带跳的严格局部鞅

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收藏 2022-04-28

英文标题：
《Strict Local Martingales with Jumps》
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作者：
Philip Protter
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
A strict local martingale is a local martingale which is not a martingale. There are few explicit examples of \"naturally occurring\" strict local martingales with jumps available in the literature. The purpose of this paper is to provide such examples, and to illustrate how they might arise via filtration shrinkage, a phenomenon we would contend is common in applications such as filtering, control, and especially in mathematical finance. We give a method for constructing such examples and analyze one particular method in detail.
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中文摘要：
严格局部鞅是一个非鞅的局部鞅。文献中很少有“自然发生”的带跳的严格局部鞅的明确例子。本文的目的是提供这样的例子，并说明它们是如何通过过滤收缩产生的，我们认为这一现象在过滤、控制等应用中很常见，尤其是在数学金融中。我们给出了构造此类示例的方法，并详细分析了一种特殊的方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Strict_Local_Martingales_with_Jumps.pdf
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能者818

2022-4-28 17:34:24

带跳跃的严格局部鞅*2018年11月7日摘要严格局部鞅是局部鞅，而局部鞅不是鞅。文献中很少有“自然发生”的带跳的严格局部鞅的明确例子。本文的目的是提供这样的例子，并说明它们可能如何通过过滤收缩而产生，我们认为这种现象在过滤、控制等应用中很常见，尤其是在数学金融中。我们给出了构造此类示例的方法，并详细分析了一种特殊的方法。1.在文献中最近有人指出，除了Chybiryakov[4]处理的情况外，很少有带跳的严格局部鞅的例子（参见[12]，[24]）。[24]中也给出了带跳跃的严格局部鞅的例子。如[24]所述，如果M是一个连续的严格局部鞅，而N是一个纯粹的不连续鞅，那么L=M+N之和也是一个严格的局部鞅，但这似乎是一种创建带有跳跃的严格局部鞅示例的艺术方法，这里的目的是展示它们是如何自然出现的，以补充[4]的理论。Elwort hy、Li和Yor[9]、Delbaen和Schachermayer[6]以及最近的Madan和Yor[29]等经典文献都强调了严格局部鞅在不同理论中的重要性。带有跳跃的严格局部鞅的明显候选对象是L′evyprocess。然而，没有任何L’evy过程可以是严格的局部马丁加过程（见[16]或[34，*纽约哥伦比亚大学统计系，邮编：10027；部分由NSFgrant DMS-1308483练习29，第49页）支持。

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大多数88

2022-4-28 17:34:27

当然，带跳跃的严格局部鞅可以产生关于L’evy过程的随机积分，但给定一个候选被积，很难确定将产生的随机积分是严格局部鞅，还是仅仅是鞅。最近人们对金融泡沫模型的研究兴趣极大地激发了人们对产生“自然发生”的带跳跃的严格局部鞅例子的内在兴趣。我们的目标是提出一种这样做的方法。作者希望感谢新加坡国立大学（National University of Singapore），在那里完成了本文的大部分工作，并与Bob Jarrow和他在新加坡国立大学（NUS Freddy Delbaen）的同事进行了讨论。他还从2005年与闫增的多次讨论中受益匪浅。我们在本文中的方法是在给定的过滤概率空间上采用连续路径的严格局部鞅Y(Ohm, G、 P，G），其中G=（Gt）t≥0，并将其投影到一个显著更小的过滤F上，得到一个新的过程X。我们以这样一种方式进行投影，即X是较小过滤中的严格局部鞅。如果过滤非常“差”，那么它将失去许多G停止时间，而剩下的一些F停止时间将完全无法访问。（我们将在第2节中介绍完全不可接近停车时间的定义。）这些停止时间是严格局部鞅的潜在跳跃时间。由于Delbaen和Shirakawa[7]的工作，我们有一种方法可以随意构造连续严格局部鞅，这反过来又给了我们一种方法，可以随意构造带有j umps的严格局部鞅。

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何人来此

2022-4-28 17:34:31

它还说明了当信息受到限制时，它们是如何从连续严格局部鞅中自然产生的。在第2节中，我们提出了一种过滤收缩的方法，它很简单，并且创建了带跳跃的严格局部鞅。我们还建立了第2节中的一些初步结果，并在第3节中继续讨论更多内容。第四部分是本文的主要结果，包括对跳跃不足假设的补偿器的分析。致谢作者感谢两位匿名推荐人的建设性意见，这些意见使这些结果的陈述更加清晰。2我们假设的基本框架是一个经过过滤的完全概率空间(Ohm, G、 P，G）满足通常条件，并且足够丰富以支持布朗运动。为了分析我们开发的框架，我们需要从Jacodand Skorokhod[17]的一篇论文中获得一个概念，即过滤的跳跃。定义1。让我们≤ 对于一个给定的过滤H，T是两个s的顶部。我们说过滤H从s跳到T，如果对于所有的T≥ σ代数Hs和Ht在{S上重合到零集≤ t<t}。我们希望与英国《金融时报》共同创建一个子公司F GTT≥ 0.实现这一点的一种方法是：。设X是一个具有连续样本路径的自适应过程（例如，X可以是布朗运动）。我们让τxdenote作为x级的第一个通过时间。也就是说，τx=inf{t>0:Xt≥ x} 。（1）接下来我们让∧ (0, ∞), 然后T（λ）=（τx）x∈∧表示级别X的所有首个消息时间的集合∈ Λ. 我们假设F是最小过滤，使得每个τx，x∈ ∧是一个停止时间，符合通常的假设。也就是说，F由Ft=(∩u> tFu）∨ N，每t≥ 0，其中N表示G的所有Pnull集，其中ft=σ（τx≤ s、 s≤ t、 x∈ ∧）（2）定义2。

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大多数88

2022-4-28 17:34:35

我们说的是β点∈ 如果supα∧，则∧在∧中从下方隔离∈Λ{α <β} < β.我们可以通过考虑一组正随机变量（Tα）α来更抽象地定义这一点∈若α6=β，我们称这个族为完全有序∈ ∧，eitherTα<Tβ或Tβ<Tα。命题1和命题2摘自曾彦2006年的博士论文[40]。提议1。设T（λ）=（Tα）α∈λ是一个完全有序的族，让F是满足通常h假设并使所有T（λ）停止时间的最小过滤。确定时间Tβ∈ T（λ），设S=supα∈∧{Tα：Tα<Tβ}。如果S<Tβa.S.，那么F从S跳到Tβ。证据请注意，S是一个停止时间，因为我们也可以将S表示为可数个停止时间的上限。因此，我们可以使用σ代数。然后是FS∩ {S≤ t} 英国《金融时报》和财政司司长∩ {S≤ t<tβ} 英尺∩ {S≤ t<tβ}。相反，对于任何γ∈ ∧，Tγ>S a.S.或Tγ≤ S.a.S.代表S≤ 如果tγ≤ Tγ∈ FSand{Tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}∈ 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。如果Tγ>S，则Tγ≥ Tβa.s.，和{Tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}= 对于s≤ t、无论如何，我们有{tγ≤ s}∩ {S≤ t<tβ}∈ 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。SinceFt=σ（{Tγ≤ s} ：s≤ t、 γ∈ 通过单调类定理，我们得出结论：∩ {S≤ t<tβ} 财政司司长∩ {S≤ t<tβ}。在我们陈述下一个命题之前，让我们回顾一下完全无法到达的停止时间的定义。回想一下，可预测的停止时间T是一个停止时间，因此存在一个停止时间序列Tn和Tn≤ Tn+1a。s、，Tn<T a.s.每个n和limn→∞Tn=T a.s.a完全不可访问时间是一个停止时间U，对于一个可预测的时间T，P（T=U）=0。一个著名的P.A.定理。

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mingdashike22

2022-4-28 17:34:38

Meyer指出，关于Feller强马尔可夫过程的自然完全过滤，完全不可接近的停止时间的集合与过程的跳跃时间的集合是一致的（该定理在例如[34]中有详细说明）。提议2。假设F i是满足通常假设的最小过滤，并使每个Tα都有一个停止时间。对于任何β∈ 如果（i）β在∧中从下方分离，并且（ii）给定的Tβ的规则条件分布是连续的，则∧，Tβ是完全不可接近的。证据首先我们假设Tβ是完全不可接近的。假设β在∧中不是从下面孤立出来的。然后存在一个序列αnβ，每个n的停止时间tαntβa.s.，和tαn<tβa.s。因此tβ是可预测的，这是一个矛盾。此外，由于Tβ是完全不可访问的，它的补偿器是连续的。因此，这样的序列αnβ不可能存在，这意味着命题1f中的S<Tβa.S.从S跳到Tβ，因此很容易检查（见[40，定理4，p.20]），其补偿器是zt（S，Tβ]（u）p（Tβ）∈ du | FS）P（Tβ≥ u | FS）（3）由于Tβ完全不可通过假设获得，它必须是连续的。相反，我们希望证明Tβ是完全不可接近的。由于假设β在∧中是从下方分离出来的，因此我们通过X的路径连续性得到了S<Tβ∈ du | FS）是连续的，那么Tβhasa是连续补偿器。我们得出结论，Tβ是完全不可接近的。注意，在这种普遍性水平下，不可能得出这样的结论：对于勒贝格测度而言，时间的补偿器（如Tβ，其中β是∧的左端点）是绝对连续的。实现这种结果的一种方法是将它们与强马尔可夫过程（如狩猎过程）联系起来。[14]和[18]中都采用了这种方法。

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大多数88

2022-4-28 17:34:41

但我们必须补充一点，例如，如果基本的连续随机过程X是标准布朗运动，那么我们可以证明∧doindeed的左孤立点的时间Tβ的所有补偿器都有绝对连续的路径。备注1。发展过滤收缩理论的想法并不新鲜。这方面的主要工作是Br’emaud和Yor[3]1978年的论文。通过考虑与allx对应的第一次通过时间来缩短过滤的想法∈ ∧并非新概念，A.Deniz Sezer在她的论文中对其进行了讨论，并发表了论文[38]和[21]。她的方法植根于马尔科夫过程理论和偏移理论中，涉及到各种不同的随机集。在第二篇论文[21]中，她的技术被用于解决信用风险理论中的问题，并提出了艺术表现的问题。这种技术也可以在这个框架中使用（在其他假设下），但我们不尝试在这里这样做。使用过滤收缩概念的最新论文包括[13]、[20]和[28]。3理论预备本节中，我们发展并回顾了一些理论，我们将使用这些理论来建立第4节中的结果，后者是本文的核心。我们首先考虑无约束严格局部鞅的情况。这些问题经常出现在金融领域，并与金融泡沫模型的存在有关（参见[5]、[22]、[2]、[35]）。Delbaen和Shirakawa[7]给出了一种方法，将连续严格局部鞅的例子构造为随机微分方程的解（另请参见[31]和[26]），因此，从假设Z是G连续非负严格局部鞅开始是合理的。

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kedemingshi

2022-4-28 17:34:44

设U为任意连续的G适应过程，且∧与之前一样：∧ [0, ∞) 我们假设∧有左孤立点，左孤立点包含一个倾向于∞. 我们让τx=inf{t>0:Ut≥ x} 。（4）我们定义F byFt=∩u> tFuwhere Ft=σ（τx≤ s，s≤ t、 x∈ ∧，（5）其中P个零集被添加到所有Ft中。注意，F满足“通常假设”提议3。支持二次变量t7→ [Z，Z]它总是严格地增加，a.s。如果Z的约化停止时间也是F中的停止时间，则Z在F上的可选投影M是nf严格局部鞅。此外，如果u=Z，那么M每次τβ都有一个t的跳跃，其中β是∧的左孤立点。证据由于G严格局部鞅Z的约化停止时间是F中的停止时间，因此从[13]的定理11可以得出M是F局部鞅。由于Z是非负严格局部马尔可夫，我们知道t 7→ E（Zt）正在下降。选择一个任意点β∈ ∧从下面隔离，让我们像以前一样定义：S=supα∈∧{τα：τα<τβ}（6）M在∧左孤立点处的跳跃仍有待研究。注意，我们通过定理2知道，这是F完全不可能的时间Mτβ=Mτβ- Mτβ-= Mτβ- MS，其中S=supα∈∧{τα：τα<τβ}，因为过滤F根据定理1从S跳到τβ。但Mτβ=E（Zτβ| Fτβ）=E（β| Fτβ）=β，MS=E（ZS | FS）=E（α| FS）=α，其中α=sup{x∈ 使x<β}。现在我们从只考虑非负严格局部鞅转向一般严格局部鞅。我们已经通过[13]的定理11知道，G严格局部鞅Z在子滤波器F上的最优投影也是局部鞅，只要G中停止时间的减少序列也是F停止时间的序列。

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nandehutu2022

2022-4-28 17:34:48

因此，唯一的问题是Z在G中是否严格也意味着Z在F中是严格的。如果我们使用Kazamaki在1972年建立的局部鞅的Kr-ickeberg分解，一般情况是从正的情况出发[25]。T表示a.s.有限停车时间的集合。对于局部鞅X，我们定义了1范数byk X k=sup{T∈T}E（|XT |）。定理2（局部鞅的克里克伯格分解）。设X是局部鞅。然后k X k=仰卧位（|XTn |），对于limn的每一个减少的停止时间序列（Tn）→∞Tn=∞. I f k X k<∞, 然后存在两个正局部鞅Xp和Xnsuch thatX=Xp- Xn（7）kxk=kxpk+kxnk（8）上面的克里克伯格分解是唯一的，只要一个在（8）上。此外，还可以选择减少s打顶次数（Tn）n的顺序≥1这同时减少了X、X和X中的三个。我们注意到定理2中的最后一个陈述不包含在Kazamaki的原始文件中，但直接检查很简单。提议4。设Y是空间上的严格局部鞅(Ohm, G、 P，G）并让Fbe作为G的一个子过滤。假设存在一个以f为单位的停止时间（Tn）序列，该序列构成G中Y的减少序列。还假设k=supnE（| YRn |）∞对于每一个还原序列ce（Rn）n≥当M=oY是一个严格的局部鞅F，且M是（Tn）n的约化序列≥1.我们强调M=oY是[13]中建立的局部鞅这一事实。定理4的新颖之处在于它在严格意义上是aga。证据假设我们有k<∞. 让Y=Yp- 可能是它的克里克伯格分解。如果Yp和Yn都是鞅（即，不是严格局部鞅），那么Y也是，这违反了我们关于它是严格局部鞅的假设。所以至少有一个Ypyn是严格局部鞅。

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mingdashike22

2022-4-28 17:34:51

让我们假设这一点是严格的。由于YPI是一个正的严格局部马氏体，它的期望值必须是递减的，尤其不能是常数。所以它在F上的投影，称为Mp=oYp，也是一个严格的局部鞅，因为它是正的，有递减的期望，而F约化序列（Tn）n≥根据假设和定理，Yp是一个递减序列。我们也知道mn是一个局部鞅。不管它是鞅还是严格局部鞅，在这两种情况下，差异Mp都无关紧要- 因为MPI是一个，所以MNI是一个本地入口。注意，当我们选择YN而不是Yp时，推理是相同的。4.主要结果通过将连续严格局部鞅投影到子滤波器上，我们将获得带跳跃的严格局部鞅的例子。因此，让我们首先简要回顾一下连续过程的情况。这里有几个连续严格局部鞅的例子。迄今为止已知的最简单、或许也是最有用的家族是德尔班家族和白川家族[7]。另见米贾托维奇和乌鲁索夫[31]。他们考虑随机微分方程的解，其形式为dxt=σ（Xt）dBt，X=1，（9），其中B是标准布朗运动。在zεxσ（x）ds=∞ （10）（9）的解X是严格正的（ε>0）。证明了X是严格局部鞅当且仅当z∞εxσ（x）ds<∞. （11）一个例子是约翰逊和赫尔姆斯[23]著名的逆贝塞尔（3）过程，它对应于σ（x）=-x、接下来，我们将建立一个初步结果，稍后我们会发现这个结果很有用。

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nandehutu2022

2022-4-28 17:34:54

设B是空间上的标准布朗运动(Ohm, G、 P，G）并设τx=inf{t>0:Bt≥ x} 和νx=inf{t>0:Bt≤ x} （12）设∧ (0, ∞), 设F等于σ（τx）≤ s，s≤ t、 x∈ Λ) ∨ σ（νx）≤ s，s≤ t、 x∈ ∧）（13）和Ftis∩u> tFt∨ N，其中N是G的P个零集。假设∧包含一系列点αnw，其中lim supαN=∞lim-infαn=-∞. （14）定理3。设B为布朗运动，F为（13）中给出的，maderight连续。设X是形式为xt=X+Ztσ（Xs）dBs（15）的SD E的解，其中σ∈ C、 σ>0，σ和σ′都是Lip-schitz连续的。然后存在一个F停止时间序列s（Tn）n≥1增加到∞ a、 s。以至于∧这是一个丰富的过程，每n证明。我们假设Rn是αn中B的首次通过时间，其中αn在（14）中给出。接下来让W=-B，设sn为αn的W的第一个通过时间。如果我们下一个letTn=Rn∧ 我们有晚餐≤Tn | Bs |≤ αn，因此是有界的。我们使用了H.Doss[8]的一个老定理。另见[34，定理25，第289页]。特别是在[34]中，ifdYt=σ（Yt）σ′（Yt）dt+σ（Yt）dBt；Y∈ R、（16）thenYt=h-1（Bt+h（Y））（17），其中h（Y）=Zyyσ（u）du；ε>0因为σ>0，我们有h严格地增加，因此h-1是连续的；因此，我们的时代也因代表而受到约束（17）。我们接下来要改变测量技术。我们通过让Z=dqdp定义Q，在这里，鞅（在过滤中）Zt=E（Z|Gt）由Zt=1+ZtZs（σ（Xs）σ′（Xs））dBs（18）给出，那么Q等价于P，在Q下，过程X满足SD-EdXt=σ（Xt）dBt+σ（Xt）σ′（Xt）dsgirsanov定理。我们使用序列（Tn）n≥1选定的第一次通过时间| B |以确定X在Q下局部有界，停止时间在F和sinceP中<< Q我们也可以使用相同的停止时间（Tn）n得到X在P下局部有界≥1.我们现在已经建立了足够的结果来推导如下：定理4。

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何人来此

2022-4-28 17:34:58

设B是标准布朗运动，在它的佳能定理上(Ohm, G、 P，G），设X是（9）的解，使（10）和（11）化。让∧ [0, ∞) 包含左孤立点，使得sup{η：η∈ Λ} = ∞, 设F为B对∧中每个点的首次通过时间所产生的过滤，F满足通常的假设。设M是X在F上的投影，即i s，M=oX，对于a X，hasoXt=E（Xt | Ft）。我们取M的c`adl`ag vers i on，那么M是一个严格的局部过程，它在每个时间Tβ，对于βa在∧中离开孤立点，对于Tβ，是B在β中的第一次通过时间。证据注意，notationoX指的是X在过滤F上的可选投影。我们让αnbe表示∧中的一系列点，这样αn→ ∞, 和letRn，Snand Tn=Rn∧ n如定理3的证明所示，然后通过同样的定理3，我们得到了Xt∧它是有界的。但如果它是有界的，那么它的可选投影也是有界的，因为时报（Tn）n≥1不只是G停车时间，还有F停车时间。因此，M=oX局部受F停止时间Tn的限制。我们观察到，对于每个t，E（Xt）=E（Mt）≥ 0，那是t7→ E（Xt）是递减的，因为X是非负严格局部鞅；因此t 7→ E（Mt）也是递增的，因此M不能是鞅，因此是严格的局部鞅。还有待观察，我们知道M的跳跃时间是F的完全不可到达时间。这是定理2给出的。我们有MTβ=MTβ-MTβ-= MTβ-MS，其中S=supα∈∧{Tα：Tα<Tβ}，因为过滤F根据定理1从S跳到Tβ。在定理4中，我们假设X是SDE（9）的解，我们把它投影到F上，我们假设M=oX。M是一个局部的马丁酒，因此它可以写为uniquelyasM=Mc+Md（19），其中Mcdenotes是它的连续部分，MDE表示它的“纯粹不连续”部分。这最初是由C.Yoeurp[39]展示的。

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nandehutu2022

2022-4-28 17:35:01

然后我们知道，如果M是一个停止时间R，过程1{t≥R} 有一个类似于t 1{t的补偿器≥R}-ARtis a mart ingale，并且如果MDI是局部平方可积的，它可以被写为一个跳跃的补偿和（参见[30，p.266]），因此：Mdt=Xβ在∧中左孤立MTβ{t≥Tβ}- Cβt（20）其中Cβ是过程的补偿器MTβ{t≥Tβ}。如[18]所示，当补偿器过程Aβ具有绝对连续路径时，给出条件是很有意义的；也就是说，当Aβ的形式为βt=Rth（β）sds时，其中h（β）是一个适应的随机过程，先验地随时间tβ而变化。在这种情况下，过程h（β）有一个自然的解释，即在时间间隔（t，t+dt）内发生跳跃的瞬时（随机）相对可能性。研究论文中的一个常见假设是，此类补偿器确实是绝对连续的，但在实践中很难证明它们确实是连续的。我们希望给出条件，确保时间Tβ的补偿器确实是绝对连续的。注意，这也意味着等式（20）的补偿器Cβ也是绝对连续的。为了看到这一点，我们在局部有界的情况下给出了一个证明，然后通过隐式局部化，我们假设它是有界的。假设H=mtl是有界的∞. 让我们注意有界的可测随机变量。然后我们就有了∈ b和s<t:|E（（Cβt- Cβs）J）|=|E（J（H1{t≥T}- H1{s≥T}）|=|E（JH1{s<T≤t} ）|（21）≤ 吉隆坡∞|E（J1{s≤T≤t} ）|≤吉隆坡∞E（JZts | h（β）r | dr），然后只剩下应用闫增对Ethier-Kurtz补偿器绝对连续性标准的扩展（见[18，定理2]）。注意，Cauchy-Schwarz不等式的两个应用和几乎相同的论证证明了H=我们从一个初步结果开始，它利用了布朗运动的特殊性质。定理5。

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能者818

2022-4-28 17:35:04

对于空间上的rownian运动(Ohm, G、 P，G）和一组∧ R+，我们假设Tβ是B对于aβ水平的首次通过时间∈ Λ. 我们像以前一样定义F（参见（2））。对于左孤立点β∈ 我们知道β是绝对连续的。也就是说，存在一个F适应的p过程λβ=（λβs）s≥0使得1{t≥Tβ}-Rt是一种F马丁酒。证据我们定义了一个左孤立点β∈ ∧，我们让Nt=1t≥Tβ。我们让E F Gbe过滤网=σ（τx≤ s，s≤ t、 x∈ Λ ∩ [0, β]).通过应用单调类定理很容易证明σ（Ft∩ {Tβ>T}）=σ（Et∩ {Tβ>T}）。（22）通过单调类定理的另一个应用，我们得到了以下恒等式：P（Tβ>T+h |σ（Et∩ {Tβ>T}P（Tβ>T|Et）=P（Tβ>T+h|Et）1{Tβ>T}（23）表示我们的固定点β∈ 我们设α=sup{x∈ ∧：x<β}具有以下约定： = 因此Tα=supx∈Λ∩[0，β]Txand是过滤的停止时间。我们也观察到了这一点 ∨十、∈(Λ∩[0，β]）GTx∧T GTα∧T GTα。因此我们有{Tβ>T}=E（E（1{Tβ>T}| GTα）Et）。接下来我们使用进程（Tx）x≥0对于时间变化的原始过滤离子Gtxto getE（E（1{Tβ>T}|GTα）|Et）=E（E（1{Tβ-Tα>T-Tα}| GTα）| Et=E（1）- FTβ-Tα（T- Tα）| Et）=1{Tα>T}+{1- FTβ-Tα（T- Tα）}1{Tα≤t} （24）在哪里-Tα（x）=FTβ-α（x）是Tβ的分布函数- Tα和更高的值等于rxfβ-α（u）du，其中fγ（u）=γ（2πu）-经验(-γ/2u）。（25）对P（Tβ>T+h | Et）的一个逻辑计算可以用来表明P（Tβ>T+h | Et）=P（1）- FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）={1- FTβ-α（t+h）- Tα）}1{Tα≤t} +E（1）- FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）1{Tα>T}（26）使用（24）和（26）我们得到（Nt+h）- Nt | Ft）=Ftβ-α（t+h）- Tα）- FTβ-α（t- Tα）1- FTβ-α（t+h）- Tα[Tα，Tβ）（T）+E（FTβ-α（t+h）- Tα）| Et）1[0，Tga）（T）上述最后一项最多为FTβ-α（h）1[0，Tα）（T），因此，如果我们除以h，让h趋向于0，它会收敛到0的密度，也就是0乘以（25）。

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kedemingshi

2022-4-28 17:35:08

因此我们得到了Hp（t+h≥ Tβ>T | Ft）→fβ-α（t- Tα）1- FTβ-α（t+h）- Tα[Tα，Tβ）（T）≡ λt（27）as h→ 0.很明显，过程λ适用于F。鉴于这种收敛性，我们有了候选λF或随机强度。为了证明事实确实如此，我们只需验证（例如）T.Aven[1]的一个结果的假设，或其他结果，如Ethier Kurtz[10]的定理，或者参见[18]。这些是向前推进的计算，我们省略了它们。下面的引理无疑是众所周知的，但我们不知道在光明时代哪里有一个引理，所以我们把它包括在这里。L设R和T为两个停止时间，使得P（R=T）=0。假设它们都有绝对连续补偿器，且letMt=1{t≥T}-Zt∧Tλsds和Nt=1{T≥R}-Zt∧Rusds（28）是两个鞅；通过滥用语言，我们说T的补偿强度是λ=（λT）0的过程≤T≤T∧引理1。设T，R是两个停止时间，P（T=R）=0，补偿强度λ和u。那么停止时间的补偿器强度S=T∧ Risλ+u。那就是，{t≥T∧R}-Zt∧T∧R（λs+us）ds是一个m鞅。（29）证据。设M和N如（28）所示。然后（M+N）t=1{t≥T}+1{T≥R}-Zt∧Tλsds+Zt∧Rusds在时间t停止M+N∧ R给我们（M+N）T∧Rt=1{t≥T∧R}-Zt∧T∧R（λs+us）ds如果P（T=R）=0。否则时间t会有一个跳跃∧ R等于1+{T=R<∞}.我们想利用定理5的结果给出相对明确的例子，通过这种投影方法得到的带跳跃的严格局部马尔特内加莱。我们回到连续严格局部鞅族，其形式为dxt=σ（Xt）dBt，X=1，（30），其中B是标准布朗运动，我们假设条件（10）和（11）。也就是说，我们假设εxσ（x）ds=∞ 安德烈∞εxσ（x）ds<∞ 对于某些ε>0的情况。我们将证明以下结果。定理6。

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kedemingshi

2022-4-28 17:35:11

假设给定空间上的布朗运动B(Ohm, G、 P，G）anda集∧ R+，这样至少存在一个左孤立点序列∞ 以及至少一个右孤立点序列，其倾向于-∞. 我们对F的定义与之前（2）中的定义相同。Le t X是（30）wi条件（10）和（11）保持的解决方案。此外，假设σ>0，σ∈ C、 σ和σ′都是Lipschitz连续的。设M=oX是它在F上的投影，那么M是严格的局部鞅l e，它的跳跃有绝对连续的补偿器。证据我们已经看到M是严格的局部鞅，只要我们能证明它是局部鞅。一旦证明了这一点，根据定理5，跳跃和跳跃时间的补偿器都是绝对连续的。为了证明M是一个局部马氏体，我们只需要证明存在一个停止时间的缩减序列。设αnbe为∧上的左孤立点序列，趋向于∞. 然后英国电信∧Tα在n上有界，但不一定在fr下有界。我们定义W=-B我们让Rαnbe表示对应的首次通过时间W。根据定理5，我们得到了Rα的补偿器是绝对连续的。让我们抑制n。我们知道F适应过程λ和u的存在，使得1{t≥Tα}-Rtλsds和1{t≥Rα}-Rt是鞅。但通过引理1，我们得到了T的补偿器∧ R也是绝对连续的；事实上，通过引理1，我们甚至知道它的形式是isRt∧T∧R（λs+us）ds。由此我们知道Sαn≡ Tαn∧ Rα和thatSαn=inf{t>0}{Bt|≥ αn}，以及时间（Sαn）n≥1形成完全不可接近的F的递增序列。

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kedemingshi

2022-4-28 17:35:14

现在，定理3.4.1给出了一系列例子，我们详细地给出了一个例子，在这个例子中，我们可以分析例子的几个特征，例如局部鞅跳跃的补偿器的结构。按照同样的思路，可以构建一个更一般的示例系列，但代价是对其特征进行稍微不那么明确的分析。我们让(Ohm, G、 P，G）是一个支持标准布朗运动B的过滤完全概率空间。用τi<τi+1表示每个i的停止时间的停止顺序≥ 1.limi→∞τi=∞. 此外，我们还假设时间τ都是连续分布的，并且其中有一个序列τ| Bt∧τin|≤ n、最后，设H为任意可预测过程，使得对于每个t>0，存在It^o积分RTHSDBS。为了消除放射性，假设H 6≡ 0.定理7。让（τi）i≥1.停止时间的顺序，严格按照上述连续分布增加。下一个letJt=∞Xi=1（τ2i）-1，τ2i]（t），并通过Ft=σ（RsHrJrdBr；s）定义G的次过滤F≤ t）。然后过滤从定义1的意义上从Fτ2i“跳跃”到Fτ2i+1，以及时间τ2i-1对于我来说，这完全是不可能的≥ 1.设X为（9）、（10）、（11）中stocha微分方程的解，设M=oX，X在f上的可选投影。那么M是一个严格的局部鞅，每次跳数（τ2i）是完全不可及的-1）我≥1.证据。我们知道X是一个严格的局部鞅，只要F中存在一个导出的停止时间序列，M也将是一个。

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可人4

2022-4-28 17:35:17

然而，这种序列的存在是定理3的一个结果，它与定理3的证明中使用的Doss定理是相同的。我们知道，随机积分HJ·B与二次变分过程具有相同的恒常区间（参见示例[34]）。但是[HJ·B，HJ·B]t=Zt（HsJs）dsj，这在i的随机区间（τ2i，τ2i+1）上是常数≥ 1，由此我们可以得出结论，过滤F从Fτ2i跳到Fτ2i+1，然后每个τ2i-1是以F表示的完全不可访问的停止时间（注意，以G表示的所有τi可预测的停止时间）。τ2i+1处的跳跃等于Mτ2i-1=Mτ2i+1-Mτ2，因为过滤本身在这两个停止时间之间跳跃。5与数学金融的联系一个人认为过滤是随着时间推移而演变的可观察事件的集合。在财务方面，将不同的参与者建模为知情或不知情是很自然的，这可以通过过滤收缩和放大来建模。InFontana、Jeanblanc和Song【12】关注过滤扩张和内幕交易，严格的本地鞅作为本地鞅的定义者自然产生。Jarrow、Protter和Sezer[21]在简化形式的信贷风险模型中使用了将差异投射到子过滤上的想法，并以抽象的方式将其与Jarrow和Protter[19]中信贷风险的结构模型和简化形式模型联系起来。扩大和缩小都与模型中没有套利机会的保留或损失有关：例如见F–ollmer和Protter[13]和Larsson[28]。

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可人4

2022-4-28 17:35:20

与此相关的是“虚幻套利”的概念，这是一种涉及严格局部鞅的lso：参见Jarr ow和Protter[20]。局部鞅最常用的应用之一是它们与金融泡沫数学模型的关系，例如参见[5]、[22]、[24]、[35]。直到最近，数学气泡模型（例如[5]、[22]）还仅限于具有连续采样路径的过程。然而，Kardaras、Kreher和Nikeghbali[24]明确地处理了更一般的情况，其中包括c`adl`ag严格局部鞅。他们进一步利用贝塞尔（3）过程及其倒数贝塞尔逆过程构造了一个带跳的严格局部鞅。他们通过对贝塞尔（3）过程的第三个分量以非随机方式离散时间来实现这一点，并进行光学投影。因此，他们的方法基本上与这里使用的方法相同。此外，在Biagini、F¨ollmer和Nedelcu[2]的论文中，考虑了通过风险中性测度的变化来产生泡沫，还讨论了c`adl`ag严格局部鞅的一般情况。H.Hulley[15]的这篇有趣的论文讨论了连续路径过程，但其中大部分内容对于c`adl`agpath过程是有意义的，并且代表了带跳跃的严格局部鞅在数学金融理论中的潜在应用。我们可以想象，当交易者或市场不具备真实基础模型（如（9）、（10）、（11））所需的所有观察值G，而是具有较小的过滤F时，这里所考虑的一系列例子就会出现。因此，交易者看到的是基础模型在子过滤上的投影。

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kedemingshi

2022-4-28 17:35:24

在F中仍然是一个泡沫，在这种情况下，交易者看到了跳跃，即使基础模型是一个持续的差异。在数学金融学中，严格局部鞅的另一个用途是随机投资组合理论中出现的定义，如Fernholz and Karatzas[11]、Ruf[37]以及Platen[32]和Platen and Heath[33]的基准方法所示。事实上，对于概率测度P，设M是一个非负的统一整数鞅，不跳到零，但t仍然达到0，具有正概率。假设Q由dQ=M给出∞dP，所以Q<< 但QI不等于P。在Q下，过程1/M是严格的局部鞅。M可以取0，我们除以它，在Q下，这只发生在Q概率为0的情况下。Kreher和Nikeghbali[27]在最近的研究中对这种情况进行了很好的分析。5.1股票的定价网格和交易时间问题，美国市场的价格是以便士报价的。这意味着，即使将价格过程建模为一个连续过程（例如扩散），也只能在网格点以便士分隔（即最多1美分）的价格网格中观察到。这自然会造成过滤收缩的情况，人们只能在过滤过程穿过以便士单位分隔的价格网格时观察过滤过程。这在精神上再次类似于A.Deniz Sezer在[21]和[38]中开创的方法。另一个问题是交易时间。对数学金融模型的一种常见解释是，价格过程是不断演变的，例如，在发生分歧之后。但人们只能在交易发生时随机观察价格过程。因此，人们观察这个过程的顺序很好，包括停止时间和交易发生的时间。

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能者818

2022-4-28 17:35:28

人们通常认为，尽管如此，人们始终“了解”价格过程，尤其是当交易时间发生频率较高时，更是如此。在现代，高频交易是一种更为常见的事件，并且是高频交易。然而，这是一个小小的飞跃，通过仅在交易时间查看流程而获得的过滤，对一个人拥有的信息进行建模更为精确，这是一个符合第4.1段中给出的“示例系列”的框架。因此，这些过滤收缩模型可以通过对应于交易时间和定价网格交叉时间的过滤收缩来模拟连续时间模型和“离散时间”模型之间的联系。这有助于对[19]中表达的观点给出更精确的含义。参考文献[1]T.Aven，1985，《确定计数过程补偿器的定理》，斯堪的纳维亚统计杂志，12，69-72。[2] F.Biagini、H.F¨ollmer和S.Nedelcu，20 13，关于移位鞅测度和泡沫的诞生，作为一种可在atfm上获得的预印子。马蒂马蒂克。尤尼·明钦。de.[3]P.Br\'emaud和M.Yor，1978，过滤和概率度量的变化，Z。瓦赫施林利克斯泰利。格比特，45269-295。[4] O.Chybiryakov，2007，It^O的积分公式f或带跳跃的严格局部鞅，s\'emi naire de Probabilit\'es XL，斯普林格数学讲座1899，375-388。[5] A.Cox和D.Hobson，2005年，本地市场，泡沫和期权，金融和随机，9477-492。[6] F.Delbaen和W.Schachermayer，1998，资产定价理论中几个问题的简单反例，数学金融，8（1）：1-11。[7] F.Delbaen和H.Shirakawa，2002，正差价过程的无套利条件，亚太金融市场，9:159-168。[8] H。

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可人4

2022-4-28 17:35:31

多斯，1977年，安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·安·。研究所H.Poincar\'e Probab。统计学家。，13, 99-125.[9] K.D.Elworth，X.M.Li和M.Yor，1999，严格局部鞅的重要性；径向Ornstein-Uhlenbeck过程的应用，概率理论和相关领域，115:32 5-355。[10] S.Ethier和T.G.Kurtz，2005，《马尔可夫过程：特征化和收敛》，第二版，纽约威利。[11] D.Fernholz和I.Karat zas，2010，关于最优套利，应用可能性年鉴，20（4）：1179-1204。[12] C.Fonta na、M.Jeanblanc和S.Song，2013年，关于《诚实时报》产生的套利，预印本；可在arXiv上获得：1207.1759v4[13]H.F¨ollmer and P.Protter，2011，局部鞅和过滤收缩，Rencont res Probabilistes\'a L\'site du 60\'eme anniv\'ersaire de Marc Yor，ESAIM概率和统计，14825-838。[14] X.郭和Y.曾，2008，《强度过程和补偿器：一种新的过滤扩展方法和JeulinYor公式》，应用概率年鉴，18120-142。[15] H.Hulley，2010，《金融建模中严格的局部市场的经济合理性》，C.Chiarella，A.Novikov（编辑），当代定量金融学，DOI 10.1007/978-3-642-03479-44，Springer Verla g Berlin Heidelberg[16]J.Jacod and A.N.Shiryaev，2003，《随机过程的极限定理》，第二版，海德堡斯普林格。[17] J.Jacod和A.V.Skorohod，2004，跳跃过滤和有限变量鞅，S\'eminaire de Probabiliti\'e S XXVIII，21-35，Springer-Lect。注意数学。，第1583卷。[18] S.Janson、S.M\'Baye和P.Protter，2011，《绝对连续补偿器》，国际理论与应用金融杂志，14335-351。[19] R.贾罗和P。

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可人4

2022-4-28 17:35:35

Prot t er，2004，《结构模型与简化模型：基于信息的新视角》，投资管理杂志，2；34-43.[20] R.Jarrow和P.Protter，2013年，积极的阿尔法，异常表现，以及理论上的任意年龄，数学金融，23，第1期，39-56页。[21]R.Jarrow，P.Protter和A.D.Sezer，2007，《通过信用风险模型中的平交道口减少信息》，金融与随机，11195-212。[22]R.Jarrow，P.Protter和K.Shimbo，2010，不完全市场中的资产价格泡沫，数学金融20，145-18 5。[23]G.约翰逊和L。L赫尔姆斯，1963年，《美国数学公报》D级超级数学。社会，69，59-61。[24]C.Kardaras，D.Kreher和A.Nikeghbali，2012，《严格局部鞅和泡泡》，预印本；可在arXiv:11 08.4177v1[math.PR][25]N.Kazamaki上获得，“克里克伯格对当地市场的分解”s\'eminaire deProbabilit\'es VI，101–103，数学课堂讲稿258，海德堡斯普林格，柏林，纽约，1972年。[26]F.Klebaner和R.Liptser，2011，当一个随机指数是一个随机鞅时。扩展了Bene^s方法，预印本可用athttp://arxiv.org/abs/1112.0430v1。[27]D.Kreher和A.Nikeghbali，2013，一种新的过滤增强，适用于通过严格的本地马丁酒来改变概率度量。预印本，可从arXiv获得：1108.424 3v2。[28]M.Larsson，2012，过滤收缩，严格局部鞅和F¨ollmermeasure，arXiv:1111.7218v2[math.PR]2012年10月14日。[29]D.Madan和M.Yor，2006年，关于严格的本地马丁格尔的It^o综合公式，纪念保罗·安德烈·迈耶，数学课堂讲稿，187 4157-170。[30]P.A.Meyer，1976年，国际随机性课程，S\'eminaire de Probabilit\'es X，51 1，数学课堂讲稿，246-400，柏林斯普林格维尔拉g。[31]A。

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可人4

2022-4-28 17:35:38

Mijat ovic和M.Urusov，2012，关于某些局部鞅的鞅性质，Probab。理论关系。菲尔兹，152，1-30。[32]E.Platen，2006，金融基准方法，数学金融，16（1）：131-151。[33]E.Platen和D.Heath，2010，定量金融的基准方法，斯普林格金融，斯普林格。[34]P.Protter，2005年，S tochastic积分和微分方程，第二版，2.1版，斯普林格·维拉格，海德堡。[35]P.Protter，《泡沫的数学理论》，2013年，载于F.E.Benth等人，《2013年巴黎普林斯顿数学金融讲座》，数学2081，DOI 10.1 007/978-3-319-00413-6 1，瑞士斯普林格，第1-108页。[36]P.普罗特和K。Shimbo，2008，无套利和一般半鞅，IMS集合：马尔可夫过程和相关主题：Festschrift forThomas G.Kurtz，第4卷，267-283[37]J.Ruf，2013，套利下的套期保值，数学金融，23（2），297-317。[38]A.D eniz-Sezer，2007，通过不同水平交叉的过滤收缩，概率年鉴，35739-357。[39]C.Yoeurp，1976年，D\'ecomposition des marting ales locales and formules exponentielles。S’eminai re de Probabi l i t’es X，《数学课堂讲稿》511432-480，柏林斯普林格·维拉格。[40]Y.Zeng，2006，停止时间的补偿，康奈尔大学数学系博士论文。

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