在定理2的证明中，x w，考虑mWest-Curmand（34），对于Mg= m（UG），WG= W（UG），Mg= MW（UG），AND的一致性。~ U[0,1]。假设每个+gwere identified.在这种情况下，遵循定理1的逻辑，命题3的必要特征化足以在附加假设4和假设5下表征经验一致的MTE函数集M+。然后，将泛函分解为其群条件分量：Zm（u）w（u）du=XgE[MgWg]·P（G=G），并逐段最大化后，期望的结果类似于定理2的证明。也就是说，与定理2的证明类似的推理产生：Zm（u）w（u）du≤XgE[Q+G（V）QWG（V）·P（G＝G）现在考虑分布的情况。+gis未完全识别，但由引理3建立，即。+GF SD+g、 假设w（u）≥ 0代表所有u，因此alsoQWg（V）≥ 0.结合这些观察结果，得出结论：E[Q+g（V）QWg（V）]≤ E[Q+g（V）QWg（V）]对于每个g。通过定义mw，对于每个g，右侧等于E[MgWg]，因此：Zm（u）w（u）du≤Zmw（u）w（u）Dum适用于所有人∈ M+。最后，潜在的群体条件治疗效应+引理3证明了上界的锐度。关于下限的一个论证也类似地展开。命题5的证明。首先，观察到按降序聚合分位数的“反向”积分分位数函数可以表示为：ZqQX（v）dv=E[X]是有用的- IX（q）（49）对于任何可积X和q∈ [0,1]因为qx（v）dv=E[X]。命题3和引理3的结合意味着：IMTE（Ug）（q）≥ 我+g（q）≥ 我+g（q）（50）代表所有q∈ [0,1]，通过SSD的定义，以及FSD是一种更强的排序（即FSD意味着SSD）。

此外，上述结果的组合意味着：E[MTE（Ug）]- IMTE（Ug）（q）≤ E[+g]- 我+g（q）≤ E[+g]- 我+g（q）（51）第一个不平等源自平均数和平均数的平等；通过（49），第二个不等式等价于：ZqQ+g（v）dv≤ZqQ+g（v）由消防处提供。现在考虑总是处理的参数值，即P∈ [0，p]。通过增加和减少重排，它必须是：ZppQMTE（Ua）P- 向上的杜≤ZppMTE（u）du≤ZppQMTE（Ua）向上的同样地，通过改变变量并调用（49），p·IMTE（Ua）P- 聚丙烯≤ZppMTE（u）du≤ p·E[MTE（Ua）]- IMTE（Ua）聚丙烯然后调用不等式（50）和（51）意味着：p·I+A.P- 聚丙烯≤ZppMTE（u）du≤ p·E[+a]- 我+A.聚丙烯将这些界限与“y（p）=”y（p）这一事实结合起来-RppMTE（u）du则在所有治疗组中产生预期结果，p∈ [0，p]。类比推理得出从未处理过的问题之间的界限，p∈ [p，1]。complier界也是类似的，但引用了（50）和（51）中更强的不等式。最后，引理3给出了这些边界的一致锐度。命题6的证明。为了对假设进行排序，假设强版本（假设6b）成立，让Vd，x~ （Vd | X=X）和Vd=FVd，X（Vd）。由于Vand Vare条件相同分布，这进一步意味着FV0，X（·）=FV1，X（·）。此外，利用斯科罗霍德雷的表述，即QYd，x（q）=QYd（QVd，x（q）），可以得出如下结论：QYd，x（~Vd）=QYd（QVd，x（FVd，x（Vd）））a.s.=QYd（Vd）=Yd QYd（Vd）=Yd QYd。第一个可测试的含义（36）紧接着引理1。对于第二个含义，首先要注意的是，如果潜在的结果不是连续的，那么rankrandom变量Vdorvd不一定是唯一的，但任何可能的秩变量都会导致相同的结果。

因此，这一含义直接来自于对各自共单调效应的定义，以及强秩不变性假设意味着弱版本的事实。C与治疗效果分布的关系本附录提供了两个反例，说明i）二阶界限（20）和ii）一阶和二阶界限（19）和（20）的组合都不是治疗效果的特征。此外，本附录提供了一个简单的例子，其中分位数函数边界问题的MTE松弛提供了不同但仍然直观的答案。对于一对反例，它考虑了p（yd＝y）＝1／2（d，y）的情况。∈ {0, 1}. 在这种情况下，每一种已实现的治疗效果都属于这个群体{-1, 0, 1}.因此，可行分布函数F由它们在三个点上的值总结而成(-1） ，F（0），F（1））。事实上，与一阶马卡洛夫边界F对应的分布函数也是如此L=（0，1/2，1）和FU=（1/2,1,1），以及二阶边界F-= （1/2,1/2,1）和F+= (0, 1, 1). 对于二阶边界，积分分布函数（IDF）~I（·）由以下公式给出：+（δ） =（0表示δ）∈ [-δ的1,0）δ∈ [0,1]和I-（δ） =δ+1或δ∈ [-1, 1]. （52）对于第一个反例，考虑：F（δ）=（对于δ∈-1.δ为1∈, 1.对于δ，I（δ）=（δ+1∈-1.δ代表δ∈, 1.这种分布满足二阶关系（20），因为IDF在点方向上受（52）中极值IDF的限制。然而，它不满足必要的第一阶马卡洛夫边界（19）。

对于第二个反例，考虑：F（δ）=0表示δ∈-1.-对于δ∈-,δ为1∈, 1.带＠I（δ）=0表示δ∈-1.δ +对于δ∈-,δ代表δ∈, 1.该分布满足一阶和二阶条件（19）和（20），但其质量点不在集合中{-1, 0, 1}. 因此，这不是一个可行的治疗效果分布。最后一个例子，回想一下（18）中的基尼系数，在非零均值的情况下，基尼系数有一个简单的分位数函数表达式。表示为分位数函数Q的函数Φ（·）,Φ（Q）) = 1.-E[]ZZqQ（u） du dq（53）由于基尼系数是Stoye（2010）意义上的一个扩散参数，因此根据Fan和Park（2010）的观察，在极端情况下，治疗效果的基尼系数上下限定（并达到）其值，其中治疗效果分别是完全反单调和共单调的。现在考虑Gini泛函席（*）超可行MTEM函数M的最大化和最小化的问题∈ M*. 松弛最大化问题仍然恢复了反单调上界；相比之下，放松下限等于零，即当边缘治疗效果均匀时获得的值。通常这严格低于分位数函数的下界。尽管如此，零直觉分布的下限——每一对边际分布都与恒定的边际治疗效果相一致，但许多这样的结果都能实现最小的事前分散——即个体预期（而非实现）治疗效果的分散。因此，放松的下限捕获是一个有趣的特性，尽管与最初的兴趣范围不同。配对与持续的治疗效果不一致。例如，假设P（Y=Y）=1/2表示Y=0，1和P（Y=1）=1。