一个非马尔可夫清算问题与带奇异值的后向SPDE

nandehutu2022

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收藏 2022-04-29

英文标题：
《A Non-Markovian Liquidation Problem and Backward SPDEs with Singular
Terminal Conditions》
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作者：
Paulwin Graewe, Ulrich Horst, Jinniao Qiu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We establish existence, uniqueness and regularity of solution results for a class of backward stochastic partial differential equations with singular terminal condition. The equation describes the value function of non-Markovian stochastic optimal control problem in which the terminal state of the controlled process is pre-specified. The analysis of such control problems is motivated by models of optimal portfolio liquidation.
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中文摘要：
建立了一类具有奇异终端条件的倒向随机偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性。非马尔可夫过程的最优状态描述为非马尔可夫过程的最优控制。对此类控制问题的分析是基于最优投资组合清算模型的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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A_Non-Markovian_Liquidation_Problem_and_Backward_SPDEs_with_Singular_Terminal_Co.pdf
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kedemingshi

2022-4-29 18:29:30

一个具有奇异终端条件的非马尔可夫清算问题*Paulwin GraeweUlrich HorstJinniao Quabstract我们建立了一类具有奇异终端条件的后向随机偏微分方程解的存在性、唯一性和正则性。该方程描述了非马尔可夫随机最优控制问题的值函数，其中受控过程的终端状态是预先指定的。此类控制问题的分析受最优投资组合清算模型的推动。AMS主题分类：93E20、60H15、91G80关键词：随机控制、倒向随机微分方程、投资组合清算、奇异终值。1导言和模型公式我们考虑了一类在受控过程上具有奇异终端状态约束的非马尔可夫随机最优控制问题。在马尔可夫框架中，这种约束导致了在最终时刻具有奇点的非线性微分方程（PDE）。最近在[12]中建立了此类偏微分方程光滑解的存在唯一性。本文将他们的结果推广到了马尔可夫框架下。我们证明了相应的非马尔可夫控制问题的值函数可以用一个具有奇异终值的倒向随机偏微分方程（BSPDE）来描述。我们的主要贡献是证明了这个BSPDE的有效正则解的存在性和唯一性，从中可以导出反馈形式的最优控制。在价格敏感的市场冲击下，最优投资组合清算模型是分析具有奇异状态约束的最优控制问题的动力。

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可人4

2022-4-29 18:29:34

传统的金融市场模型假设价格波动遵循某种外生的仓促过程，所有交易都可以按现行市场价格进行。这种认为所有交易都可以在不影响市场动态的情况下结算的假设，适用于交易量仅占日均交易量微不足道比例的小投资者。对于需要在短时间内平仓的机构投资者来说，这并不总是合适的。近年来，最优投资组合清算模型在数学金融和随机控制文献中受到了广泛关注，参见[1,3,10,11,13,15,16,24]。到目前为止，关于最优流动性的文献都是基于马尔可夫模型的，在马尔可夫模型中，成本函数是确定性的，或者由服从马尔可夫动力学的随机因素驱动。然而，在现实世界的市场中，交易成本往往是非马尔可夫性质的。例如，交易成本是基于成交量加权平均价格（VWAP）计算的，VWAP是过去价格和成交量的加权平均值。这是一个通用的数学框架，它允许非马尔可夫因素的数学部分，洪堡大学，位于德国柏林大学林登分校，邮编：10099。电子邮件：graewe@math.hu-柏林。德（P.格雷维），qiujinn@gmail.com(邱杰)。洪堡大学数学系、商学院和经济学院——位于德国柏林林登河畔祖柏林6号，邮编10099。电子邮件：horst@math.hu-柏林。判定元件；通讯作者。*我们感谢各机构的研讨会参与者提出宝贵的意见和建议。感谢CRC 649经济风险与d-fine GmbH提供的财务支持。本文的第一个版本是在莱霍斯特访问豪斯多夫数学研究所时完成的。

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nandehutu2022

2022-4-29 18:29:38

感谢你的盛情款待。最优清算策略对可观测过程的动力学和显式函数依赖性。本文提供了这样一个框架。我们的主要关注点是在期权组合清算模型中具有单一终值的BSPDE。我们的模型足够灵活，允许非马尔可夫因素动态和成本函数，并允许同时向一级市场提交主动订单（用于立即执行）和被动大宗交易（用于未来可能的执行）跨越网络或暗池。暗池是另一种交易场所，允许投资者保护其投资者不被公众看到，从而降低市场影响和交易成本。由于提交给暗池的订单不会公开显示，因此订单执行是不确定的，通常由点流程建模。据我们所知[13,16]是第一个连续研究暗池投资组合清算问题的人。1.1模型和问题公式在本文中，我们研究的是概率空间(Ohm,F，P）配备过滤{Ft}0≤T≤t满足完整性和正确连续性的通常条件。概率空间包含两个独立的m维布朗运动W和B，以及非空Borel集Z上的一个独立点过程sJon rl具有有限的特征测量值u（dz）。我们赋予集合Z以其Borelσ-代数Z，并用π（dz，dt）表示相关的泊松随机测度。W生成的filtration和所有P空集用{Ft}t表示≥0

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nandehutu2022

2022-4-29 18:29:43

上可预测集的σ-代数Ohm × [0, +∞) 与{Ft}t有关≥0用P表示。在这项工作中，我们讨论了以下具有终端状态约束的随机最优控制问题：minξ，ρEZTηs（ys）|ξs |+λs（ys）|xs |+ZZγs（ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds（1.1）受xt=x-Ztξsds-ZtZZρs（z）π（dz，ds），t∈ [0，T]；xT=0；yt=y+Ztbs（ys，ω）ds+Zt′σs（ys，ω）dBs+Ztσs（ys，ω）dWs。（1.2）这里，r值过程（xt）t∈[0，T]是状态过程；在投资组合清算框架中，XT描述了在t时持有的股份数量∈ [0，T]。状态过程由一对控制（ξ，ρ）控制，例如，描述投资组合在一级市场中清算的时间和在黑暗市场中进行的大宗交易，泊松随机测度π控制黑暗池执行。d维过程（yt）t∈[0，T]是一个不受控制的因素过程。因子过程由维纳过程W和B驱动；系数bt（y；ω）、‘σt（y；ω）和σt（y；ω）是F自适应的。我们有时写x，x，ξ，ρt为0≤ s≤ T≤ T表示状态过程对控制的依赖性（ξ，ρ），初始时间s∈ [0，T]和初始状态x∈ R.同样地，我们有时写ys，yt。所有对的容许控制集（ξ，ρ）∈ 满足几乎确定的终端状态约束TXT=0的L’F（0，T；R）×L’F（0，T；L（Z））。（1.3）我们假设与时间t的可容许控制（ξ，ρ）相关的成本∈ [0，T）和状态（x，y）∈R×rdi由jt（x，y；ξ，ρ）给出：=E’FtZTtηs（yt，ys）|ξs |+λs（yt，ys）| xt，x；ξ、 ρs |+ZZγs（yt，ys，z）|ρs（z）|u（dz）布朗运动可能有不同的维度；这个假设只是为了方便。对于F-适应系数ηt（y；ω），λt（y；ω）a和γt（y；ω）。

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何人来此

2022-4-29 18:29:46

价值函数用vt（x，y）表示：=ess inf（ξ，ρ）admissibl eJt（x，y；ξ，ρ）（1.4）在投资组合清算框架中，系数ηt（y；ω）和λt（y；ω）分别衡量市场影响成本和投资者的提前清算意愿（“风险规避”）。术语γt（y；ω）衡量与执行暗指令相关的所谓滑动或逆向选择成本。Vt（x，y）是指在时间间隔[t，t]内，考虑到因子过程的当前值y，对包含x股的por tfolio进行liq UID的成本，并且（1.3）反映了这样一个事实，即需要在最终时间进行完全清算。1.2值函数的BSPDE最近Ankirchner等人对η、λ和γ独立于y的特殊情况进行了分析[2]。在这种情况下，值函数可以用具有奇异终值的倒向随机微分方程（BSDE）来描述。据我们所知，Popier[20]首先分析了这些方程。Ji和Zhou[14]利用正倒向随机微分系统研究了一类终端状态约束为凸集的随机最优控制问题。他们假设扩散项与控制项严格可逆，并应用庞特里亚金型最大原理。

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何人来此

2022-4-29 18:29:49

我们通过求解彭[19]提出的相应的Tochastic Hamilton-Jacobi-B ellman（HJB）方程来解决非马尔可夫控制问题。鉴于成本函数的线性二次结构，标准参数建议对满足BSP DE的一对适应过程（u，ψ）进行乘法分解，其形式为vt（x，y）=ut（y）x和ψt（x，y）=ψt（y）x（1.5）（在一类合适的随机过程中）(-dut（y）={Lut（y）+Mψt（y）+F（s，y，ut（y））}dt- ψt（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ Rd，（1.6）其中，对于a:=（σ∑T+’σ′σT），运算符L和M分别作用于两次，一次根据ut（y）=tr连续可微函数（在（y）Dut（y）+ bTt（y）Dut（y）和Mψt（y）=trDψt（y）σTt（y）在这项工作中，D和Db分别是梯度算子和Hessian矩阵，非线性F:R+×Rd×L（Rd）→ R由f（t，y，φ（y））给出：=λt（y）-ZZ |φ（y）|γt（y，z）+φ（y）u（dz）-|φ（y）|ηt（y）。前面的B SPDE二次依赖于ut（y）。尽管在应用概率和数学文献中对BSPDE进行了广泛的研究，例如[4,5,8,9,18,25]，但对于在u中四次增长的BSPDE，还没有可用的基因相关理论，即使是对于有限的终值也是如此。利用非线性BSPDE[21,22,23,26]解的最近存在性结果和分布值过程的It^o-Wentzell公式[17,26]，我们首先证明了由具有有限终端条件的相应控制问题产生的BSPDE具有有效的光滑解。随后，我们建立了一个比较原则，从中我们推断，具有不确定值的BSPDE的解可以作为具有不确定条件的BSPDE的解的递增序列的极限来获得。

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大多数88

2022-4-29 18:29:52

我们也得到了辛的显式解。“滑移成本”的概念是指与不利执行或指令相关的成本，例如，在一级市场价格下跌之前，在暗池中执行购买订单。当所有系数都是状态变量和控制变量的确定函数时，我们就处于马尔可夫环境中。在这种情况下，我们的BSPDE简化为抛物线型偏微分方程（从分布的角度理解）。作为一般存在唯一性结果的副产品，在马尔可夫框架下，在对模型参数的弱假设下得到了相应的结果。本文的其余部分组织如下。我们的主要假设和结果总结在第2节中。第3节致力于验证定理的证明，而第4节确定了满足验证定理假设的奇异BSPDE解的存在性。在第5节中，我们证明了BSPDE（1.6）实际上是一个在更大类别的随机过程中唯一的非负解，该随机过程自动满足验证定理所需的终止时间附近的渐近行为。附录回顾了在整个工作过程中使用的BSPDEs的结果。2.主要结果为了说明我们的结果，我们需要引入一些函数空间。对于Bana-ch-s-pace Vwe，用SpF（[0，T]；V）表示，p∈ [1, ∞), 所有V值和P-可测c`adl`ag过程（Xt）t的集合∈[0，T]使得kxkpspf（[0，T]；V）=E supt∈[0，T]kXtkpV<∞.用LpF（0，T；V）表示V值P-可测过程（ut）T的类∈[0，T]使得kukplpf（0，T；V）=EZTkutkpVdt<∞, P∈ [1, ∞);库克尔∞F（0，T；V）=ess sup（ω，T）∈Ohm×[0，T]kutkV<∞, p=∞.以类似的方式，我们定义了Sp¨F（[0，T]；V）和Lp¨F（0，T；V）。

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可人4

2022-4-29 18:29:57

为了你∈ LpF（0，T；Lp（Rd）），p∈ [1, ∞), 我们写信给你∈ Lp，∞F（0，T）如果（i）u在[0，T]上是连续的，P dx-a.e。；（ii）kukpLp，∞F（0，T）=EZRdsupt∈[0，T]| u（T，x）| pdx<∞.通常，对于某些域∏而言，所有函数的Sobolev空间中的第一个k阶导数都属于Lp（∏） RDI用Hk表示，p（π）。为了简单起见，我们说一个有限维空间值函数u=（u，…，ul）∈ 香港，p（π），l∈ N、我们是说你，ul∈ Hk，p（π）和kukpHk，p（π）：=Plj=1kujkpHk，p（π）。在这项工作中，我们使用h·，·i来表示通常的希尔伯特空间L（Rd）=H0,2（Rd）中的内积。为了k∈ N、 we setHk=SF（[0，T]；Hk，2（Rd））∩ LF（0，T；Hk+1,2（Rd））配备了标准kukhk=kukSF（[0，T]；Hk，2（Rd））+kukLF（0，T；Hk+1,2（Rd））。我们的目标是证明BSP DE（1.6）的充分正则解的存在性，并根据该解刻画控制问题的值函数。为此，我们首先定义了（1.6）的解决方案的含义。定义2.1。对于所有0，一对过程（u，ψ）是BSPDE（1.6）的一个解≤ t<τ<t itholds（u，ψ）1[0，τ]×O∈ 所有有界球O的LF（0，τ；H2,2（O））×LF（0，τ；H1,2（O）） Rd，ut（y）=uτ（y）+Zτt{Lus（y）+Mψs（y）+F（s，y，us（y））}ds-Zτtψs（y）dWt，dy-a.e.，and limτ↑Tuτ（y）=+∞, P dy-a.e.我们的结果是在模型参数的以下标准可测性和正则性条件下建立的：（A1）函数（b，σ，’σ，η，λ）：Ohm ×[0，T]×Rd-→ Rd×Rd×m×Rd×m×R+×R+是P×B（Rd）-可测的，本质上以∧>0为界。

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mingdashike22

2022-4-29 18:30:01

此外，γ：Ohm ×[0，T]×Rd×Z-→ [0, +∞],是P×B（Rd）×Z-可测的。（A2）存在一个常数L，对于所有y，y∈ Rdand（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，|bt（y）- bt（y）|+|σt（y）- σt（y）|+|σt（y）- “∑t（y）|≤ L|y- y |。（A3）存在正常数κ和κ，因此（y，ξ，t）∈ Rd×Rd×[0，T]，dXi，j=1mXr=1′σirt（y）′σjrt（y）ξiξj≥ κ|ξ|和ηt（y）≥ κ、 P-a.e.验证定理要求过程螺母（y0，yt）|x0，x，ξ，ρt | o0的积分表示≤T≤T.（2.1）我们不知道一个普遍的L∞-BSPDEs理论；同时，在假设条件下（A1）-（A3），我们不能应用现有的Lp理论（p∈ (1, ∞)) 在我们的工作中；参见[7]及其参考文献。此外，正如将要证明的那样，（1.6）的解u必须足够规则，以允许将Ta ng和Yang[26]的广义it^o-Kunita-Wentzell公式应用于组成ut（yt）。为了保证正则性并将现有的Lp理论应用于BSPDEs，我们使用了加权解。更准确地说，对于任何整数q>d，我们定义了函数θ：Rd→ R、 y 7→ （1+| y |）-q、直接计算验证了（u，ψ）是（1.6）的解，当且仅当（θu，θψ）解时(-dvt（y）={Lvt（y）+Mζt（y）+θF（t，y，（θ）-1vt）（y）}dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，T）×Rd；vT（y）=+∞, Y∈ （2.2）第二（2.2）年（2.2）年（2.2）第二（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年（2.2）年）和（2）年（2.2）年（2）年（2）年）的地方（2）的地方（2）年（2.2）年）的地方（2）年（2.2）年（2.2）的地方）的地方（2）Lvt（第（2.2.2）年（2.2）年（2.2）年（2）年（2）年（2）年（2）年）年（2）年（2）年（2）年（2）的）年（2）年）年（2）年（2）年）年）的地方（2）的）的Q1+| y|tr（at（y））+dXi=1yibit（y）+2（q- 1） 1+| y | dXi，j=1aijt（y）yiyj.对于每个δ∈ （0，1），设Cδ（Rd）为Rd上常见的H¨older空间。我们现在准备总结本文的主要结果。定理2.2。

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大多数88

2022-4-29 18:30:04

假设条件下（A1）- （A3）以下结论成立：（i）BSPDE（1.6）允许满足（θu，θψ）1[0，τ]的解（u，ψ）∈ H×LF（0，T；H1,2（Rd）），τ∈ [0，T）、（2.3）和Ct- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- t、 P dt dy-a.e.，其中Cd为两个正常数。函数v（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，（2.4）与几乎每个y的值函数一致∈ 而最优（反馈）控制由（ξ）给出*t、 ρ*t（z））=ut（yt）xtηt（yt），ut（yt）xt-γt（z，yt）+ut（yt）.（ii）解（u，ψ）是（1.6）的唯一非负解，因为如果（\'u，\'ψ）是另一个满足（2.3）和\'u≥ 0，P dt dx-a.e.，然后“ut（y）=ut（y），P dt dy-a.e.（iii）在σ是空间不变的附加假设下，即对于任何p不依赖于y∈ (2, +∞),θ（·）u·· +Z·σsdWs∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）L2，∞F（0，τ）∩ SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））和（2.4）中的函数V（t，y，x）与每个y的值函数一致∈ 备注2.3。当所有的系数b，σ，βσ，λ，η，γ都确定为极小函数时，最优控制问题是马尔可夫问题，相应的BSPDE（1.6）简化为确定的抛物偏微分方程(-tu=Lu+F（t，y，u），（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ Rd.（2.5）在这种情况下，我们可以毫无普遍性地假设σ≡ 因此，定理2.2（iii）指出（2.5）在分布意义上允许唯一的非负解u满足θu∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）C（[0，τ]；Cδ（Rd）），V（t，y，x）=ut（y）x与每个y的连续值函数重合∈ Rd.3验证定理我们现在准备好陈述验证定理。它的证明需要一些准备，并在下面进行。定理3.1。

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可人4

2022-4-29 18:30:09

假设（A1）- （A3）满足并假设（u，ψ）是满足（θu，θψ）1[0，t]的（1.6）的解∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd）），T∈ [0，T）、（3.1）和Ct- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- t、 P dt dy-a.e.（3.2），其中Cd为两个正常数。那么θu∈ ∩τ ∈（0，T）L2，∞F（0，τ）和v（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，几乎每一个y都与（1.4）的值函数一致∈ 此外，最优（反馈）控制由（ξ）给出*t、 ρ*t（z））=ut（yt）xtηt（yt），ut（yt）xt-γt（z，yt）+ut（yt）. （3.3）我们首先回顾以下广义It^o-Kunita-Wentzell公式，然后从中推导出（2.1）的积分表示。引理3.2（[26，定理3.1]）。让系数b、σ和¨σ满足假设（A1）-（A3）让G∈ L(Ohm, 英尺；H1,2（Rd）），Φ∈ LF（0，T；H2，2（Rd）），Υ∈ LF（0，T；H1，2（Rd））和F∈LF（0，T；L（Rd））使得ΦT（y）=G（y）+ZTtFs（y）ds-ZTtΥs（y）dWs，dy-a.e.，适用于所有t∈ [0，T]。然后，在测度P下很好地定义了组成Φ·（ys，·）、G（ys，·T）、F·（ys，·）和Υ·（ys，·）dt 几乎每一个y∈ Rdit几乎完全适用于所有t∈ [s，T]ΦT（ys，yt）=G（ys，yt）-ZTtntrar（ys，yr）DΦr（ys，yr）+DΥr（ys，yr）σTr（ys，yr）+ bTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）- Fr（Y，yr）odr-ZTtσTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）+Υr（ys，yr）dWr-ZTt′σTr（ys，yr）DΦr（ys，yr）dBr。Yang和Tang[26]利用[22]中对BSP-DEs弱解的局部估计，证明了上述组分的定义良好。但他们没有建立我们证明验证定理所需的可积性。以下条款确立了此类属性。证明完全是技术性的，推迟到附录中。推论3.3。在引理3.2的假设下，Φ·（ys，y·）是几乎每个y的连续一致可积半鞅∈ Rd和Φ∈ L2，∞F（0，T）。

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可人4

2022-4-29 18:30:13

此外，还存在一个仅依赖于κ、L、∧和T的常数，如（i）ZRd | G（ys，yT）| dy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））；（ii）ZRdZTsE | Fr（ys，yr）| drdy≤ CkF kLF（s，T；L（Rd））；（三）ZRdsupr∈[s，T]E |Φr（ys，yr）| dy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））+kF kLF（s，T；L（Rd））.我们的第二个辅助结果是以下关于容许控制集的引理。它表明，我们可以在不损失一般性的情况下，假定与容许控制有关的状态过程是单调的。在[12]中，马尔科夫病例也得出了类似的结果。引理3.4。对于每个容许控制（ξ，ρ），存在一个相应的容许控制（^ξ，^ρ），成本较小或相等，因此过程x0，x；^ξ，ρ几乎肯定是单调的。此外，这里存在常数C∞ 独立于t，x，ρ，ξ，使得|x0，x；^ξ，^ρt|≤ C（T）- t） E|FtZTt|710;ξs|ds，t∈ [0，T]。（3.4）证据。假设x≥ 0（x的cas e）≤ 0以类似的方式出现）。对于容许控制（ξ，ρ），设（~xt）∈ S’F（[0，T]）是下列随机微分方程的唯一解xt=x-Ztξ+sds-ZtZZρ+s（z）∧ ~x+sπ（dz，ds），其中f+：=ma x{f，0}表示f=~xs，ξsorρs。集合^ξt:=ξ+t!xt>0和^ρt（z）：=ρ+t（z）∧ ~x+s。很容易检查（^ξ，^ρ）∈ L′F（0，T）×L′F（0，T；L（Z））是一个可容许的控制对，具有较小的orequal代价和x0，x；^ξ，^ρ几乎肯定在下降。因为x0，x；^ξ，^ρ为非负且递减，0≤ ρt≤ x0，x；^ξ，ρt，P dt u（dz）-a.e.因此，|x0，x；^ξ，^ρt|≤ 行政长官ZTt^ξsds+Z[t，t]×Z^ρs-（z） ~π（dz，ds）+Z[t，t]×Z^ρs-（z） u（dz）ds≤ C（T）- t） E英尺ZTt|710;ξs|ds+ZTt|x0，x；^ξ，^ρs | ds,根据Gronwall不等式，这意味着|x0，x；^ξ，^ρt|≤ C（T）- t） E|FtZTt|710;ξs|ds。我们现在准备给出验证定理的证明。定理3.1的证明。

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大多数88

2022-4-29 18:30:17

假设θu1[0，t]∈ H对于任何t∈ （0，T），命题a.1的一个应用，其中G=θuτ，对于任何τ<T产生θu∈ ∩τ ∈（0，T）L2，∞F（0，τ）。与优化问题相关的随机HJB方程由以下BSPDE给出：-dVt（x，y）=LVt（x，y）+Mψt（x，y）+e ss infξ，ρ- ξDxVt（x，y）+ηt（y）|ξ|+λt（y）| x |+ZZVt（x）- ρ、 y）- Vt（x，y）+γt（y，z）|ρ|u（dz）dt- ψt（x，y）dWt（t，x，y）∈ [0，T）×R×Rd；VT（x，y）=+∞ · 1x6=0（x，y）∈ R×Rd.很容易证明，对Vt（x，y）：=ut（x）|x |和ψt（x，y）：=ψt（y）|x |解上述方程当且仅当（u，ψ）解（1.6）。这是怎么回事（ξ）*, ρ*) 是候选人的最佳策略。因此，仍需证明（ξ）*, ρ*) 是可接受的，并且成本最低。在or de r中，我们插入（ξ）的显式表达式来表示可容许性*, ρ*) 进入状态进程和getx*t:=xY0<s≤T1.-ZZus（y0，ys）γs（y0，ys，z）+us（y0，ys）π（dz，{s}）经验-Ztus（y0，ys）ηs（y0，ys）ds对于t∈ [0，t）。因此，|x*t|≤ |x | exp-Ztus（y0，ys）ηs（y0，ys）ds≤ |x | exp-Ztc∧（T）- s） ds= |x|T- tTc/t∧↑T-→ 0.从（ξ）的定义*, ρ*), 我们立即推断ρ*∈ L′F（0，T；L（Z））和ξ*∈ 任何t的L’F（0，t；R）∈ （0，T）。此外，关联的状态序列x*这很单调。为了证明（ξ）*, ρ*) 且成本函数在（ξ）处达到其最小值*, ρ*),我们注意到，过程θ（y0，yt）ut（y0，yt）满足引理3.2的假设，因此我们可以应用广义It^o-Kunita-Wentzell公式。标准It^o公式在θ乘积中的应用-1和θu得出ut（y0，yt）的随机微分方程。应用标准的It^o公式a增益，这次是ut（y0，yt）|x0，x；ξ、 ρt |，我们最终得到候选值函数的SDE。

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何人来此

2022-4-29 18:30:21

一个乏味但简单的计算表明，对于所有可容许策略（ξ，ρ），它几乎适用于每个y∈ Rdthaut（y）x|- E’Ftnuτ（yt，yτ）xt，x；ξ,ρτo=E!FtZτt2us（yt，ys）xt，x；ξ、 ρsξs+us（yt，ys）ZZ2ρs（z）xt，x；ξ、 ρs- |ρs（z）|u（dz）+λs（yt，ys）|xt，x；ξ、 ρs|-ZZ | us（yt，ys）| | xt，x；ξ、 ρs |γs（yt，ys，z）+us（yt，ys）u（dz）-|us（yt，ys）|xt，x；ξ、 ρs |ηs（yt，ys）ds≤ E’FtZτtηs（yt，ys）|ξs |+λs（yt，ys）xt，x；ξ、 ρs+ZZγs（yt，ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds（3.5）适用于所有0≤ T≤ τ<T。根据引理3.4，我们可以在不损失一般性的情况下，计算x0，x；ξ、 ρ是单调的，因此limτ→TE¨Ftnuτ（yt，yτ）xt，x；ξ,ρτo≤ limτ→TcT- τC（T）- τ） E’FtZTτ|ξs | ds=0。因此，取极限τ→ （3.5）中的T得出Jt（x，y；ξ，ρ）≤ 任何容许控制的ut（y）xf（ξ，ρ）。对于（ξ）*, ρ*) 我们在（3.5）中有等式，这意味着ut（y）x=Jt（x，y；ξ）*, ρ*). 但这特别说明了ξ*∈ L′F（0，T；R），因此（ξ*, ρ*) 是可接受的，成本最低，因此是最优的。4 BSPDE（1.6）解的存在性根据验证定理，在满足（3.1）和（3.2）的情况下，至少存在一个解（u，ψ）到（1.6）。在本节中，我们证明了具有这些性质的解的存在性。为此，我们设置^F（t，y，φ（y））：=F（t，y，|φ（y）|），（t，y，φ）∈ R+×Rd×L（Rd），（4.1），并将解构造为此类解序列对一系列BSPDE的极限，其驱动因子^F和有限增加的终值。更重要的是，每N∈ N、我们考虑BSPDE(-dvNt（y）={LvNt（y）+MζNt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vNt（y））}dt- ζNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；vNT（y）=Nθ（y），y∈ R、（4.2）与单数BSPDE（2.2）相对应，∞) 替换为（^F，Nθ）。由于（4.1）中的驱动函数^F对|φ（y）|的二次依赖性，我们不能直接求助于命题A.1来证明前面BSPDE的解的存在性。

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nandehutu2022

2022-4-29 18:30:25

然而，我们希望VN是有限的，因此能够通过标准截断参数构造解决方案。提议4.1。假设（A1）- （A3）满足每一个N∈ N、存在（4.2）的唯一解，使得（vN，ζN）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T））×LF（0，T；H1，2（Rd））和θ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））。证据每M∈ N存在唯一的溶液（vN，M，ζN，M）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T）×LF（0，T；H1，2（Rd））到BSP DE-dvN，Mt（y）=~LvN，Mt+~MζN，Mt+θλ-ZZθ-1 | vN，Mt |γt（·z）+θ-1vN，Mt |u（dz）-（M）∧ |θ-1vN，Mt |）vN，Mt |ηt（y） dt- ζN，M（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；vN，MT（y）=Nθ（y），y∈ Rd，（4.3）由于位置A.1。把^vt（y）=θ（y）（N+T- t），我们验证了（^v，0）是上述BSPDE的解，其中（λ，γ，M）替换为（λ+∞, 0). 推论A.2 yields0中所述的比较原则≤ 越南，Mt（y）≤ ^vt（y），P dt dy-a.e.，这意味着∈ 不是吗≤ θ-1（y）越南，Mt（y）≤ N+λT，P dt 因此，如果M>N+T，那么（vN，M，ζN，M）不依赖于M，并且是（4.2）的fa-c-T解。这也产生了解的唯一性，因为（4.3）允许每个M的解是唯一的∈ 命题4.1的证明表明（vN，ζN）到（4.2）的解与一些M的（4.3）的t一致∈ 因此，作为推论A.2的直接结果，我们得到以下比较原则。推论4.2。假设（A1）- （A3）满足并让（‘λ，’γ，’η）满足与（λ，γ，η）相同的条件。

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能者818

2022-4-29 18:30:28

进一步假设（\'v，\'ζ）∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd））与θ-1伏∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd）），是以下BSPDE的解决方案：(-d\'vt（y）={L\'vt（y）+MζNt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vNt（y））}dt-ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；vT（y）=G（y），y∈ Rd.（4.4）如果（G，\'λ，\'γ，\'η）≥ （N，λ，γ，η），关于（G，’λ，’γ，’η）≤ （N，λ，γ，η），那么对于几乎所有的（ω，y），它都认为≥ 分别为vt（y），vny，\'\'≤ vNt（y），T∈ [0，T]。现在，我们准备证明我们的单BSPDE的解的存在性，该解满足验证理论e m.定理4.3的假设。假设（A1）- （A3）满足。然后BSPDE（1.6）允许满足（3.1）和（3.2）的解（u，ψ）。证据根据位置4.1，对于每个N>2∧+κu（Z），存在（vN，ζN）到（4.2）的唯一解，使得（vN，ζN）∈ （H）∩ L2，∞F（0，T））×LF（0，T；H1，2（Rd））和θ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））。如果用∧替换三元组（λ，γ，η）+∞, ∧）和（0，0，κ），然后直接计算显示（4.2）的预期解由（`uN，0）和（`uN，0）给出，其中`uNt（y）：=κu（Z）θ（y）1-NN+κu（Z）e-u（Z）（T）-（t）- κu（Z）θ（y），~uNt（y）：=2∧θ（y）1-N-∧N+e-2（T）-（t）- λθ（y）。从推论4.2中，我们得出结论，对于几乎每个y∈ Rd，几乎可以肯定的是，uNt（y）≤ vNt（y）≤ ~uNt（y），t∈ [0，T）。用v表示递增序列{vN}的极限，我们推断几乎每个y∈ 这几乎肯定是κe-u（Z）Tθ（y）T- T≤ vt（y）≤θ（e2T）∧- t、 t∈ [0，T）。

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nandehutu2022

2022-4-29 18:30:33

（4.5）此外，通过主导收敛，limN→∞kθ（·）^F（·，·，（θ）-1vN·）（·））- θ（·）F（·，·，（θ）-1v·（·））kLF（0，τ；L（Rd））=0，τ∈ （0，T）。现在，我们使用EV通过分析[0，τ]上的BSPDE和终值vτ来构造所需的解。更准确地说，让我们用（`v，ζ）表示∈LF（0，τ；H1,2（Rd））∩ SF（[0，τ]；L（Rd））×LF（0，τ；L（Rd））以下BSPDE的唯一解（由命题A.1保证为vτ）∈ L(Ohm, Fτ；L（Rd）by（4.5））：(-d\'vt（y）={L\'vt（y）+Mζt（y）+θ（y）^F（t，y，（θ）-1vt）（y）}dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，τ）×Rd；\'vτ（y）=vτ（y），y∈ 我们用这个方程来证明v位于正确的空间。鉴于提案n A.1中的估算（A.3），我们将其作为n→ +∞,k（vN）- \'v）1[0，τ]kH+kζN- ζkLF（0，T；L（Rd））≤ CkvNτ- vτkL(Ohm,Fτ；L（Rd））+kθ^F（·，·，（θ）-1vN·）（·））- θF（·，·，（θ）-1v·（·））kLF（0，τ；L（Rd））-→ 因此，v=v1[0，τ]∈ H=LF（0，τ；H1,2（Rd））∩ SF（[0，τ]；L（Rd））。因此，对于每个δ∈ （0，τ）存在τ∈ (τ - δ、 τ]使得v)τ∈ L(Ohm, F~τ；H1,2（Rd）），通过命题A.1，我们进一步得到了（v1[0,τ]、ζ1[0,τ]）∈ （L2，∞F（0，τ）∩ H） ×LF（0，τ；H1,2（Rd））。这表明（u，ψ）：=（θ）-1v，θ-1ζ）是BSPDE（1.6）的解决方案，具有des-ired特性。5唯一性和正则性在这一节中，我们证明了上一节构造的BSPDE（1.6）的解是（1.6）的唯一非负解。随后，利用BSPDEs已有的Lp理论，我们考虑了s解的正则性。5.1唯一性以下唯一性结果基于以下观察结果：（1.6）的任何非负解自动满足验证定理的增长条件。定理5.1。

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何人来此

2022-4-29 18:30:37

假设条件下（A1）- （A3），定理4.3中给出的解（u，ψ）是（1.6）的唯一负解，即如果（\'u，\'ψ）是另一个满足（3.1）和\'u）的解≥ 0，P dt dx-a.e.，然后“ut（y）=ut（y），P dt dy-a.e.证明。根据定理3.1，为了建立唯一性声明，有必要验证“usatis”是否满足增长条件（3.2）。设置（\'v，\'ζ）=（θu，θψ）和N∈ N、设（vN，ζN）为（4.2）的唯一解。从定理4.3的证明中，我们可以看出，要建立（3.2）中的下界，只需证明vt（y）≥ vNt（y），P dt dy-a.e.（5.1）推杆（~v，~ζ）=（vN）- \'v，ζN-注意到目前只有η-1 | | v |位于LF（0，t；L（Rd））而不是LF（0，t；L（Rd）），我们应用了附录中引理A.3中所述的BSPDE不等式。自从F（t，y，（θ）-1φ（y））- F（t，y，（θ）-1φ（y））(φ- φ） +（y）≤ 0，P dt dy-a.e.，对于Rd上的任意一对非负可测函数φ和φ，由于σ和¨σ有界且Lipschitz连续，我们从τ的引理中得到∈ （0，T）和T∈ （0，τ），Ek~v+tkL（Rd）+Zτtkζsu>ukL（Rd）ds≤ Ek~v+τkL（Rd）+Zτt2h~v+s，aijsyiyjvs+σjrsyj)ζrs+~bisyi~vs+βTs~ζs+cs~vsi-ds,适用总结惯例的地方。根据假设（A1）- A3），利用H¨older不等式和零件积分公式，通过采用线性方程组的“标准机械”（参见insta nc e[22，2 3]），我们得出：k~v+tkL（Rd）+Zτtkζsu>ukL（Rd）ds≤ Ekv+τkL（Rd）+ZτtnCkv+skL（Rd）-κkD＠v+skL（Rd）+k＠ζsvN>＠vkL（Rd）ods.根据Gronwall的不等式，这意味着Sekv+tkL（Rd）≤ CEkv+τkL（Rd），其中C独立于τ和t。

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能者818

2022-4-29 18:30:41

Asθ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd）和vN∈ Hby命题4.1，和v+=（vN- “（v）+≤ |vN |，P dt dy-a.e.，我们用法图的lemmaZ[0，T]×RdE |v+T（y）| dydt≤ CT lim supτ↑TZRdE | | v+τ（y）| dy≤ CTZRdE lim supτ↑T |v+τ（y）| dy=0。因此，（3.2）的下限适用于u。为了建立（3.2）中的上界，我们扩展了[12]中给出的一个参数，并考虑了确定性函数^ut:=∧coth（T- t） =2∧1- E-2（T）-（t）- Λ ≤∧e2TT- t、那么，（^u，0）是（1.6）的一个解，其中三元组（λ，γ，η）被替换为（λ+∞, Λ). 此外，当时间移动时，（^u，0）仍然是一个解，即δ∈ [0，T）对（^u·+δ，0）是（1.6）与∧相关的解+∞, 但在t=t处有一个奇点- δ. 因此，注意到F（t，y，（θ）-1φ（y））- Λ + Λ-1|(θ-1φ（y）|(φ- φ） +（y）≤ 0，P dt dy-a.e.对于Rd上的任意一对非负可测函数φ和φ，使用类似于本证明第一部分中所用的参数，我们得出[0，T-δ] ×RdE |（θ’ut）- θ^ut+δ）+（y）|dydt≤ C（T）- δ） ZRdE lim supτ↑T-|θu- θ^uτ+δ）+（y）| dy=0。这就产生了，ut（y）≤∧e2TT- δ - t、 P dt dy-a.e.最后，让我们→ 我们得到了期望的上限。5.2正则性我们证明了，在假设（A1）下- （A3），BSPDE（1.6）承认一个独特的非负解（u，ψ），满足（3.1）。该解决方案自动满足生长条件（3.2）和v（t，y，x）：=ut（y）x，几乎每个y的值函数为（1.4）∈ 受BSPDEs的Lp理论（p>2）的启发，我们现在在以下附加假设下证明了u的附加正则性性质：（A4）σ是空间不变的（不依赖于y）。定理5.2。假设条件下（A1）- （A4），设（u，ψ）为满足（3.1）的（1.6）的唯一非负解。

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何人来此

2022-4-29 18:30:45

那么，对于任何p∈ (2, +∞),θ（·）u·· +Z·σsdWs∈\\τ ∈（0，T）\\δ∈（0,1）L2，∞F（0，τ）∩ SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））。此外，函数V（t，y，x）：=ut（y）x与每个yy的值函数（1.4）重合∈ 研发证明。每N∈ N、设（vN，ζN）为BSPDE（4.2）的唯一解。我们的目标是使用[7]中开发的BSPDE的Lp理论推导（A4）下的附加正则性性质。[7]的结果不允许线性项βTζ出现在BSPDE的dr-ift部分，thoug h。为了克服这个问题，我们对变量进行以下更改：yyt:=y+ZtσsdWs，（T，y）∈ [0，T]×Rd；\'as（y）：=\'σs（y）\'σTs（y），y∈ Rd；（~uNt，~ψNt）（y）：=（θ）-1vNt，θ-1ζNt+σTtD（θ-1vNt）（yyt），（t，y）∈ [0，T]×Rd；（vNt，ζNt）（y）：=（θuNt，θψNt）（y），（t，y）∈ [0，T]×Rd.然后，应用分布值过程的It^o-Wentzell公式（见[17，T the orem 1]），我们几乎可以肯定地得到vNt（y）=Nθ（y）+ZTtntr\'as（yys）DvNs（y）+\'bTs（y）DvNs（y）+\'cs（y）~vNs（y）+θ（y）^F（s，yys，（θ-1vNs（y））ods-ZTtζNs（y）dWs，dy-a.e。T∈ [0，T]（5.2）带位（y）：=位（yyt）+4q1+|y|dXj=1aijt（yyt）yj，i=1，D\'ct（y）：=2q1+|y|tr（at（yyt））+dXi=1yibit（yyt）+2（q- 1） 1+|y | dXi，j=1aijt（yyt）yiyj.从这个重新呈现中，我们看到我们也有一个BSDE表示（~vN，~ζN），从中我们将获得强正则性性质。具体而言，根据命题A.1，存在唯一的解决方案（\'vN，\'ζN）∈H∩ L2，∞F（0，T）x LF（0，T；H1，2（Rd）），到BSP DE-d'vNt（y）=ntr\'at（yyt）D\'vNt（y）+\'bTt（y）D\'vNt（y）+\'ct（y）\'vNt（y）+θ（y）\'λt（yyt）-~vNt（y）~vNt（y）θ（y）’ηt（yyt）-ZZθ-1（y）| vNt（y）|γt（yyt，z）+θ-1（y）vNt（y）|u（dz）odt-ζNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；\'vNT（y）=Nθ（y），y∈ Rd.（5.3）根据定义，解决方案为（5.2）。

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大多数88

2022-4-29 18:30:50

Asθ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））我们可以使用同伦A.2中所述的比较原理来推断（类似于命题4.1的证明）θ-1英寸vN∈L∞F（0，T；L）∞（Rd））。因此，通过[7，命题6.4]，我们进一步得到了“vN”∈ SpF（[0，T]；H1，p（Rd））∩ 任意p的LpF（0，T；H2，p（Rd））∈ (2, +∞).因此，根据Sobolev嵌入定理，\'vN∈ SpF（[0，T]；Cδ（Rd）），对于任何δ∈ (0, 1). 因此，vNt（y）在（t，y）中几乎肯定是连续的∈ [0，T]×Rd.接下来，我们将展示! dy-a.e.为此，我们证明（~vN，~ζN）和（`vN，`ζN）满足相同的BSDE。具体地说，让y，yt:=y+Zts\'br（~ys，yr）dr+Zts\'σr（y~ys，yrr）dBr，0≤ s≤ T≤ T.因为（~vNt，~ζyt）（y）=θ（y）（θ）-1vNt，θ-1ζNt+σTtD（θ-1vNt（yyt），我们通过标准但繁琐的计算来检查“vNt”和“vNt”是否有界，并满足以下BSDE：71vnt（~ys，yt）=Nθ（~ys，yt）+ZTt\'cr（▄ys，yr）ˋvNr（▄ys，yr）+θ（▄ys，yr）▄t（y▄ys，yrr）-θ-1（~ys，yr）|vt（~ys，yr）~vt（~ys，yr）|ηt（y~ys，yr）-ZZθ-1（~ys，yr）|vt（~ys，yr）|γt（y~ys，yrr，z）+θ-1（~ys，yr）| vt（~ys，yr）|u（dz）博士-ZTtˇζNr（~ys，xr）dWr-ZTt′σTr（~ys，yr）DˇvNr（~ys，xr）dBr。这个BSDE有一个独特的解决方案。根据引理3.2和同伦3.3，我们得出结论＠vNt（＠ys，yt）=＠vNt（＠ys，yt），P dy-a.e。 0≤ s≤ T≤ T、在这里，我们不认为vn和vn都属于H∩ L2，∞F（0，T）。取s=t，我们就有了vNt（y）=vNt（y），P dy-a.e。T∈ [0，T]。由于BSPDE（5.3）是一种独特的解决方案，我们还可以在H×LF（0，T；H1,2（Rd））中获得（~vN，~ζN）=（\'vN，\'ζN）。vNt（y）、vNt（y）和vNt（y）在（t，y）中都是连续的，概率为1。考虑到定理4.3的证明，我们使得{vNt（y）}逐渐收敛到θ（y）θ-每（t，y）1 vt（yyt）∈ [0，T]×Rd，概率为1，N等于单位。

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大多数88

2022-4-29 18:30:54

设置（~vt（y），~ζt（y））：=θ（y）（（θ）-1vt）（yyt），（θ-1ζt（yyt）），我们得到（~v，~ζ）1[0，τ]∈H∩ LpF（0，T；H2，p（Rd））所有τ的x LF（0，T；H1,2（Rd））∈ （0，T）和p∈ (2, ∞),andcθ（y）T- T≤ ■vt（y）≤cθ（y）T- t、 P dt 此外，对于每个τ∈ （0，T），它几乎可以肯定地保持∧vt（y）=vτ（y）+ZτTtr\'as（yys）D)vs（y）+\'bTs（y）Dvs（y）+\'cs（y）vs（y）+θ（y）F（s，yys，（θ-1比（y）ds-ZτtSζs（y）dWs，dy-a.e.同样，根据[7，提案6.4]，我们进一步得到了v∈ SpF（[0，τ]；H1，p（Rd））∩ LpF（0，τ；H2，p（Rd）），p∈ (2, +∞),因此，根据Sobolev嵌入定理，~v∈ 每个δ的SpF（[0，τ]；Cδ（Rd））∈ (0, 1). 因此，vt（y）和ut（y）=θ-1（y）-RtσsdWs）~vt（y-Rtσsdw）几乎肯定在（t，y）中是连续的∈ [0，τ]×Rd.因此，V（t，y，x）：=ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，与e非常y的（1.4）值函数一致∈ Rd.A关于BSP分布A.1的三个结果（[7，定理5.5]）。让系数b、σ和¨σ满足假设（A1）-（A3）。假设随机函数f（·，·，·，θ，y，z）∈ LF（0，T；L（Rd））表示任何（θ，y，z）∈ R×Rd×Rmand存在一个正常数，例如对于所有（θ，y，z），（θ，y，z）∈ R×Rd×Rmand（ω，t，x）∈ Ohm ×[0，T]×Rd，|f（ω，T，x，θ，y，z）- f（ω，t，x，θ，y，z）|≤ L（|θ- θ|+| y- y |+| z- z |）。那么，对于任何给定的G∈ L(Ohm, 英尺；香港，第二（第）区）与k∈ {0，1}，BSPDE-dut（x）={trat（x）Dut（x）+Dψt（x）σTt（x）+ bTt（x）Dut（x）+f（t，x，xt（x），Dut（x），ψt（x））}dt- ψt（x）dWt（t，x）∈ [0，T]×Rd；uT（x）=G（x），x∈ Rd（A.1）允许一个唯一解（u，ψ）∈ Hk×LF（0，T；Hk，2（Rd）），也就是说，它几乎可以肯定地认为hа，uti=hа，uti+ZTtnhа，trasDus+DψsσTs+ bTsDus+f（s，us，Dus，ψs）iods-ZTth~n，ψsdWsiφ ∈ C∞c（Rd），t∈ [0，T]，（A.2）其中C∞c（Rd）是所有完全可微分函数的集合，在Rd上具有紧凑的支持s。

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2022-4-29 18:30:57

此外，美国∈ L2，∞F（0，T）如果k=1，存在一个常数C，它只依赖于κ，L，L，∧和Tsuch thatkukHk+kukL2，∞F（0，T）k=1+kψkLF（0，T；Hk，2（Rd））≤ Ckf（·，·，·，0，0，0）kLF（0，T；L（Rd））+kGkL(Ohm,英尺；香港，第2（d））. （A.3）通过使用标准稠密性参数，可以很容易地检查k=1时，（A.2）对溶液定义的测试函数要求与定义2.1中几乎所有地方的相应要求相同。命题A.1中的非线性项f可以用线性形式asf（t，x，θ，y，z）=αθ+βTy+θTz+f（t，x，0，0，0），（θ，y，z）表示∈ R×Rd×Rm，（A.4），其中α=f（t，x，θ，y，z）- f（t，x，0，y，z）θθ6=0；βi=f（t，x，0，y（i），z）- f（t，x，0，y（i）-1），z）yiyi6=0，i=1，Dθk=f（t，x，0，0，z（k））- f（t，x，0，0，z（k-1） ZK6=0，k=1，My（i）=（y，…，yi，0，…，0），y（0）=0∈ Rd，i=1，Dz（k）=（z，…，zk，0，…，0），z（0）=0∈ Rm，k=1，m、因此，线性BSPDEs的比较原理[7，定理6.3]立即暗示了以下结果。推论A.2（定理6.3[7]的推论）。在命题A.1的假设下，对于k=1，假设配对（G′，f′）满足命题A.1中（G，f）的相同条件。设（u，v）和（u′，v′）分别为BSPDE（A.1）的解，并进一步假设对于几乎每个（ω，t，x）∈ Ohm ×[0，T]×Rdit holdsf（ω，T，x，ut，Dut，v）≥ f′（ω，t，x，ut，Dut，v）和G（ω，x）≥ G′（ω，x）。然后，你≥ u′，P dt （a，t，f）可以是线性的- f′（t，x，ut+θ，Dut+y，v+z）。证据是标准的，因此省略了。我们用下面关于BSPDEs正解部分的等式引理来结束本附录，其证明将在下面略图。引理A.3。让你∈ H

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kedemingshi

2022-4-29 18:31:02

任何情况下，我们都会提高这个标准∈ C∞c（Rd），几乎可以肯定的是，uti=h~n，Gi+ZTth~n，hs+fsi-dXi=1h希尼，吉西ds-ZTthа，ζsdWsi，t∈ [0，T]，其中G∈ L(Ohm, FT，L（Rd））；ζ、 f，g∈ LF（0，T；L（Rd））和h∈ LF（0，T；L（Rd））。此外，假设（x）u+s（x）≤ 0，P dt dx-a.e.那么，它几乎可以肯定地容纳thatku+tkL（Rd）+ZTtkζsu>0kL（Rd）ds≤ kG+kL（Rd）+2ZTt胡+s，fsi-dXi=1h秀+s，吉西ds- 2ZTthu+s，ζsdWsi，t∈ [0，T]。（A.5）证明的草图。对（u，ζ）是线性BSPDE的唯一解-dut（x）=ut（x）+ft+ht+dXi=1xi（吉特）- 休特（x））dt- ζt（x）dWt（t，x）∈ [0，T]×Rd；uT（x）=G（x），x∈ 如果h∈ 如果（0，T；L（Rd）），那么（A.5）从[23，Coro llary 3.11]开始。对于h∈ 如果为（0，T；L（Rd）），则可以使用标准近似方法进行验证。为此，我们观察到，前向SPDE的It^o公式[6，命题2]的证明独立于域Otherein的有界性，因此结果扩展到o=Rd。因此，对于任何函数Φ：R→ 当有界导数Φ′、Φ′和Φ′（0）=0时，它几乎可以确定ZRdΦ（ut（x））dx+mXr=1ZTthΦ′（us）ζrs，ζrsi ds+ZTthΦ′（us），ζsdWsi=ZRdΦ（G（x））dx+ZTthΦ′（美国），fs+hsi-dXi=1hΦ′（美国）秀斯，吉西ds，t∈ [0，T]。（A.6）如果Φ′（y）=Φ′（y）1（0，∞)（y）≥ 0，那么我们对h的假设几乎可以肯定地得出（A.6）≤ZRdΦ（G（x））dx+ZTth（美国），fsi ds-dXi=1hΦ′（美国）秀斯，吉西ds，t∈ [0，T]。（A.7）我们可以通过近似Φ并传递到（A.7）中的极限，将上述不等式化为Φ′无界。然后将不等式（A.7）应用于函数ψ：y7→ （y+）。尽管ψ不是正则的eno，但这可以使用与[22，引理3.5]证明的第2步相同的近似方法来实现。B推论3.3的证明在引理3.2中，Φ可以看作是一个L（Rd）值连续半鞅。

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2022-4-29 18:31:06

因此，Φ∈ 我们可以进一步验证（Φ，Υ）∈H∩ LF（0，T；H2，2（Rd））x LF（0，T；H1，2（Rd））满足度（A.1），f（T，y）：=Ft（y）-trat（y）DΦt（y）+DΥt（y）σTt（y）+ bTt（y）DΦt（y）.因此，Φ∈ L2，∞F（0，T）∩Hby提案A.1。每个人∈ N、 let（uN，ψN）∈ H×LF（0，T；H1，2（Rd））是-邓特（y）=trat（y）DuNt（y）+DψNt（y）σTt（y）+ bTt（y）DuNt（y）+N∧ |英尺（y）|dt- ψNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；uNT（y）=N∧ |G（y）|，y∈ Rd.（B.1）由引理3.2，我们得到了几乎e非常y∈ Rd，uNt（ys，yt）=N∧ |G（ys，yT）|+ZTtN∧ |Fr（ys，yr）| dr-ZTtnσTr（ys，yr）DuNr（ys，yr）+ψNr（ys，yr）odWr-ZTt′σTr（ys，yr）DuNr（ys，yr）dBr，其中所有成分均在测量值P下定义 dt 尤其是uNs（y）=EFsN∧ |G（ys，yT）|+ZTsN∧ |Fr（ys，yr）| dr,命题A.1产生一个常数C，它只依赖于o nκ、L、∧和T，即kunkl2，∞F（s，T）+kψNkLF（s，T；H1,2（Rd））≤ C千牛∧ |F | kLF（0，T；L（Rd））+kN∧ |吉隆坡(Ohm,英尺；H1,2（Rd））≤ CkF-kLF（0，T；L（Rd））+kGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））.让N→ ∞, 通过Fatou引理和Jensen不等式，我们得到了ZRDE[|G（ys，yT）|]+ZTsE[|Fr（ys，yr）|]drdy≤ CkGkL(Ohm,英尺；H1,2（Rd））+kF kLF（s，T；L（Rd））.这证明了期望的估计以及Φ·（ys，y·）是几乎每个y的连续一致可积半鞅的事实∈ 参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] S.An kirchner，M.Jeanblanc和T.Kruse，具有奇异终端条件的BSDE和带约束的控制问题，SIAM J.控制优化。，5.2（2014），第893-913页。[3] S.Ankirchner和T.Kruse，连续时间内对价格敏感的清算。可在SSRN上获得，2012年。[4] A。Bensoussan，《分布参数系统的随机极大极小原理》，J.Franklin Inst.，315（1983），第387-406页。[5] 张敏敏、彭永康和J。

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2022-4-29 18:31:10

Yong，具有随机系数的s-tochastic微分方程的最优停止问题，SIAM J.控制优化。，48（2009），第941-971页。[6] L.Denis，A.Matoussi和L.Stoica，《拟线性随机偏微分方程的最大值原理和比较定理》，电子。J.Probab。，14（2009），第500-530页。[7] 杜克强，邱俊杰，汤绍，全空间上超抛物型倒向随机偏微分方程的线性规划理论，应用。数学Optim。，65（2012），第175-219页。[8] K.Du和Q.Z hang，半线性退化向后随机偏微分方程和相关向前向后随机微分方程，Stoch。过程应用程序。，123（2013），第1616-1637页。[9] N。Englezos和I.Karatz a s，习惯形成的效用最大化：动态规划和随机偏微分方程，暹罗J.控制优化。，48（2009），第481-520页。[10] P.福赛斯，J.肯尼迪，S。谢和H.Windcliff，《最优交易执行：平均二次变异法》，J.Econ。戴恩。《控制》，第36期（2012），第197-199页。[11] J.Gatherel和A.Schied，Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。，Int.J.Theor。阿普尔。财务部。，14（2011），第353-368页。[12] P.Graewe、U.Horst和E.S\'er\'E，投资组合清算问题的平滑解决方案低估了敏感的市场影响。arXiv:1309.04742013。[13] U.霍斯特和F.诺约卡特，什么时候跨越这片土地？买卖双边限额指令簿，暹罗J.金融数学。，5（2014），第278-315页。[14] 冀S和周X，具有终端状态约束的随机最优控制的最大值原理及其应用，Commun。中导系统。，6（2008），第321-337页。[15] P.Kratz，带跳跃的非线性二次约束随机控制问题的显式解：逆选择暗池中的最优清算，数学。奥普。第39号决议（2014年），第1198-1220页。[16] P。

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Kratz and d.T.Sch–oneborn，《连续时间黑暗池中的投资组合清算》，数学。《金融》，出版于2013年。[17] N.V.Krylov，关于分布值过程的It^o-Wentzell公式及相关主题，Probab。理论相关领域，150（2010），第295-319页。[18] M.Mania和R.Tevzadze，《反向随机偏微分方程和不完全对冲》，国际理论出版社。阿普尔。财务部。，6（2003），第663-692页。[19] 彭S.Peng，随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程，暹罗J.控制优化。，30（1992），第284-304页。[20] A.Popier，具有奇异终端条件的倒向随机微分方程，Stoch。过程应用程序。，116（2006），第2014-2056页。[21]邱杰，倒向随机微分演化方程及其应用，复旦大学博士论文，2012。[22]邱杰，唐S，倒向随机偏微分方程的极大值原理，J.Funct。肛门。，262（2012），第2436-2480页。[23]邱俊杰和魏文伟，关于拟线性反射后向s-tochastic偏微分方程，J.Funct。肛门。，267（2014），第3598-3656页。[24]A.Schied，一个带有燃料约束和Dawson的控制问题——渡边超级过程，安。阿普尔。Probab。，23（2013），第2472-2499页。[25]唐S.和Zha ng.正倒向随机抛物型方程的零能控性，暹罗J.控制优化。，48（2009），第2191-2216页。[26]杨志强和唐志强，具有随机系数的随机微分方程的Dynkin博弈，以及相关的倒向随机偏微分变分不等式，SIAM J.Control Optim。，51（2013），第64-95页。

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