这项研究是在经济物理学和复杂系统研究主席的主持下进行的，由Risque基金会、Ecole polytechnique基金会、Ecole polytechnique and Capital Fund Management赞助。注释在本节中，我们总结了本文中使用的所有关键注释。生产函数与网络？q是输入之间的替代弹性。情况q=0对应于Leontief生产函数，其中输入不能相互替换，而q=∞ 对应于输入完全可替换的Cobb-Douglas生产函数。此外，我们称ζ=1/（q+1）。？b是返回比例参数。？J∈ MN，N+1（R）是输入输出矩阵。它的条目Jijdenote记录了j生产一单位产品所需的输入量，因此定义了加权邻接矩阵和交互网络。通常，输入j=0对应于人工，我们使用符号Ji0=Vi。？A.∈ MN，N+1（R）是代换矩阵。它的条目aijand Aikind证明了我可以轻松地用另一个输入j替换一个输入k。例如，相对于其他Aik的大值Ail意味着输入l可以轻松地替换任何其他输入。？Λ ∈ MN，N+1（R）=aqζo Jζ是替代生产函数恒定弹性的聚合矩阵。？M=zζi-∧是网络矩阵，对角线上有企业的生产率系数。我们隐式地划掉了∧的第一列。

当q=0（即Leontief生产函数）M= （子）-Jε是网络矩阵的最小特征值。公司？N是公司的数量。？Zi是一号企业的生产率系数吗。？α是价格增长率对生产过剩的对数弹性。？α是价格增长率对利润的对数弹性。？β是生产增长率对利润的对数弹性。？β是生产增长率对生产过剩的对数弹性。？ω是工资增长率对劳动力市场紧张关系的对数弹性。？σi是商品i的折旧参数。？π（t）∈ 好的i时间t的价格是多少。？p（t）是在t时支付给家庭的共同工资。？yi（t）：=ziγi（t）是时间t时企业i的产量以及时间t时相应的产量水平γi（t）。？byi（t）：=zibγi（t）是指公司i在t时的目标产量，以及相应的目标产量水平bγi（t）。？Iij（t）∈ MN（R）是企业i拥有的商品j的库存量。尤其是对角线项Iii（t）对应于其自身生产的库存量。？Gi（t）、Li（t）、Si（t）和Di（t）分别对应于t时每家公司的销售收入（“收益”）、生产成本（“损失”）、供应和需求。？πi（t）：=Gi（t）-Li（t）是公司i在t时实现的利润吗。？Ei（t）：=Si（t）-Di（t）是公司i在t时的生产盈余吗。？bxij（t）是指给定特定生产目标和agiven生产函数，使企业i的成本最小化的商品j的数量。bxi0（t）：=b`i（t）对应于所需的最佳工作量。？xdij（t）是企业i到企业j所需的输入j的数量。xdi0（t）：=`di（t）对应于所需的工作量。？xij（t）是有效交换的输入j的数量。

xi0（t）：=“i（t）对应于家庭受雇为企业i做的工作量。”。？xaij（t）是可用于生产的输入j的数量。xai0（t）：=`ai（t）对应于生产的可用工作力。？xuij（t）是有效用于生产的输入j的数量。xui0（t）：=`ui（t）对应于生产的可用工作力。？λ是一个行为参数，决定企业如何预测未来的交易所。一家人θi是家庭对好i.的消费偏好。？\'\'θ=πθi。？Lis家庭愿意工作的名义小时数。？Γ是对工作参数的厌恶。？ν是凸度对工作参数。？ω是一个消费信心参数。？U（t）是时间t时家庭的效用。？Ls（t）是时间t的可用工作供应吗。？Ld（t）是时间t时的总工作需求。？L（t）是时间t的实际工作量。？Cdi（t）是时间t的需求消耗量。？Cri（t）是时间t时的实际消耗量。？B（t）是时间t的预算吗。？S（t）是t.Acemoglu，D.，Carvalho，V.，Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.（2012）时期的储蓄。聚合函数的网络起源。《计量经济学》，80（5）：1977-2016年。Antr`as，P.，Chor，D.，Fally，T.，和Hillberry，R.（2012）。衡量生产和贸易流量的上游。《美国经济评论》，102（3）：412-416。Arrow，K.J.，Chenery，H.B.，Minhas，B.S.，和Solow，R.M.（1961）。资本劳动力替代和经济效率。《经济学与统计评论》，43（3）：225-250。Atalay，E.，Horta,csu，A.，Roberts，J.，和Syverson，C.（2011）。生产网络结构。美国国家科学院院刊，108（13）：5199-5202。阿夫拉琴科夫，K.，菲拉尔，J.，和霍利特，P.（2013）。解析微扰理论及其应用。

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《自然》，118:558-560。附录A：一般均衡条件在本附录中，我们展示了在一般CES生产函数和非恒定规模收益率b.1的情况下，导致价格和生产水平均衡方程的计算。平衡关系的计算a。案例q<+∞: Leontief和general CESWe首先执行市场清算条件ziγeq，i=NXj=1xeq，ji+Ceq，i，（A.1），并使用（II.5）将其注入零利润条件。我们可以推导出一个更好的量pneteq的表达式，i=PNj=0∧ijpζeq，jat平衡：zipeq，iγeq，i=NXj=1∧aijpζeq，j佩内特克，我qγ1/beq，i<==> zipeq，iγb-1beq，我=佩内特克，我qXj∧ijpζeq，j<==>佩内特克，我q+1=zipeq，iγb-1beq，我<==> 佩内特克，我=zipeq，iγb-1beq，我ζ、 因此，交换量Xeqij=∧ijp的一个更好的表达式-qζeq，jzqζipqζeq，iγζ（b-1） +1beq，i=zqζi∧aij佩克，伊佩克，jqζγζbq+1beq，i.（A.2）使用零预算条件，我们可以检索均衡消耗cEqi=θi′θ1+Γ1+ΓLpeq，i:=κipeq，i，（A.3），这样我们就可以得到关于价格和生产水平的封闭式方程。

我们将（A.2）和（A.3）表示回零比例条件，以检索第一个平衡方程：i、 齐佩克，我，我-NXj=1peq，jzqζi∧ij佩克，伊佩克，jqζγζbq+1beq，i=zqζi∧ai0pqζeq，iγζbq+1beq，i<==> i、 zζipζeq，iγζb-1beq，我-NXj=1∧ijpζeq，j=i0<==> i、 zζipζeq，i-NXj=1∧ijpζeq，j=∧i0+zζipζeq，i1.-γζb-1beq，我<==> Mpeqζ=V+zζo peqζo1.-γeqζb-1b,然后在市场清算条件下，得到第二个平衡方程：i、 我-NXj=1zqζj∧ji佩克，jpeq，我qζγζbq+1beq，j=κipeq，i<==> i、 ziγeq，ipqζeq，i-NXj=1zqζj∧jipqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i<==> i、 zζiγeq，izqζipqζeq，i-NXj=1∧jizqζjpqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i<==> i、 zζiγζbq+1beq，izqζipqζeq，i-NXj=1∧jizqζjpqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i+zipqζeq，iγζbq+1beq，i1.-γζb-1beq<==> M>zqζpeqqζγeqζbq+1b=κpeqζ+zopeqqζo γeqζbq+1b1.-γeqζb-1b.如果q→ 0+和b=1，可以检查（II.8）是否被检索。b、 案例q=+∞: Cobb DouglasTo在q=+∞, 我们需要在（II.5）中接受这个限制。它的yieldsbxil=aqζilJζilp-qζlNXj=0aqζijJζijpζjq^γ1/bi=aqζilJζilp-qζlNXj=0Jij6=0aqζijJζijpζjq^γ1/bi≈Q→+∞γ1/biexpq日志NXj=0Jij6=0aijexpζlogJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpq日志NXj=0Jij6=0aij+ζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpq日志1+ζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpqζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biNYj=0Jij6=0Jijaijpj.然后我们可以表示出量ziγb-1beq，ipeq，i通过零性能条件asziγb-1beq，ipeq，i=NYj=0Jij6=0Jijaijpeq，j.

（A.4）利用市场清算条件，我们可以得到Cobb-Douglas情况下的第一个均衡方程：i、 ziγeq，i=κipeq，i+Xjajip-1eq，iγ1/beq，jNYj=0Jij6=0Jijaijpeq，j<==> i、 ziγeq，ipeq，i=κi+Xjajizjγeq，jpeq，j<==>在里面- a>Zoγeqo peq=κ<==> Zoγeqo 佩克=在里面- a>-1κ.为了得到第二个方程，我们将前一个方程注入（A.4）并取对数。上面写着i、 log ziγeq，ipeq，i-blogγeq，i=NXl=1Jil6=0aillogJilail+NXl=1Jil6=0aillog peq，i<==> i、 b-1blogh在里面- a>-1κii+blog peq，i+blog zi=NXl=1Jil6=0aillogJilail+NXl=1Jil6=0aillog peq，i<==>箱子- A.对数peq=1-bblog在里面- a>-1κ -博客z+h，其中hi=PNl=1Jil6=0aillogJilail。在柯布-道格拉斯的案例中，价格和产量始终存在正均衡。事实上，看看第二个方程，我们可以看到一个普遍存在的解决方案（除了在非常特殊的情况下，b-1是对数peq的a）特征值。将这个解进行幂运算表明，peqq总是正的。对于第一个方程，矩阵为- a总是可逆的，因为a的特征值λ是|λ|≤PNj=1aij=1- ai0<1多亏了Togersgorin定理。这也证明了-a实际上是一个M矩阵，这使得方程的解为正，这意味着γEq也为正。2.正平衡非线性代数系统的正解问题是一个复杂的问题。目前，除了在一些非常特殊的情况下，没有普遍的证据证明存在正解。Q<+∞ 通用b也不例外。然而，一阶近似是可能的。设置q=0（列昂蒂夫生产函数），方程读数为MPEQ=V+zpeq1.-γeqb-1b（A.5a）M>γ1/beq=κpeq+zγ1/beq1.-γeqb-1b. （A.5b）我们知道b=1的解p（0）eq，γ（0）eq，我们设置b=1- δ.

假设均衡价格和产量的形式为peq=p（0）eq+p（1）eq（δ），γeq=γ（0）eq+γ（1）eq（δ），至少kp（1）eq（δ）k∞ kp（0）eq（δ）k（和γeq相同），我们可以写出p（1）eqyieldingMp（1）eq=zp（0）eq的方程1.-经验-δlogγ（0）等式. （A.6）以ε的前导顺序开发解决方案（我们使用附录C中的结果和符号），我们得到p（1）等式=|rNiρnεh`n | V ih`n|1.-经验-δlog |`Nih`N | vi|rNi，（A.7），其中向量的任何函数都被理解为分量。我们可以用εpeq=|rNih`N | viε来写peqat前导顺序1+ρnεh`n|1.-经验-δlog |`Nih`N | vi|rNi, （A.8）并得到εc（δ）的第一个近似值，在该近似值下，均衡价格为负εc（δ）~ -ρn1.-经验-δXj`N，jrN，jlog`N，jh`N | V i. （A.9）对于无向d-正则网络，我们有εc（δ）~ -D1.-经验δlogXjVj. （A.10）图16显示了存在容许平衡的区域。附录B：朴素模型的松弛时间朴素模型的非线性动力学由等式给出。（III.5）。在本附录中，我们推导了系统在各种极限下的松弛时间。1.动力学的线性化为了使系统线性化，我们写pi（t）=peq，i+δpi（t）和γi（t）=γeq，i+δγi（t），并将这些表达式注入（III.5）。经过几次计算，我们在变量U（t）=（Δp（t），Δγ（t））>中建立了以下一阶线性方程：dUdt=DDDDU（t）：=DU（t），（B.1），其中矩阵的不同块分别=-αuθiziγeq，ipeq，i- αZ-1iMD=-αpeq，iziγeq，iM> D=βγeq，izipeq，iM-βuθizipeq，我！D=-βZ-1iM> 。（B.2）图16：n=100企业上d-正则网络正平衡的存在区域。我们可以看到，对于δ=0，即b=1，我们给出了标准的Hawkin-Simons跃迁εc（0）=0。一阶解A.10以蓝色绘制，非常适合b和ε的值范围。

然而，当放大图右侧的边界时，人们开始看到蓝线和数字边界之间的差异。2.高生产率区域的松弛时间在本节中，我们假设生产率因素大到足以忽略企业之间的相互作用。在这种制度下，企业的效率足够高，因此投入的实际数量在最终生产中并不重要。在这个极限下，我们可以给出均衡价格和产量peq的近似表达式，i=Vizi（B.3a）γeq，i=uθiVi。（B.3b）同样，我们对稳定性矩阵的每个块进行近似：D≈子→∞-（α+α）IND≈子→∞-α维齐θiD≈子→∞(β - β)ziθiViD≈子→∞-βIN，（B.4），并通过计算其特征多项式并将其设置为0:det（σI2N）来推导D的光谱- D）=σIN- D-D-DσIN- D≈子→∞det（（σ+α+α）（σ+β）IN+α（β）- β） 中）=σ+ σ(α + α+ β) + αβ + αβN=0。解这个方程得到两个本征值σ±，两个本征值的简并度均为N，读数为σ±=×-α- β- α±p（α+β+α）- 4（αβ+αβ）如果（α+β+α）>4（αβ+αβ）-α- β- α±ip4（αβ+αβ）-（α+β+α）如果（α+β+α）<4（αβ+αβ）。（B.5）这反过来让我们推导出弛豫时间：τrelax=2×(α+ β+ α -p（α+β+α）- 4(αβ + αβ))-如果（α+β+α）>4（αβ+αβ）（α+β+α）-1if（α+β+α）≥ 4(αβ + αβ). （B.6）3。用ε的微扰展开研究D作为ε的行为→ 0+要求了解M、 peq，γeq在这个限度内。我们现在介绍矩阵j= （zmax）- zi）+J，并用ρν（分别为| rνi，h`ν|）表示其特征值（分别为右/左特征向量），按其实部排序。Perron-Froebenius定理表明，上特征值ρ是实的、简单的，并且与一个完整的正特征向量相关联。

接下来，我们使用矩阵M的以下光谱表示：=ρNIN-eJ+ εIN（B.7）M-1=ε| rNih`N |+N-1Xν=1ρN- ρν+ε| rνih`ν|=ε| rNih`N |+∞Xk=0(-ε） 千牛-1Xν=1（ρN- ρν）k+1 | rνih`ν|，（B.8），这让我们可以表示均衡价格和产出以及D。当ε=0时，我们还使用符号mt来表示网络矩阵。该矩阵为单数矩阵，验证| rNi=0，M>| Ni=0。（B.9）在ε中展开，忽略ε阶和更高阶的因子，得到稳定矩阵块的以下结果：D=D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3）D=εD(-1） +D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3）D=εD（1）+εD（2）+εD（3）D=D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3），（B.10）其中附录C中给出了扰动项D（1）的精确定义。为了简化计算并给出封闭形式的结果，我们考虑了具有齐次生产率因子的无向网络（对称M）。然而，当考虑更一般的网络时，定性结果不变。在此设置中，M的特征向量用| eνi表示。我们在这里使用狄拉克表示法，其中| vi表示列向量，hv表示行向量。4.足够有趣的是，ε=0的边缘稳定性，尽管D的右上角块以ε的形式发散→ 0时，其光谱收敛到有限极限。为了了解这一点，我们使用了块行列式公式公元前= det（广告）- 对于相同大小的矩阵，其中换向器[C，D]=CD- DC=0。在我们的例子中，我们需要[D，D]=0，它只在极限ε=0时成立。

然后我们可以写：det（σI2N- D）≈ε→0detσIN- D（0σIN- D（0- D(-1） D（1）= 德特σIN+αρNMσIN+βρNM+αβρNM= 德特σIN+σα+βρNM+αβ+αβρNM=NYν=1σ+σα+βρN（ρN- ρν）+αβ+αβρN（ρN- ρν)= σYν6=Nσ+σ（α+β）1.-ρνρN+ (αβ + αβ)1.-ρνρN!.该乘积中的每个因子产生两个特征值：o如果（α- β） >4αβ然后σν±=-α- β±p（α+β）- 4(αβ + αβ)1.-ρνρN, （B.11）o如果（α）- β） <4αβ然后σν±=-α- β±ip4（αβ+αβ）-(α+ β)1.-ρνρN, （B.12）o如果（α）- β） =4αβ然后σν=-α+ β1.-ρνρN. （B.13）拖尾因子表明0是D的特征值（对于ν=N），退化为ε的两倍→ 0.我们推断系统在这个极限下表现出边缘稳定性。图17显示了D特征值的经验分布和相应的理论预测。5、极限松弛时间ε→ 到目前为止，我们已经证明，我们的系统在ε=0时表现出边际稳定性。我们现在证明了系统的弛豫时间表现为τ弛豫~ ε-1.为此，我们使用Avrachenkov中描述的解析微扰理论，我们不需要考虑换向器中的一阶项，因为D（1），D（0）i=0，见附录C。-0.10-0.08-0.06-0.04-0.02 0.000.000.250.500.751.001.251.50×101-0.03-0.02-0.01 0.00 0.01 0.02 0.030.00.51.01.52.02.5×101-0.16-0.14-0.12-0.10-0.08-0.06-0.04-0.02 0.00R（σ）0.00.51.01.5×101-0.4-0.20.0.20.4I（σ）0.00.51.01.52.0×102图。17：稳定矩阵D（对于D=3的D-正则无向网络上的N=1000个企业）频谱的实部（左列）和虚部（右列）直方图，通过数值拟合获得。上图：案例（α）- β)< 4αβ. 底部：（α）- β)> 4αβ. 红线是用McKay密度计算随机三正则图McKay（1981）特征值的热力学计算（B.12）和（B.11）。在（B.12）、（B.11）中，可以注意到0处的峰值，这说明了ν=N的情况。等

（2013），在我们的设置中，它将D（0）的特征多项式的ε-扰动从0减少为εgoesaway。该特征多项式由χ（σ，0）=σNYν=1给出σ - σν+σ - σν-, （B.14）带有上一节中给出的σν±值。我们现在尝试寻找σ项的扰动，以获取σN±=0的扰动。利用解析微扰理论，我们可以看到（ε，σ）=（0，0）是扰动D（ε）下的一个分裂点（ε=0是一个多点，因为ε=0时D至少有一个重根，而σN±=0是一个重根）在此设置中，σN±=0在扰动D（ε）下分裂，得到2个扰动特征值。此后，对于足够小的ε，χ（σ，0）的素因子σ表示为二阶多项式，其系数取决于ε。我们可以写（σ）：=σD（ε）-→ p（σ，ε）：=σ（1+a（1）ε+a（2）ε+·ε）+σ（a（1）ε+a（2）ε+·ε+a（1）ε+a（2）ε+·ε。这个展开式确保p（σ，ε）-→ε→0p（σ）。此外，a（i）中至少有一个是非零的。否则我们就可以在p（σ，ε）中算出σ，这意味着对于足够小（但非零）的ε，0∈ Sp（D（ε）），我们知道这是错误的，因为系统在ε>0时是稳定的。由于右上角块的发散，D（0）没有正式定义，因此我们稍微滥用了符号。此外，我们知道σN±=0的分裂行为被施加，确保p（σ，ε）的判别式不能消失（导致多根），这就产生了关于系数的另一个条件。最后，因为我们一般都在研究复数根，所以p（σ，ε）总是会分解成两个不可约且归一化的1阶多项式。这确保了我≥ 1，a（i）=0，而a（1）=0。最后一点并不是那么简单，值得解释。来自Avrachenkov等人。

（2013），扰动特征值σNα（ε）的Puiseux级数可以写成σNα（ε）=∞Xx=1bNαxεx/gNα，α=1,2，其中gNα是从中提取根σNα的多项式的次数。在我们的设置中，gNα=1意味着σNα的第一个扰动为ε级。现在，我们也知道σNα是通过解二阶方程p（σ，ε）=0得到的。这意味着两个根都读取σnα=o（ε）+κα√.我们现在可以写信了 像 = o（ε）-4a（1）ε，因此，如果a（1）6=0，σNα的主导项将为o阶(√ε） 这与之前的分析相矛盾。最后，我们可以尝试寻找类似于p（σ）：=σD（ε）的扰动-→ p（σ，ε）：=σ+σ（a（1）ε+a（2）ε+·ε）+a（2）ε+·ε。为了确定展开式中的不同项，我们重复使用上一节中进行的行列式计算，但现在将项保持为ε阶。这将产生：det（σI2N- D）=σIN- D-D-DσIN- D≈ε→0det（（σIN）- D） （σIN）- D）-DD）=detσIN- σD（0）+D（0）+ D（0）D（0）- D(-1） D（1）|{z}∑（0）（σ）+ε-σ（D（1）+D（1））+D（0）D（1）+D（1）D（0）- D(-1） D（2）- D（0）D（1）|{z}∑（1）（σ）+ ε-σ（D（2）+D（2））+D（0）D（2）+D（1）D（1）+D（0）D（1）- D(-1） D（3）- D（0）D（2）- D（1）D（1）|{z}∑（2）（σ）≈ε→0det∑（0）（σ）+εTr通用域名格式Σ(0)>Σ(1)(σ)+ εTr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(2)(σ)+ εTr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(1)(σ)- Tr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(1)(σ)!2 det∑（0）（σ）。常数项det∑（0）（σ）是ε=0时D的特征多项式，因此det∑（0）（σ）=χ（σ，0）。同样，很容易证明，对于具有特征值λ和相关特征向量|λi的可对角化矩阵a，矩阵COM（a）可以在相同的基上对角化，并且readsCom（a）=XλYλ6=λ|λihλ|。（B.15）使用这个引理，我们可以写下Σ(0)(σ)=Yν6=Nσ - σν+σ - σν-|eNiheN |+Xν6=NσYu6=ν，Nσ - σu+σ - σu-|eνiheν|。（B.16）我们现在将每个跟踪项发展到Com的特征基上Σ(0)(σ).

从现在起，我们不再讨论∑矩阵的σ依赖关系，但要记住，这些矩阵是σ中一阶多项式。第一个跟踪readsTr通用域名格式Σ(0)>Σ(1)=Yν6=Nσ - σν+σ - σν-heN∑（1）| eNi+Xν6=NσYu6=ν，Nσ - σu+σ - σu-他ν|∑（1）| eνi。我们只对第一项感兴趣，我们可以使用D块的显式形式来确定|∑（1）| eNi=σheN|D（1）+D（1）|埃尼=-σρN（α+α+β）。对于第二个迹项heN∑（2）| eNi=σheN，也可以进行同样的计算|D（2）+D（2）|埃尼+母鸡| D（1）D（1）|埃尼-heN | D（0）D（2）| eNi=σρN（α+β）-αβ+αβρN+σκ，其中κ=heN | D（2）| eNi，我们不需要计算。平方迹项非常复杂，我们只是简单地描述了它们的计算。在p（σ）的微扰中可能输入的项抵消了（这些是平方项的和）。多项式的有理分式项（由于我们寻找多项式扰动，这可能是病态的）也会被抵消。其他项不进入p（σ）的扰动，并且是非病理性的。最后，p（σ）的扰动类似于esp（σ）：=σD（ε）-→ p（σ，ε）≈ σ+ σεα+α+βρN- εα+βρN- εκ+ εαβ+αβρN.我们现在在二阶写出这个多项式的判别式，得到（ε） =ερN(α + α+ β)- 4(αβ + αβ).我们得到了与大ε区相同的分离。用βc=（α+α+β）表示-4αβ4α，ε：σN±≈ε→0ε2ρN×-α- β- α±p（α+β+α）- 4（αβ+αβ）如果β<βc-α- β- α±ip4（αβ+αβ）-（α+β+α）如果β>βc-α- β- α如果β=极限ε内的βc.（B.17）→ 0，ρN=zmax，我们检索文本中给出的方程。图18显示了理论估计值和实际最大特征值（通过矩阵D的数值模拟获得）之间的适当性，即ε→ 附录C：稳定性矩阵块在本节中，我们给出稳定性矩阵块的扰动项的值。

我们介绍了在具有同质生产率因子的无向网络的情况下简化的数量的几种符号。最后，我们使用bra（resp.ket）表示法来表示一行（resp.column）向量| vi，并用其分量表示。10-910-710-510-310-1103105Hεi10-1110-910-710-510-310-1101σN+β>βcβ<βc10-710-310110510-1410-1010-610-2102误差线性估计图。18：平线：模拟最小特征值。虚线：ε的理论估计 1.误差图给出（B.17）的线性估计与模拟特征值之间的误差。对单位权重的3-正则无向网络上的经济型onN=100企业进行了模拟。我们生成了50个这样的经济体，并在实部中平均出最接近0的D的特征值。1.Peqa和γeqa的扰动。PricesEquilibrium价格可以通过应用M轻松获得-1到向量|vi yieldingpeq，j=εh`N |V irN，j+N-1Xν=1hlν| V iρN- ρνrν，j- εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j+εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j- εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j:=επl-1（V）j+πl（V）j- επl（V）j+επl（V）j- επl（V）j，（1.a）其中我们引入了i≥ 0πl-1（V）=h`N | vi | rNi，πli（V）=N-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）i+1 | rνi.b.生产平衡生产可能更难获得。我们首先推导出三个有用的恒等式，以简化计算。对于s=1，n、 我们有εpeq，s=πl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s+επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!-επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+2πl（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!（i） peq，s=επl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s+επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!（ii）εpeq，s=επl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s（iii）εpeqs=επl-1（V）s（iv）εpeqs=o（ε）。

（v） 这些结果允许用ψeq，i=uθipeq，iγeq，j=uεhrN |ψeqilN，j+uN写出平衡乘积-1Xν=1hrν|ψeqiρN- ρνlν，j- εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j+εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j- εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j=ulN，jnXs=1rn，sθsπl-1（V）s+εunXs=1（N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）s-lN，jrn，sθsπl（V）sπl-1（V）s）+εunXs=1（πl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s-N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）sρN- ρν+πl（V）sπl-1（V）s)+ εunXs=1（N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s+πl（V）s（ρN）- ρν）πl-1（V）s+（ρN- ρν）πl-1（V）s:= uf0，j+εuf1，j+εuf2，j+εuf3，j.（1.b）2。稳定性阻塞下一步是扰动稳定性矩阵本身。这不会产生特别的困难，但计算有点长，所以我们只给出不同块的结果。我们用τgk表示zγ展开式的系数，其中τi=ρNeN，i/heN | V i表示无向网络。

我们有（D（0））ij=-αρNMij（D（1））ij=-αμθiτiπl-1（V）iδij+αρNMij-αρNδij（D（2））ij=+αμθiτiπl-1（V）ig1，i+πl（V）iπl-1（V）iδij-αρNMij+αρNδij（D（3））ij=-αμεθiτiπl-1（V）ig1，i- g2，i+πl（V）iπl-1（V）ig1，i+πl（V）iπl-1（V）i+πl（V）iπl-1（V）i!δij+αρNMij-αρNδij（D(-1） ）ij=-απl-1（V）iτiMji（D（0））ij=ατiMjiπl-1（V）ig1，i- πl（V）i- πl-1（V）iδij（D（1））ij=ατiMjiπl-1（V）ig1，i+2πl-1（V）ig1，ig2，i+πl（V）ig1，i- πl-1（V）ig2，i- πl（V）i+πl-1（V）ig1，i- πl（V）iδij（D（2））ij=ατiMjiπl（V）ig1，i+πl（V）i- πl-1（V）ig3，i+g1，i+ πl（V）ig1，我- g2，我+πl-1（V）ig1，我- g2，我- πl（V）ig1，i- πl（V）iδij,（D（1））ij=μβf0，iρNπl-1（V）iMij（D（2））ij=μβf0，iρNg1，iπl-1（V）i-πl（V）i（πl）-1（V）i）+g1，iρN-πl（V）iρNπl-1（V）iMij+πl-1（V）iδij- βμθiρNπl-1（V）iδij（D（3））ij=μβf0，iρN米吉πl（V）i（πl）-1（V）i）+（πl（V）i）（πl）-1（V）i）-πl（V）i（πl）-1（V）i）g1，i+g1，iρNπl-1（V）i-πl（V）iρN（πl）-1（V）i）+g1，iπl-1（V）i-πl（V）i（πl）-1（V）i）+ρNg1，我-πl（V）iπl-1（V）iδij+ βμθiρNπl-1（V）i2πl（V）iπl-1（V）i+ρNδij，（D（0））ij=-βρNMij（D（1））ij=βρNMij-βρNδij（D（2））ij=-βρNMij+βρNδij（D（3））ij=βρNMij-βρNδij。附录D：价格和产出的临界波动性与波动1。边缘稳定线性随机系统的一般计算在本节中，我们考虑由线性随机方程DU（t）dt=DU（t）+ξ（t），（D.1）给出的向量U（t）的一般演化，其中D是实N×N矩阵，ξ（t）是高斯相关噪声，使得hξi（t）i=0（D.2）hξi（t）ξj（s）i=2σδijG（|t）- s |）。（D.3）我们假设动力矩阵D是可对角化的，其实特征值为λ≤ λ≤ ··· ≤ λN-1<λN:=-ε < 0.负特征值意味着系统是稳定的，即hkU（t）ki→ 0作为t→ ∞ 对于任何初始条件。我们假设ε→ 结果表明，U（t）的波动率随着ε的增加而增加-1/2. 我们引入与λν相关的特征向量eν，并将U表示为对角线基（t）=NXν=1uνeν。

（D.4）将这个表达式注入（D.1）中，我们得到了对角基上U（t）分量的演化方程dTuν=λνUν+ξ（t）·eν。（D.5）具有复特征值的情况得出了相同的结论。我们必须只考虑这样一个事实，因为D是实的，所以特征值和特征向量是共轭的，所以它们是实部中最小的两个特征值。我们用实部代替λ，对特征值进行相同的排序。我们可以给出这些分量suν（t）=eλνt的显式解uν（0）+ztte-λνsξ（t）·eν, （D.6）并将重点放在不均匀性上，因为这是产生ε的成分-1/2-波动性。为此，我们计算uN（t）的平均值- 匈奴（t）伊顿（t）- huN（t）iE=e-2εt*uN（0）+Ztdsεsξ（s）·eN+- uN（0）e-εt=e-2εtuN（0）+2uN（0）Ztds eεshξ（s）·eNi+zdsseε（s+s）h（ξ（s）·eN）（ξ（s）·eN）i- uN（0）e-εt=e-εtXj，keN，jeN，kzdsseε（s+s）hξj（s）ξj（s）i=2σkeNke-εtzdseε（s+s）G（|s）- s |），我们替换τ=s- s积分中的s得到=2σkeNke-εtZtdse2εsZs-tdτe-ετG（τ）。利用τ积分中指数项的快速衰减，我们可以扩展积分域。。。≈ 2.肯克-εtZtdse2εsZ∞dτe-ετG（τ），。。。然后用一个近似为零的指数余数进行积分≈σkεZ∞dτe-ετG（τ）。将beτξ表示为G的典型相关时间，我们可以看到o如果ετξ 1（意味着G在短时间尺度上相关）然后G（τ）~ δ（0）等于∞dτe-ετG（τ）≈ 1，o如果ετξ 1（意味着G在长时间尺度上相关）然后G（τ）~ G（0）关于指数函数如thatZ的衰减时间∞dτe-ετG（τ）≈G（0）ε。最后，U（t）的波动性表现为Ardun（t）- 匈牙利（t）iE∝ε-1/2ifετξ 1ε-1ifετξ 1.（D.7）还要注意的是，这个结果推广到离散时间过程（这在我们提出的一般ABM的情况下是有意义的）Ut+1=DUt+ξt。（D.8）边际稳定性条件可以写成λN=1- ε与ε→ 0

根据量子位τ的行为，我们可以进行同样的计算并得出同样的结果≥0(1 -ε） τG（τ）。或者更一般地，对于复数特征值λN=rNeiθnw，其中rN=1- ε.2. 生产率因子上高斯冲击引起的波动率的计算如果我们考虑生产率因子上的冲击zi（t）=zi+ξi（t）与前面给出的ξ（t）一样，我们可以在与均衡的小偏差和小冲击中线性化原始模型的动力学。我们用形式为Ξ（t）的噪声检索readsdU（t）dt=DU（t）+Ξ（t），（D.9）的随机方程=-α+αzipeqo ξ（t）β-βziγeqo ξ（t）！~ε→0-α+αερN（`N·V）rNo ξ（t）β-β（`N·V）ρNlNo ξ（t）！，（D.10）使用C的符号。这种噪声的相关性比之前的HΞi（t）Ξj（s）i=σG（|t）稍微复杂一些-s |）×δij（α+α）（`N·V）ρNrN，irN，jε-2如果i，j≤ nδijβ-β（`N·V）ρNlN，ilN，jif i，j>n-δi，j-n（β-β） （α+α）ρNrN，ilN，jε-1如果我≤ n、 j>n-δi-n、 j（β）-β） （α+α）ρNlN，irN，jε-1如果i>n，j≤ n、 （D.11）具有无向网络两个特征值的朴素模型的动力学矩阵产生σ±n=k±ε→ 对于无向网络，0具有相关特征向量∑±N=（eN，ν±ε）>。我们假设β<βcso，边缘特征值及其特征向量都是实的。因此，在ε的前导顺序上，U（t）的边缘成分的波动性表现为ε-3/2. indeedu±N（t）-u±N（t）E=σ（k±）ε（α+α）（eN·V）ρNH（eN）Z∞dτe-ετGτν±,其中H代表反向参与率。以ε表示波动率-1/2我们可以通过peq，i（分别为γeq，i）重新缩放δpi（t）（分别为δγi（t））。

用R2N的正则向量表示，我们有varδpi（t）peq，i= P-2eq，iVarNXk=1τ=±uτk（t）（∑±k·wi）≈ε→0εt1εeN，i（eN·V）Varu+N（t）eN，i+u-嗯，我=ε（eN·V）变量u+N（t）+ 变量U-N（t）+ 2Covu+N（t），u-N（t）∝ε;变量Δγi（t）γeq，i= γ-2eq，iVarNXk=1τ=±uτk（t）（∑±k·wi+N）≈ε→0εt1（eN·V）eN，iVaru+N（t）ν+εeN，i+u-N（t）ν-εeN，i= （eN·V）ε（ν+）Varu+N（t）+ (ν-)变量U-N（t）+ 2ν+ν-冠状病毒u+N（t），u-N（t）∝ε.（a） d-正则随机网络（b）无标度网络（c）实IO网络图。19：不同类型的网络。最初的网络是定向的，但为了清晰起见，我们省略了链接的方向。左图：n=500家公司的随机4-正则网络。输入和输出链接的数量固定为d=4。中间：n=500家公司的Scalefree网络。输入和输出链接的数量遵循帕累托分布，参数uin=1.29，uout=1.25（来自Carvalho等人（2020））。右：从FactSet数据集推断的输入输出网络。链接对应于2012年至2015年之间的现有供应商-买方关系。这些网络用Garc'a-P'erez等人（2019）中描述的嵌入表示。附录E：真实世界网络正如在第五章开头提到的，随机规则网络是真实交互网络的粗略理想化。人们对真实网络进行了广泛的研究（例如，Atalay等人（2011年）、Bernard和Moxnes（2018年）、Carvalho等人（2020年）），并显示出一致的拓扑特征，如分布在顶点内外的幂律。图19显示了常规网络和现实网络之间的拓扑差异，以及无标度网络的高亮度相似性。为了构建19c网络，我们使用FactSet供应链关系数据库来构建供应链网络。

FactSet数据集（FactSet（2021））包含企业之间的关系数据列表，说明企业a和企业B是否有客户/供应商关系，是否存在竞争关系或是否有合资企业。它通过收集主要公共来源的信息构建，如SEC 10-K年度报告、投资者陈述和新闻稿，涵盖约23000家上市公司，拥有超过325000个关系。由于这些关系是从向公众发布的数据中推断出来的，因此我们无法确定它是否是一个详尽的数据库，包含了企业之间的所有关系，而是企业本身认为重要的关系子集。企业之间的这种联系在时间上有一个固定的持续时间，因此有一个开始和结束日期。在我们的研究中，我们选择了2012年至2015年间的客户/供应商关系。这允许我们构建一个图G，其中一个链接i→ 当我被报告为j的供应商或j被报告为i的客户时，jexists。此外，由于这个图不是完全连通的，我们提取了它最大的强连通分量。即使改变网络时相图不会发生质的变化，但一个相内的动力学特征取决于相互作用的结构。作为一个例子，我们在图19c所示的网络上运行我们的模型，ε=10和ε=-3.结果如图20所示。虽然平衡（无论是竞争性的还是非竞争性的）是以某种类似于规则网络的方式达到的，但由于内外度的不均匀性，振荡模式更加无序。最后，另一个与网络拓扑密切相关的影响值得一提。在随机监管网络的情况下，企业总是由至少一家企业提供。然而，企业可以使用劳动力作为投入。

在模拟劳动力供应企业的无标度网络的动态时，我们发现，当出现任何波动均衡时，只有一小部分企业存活下来，而其他企业则看到它们的价格呈指数级上升，产量直线下降。存活下来的企业是那些在供应商网络上只会导致劳动力供应企业的企业。0 20 40 60 80 100 120 14001δp（t）×10-20 50 100 150 200 250 300 350 400t0。02.55.0δp（t）（a）ε=100 1000 2000 3000 4000 500010271059p（t）4500 4600 4700 4800 4900 5000t101010121014p（t）（b）ε=-3图。20：网络上的动态示例19c。（a） ε=10的动力学。顶部：向平衡方向放松。底部：振荡模式。相对于随机规则网络，振荡是非常无序的。（b） ε=-3.顶部：一些公司的淬火爆炸振荡。底部：放大上一个时间序列的最后500个时间步。暗线对应于一家随机挑选的公司。附录F：模拟代码1。对象模拟使用面向对象的方法。每个对象都有属性（模型的参数，或我们可以从参数推断的其他数量），以及执行更复杂任务的方法。我们的模拟中有四个对象。前两个是公司和家庭类别，对应于我们模型中的小型实体（代理）。经济类包含模型的所有静态信息——本质上是描述代理之间互动的不同参数——以及企业和家庭类的实例。最后，dynamics类通过存储价格、产品等的时间序列以及允许模型在时间上向前移动的不同方法来处理模型的演化；DynamicClass包含用于模拟的经济类的实例。

在我们的框架中，类需要彼此之间才能正常工作。例如，企业需要知道投入产出网络，才能计算出它们的最优数量，如II所示。5.因此，一些方法在其参数中采用类的实例，就像ine一样。g、 企业类的计算最优数量方法。我们在程序1中详细介绍了最后一种方法。程序1公司类别类Firmsattributesz:1d数组。生产率因子α：1d阵列。价格对剩余α：1d数组的对数弹性系数。将价格的弹性系数记录到β：1d数组中。将产品的弹性系数记录到β：1d阵列中。对数生产剩余弹性系数ω：浮动。工资对劳动力市场紧张度的对数弹性系数方法1D数组更新价格（p（t）、S（t）、D（t）、G（t）、L（t））。根据（IV.9）浮动更新工资（Ls（t），Ld（t））更新价格。根据（IV.10）1d阵列计算目标（p（t）、Et[x（t）]、S（t）、γ（t））更新工资。根据（IV.1）4d阵列计算预测（p（t），Et[x（t）]，S（t））计算目标。根据（IV.18，IV.17）计算预测，1d阵列计算最佳数量（^γ（t），p（t），经济性）。根据（II.5）4d数组计算最佳数量计算利润平衡（p（t），xe（t），S（t），D（t））。根据（IV.7、IV.8）最终类别2计算利润和余额。伪代码执行时间线的一个步骤在过程2中，我们提供了一个伪代码来执行模型的一个时间步。为了获得完整的动态，在仔细初始化之后，在时间T内循环这个过程。要进行初始化，需要为动力学提供价格pi（t=1）、工资p（t=1）、生产水平γi（t=1）、目标γi（t=2）、库存Iij（t=1）和储蓄S（t=1）的初始值。还需要由住户进行初步规划，以确定E[Cd（t=1）]和Ls（t=1）的值。

整个初始化和循环过程2都封装在一个类dynamics中。此类存储最基本数量（价格、需求矩阵等）的整个历史记录并对所有不可操作的数量（产品、目标、产品等）使用重建方法。这样，算法更快，占用内存更少。最后，程序2与实际实现进行了比较。考虑到复杂性问题，过程2的大多数循环都是通过矩阵乘法在一行中实现的。使用结果(M）ij=伊米贾德（M)ij=jjMijwith 绝热矩阵，可以实现从需求量到交换量asx（t）的过程=闵1，B（t）Pipi（t）Cdi（t）min（1，Si（t）/Di（t））, 1.1.xd（t）闵1，Ls（t）Ld（t）, 闵1，S（t）D（t）, . . . , 闵1，序号（t）DN（t）我们使用约定xd=xe=0。最后，我们用ini（分别为。outi）一号企业的供应商（分别是买方）集合。程序2基本时间步长第1阶段-规划输入：所有企业的Ls（t）、γ（t）、p（t）、i（t）、x（t）← ziγi（t）+Iii（t）^γi（t+1）← 计算目标（p（t），Et[x（t）]，Si（t），γi（t））。根据forecastsbx（t）计算目标← 计算所有公司的最优数量（^γ（t+1）、p（t）、经济性i doxdi0（t）：=`di（t）← bxi0（t）适用于所有j公司∈ inidoxdij（t）← 最大值（0，bxij）- Iij）输出：Si（t）、^γi（t）、bx（t）、xd（t）、d（t）、S（t）第2阶段-交换和更新输入：Si（t）、bx（t）、xd（t）、d（t）、Cdi（t）、Et[B（t）]，适用于所有公司i doxi0:=\'i← `迪明1，Ls（t）Ld（t）. 雇佣工人B（t）← S（t）+Pni=1`ei（t）。为所有公司支付工资i doxd0i:=Cdi（t）← Cdi（t）ν + (1 - ν） 闵1，B（t）Et[B（t）]. 家庭调整其消费需求（本文中的ν=1）Di（t）←Pj∈outixdji（t）。

公司计算所有公司的总需求∈ outidoxji← xdjimin1，Si（t）Di（t）. 交换货物的方式是不公开的（t）← Cdimin1，Si（t）Di（t）闵1，B（t）p（t）·Ce（t）. 家庭按预算消费i（t），Li（t）← pi（t）Pj∈欧提克吉（t），Pj∈inixeij（t）pj（t）S（t+1）← B（t）- p（t）·Ce（t）。家庭为所有公司节省未用资金← xi0（t）。可用于生产的劳动力是所有j公司雇佣的劳动力∈ 伊尼多沙伊（t）← xij（t）+min（bxij（t），Iij（t））。可用商品取决于交易所和当前库存SP（t+1）← 更新日志（Ls（t），Ld（t），ω）。所有公司的工资都会更新（t+1）← 更新价格（Si（t）、Di（t）、Gi（t）、Li（t）、α、α、β、β）。价格更新输出：xe（t）、xp（t）、S（t+1）、B（t）、p（t+1）、Gi（t）、Gi（t）第三阶段-生产输入：S（t+1）、B（t）、p（t+1）、Gi（t）、Gi（t）、Gi（t）、xe（t）、xp（t）、bx（t）、I（t）对于所有我做γI（t+1）的公司← 生产函数[xaij]j∈伊尼. 生产开始（t）← E-σiSi（t）-Pj∈欧提克吉. 如果q=0，公司会为自己的利益更新库存。如果经济不景气，企业除了自己的商品外，还需要储备其他商品吗？← 阿格明杰[xpij]j∈伊尼对于所有j公司∈ 伊尼多谢伊（t）←吉吉吉？xpij？（t） Iij（t+1）=e-σj沙伊（t）- 徐杰（t）对于所有公司，i dopi（t+1）← pi（t+1）/p（t+1）。价格更新为B（t）、S（t+1）、p（t+1）← B（t）/p（t+1），S（t+1）/p（t+1），1。重新调整货币数量CDI（t+1），Ls（t+1）← 计算需要劳动力（S（t），Ls（t），Ld（t），p（t+1），ω，ν）。家庭开始计划产出：B（t）、S（t+1）、p（t+1）=1、pi（t+1）、γi（t+1）、Cdi（t+1）、Ls（t+1）、i（t+1）