其中ZT=XS内华达州（S）T；（2） 数字bTS=e-v（S）T/ZTare严格地给出了熵优化问题（48）的唯一最优解。定理7.4的证明可在附录第6.2节中找到。概率B确定了v:N的玻尔兹曼分布→ 与参数T相关。因此，我们可以得到每个yv的玻尔兹曼值Φbf和参数T：（49）ΦBi（v；T）=XSNiv（S）bTS=ZTXSNiv（S）ev（S）T（i）∈ N） 让我们看看一些极端情况。对于T=0，玻尔兹曼分布只是N上的均匀分布，bS=|N |=S N、 一个球员的波尔兹曼价值∈ N是所有边缘值的平均值：ΦBi（v；0）=nXSN四（S）。在T=+∞, B∞成为setVmax上的均匀分布 v的所有最大化子中的2n（见Ex.7.13）。因此有ΦBi（v+∞) =|Vmax | XS∈Vmax四（S）112 7。合作博弈同样，我们可以看到b-∞是v.EX.7.13集合VMINOfMinimizer上的均匀分布。让我们*∈ Vmax应该是v和S的最大化子 N武断的。

特林姆→+∞电动汽车(S)电动汽车(S)*)T=limT→+∞e（v（S）-v（S）*)T=1如果v（S）=v（S）*)否则为0。得出结论b∞是Vmax上的均匀分布（概率为0的所有其他联合体）。温度与统计热力学物理中的玻尔兹曼模型类似，我们可以将v视为一个能量势函数，并求其极小值。所以我们面对T<0的玻尔兹曼分布。当kB>0是一个标准化因子时，我们定义θ=-1kBT≥ 0，因此bTS=ZTe-v（S）/kB~θ。热力学解释为，具有势能分布bT的协同系统的温度→ 0时，系统以高概率达到最小可能的状态（联盟）。在高温情况下∧θ→ ∞, 系统变得越来越不可预测：所有状态（联盟）的可能性大致相同（即近似均匀分布）。与物理学的类比表明，在一般的博弈论环境中，非负参数θ=|T |可以作为温度的度量。特别是，如果一个经济系统被假定由一个潜在因素（如国民生产总值或类似的全球指标）控制，那么谈论该系统的“温度”似乎是合理的。结论是一样的：o如果θ→ ∞, 所有联合战略行动的可能性大致相等如果θ→ 0时，期望的势能值变为极值，即当T→ + ∞ 如果不是的话，我的尼马尔→ -∞.所谓玻尔兹曼常数kb的精确物理值与我们的博弈论目标无关！5.联盟组建1135。

联盟形成这个术语最初指的是合作博弈。联盟的形成被视为一个动态过程，在这个过程中，联盟会随着时间的推移而演变，取决于玩家的行为，玩家可能会离开暂时的联盟，加入其他玩家组成新联盟等。。当然，决策过程如何随着时间的推移而演变的问题，对于联合战略的一般有效的g ameΓ=（N，v）和系统X来说是有意义的。如果假设| X |<∞还有我的特工∈ N要想独立地贪婪，也就是说，如果一个转换提供了更好的边际价值，那么我们必须得出结论，代理人最终会达到一个行动平衡*∈ X（参见提案5.2）。另一方面，如果我们不对个体主体进行优先假设，但假设决策过程最终到达接合点x∈ 概率为πX的X产生预期的电位值u=Xvx∈Xv（x）πx，概率分布π的无偏估计得出结论（定理7.4），决策过程最终产生联合策略选择x∈ 用玻尔兹曼概率btx=ZTev（X）乘以T，使得u=Xx∈Xv（x）bTx。METROPOLIS等人建立了一个随机过程的模型，该模型收敛于具有BTT的分布≥ 0如下所示：（M1）如果进程当前处于状态x，则代理i∈ N是概率为pi>0的；（M2）我选择了一个动作y∈ 概率qy>0；（M3）如果v（x-i） （y）>v（x），然后我从xito y切换；（M4）如果v（x-i（y））≤ v（x），然后i从xito切换到y，概率α=e（v（x-i（y）-v（x））T（否则不会改变动作）。N.METROPOLIS，A.ROSENBLUTH，M.ROSENBLUTH，A.TELLER，E.TELLER：通过快速计算机计算状态方程。J.化学。物理学21（1953）114 7。

合作博弈METROPOLIS等人的算法模拟了X上所谓的马尔可夫链。其正确性的证明不是很困难，而是有点技术性。因此，我们将不在这里重复它，而是指出算法的相关特性：o如果yv（x）=v（x-i） （y）- v（x）≥ 0，探员i贪婪，将战略行动切换到y.o如果yv（x）<0，则i在s mall的概率y较大时切换：E电视（x）T→ 0作为T→ +∞.备注7.12。METROPOLIS算法很容易针对T进行调整≤ 0：一个简单地用势w代替v=-v，并以w和非负参数T′=-同上。5.1. 我个人贪婪和公益。让我们假设一个社会的共同福利是通过潜在的v来表达的。如果N的所有成员都纯粹贪婪地行动，那么最终将产生一种公平的行动，而这并不一定会导致高的共同福利水平。例如，如果在WARDROP交通情况下（参见第4节）的所有玩家都表现得非常贪婪，那么就不能保证最优的交通流量。然而，如果N的m个成员准备好可能接受暂时的边际退化（算法中的情况（M4）），则uT（v）=Xx级的公共福利∈Xv（x）BTX可以预期。此外，T越大，uT（v）越接近最大可能水平vmax。因此，为了达到较高的公共福利水平，社会必须提供激励或个人奖励，以诱导参与者采取（M4）中所述的行动。5.2. 模拟退火。如果只有一个代理，X是代理的策略集，METROPOLIS算法可用于优化函数v:X→ R、 即，找到问题Maxx的最优解∈Xv（x）通过在每次迭代后添加程序步骤s（M5），在目标T的基础上稍微增加T→ ∞.6.

合作博弈中的均衡在这种形式下，METROPOLIS算法也称为模拟退火算法。在离散优化领域，它已被证明是一种非常成功的优化技术。评论。请注意，关于模拟退火算法的实际实现，其描述不是很具体。应如何选择概率qtin（M3）？在（M5）中不应该增加多少？因此，模拟退火方法的成功也将取决于用户在实践中的技能和经验。6.合作博弈中的均衡在前面的章节中，我们讨论了METROPOLIS算法，作为马尔可夫链的一个例子，该马尔可夫链根据波尔兹曼概率对联盟形成进行建模。如果我们后退一步，把合作游戏Γ=（N，v）中的玩家想象成一个群体，他们的行为受到实现共同目标的个人利益的引导，我们必须假设每个人∈ N有一个单独的实用程序功能ui:N→ R、 其中，ui（S）是i的预期收益（或成本），以防联盟S在Γ中活动，从而实现N的值v（S）。当然，ui将自然依赖于Γ的特征函数v。但其他因素也可能发挥作用。在BOLTZMANN m模型中，玩家i的效用标准本质上是其边际收益iv（S）-如果它是非负的。如果为负，则假定提供额外的激励，以便以一定的概率进行无目标的战略切换。

通常，波尔兹曼模型不承认联盟均衡——除非博弈在极端温度T下进行。许多其他价值概念（如SHAPLEY和BANZHAF）都是基于边际收益作为球员个人效用评估的基本标准。让我们考虑一个游戏γ=（n，v），并考虑到游戏最终会分裂成一个S组。 N和互补群sc=N\\S。假设一个玩家i∈ N通过vi（S）=vi（Sc）计算N的分区（S，Sc）的效用=五(S)- v（S\\i）如果我∈ Sv（Sc）- v（Sc\\i）如果我∈ Sc，S.KIRKPATRICK，C.D.Glate，M.P.VECCHI：模拟退火优化。《科学》220（1983）116 7。合作游戏性爱。7.14. 假设（N，v）是一个超级模块游戏。然后有一个对所有玩家来说，i 6=j，vi（N）=v（N）- v（N\\i）≥ v（N\\j）- v（（N\\j）\\i）=vi（N\\j）vi（N）=v（N）- v（N\\i）≥ v（{i}）- 五() = vi（N\\i）。因此，大联盟N代表了相对于效用vi.ex7.15的增益均衡。假设（N，c）是一个零正规化的子模对策，在这里我有u效用=丙(S)- c（S\\i）i f i∈ 理学士（理学士）- c（Sc\\i）如果我∈ Sc.Show：大联盟N是相对于公用事业ci的成本均衡。第8章相互作用系统和量子模型本章研究了一个关于集合X的合作和相互作用的相当普遍的模型。使用复数，该模型的状态自然地表示为具有复系数的厄米矩阵。这种表示法使我们能够对相互作用系统进行标准的光谱分析，并与物理学中量子系统的标准数学模型建立了联系。虽然分析可以扩展到一般的希尔伯特空间，但为了使讨论更简单，假设Xis是有限的。1.

代数预备矩阵代数是分析数学的主要工具，我们回顾了线性代数中更多的基本概念。更多细节和证明可以在任何一本关于李近代数的像样的书中找到。其中X={X，…，xm}和Y={Y，…，yn}是两个完整的索引集，回想一下，RX×yde记录了所有矩阵A的实向量空间，其中行由X索引，列由Y索引，系数为Axy∈ R.A的转置∈ RX×Xis是∈ RY×X，系数为Axy=Axy。地图是A 7→ 在向量空间RX×yan和RY×X之间建立同构∈ RX×Yand B∈ y×X作为mn维参数向量，我们有通常的欧几里德内积ashA | Bi=X（X，y）∈X×YAxyBxy=BTA。在hA | Bi=0的情况下，A和B称为正交。相关欧几里德范数iskAk=phA | ATi=sX（x，y）∈X×Y | Axy |。e、 g.e.D NERING（1967），线性代数与矩阵理论，威利，纽约118 8。相互作用系统和量子模型我们想到一个向量v∈ rx通常作为列向量。所以vt是具有相同坐标vTx=vx的行向量。注意两个矩阵p乘积之间的差异：vTv=Xx∈X | vx |=kVvt=VxVxVx。VxMVxVxVxVx。VXM。。。。。。。。。。。。vxmvxvxmvx。vxmvxm.1.1. 对称分解。假设现在相同的索引集x=Y={x，…，xn}a矩阵a∈ 如果AT=A，则RX×Xis对称。如果AT=-A、 矩阵A是斜对称的。用任意矩阵A∈ RX×X，我们将矩阵A+=（A+AT）和A关联起来-=（A）- 至少- A+。注意A+是对称的，A+是对称的-是斜对称的。A的对称分解是（50）A=A++A的表示-mat ri x A al将一个分解精确地转化为对称和斜对称矩阵（见例8.1）。所以对称分解是唯一的。例8.1。让A，B，C∈ RX×Xbe，使得A=B+C。

证明这两种说法是等价的：（1）B是对称的，d C是斜对称的。（2） B=A+和C=A-.请注意，对称矩阵和斜对称矩阵必须成对正交（见Ex.8.2）。例8.2。设A是对称矩阵，B是斜对称矩阵x.S how:hA | Bi=0，kA+Bk=kAk+kBk。2.复矩阵1192。复数在物理学和工程学中，复数提供了一种表示正态结构的方便方法。将此id ea应用于对称分解，就得到了所谓的hermi-tian矩阵。回想一下，复数是形式z=a+IB的表达式，其中a和b是实数，i是一个特殊的“新”数，即所谓的数字单位。特别是，形式为a+i·0的复数z与实数a相同∈ R.我们用C表示所有复数的集合，即C=R+iR={a+ib | a，b∈ R} 。复数可以根据实数的代数规则进行加法、减法、乘法和除法，加法计算提供：i=-1.z=a- ib是复数z=a+ib的共轭，所以一个haszz=（a+ib）（a）- ib）=a+b=|z |。复矩阵C的共轭是共轭系数XY=Cxy的矩阵XC。伴随C*是C:C的共轭物的转置*=计算机断层扫描。对于两个复矩阵A=A+Ia和B=B+Ib，其矩阵为A，A，B，B∈ RX×Y，一个计算b*A=（BT）- iBT）（A+iA）=hA | Bi+hA | Bi，这意味着定义hA | Bi=B*这是一种将实矩阵的内积推广到复矩阵的自然方法。具体来说，一个人拥有毕达哥拉斯的财产：ka+iAk=hA+iA | A+iAi=kAk+kAk。2.1. 自伴性和谱分解。如果复矩阵C等于伴随矩阵C=C，则称之为自伴矩阵*=CTIf C只有实系数，那么C=C，因此，“自伴”可以归结为“sy mmetric”。

这是众所周知的实对称矩阵120 8。相互作用系统和量子模型可以对角化。用同样的参数，我们可以把这个结果推广到一般的自伴矩阵：定理8。1（谱定理）。对于矩阵C∈ CX×X这两个语句是等价的：（1）C=C*.（2） cx是一个幺正基U={Ux | x∈ 十} o f实特征值λX的特征向量uxc。酉指基U，向量ux具有单位范数且成对正交，即hUx | Uyi=U*是的=1如果x=y0如果x 6=y。标量λxis是特征向量uxc的特征值ifCUx=λxUx。从定理8.1（见Ex.8.3）可知，自伴矩阵C包含谱分解，即（51）C=Xx形式的表示∈XλxUxU*x、 其中，UX是具有eig值λx的C的成对正交特征向量∈ R.EX.8.3。设U={Ux | x∈ 十} 是cx与aset∧={λX | X的酉基∈ 十} 一组任意的复数标量。显示：（1）矩阵xc=Xx的特征值为λxo的特征向量∈XλxUxU*x、 （2）C是自伴的当且仅当所有λx都是实数。谱分解表明：矩阵的谱定义为其特征值集2。复矩阵121Cx×X中的自联合矩阵C正是C=Xx型矩阵的线性组合∈XλxUxU*x、 其中，cxare中的Uxare（列）向量和λxare实数。谱单位分解。作为一个例子，考虑一个矩阵∈ CX×X具有成对正交列向量Ujof范数kUkx=1，这意味着恒等y矩阵I具有代表性I=UU*= U*U.I的特征值都是λx=1。

相对于U，矩阵I具有谱分解（52）I=Xx∈徐徐*x、 对于任何向量v∈ CxkVk=1，我们因此发现1=hv | vi=v*Iv=Xx∈十五*UxU*xv=Xx∈Xhv | Uxi。如果向量向量UX的（平方）内积PVX＝Hv席ux在集合X上产生概率分布PVn，现在考虑，更一般地，具有FuxC= XX的特征值r xf的自共轭矩阵C。∈XρxUxU*十五。然后我们有（53）hv | Cvi=v*Cv=Xx∈Xρxhv | Uxi=Xx∈Xρxpvx。换句话说：向量v和Cv的内积hv | Cvi是关于概率分布pvon X.122 8的特征值ρxof C的期望值。相互作用系统和量子模型2。2.厄米特表象。回到对称分解中的实矩阵，与矩阵a关联∈ RX×x复矩阵^A=A++iA-.^A是一个隐士矩阵。赫密特地图是7吗→^A在向量空间RX×x和向量空间hx={^A | A之间建立同构∈ RX×X}，集R为标量场。在我们的上下文中，重要的是基本观察到自伴矩阵正是厄米矩阵：引理8.1。让C∈ CX×Xb是任意复矩阵。然后∈ HX<==> C=C*证据假设C=A+iB和A，B∈ RX×和henceC*= 在-iBTSo C=C*表示对称性A=A和斜对称性B=-因此，一个人有^A=A和^B=iB，这意味着sc=A+iB=^A+B∈ HX。反之则很容易理解。厄米特表示法的显著性质是：o而实矩阵∈ RX×xd不一定允许实特征值的体分解，它的厄米表示^A总是保证有一个。3.交互系统让我们假设元素x，y∈ X可以与某个互动强度互动，用实数axy来衡量。我们将这种相互作用象征性地表示为axyεxy。

从图形上看，在以X为节点集的交互图中，同样可以考虑加权（有向）边：axyεxy:：xaxy--→y、 C.HERMITE（1822-1901）HXis不是复向量空间：厄米矩阵C与复标量z的乘积zC不一定是厄米矩阵。3.相互作用系统123相互作用实例是相互作用的加权叠加：ε=Xx，y∈Xaaxεxy。我们在交互矩阵A中记录交互实例ε∈ RX×x与交互系数Axy=Axy。当AT=A时，相互作用是对称的，当AT=A时，相互作用是斜对称的-A.相反，每个矩阵A∈ RX×x对应于某个交互实例ε=Xx，y∈XAxyεxy。因此，我们可以把RX×xa看作是相对于集合X的交互空间。此外，对称分解A=A++A-结果表明：每个相互作用实例ε是对称相互作用实例ε+和斜对称相互作用实例ε的叠加-.此外，ε+和ε-由ε3.1唯一确定。我喜欢美国。相互作用状态ε与相互作用矩阵A的范数是相关相互作用矩阵的范数：kεk=kAk。所以kεk6=0意味着至少有两个成员s，t∈ X与强度的交互作用为6=0，且数字Pxy=|Axy | kAk（（X，y）∈ X×X）在所有可能相互作用的对集合上产生概率分布，并提供关于ε的概率论观点：oX的一对（X，y）成员与概率pxy相互作用。显然，标度为α6＝0的ε到εε，将导致X×x上相同的概率分布，因此从概率的观点出发，因此考虑相互作用实例ε与范数kεk＝1。因此，我们定义：1248。

相互作用系统和量子模型X上的相互作用系统是系统I（X），状态集合为6={ε|ε是范数kεk=1}的X的相互作用实例，根据状态的矩阵表示，我们有←→ SX={A∈ RX×X | kAk=1}.3.2。我有动作电位。A势F:X×X→ R定义ri x处的m，系数Fxy=F（x，y），因此是标量值线性函数a 7→ hF | Ai=Xx，y∈向量空间RX×X上的xfxyax。相反，公式f（A）=Xx，y的RX×Xis上的每个线性函数f∈XFxyAxy=hF | aI，系数Fxy不确定∈ 所以势函数和线性函数相互对应。另一方面，势函数定义了一个线性算子a 7→ 空间RX×X上的FoA，其中矩阵FoA是Fand A的哈达玛积，系数（FoA）xy=fxyaxy表示所有X，y∈ X.根据这一理解，一个hashF | Ai=Xx，y∈X（FoA）xy。此外，计算（54）hA | FoAi=Xx，y∈XAxy（FoA）xy=Xx，y∈XFxy | Axy |。如果∈ SX（即，如果A代表相互作用状态ε∈ 九） ，参数pAxy=|Axy |定义了X×X上的概率分布。在这种状态下，电势F的期望值ε为με（F）=Xx，y∈XFxypAxy=hA | FoAi。3.互动系统1253.3。我喜欢在合作游戏中互动。交互模型为分析合作提供了相当广泛的背景。为了说明这一点，考虑一个合作的TU游戏= =（n，v）的集合n个联盟。v是N上的一个势函数，但在可能成对相互作用的联盟的集合N×Nof上不是。

然而，vt有一个直接的扩展N×N:v（S，t）=v（S）如果S=T0如果s6=T。相对于状态σ∈ 在相互作用矩阵A的×M中，v isv（σ）=XS的期望值∈内华达州|屁股|。在一个状态σS的特殊情况下，联盟S与自身肯定地相互作用（因此在g个联盟之间没有适当的相互作用），我们有v（σS）=v（S），这正是联盟S在Γ的经典解释中的潜在价值。广义合作对策。研究参与者之间合作的一个更全面的模型是Γ=（N，N，v）型结构，其中v是N×N（而不仅仅是N）上的一个有效单位。我在有限的场景中进行互动。当前的许多交互分析仍然适用于经过一些修改的有限集。例如，我们只承认那些矩阵A是相互作用状态的描述∈ 具有（H1）supp（A）={（x，y）性质的RX×x∈ X×X | Axy6=0}是有限的或可数的。（H2）kAk=Xx，y∈X | Axy |=1。如果满足条件（H1）和（H2），我们就可以在希尔伯特空间中真实地表示相互作用状态。然而，为了简单起见，我们保留了当前文本中代理集X的完整性，并将感兴趣的读者参考文献以了解进一步的问题。e、 g.，J.WEIDMANN（1980）：希尔伯特空间中的线性算子，数学研究生论文，Sp ringer Verlag126 8。相互作用系统和量子模型4。量子系统不必深入量子力学的物理学，让我们快速地勾勒出基本的数学模型，然后看看与相互作用模型的关系。在本文中，我们把一个可观测系统的k作为一个机制α，可以应用于一个系统s，s（σ）α-→ α（σ）与积分：o如果S处于σ状态，则α应产生测量结果α（σ）。4.1。量子模型。

关于量子系统qx相对于集合X有两种观点。它们彼此是对偶的（颠倒状态和o可观测的作用），但在数学上是等价的。施罗丁格的照片。在所谓的SCHR¨ODINGERpicture中，qxa的状态表示为s etWX={v的元素∈ 范数1的复向量的CX | kvk=1}。可观测α对应于自伴（n×n）-矩阵a∈ HXand产生实数α（v）=hv | Avi=v*A.*v=v*当QXis处于状态v时∈ W.回顾第2.1节中关于光谱成分的讨论，α（v）是A的特征值ρiof相对于概率pa的期望值，vx=hv | Uxi（x）∈ 十） ，向量在哪里∈ W构成a对应特征向量的向量空间基。概率pA，V的解释是：QXis是一个随机系统，显示元素x∈ 如果在状态v:QX（v）A下观察到，则概率为pA，vx-→ x、 E.施罗丁格（1887-1961）4。量子系统127EX。8.4. 单位矩阵I∈ CX×Xis自伴和d产生分布pI，von X，概率pI，vx=| vx |（X∈ 十） 。海森堡的照片。在QX的海森堡图中，自伴矩阵A∈ 当向量v∈ 工业测量结果s.海森堡与螺旋图是双重的。在这两张照片中，他期望的值是hv | Avi（v∈ WX，A∈ HX）被认为是系统qx上测量得出的数字。海森堡结构中有一个元素x∈ X根据模式qx（A）-→ v x，概率pA，vx。密度和波函数。这两幅图的区别在于对概率分布的解释，即指数集X相对于A的解释∈ HX和v∈ WX。在海森堡图片中，pA，vis被认为是由a相对于固定状态向量v的可能变化所暗示的。

因此∈ hx也被称为密度矩阵。在薛定谔图中，当状态向量v=v（t）m可能随时间t变化时，矩阵ri x A被认为是固定的。v（t）被称为波函数。4.2. 量子系统的进化。（离散）时间t中的量子演化Φ=Φ（M，v，A）依赖于矩阵值函数t7→ Mt，一个状态向量v∈ W、 密度a∈ HX。演化Φ产生真实的观测值（55）~nt=v*（M）*tAMt）v（t=0,1,2，…）。注意，矩阵At=M*塔玛尔自伴。因此，演化Φ可以看作是密度矩阵的演化，这与海森堡图是一致的。W.海森堡（1901-1976），根据第1128章第2.1节。相互作用系统和量子模型Sif v（t）=Mtv∈ 对于所有的t，演化Φ也可以在薛定谔图中解释为状态向量的演化：（56）νt=（Mtv）*A（Mtv）（t=0,1,2，…）。备注8。1.量子力学的标准模型假设演化满足条件Mtv∈ 在任何时间t，所以海森堡和施罗德的图片是等价的。马尔可夫联盟形成。设N是集合N的联盟的集合。关于联盟形成的经典观点认为，N上的概率分布p是形成过程的可能状态，而过程本身是马尔科夫链。为了形式化这个模型，l et P=P（N）是N上所有概率分布的集合。马尔可夫算子是一个线性映射u：N→ RN×Nsuchμtp∈ P代表所有P∈ P.每个初始状态的u定义P（0）∈ 概率分布的马尔可夫链m（P（0））={ut（P（0））|t=0，1，…}。现在定义Pt∈ RN×n是以p（t）=ut（p（0））作为其对角系数向量的对角矩阵。

PTI是一个实对称矩阵，因此特别是adensity。任何v∈ W产生一个量子演化，其观测值为πt=v*Ptv（t=0，1，…，n）例如，如果∈ RN是对应于联盟的单位向量∈ N、 一个是π（S）t=e*SPteS=（Pt）SS=p（t）按照通常的解释：o如果联盟的形成是按照t赫马尔科夫链M（p（0））进行的，那么在t将发现S时的检查是活跃的，概率为yπ（S）t=p（t）S。备注8.2。更一般地说，第5.2节中的模拟退火过程是马尔可夫链，因此是量子进化的特例。A.A.马尔科夫（1856-1922）4。量子系统1294.3。关于相互作用的量子观点。通过hermiti A表示回顾向量空间同构∈ RX×X←→^A=A+iA-∈ HX，我们可以认为相互作用态是量子系统的薛定谔态的表现形式∈ RX×X | kAk=1}<-> WX×X={^A∈ HX | k^Ak=1}，或作为相对于量子系统QX的海森堡密度的规范化代表。主成分。X上的交互实例A具有厄米光谱分解^A=Xx∈XλxUxU*x=Xx∈Xλxax，其中矩阵^Ax=UxU*X^A的主成分。相应的相互作用实例是A的主成分：A=Xx∈XλxAx。相互作用实例的主成分V来自SCHR¨ODINGERstates V=a+ib∈ WX和a，b∈ RXin的方法如下。设置^V=vv*= （a+ib）- ib）T=aaT- bbT+i（baT）-abT），一个有V+=aaT+bb和V-= 球棒-abTand thusV=V++V-= （aaT+bbT）+（baT）-abT）。因此，主相互作用实例V具有下面的g结构：（0）每个x∈ X有一对（ax，bx）权重ax，bx∈ R.（1）两个任意元素之间的对称相互作用x，y∈ X isV+xy=axay+bxby。（2） 任意元素x，y之间的斜对称相互作用∈ X isV-xy=bxay- 阿克斯比。130 8.

相互作用系统和量子模型4。4.合作的量子视角。让N成为一个（有限的）参与者集合和N族coalit离子。从量子的角度来看，N的（薛定谔）态是一个复数向量v∈ WN，它影响概率分布Pvi=|vi |（i∈ N） N.用模糊合作的术语（参见Ex.6.2），PVD描述了模糊联盟：o玩家i∈ N以概率pvi活跃于状态vi。相反，如果w∈ RN是一个非零模糊联盟，其分量概率为0≤ wi≤ 1.向量√w=(√wi | i∈ N） 可以标准化为薛定谔状态=√工作√wks.t.wi=k√wk·| vi |为所有我∈ N.同样地，向量Wn描述了N的联盟之间相互作用的一种特殊状态。观察主成分类型的相互作用V尤其有指导意义。正如我们在上文第二节：量子相互作用中所看到的，V产生了如下结果：（0）N上的相互作用V由两个合作博弈Γa=（N，a）和Γb=（N，b）隐含。（1） 两个联盟∈ N通过v+ST=a（S）a（T）+b（S）b（T）进行对称互动。（2） 两个联盟∈ N通过v对称地相互作用-ST=b（S）a（T）-a（S）b（T）。游戏的数学分析很大一部分遵循游戏理论系统的指导原则o用一个m a主题结构表示系统，用数学方法分析表示，并在原始游戏理论环境中重新解释结果。6.结束语131当一个人在同一个空间中选择一个系统的表示，就像他通常用来表示一个量子系统一样，他会自动进入一个“量子游戏”，即。

e、 ，在一个博弈论环境的量子理论解释下。所以我们通过量子博弈来理解系统S上的任何博弈，它的状态被表示为量子态，让读者在这个更全面的背景下回顾博弈论。6.最后一点：为什么要传递给复数和厄米空间hx而不是欧几里德空间RX×Xif？如果这两个空间都是同构的实希尔伯特空间？其优势在于复数域C的代数结构，例如，它可以产生谱分解（51）。在不诉诸复杂代数的情况下，将他的结构见解转化为环境RX×x并非不可能，但有点“不自然”。当研究系统演化时，另一个优势变得显而易见。在实向量空间的经典情况下，马尔可夫链是系统演化的一个重要模型。事实证明，当人们进入希尔伯特空间的上下文时，这个模型具有相当大的泛化性。这个应用程序roach的博弈论分支在很大程度上尚未被探索。U.FAIGLE和G.GIERZ（2017）：进化系统的马尔可夫统计，进化系统，DOI 10.1007/s12530-017-9186-8附录1。实分析中的概念和事实向量x的欧几里得范数（或几何长度）∈ Rn和组件xj，iskxk=qx+…+xnWriting Br（x）={y∈ Rn | kx- yk≤ r} 对于r∈ R和x∈ Rn，一个su bsetS Rn是（1）有界的，如果存在一些r>0，使得S Br（0）；（2） 每x打开一个if∈ 有一些r>0，使得Br（x） s（3） 如果Rn\\S打开，则关闭；（4） 如果S是闭且有界的，则为紧致。引理A.2（HEINE-BOREL）。s Rn是紧的当且仅当（HB）开集的每个族 这样每x∈ S至少位于一个O∈ O、 可容纳一定数量的集合O，Ol∈ o具有覆盖性oS O∪ O∪ . . .

∪Ol.重要的是要注意，在形成directproducts时，紧致度i保持不变：o如果X Rnand Y Rmare紧集，然后X×Y Rn+不紧凑。函数f:Rn→ 对于所有x，R在S上是连续的∈ S、 一个人总是哈斯利姆→0f（x+d）=f（x）。引理A.3（极值）。如果f在紧集s上是连续的，则存在元素x*, 十、*∈ 这就是f（x）*) ≤ f（x）≤ f（x）*) 适用于所有x∈ s连续函数f:S→ R在op-en集S上是可微的 每个x的Rnif∈ 有一个（行）向量f（x）使得每d∈ 单位长度kdk=1的Rn，一个haslimt→0f（x+td）- f（x）t=limt→0f（x）dt（t）∈ R） 。f（x）是f的梯度。其分量是偏导数：f（x）=f（x）/十、f（x）/xn.不是贝尼。并非所有连续函数都是可微的。2.凸性元素x，…，的线性组合，Xm是形式z=λx+…+的表达式λmxm，其中λ，λmare标量（实数或复数）。当λ+…+时，线性组合z是确定的λm=1和λ，λm∈ R.如果所有标量λ都是非负的，则一个精细组合就是一个凸组合。凸组合的s标度（λ，…，λm）是（m维）概率分布。布景 Rn是凸的，如果它包含每个x，y∈ S也是连接线段：[x，y]={x+λ（y- x） |0≤ λ ≤ 1}  很容易验证直接产品S=X×Y Rn×mis凸ifX Rnand Y 我们是凸集。函数f:S→ R在凸集S上是凸的，如果对于所有x，y∈ 所有标量的沙子0≤ λ ≤ 1，f（x+λ（y）- x） )≥ f（x）+λ（f（y）- f（x）））。这一定义相当于对任何元素x，xm∈ S和概率分布（λ，…，λm），f（λx+…+λmxm）≥ λf（x）+。

+λmf（xm）。如果g=-f是凸的（向上）。一个可微函数f:S→ 开放集上的R Rn是凸的（向上）当且仅当（57）f（y）≥ f（x）+f（x）（y）- x） 为所有的x，y∈ S.3。例如，BROUWER的不动点定理假设f（x）（y）-十）≥ 这是真的吗∈ S、 那么onehasf（x）=miny∈Sf（y）。另一方面，如果f（x）（y）- x） <0对某些人来说是正确的∈ S、 你可以从x向y方向移动一点，然后用f（x′）<f（x）找到一个元素x′。因此，我们有一个关于S上f的极小值的标准：引理a.4。如果f是凸集S上的可微凸函数，那么对于任何x∈ S、 这些状态是等价的：（1）f（x）=miny∈Sf（y）。(2) f（x）（y）-十）≥ 0代表al l y∈ 如果严格不等式在（57）中适用于所有Y6=x，则f称为严格凸。在n=1的情况下（即S R） ，一个简单的准则适用于tw ice可微函数：f i s凸<==> f′（x）≥ 0代表所有x∈ 例如，对数函数f（x）=lnx在开区间S=（0）上严格凹，∞) 因为off′（x）=-所有x的1/x<0∈ S.3。BROUWER的固定点理论是地图f:X的固定点→ X是点X∈ X，使得f（X）=X。通常很难找到一个X点（甚至很难确定是否存在一个固定点）。著名的充分条件由BROUWER给出：定理A.2（BROUWER（1911））。让X Rnbe是凸的、紧的、非空集且f:X→ X是一个连续函数。那么f有一个固定点。证据例如，参见A.GRANAS和J.DUGUNDJI的环切教科书，不动点理论，Springer Verlag 2003。对于Game理论的应用，以下含义是有趣的。推论A.1。让X Rnbe是凸紧非空集，G:X×X→ R在第二个变量中是凹的连续映射，即（C）对于每个x∈ 十、 地图y 7→ G（x，y）是凹的。L.E.J。

BROUWER（1881-1966）然后存在一个点x*∈ 例如g（X*, 十、*) ≥ G（x）*, y） 尽管如此∈ X.证据。我们将从“科罗尔·拉里是假的”这一观点中得出一个矛盾。的确，如果没有x*用声称的财产，然后每个∈ X位于setsO（y）={X的东边∈ X | G（X，X）<G（X，y）}（y）∈ 十） 。因为G是连续的，所以集合O（y）是开集。因此，由于X是紧凑型的，已经有很多覆盖了X的所有部分 O（y）∪ O（y）∪ . . . ∪ O（yh）。为了所有的x∈ 十、 确定参数dl（x） =max{0，G（x，y）l) - G（x，x）}(l = 1.h） 。x至少位于一个集合O（y）中l). 因此，我们有d（x）=d（x）+d（x）+dh（x）>0。现在考虑函数X 7→ ν（x）=jXl=1λl（x） yi（带λ）l= Dl（x） /d（x））。由于G i是连续的，所以函数x 7→ Dl（x） 是连续的。因此，ψ：X→ X是连续的。根据BROUWER定理A.2，φ有一个固定的po intx*= ~n（x）*) =hXl=1λl（十）*)Yl.因为G（x，y）在y和x上是凹的*是它们的精确线性组合l, 我们有g（x）*, 十、*) = G（x）*, ~n（x）*)) ≥hXl=1λl（十）*)G（x）*, Yl).如果推论是错的，那么就有λlG（x）*, Yl) ≥ λl（十）*)G（x）*, 十、*)对于每一个和，以及在至少一种情况下，甚至一个严格不等式λl（十）*)G（x）*, Yl) > λlG（x）*, 十、*),这会产生矛盾的陈述g（x*, 十、*) >hXl=1λl（十）*)G（x）*, 十、*) = G（x）*, 十、*).5.MONGE算法137推论必须是正确的。4.线性不等式本节所述事实也是众所周知的。对于坐标向量x∈ Rn，如果xj=0对所有组件xjof x.x都成立，我们写x=0≥ 0表示x的所有分量都是非负的。现在假设矩阵A中的th∈ Rm×nand向量c∈ Rnand b∈ Rmarigven并定义设置x={x∈ Rn|b-斧头≥ 0}Y={Y∈ Rm | y≥ 0，ATy=c}。然后线性规划的主要定理是：定理A.3。

对于X和Y作为一个前题，下面的陈述是正确的：（1）对于所有的X∈ X和d y∈ 你有：cTx≤ 顺便说一句。（2） x6= 当有元素x时，6=yi正是真的*∈ X安迪*∈ 这样cTx*= bTy*.在数学最优化的术语s中，定理A.3说要么X理论是空的，要么存在元素X*∈ X和y*∈ Y和财产（58）cTx*= 马克斯∈XcTx=miny∈YbTy=bTy*.（58）中的优化问题是所谓的线性规划。5.MONGE算法关于系数向量c，v的MONGE算法∈ 它有两个版本。Primal MONGE算法构造了一个向量x（v），其分量x（v）=vand xk（v）=vk- vk-1（k=2，3，…，n）。对偶MONGE算法构造了一个向量y（c），其分量entsyn（c）=CNYl（c） =cl- Cl+1(l = 1.N- 1).注意：c≥ C≥ . . . ≥ cn==> Yl（c）≥ 0 (l = 1.N- 1） 五≤ 五、≤ . . . ≤ 越南==> xk（v）≥ 0（k=2，…，n）。更多细节可参见，例如，U.FAIGLE、W.KERN和g.STILL，《数学规划的算法原理》，Springer（2002）观察isLEMMA A.5的重要性质。MONGE向量x（v）和y（c）满足Ctx（v）=nXk=1ckxk（v）=nXl=1vlYl（c） =vTy（c）。证据写x=x（v）和y=y（c），注意所有1≤ Kl ≤ n、 x+x+…+十、l= 五、l和yk+yk+1+…+yn=ck和hencenXk=1ckxk=nXk=1nXl=基尼lxk=nXl=1.lXk=1xkyl=nXl=1vlYl.6.熵和玻尔兹曼分布。1.玻尔兹曼分布。给定向量v=（v，…）的配分函数Z。

，vn）表示实数vjt的值z（t）=nXj=1evjt（t∈ R） 。相关的玻尔兹曼概率分布b（t）的分量sbj（t）=evjt/Z（t）>0，并产生期望值函数u（t）=nXj=1vjbj（t）=Z′（t）Z（t）。方差定义为v与u（t）的预期二次偏差：σ（t）=nXj=1（u（t）- vj）bj（t）=nXj=1vjbj（t）-u（t）=Z′（t）Z（t）-Z′（t）Z（t）=u′（t）。一个人的σ（t）>0，除非所有的vjare都等于常数K（因此对于所有的t，u（t）=K）。因为u′（t）=σ（t），我们可以看到u（t）在t中严格递增，除非u（t）i是常数。排列部件，使v≤ 五、≤ . . . ≤ 越南。特林姆→∞bj（t）bn（t）=limt→∞e（vj）-vn）t=0，除非vj=vn，6。熵和玻尔兹曼分布，这意味着bj（t）→ 如果vj<vn，则为0。因此，极限分布(∞) 是v的最大化子上的均匀分布→-∞bj（t）b（t）=limt→-∞e（vj）-v） t=0，除非vj=vand得出结论，极限分布b(-∞) 是v定理A.4的极小值上的一致分布。对于每一个值v≤ ξ ≤ vn，有一个独特的参数∈ R∪ {-∞, +∞} 使得ξ=u（t）=nXj=1vjbj（t）。证据如果v=ξ=vn，则u（t）上的函数是常数，且该断言是微不足道的。在非恒定的情况下，u（t）是严格的单对一且连续的。五、≤ u（t）≤ 越南。因此，对于极值和vn之间的每个规定值ξ，必须精确存在一个u（t）=ξ的t。6.2. 熵。实函数h（x）=x lnx是为所有n个相关实数定义的，并且具有严格递增的导数h′（x）=x+lnx。因此h是严格凸的，满足不等式h（y）- h（x）>h′（x）（y）- x） 对于所有非负的y6=x.h，通过h（x）=h（x，…，xn）=nXj=1xjln-xj扩展到非负实向量x=（x，…，xn）=nXj=1h（xj）.h的严格凸性变成了不等式h（y）- h（x）>h（x）（y）- x） ，带有梯度h（x）=（h′（x）。

，h′（xn））=（x+lnx，…，xn+lnxn）。理解ln 0=-∞ 在x+…+的情况下，0·ln0=0xn=1，非负向量x是集合{1，…，n}上的概率分布，且entropyH（x）=nXj=1xjln（1/xj）=-nXj=1xjln xj=-h（x，…，xn）。我们想证明，玻尔兹曼概率分布是相对于给定期望值具有最大熵的精确分布。定理A.5。设v=（v，…，vn）是实数向量和{1，…，n}上的b theBOLTZMANN分布，分量sbj=Z（t）evjt（j=1，…，n）。对于某些t.设p=（p，…，pn）是具有相同期望值nXj=1vjpj=u=nXj=1vjbj的概率分布。那么一个有p=b或者H（p）<H（b）。证据对于d=p- b、 我们有pjdj=Pjpj-Pjbj=1- 1=0，因此h（b）d=nXj=1（1+ln bj）=nXj=1djln bj=nXj=1dj（vjt- Z（t））=tnXj=1vkdj=tnXj=1vjpj-nXj=1vjbj）= 0.在P6=b的情况下，h的st-ri-ct凸性因此为yieldsh（p）- h（b）>h（b）（p）- b） =0，因此H（p）<H（b）。引理A.6（散度）。让我们，安，p，可以是任意的非负数。ThennXi=1ai≤nXi=1pi==>nXi=1磅人工智能≤nXi=1磅/平方英寸。当ai=P对所有i=1，n、 根据定义！6.熵和玻尔兹曼分布。我们可以假设所有i的pi6=0，并利用众所周知的事实（很容易从对数函数的凹度得出）：Lnx≤ 十、- 1和lnx=x- 1.<=> x=1。然后我们观察到xi=1pilnaipi≤nXi=1pi（aipi- 1） =nXi=1ai-nXi=1pi≤ 因此，X=1磅人工智能-nXi=1piln pi=nXi=1pilnaipi≤ 0.只有当ln（ai/pi）=（ai/pi）时，等式才能成立-1，因此ai=Pi对所有i都适用。

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