跳跃过程和金融应用的重要性抽样

2022-4-28 17:28:00

跳跃过程的重要性抽样及其在金融业中的应用*杰罗姆·勒隆*伊曼娜·卢姆哈里*2018年10月10日摘要自适应重要性抽样技术因布朗驱动的差异的高斯设置而广为人知。在这项工作中，我们希望将它们扩展到跳转进程。我们的方法依赖于跳跃强度的变化，结合布朗运动的标准指数倾斜。我们使用样本平均近似技术优化了框架的自由参数。我们在几个跳跃模型中说明了我们的方法对金融衍生品估值的有效性。关键词：重要性抽样；样本平均近似；自适应蒙特卡洛方法。1简介在过去十年里，莱维模型在金融领域非常流行。使用卡尔等人（1999）开发的快速傅里叶变换方法，普通期权可以轻松有效地定价，但对于奇异期权来说，情况变得更加微妙，蒙地卡罗经常从数值角度揭示，对于奇异期权来说，这是唯一可能的方法。在处理高维产品时，这一点变得更加真实。在这项工作中，我们想提出一种基于重要性抽样的自适应蒙特卡罗方法来计算Lévy过程函数的期望值。正如Kiessling和Tempone（2011）所解释的那样，当采用蒙特卡罗方法时，有限活动过程通常被有限活动过程近似，它总是可以表示为连续扩散（即由布朗运动驱动）和复合泊松过程之和。

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2022-4-28 17:28:03

在这项工作中，我们将集中讨论这样的跳跃效应，其中有一个由aBrownian驱动的部分和一个被写成复合泊松过程的jum p部分，或者多维情况下独立复合泊松过程的总和。我们考虑一个混合高斯和泊松框架，在这个框架中，我们想要解决一个基于一些重要抽样方法的自适应蒙特卡罗方法。设G=（G，…，Gd）为标准正态随机向量，Nu=（Nu，…，Nupp）为参数为u=（u，…，up）的p独立泊松随机变量向量。我们假设g和Nμ是独立的。我们着重于计算ofE=E[f（G，Nu）]（1.1）*格勒诺布尔阿尔卑斯大学，让·昆茨曼实验室，英国石油公司53号，38041法国格勒诺布尔Cédex 9号，电子邮件：Laetitia。巴杜拉利-Kassim@ensimag.imag.fr杰罗姆。lelong@imag.fr，伊曼。loumrhari@ensimag.imag.fr.This该项目得到了能源市场研究中心（www.fime-lab.org）的资助。式中：Rd×Np-→ R满意度E[|f（G，Nu）|]∞.引理1.1。对于任何可测函数h:Rd×Np-→ R为非负的或E[|h（G，Nu）|]∞, 有一个 θ ∈ Rd，λ∈ R*+p、 E[h（G，Nu）]=Eh（G+θ，Nλ）e-θ·G-|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNλii（1.2）其中Nλ是参数λ=（λ，…，λp）的p独立泊松随机变量的向量。这个引理的证明依赖于基本变量的变化。引理1.1使我们能够在计算E时引入一些额外的自由度。当使用蒙特卡罗方法计算期望E时，中心极限定理建议使用f（G，Nu）的表示形式，通过选择使off（G+θ，Nλ）E的方差最小化的参数（θ，λ）来实现可能的最小变量-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλii。这就引出了本文研究的几个问题。

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2022-4-28 17:28:06

does是f（G+θ，Nλ）e的方差-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλiI输入一个u nique极小值？如果是这样的话，如何进行数值计算，以及如何在进一步的蒙特卡罗计算中充分利用它？这些问题在蒙特卡罗计算中是很自然的，并且已经在纯高斯框架中被广泛讨论。首次应用于基于重要性的自适应蒙特卡罗方法的期权定价抽样goesback于Arouna（Winter 2003/04，2004）的论文。这些论文基于高斯随机法向量的均值变化，并使用随机截断的一些随机ap近似算法来搜索最佳参数。Lapeyre和Lelong（2011）后来对这种方法进行了进一步研究，他们提出了一个更通用的框架，用于使用随机逼近来解决自适应蒙特卡罗方法，这在实际应用中是一个小技巧。为了扭转随机逼近的微妙行为，Jourdain和Lelong（2009）提出了采用样本平均逼近，这基本上依赖于非确定性优化技术。Emaire和Pagès（2010）研究了随机截断的替代方法，他们设法修改了初始问题，以便应用更标准的Robbins-Monro算法。他们不仅将此应用于高斯框架，而且还考虑了一些Levy过程的例子，这些过程依赖于Cher变换来引入自由参数。Kawai（2007，2008a，b）也对使用埃舍尔变换器的想法进行了广泛调查。在这项工作中，我们想了解如何修改列维过程的绝对强度以减少方差。首先，我们解释用于高斯和泊松部分的p参数重要性抽样变换。

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2022-4-28 17:28:11

然后，在第二节中，我们证明了这种变换导致了一个凸优化问题，并研究了最优参数估计的性质。然后，在第3节中，我们将解释如何在蒙特卡罗方法中使用该估计量。我们证明了该方法满足自适应强大数定律和具有最优极限方差的中心极限定理。最后，在第4节中，我们将您的方法应用于带跳跃过程的期权定价。符号。o我们对Rmas列向量的任何元素进行编码如果x∈ Rm，x*是一个行向量。我们使用“*” 表示向量和矩阵的转置运算符的符号。o如果x，y∈ Rm，x·y表示x和y的标量积，相关范数由|·······························如果x∈ Rm，diagm（x）是由向量x给出的对角线元素和等于零的所有额外对角线元素组成的矩阵矩阵imx表示维度m中的单位矩阵m。o如果x∈ Rm，我们定义d（x）=min1≤我≤m | xi |是x和y之间的距离∈ Rm:Qmi=1yi=0}我们说一个随机向量X的值为rm，它的泊松分布参数为u∈ Rmif与夏尔无关，且具有泊松分布，参数ui.2用于计算最佳重要性采样参数2。1.方差的性质1.与引理1.1相比，期望E可以写成E=Ef（G+θ，Nλ）e-θ·G-|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNλii, θ ∈ Rd，λ∈ R*+p、注意，对于θ=0和λ=u的特殊选择，我们恢复方程（1.1）。基于这种新表示的E的montecarlo估计的收敛速度由f（G+θ，Nλ）E的方差决定-θ·G-|θ| Qpi=1eλi-uiuiλiNλii可以写成形式v（θ，λ）- 式中v（θ，λ）=E“f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#。（2.1）将引理1.1应用于函数h（g，n）=f（g+θ，n）e，很容易得到v的这个表达式-2θ·g-|θ| Qpi=1e2（λi）-ui）uiλi2ni。

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2022-4-28 17:28:14

在计算方差后向后应用度量的变化，使我们能够以一种不涉及函数f的参数θ和λ的形式写出方差。这句话非常重要，因为它是下面说明v.proposition 2.1强凸性的关键结果的基础。假设（A1）i。（n，…，np）∈ N*p、 s.t.p（|f（G，（n，…，np））|>0）>0ii。γ>0，E|f（G，Nu）|2+γ< ∞.然后，函数v是完全连续可微的、强凸的，并且在梯度向量上由下式给出：θv（θ，λ）=E“（θ- G） f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.2）λv（θ，λ）=E“a（Nu，λ）f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.3），其中向量a（Nu，λ）=1.-Nμλ，1.-Nuppλp*. 第二衍生工具的定义如下：θ、 θv（θ，λ）=E”（Id+（θ-G）（θ）-G）*) f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.4）θ、 λv（θ，λ）=E“（θ- G） a（Nu，λ）*f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.5）λ、 λv（θ，λ）=E”（D+a（Nu，λ）a（Nu，λ）*) f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#（2.6），其中对角线矩阵D由D=diagp定义Nμλ，Nuppλp.证据让我们定义函数F:Rd×Rd×R*+P-→ R byF（g，θ，n，λ）=f（g，n）e-θ·g+|θ| pYi=1eλi-uiuiλi镍。（2.7）对于（g，n）的任何值，f函数（θ，λ）7-→ F（g，θ，n，λ）是完全连续可微的。因为对于所有0<m<m，sup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）|θjF（G，θ，Nu，λ）|≤M+eGj+e-Gjf（G，Nu）eM/2+pMdYk=1（eMGk+e-MGk）pYi=1e-uiμimNuii（2.8），其中右边是可积的，因为通过H"older不等式和假设（A1 ii），我们得到了所有（θ，λ）∈ Rd×Rp，E（f（G，Nu）Eθ·G+λ·Nu）<∞. 因此，勒贝格的理论证明v是连续可微的w.r.t.θ和θv由方程（2.2）给出。我们对导数w.r.t进行类似的处理。

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2022-4-28 17:28:18

λ通过使用以下上界sup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）|λjF（G，θ，Nu，λ）|≤1+eNujj/m+e-Nujj/mf（G，Nu）eM/2+pMdYk=1（eMGk+e-MGk）pYi=1e-uiμimNuii。（2.9）高阶微分性质是通过类似的参数获得的，尤其是Hessian矩阵借助函数F编写v（θ，λ）=E“F（G，θ，Nu，λ）（θ）- G）（θ）- G）*(θ - G） a（Nu，λ）*a（Nu，λ）（θ）- G）*a（Nu，λ）a（Nu，λ）*!+F（G，θ，Nu，λ）id0d#注意（θ）- G）（θ）- G）*(θ - G） a（Nu，λ）*a（Nu，λ）（θ）- G）*a（Nu，λ）a（Nu，λ）*!=θ - Ga（Nu，λ）！θ - Ga（Nu，λ）！*.因此，Hessian矩阵的第一部分是一个正半有限秩一矩阵。E“F（G，θ，Nu，λ）id0d#≥ E[F（G，θ，Nu，λ）1{Nu=（N，…，np}]diagId，Nλ，…，npλp！。此外，E[F（G，θ，Nu，λ）1{Nu=（N，…，np）}]≥ Ef（G，（n，…，np））e-θ·G+|θ|pYi=1eni-2uiuini！妮妮！≥ Ehf（G，（n，…，np））e-θ·giheθ·GipYi=1eni-2uiuini！妮妮！≥ E[|f（G，（n，…，np））|]pYi=1eni-2uiuini！妮妮！由于条件（A1-i），这个下限是严格正的。因此，Hessian矩阵从下方一致有界，从而产生v的强凸性。因此，函数v允许一个唯一的极小值（θ, λ) 定义为θv（θ）, λ) =λv（θ）, λ) = 0.（θ）的表征, λ) 由于强凸函数的u nique极小值非常吸引人，但不希望以闭合形式计算v的梯度，因此在运行优化步骤之前，我们需要求助于某种近似。在研究逼近最佳参数的可能方法之前，让我们注意到，它的维数为d+p，特别是当变量SG和NL来自跳跃微分过程的离散化时，它会变得非常大。在许多情况下，减少求解优化问题的空间的维数是明智的。减少优化问题的维数。

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2022-4-28 17:28:23

设0<d′≤ d和0<p′≤ pbe缩小的维度。而不是在整个空间Rd×R中搜索最重要的采样参数（θ，λ）*+p、我们考虑子空间{（Aθ，Bλ）：θ∈ Rd′，λ∈ R*+p′}其中A∈ Rd×d′是秩为d′的矩阵≤ d和B∈ R*+p×p′秩为p′的矩阵≤ p、注意，因为B的所有系数都是非负的，所以对于所有的θ∈ R*+p′，Bθ∈ R*+PR的图像很容易被看到*+p′到B与R是同构的*+p′。对于这样的矩阵A和B，我们引入了函数vA，B:Rd′×R*+p′7-→ 定义byvA，B（θ，λ）=v（Aθ，Bλ）（2.10）函数vA，由v的正则性和凸性性质混合而成。因此，从命题2.1中，我们知道vA，B连续可微分且强凸。因此，存在一对独特的极小化子（θa，b）, λA，B) 例如，thatvA，B（θA，B, λA，B) = infθ∈Rd′，λ∈R*+p′vA，B（θ，λ）。我们还可以求出vA，Bn的梯度向量vA，B（θ，λ）=A*θ（Aθ，Bλ）B*λ（Aθ，Bλ）！及其Hessian矩阵vA，B（θ，λ）=E“F（G，Aθ，Nu，Bλ）A*（Aθ- G）（Aθ- G）*A*（Aθ- G） a（Nu，Bλ）*BB*a（Nu，Bλ）（aθ- G）*A B*aa*（Nu，Bλ）B+F（G，Aθ，Nu，Bλ）A*A 00 B*DB#其中，函数F由方程（2.7）定义。对于A=Id、B=Ip、d=d′和p=p′的特定条件，函数vId、Ip和v重合。Esscher变换是一种降维的方法。考虑一个二维过程（Xt）t≤Tof的形式为Xt=（Wt，~Nut），其中W是一个真正的布朗运动，~Nu是一个强度为u的泊松过程。应用于X的Esscher变换得出，对于任何非负函数h，我们有以下等式 α ∈ R、 λ∈ R*+,E[h（（重量，~N ~ut），t≤ T）]=Eh（（Wt+αt，~Nλ，t≤ T）e-αWT-|α| TeT（∧λ）-~u)~u~λ~N~λT设0=t<··<tp=t为[0，t]的时间网格。

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2022-4-28 17:28:27

如果我们把矢量G（相对Nu）看作网格上W（相对Nu）的增量，我们可以用a，B来恢复一种特殊形式的方程（1.2）∈ 由A给出=√T√T- Tptp- 总磷-1.*; B=（t，t）- T总磷- 总磷-1)*.2.2跟踪最佳重要性抽样参数最佳重要性抽样参数（θ*, λ*) 可以描述为期望的唯一零，这是应用s-tochastic近似的典型框架。特别是，我们可以使用陈和朱（1986）提出的算法；关于这些算法的收敛性和渐近性，我们参考了toLelong（2008，2011）的研究。Lapeyre和Lelong（2011）在最近的一次调查中深入研究了使用随机逼近设计自适应重要性抽样方法，他们强调了使这些算法实际收敛的困难。在这项工作中，我们采用了一种完全不同的观点，通常被称为样本平均近似，它基本上包括首先用样本平均值代替预期，然后在这些经验方法上使用确定性优化技术。Jourdain和Lelong（2009）在高斯框架下研究了这种方法，并证明其非常有效。让（Gj）j≥1是一个d序列-维度独立且同分布的标准正态随机变量。我们还引入了（Nu，j）j≥1a p的序列- 遵循Nu定律的维数独立且同分布的随机向量，即向量的分量独立且泊松分布参数为u。为了n≥ 1.我们介绍了函数vA的样本平均值，b定义为byvA，Bn（θ，λ）=nnXj=1f（Gj，Nu，j）e-Aθ·Gj+AθpYi=1e（Bλ）i-uiui（Bλ）i我是吉。（2.11）对于足够大的n，f（Gj，nu，j），对于某些指数j为0∈ {1, . . .

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2022-4-28 17:28:30

n}和近似值va，Bn也是强凸的，因此允许一个唯一的极小值（θa，Bn，λa，Bn）由va定义，Bn（θa，Bn，λa，Bn）=infθ∈Rd′，λ∈R*+p′vA，Bn（θ，λ）。位置2.2。在假设（A1）下，随机函数序列（vA，Bn）局部一致收敛于连续函数vA，B。为了证明这个结果，我们使用了后面提到的统一强大数定律，例如Rubinstein和Shapiro（1993，L emm a A1）。这个结果也是Banach空间Ledoux和Talagrand（1991，推论7.10，第189页）中强大的大数定律的结果。引理2.3。让我≥1是i.i.d.Rm值随机向量序列，是Rd和h:E×Rm的开放集→ R是一个可测函数。假设oa.s.，χ∈ E 7→ h（χ，X）是连续的，对于rdk的所有紧集K E、 Esupχ∈K | h（χ，X）|< +∞.然后，a.s.随机f函数序列χ∈ K 7→nPni=1h（χ，Xi）局部一致收敛于连续函数χ∈ E 7→ E（h（χ，X））。命题2.2的证明。这足以证明VN的结果，也将适用于vA，Bn。让M>M>0。对于所有（θ，λ），使得|（θ，λ）|≤ M和d（λ）>M，我们有f（G，Nu）e-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii≤ f（G，Nu）dYk=1（e-MGk+eMGk）eMpYi=1米-uiμimNuii。r.h.s.可由（A1）和霍尔德不等式积分；因此，我们可以应用引理2.3。位置2.4。在假设（A1）下，对（θA，Bn，λA，Bn）收敛于（θA，B）, λA，B) 作为n-→ +∞. 此外，如果（A2）δ>0，Eh|f（G，Nu）|4+δi<∞,√N（θA，Bn，λA，Bn）- （A，B）, λA，B)在规律上收敛于正态分布Nd+p（0，Γ），其中Γ=vA，B（θA，B）, λA，B)-1Cov(F（G，AθA，B）, Nu，BλA，B))vA，B（θA，B）, λA，B)-1用方程（2.7）定义的函数F及其梯度w.r.t.计算简化参数（θ，λ）。条件（A2）确保协方差矩阵Cov(F（G，AθA，B）, Nu，BλA，B)) 性别歧视。

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2022-4-28 17:28:34

矩阵的非奇异性vA，B（θA，B）, λA，B) 由v的严格凸性保证。通过组合命题2.2和命题2.4，我们可以陈述以下结果滚动2.5。在假设（A1）下，vA，Bn（θA，Bn，λA，Bn）收敛于vA，B（θA，B）, λA，B)作为n-→ +∞.命题2.4的证明。设ε>0。我们定义了（θ）的紧凑邻域Vε, λ)Vεdef=n（θ，λ）∈ Rd×Rp:|（θ，λ）- (θ, λ)| ≤ εo.（2.12）在下面，我们假设ε足够小，因此Vε包含在Rd×R中*+p、通过严格凸性和vA，B，αdef=inf（θ，λ）的连续性∈VcεvA，B（θ，λ）- vA，B（θA，B）, λA，B) > 0.vA，Bnto-vA的局部一致收敛性证明，对于一些足够大的nα，N≥ nα，(θ, λ) ∈ Vε，|vA，Bn（θ，λ）- vA，B（θ，λ）|≤α. （2.13）对于n≥ nα和（θ，λ）<Vε，我们定义（θA，Bε，λA，Bε）∈ Vε和wr是（θA，B）的凸组合, λA，B) 和（θ，λ）。（θA，Bε，λA，Bε）def=θA，B+ εθ - θA，B|(θ - θA，B, λ - λA，B)|, λA，B+ εu- λA，B|(θ - θA，B, λ - λA，B)|!.对于第一个不等式，我们使用vA，Bn的凸性推导，对于第二个不等式，我们使用方程（2.13）推导Bn（θ，λ）- 弗吉尼亚州，Bn（θA，B）, λA，B) ≥|(θ - θA，B, λ - λA，B)|εhvA，Bn（θA，Bε，λA，Bε）- 弗吉尼亚州，Bn（θA，B）, λA，B)我≥vA，B（θA，Bε，λA，Bε）- vA，B（θA，B）, λA，B) -2α≥α.（θA，Gn，λA，Bn）的最优性产生vA，Bn（θA，Bn，λA，Bn）≤ 弗吉尼亚州，Bn（θA，B）, λA，B). 因此，我们得出结论（θA，Bn，λA，Bn）∈ n的Vε≥ nα。因此，（θA，Bn，λA，Bn）收敛于（θA，B）, λA，B).我们已经在命题2.1的证明中看到，thatEhsup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）F（G，θ，Nu，λ）i<∞, 见方程式（2.9）和（2.8）。类似地，我们可以证明Ehsup |（θ，λ）|≤M、 M<d（λ）F（G，θ，Nu，λ）i<∞. 控制对（θA，Bn，λA，Bn）收敛到对（θA，B）的中心极限定理, λA，B) 可以从Rubinstein和Shapiro（1993年，定理A2）推导得出。

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2022-4-28 17:28:38

3.自适应蒙特卡罗在本节中，我们假设手头有一系列最优解（θa，Bn，λa，Bn），并希望通过方程（1.2）利用这些参数的知识设计一个自适应蒙特卡罗。在之前致力于高斯框架的Jour dain和Lelong（2009）工作中，我们使用了相同的样本，用Vn逼近v，然后建立了涉及θn的E的蒙特卡罗估计量。这是可能的，因为平均向量θ的正态随机向量X自然写为X=θ+G，其中G是标准正态随机向量。泊松分布不存在将参数为u的泊松随机变量与参数为λ的泊松随机变量联系起来的简单关系。因此，对于基于方程（1.2）的Monte Carlo估计量，不值得尝试重复使用与vn中包含的相同泊松随机样本。然后，我们提出了以下两个阶段的算法。算法3.1。第一阶段生成序列（Gj）j=1，。。。，mof i.i.d随机向量遵循RDA中的标准正态分布，序列（Nj=（Nj，…，Njp））j=1，。。。，参数为u的mof i.i.d泊松随机向量。德涅瓦，Bm（θ，λ）=mmXj=1f（Gj，Nu，j）e-Aθ·Gj+AθpYi=1eBλi-uiuiBλi我是吉。（3.1）计算（θm，λm）=arg min（θ，λ）∈Rd×R*+pvA，Bm（θ，λ）。第二阶段：生成序列（`Gj）j=1，。。。，不。i、 d随机向量遵循RDM中的标准正态分布，序列（\'Nj=（\'Nj，，\'Njp））j=1，。。。，如果参数为Bλm的i.i.d泊松随机向量有条件地在λm上，这两个序列被假定为独立于序列（Gj）j=1，。。。，mand（Nu，j）j=1，。。。，mDe fi neMA，Bn，m=nnXj=1f（\'Gj+Aθm，\'Nj）e-Aθm·Gj-|Aθm | pYi=1e（Bλm）i-uiui（Bλm）i“Nji。

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能者818

2022-4-28 17:28:41

（3.2）3.1强大数定律和中心极限理论这两个阶段之间的条件独立性结合引理1.1立即表明，对于任何固定的m，n，估计量MA，Bn，无偏，即E[MA，Bn，m]=E。条件上（Gj，Nj）j=1，。。。，m、等式（3.2）之和中涉及的项是i.i.d.，因此，标准强大的大数定律产生limn→+∞通过应用引理1.1，MA，Bn，m=E[f（G，Nu）]a.s。同样，中心极限定理也适用，我们可以陈述以下结果。3.2号提案。对于任何固定的m、MA、Bn、MC，当N进入单位时，a.s.到E[f（G，Nu）]，而且√n（MA，Bn，m）- E[f（G，Nu）]定律-----→N→+∞N（0，vA，B（θm，λm））。这个结果并不完全令人满意，因为从实用的角度来看，我们想知道估计量MA，Bn，m（n）的极限，其中m（n）是n的函数，趋向于与n一致。为了研究m和n趋于一致时的渐近行为，可以使用随机变量的辅助序列重写MA，Bn，m（n）。我们介绍了CEA序列（\'Uji）1≤我≤p、 j≥i.i.d.随机变量在[0,1]上服从均匀分布，且独立于所有其他使用的随机变量。如果我们定义Nji（λ）=∞Xk=0k1{P（λi；k）≤Uji<P（λi；k+1）}≤ 我≤ p、一,≤ 式中，P（λ，·）是参数为λ的泊松分布的累积分布函数，那么（`Nj）j=1，。。。，nLaw=（)Nj（λm（n）））j=1，。。。，n、毕竟是k∈ N、函数λ∈ R*7.-→ P（λ，k）是连续且递减的，我们得到limn→∞~Nj（λm（n））=Nj（λ)a、总之λ≤ λ′，~Nj（λ′）<~Nj（λ），其中必须从组件角度理解顺序。我们定义Mn（θ，λ）=nnXj=1f（\'Gj+θ，~Nj（λ））e-θ·Gj-|θ| pYi=1eλi-uiuiλi~Nji（λ）。很明显，MA，Bn，m（n）定律=~Mn（Aθm（n），Bλm（n））。定理3.3。设m（n）是n趋于完整的递增函数。

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2022-4-28 17:28:44

然后，在假设（A1）和（A2）下，MA，Bn，m（n）收敛于a.s.到E[f（G，nu）]，因为n进入单位。证明A和B是单位矩阵的结果实际上是有效的。为了明确n个方向，当A=id和B=Ip时，我们写Mn，m（n），而不是MA，Bn，m（n）。证据我们已经看到E[Mn，m]=E。这要感谢算法两个阶段中使用的样本的独立性，条件是（（Gj，Nj），j）≥ 1），Mn，mwrites为i.i.d随机变量之和。我们引入σ-代数G=σ（（Gj，Nj），j≥ 1). Wede Fine for all m，j≥ 1Xm，j=f（\'Gj+θm，\'Nj）e-θm·Gj-|θm | pYi=1e（λm）i-uiui（λm）i“Nji。注意，在G上有条件地，序列（Xm，j）j≥1任何固定m的i.i.d≥ 1.对于固定ε>0，我们回忆起VεVεdef=n（θ，λ）的定义∈ Rd×Rp:|（θ，λ）- (θ, λ)| ≤ εo。在下面，我们假设ε是小的，因此Vε包含在Rd×R中*+p、好吧，m，n≥ 1，呃（Mn，m）- E） {（θm，λm）∈Vε}i=EEnnXi=1（Xm，i- E） !！G{（θm，λm）∈Vε}≤nEhEh（Xm，i- （E）Gi{（θm，λm）∈Vε}i≤nEhv（θm，λm）1{（θm，λm）∈Vε}i≤nsup（θ，λ）∈VεV（θ，λ）- E≤中国。（3.3）我们从Borell-Cantelli引理推断，对于任何增函数ρ：N→ N、（Mn，ρ（N）- E） 1{（θρ（n），λρ（n））∈Vε}倾向于0 a.s.来证明（Mn，m（n）- E） 1{（θm（n），λm（n））∈Vε}收敛到零a.s.，我们模仿经典强大数定律的证明。让n∈ N*, 我们定义k=√N; 然后k≤ n<（k+1）。Mn，m（n）- E=nkXi=1（Xm（n），i- E） +nnXi=k+1（Xm（n），i- （E）Mn，m（n）- E≤KkXi=1（Xm（n），i- （E）+NnXi=k+1（Xm（n），i- （E）. （3.4）使用方程式（3.3），EKkXi=1（Xm（n），i- （E）{（θm，λm）∈Vε}≤ck。因此，我们很容易从Borrel-Cantelli引理中推断出thatkPki=1（Xm（n），i- （E）{（θm（n），λm（n））∈当k变为单位时，即当非政府组织变为单位时，Vε}趋向于0 a.s。

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能者818

2022-4-28 17:28:48

方程式（3.3）中的类似计算得出：NnXi=k+1（Xm（n），i- （E）{（θm（n），λm（n））∈Vε}≤N- knsup（θ，λ）∈Kv（θ，λ）- E≤cn3/2。因此，Borel-Cantelli引理得出Pni=k+1（Xm（n），i- （E）{（θm（n），λm（n））∈Vε}→ 0a。s、当n进入单位时。最后，我们证明了（Mn，m（n）-E） 1{（θm（n），λm（n））∈Vε}收敛到零a.s.因为（θm（n），λm（n））→ (θ, λ) a、我们推导出Mn，m（n）→ E a.s.什么时候去单位。定理3.4。设m（n）是一个整数值函数，由n增加到与n一致，使得m（n）~ nβ对于某些β>0的情况。假设（A3）i.代表所有k∈ Np，函数g∈ Rd7-→ f（g，k）是连续的；二、存在一个V（θ）的紧凑邻域, λ) 包含在Rd′×R中*+p′和η>0，使得Ehsup（θ，λ）∈V|f（\'G+Aθ，~N（Bλ））|2（1+η）i<∞.然后，在假设（A1）和（A2）下，√n（~Mn（Aθm（n），Bλm（n））- E[f（G，Nu）]定律-----→N→+∞N（0，vA，B（θ）, λ)).证据证明A和B是单位矩阵的结果实际上是有效的。√n（~Mn（θm（n），λm（n））- （E）=√n（~Mn（θ）, λ) - （E）+√n（~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ))根据标准的中心极限定理，√n（~Mn（θ）, λ)-E）法律-----→N→+∞N（0，v（θ）, λ)). 因此，有必要证明√n（~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ))PR-----→N→+∞0.设ε>0和0<α<β/2。P√N~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ)> ε≤ P（nα）（θm（n），λm（n））-(θ, λ)> 1） +nεE~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ){|（θm（n），λm（n））-(θ,λ)|≤N-α}.注意nα~ m（n）α/β，α/β<1/2，然后我们从命题2.4推导出p（nα）（θm（n），λm（n））- (θ, λ)> 1) -→ 0.我们定义q（θ，λ）=e-θ·G-|θ| pYi=1eλi-uiuiλi~Ni（λ）。有条件地在（θm（n），λm（n））上，~Mn（θm（n），λm（n））作为i.i.d随机变量之和写入。氖~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ){|（θm（n），λm（n））-(θ,λ)|≤N-α}=E“f（\'G+θ）,~N（λ）))Q（θ）, λ) - f（\'G+θm（n），~n（λm（n）））Q（θm（n），λm（n））{|（θm（n），λm（n））-(θ,λ)|≤N-α}#.

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2022-4-28 17:28:52

（3.5）由于N（λm（N））的收敛，Q（θm（N），λm（N））将a.s.收敛到Q（θ）, λ) 什么时候去单位。因为对于足够大的n，n（λm（n））=n（λ), f相对于其第一个参数的连续性可以证明f（\'G+θm（n），~n（λm（n））收敛于a.s.tof（\'G+θ）,~N（λ）)). 因此，期望值内的绝对值趋向于零。我们需要通过可积r和OM变量来扩展期望值内的项，以应用有界收敛定理，从而得到结果。f（\'G+θ）,~N（λ）))Q（θ）, λ) - f（\'G+θm（n），~n（λm（n）））Q（θm（n），λm（n））{|（θm（n），λm（n））-(θ,λ)|≤N-α}≤ 2 sup |（θ，λ）-(θ,λ)|≤N-αf（\'G+θ，~N（λ））Q（θ，λ）。对于足够大的n，{|（θ，λ）- (θ, λ)| ≤ N-α} V.此外，存在m>0和m>0，使得V {|θ| ≤ M、 |λ|≤ M和d（λ）≥ m} 。因此，sup（θ，λ）-(θ,λ)|≤N-αf（\'G+θ，~N（λ））Q（θ，λ）≤ sup（θ，λ）∈五、f（\'G+θ，~N（λ））epMdYi=1（e）-MGi+eMGi）pYi=1μim~Ni（m）+μim~Ni（M）！≤Xσ∈{-M、 M}dν∈{m，m}psup（θ，λ）∈五、f（\'G+θ，~N（λ））epMeσ·GpYi=1μim~Ni（ν）。然后，利用霍尔德不等式，我们得到Xσ∈{-M、 M}dν∈{m，m}psup（θ，λ）∈五、f（\'G+θ，~N（λ））epMeσ·GpYi=1μim~Ni（ν）！≤Xσ∈{-M、 M}dν∈{m，m}pE“sup（θ，λ）∈五、f（\'G+θ，~N（λ））2（1+η）#1+ηEepMeσ·GpYi=1μim~Ni（ν）！2+ηη1+η.既然我们假设sup（θ，λ）∈五、f（\'G+θ，~N（λ））2(1+η)< ∞, 随机变量f（\'G+θ）,~N（λ）))Q（θ）, λ) -f（\'G+θm（n），~n（λm（n）））Q（θm（n），λm（n））{|（θm（n），λm（n））-(θ,λ)|≤N-α} 是由可积随机变量一致有界的w.r.t n。因此，方程（3.5）的左手sid e趋于零，从而证明√n（~Mn（θm（n），λm（n））-~Mn（θ）, λ))PR-----→N→+∞03.2实际实现算法3.1的关键部分是最小化p air（θm，λm）的数值计算。优化算法的效率在很大程度上取决于最小特征值的大小五、

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2022-4-28 17:28:56

从命题2.1的证明结束时，我们可以推导出v大于ehf（G，θ，Nu，λ）1{Nu=（N，…，np）}imin1，Nλ，npλp！。这个下限依赖于函数f，而我们更希望找到一个统一的下限。因此，我们建议您重新编写v asv（θ，λ）=E“θp！f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#- E“GNμλ！f（G，Nu）E-θ·G+|θ| pYi=1eλi-uiuiλiNuii#其中Nμλ=Nμλ，Nuppλp. 因此，（θ）, λ) 可以看作是u（θ，λ）=θp！-E“GNμλ！f（G，Nu）E-θ·GQpi=1uiλiNuii#Ef（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuiiu（θ，λ）=|θ|+Ppi=1λi+logef（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii. U的海森矩阵由下式给出：u（θ，λ）=石斑鱼类df（G，Nu）e-θ·G+Qpi=1uiλiNuiiEf（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii+E“GNλ！GNλ！*f（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii#Ef（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii-E“GNμλ！f（G，Nu）E-θ·GQpi=1uiλiNuii#E“GNuλ！f（G，Nu）E-θ·GQpi=1uiλiNuii#*Ef（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii我们记得对角矩阵D由D=diagp定义Nμλ，Nuppλp. Cauchy-Schwartz不等式得出u形正半有限矩阵。Hessian矩阵的第一部分是一个正有限矩阵，其最小特征值大于min1，λjENuiif（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuiiEf（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii= 闵1，ujλjEf（G，Nu+ej）e-θ·GQpi=1uiλiNuiiEf（G，Nu）e-θ·GQpi=1uiλiNuii其中等式来自S tein的泊松随机变量公式，Ej表示j- 正则基的第四个元素。当函数f相对于其第二个参数的每个分量都增加时，我们得到u p，其下界独立于函数fmin1，ujλj！。我们的数值实验提倡使用u而不是v来加速（θ）的计算, λ).利用这个新的表达式，我们实现了算法1，构造了一个近似xknof（θn，λn）。

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kedemingshi

2022-4-28 17:28:59

由于unis是强凸的，对于任意固定的n，当k趋于完整时，xkn收敛到（θn，λn）。第k步的下降方向dknat应计算为线性系统的解。没有必要计算un（xkn），计算起来要贵得多。实施说明：从实际角度来看，ε应选择合理的小ε≈ 10-6.该算法收敛速度非常快，在大多数情况下，不到5次迭代就可以得到（θn，λn）的非常精确的估计，实际上在ε范围内-错误由于通过牛顿算法的迭代，函数f的求值点保持不变，因此j=1的值f（Gj，Nj，n应该在启动优化算法之前进行预计算，这将大大加快整个过程。我们问题的海森矩阵很容易处理，所以使用拟牛顿方法是没有意义的。算法1投影牛顿算法选择初始值xn∈ Rd+p.k=1while联合国（xkn）> εdo1。计算并确认(un（xkn））dkn=-un（xkn）2。xk+1/2n=xkn+dkn i=1:d+p doif xk+1/2n（i）>0然后xk+1n（i）=xk+1/2n（i）elsexk+1n（i）=xkn（i）如果结束，则结束3。k=k+1最后，我们将把我们的方法应用于两类不同的跳跃过程：跳跃微分过程和带有跳跃的随机波动过程，在后一种情况下，波动本身也可能跳跃。我们考虑的是经过过滤的概率(Ohm, A、（英尺）0≤T≤T、 P）具有有限时间范围T>0和金融资产。我们定义了空间中的布朗运动W，其值为RIandI+1独立泊松过程（N，…，NI+1），强度为常数u，uI+1。我们还考虑了（I+1）独立序列（Yij）j≥1对于i=1。I.I.d.中的I+1。

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2022-4-28 17:29:02

实值随机变量，其普通规律如下所示。泊松过程、布朗运动和序列（Yij）jare被认为是相互独立的。实际上，我们感兴趣的是考虑与泊松过程和跳序列yi有关的复合泊松过程，i=1，I+1.4.1跳跃扩散过程在这类模型中，我们假设原木价格根据以下等式xit=βI演变-（我）！t+σiLiWt+NitXj=1Yij+NI+1tXj=1YI+1j（4.1），其中β=（βi，…，βi）*是漂移向量，σ=（σi，…，σi）*波动性向量。现在的向量是这样的，矩阵L=（L；…；LI）验证了Γ=LL*是具有单位对角元素的对称有限正矩阵。矩阵Γ嵌入了模型连续部分的协方差结构。我们还选择在模型中考虑同时跳变的可能性，这解释了所有基础资产的额外跳变术语Pni+1tj=1YI+1jcommon。这个常见的跳跃术语嵌入了市场的系统风险。从方程4.1中，我们推断出t时的价格=由IT确定的现有价格=Siexp（βi-（我）！t+σiLiWt）NitYj=1eYijNI+1tYj=1eYI+1jj，当Yijare正态分布时，每个资产对应于强度为ui+ui+1的一维默顿模型。我们假设P是与无风险利率r>0相关的鞅测度，假设P是确定性的，过程（e-rtSt）t必须是P下的鞅。这个鞅条件规定，对于每个i=1，一、 βI=r- （uiE[Yi]+uI+1E[Yi+1]）。在下文中，我将始终代表这个数量。备注4.1。在一维情况下，即当I=1时，我们只考虑单一复合泊松过程，因为系统风险跳跃项变得不相关。

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2022-4-28 17:29:10

因此，维度1中的对数价格将为followxt=β-σ!t+σWt+NtXj=1Yj。为了清楚起见，下面我们将不单独处理一维情况，即使实际的一维实现依赖于单个泊松过程。所以，我们总是认为泊松过程的值为RI+1。在数值例子中，我们需要在时间网格0=t<t<·t<tJ=t上离散多维价格过程。我们假设这个时间网格是正则的，由tj=jTJ，j=0，J.为了确定我们的符号，我们认为布朗（分别为泊松）增量存储为大小为I×J（分别为（I+1）×J）的列向量。WTWTWT。。。WtJ-1WtJ=√tId 0 0。0√tId√T-tId 0。0........................√tJ-1.- tJ-2ID0√tId√T-tId。√tJ-1.- tJ-2Id√tJ- tJ-1IdG、其中G是RI×Jand中的正态随机向量，Id是I×I维的单位矩阵。泊松过程以类似的方式离散。默顿跳跃扩散模型。默顿模型对应于变量（Yi），Yi的正态分布的特殊选择~ N（α，δ），其中α∈ R和δ>0。在这个框架中，价格的跳跃大小遵循对数正态分布。寇模型。在Kou模型Kou（2002）中，变量Yi遵循非对称指数分布，分布为d en sitypiui+e-ui+x{x>0}+（1- p） iui-eui-x{x<0}其中pi∈ [0，1]是i的正跳跃概率-th分量和变量ui+>0，ui-> 0控制每个指数部分的衰减。4.2带跳跃的随机波动性模型在本节中，我们考虑Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001b，a）开发的随机波动性模型，其中波动过程是一个非高斯的Ornstein-Uhlenbeck过程，由复合泊松过程驱动。我们认为原木价格满足i=1。

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2022-4-28 17:29:14

，IdXit=（ai）- σi/2）dt+qσit-dWit+ψidZiκit+ψI+1dZI+1κI+1ta∈ RI，ψ∈ RI+1具有非正成分，可解释正杠杆效应，Z是（I+1）维Lévy过程，由Zit=PNitk=1Yikfor I=1定义，I+1和平方波动过程（σt）为Lévy d riven Ornstein-Uhlenbeckdσit=-（κi+κi+1）σitdt+dZiκit+dZi+1κi+1t。为了使平方波动率过程保持正，我们假设Zonly的分量向上跳，这意味着随机变量Yijare是非负的。更具体地说，跳跃序列yi是i.i.d，遵循指数分布，i=1时参数βi>0，I+1。选择漂移向量a，使得折扣价格是P下的鞅。因此，直接计算表明，我们需要设置AI=r- ψiκiuiβi- ψi-ψI+1κI+1uI+1βI+1-ψI+1，对于I=1，确保（e）的鞅性质-rtexp Xt）t.正如在跳跃扩散模型一节中，额外的泊松过程在X和σ的动力学中增加了术语dZI+1，这说明了系统风险的建模。当NZI+1跳跃时，所有的波动性和可能所有的资产（当存在杠杆效应时）一起跳跃。这种带跳跃的多维随机波动率模型的参数化对应于Barndor ff-Nielsen和Stelzer（2013）的第5.3节。添加这个额外的跳跃过程只有在多维框架下才有意义，因此我们使用前面的方程编写一维模型，但不包含涉及indexI+1的项。在下文中，我们将根据本文的理论部分，在带有跳跃的期权定价的背景下，比较几种不同方法的效率。

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2022-4-28 17:29:18

问题总是归结为计算跳跃-扩散过程中的乐趣预期。4.3几种重要抽样方法为了设计一种重要抽样蒙特卡罗方法，我们可以使用布朗部分（下文中称为高斯重要抽样，以最佳方差表示VarG），或使用泊松部分（泊松重要抽样，以最佳方差表示VarP），或同时使用两者。最后一种方法被命名为高斯+泊松重要性抽样，并产生一个表示为VarGP的最优方差。高斯重要性抽样方法实际上与Jourdain和Lelong（2009）中开发的方法相对应，但与优化部分和真实蒙特卡罗计算的独立样本集相对应。对于这三种方法中的每一种，我们考虑两种方法。全重要性抽样。第一种方法包括允许优化每个时间步的参数，这意味着d=d′=I×J和p=p′=（I+1）×J。在此设置中，矩阵A和B是单位矩阵。这种方法是更一般的inone框架，但优化问题的维度与方差最小化和时间步数的平方有关，这使得人们有兴趣尝试找到一个维度更小的子向量空间，在该子向量空间中优化参数，并使方差接近全局最小值。减少重要性抽样。p问题的降维思想是在子空间{（Aθ，Bλ）：θ中寻找参数（θ，λ）∈ Rd′，λ∈ R*+p′}在哪里∈ Rd×d′是秩为d′的矩阵≤ d和B∈ R*+p×p′秩为p′的矩阵≤ p、我们选择限制自己在布朗运动中加入一个常数漂移，并保持泊松强度与时间无关。

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2022-4-28 17:29:21

这对应于d′=I和p′=I+1A（j-1） I+I，I=ptj- tj-1，B（j）-1）（I+1）+k，k=tj- tj-1对于j=1，J、 i=1，I和k=1，I+1，A和B的所有其他系数都为零。4.4数值实验我们比较了四种不同金融衍生品的不同重要性抽样方法：前两个例子是路径依赖型单一资产期权，后两个例子是篮子期权，有或没有障碍监控。为了比较不同的策略，我们决定确定蒙特卡罗部分的样本数量，这意味着它们的精度只取决于它们的方差，我们将比较不同的例子。为了确定哪种方法最好，可以方便地计算它们的效率，定义为方差除以CPU时间的比率。在以下所有示例中，我们使用相同的样本数来近似最佳重要性抽样参数和蒙特卡罗计算，即m（n）=n.亚式选项。我们考虑的是一个受离散监控的亚洲期权，其payoff JJXi=1Sti- K！+。我们对一维亚式期权的测试（见表1和表2）表明，泊松和高斯+泊松重要性抽样方法通常比纯高斯重要性抽样方法表现更好，但它们也需要更长的计算时间。当考虑到额外的计算时间和方差缩减时，我们注意到泊松和高斯+泊松重要性抽样方法产生了与默顿模型相同的效率（见表1）。对于BNS模型（见表2），在可比的计算时间内，混合高斯+泊松重要性抽样方法比其他两种方法实现了更好的方差缩减。

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2022-4-28 17:29:24

通过仔细观察不同策略的CPU时间，很明显，缩减方法显示出更好的效率，应该在实践中使用。执行价VarG VarP VargFull 90 17.88 2639 2395 636 529减少17.88 2639 2640 839 752完全100 14.37 2750 2624 720 622减少14.37 2750 2624 552 470完全110 12.11 2327 2301 470减少12.11 2327 2301 676 585表1：在S=100、r=0.05、σ=0.25、u=1、α=0.5、δ=0.2、T=1、J=12和n=50000的默顿模型中维度1的离散亚式期权。crudeMonte Carlo方法的CPU时间为0.08。全重要性抽样方法的CPU时间为（0.21,0.28,0.39），简化方法的CPU时间为（0.20,0.21,0.26）。履约价格VarG VarP VarGPFull 90 11.85 63 22.7 50 13.3缩减11.85 63 28.7 52.7 22.1完整100 3.96 47 19 29.7 9.4缩减3.96 47 22 33 14.7完整110 0.92 19 7.8 9 3.5缩减0.92 19 10 11.1 5.56表2:BNS模型中维度1的离散亚式期权，其中S=100，r=0.05，λ=0.01，u=1，κ=0.5474，β=18.6，T=1，J=12，n=50000。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0.13。全重要性s放大法的CPU时间为（0.36,0.52,0.93），简化法的CPU时间为（0.29,0.29,0.33）。障碍选项。我们考虑了一个带有payoff（ST- K） +×1{1.≤J≤J、 Stj<U}其中U是上势垒。履约价格VarG VarP VargFull 90 17.88 2639 2395 636 529减少17.88 2639 2640 839 752完全100 14.37 2750 2624 720 622减少14.37 2750 2624 552 470完全110 12.11 2327 2301 470 42012.11 2327 2301 676 585表3：在S=100、r=0.05、σ=0.2、u=0.1、α=0、δ=0.1、T=1、J=12、U=140和n=50000的默顿模型中维度1的离散障碍期权。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0.08。

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2022-4-28 17:29:29

全重要性抽样方法的CPU时间为（0.22,0.26,0.37），简化方法的CPU时间为（0.20,0.20,0.23）。篮子选项。我们考虑10项资产的一篮子期权，其payoffixi=1ωiSiT- K+其中向量ω∈ 记录篮子中每项资产的重量。表4：在Si=100、r=0.05、σI=0.2、uI=0.1、αI=0.3、δI=0.2、ρ=0.3、T=1、ωI=Ifor I=1、，I/2，ωI=-如果i=i/2+1，I和n=50000。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0。06.重要性采样应用程序roach的CPU时间为（0.17,0.20,0.32）。一维离子势垒方案的实验研究（关于不同方法的效率，见表3得出了非常相似的结论。大致来说，高斯方法不会带来任何方差减少，但成本是原始蒙特卡罗方法的CPU时间的2.5倍。泊松和高斯+泊松重要性抽样方法至少在同等计算时间内提供了令人印象深刻的方差减少在缩小尺寸的方法中。通过全尺寸方法获得的最优方差的改进看起来不足以抵消额外的计算时间。实际上，缩小规模的方法显示出更好的效率。履约价格Var VarG VarP VarGP-10 10.21 60 41 48 290 3.35 30 21 22 1310.68 8.3 5.9 5.2 2 2.8表5：在Si=100、r=0.05、σI=0.2、uI=1、αI=0.1、δI=0.01、ρ=0.3、T=1、ωI=Ifor I=1的默顿模型中，I=10的篮子期权，I/2，ωI=-如果i=i/2+1，I和n=50000。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0。6

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2022-4-28 17:29:32

重要性采样应用程序roach的CPU时间为（0.17,0.20,0.32）。由于篮子期权不是路径依赖型衍生工具，因此包含完整和缩减规模的方法，我们在表4和表5中不区分这两种方法。在这些表格中，我们可以看到，高斯+泊松方法比纯泊松方法提供更好的方差缩减，而纯泊松方法又优于纯高斯策略。然而，除了钱外的选择，不同重要性抽样方法带来的收益并不能补偿额外的计算时间，以跟上粗糙的蒙特卡罗策略。这种效率的缺乏主要源于非常简单的支付形式，这使得原始的蒙特卡罗方法非常快速。多维障碍选项。我们考虑在Payoffixi=1ωiSiT的一篮子资产上的一个离散监控向下和向外屏障选项- K+N1.≤我≤我1.≤J≤J、 Sitj>b载体在哪里∈ 这是一个较低的障碍。履约价格VarG VarP VarGPFull 0.59 7.00 4.03 4.36 1.98减少0.59 7.00 3.51 4.36 2.05完全-5 1.06 13.33 8.43 9.64 4.79减少1.06 13.33 8.56 9.81 5.42完全-10 1.64 24.26 16.57 18.39 10.57减少1.64 24.26 16.77 18.96 11.68表6：在Si=100、r=0.05、I=0.2、uI=0.1、ΔI=0.01、ρI=0.1的默顿模型中，I=10的障碍期权，ωi=如果i=1，I/2，ωI=-如果i=i/2+1，I和J=12，n=50000。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0.76。

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2022-4-28 17:29:36

降低重要性抽样方法的CPU时间为（1.42,1.44,1.52），全重要性抽样方法的CPU时间为（1.53,2.41,3.05）。履约价格VarG VarP VargFull 100 2.97 36 37.8 16减少2.97 36.2 16完全90 12.52 36.4 14.5减少12.52 36 14.3 14.3完全110 1.64 12.1 13.3 6.1 5 5减少0.80 12.1 12 5.3 5.4表7：在Si=100、r=0.05、λI=0.01、uI=1、κI=0.54、βI=18.6、bi=70、ρ=0.1、ifi=1、，土地J=12，n=50000。原始蒙特卡罗方法的CPU时间为0.52。降低重要性抽样法的CPU时间为（1.06,1.1,1.17），全重要性抽样法的CPU时间为（2.1,3.8,10.5）。我们的最后两个例子处理带有离散监控的多维屏障选项。在查看表6和表7时，第一个值得注意的结果是，完整ap方法的CPU时间非常长，但与缩减大小的方法相比，这并没有显著改善方差缩减。这句话明确提倡使用缩减规模的方法。方差总是除以2到3之间的一个因子，而CPU时间只是原始蒙特卡罗方法的两倍。在Merton m模型的情况下（表6），高斯+泊松方法在计算时间上总是提供最大的方差缩减，与其他两种方法非常接近，同时在BNS模型（表7）中，泊松和高斯+泊松方法的表现类似。纯泊松方法的效率来自BNS模型的特殊形式，其中包括波动过程中的跳跃。这些跳跃似乎对眉毛运动本身的整体变化有更大的影响。5结论在这项工作中，我们研究了一种基于重要抽样的跳跃过程蒙特卡罗方法。

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能者818

2022-4-28 17:29:40

该算法分为两部分。首先，我们使用牛顿算法在随机优化问题的样本平均近似下计算测度的最优变化。这种方法非常稳健，不需要任何与快速近似法不同的微调。其次，我们在独立的蒙特卡罗方法中使用这个最优测量变化的估计。我们已经为这种方法建立了几个收敛结果，特别是我们已经证明了它满足具有最优极限方差的中心极限定理。我们研究的所有数值例子都建议使用缩小尺寸问题来显著加快计算速度，因为与完整方法相比，方差减少的损失仍然可以忽略不计。事实证明，这种重要的取样方法在跳跃和扩散部分混淆时更加有效。参考资料b。阿鲁纳。适应性蒙特卡罗方法，一种方差缩减技术。蒙特卡洛方法应用。，10(1):1–24, 2004.B.阿鲁纳。Robbin的Monro算法和财务方差缩减。J、《计算金融》，第7（2）页，2003/04年冬季。O.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。lévy processess为金融计量经济学建模。在O.Barndor Offf-Nielsen、S.Resnick和T.Mikosch中，编辑们，《莱维过程》，第283-318页。Birkh"auser Boston，2001a。O.E。巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。非高斯ornstein–基于uhlenbeck的模型及其在金融经济学中的一些应用。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计方法），63（2）：167-2412001b。O.E.巴恩多夫-尼尔森和R.斯特尔泽。多元supou随机波动率模型。《数学金融》，23（2）：275–2962013。内政部：10.1111/j.1467-9965.2011.00494。x、 P·卡尔、D·B·马丹和R·H·史密斯。使用快速傅立叶变换进行期权估值。计算金融杂志，2:61-731999。H

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2022-4-28 17:29:44

陈和Y.朱。具有随机变化截断的随机逼近过程。中科院，29（9）：914-926，1986年。B.Jour dain和J.Lelong。正态随机向量的鲁棒自适应重要性抽样。安。阿普尔。Probab。，19(5):1687–1718, 2009.R.Kawai。两时间尺度随机逼近的自适应蒙特卡罗方差缩减。蒙特卡罗方法适用于。，13(3):197–217, 2007.R.Kawai。两时间尺度下Lévy过程的自适应Monte Carlo方差缩减。Methodol。计算机。阿普尔。Probab。，10（2）：199–2232008a。R.Kawai。通过随机逼近寻找Lévy过程的最佳重要抽样参数。暹罗J.努默。肛门。，47（1）：293-307，2008b。J.基斯林和R.坦彭。Lévy过程的差分近似，着眼于融资。蒙特卡罗方法适用于。，17(1):11–45, 2011.郭世杰。期权定价的跳差模型。管理。Sci。，48(8):1086–1101, 2002.B.拉佩尔和J.乐龙。自适应蒙特卡罗程序的框架。Monte CarloMethods Appl。，17(1), 2011.莱杜先生和塔拉格兰德先生。Banach空间中的概率，Ergebnisse derMathematik and ihrer Grenzebiete（3）[数学和相关领域的结果（3）]第23卷。斯普林格·维拉格，柏林，1991年。J.乐龙。在可验证的条件下，几乎可以确定随机截断随机收敛算法的收敛性。《统计与概率快报》，78（16），2008年。J.乐龙。随机截断随机算法的渐近正态性。以赛姆。概率与统计，2011年。V.Lemaire和G.Pagès.无约束递归重要性抽样。安。阿普尔。Probab。，20(3):1029–1067, 2010.R·Y·鲁宾斯坦和A·夏皮罗。离散事件系统。概率与数理统计：概率与数理统计。约翰·威利父子有限公司。，奇切斯特，1993年。

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