（III.1a），现在的内容是：logπ（t+1）π（t）= -2αEi（t）Si（t）+Di（t）- 2απi（t）Gi（t）+Li（t），（IV.9），其中所有量现在已知。由于供求关系紧张，价格会随之更新，在我们的框架内，这是一个自然的流入或流出渠道。出于同样的原因，就业市场上的紧张局势必然会导致工资更新，我们假设工资更新的形式与价格更新的形式相同，即Logp（t+1）p（t）= 2ωLd（t）-Ls（t）Ld（t）+Ls（t），（IV.10）意味着劳动力的过度需求增加了工资，反之亦然。这条规则在每一个时间步都实现了菲利普斯曲线（见菲利普斯（1958）和布兰查德（2016））。人们也可以使用不对称的更新规则，因为降低名义工资比提高名义工资更困难。最后，还可以考虑在商品价格波动和工资之间添加一个直接耦合，作为等式（IV.10）右侧的一个额外项。由于市场不明确且利润不为零，我们选择对称的标准化因素，包括第一期的供需平均值，以及第二期的销售和成本平均值。3.生产最后一个纪元对应于生产的开始。公司一使用劳动力\'i，以及取决于交易所x、最优投入bx和库存i的可用数量xaij，asxaij（t）=xij（t）+min（Iij，bxij）。（IV.11）事实上，如果库存I允许提供最佳输入bx，则不会发布需求（见等式（IV.2））：x=0和xa=bx。否则，公司获得的数量x现在会增加可用库存，因此xa=x+I≤ bx。请注意，人工无法存储，因此Ii0始终为0。现在所有可用的输入和劳动力都已知了，产出由企业的生产函数决定，在Leontief情况下，b=1意味着：yi（t+1）=zi（t）min明杰沙伊（t）吉,`i（t）Ji0.

（IV.12）企业自身生产的库存也会更新，ASII（t+1）=e-σi易（t）+Iii（t）-Xjxji（t）, （IV.13）其中，衰变系数σi测量货物i的易腐性。对于耐用品，σi 1和e-σi≈ 1，而σi 1和e-σi 1.易腐货物。此外，在Leontief框架中，总产量受到最稀缺投入的限制，因此在生产过程中会耗尽，留下一小部分其他投入未使用。我们是J吗？（i） =arg minj沙伊吉,这样我们就可以写出输入k 6=j的分数？（i） 有效地使用asxuik（t）=JikJij？（i） xaij？（i） 。（IV.14）未使用的输入添加到固定库存中，其更新可使用公式（IV.11）Asik（t+1）=e编写-σk（xaik）- xuik）。（IV.15）最后，出于数值目的，可以方便地用新工资p（t+1）重新调整新价格pi（t+1）的比例，以避免通货膨胀（或贬值）导致的价格指数增长（或衰退），有效地以年龄为单位测量价格。因此我们设置：pi（t+1）-→pi（t+1）p（t+1）；p（t+1）-→ 1.（IV.16）时间步长的第三个也是最后一个纪元到此结束。然后在时间t+1重复该过程，生产量yi（t+1）和价格pi（t+1）。为了结束该模型，我们现在需要指定企业如何估计其未来的利润/损失和超额/减产。还必须详细说明家庭的行为，以便确定商品的需求和劳动力的供应。请注意，必要时也应适当调整利润和节约，例如S（t+1）→ S（t+1）/p（t+1）等。C.预期收益和不平衡我们可以将企业的预期收益率[πi]=pi（t）XjEt[xji]+Et[Ci]-Xjpj（t）Et[xij]+p（t）Et[`i], （IV.17）表明在规划阶段，企业必须估计未来的商品和劳动力需求，我们将其统称为Et[x]。

同样，预期超额产量也是Et[x]：Et[Ei]=yi（t）+Iii（t）的函数-XjEt[xji]-Et[Ci]。（IV.18）我们可以采用的最简单的假设是，企业是“粘性”的，并估计所有未来需求与他们最后的观察结果相等（这遵循了企业生产以满足总需求的原理），即Et[x]=xd（t-1). （IV.19）然而，我立刻想到了一些概括。例如，企业还可以考虑已实现数量X（t-1） 在他们的估计中，并设置为学习规则集[x]=λxd（t-1) + (1 - λ） x（t）- 1） ，（IV.20）式中λ∈ [0，1]是一个参数。因此，我们今后将使用的“粘性”假设对应于λ=1。另一个可能的推广是，企业使用更复杂的学习规则，允许他们使用时间序列分析来估计Et[x]，其中最简单的是对过去实现的需求进行“恒定增益学习”（相当于计算指数移动平均值）。这类似于Poledna等人（2019年）在决策过程中使用的AR1经济增长估计。也可以考虑趋势跟踪、外推规则。所有这些扩展都超出了本文的范围；在这个阶段，我们的目标是建立一个最小一致的框架，没有虚假的数值不稳定性，并且能够在参数空间的某个区域收敛到竞争平衡。D.家庭需求和劳动力1。工作弹性住户在标准宏观经济模型中，我们假设住户由一个具有一定工作无用性的代表机构代表，该代表机构寻求最大化以下效用函数u（t）=Xjθjlog Cj（t）-Γ1 + φL（t）L其中，L（t）=Pj`j（t）：=Pjxj0（t）是代表性家庭提供的总工作量。

在同名的弗里希（Frisch，1959年）之后，所谓的弗里希弹性指数Γ给出了工作的非有效性的凸度，即家庭能够提供的工作量的规模，Γ是一个可以在不失去普遍性的情况下统一的参数。在极限范围内→ ∞, 家庭对所提供的工作量L（t）<L不感兴趣，但拒绝工作超过L。通过这种形式的效用函数，家庭可以计算出对商品i、Cdi（t）的最佳需求，并将其设定为t期的消费目标，以及它愿意为企业提供的最佳劳动量L（t）。我们仅限于“短视”优化，不考虑家庭的长期预测和愿望。跨期影响需要增加利率，而我们在本研究中完全忽略了这一点。2.优化顺序为了计算上述数量，家庭需要知道其当前储蓄S（t）并预测下一时期的收入。通过乐观的预测来估计预期的效用（即满足消费需求，充分利用劳动力）。另一方面，工资p（t）和价格pi（t）在“交换和更新”阶段之前都是已知的，见IV B 2。因此，Et[U]=Xiθilog Cdi（t）-1 + φLs（t）L1+~n，（IV.22）具有预期预算约束，即readsXipi（t）Cdi（t）=p（t）Ls（t）+S（t）：=Et[B]，（IV.23），其中Et[B]是预期的（或实际上希望的！）预算为方便起见，我们将与工作时间相关的工资表示为W（t）=p（t）。家庭在使用拉格朗日乘数u（t）/W实施预算约束的同时优化其预期效用，从而使CDI（t）=Lθiu（t）p（t）pi（t）（IV.25a）Ls（t）=Lu（t）1/ν。（IV.25b）为了确定u（t），必须执行（IV.23）。

我们在u（t）上找到以下等式：uk（t）+S（t）W（t）u（t）=θ（IV.26），其中k=1+1/ν和θ=Piθi。例如，如果∞ （Ls（t）=L的恒定功），我们有u（t）=θW（t）W（t）+S（t）。（IV.27）当φ=1（文献中发现的一个公共值，对应于二次功不可用性）时，我们有u（t）=2W（t）qS（t）+4′θW（t）- S（t）. （IV.28）有趣的是，高储蓄导致劳动力供应减少。此外，由于可能的非自愿失业，当Ld（t）<Ls（t）时，家庭可能希望消费超过其支出能力。关于这些量与N的标度行为的最后一句话是有序的。对于大N，我们预计家庭部门的规模也将是N阶。注意到‘θ也是N阶，如果我们选择L，我们会发现以下是合适的比例定律~√N:u~√NLs~ NCdi（t）~ 1、（IV.29）意味着总工作时间和总消耗量与人口规模成比例，这是应该的。在后续论文中，我们将介绍预防性储蓄和利率，这会导致出现通货膨胀均衡。还要注意的是，我们假设所有商品都会立即被家庭消费，这对于耐用商品来说没有多大意义。这也可以重新考虑。尽管在本论文中没有必要这样做，但重要的是要考虑到信任效应，这可能会导致内源性增长（参见Morelli等人（2020））。一种可能性是将消费倾向与失业水平结合起来，作为消费者信心的一个指标，即：logθi（t）θi= 2ωLd（t）- Ls（t）Ld（t）+Ls（t），（IV.24），其中θi是消费偏好的基线值。在下面，我们将fixω=ω.3。储蓄更新由于我们不允许家庭在当前版本的模型中借贷，因此在部分失业的情况下，必须调整实际消费。

在这种情况下，可用预算必然比预期的要小，导致实现消费：Cri（t）=Ci（t）min1，B（t）Pjpj（t）Cj（t）！；Ci（t）=Cdi（t）min1，Si（t）Di（t）, （IV.30）和B（t）在（IV.4）中计算的可用预算。如果Ci（t）和Cri（t）之间的差异为正值，则将其添加到第一家公司的库存Iii（t）中。然后，家庭储蓄更新为：S（t+1）=B（t）-西皮（t）Cri（t）。（IV.31）E.讨论上述步骤看起来相当乏味，比我们第一个“幼稚”模型背后的简单逻辑要复杂得多。尽管如此，当分解实际生产过程的所有阶段时，它们是非常自然的。但更重要的是，我们发现，这些步骤中的任何一个短路都会导致不一致的动力学，产生虚假的不稳定性，反映出自然约束实际上被违反了。此外，将行为建模为一系列行为或事件序列的方法是ABMs的一个典型特征，在ABMs中，这些事件的顺序以一致的方式进行，以确保因果关系。与第三节的原始版本的一个重要区别是，需要大量更新规则，例如涉及两个表达式的最大值或最小值的更新规则，请参见下面的V B节。此外，企业和家庭用来帮助他们做出决定的拇指规则的数量增加了，描述我们玩具经济的特定实例所需的参数数量也增加了。因此，尽管朴素的模型允许对完整模型的参数空间的某些区域有一个合理的理解，但我们不能仅用分析工具来合理地尝试详尽的描述。因此，我们利用计算机模拟对其性质进行了数值探索，这些模拟在附录F中提供的伪代码中有详细描述。

我们还提供了一个开放访问模拟工具，允许读者在这里探索不同的配置：https://yakari.polytechnique.fr/dash.V.数值研究下一节是对上述模型非常丰富的现象学的数值研究，如果可能的话，补充一些分析结果。由于参数数量相对较多，我们只研究了参数空间中的一些特定“切割”，但相信这些切割代表了模型可以生成的所有可能的动态类。为了便于阅读本节，我们将首先回顾可以调整的不同参数。然后，我们将探索在我们的玩具经济中可以观察到的不同类型的动态轨迹，并将它们划分为不同的“阶段”。这个想法来自物理学，在物理学中，一个系统的宏观属性可以被划分为不同的参数区域，其聚合行为在质量上是相同的。这些区域仅取决于描述系统的少数参数所取的值；一个有力的例子是水，它取决于压力或温度，可以是液相、固相或气相。因此，我们将呈现以下“相图”，总结参数对我们模型的广泛动力学行为的影响，Gualdi等人（2015b）已经提出了基于经济主体的模型的想法。A.参数概述前几节中介绍的不同参数可分为两类：描述生产网络和生产函数的静态参数，以及描述价格、劳动力和产出演变的动态参数。我们将在下面的模拟中概述它们以及我们分配给它们的典型值。a、 静态参数1。公司数量N–此处N=100.2。

网络类型——这里是一个随机的常规定向网络，见Kim和Vu（2006年），McKay（1981年），其中每家公司拥有相同数量的客户和供应商d=15.3。CES生产函数——这里是一个Leontief生产函数（q=0+），返回到刻度参数B=0.95.4。生产矩阵M的最小特征值ε，对于大值，对应于稳定的经济。5.企业间关联Jij，当企业i和j关联时，我们将其视为1，否则为零。6.企业生产率zi，首先设置为1，然后调整ε以获得所需值。7.基线家庭消费偏好θi，由重新标度为havePiθi=1.8的iid均匀随机变量建模。工作不利用率Frisch指数，设为φ=1（劳动力二次不利用率），劳动力规模设为L=1.9。公式（IV.20）中定义的行为外推参数λ设置为1。注意，我们还将在更真实的企业网络模型上模拟我们的模型，包括从FactSet数据库（FactSet（2021））构建的实际输入输出网络，见附录E.b.动态参数1。描述恢复力的参数：α、α、β、β（见等式（IV.1）-（IV.9））。我们将自己限制在β=α=β=α的情况下，并扫描不同的α值。菲利普斯曲线参数ω，将工资与就业市场的紧张关系联系起来（见等式（IV.10））。3。与消费倾向和失业相关的信心参数：ω（见等式（IV.24））。对于这项研究，我们取ω=ω。易腐性参数σi表示货物i的腐烂速度，除另有说明外，均取σi=σ。因此，这些选择将需要探索的参数减少到四个：ε（网络稳定性）、α（存储力强度）、ω（菲利普斯曲线参数）和σ（易腐性）。

现在，我们将展示如何改变它们可能导致非常丰富的现象学。选择略低于单位的b有助于稳定动力学，还可以防止弛豫时间因生产矩阵ε的最小值而发散→ 0.附录A中详细说明了这种影响的参数。将生产率系数修改为z=z+ε- min Sp（M）使M的最小特征值等于ε。B.平衡周围的扰动&鉴于上文强调的线性动力学，第三节C的原始模型可以线性化，从而对达到平衡所需的时间进行完整的分析估计。然而，整个模型的尖点意味着微扰分析产生了最好的分段线性方程组。准确地说，让我们尝试通过写入δx（t）=x（t）来线性化不同的更新规则-Xeq求任意量x的扰动值，并将微分方程展开到δ·中的最低阶。当应用于流体时，xjione得到：δxji（t）=δxdji（t）+xeq，jiziγeq，imin（0，δSi（t）-δDi（t））。（V.1）取决于δSi（t）的符号- δDi（t），交换货物的流量由两个不同的线性方程表示，使系统分段线性。同样的特性也适用于交换功（替换δSi（t）-δDi（t）乘以δLs（t）- δLd（t）和实际消耗（开关取决于δSi（t）- δDi（t）以及更难编写的预算约束，见（IV.30）。但这意味着，也许令人惊讶的是，不存在一种极限情况，即完整模型可以归结为第三节的“幼稚”模型。围绕平衡点线性化产生分段线性动力学，可以通过（N+4N+1）维状态向量的演化来描述，我们用U（t）表示，遵循第三节C的符号。

该向量对库存δIij（t）（将N×N库存矩阵的列叠加在一个N维向量中）、当前生产目标δbγi（t+1）、过去目标δbγi（t）、生产水平δγi（t）、价格δpi（t）以及最终的家庭信息δS（t）进行编码。为了研究分段线性动力学条件下的可能转换，让我们定义两个向量：C>iU（t）=δSi（t）-δDi（t），c>wU（t）=δLs（t）-δLd（t）。（V.2）每个向量定义一个超平面Hi={ci}⊥（分别为Hw={cw}⊥) 将状态空间分为两个区域：oi、H+i（分别为H+w）的不短缺区域，其中c>iU（t）>0（分别为c>wU（t）>0），其中i的供应足以满足需求（分别为工作效率足以满足工作需求）i，H的短缺区域-i（分别为H-w） 其中c>iU（t）<0（分别为c>wU（t）<0），其中i的供应不足以满足需求（分别为工作效率不足以满足工作需求）。这些半空间的交集定义了称为圆锥体的空间区域，其中线性化动力学由定义良好的稳定性矩阵充分描述。呼叫S [[1，N]]，货物短缺的企业集合，在每个锥体中定义稳定性矩阵，如下u（t）∈\\s∈嘘-s∩\\s∈[[1，N]]\\SH+s∩ H+w<==> U（t+1）=DSU（t），U（t）∈\\s∈嘘-s∩\\s∈[[1，N]]\\SH+s∩ H-W<==> U（t+1）=DS，wU（t）。（V.3）如果S= （无短缺），我们称之为DAD D0，即无工作短缺/有工作短缺的稳定性矩阵；如果S=[[1，N]]（所有公司都有短缺），我们称之为DN和DN，w。图4展示了二维空间中的先前构造。尽管每个圆锥体内的动力学是线性的，但关于稳定性矩阵特征值的知识通常不足以得出关于整个系统稳定性的结论。事实上，了解圆锥体是否由其稳定性矩阵保持是理解动力学的关键。

如果圆锥内的稳定矩阵对应的线性动力学保持不变，这意味着圆锥内开始的任何轨迹都将始终包含在圆锥内，那么动力学就变得微不足道。另一方面，当情况并非如此时，轨迹可能会切换回来，正如第四节B中概述的一般时间线框架所示，这是其他ABM的共同特征，例如Mark-0 Gualdi等人（2015b），或del Rio Chanona等人（2020）最近开发的ABM。HHWCCWDDN，wD{1}D{1}，wD{2}，wD{2}非良好1生产和良好1生产和良好2缺料。4：二维空间示意图的圆锥体分离示例。黑色实线表示超平面H1,2，w分离短缺/无短缺圆锥体，它们与圆锥体向量c1,2，w正交。阴影区域表示可能短缺的不同圆锥体以及相关的稳定性矩阵。请注意，对于给定的向量配置，矩阵dn和D0，wc不存在。在不同的锥体之间，它将因此用稳定性矩阵的乘积来描述。为了得出系统整体稳定性的结论，最需要研究的就是这个产品。这可能会导致相当复杂的轨迹，例如，两个不同的圆锥具有稳定性矩阵，因此从一个圆锥开始的轨迹不可避免地会在另一个圆锥结束，反之亦然，从而导致伪振荡，从长远来看，伪振荡是稳定的。据我们所知，在一般情况下，解释这些有趣的锥形线性动力学所需的数学工具是不可用的。C.相图和动力学分类对于每一组参数值（α，ω，σ，ε），我们从相对大小δ=10的平衡的随机扰动开始-3.采取行动。

pi（t）=peq，i（1+δu），u均匀分布在[-1, 1].然后，我们运行dynamics for T=20000时间步，只考虑最后2500个时间步，将轨迹分为以下几类。我们将使用相对价格差异δp（t）：=p（t）/peq，i的轨迹来分类我们模型的行为- 1.为了对其中一些动力学类型提供更生动的说明，我们对参数α和σ的值进行了轻微的非均匀性验证。在下面的图中，符号ασ∈[A，B]表示这些数量在[A，B]中统一选择，独立于每家公司。最后，对于下面报告的所有价格轨迹，我们随机强调一家公司，以使时间序列更具可读性。一般来说，我们观察到五类行为（或“阶段”）：趋同于竞争均衡、趋同于非竞争均衡、危机、商业周期样振荡或混沌振荡和经济当ε<0且无法定义竞争均衡时，我们从价格和生产的1到2之间的随机初始条件开始。在每个阶段，产量的轨迹在质量上是相似的，不同的是，正如预期的那样，高价格对应于生产波谷，反之亦然。崩溃，经济在若干时间步后崩溃。图5显示了与该分类对应的不同相图，ε在[100,1,0,01，-5] 这些阶段的研究和描述将在以下章节中详细说明。注意，相图的边界取决于相互作用网络，尤其是ε→ 0.如果ε 1，那么生产力因素非常大，网络效应可以安全地忽略。然而，作为ε→ 0,0.00.20.40.60.81.0σε=100ε=1压缩。eq.Def。

情商危机。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6α0.00.20.40.60.81.0σε = 0.010.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6αε = -5.集会。eq.Def。情商危机。图5：平面恢复力、易腐性（即（α，σ））的相图，均为相同的网络经济，ω=0.1和不同的ε值。图例中解释了颜色代码。当ε减小时，竞争平衡状态稳定的区域缩小，当ε<0时，随着波动平衡和循环/混沌的接管，竞争平衡状态稳定的区域消失。人们也会观察到有周期、混乱和危机的地区。最后，当恢复力变弱（小α）时，经济崩溃。这些网络效应变得越来越重要，特定类型的网络将发挥作用。因此，本节中选择的regularnetwork仅用于说明模型可以生成的不同类别的动力学轨迹。但这些类实际上是通用的，出现在广泛的网络家族中，是企业遵循的一系列非线性更新规则。在深入研究每一类的描述之前，我们特别注意到（见图5）：o所有不同的类都出现在统一阶参数α、ω、σ、ε的值上，也就是说：有趣的动态行为不需要参数的奇异值当经济接近不稳定ε时，达到竞争均衡的区域缩小→ 0从上面。

当ε<0时，不存在容许平衡，只能获得波动平衡或循环/混沌对于固定的易腐性σ，随着恢复参数α的增加，人们观察到以下阶段的连续性：当α太小时崩溃，然后是波动平衡，然后是竞争平衡，最后是大α的循环和混沌，对应于对不平衡过度反应的企业在竞争均衡和周期与混沌之间的边界，人们观察到间歇性危机，类似于Gualdi等人（2015b，2016）中描述的危机——见下文。1.经济崩溃从α=0开始，并增加其价值，该模型首先发现自己处于崩溃阶段，价格指数出现差异，产量骤降至零。随着α的增长，我们达到了一个临界值α，这与从崩溃阶段过渡到经济能够稳定的阶段有关（无论是在竞争失衡阶段）。从图5可以看出，这种转变似乎与ε和σ无关。α依赖ε这一事实意味着，无论企业网络的性质如何，当价格调整太慢时，经济就会崩溃。图5中αcin的精确值可以计算为：αc=ωββ（V.4）（即，每当α=α=β=β时，αc=ω），其中ω是与工资和失业相关的菲利普斯曲线参数（见等式（IV.10））。该值是通过对系统的稳定性矩阵进行对角化而得到的，在无短缺锥δSi（t）中-δDi（t）>0，适用于所有i型企业（见第V B节），它们在准线性动力学下是稳定的。这种崩塌转变也可以沿下图12中右图的对角线ω=α观察到。（然而，请注意，对于小ω，会出现另一个经济差异的楔形，这将在vf2中讨论。）2.

竞争均衡人们可以预期的最自然的行为是经济收敛到竞争均衡，正如经济学模型中的经典假设那样，所有利润为零，市场清晰。这确实发生了，但有趣的是，它要求α既不太小，也不太大，即当恢复力足够强大以稳定系统，但又不太强大以避免过度调整，以及相应的经济不可能协调时。易腐性σ也应足够大，见图5。最后，随着规模回报率的降低（即参数b的降低），可以实现竞争平衡的区域变得更加广阔（参见下面的图8）。精确计算相当冗长，超出了本文的范围。0 200 400 600 800 10000.02.5δp（t）×10-60 200 400 600 800 100005δp（t）×10-60 50 100 150 200 250t0。00.51.0δp（t）×10-5图。6：在δ=10量级的扰动后，向竞争平衡的松弛-3适用于各种企业。顶部：ε=10，ω=ω=0.1，α=α=β=β的指数松弛∈ [0.3,0.35]和σ∈ [0.5, 0.6]. 中间：ε=1，ω=ω=0.1，α=α=β=β的阻尼振荡∈ [0.4,0.45]和σ∈ [0.2, 0.6]. 底部：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β=β的阻尼混沌振荡∈ [0.25,0.3]和σ∈ [0.2, 0.6]. 暗线是对随机选取的一个最终结果的响应，为了给达到竞争平衡的阶段赋予一些经济意义，让我们关注ε=1的情况，即中等平均生产率的企业网络，相对远离霍金斯-西蒙斯不稳定性。选择模型的单位时间尺度为四分之一（3个月），这是企业调整价格和产量的合理期限。当α<αd（ε=1）时，无法达到竞争平衡≈ 0.395.

这样的α值意味着，面临10%的生产不平衡的企业将试图将其降低到10%×e-0.395≈ 下一个季度为6.7%。试图更快地减少它会导致振荡和混乱。例如，当σ=log2时≈ 0.69，对应于四分之一商品的半衰期，α应保持小于≈ 0.55以避免落入图5中的黄色区域。注意，当σ下降到以下≈ 0.3，竞争均衡是不可能实现的。进一步注意，在竞争平衡阶段，收敛可以是纯指数的，也可以对应于阻尼振荡，甚至阻尼混沌，见图6。弛豫的精确性质取决于α、α、β和β的相对值。有趣的是，即使对于非零值ε，也可能出现边缘稳定性和发散弛豫时间。事实上，随着我们越来越接近过渡线αd() 在竞争均衡和非竞争均衡之间，收敛所需的时间与朴素模型中的相同方式变得更大。举个例子，如果我们取ε→ ∞, 结果αd=式（V.4）给出的αcas。如果我们现在用δ设置α=αc+δ αc，不难证明最大特征值为1- δ/（3（1+ω））+O（δ）。弛豫时间为δ级-1事实上，与朴素模型中的稳定化过渡相比，两者之间存在差异。同样的标度δ-1当α=αd（ε）+δ时，对于ε的一般值，松弛时间保持不变。最后，请注意，在固定的σ下，可以达到竞争平衡的区间缩小到零，即]αd（ε），αd（ε）+f（ε）[和f（ε）→ 0为ε→ 更准确地说，数值模拟显示有500 1000 1500 2000 2500 3000t0。00.51.01.52.0δp（t）×105图。7：ε=1且生产率系数不均匀的波动平衡示例。

请注意，我们在这里展示了实际价格（由工资决定），它达到了比均衡时高出10%的不合理值。我们在这里选择ω=ω=0.1，α=α=β=β∈ [0.25,0.3]和σ=0.6。暗线对应一家随机挑选的公司。存在一个值εc（取决于σ、b和ω），使得f（ε）=（0，对于ε）≤ εcr（ε- εc），对于ε→ ε+c，（V.5），其中r=f（ε+c）。通过与上述相同的论证，弛豫时间将按f（ε）进行缩放-1.~ 1/(ε - εc）和Wertrieve与naive模型中的行为相同。3.偏差均衡我们模型的一个有趣特征是出现了不同类型的均衡，对应于利润和超额需求非零但等于常量的平稳点。我们称之为“非理性”均衡，因为价格与长期失业（即Ls>Ld）导致的年龄向下演变所确定的（负）通胀率同步。我们用π表示∞土地∞在静止状态下，利润和过剩供应的重新标度值。然后必须验证（见等式（IV.1，IV.9））：α¨E∞i+α′π∞i=ωLs，∞- 劳埃德，∞Ls，∞+ 劳埃德，∞（>0），βE∞[Ei]=βE∞[°πi]。（V.6）在（IV.20）中λ=1的当前情况下，也有E∞[Ei]=“E”∞iso one可以简化这些方程，得到αβE∞[\'\'πi]+αβ\'\'π∞i=ωβLs，∞- 劳埃德，∞Ls，∞+ 劳工处，∞（>0），\'E∞i=βE∞[°πi]。（V.7）与独立于动力学参数α、α、β、β的竞争均衡相比，竞争均衡的特点是价格和生产水平取决于动力学参数化。然而，固定价格/产量的显式表达式很难进行分析计算。图7显示了经通胀调整的价格向其固定值趋同的示例。请注意，在实际情况下，固定价格水平高于均衡值。通过我们的模拟，我们发现这些平衡相当稳定。

对于ω的固定值，在αd（ε）的值处发生了平衡态和竞争平衡态之间的转变，这很难用解析方法计算。然而，我们仍然可以找到这个转变。60.70.80.91.0R（λ）-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20I（λ）α<αd（ε）α>αd（ε）稳定等式10-310-210-1100101102103ε0.00.10.20.30.40.5αd（ε）崩塌均衡竞争均衡b=0,95b=0,9αcFIG。8：左：无短缺锥中ε=10的稳定性矩阵的特征值λ，其中δSi（t）-对于所有i，δDi（t）>0。这里，σ=∞, α = α= β = β∈ {0.12,0.25}和ω=0.1。对于αc<α<αd（ε），竞争平衡是不稳定的，非线性动力学收敛到一个自由平衡。右图：α是ε的函数（x轴上的对数标度），用于返回标度参数b的不同值。水平虚线对应于αc=0.1，与ε无关。标记区域对应于图5中b=0.95的不同阶段。随着b的增加，我们可以看到αd（ε）以下的区域趋于减少，即竞争平衡区域变得更大。如脚注17所述，规模回报率的降低往往会稳定动态。注意，αd（ε=100）、αd（ε=10）和αd（ε=1）的值与图5的相位图上观察到的值一致，其中b=0.95。最后，作为ε→ 从图5中可以看出，存在这种转变的最小σ变得更大。因此，对于小ε，标记为“竞争平衡”的区域仅存在于足够大的σ。通过数值模拟上一小节中提到的无短缺锥中的稳定性矩阵。结果如图所示。

8.然而，从长远来看，这些偏差均衡没有什么经济意义，因为（a）与均衡值相比，固定的生产水平往往非常小，（b）对消费（家庭）和利润（企业）的预测系统性地超过了它们的实际值。人们预计，在这种情况下，比如经济崩溃的情况下，货币和金融政策的影响不可忽视。此外，我们预计，当偏见强烈且系统化时，代理人将很快适应并相应地改变他们的预测规则。然而，这种扩展超出了本文的范围，但自然的结论是，企业会对不平衡做出更强烈的反应（即增加系数α、α、β、β），这将使系统回到竞争平衡阶段或振荡阶段。最后，我们指出，在模型的当前规范中，我们没有发现劳动力需求超过供给的均衡。然而，我们发现，引入预防性储蓄用于购买支付利率的债券会导致新的现象，包括现在发现了通货膨胀均衡的整个地区。4.振荡动力学由于定义模型的强非线性动力学，很自然地，我们会期望一些参数的选择——就像在一般动力学系统中一样——导致振荡或混沌动力学，简言之，这确实是我们在整个参数空间区域中观察到的，当企业在面对不平衡时往往反应过度，调整价格/产量过快。第一个有趣的振荡行为是自发出现的商业周期，如图9所示。它们可以是同步的（图9-a）或完全不同步的（图9-a）。

9-b），取决于ω0 20 40 60 80 1000.00.1δp（t）0 25 50 75 100 125 150 175 20001δp（t）0 50 100 150 200 250 300 350 400t0的值。00.5δp（t）图9：在δ=10的初始扰动后，围绕平衡点的不同类型的价格（或生产）振荡-3.脱离平衡。顶部：ε=100，ω=ω=0.05，α=α=β=β的同步商业周期∈ [0.2, 0.25], σ ∈ [0.1, 0.4]. 中间：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β的非同步振荡∈ [0.25, 0.4], σ=0.2; β= 1.3α. 底部：除ε=1和β=0.2α外，相同参数的混沌振荡。暗线对应于一家随机挑选的公司。ε，以及α和β的相对值。混沌振荡也会出现（见图9-c）。我们强调，在相图相当大的部分中观察到的这种持续振荡，并不是由于外部扰动造成的，这些模拟中没有外部扰动（与第三节D相比，在第三节D中，小型外部冲击因接近不稳定而扩大）。相反，这是相图中的一个区域，经济的波动性完全是内生的（类似观察见Bonart et al.（2014）。0 1000 2000 3000 4000 5000t0246δp（t）图10：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β=β=05，σ=∞.0 50 100 150 200 250 300 350 4000.00.51.0p（t）×1020 200 400 600 800 1000t345p（t）×101图。11：不稳定阶段不同的可能价格（或生产）动态ε=-5.对于价格和产品的初始条件，随机选择平衡值的1到2倍。顶部：ω=ω=0.01，α=α=β=β=0.45，σ=0.2的快速振荡。底部：ω=ω=0.02，α=α=β的反平衡∈ [0.4, 0.45], σ ∈ [0.2, 0.8]. 暗线对应于一家随机挑选的公司。这提供了另一个场景来解释Bernankeet al描述的“小冲击、大商业周期”难题。

（1996），不同于第三节D中所述的不稳定点附近的情况。由于存在自维持振荡/混沌，波动性可能很高，正如本文所述，以及之前许多提倡动态系统经济学方法的工作中所述，参见例如Flaschel（2008年）、Goodwin（1982年）、Grandmont（1985年）、Keen（1997年）、Rosser（1999年）和Chiarella等人（2005年），Delli Gatti等人（2005），Gualdi等人（2015b），Pangallo（2020）在ABMs的背景下。5.间歇性危机这一额外的动力学类别如图10所示。在这种情况下，快速放松到平衡状态，随之而来的是自发的不稳定。该系统进入了价格波动和产量暴跌的循环。这很可能是由于不同锥体之间的切换，其特点是不同的稳定性矩阵，如第V B节所述。第一个矩阵是稳定的，而第二个矩阵在单位圆外至少有一个特征值，因此方向不稳定。然后，非线性饱和效应接管并平息了动态，系统在下一次危机出现之前回到平衡状态。这些急性内生危机是我们模型中最有趣的方面之一；它们也出现在Gualdi等人（2015b）和Sharma等人（2020）基于代理的模型中，它们是由通用同步机制产生的，正如Gualdi等人（2015a）明确指出的那样。D.低生产率阶段ε<0第三节朴素模型的一个缺点是，当ε<0时，即在低生产率阶段，它只能产生发散的轨迹。如图11所示，我们的完整模型在这种情况下产生了一系列有趣的行为，从波动平衡到振荡。当然，由于没有明确的平衡，收敛阶段现在被禁止。

然而，一个重要的信息是，即使霍金斯-西蒙条件被违反，一个可行的经济体仍然存在，但代价是实质性的静止不平衡或振荡/混沌行为。0.00.10.20.30.40.5Ωε=100ε=10ε=1压缩。eq.Def。情商危机。0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5α0.00.10.20.30.40.5Ω0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5α0.0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5α塌陷。eq.Def。情商危机。图12：非易腐（σ=0，顶行）和立即易腐（σ=∞, 下一行）α，ω平面上的货物，ε的不同值（左：ε=100，中：ε=10，右：ε=1）。E.易腐性的作用最后，我们在此说明库存在决定我们观察到的动态类型方面的关键作用。如图12的相图所示，在固定σ下的（α，ω）平面上，立即死亡的货物（σ=∞) 导致向平衡方向简单化（自由化/竞争性）或崩溃。从某种意义上说，这一限制尽可能接近第三节的“幼稚”模型，该模型忽略了所有库存影响。另一方面，非易腐商品会导致经济波动剧烈。直觉上，如果一号企业拥有astock Iikof good k，它将减少对k号企业的需求，导致其产量下降。这将持续到所有库存耗尽。随之而来的是需求激增和产量增加的阶段，企业库存开始再次上升，经济进入另一个周期。这类似于Dai等人（2017）提出的众所周知的“牛鞭效应”，即库存会导致不稳定效应。当σ=∞ （图12的右栏）。F.对初始条件的敏感性图5和图12的相图是通过对系统在10级平衡附近的初始扰动后的行为进行分类而建立的-3.

但我们的系统是非线性的，对于同一组参数，较大的扰动可能会导致不同的结果。在本节中，我们研究初始条件对动力学的影响。-1000 100101102103rγ-1000100101102103rpε=100-1000 100101102103rγε=1 collapsecomp。eq.Def。情商危机。图13：α=β=β=α=0.45，ω=0.1，σ=∞. 左：ε=100，α αd（100）≈ 0.115，允许平衡值出现非常大的扰动。右：ε=1，α>~αd（1）≈ 0.395. 大扰动会导致系统达到波动平衡。还要注意，向下的扰动可能会导致偏离平衡。在这种情况下，系统会做出过度反应并爆炸，以达到一个偏差平衡。黑色虚线分隔价格或产量的正扰动和负扰动区域。这颗红星对应于没有扰动。1.平衡吸引盆对于任何非线性动力系统，给定固定点的吸引盆定义为允许系统达到它的初始条件集。吸引盆地的分析测定是一个众所周知的困难问题，尤其是对于高维系统。正如V B节所指出的，有可能使平衡附近的动力学线性化。随后的动态是分段线性的，由N+4N+1维向量的演化来描述。由于单独探讨扰动对该向量的每个组成部分的影响是不现实的，我们将把研究局限于对当前产量、价格和产量目标的均匀扰动。因此，我们将微扰参数化为aspi（0）=peq，i（1+rp），γi（0）=γeq，i（1+rγ），bγi（1）=γeq，i（1+rγ），（V.8），其中rpr和rγ是从-1（初始值为0）和+∞.

对于给定的rp，我们扫描rγ的所有值，找到最大的向上和向下可能的扰动，使系统恢复到平衡状态。除此之外，动力学可能会将系统推向另一个阶段。图13显示了尺寸扰动（rp，rγ）后动力学达到平衡的近似区域。对于大ε，当rp，rγ>0时，系统能够承受非常大的扰动。然而，无论何时rporγ为负值，系统都可能最终处于崩溃区域。我们将在下一节讨论这一点。最后，正如人们所预料的，随着ε的减小，吸引盆地急剧缩小（图13右侧）。人们可以看到，只要价格离均衡不太远，这个系统仍然能够应对生产上的大扰动。竞争平衡态吸引域的收缩为ε→ 0再次揭示了网络效应对理解经济脆弱性的重要性，因为我们记得ε的价值一方面取决于生产率，另一方面取决于投入产出网络的结构。0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5α0.00.10.20.30.40.5ω0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5α羽化。eq.Def。情商危机。图14：ε=10，β=0.1，α=0.25，σ=∞ α=β。左图：通过对均衡价格和数量级产品施加一个小的向上扰动，系统在不短缺区域初始化-4.正确：该系统是在无短缺和短缺（50%/50%）的混合环境中初始化的，通过对均衡价格和产量进行调整。红线对应于预测αc=√βω（此处α=β）表示矩阵D的稳定性。注意，此处我们固定了α和β的值，以说明αc周围的另一种可能的转变形状。

如果我们像之前一样选择了α=β=α=β，那么转换线应该是α=ω，如图12.2所示。扰动的方向除了扰动量的重要性外，扰动的方向也很重要。这是不同锥体中状态空间分离的结果。对于平衡点附近的小扰动，如果系统在无短缺锥中初始化，动力学行为将不同于在完全短缺锥中。作为说明，图14显示了相同参数但不同初始扰动的平面（α，ω）相图。在左边，对均衡价格和产量施加一个小的向上扰动，但初始目标设定为γeq。这使系统在不短缺锥中做好准备，因为产量高于均衡水平，家庭需求较低。我们发现，崩塌区域由第V B节中定义的矩阵Dde的稳定性很好地描述，在这种情况下，它将轨迹保持在非短锥内。另一方面，右图显示，在无短缺/短缺的混合情况下初始化系统会产生额外的崩溃动力学楔块（注意，图12的图表上显示了相同的楔块）。在这条线上方，矩阵驱动部分短缺锥体外的动力学。该系统最终达到不短缺锥，该锥由平衡稳定的DAD保持。在这条线之下，动力进入了完全短缺的圆锥体，这一圆锥体由dn保存，但在另一方面，平衡是不稳定的。为了进一步说明这种影响，我们使用混合初始条件SPI（0）=peq，i（1±rp），γi（0）=γeq，i（1±rγ），bγi（1）=γeq，i（1±rγ），（V.9）对我们的模型进行了动力学分析，其中50%的公司和- 为了其他人。

这使系统处于50%的企业无法满足需求的状态。在图15中，我们展示了扰动rp，rγ从0到1的平衡吸引盆。正如我们所看到的，足够大的短缺可能会破坏动态，即使在很大程度上ε0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0rγ0.00.20.40.60.81.0rpε=1000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0rγε=1CollapseComp。eq.Def。情商危机。图15：ε=100（左）和ε=1（右），α=β=β=α=0.45，ω=0.1，σ=∞.六、 总结与结论让我们首先总结一下本文的主要信息。这项工作始于Morand Bouchaud（2019）的观察，即当生产率过低、连通性过高或可替代性过低时，通用投入产出网络模型无法达到竞争平衡状态。这就引出了一个问题：在这种情况下，经济会发生什么变化？我们认为，对这样一个问题的回答必然是动态的，并要求将标准平衡框架扩展到非平衡运动方程，其目的是描述不平衡如何在时间上回归，以及达到平衡的速度有多快——如果达到平衡的话。我们首先提出了我们称之为“幼稚”的模型，基于推动经济恢复平衡的力量在失衡（利润和供需失衡）中是线性的这一想法。这导致了有趣的非线性（Lotka-Volterra型）价格和产量微分方程，该方程预测，除其他外，随着网络经济接近竞争均衡不再允许的不稳定点，平衡时间会发生变化。

我们认为，这种长时间尺度也会导致过度波动，因为粘性冲击的影响无法迅速消散。然后，我们指出，朴素的模型没有正确地考虑物理约束：无法满足超额需求，必须储存超额供应，消费只能在商品生产后开始，工资只能在支付后支付，等等。在一个一致的模型中考虑所有这些约束相当复杂，但这导致了一个模型，该模型显示了更多种可能的动力学行为，其中一些远离竞争平衡。事实上，即使在不允许均衡的参数区域，模型的动态也可以保持良好的表现，因为一些价格和/或产量将为负值，除非一些企业从网络中移除。对整个模型的数值研究得出了丰富的相图，从中我们提取了以下显著特征，具有明确的经济含义：o竞争均衡只在有限的参数范围内吸引动态：企业适应失衡的速度既不能太慢也不能太快，以及货物损坏的速度必须足够高。规模收益递减也有助于趋同达到均衡当适应速度太快，或者商品的易腐性太低时，协调就会崩溃，经济就会进入一个周期性或混沌的纯内生商业周期阶段，博纳特等人也报告了这一点。

(2014).o 在竞争平衡阶段和振荡阶段之间的边界附近，人们观察到一种间歇性危机的机制，长时间的准平衡被爆发的通货膨胀打断存在另一类均衡，负波动，但实际价格和产量与竞争均衡不同。特别是，在这种情况下，市场——包括就业市场——并不明确：劳动力供给总是大于劳动力需求。然而，这些均衡的特点是预测和实现量之间的持续差异，这可能会使它们在简单的学习规则下变得不稳定要想在劳动力需求大于劳动力供给的情况下实现均衡，需要在模型中引入替代性储蓄和利率最后，我们检查了相图的整体形状对网络结构的变化（尽管有关实际输入输出网络动态的更多信息，请参见附录E）和使用的特定形式的CES生产函数的变化是否具有鲁棒性。这意味着我们的结果是通用的，在现实情况下也应该适用。因此，我们的模型提出了导致过度波动（或“大商业周期”）的两种不同的失衡路径：（a）过度反应和非线性导致的纯内生周期，或（b）外部冲击的持续性和放大，由竞争均衡不稳定的参数空间中边界的接近度决定。虽然场景（a）乍一看可能更为一般，但Bak等人（1993）很久以前提出的自组织临界场景也可能使（b）变得合理。

需要具体的实证工作来区分这两种情况。然而，应该记住，实体经济的许多相关特征被排除在模型的当前版本之外。特别是，虽然允许企业亏损，但我们没有考虑到这将带来的信贷成本，以及货币政策的影响，在面临通货膨胀/贬值时提高或降低利率。当企业过度负债时，我们也没有引入破产机制，按照Sharma等人（2021年）的思路移除非竞争性企业。但这需要从一个静态的企业网络转移到一个动态发展的网络，随着一些企业破产和其他企业创建，网络会重新布线。事实上，从这种静态框架转向重新布线模型的另一个动机是能够描述由输入输出网络介导的可能的破产级联，就像银行网络中发生的违约级联一样。我们将此留作进一步调查。此外，还需要更好地描述家庭部门，摆脱典型的家庭假设，引入工资不平等、信任效应（如Morelli et al.（2020））和债务。事实上，我们的动态模型可以被视为传统经济模型（描述均衡）和基于代理的模型的混合体，在这些模型中，实施了额外的合理但特别的规则来解释失衡的动态方面。如我们所示，在某些参数范围内，达到了经典的竞争均衡。

如果达到的速度足够快，大多数标准描述中使用的“绝热”假设将成立，而当平衡时间很长（甚至很长）时，新现象就会出现。我们希望，在某些极限情况下恢复标准结果的可能性将使ABM方法更受经济学家欢迎，同时引出一般均衡思想的内在局限性。相反，按照当前模型的思路，将企业网络效应纳入Mark-0（Gualdi等人，2015b，2016）等ABM中肯定是值得的。最后，我们的方法的一个吸引人的特点是，可以使用关于个别公司和价格的高度分散的数据（例如通过“十亿价格项目”Cavallo和Rigobon（2016））来校准模型，并有望将其用作一个强大的描述和预测工具。我们期待着在不久的将来朝着这个方向努力。感谢Giulio Biroli、Doyne Farmer、Xavier Gabaix、Stanislao Gualdi、Alan Kirman、Johannes Lumma和Francesco Zamponi对我们的研究项目的多次反馈，感谢Vu Do Chi Toai帮助建立网络应用程序，感谢Camille Boissel帮助理解这个模型以及她对经济学的众多见解。我们还要感谢安托万·曼德尔和本·莫尔对本手稿第一版提出的非常有用的意见。JPB从与“重建宏观经济”项目成员的多次对话中获得了信息，其中包括安格斯·阿姆斯特朗和罗杰·法默。JM感谢与Dhruv Sharma就基于Tagent的建模进行的无数讨论。