假设11确保F不是空的。对于任何f∈ F、 letNTf=maxg∈GfFg- 1至少有一组在F期开始接受第一次治疗，但尚未接受第二次治疗的最后一个时期。然后，我们让lnt，f=NTf- 明∈女：女≥2Fgdenote从f日开始接受第一次治疗的一组开始接受第二次治疗的第一天到f日开始接受第一次治疗的agroup尚未接受第二次治疗的最后一天之间的时间段数。注意Lnt，f≥ 0代表全部f∈ F.设alsoLnt=maxf∈FLnt，f.适用于任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ 使NTf≥ l + f+1和t∈ {l + f+1。。。，NTf}，letNft，l=Xg∈Gf:Fg=t-lNg，tdenote在f日开始接受第一次治疗和第二次治疗的组中的单位数l 至少有一组在f日开始接受第一次治疗，但尚未在t.LetN开始接受第二次治疗l=Xf∈F:NTf≥l+f+1NTfXt=l+f+1Nft，l是达到的单位数l 在他们开始接受第二次治疗后的一段时间内，仍有一组人在与他们同一天开始接受第一次治疗，但尚未接受第二次治疗。在这些单元中，接受第二次治疗的平均累积效应l + 1以观察值对初始处理进行筛选时的周期为δl= ENlXf∈F:NTf≥l+f+1NTfXt=l+f+1X（i，g）：g∈Gf，Fg=t-lYi，g，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yi，g，t（Dg；0t）.注意，通过构造，Nl> 全部为0l ∈ {0，…，Lnt}，所以δl对于这种l. 还要注意δl不包括第二次治疗对同时开始接受两种治疗的组的影响。

对于这些群体，至少使用我们的DID评估策略，不可能单独评估第一次和第二次治疗的效果。现在我们定义了δ的估计值l. 对于任何f∈ F和t使得NTf≥ t、 letNnt，ft=Xg∈Gf:Fg>tNg，t。那么，对于任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ 使NTf≥ l + f+1和t∈ { l + f+1。。。，NTf}，我们定义了，l=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，l（Yg，t）- Yg，t-l-1) -Xg∈Gf:Fg>tNg，tNnt，ft（Yg，t- Yg，t-l-1） 如果是Nft，l> 0和Nnt，ft>0，我们让DIDft，l= 如果Nft为0，l= 0或Nnt，英尺=0。那么，无论如何l ∈ {0，…，Lnt}，我们做到了l=Xf∈F:NTf≥l+f+1NTfXt=l+f+1Nft，lNl迪夫特，l.定理4假设假设1-2和D7-11成立。然后，E[l] = δl总之l ∈{0，…，Lnt}。做l可以通过did_multiplegt Stata命令计算，将样本限制在（g，t）s中，使Dg，t=1，并将fg包含在趋势非参数选项中。DID的渐近正态性l当组的数量趋于一致时，可以在类似的假设下，使用类似的参数来建立估计器，这些参数与de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2021）中用于证明定理4的参数类似。除了上面有点复杂的符号之外，其背后的想法的确如此l实际上很简单：它相当于比较采用/不采用第二种治疗的组和在同一日期采用第一种治疗的组的结果演变。这确保了参与比较的“治疗组”和“对照组”在相同的时间段内接受了第一次治疗。在假设9和10下，这反过来又确保了如果“治疗组”没有采用第二种治疗，它们的结果演变是相同的。我们提出的估计程序可以很容易地扩展到两种以上的处理。

例如，如果在stagg-Eredad方案设计之后有第三种治疗，并且总是在第二种治疗之后采用，则可以使用Did_multiplegt-Stata命令估计其效果，将样本限制在（g，t）s，使Dg，t=1，并将FG和FG的相互作用纳入趋势非参数方案。定理4补充了Callaway和Sant’Anna（2021年）以及Sun和Abraham（2021年）的开创性工作，他们提供了交错采用设计后单一治疗效果的DID估计值。据我们所知，我们的论文是第一篇考虑连续交错设计的几种处理的案例，正如上面给出的例子所示，这种情况比较常见。我们的主要观点是，在假设10中对第一种治疗效果的限制下，可以获得第二种治疗效果的无偏估计值，并为第一种治疗的采用日期提供控制。定理4的假设是可反驳的。这意味着在同一时间开始接受治疗的群体在接受第二次治疗之前应该有相同的结果演变，见附录中的方程式（19）。这一点可以通过使用类似于de Chaisemartin a和D\'Haultfoeuille（202 1）中的安慰剂估计器进行测试，主要区别在于应该比较Fg值相同的组。可以用来测试定理4假设的安慰剂估计器也可以通过t hedid_multiplegt命令来计算，将样本限制为（g，t）s，使Dg，t=1，包括趋势_非参数选项中的fg，并请求安慰剂选项。我们仍然应该记住，这种趋势前测试带有一些警告，如Roth（2019）所示：它们可能动力不足，可能无法检测到违反假设的情况，并且可能导致测试前问题。

然而，我们的安慰剂估计器可用于进行Manski和Pepper（2018）或Rambachan和Roth（2019）提出的敏感性分析。定理4中提出的估计策略要求至少有一对组在同一日期接受第一次治疗，并且第一组在第二组之前严格接受第二次治疗。当组数相对较低时（例如：美国50个州），可能没有任何一对组在同一时间段接受第一次治疗。然后，可以提出两种替代估计策略。首先，与假设10不同的是，我们可以假设第一次治疗的效果与暴露期的数量呈线性变化，斜率在不同组之间有所不同：e（Yg，t（（0j））- 1，1T-（j）-1)); 0吨）- Yg，t（0T；0T）|D）=λj，g（D）+ug（D）（t- j） 。然后，我们可以通过在采用第二种治疗之前对其结果的演变进行线性估计，来恢复采用第二种治疗的一组在没有它的情况下会获得的反事实结果。可以通过did_multiplegt命令来计算得到的估计器，将样本限制在（g，t）s，以使Dg，t=1，并将组指标包括在trends_lin选项中。第二，我们还可以通过假设第一次治疗的效果可能与暴露期的数量呈非线性变化来加强假设10，但这一变化在每个组和每个时间段都是相同的：e（Yg，t（（0j））- 1，1T-（j）-1)); 0吨）- Yg，t（0T；0T）| D）=λj，g（D）+ut-j（D）。然后，通过推断未采用第二种治疗而达到第一种治疗相似暴露期的群体所经历的结果演变，可以恢复采用第二种治疗的群体本应获得的反事实结果。

可以通过did_multiplegt命令计算得到的估计值，将样本限制在（g，t）s，使Dg，t=1，并在控制选项中包括达到1,2等的指标。第一次治疗的暴露期。定理4中的方法可以很容易地推广到定理4的假设失败的一些情况。例如，在采用夸张的采用设计后，可能会有两种二元治疗的应用，但某些组在治疗2之前接受治疗1，其他组先接受治疗2，其他组同时接受两种治疗。然后，我们可以先把注意力限制在群体的子样本上，比如Dg，t≥ 所有t和Fg<Fg的Dg、TF。该子样本包括仅接受治疗1的组、同时接受两种治疗但严格在第一种治疗后接受第二种治疗的组，以及未接受任何治疗的组。在该子样本中，可以使用did_multiplegt命令并将样本限制为（g，t）s，以使Dg，t=0，估计仅接受第一次治疗的瞬时和动态影响。然后，当一个人已经接受了第一次治疗时，可以使用did_多段命令，将样本限制在（g，t）s，使Dg，t=1，并将fg包含在趋势非参数选项中，来估计接受第二次治疗的效果。第二，人们可以将注意力限制在Dg、t等群体的子样本上≥ 所有t和Fg<Fg的Dg、TF。在该子样本中，我们可以使用与上述相同的步骤，评估仅接受第二次治疗的效果，以及在已经接受第二次治疗时接受第一次治疗的效果，但恢复第一次第二次治疗的作用。

最后，可以将注意力限制在同时接受两种治疗或未接受任何治疗的组的子样本上，并使用did_multiplegtcommand估计同时接受两种治疗的效果。比较这五组估计值可能表明治疗是补充还是替代，尽管差异也可能由不同子样本的异质性效应驱动。上述方法也可用于单次治疗在小组持续时间内多次改变时，以隔离每次改变的影响。为了简化，以一个二进制处理为例，它最多可以从0切换到1，然后从1切换到0。为了估计从0切换到1的效果，可以在（g，t）s的子样本中使用did_multiplegt命令，这样g组在t时或之前从未从1切换到0。为了估计从1切换到0的效果，可以在（g，t）s的子样本中使用did_multiplegt命令，这样g组在t时或之前从0切换到1，在趋势非参数选项中包括该转换的日期，并将治疗定义为从1转换为0的指标。更一般地说，假设一个人对单一治疗的效果感兴趣，这种效果可能不是二元的，并且可能会发生多次变化，而他感兴趣的是对每种治疗变化的效果进行独立评估。

按照定理4证明中使用的类似步骤，我们可以证明由did_multiplegtcommand计算的估计量，将样本限制在（g，t）s，使得g在t时或之前经历了第一次处理变化，在t时或之前没有经历第三次处理变化，在与假设9和10类似的假设下，将第一次治疗改变的日期与趋势非参数选项改变前后的组治疗值相互影响，对于第二次治疗改变的瞬时和动态影响是无偏的。人们可以用类似的方法来估计第三、第四等治疗变化的影响，但相应的估计值可能很快就会变得嘈杂，尤其是当治疗不是二元治疗时。在这种情况下，de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2021）提出的估算所有治疗变化的总累积效应的方法，而不是试图单独估算其效应，在实践中可能更可行。5.应用在本节中，我们回顾了Hotz and Xiao（2011）中的表11。作者使用1987年、1992年和1997年的美国州级面板数据集来估计基于州中心的日托法规对家庭日托需求的影响。家庭日托不受这些规定的约束。更严格的规定可能会增加中心设施的成本，但也可能会提高其安全性和质量。因此，这些法规对家庭日托需求的影响是模糊的。

在表11的第（3）列中，作者对g州和t年的家庭日托收入进行了回归，回归结果包括州固定效应、年份效应、一些控制变量和四项基于州中心的日托法规：最低职幼比、担任基于中心的日托中心主任所需的最低受教育年限，以及两个指标，用于判断是否存在允许潜在非线性影响的最小值。学校最低治疗年限的系数等于-0.445，且具有很高的显著性（s.e.=0.167），因此表明，将中心日托中心主任所需的教育年限增加一年，家庭日托收入将减少44万美元。然而，该系数可能对各州和年份的异质性影响不强，也可能受到回归中其他食物影响的影响。根据推论2，该系数可分解为四项之和。第一项是将127个州×年单元所需的受教育年限增加一年的效果的加权总和，其中63个效果得到正权重，64个效果得到负权重，正权重和负权重之和分别为10.022和-9.022。第二项是对26个州×年单元中的董事受教育年限没有要求的影响的总和，其中11个影响为正权重，15个为负权重，其中正权重和负权重分别为0.175和-0.175。第三项是在148个状态×年份单元中，将Staff-to-child比率增加1的影响之和，其中70个影响在pap r中不是主要影响，但它是唯一可以使用公共可用数据集复制的影响。

其他几张表格报告了TWFE再评价的结果，包括几项试验，但都使用了适当的数据。这一标准误差比霍茨和肖（2011）的标准误差稍大，因为我们将其聚集在州层面，而不是州×年层面，这更符合实证工作中的标准实践（见Bertrand、Du Flo和Mullainathan，2004）。我们还使用引导程序来计算它，以确保它与DIDMestimator b e low的标准误差相当。正权重和78得到负权重，其中正权重和负权重分别相加为0.199和-0.199。最后一项是在5个状态×年的细胞中，对幼鼠io无要求的效应的总和，其中4个效应获得正权重，1个效应获得负权重，正权重和负权重分别总和为0。056和-0.056。回归中的其他三个处理系数的结果类似，只是附加在其上的污染权重更大。例如，对于Staff to child ratio治疗的效率，最低受教育年限治疗效果的加权和的正权重和负权重之和分别为334.916和-334.916。当其他三个治疗变量从回归中剔除时，最小受教育年限的系数变小（-0.022）且不显著（s.e.=0.035）。我们遵循de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）中的定理1来分解该系数，并发现它估计了127个州×年单元中每增加一年所需教育年限的影响的加权和，其中64个单元获得正权重，63个单元获得负权重，正权重和负权重分别为1.856和-0.856。

因此，仅使用一种处理的回归比使用几种处理的回归具有更少的负权重。其他三个治疗变量也是如此。最后，我们计算了第4.1节中提出的估计值，即受教育治疗的最低年限，控制了Staff-to-child比率治疗。我们的估计器不假设线性处理效应，因此与作者不同，我们不需要控制是否存在此类最小值的指标。共有8个状态×年细胞（g，t），因此受教育年限从t-1:t，而Staff-to-child比率治疗没有改变。我们的估计器估计了在这8个（g，t）单元中增加一年教育需求的平均效果。由于数据只有三个时间周期，因此动态效应的解释可能不是首要问题。此外，作者的TWFE回归隐含地排除了这种动态影响，因此我们遵循他们的规定。只有2个状态×年单元（g，t），这样一来，STAF-to-child比率治疗会发生变化，而受教育年限不会发生变化，因此很难单独评估STAF-to-child比率治疗与受教育年限治疗的影响。我们发现，使用与作者估计的TWFE回归中相同的控制计算的DIDM等于-0.066，且不显著（s.e.=0.136）。在TWFE回归中，DIDMis的受教育年限几乎是受教育年限系数的七倍。第4.1节中的估计可以扩展到非二元处理。

de Chaisemartin和D\'Haultfoeuille（2020）在其网络附录的第4节中，仅用一种治疗方法涵盖了该情况下的扩展。对于几种处理方法，非二元处理的扩展是相似的。我们使用聚集在州一级的b ootstrap来计算DIDMestimator的标准误差。在该应用中，标准误差低于TWFE系数的标准误差。尽管在实践中，TWFE系数的标准误差往往低于异质性稳健DID估计值，但正如这个例子所示，也可能出现相反的情况。两个估计值存在显著差异（t-stat=2.253）。在平行趋势下，这意味着治疗效果不变的假设被否定：如果一年的受教育程度和STAF-to-child比率治疗在一段时间内和组间都是不变的，那么WFE系数将无法估计受教育程度不变的治疗效果。总的来说，增加中心日托中心主任所需的受教育年限会减少家庭日托中心收入的结论可能并不可靠。首先，DID和TWFE估计器之间的显著差异表明，在这种应用中，影响是不均匀的。然后，由于附加了较大的负权重，在存在异质效应的情况下，TWFE系数可能会出现偏差，并受到其他处理效应的影响。最后，双估计器对异质效应具有鲁棒性，且不受其他处理效应的污染，比TWFE系数小7倍，且不显著。6结论在这篇论文中，我们表明，使用几种治疗的TWFE回归中的治疗系数可能对异质效应不稳定，并且可能会被回归中其他治疗的效应所污染。

我们提出了对异质性影响具有鲁棒性且不受污染问题影响的替代DID估计器。7.校对。1定理1结果直接来自定理2。如果K=2，D-1g，t=Dg，t.然后，D-1g，t6=0-1如果且仅当Dg，t=1，则其中一个有Dg，t-1g，t=Dg，t0,1g，t.7.2推论1第一个结果是de Chaisemartin a and D\'Haultfoeuille（2020）中定理1的直接结果：通过对称性，所有处理单元的重量都是相同的。关于第二个结果，为了简化符号，我们来介绍（k，g，t）的Ikg=1{g>Gk}和Jkt=1{t>Tk}∈{1,2}×{1，…，G}×{1，…，T}。因为Ng，t/Ng，t-1不随g变化，我们也可以写，t=Aagbtwith A=Pg，tNg，t，ag=PtNg，t/A和bt=PgNg，t/A。然后，Pgag=Ptbt=1。最后，我们让k∈ {1,2}，pkG=pgagikg，pkT=PtbtJkt。现在，考虑第一次治疗对其他回归因素的回归（1）。我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设Pgagγg=Ptbgνt=0。结合下面的条件（8）和（9），我们得到α=pGpT- pGpTζ，γg=（Ig- pG）pT- （Ig）- pG）pTζ，νt=pG（Jt）- （pT）- pG（Jt）- pT）ζ。通过定义剩余εg，tof（1），我们也得到了Pg，tNg，tDg，tεg，t=0。然后，利用G<Gand T<T这一事实，我们得到bta inpGpT=αpGpT+XgagγgIg！pT+pGXtbtνtJt！pT+pGpTζ。在这个方程中插入α，γ和ν的表达式，我们在一些代数之后得到ζ=（1）- 第（1）页- （1）- 第（1）页- pT）。再次使用α，γ和νtabove的表达式，我们得到εg，t=（Ig- pG）（Jt）- （pT）-(1 - 第（1）页- （1）- 第（1）页- pT）（Ig- pG）（Jt）- pT）。（4） 现在，如果Dg，t=1，那么Ig=Jt=1，也就是Ig=Jt=1。因此，εg，t=0。这表明没有污染重量。最后，假设（g，t）∈ {G，…，G-1} ×{T，…，T-1}.然后Dg，t=1，但Ig=Jt=0，我们用（4）得到εg，t=（1）- 第（1）页- pT）“1-pGpT（1- 第（1）页- pT）#。因此，如果pGpT>（1），εg，t<0- 第（1）页- pT）。

最后一个结果是，通过定义pG、pT和使用Ng，t=Aagbt，我们得到了APGPt=Xg、tNg、tDg、t、A（1- 第（1）页- pT）=Xg，tNg，t1{g<g}1{t<t}。7.3定理2我们首先建立以下引理。引理1如果假设s1-4成立，对于所有（g，g′，t，t′）∈ {1，…，G}×{1，…，T}，E（Yg，T|D）- E（Yg，t′|D）- （E（Yg′，t|D）- E（Yg′，t′|D））=Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD- Dg′，tEg′，t（D）-1g′，t）D- E-1g′，tD-Dg，t\'Eg、 t′（D）-1g，t′）D- E-1g，t′D+ Dg′，t′Eg′，t′（D）-1g′，t′）D+ E-1g′，t′D.所有（g，t）引理1的证明∈ {1，…，G}×{1，…，T}，E（Yg，T|D）=ENg，tNg，tXi=1Yi，g，tD=ENg，tNg，tXi=1hYi，g，t（0,0-1） +Di，g，t（Yi，g，t（1，D-1g，t）- Yi，g，t（0，D）-1g，t）+Yi，g，t（0，D）-1g，t）- Yi，g，t（0,0-1)) + (1 - Di，g，t）（Yi，g，t（0，D）-1g，t）- Yi，g，t（0,0-1） ）我D=EYg，t（0,0-1)D+ Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD=EYg，t（0,0-1)Dg+ Dg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD, （5） 其中第三个等式来自假设2，第四个等式来自假设3。此外，假设4EYg，t（0,0-1)Dg- EYg，t′（0,0-1)Dg- EYg′，t（0,0-1)Dg+ EYg′，t′（0,0-1)Dg=0.（6）结果由（5）和（6）组合而成。定理2的证明源自弗里希-沃定理和εg，tthatE的定义bβfeD=Pg，tNg，tεg，tE（Yg，t | D）Pg，tNg，tεg，tDg，t.（7）现在，通过定义εg，tagain，TXt=1Ng，tεg，t=0表示所有g∈ {1，…，G}，（8）对于所有t，GXg=1Ng，tεG，t=0∈ {1，…，T}。（9） 然后，Xg，tNg，tεg，tE（Yg，t | D）=Xg，tNg，tεg，t（E（Yg，t | D）- E（Yg，1 | D）- E（Y1，t | D）+E（Y1，1 | D））=Xg，tNg，tεg，tDg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD- D1，tE1，t（D）-11，t）D- E-11，t）D- Dg，1Eg、 1（D）-1g，1）D- E-1g，1）D+ D1,1E1,1（D）-11,1)D+ E-11,1)D=Xg，tNg，tεg，tDg，tEg、 t（D）-1g，t）D+ E-1g，tD=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tεg，tEg、 t（Dg，t）D+X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tεg，tE-1g，tD.

（10） 第一个和第三个等式来自等式（8）和（9）。第二个等式来自引理1。第四个等式来自假设2和以下事实：g、 t（0-1) = 0.最后，假设2还意味着xg，tNg，tεg，tDg，t=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tεg，t.（11）结合（7），（10），（11）屈服bβfeD=X（g，t）：Dg，t=1Ng，tNwg，tEg、 t（Dg，t）D+X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng、tNwg、tE-1g，tD. （12） 然后，第一个结果遵循迭代期望定律。最后，如果K=2或处理相互排斥，X（g，t）：D-1g，t6=0-1Ng，tεg，tE-1g，tD=KXk=2X（g，t）：Dkg，t=1Ng，tεg，tE-1g，tD.此外，通过定义εg，t，P（g，t）：Dkg，t=1Ng，tεg，t=0表示所有k=2。。。，K- 1.第二个结果如下。定理3首先，通过定义DIDM，DIDM=TXt=2Xd-1.∈{0,1}K-1N1,0,d-1，tNSDID+，d-1，t+N0，1，d-1、tNSDID-,D-这里使用0/0=0的约定。让我们≥ 2和d-1.∈ {0,1}K-1使N1，0，d-1，t>0和N0，0，d-1，t>0。对于每个g，Dg，t-1=0、Dg、t=1和D-1g，t=D-1g，t-1=d-1.我们有（Yg，t- Yg，t-1 | D）=Eg、 t（D）-1g，t-1)D+ EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D. （14） 在假设3和6下，对于所有t≥ 存在ψ0，d-1，t∈ R这样，对于所有的g∈G0,0，d-1，t∪ G1,0,d-1，t，EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D=EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)Dg=EYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)Dg，t-1=0，D-1g，t-1=d-1.=ψ0，d-1，t.（15）因此，N1，0，d-1，tE（DID+，d-1，t | D）=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D+Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D-N1，0，d-1,tN0,0,d-1、tXg∈G0,0，d-1，tNg，tEYg，t（0，d）-1) - Yg，t-1（0，d）-1)D=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D+ ψ0，d-1，tXg∈G1,0,d-1，tNg，t-N1，0，d-1,tN0,0,d-1、tXg∈G0,0，d-1，tNg，t=Xg∈G1,0,d-1，tNg，tEg、 t（D）-1g，t-1)D.第一个等式后接（14），第二个等式后接（15），第三个等式后接代数。

Giventhat DID+，d-1，t=0，如果N1,0，d-1，t=0或N0，0，d-1，t=0，通过定义S，我们得到空集上的和为0，E（N1，0，d）-1，tDID+，d-1，t | D）=EXg:Dg，t=1，D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D（16） 尽管如此，一个类似的推理还是产生了t≥ 2和d-1.∈ {0,1}K-1，E（N0，1，d-1，tDID-,D-1，t | D）=EXg:Dg，t=0，D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D（17） 将（16）和（17）插入（13）yieldsE（DIDM）=EETXt=2Xd-1.∈{0,1}K-1Xg:D-1g，t=d-1（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D=EEX（g，t）∈SNg，tg、 t（D）-1g，t-1)D=δS定理4首先，根据假设9，对于所有t≥ 2有一个Dψt（D）的函数，使得ψt（D）=E（Yg，t（0T；0T）- Yg，t-1（0T；0T）| D）。（18） 然后，f或全部1≤ f<t≤ T，E[Yg，T（（0f-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t-1（（0f）-1，1T-f+1）；0T）| D]=E[Yg，t（（0f）-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t（0T；0T）| D]- E[Yg，t-1（（0f）-1，1T-f+1）；0吨）- Yg，t-1（0T；0T）|D]+E[Yg，t（0T；0T）- Yg，t-1（0T；0T）|D]=uf，t（D）- uf，t-1（D）+ψt（D）；（19） 其中第二个等式使用（18）和假设10。那么，对于任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ Fsuch那个NTf≥ l + f+1和t∈ {l + f+1。。。，NTf}这样Nft，l> 0和Nnt，英尺>0，东迪夫特，l|D=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lE（Yg，t）- Yg，t-l-1 | D）-Xg∈Gf:Fg>tNg、tNnt、ftE（Yg、t- Yg，t-l-1 | D）=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D+Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；0T）- Yg，t-l-1（Dg；0T）|D-Xg∈Gf:Fg>tNg、tNnt、ftEYg，t（Dg；0T）- Yg，t-l-1（Dg；0T）|D=Xg∈Gf:Fg=t-l吴，tNft，lEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D. （20） 第一个等式源自DIDft的定义，l, 以及Nft，l> 0和Nnt，英尺>0。第二个等式来自假设8。第三个等式来自（19）。通过对NTf的定义，我们得到了所有f的Nnt，ft>0∈ F和t使得NTf≥ t、 我们采用空集上的和等于0的约定。

那么，任何l ∈ {0，…，Lnt}，f∈ Fsuch那个NTf≥ l + f+1和t∈ {l + f+1。。。，NTf}，等式（20）意味着Nft，lE迪夫特，l|D=Xg∈Gf:Fg=t-lNg，tEYg，t（Dg；（0t）-l-1, 1l+1)) - Yg，t（Dg；0T）|D.我们通过对f求和得到结果∈ F和t使得NTf≥ l + f+1和t∈{l + f+1。。。，NTf}，并根据迭代期望定律。阿尔贝托，萨巴迪。2005.“差异估计中的半参数差异。”经济研究综述，72（1）：1-19。Abbring、Jaap H和Gerard J Van den Berg。“持续时间模型中治疗效果的非参数识别。”《计量经济学》，71（5）：1491-1517。阿森费尔特，奥利。1978年，“评估培训项目对收入的影响。”经济与统计回顾，47-57。伯特兰、玛丽安、埃丝特·杜弗洛和森迪尔·穆莱纳坦。2004年，“我们应该在多大程度上相信差异估计中的差异？”《经济学季刊》，119（1）：249-275。Borusyak、Kirill和Xavier Jaravel。2017年，《重温事件研究设计》工作纸。波托萨鲁、艾琳和费德里科·H·古铁雷斯。2018年，“当治疗状态仅在一个时期内观察到时，差异中的差异。”应用计量经济学杂志，33（1）：73-90。Callaway、Brantly和Pedro H.C.Sant\'Anna。2021。“多个时间段的差异中的差异。”《计量经济学杂志》，225:200-230。坎托尼、恩里科和文森特·庞斯。2021、“严格的ID法并不能阻止选民：美国全国委员会的证据，2—008—2018。”《经济学季刊》，136（4）：2615-2660。德蔡斯马丁、克莱门特和泽维尔·德豪特·尤耶。2020年，“具有异质性治疗效果的双向固定效应估计器。”《美国经济评论》，110（9）：2964-96。德蔡斯马丁、克莱门特和泽维尔·德豪特·尤耶。2021。

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