（2010, 2011）考虑一系列随机外生策略{p*w} w∈Wandde Fine MPRTE（w）=limw→0（E[Y*w]- E[Y]*])/（E[D]*w]- E[D]*]), P在哪里*= pZ。定义上的差异与脚注18中讨论的区别一致。如（10）所示，这种随机变量最容易根据其分位数函数定义。让Yd，g，x~（Yd | G=G，X=X），-g，xd=QY1，g，x（V）- QY0，g，x（1）- V）在哪里~ U[0,1]。例如，人们可能会假设，在跨协变量的政策中，治疗所占的比例会增加或改变。这在精神上与Carneiro等人（2010年、2011年）研究的例子类似，只是限制适用于所有（而非有条件的）协变量。4.2等级相似性下一个扩展说明了如何使用前面的框架和结果（急剧）适应关于结果联合分布的额外假设。这些假设解决了基本模型中尖锐界限背后的一个鲜明特征：在观察到治疗和未治疗结果分布的参与者之间，治疗效果可能是完全反单调的，而在非参与者中，治疗效果根本不受限制。同样明显的是，假设潜在结果的联合分布——以及治疗效果的分布——是已知的。与反事实加权处理效应相比，这些知识可以显著提高推理的质量。然而，由于治疗效果与选择治疗的倾向之间的关系仍存在不确定性，这一点可能还不能确定所有这些影响。等级相似性或不变性是关于潜在结果联合分布的一个强有力但通常合理的假设，它清楚地说明了这些改进和局限性。

Chernozhukov和Hansen（2005）之前对这两种假设的识别能力进行了研究，他们专注于在可能采用非二元处理和不可分离选举规则的广义环境中识别人群潜在结果分布。这些较弱的假设有助于确定人口分位数，但无法确定（更不用说确定）政策相关参数，如MTE函数得出的参数。本文的贡献是将秩相似性和不变性假设急剧纳入潜在指数选择框架，该框架允许i）部分识别加权处理效果（w）超过平均处理效果，以及ii）放松之前在第5节的实证应用中违反的连续性假设。假设4（等级相似性或不变性）。a、 如果d=0，1存在满足Yd=QYd（Vd）的秩变量Vd，且在U上分布相同，则潜在结果满足秩相似性。b、 如果秩变量相等，则潜在结果满足秩不变性：V=V。秩相似性理论上弱于秩不变性，因为它允许秩中的随机滑动，条件是选择不可观察的U。然而，这两个假设的经验内容是相同的，因为在秩相似下总是存在秩不变的极值数据生成过程。具体而言，通过以下方式（在原始概率空间上）定义“仿佛”共单调治疗效果：+= QY（V）- QY（V）这种共单调处理效应与秩不变性一致，并且随机地在秩相似性下建立可行的MTE函数，类似于定理1中的反单调处理效应。为了正式陈述和证明这个结果，将群g-条件随机向量的旋转推广到Vdand+.

然后：正如Chernozhukov和Hansen（2005）所讨论的，分位数或Skorokhod表示没有普遍性的经验损失，因为i）根据假设1，研究人员只观察数据的分布，i）对于任何分布函数，例如存在随机变量和表示；参见威廉姆斯（1991）的第34页。因此，共单调治疗效应与分位数治疗效应（QTE）QY（t）密切相关- QY（t），t∈ [0,1]，其早期配方可追溯到莱曼（1974）和多克萨姆（1974）。然而，对于随后的推导，重要的是，共单调处理效应被定义为原始概率空间上的随机变量（也与之前定义的反单调处理效应形成对比）。命题3（关于MTE函数、秩相似性的必要条件）。在假设2和假设4a下，MTE函数满足：E[MTE（Ug）]=E[+g] （27）MTE（Ug）固态硬盘+g（28）每组g∈ {a，c，n}。命题3让人想起定理1，但并不寻求在附加秩相似性假设下刻画尖锐的候选MTE函数集。事实上，如果每个+从数据中识别出GIS，然后从类似于定理1的证明的论点和秩相似度不对任何不可观测的损坏和处理E组内的任何进一步的联合约束的事实进行讨论。现在考虑组条件共单调处理的分布的标识。+g、 鉴于相同的数据（假设1），Chernozhukov和Hansen（2005）推导出了能够识别潜在结果分布的矩条件，从而确定潜在结果的分布+, 低等级相似性和一个额外的假设，即潜在结果是连续的。

为了超越潜在指数选择模型中的编译器，我引入了另一种识别策略，该策略利用选择规则（1）的加法结构来适应离散响应和质量点。例如，这对于第5节的实证应用非常有用，因为大多数实验参与者从不去急诊室，因此结果为零。替代识别策略本质上依赖于最近指数选择模型的附加结构，是从编辑者那里推断出来的。从编译器推断包括三个步骤。首先，编译器之间潜在结果分布的知识对人群以及任何其他亚人群的治疗和未治疗分位数函数施加了限制。这些限制可以总结为潜在结果的分位数-分位数（QQ）图，针对人群定义为：QQ={（QY（q），QY（q））：q∈ [0,1]}（29）在子组g中，通过用组条件分位数函数替换总体分位数函数，定义一个类似图QGBG。下一个结果建立了complier QQcplot对秩相似下的总体施加的限制。引理1。在假设2和假设4a下，关于U可测量的任何事件的条件分位数分位数图是总体QQ图的子集。对于编译器，QQc QQ。为了简化剩下的论述，我还做了一个额外的支持假设，以确保总体QQ图与编者完全相同，即QQc=QQ。假设5（编译器之间的全面和封闭支持）。

潜在结果的编者分布和总体分布具有相等且封闭的支持：QYd，c（[0,1]）=QYd（[0,1]）。编者之间的协同效应+甚至在基本模型（假设2）中，根据编译器分位数函数的知识识别CI。参见Abadie等人（2002年）对编者中局部QTE的研究，重点是合并协变量。或者Imbens和Angrist（1994）的经验等效单调性模型。这个假设并不假定或暗示潜在结果的连续性，它主要是为了技术上的便利。在第二步中，编者QQcplot中的限制条件与对一个潜在结果分布的了解相结合，这些潜在结果分布是一直没有得到（部分地）恢复另一个之前未确定的潜在结果分布。也就是说，定义编译器外推的分位数界限：QYd，g（q）=sup{yd：（y，y）∈ QQc，y1-d=QY1-d、 g（q）}（30）QYd，g（q）=inf{yd：（y，y）∈ QQc，y1-d=QY1-d、 g（q）}（31）表示所有q∈ [0, 1]. 然后：引理2。在假设1、假设2、假设4a和假设5下，所有分位数函数都满足编译器外推的分位数界限：QYd，g（q）≤ QYd，g（q）≤ QYd，g（q）代表所有的q∈ [0, 1]. （32）对于（d，g）的界是一致锐利的∈ {（0，a），（1，n）}和BoundsCross群的任何组合都可以通过人口中的单个数据生成过程联合实现。在秩相似性（假设4a）下，识别的QQcplot用作字典，使用基本模型中识别的分位数函数恢复缺失分位数函数的逐点边界。

如果潜在结果是连续分布的，那么字典是一对一的，所有组条件潜在结果分位数函数都是点识别的。最后，在第三步中，在秩不变的情况下，即通过匹配分位数，获得组条件共单调治疗效果分布的界。修正~ u（0, 1）并考虑具有下列分布的随机变量：+cd=QY1，c（V）- QY0，c（V）d=+C+ad=QY1，a（V）- QY0，a（V）+ad=QY1，a（V）- QY0，a（V）+nd=QY1，n（V）- QY0，n（V）+nd=QY1，n（V）- QY0，n（V）在每组中，在基本潜在指数选择模型中至少识别出一个分位数函数，并从引理2中获得另一个分位数函数的统一边界。下面的一阶优势关系由引理2的（32）直接表示。引理3。在假设1、假设2、假设4a和假设5下，群体条件共单调治疗效应的范围为：+GF SD+GF SD+g（33）对于每个群体，边界都是一致的，并且通过群体中的单个数据生成过程，可以跨群体共同实现。引理3的边界有几个用途。首先，他们将定理2中WTE（w）的锐界推广到秩相似的潜在指数选择模型。支持假设的有效性通常是一个经验性问题，当员工的潜在结果考虑了所有可能的值时，这个问题就会得到肯定的回答。例如，在二进制结果的最简单的非平凡情况下，很容易验证两种可能的实现是否有时都会发生。命题4（WTE泛函的界，秩相似性）。

在假设1、假设2、假设4a和假设5下，w（·）的WTE（w）的锐界≥ 0由一对解mw获得，mw满足：mw（Ug）d=+gmw（Ug）d=+gandw（Ug）和mw（Ug）是共单调的，而mw（Ug）是反单调的（34）∈ {a，c，n}。具有非负权重的泛函的界是在共单调处理效应的极值识别分布下得到的。命题4相对于定理2的一个重要特征是，它为具有非负权重的所有有限泛函WTE（w）提供了有限界，而不仅仅是编译器中具有非零权重的泛函。这是因为等级相似性有助于从基本模型中集体确定潜在结果的编译器中进行真正的推断。引理3的界也可以与命题3结合，以获得秩相似下反事实平均数的统一严格界。命题5（反事实平均数的一致锐利界限，等级相似性）。在假设1、假设2、假设4a和假设5下，反事实平均函数y（p）的一致锐界由以下公式给出：- p·他[+a]- 我+A.聚丙烯i′y（p）+（p- p） ·我+CP-聚丙烯-Py（p）+（1）- p） ·我+NP-p1-P≤ “y（p）≤“y（p）- p·I+A.P-聚丙烯为了p∈ [0，p]-y（p）- （p- p） ·我+CP-聚丙烯-P为了p∈ [p，p]-y（p）+（1）- p） ·他[+n]- 我+N1.-p1-Pifor p∈ [p，1]反过来，一致尖锐的边界对反作用函数施加了一个必要条件。这就产生了一个简单的测试，测试潜在指数选择框架内的等级相似性和进一步假设是否共同一致。因此，例如，在第5节的实证应用中，我发现等级相似性与Brinch et al.（2017）的线性假设不一致的提示性证据。

换句话说，线性外推不能由秩相似或不变的过程生成，即使这样的分布假设在卫生支出的情况下可能是合理的。秩相似性也可以以观察到的协变量X为条件（以及假设2）。区分两种配方很有用。假设6（条件秩相似性）。让Yd，x~ （Yd | X=X），a.如果d=0，1存在满足Yd=QYd，X（~Vd）且在（U，X）上分布相同的条件变量，则潜在结果满足弱条件秩相似性。b、 如果d=0，1存在满足Yd=QYd（Vd）且在（U，X）上分布相同的秩变量，则潜在结果满足强条件秩相似性。值得注意的是，命题5的界的一致锐度依赖于假设5的充分支持条件。如果没有它，则必须推广边界分位数定义（30）和（31），然后推广下限或上限下的极值共单调效应，例如：。+而且+n、 可能再也无法通过一个级别类似的数据生成过程共同实现。尽管如此，逐点锐度还是需要满足感兴趣的必要条件。命题4中也没有出现这个问题，因为在这种情况下，潜在的极端共单调效应会产生影响，例如：。+而且+对于上限，仍然可以共同实现。第一个版本的条件秩相似性（假设6a）将之前的无条件秩相似性（假设4a）施加在每个子种群X=X内。与递减扩展（第4.1小节）一样，同样的分析随后在子种群内进行。

将各亚群进行聚合，通过以下方式（在原始概率空间上）确定卵巢条件性共单调效应：+\'x=QY1，x（~V）- QY0，X（~V）在假设3下，群体和协变量条件共单调效应+g、 \'x~(+\'x | G=G）约束可行的MPRTE函数集，如群条件单调效应+GCONS在命题3中训练了MTE函数。然而，在基本模型中变量信息锐化了边界的情况下，弱条件秩相似性放松了相对于无条件秩相似性假设的边界，因为协变量条件共单调效应在基本模型中是可行的，因此调用（20）意味着：+g、 \'x固态硬盘+所有g∈ {, a、 c，n}（35），其中g= 用于表示无条件情况。第二个版本的条件秩相似性（假设6b）在理论上比无条件秩相似性（假设4a）强，因为它在（X，U）的相对较佳实现上条件秩分布相等。然而，由于治疗效果+满足无条件秩不变性（假设4b）是可行且极端的。在任何一种情况下，条件秩相似性的第二种版本在实践中都没有赋予相对于无条件秩相似性的额外识别能力。顾名思义，条件等级相似性的第二个版本也比第一个版本更强。相关地，强条件秩相似性（假设6b）可通过协变量信息进行检验[Dong和Shen（2018），Frandsen和Lefgren（2018）]。目前的框架提出了两个新的、尽管相关的、可测试的含义。命题6（条件秩相似性）。条件等级相似性的强版本（假设6b）意味着弱版本（假设6a）。此外，在假设2下，强版本意味着限制：QQg，x QQ（36）和：+g、 \'xd=+G

（37）对于g组={, a、 c，n}和协变量实现x。第一个含义（36）要求实现x上的条件QQc，xplot必须位于R中的一条完全有序曲线上，该曲线可通过识别的协变量条件分位数进行测试，例如在编译器之间。这基本上是董和沈（2018）应用于潜在结果而非潜在结果的主要可测试含义。第二个含义（37）要求（35）在分配上保持平等。这意味着在弱条件秩相似性和无条件秩相似性下，编译器之间的一致边界相等。因此（37）可以在研究中进行直观评估。Dong和Shen（2018）的主要可测试含义是，在协变量条件下，等级分布在整个治疗状态中是平等的。这意味着QQ图关系，在他们假设潜在结果是连续的情况下，相反的含义也是正确的。结果测试的一个优点是，分位数-分位数图是唯一的，即使秩变量不是唯一的，就像潜在结果不是连续的一样。第3.3小节中建议的图形图，并在第5节中根据经验实施。接下来我来看看这个实证应用。5实证应用本节使用俄勒冈州健康保险实验（OHIE）[Finkelstein（2013）]的公开可用数据，应用前面章节的方法和框架。2008年，俄勒冈州一群没有保险的低收入成年人通过随机抽签获得了申请医疗补助的机会。这项实验提供了一个独特的机会，可以在彩票监管者中确定健康保险对各种结果的因果影响。

同时，利用这些数据来告知政策利益的许多问题——例如，为类似覆盖收取费用的潜在影响，或“全民医保”等拟议扩张政策的潜在影响——需要插值或外推超出点识别的当地平均治疗效果。因此，采用本文提出的方法是非常有吸引力的。具体而言，我参与了医疗补助对急诊室（ER）利用率影响的研究。急诊室是一种昂贵的医疗服务，当用于非紧急情况时，是一种高效的医疗服务形式。此外，扩大医疗保险覆盖范围对急诊室利用率的影响在理论上是模糊的：医疗保险同时降低了急诊和非急诊护理的成本，并可能直接影响健康结果。综上所述，医疗补助扩大对紧急护理的影响是一个重要的实证政策问题。Taubman等人（2014年）和Kowalski（2016年）曾在OHIE的随机对照环境中研究过医疗补助对急诊室利用率的影响。Taubman等人（2014年）发现医疗补助登记对急诊室就诊次数有积极的因果影响。在广泛的就诊类型、条件和亚组中，这些影响都是显著的（相对于对照组，约为40%）。Kowalski（2016）在边际结果单调性和线性的附加假设下，通过评估晚期的外部有效性，并对三种ER利用结果进行各种与政策相关的推断，扩展了这一分析。三种ER利用结果包括参与者是否访问ER、ER访问次数和ER总费用。

下一段将更详细地讨论这些之前的发现，以便与myown进行比较。Kowalski（2016）发现，在边际结果单调性下，数据与所有ER利用结果的外部有效延迟一致。根据Brinch et al.（2017）的强线性假设，MTE功能是点识别的，并且治疗倾向在下降，这表明那些更有可能选择保险的人的预期治疗效果更高。对于所有ER利用结果，MTE（u）对所有经常服用者都是积极的，而对所有或大多数从不服用者都是消极的。此外，线性外推预测，进一步扩大医疗补助覆盖范围到未接受治疗的人群（他们要么不符合资格，要么会选择不参加实验性医疗补助扩展）将在该亚群体中产生负的当地平均治疗效果。这与编撰者（根据扩展计划获得资格并加入医疗补助计划的编撰者）中确定的正平均效果，以及一直接受治疗者（已经获得医疗补助计划的编撰者）中预测的更大的正治疗效果形成对比。因此，线性外推具有重要的政策含义。最后，Kowalski（2016）发现了一些证据，表明在ER电荷的情况下，功能形式是错误的：线性意味着45%的样本的边际治疗结果为负，这是不可能的，因为ER电荷本质上是非负的。本分析建立在前面工作的基础上，如下所示。首先，合并分布而不仅仅是平均值在基本的latentindex选择模型中产生了尖锐的插值边界，例如对应于编译器减少10%的latentindex（p，0.9p+0.1p）（表1中提供了文本中引用的所有治疗效果的边界）。

这种插值与政策有关；例如，如科瓦尔斯基（2016）所讨论的，政策制定者可以考虑为彩票优胜者提供接受折扣而不是免费保险覆盖的机会，诱导一些实验性的编辑降低覆盖率。插值是有限的，不需要进一步的假设，并且随着约束可行极值分布的协变量信息而改善。Mogstad等人（2018年）现有的平均一致性方法仅恢复了二元ER就诊结果的尖锐边界，因为二元结果分布是通过其平均值进行总结的。对于其他结果，一些平均插值仍然是可能的，因为潜在结果在Yd以下有界≥ 0; 否则，存在具有任意离散度的平均一致性分布，因此在没有进一步假设的情况下，不可能使用现有方法进行有限插值。第二，合并分布允许将进一步的分布假设，例如（条件）秩相似性，合并到潜在指数选择模型中。在OHIE背景下，如果那些在没有保险的情况下具有相对较高的资源利用率的人在有保险的情况下也具有相对较高的资源利用率，则等级相似性是令人满意的。内质网利用结果的一致性发现是，对未经治疗的患者进行外推，得出非负的反事实平均治疗效果（p，1）。这与线性外推法形成了鲜明对比，线性外推法预测未接受治疗的患者的平均治疗效果为负。对于ER就诊结果的指标和数量，无条件秩相似性可以更有力地预测MTE函数几乎为正，因为编译器分位数函数在其域上的排名是一致的。

因此，部分外推，如后期（p，p+0.1（p- p） ）对应于编译器的10%扩展，对于两个离散的ER结果，也被限制在零以下。对于总的ER费用结果，编译器分位数函数未排名这一事实意味着一些参与者的已实现治疗效果为负；因此，一些反事实的平均效应也可能是负的。然而，从未接受过治疗的受试者的迟发效应（p，1）甚至大于编者的迟发效应（p，p），但小于长期受试者的迟发效应（0，p）。这与较弱的边际结果单调性假设不一致。之所以出现非单调性，是因为（条件）秩相似性预测，处于总电荷分布最上端的实验参与者具有较大的正处理效应，这占了大部分平均效应，而且这些参与者在未处理组中的代表性比在编者中更高。而公开的OHIE数据包括24646项观察结果，这些观察结果对应于生活在一个邮政编码中的彩票进入者，那里的居民几乎只使用收集医院使用数据的12家医院中的一家。根据Kowalski（2016）的分析，为了保持内部有效性，我进一步限制了19643名进入者的子样本，他们是家庭中唯一的进入者。应该注意的是，公共使用数据中的变量已被审查和截断，以限制参与者的身份；然而，科瓦尔斯基（2016）的分析表明，这不应显著影响得出的结论。

由于我在与Kowalski（2016）相同的子样本中研究了相同的ER结果，读者们参考了她的经验分析，以获得一组汇总统计数据，并详细研究了不同治疗组的结果和可观察特征。最后，为了保持对识别的关注，省略了标准错误，以下陈述基于点估计，无统计学意义。在方法学上，所提出的识别方法利用潜在指数选择模型的附加结构（部分）识别分布，即使两个ER结果是离散的，且所有结果的质量点都为零。由于结果是不连续的，切尔诺朱科夫和汉森（2005）之前的鉴定结果不适用。具有如此高离散度的分布的估计平均值是有噪声的，这些估计仍然表明了一个合理的外推故事，它与通过函数形式假设得到的故事有根本不同。第三，等级相似性假设下的界限提供了误判的新证据。如图1所示，在总电荷的线性假设下获得的MTE函数过于分散，不可能由编译器之间的（有条件地）秩相似数据生成过程生成。因此，线性和等级相似性假设似乎并不一致。更一般地说，这说明了分布信息本身如何拒绝函数形式假设，即确定感兴趣的函数参数，如推论3所示。此外，图1中的统一界限提供了命题6中形式化的无条件秩相似性的规格测试。

在这种情况下，急诊室就诊次数的无条件和条件等级相似界限的明显差异为该结果提供了一些无条件等级相似的提示性证据；然而，对于二元就诊结果而言，此类证据并不存在，而对于总就诊结果而言，此类证据似乎更为有限。这些观察结果的统计形式化留待未来的工作。最后，在图1的统一范围内，简要总结了前面的见解，以及在不同的辅助假设中清晰界定所有加权处理效应WTE（w）所需的数据特征。因此，提出的方法为潜在指数选择模型中治疗效果的部分识别提供了一个总体框架。6结论本文刻画了可行MTE函数集的特征，并推导了潜在指数选择模型中加权平均治疗效果的尖锐、封闭的形式界限[Heckmand Vytlacil（1999，2005）；Vytlacil（2002）]。潜在指数选择模型是一种常用的真实变量识别框架，在许多实证环境中，它定义了比其识别更大的参数类别。例如，在俄勒冈州医疗保险实验的实证环境中，研究人员或政策制定者可能对扩大保险覆盖范围收取费用的效果感兴趣，或者对扩大覆盖范围到更多人口的效果感兴趣。本文的一个主题是，潜在指数选择模型的经验内容的鲜明特征充分利用了确定的边际分布。此外，这种分布信息有助于将新的辅助消费编码到潜在指数框架中，这可能会产生与仅使用平均值的假设截然不同的预测。未来的工作有几个有趣的可能性。

一种是（急剧地）将其他辅助分布假设纳入模型。另一个是研究边界的解析表达式是否可以用来简化统计推断的结果。最后，也是最普遍的，研究本文中的分析工具和结果如何用于在广义模型中获得尖锐、封闭的结果将是一件有趣的事情，这些模型放松了治疗决策的二元性或潜在指数选择规则的结构。参考Sabadie，A.（2002年）。“仪器变量模型中分布治疗效应的自举测试。”《美国统计协会杂志》，97（457）：284-292。Abadie，A.，Angrist，J.，和Imbens，G.（2002）。“工具变量估计补贴培训对学员收入分位数的影响。”《计量经济学》，70（1）：91-117。Angrist，J.D.，Imbens，G.W.，和Rubin，D.B.（1996）“使用工具变量识别因果效应。”《美国统计协会杂志》，91（434）：444-472。巴尔克，A.和珀尔，J.（1997）。“不完全符合研究对治疗效果的限制。”《美国统计协会杂志》，92（439）：1171-1176。A.比约克隆德和R.莫夫特（1987年）。“自我选择中工资收益和福利收益的估计。”《经济学与统计学评论》，69（1）：42-49。C.N.布林奇、M.莫格斯塔德和M.维斯沃尔（2017年）。“再晚些时候用谨慎的仪器。”政治经济学杂志，125（4）：985-1039。Carneiro，P.，Heckman，J.J.，和Vytlacil，E.J.（2010）。“估算教育的边际回报。”《美国经济评论》，101:2754-2781。Carneiro，P.，Heckman，J.J.，和Vytlacil，E.J.（2011）。“评估边际政策变化和边际个体的平均治疗效果。”计量经济学78（1）：377-394。Chernozhukov，V.，Fern\'ndez Val，I.，和Galichon，A。

(2010). “不交叉的分位数和概率曲线。”《计量经济学》，78（3）：1093-1125。Chernozhukov，V.和Hansen，C.（2005年）。“分位数治疗效果的IV模型。”《计量经济学》，73（10）：245-261。Doksum，K.（1974）。“两个样本情况下非线性模型的经验概率图和统计推断。”《统计年鉴》，2:267-277。董永和沈南生（2018）。“程序评估中的等级不变性或相似性测试。”《经济学与统计学评论》，100（1）：78-85。Einav，L.，Finkelstein，A.，Ryan，S.P.，Schrimpf，P.，和Cullen，M.R.（2013）。“选择医疗保险中的道德风险。”《美国经济评论》，103（1）：178-219。范和朴（2010）。“治疗效果分布及其统计推断的严格界限。”计量经济学理论，26:931-951。Finkelstein，A.（2013）俄勒冈州医疗保险实验公共使用数据。可用的https://www.nber.org/oregon/1.home.html.Firpo，S.和Ridder，G.（2019年）。“治疗效果分布及其功能的部分识别。”《计量经济学杂志》，210-234。Frandsen，B.R.和Lefgren，L.J.“测试等级相似性。”《经济学与统计学评论》，100（1）：86-91。Frangakis，C.E.和Rubin，D.B.（2002年）。“因果推理中的主要分层。”生物特征学，58（1）：21-29。Galichon，A.（2016）。经济学中的最优运输方法。普林斯顿大学出版社。Gastwirth，J.L.（1971年）。“洛伦兹曲线的一般定义。”《计量经济学》，39（6）：1037-1039。Hardy，G.H.，Littlewood，J.E.，和P\'olya，G.（1929）“凸函数满足的一些简单不等式。”信使数学。58: 145-152.Heckman，J.J.和Robb，R.“评估干预影响的替代方法。”(1985). 计量经济学杂志，30:239-267。Heckman，J.J.，Smith，J.，和Clements，N.（1997）。

“充分利用项目评估和社会实验，解释项目影响的异质性。”经济研究综述，64:487-535。Heckman，J.J.和Vytlacil，E.J.（1999年）。“用于识别和界定治疗效果的局部工具变量和潜变量模型。”过程。纳特尔。阿卡德。Sci。，96: 4730-4734.Heckman，J.J.和Vytlacil，E.（2000年）。“局部工具变量。”NBER工作文件第252号。Heckman，J.J.和Vytlacil，E.（2001）“与政策相关的治疗效果。”《美国经济评论》P&P，91（2）：107-111。Heckman，J.J.和Vytlacil，E.（2005年）。“结构方程、治疗效果和经济计量政策评估。”《计量经济学》，73（3）：669-738。Imbens，G.W.和Angrist，J.（1994）。“识别和估计局部平均治疗效果。”《计量经济学》，62（2）：467-475。Imbens，G.W.和Rubin，D.B.（1997年）。“在工具变量模型中估算编译器的结果分布。”经济研究综述，64（4）：555-574。杰维特，I.（1989）。”在风险前景之间选择：比较静力学结果的表征和位置独立风险。”管理科学，35（1）：60-70。工具独立性下潜在结果分布的识别区域工作文件（2009年）。科瓦尔斯基，A.（2016）。“迟到时多做些事：在实验中应用边缘治疗效果方法来检查治疗效果的异质性。”NBER工作文件22363。克莱恩，P.和沃尔特斯，C.（2019年）。“关于Heckits、LATE和数字等价性。”《计量经济学》，87（2）：677-696。莱曼，E.L.（1974）。非参数：基于等级的统计方法。霍尔顿戴恩公司。，旧金山、CA. Lee、D.S.（2009）“培训、工资和样本选择：估计治疗范围的尖锐界限”。经济研究综述，76（3）：1071-1102。梅奇纳，M.和普拉特，J.（1997）。

“风险增加：一些直接施工。”《风险与不确定性日记》，14:103-127。马卡洛夫（1981）。“当边际分布固定时，两个随机变量之和的分布函数的估计。”概率论及其应用，26:803-806。曼斯基，C.F.（1989年）。“选择问题的剖析。”人力资源杂志，24:343-360。曼斯基，C.F.（1990年）。“治疗效果的非参数界限。”《美国经济评论》，论文与会议记录，80（2）：319-323。曼斯基，C.F.（1994年）。“选择问题。”在C.Sims主编的《计量经济学进展》，第六届世界大会，第一卷。剑桥：剑桥大学出版社，第143-170页。曼斯基，C.F.（2003年）。概率分布的部分识别。纽约：斯普林格·维拉格。Marshall，A.W.，Arnold，B.C.，和Olkin，I.（2011）。不等式：多数化理论及其应用。斯普林格。马克思，P.（2019）。“在编译器内部和外部：工具变量模型中的尖锐界限。”工作文件。Mogstad，M.，Santos，A.，和Torgovitsky，A.（2018）。“使用工具变量推断与政策相关的治疗参数。”《计量经济学》，86（5）：15891619。Muliere，P.和Scarsini，M.（1989年）。“关于随机优势和不平等测度的注记。”《经济理论杂志》，49（2）：314-323。M¨uller，A.和R¨uschendorf，L.（2001年）。“关于一般依赖结构诱导的最佳停止值。”应用概率杂志，38（3）：672-684。Ogryczak，W.和Rusczy\'nski，A.（2002年）。“双重随机优势和相关平均风险模型。”暹罗优化杂志，13:60-78。罗斯柴尔德，M.和斯蒂格利茨，J.E.（1970）。“风险增加：I.定义。”经济理论杂志，2:225-243。M.Shaked和Shanthikumar，J.G.（2007年）。随机命令。斯普林格科学与商业媒体。斯托耶，J.（2010）。

“传播参数的部分识别。”数量经济学，1:323-357。陶伯曼，S.L.，艾伦，H.L.，赖特，B.J.，贝克，K.，和芬克尔斯坦，A.N.（2014）。“医疗补助增加了急诊科的使用：来自俄勒冈州健康保险实验的证据。”《科学》343（6168）：263-268。Vytlacil，E.（2002年）。“独立性、单调性和潜在指数模型：等价结果。”《计量经济学》，70（1）：331-341。威廉姆斯（1991）。“鞅的概率。”剑桥大学出版社。经验表和图表模型参数均值基础协变量条件秩Sim。排名模拟。结果：访视ER，协变量：前期访视ER，N=19643晚期（0，p）[-0.45, 0.55] [-0.45, 0.55] [-0.45,0.55][0,0.55][0,0.55]{0.13}晚（p，p）{0.05}{0.05}{0.05}{0.05}{0.05}晚（p，1）[-0.31, 0.69] [-0.31, 0.69] [-0.31, 0.69] [0, 0.69] [0, 0.69] {-0.10}晚（p，p- 0.1（p- p） )[-0.05, 0.17] [-0.05, 0.17] [-0.06,0.17][0,0.06][0,0.06]{0.06}晚（p，p+0.1（p- p） )[-0.04, 0.14] [-0.04, 0.14] [-0.05,0.14][0.05,0.14][0.05,0.14]{0.05}后期（0,1）[-0.24, 0.50] [-0.24, 0.50] [-0.24, 0.50] [0.01, 0.50] [0.01, 0.50] {-0.02}小组B.结果：急诊就诊次数，协变量：前期急诊就诊次数（截断为10次），N=19615次（0，p）(-∞, 1.88] (-∞, 1.88] (-∞, 1.88] [0.12, 0.63] [-0.18,0.44]{0.55}晚（p，p）{0.27}{0.27}{0.28}{0.28}{0.27}晚（p，1）[-0.85, ∞) [-0.85, ∞) [-0.85, ∞) [0.07, 1.08] [0.06, 1.17] {-0.31}晚（p，p- 0.1（p- p） )[-1.30, 1.60] [-0.66, 1.11] [-0.53,0.98][0.13,0.30][0.00,0.43][0.29}晚（p，p+0.1（p- p） )[-1.51, ∞) [-0.56, ∞) [-0.56, ∞) [0.25,0.51][0.06,0.79]{0.25}晚（0,1）(-∞, ∞) (-∞, ∞) (-∞, ∞) [0.13, 0.80] [0.08, 0.83] {-0.03}面板C。

结果：ER总费用，协变量：前期ER总费用的上五分位，N=19619晚期（0，p）(-∞, 8777] (-∞, 8777] (-∞, 8773][11481517][8131274]{5082}晚（p，p）{516}{436}{466}{437}{466}{516}晚（p，1）[-2929, ∞) [-2932, ∞) [-2933, ∞) [562, 1092] [598, 1153] {-8916}晚（p，p- 0.1（p- p） )[-3828, 4402] [-2981, 3523] [-2948, 3531] [-100, 651] [-152,721]{804}晚（p，p+0.1（p- p） )[-5579, ∞) [-3824, ∞) [-3797, ∞) [2171831][2232036]{228}晚（0,1）(-∞, ∞) (-∞, ∞) (-∞, ∞) [618, 986] [596, 993] {-4350}表1。各种反事实延迟参数的精确界限，OHIE数据。本表提供了文本中讨论的针对三种ER利用结果的不同模型规范的选定反事实延迟参数的尖锐界限的点估计值：参与者是否访问了ER、ER访问次数和产生的ER费用总额。每个模型都是根据所有观察结果进行估计的，且结果和协变量值均为非缺失。点识别边界用括号表示。最后，由于分布模型中的complier平均值是从整个重积子结果分布的估计中推导出来的，因此点估计中出现了一些差异；在高度分散的总电荷结果的情况下，这导致平均估计高度依赖于分布的极值尾的估计。pVisited ER0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0●●P急诊室就诊人数0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0●●每总费用0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02000 3000 4000 5000●●●MeansMeans，0≤ Yd（≤ 1） 基地，0≤ YdBase，科沃斯，0≤ YdRank Sim，COVARSANK SimLinear MTR图1。OHIE数据反事实平均结果的一致尖锐界限。

根据经验，该图对OHIE数据在三个ER利用结果中的反事实平均结果（参与者是否访问过ER、ER访问次数和产生的ER费用总额）实施了统一的严格界限。这些统一模型总结了（正）加权平均治疗效应家族（秩相似和/或协变量条件）潜在指数模型的经验内容。特别是，表1中的反事实延迟参数的界限可以从该图中的信息中得出。在实验对象是否访问ER的二元指标的情况下，平均值和分布界限重合，因为分布以其平均值为特征。在其他情况下，纳入分布信息可以提高识别能力，还可以让研究人员纳入分布假设，如等级相似性。统一边界说明了基于秩相似性的外推与仅基于均值的参数外推之间的实质性差异。引理0的证明。从定义（9）和潜在指数公式（1）来看，这两个组以不可观察的形式等价地表示：{G=a}={U≤ p} ，{G=c}={p<U≤ p} ，和{G=n}={p<U}。因此，群概率由p（G=a）=p，p（G=c）=p给出- p、 p（G=n）=1- p、 Bayes规则意味着条件集在各自的支撑上均匀分布。观察到的（D，Y，Z）分布等价地表示为概率P（D=D，Z=Z）和所有（D，Z）的条件结果CDFy | D=D，Z=Z=FYd | D=D，Z=Z∈ {0, 1}. 考虑样本空间的划分Ohm 进入观察集{D=D，Z=Z}。

因为D=1意味着G∈ {a，c}和D=0意味着G∈ {c，n}，比集合{D=D，Z=Z}弱的可分性由集合{G=G，Z=Z}给出。此外，{D=1，Z=0}={D=1，Z=0}={G=a，Z=0}。接下来，气体的早期表达式是U的函数，与独立性U结合⊥ Z意味着G⊥ 因此{G=a，Z=0}是{G=a}的一个

对于分布一致性，詹森不等式和总期望定律暗示：E[φ（MTE（Ug））]=E[φ（E）[g | Ug]）]≥ E[E[φ(g） |Ug]]=E[φ(g） ]对于任何凹面φ：R→ R.因此MTE（Ug）固态硬盘gfollows是SSD优势的一个等价且常见的表征，即（弱）对所有递增凹函数的更高期望。此外，我g（q）≥Zq[QY1，g（s）- QY0，g（1）- s） [ds=I-g（q）表示所有q∈ [0, 1].这种不平等是因为gis至少与最低q值Y1和最高q值Y0，g之间的累积（综合）差异一样高；质量之后是定义（10）-甘德是智库。因此G固态硬盘-gby定义。由于SSD顺序是可传递的，因此组合结果会产生MTE（Ug）固态硬盘-g、 这是编译器g=c的一个经验限制，因为-从Y0、cand和Y1、c的确定边缘恢复的CI。相比之下，非钳位G6=c的MTE功能不可能受到有意义的限制，因为治疗或未治疗结果的条件分布是不确定的（引理0）。通过定义MTE函数（2）和引理0，锐集M*等于满足：m（^Ug）=E[^Y1，g-^Y0，g|^Ug]（38）对于与识别的边缘一致的一些随机向量（^Ug，^Y0，g，^Y1，g），对于每个g∈{a，c，n}。然而，对于任何可积函数m，例如，始终处理的g=n，我们可以选择（^Un，^Y0，n，^Y1，n）的条件联合分布，该分布与未和Y0的识别边缘一致，并且满足（38）；也就是说，对于任何数据一致（^Un，|Y0，n），在从未接受过治疗的患者中选择符合E[^Y1，n|Un]=m（^Un）+E[^Y0，n|Un]的未经识别的治疗结果分布。

类比推理排除了将MTE函数限制在始终处理的时间间隔上的可能性。因此，为了确定效率，仍然需要证明，如果一个可积函数是（11）和（12），则存在一个随机向量（^Uc，^c=^Y1，c-^Y0，c）与Uc，Y0，c和Y1的已识别边缘一致，如（38）所示。条件（11）和（12）共同等价于凸序中的（反向）随机优势：m（Uc）cx-c、 （39）反过来，凸序中的优势等价于随机变量^Mcand^的存在-c、 定义在相同的概率空间上，且边际分布与其同名者相等，因此随机向量（^Mc，^-c） 是鞅：E[^^-c|^Mc]=^Mc。换句话说，让B表示R上的Borelσ-代数，凸序中的优势保证了Markov核κ：B×R的存在→ [0,1]带：Ztκ（dt，x）=x表示所有x∈ 兰特P-c（B）=所有B的Rκ（B，x）Pm（Uc）（dx）∈ B.但随后由a^uc生成的联合分布与uc的边际分布和条件律[^-对应于κ（·，m（u））的c^Uc=u]产生一个联合分布，具有经验上一致的边缘化：E[^-c |^Uc]=m（^Uc）。这是期望的结果。最后，为了证明夏普设定了M*是凸的，考虑元素m，m∈ M*与相应的编译器内核κ，κ。那么对于任何α∈ [0,1]，由uc生成的联合分布，与uc的边际分布和条件律[-对应于混合物ακ（·m（u））+（1- α） κ（·，m（u））产生一个联合分布。凸序定义为XcxXif E[φ（X）]≥ E[φ（X）]对于所有凸函数φ：R→ R

《参考文献被撼动》和《Shanthikumar》（2007）；定理3给出了调用的等价性。A.4和3。A.5。参见M¨uller和R¨uschendorf（2001），定理4.1，了解这种等价性的声明，通常被称为Strassen定理，以及相应马尔可夫核的显式算法构造。关于经济学中密切相关的结构，参见Machina和Pratt（1997）。经验上一致的边缘满足：E[~-c|Uc]=αm（~Uc）+（1）- α） 自αm+（1）起的m（~Uc）- α） malso继承了可积性，因此该函数属于M*.定理2的证明。在基本公式（假设1和假设2）中，WTE（w）的有限边界的一个必要条件是，权重仅在编译器之间为非零：P（w（U）6=0，G 6=c）=0。（40）否则，根据定理1，可以得到一系列可行的MTE函数∈ M*mn（u）=±n表示非编译器u的正测量值/∈ [p，p]其中w（u）>0（或者w（u）<0）；因此，WTE（w）不存在明确的界限。因此，我们要考虑WTE（W），其中（40）持有并指定在编译器的间隔上极值WT（W）的函数。修复W并考虑MWISTURE（13）。修复任何其他m∈ M*, 简化符号M=M（Uc），W=W（Uc），M=mw（Uc），和V~ U[0,1]。然后：P（G=c）Zppm（u）w（u）du=E[MW]（41）≤ E[QM（V）QW（V）]（42）≤ E[Q-c（V）QW（V）]（43）=E[\'MW]=P（G=c）Zppmw（u）w（u）du（44）在（41）中的等式后面是随机变量的定义。不等式（42）来自定理9。Shaked和Shantikumar（2007）的A.21以及f（x，y）=xy是一个超模函数的事实。注意，（QM（V），QW（V））是联合分布，其中Mand W是共单调的，即。

表现出完全的积极依赖。不等式（43）来自定理3。Shaked和Shantikumar（2007）的A.9，第1项的尖锐集特征，以及QW（·）是一个非减量函数的事实。最后，等式（44）来自于（13）中的假设属性，它在极端MTE函数和权重之间施加了共单调性。一个类似的论点适用于函数的下限。命题1的证明。将（15）与“y（pz）=E[y|Z=Z”的标识相结合，函数a:[0,1]→ R是一个反事实的结果候选函数，当且仅当它有一个表示：a（p）=y（p）+Zppm（u）du（45），对于某些边际治疗效果候选函数m∈ M*. 因此，任何候选结果函数a都是绝对连续的，a（p）=y（p），导数a=m几乎在任何地方，即a∈ M*. 我接着说明了（17）的必要性和有效性。必要性：（17）的上界必须通过递减重排和推论2:a（p）+Zpp（a）的逐点上界来满足↑c（u）du≤ a（p）≤ ψh（p）交替表示，（42）也源于超模函数的原始Mongekatrovich问题的共单调解的存在，例如Galichon（2016），定理4.3。对于下限，为了简单起见，将符号限制为编译器区间p∈[p，p]当逐点边界有意义时，a（p）+Zpp（a）↑c（u）du=a（p）+ZppQa（Uc）U- 聚丙烯- Pdu=a（p）+（p- p） ·Ia（加州大学）P- 聚丙烯- P≥ y（p）+（p- p） ·我-CP- 聚丙烯- P= ψl（p）。由于a（p）=y（p）和a∈ M*, 因此Ia（Uc）（q）≥我-c（q）逐点乘以（12）和SSD的定义。效率：修正绝对连续a:[0，1]→ R、 从定义上讲，它几乎在任何地方都是可区分的，并且有一个代表性：a（p）=a（p）+Zppa（u）du。此外，假设a的重新排列是令人满意的（17）。

在p=p时计算，逐点边界意味着：a（p）=y（p）=ψl（p）=ψu（p）。（46）在p∈ [p，p]，下界暗示：Ia（Uc）P- 聚丙烯- P≥ 我-CP- 聚丙烯- P为了p∈ [p，p]（47）插入a（p）=y（p）并回顾：Zpp（a）↑c（u）du=（p- p） ·Ia（加州大学）P- 聚丙烯- P为了p∈ [p，p]。最后，在p=p时进行计算，其界限意味着：Ia（Uc）（1）=E[a（Uc）]=LATEIA。（48）结合（47）和（48）意味着∈ M*根据定理1。结合∈ M*使用（46）可以得到有效的表示（45），因此∈ A.*. 最后，凸性来自于集M的有效表示（45）和凸性*.命题2的证明。证明来自代数和定义：R（p，p）=Zpp[ψh（u）- ψl（u）]du=（p- p） Z[ψh（p+（p- p） q）- ψl（p+（p- p） q）]dq=（p- p） 中弘y（p）- “y（p）- （p- p） [I]-c（1）- q） +I-c（q）]idq=（p- p） 日拉提亚- 2I-c（q）idq=（p- p） ·2Zhq·拉蒂亚- 我-c（q）idq=（p- p） ·Γ-3号提案的证据。必须证明MTE（Ug）=E[+g | Ug]每g∈ {a，c，n}，此时条件的必要性遵循与定理1的必要性定理相同的推理。观察：MTE（Ug）=E[Y1，g- Y0，g | Ug]=E[QY（V1，g）- QY（V0，g）| Ug]=E[QY（V0，g）- QY（V0，g）| Ug]=E[+g | Ug]其中，第一个等式后面是MTE函数和组条件随机向量的定义，第二个等式后面是秩相似性定义中隐含的Skorokhod表示，第三个等式后面是秩相似性，最后一个等式后面是+g、 引理1的证明。证明了该结果适用于U的实现，由此可得出任意函数的结果，即相对于U可测量的随机变量。让qqu表示U=U的条件QQ图。

通过秩相似假设中隐含的Skorokhod分位数表示，结果的条件分位数函数等于在秩的条件分位数函数下评估的结果的无条件分位数函数。也就是说，让Yd，u~ Yd | U=U和Vd，U~ Vd | U=U，QYd，U（q）=QYd（QVd，U（q））对于所有q，U∈ [0, 1].通过秩相似性，秩变量的条件分布是相等的。分位数函数的表示形式，QV0，u（q）=QV1，u（q）对于所有的q，u∈ [0, 1].将这些观察结果结合起来，得到期望的结果：QQu={（QY0，u（q），QY1，u（q））：q∈ [0,1]}={QY（QV0，u（q）），QY（QV1，u（q））：q∈ [0,1]}={QY（QV0，u（q）），QY（QV0，u（q））：q∈ [0, 1]}  QQ。引理2的证明。引理1意味着qg 所有g的QQ∈ {a，c，n}。假设5意味着QQ=QQc，因此QQg QQc。边界的必要性随后是定义。证明（d，g）的均匀锐度∈ {（0，a）、（1，n）}，首先请注意，由于分位数函数QY1-d、 基本模型中确定的gis（假设1和假设2）。仍然需要证明的是，边界是通过与假设一致的数据生成过程实现的。对于任何约束，考虑ARANK不变SKORKOHOD表示，例如（y0，n，y1，n）d＝（qy0，n（v），qy1，n（v））v。~U[0,1]。这满足了基本模型，该模型对外推分位数函数没有限制。此外，通过构造外推分位数函数引理1和假设5的闭合完全支持条件，其分位数分位数图属于真实人口图QQ。这保证了g组的秩不变量构造在总体中也是秩不变量的，因此满足假设4。命题4的证明。