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2022-04-29
英文标题:
《Exact Simulation of Wishart Multidimensional Stochastic Volatility Model》
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作者:
Chulmin Kang, Wanmo Kang
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最新提交年份:
2013
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英文摘要:
  In this article, we propose an exact simulation method of the Wishart multidimensional stochastic volatility (WMSV) model, which was recently introduced by Da Fonseca et al. \\cite{DGT08}. Our method is based onanalysis of the conditional characteristic function of the log-price given volatility level. In particular, we found an explicit expression for the conditional characteristic function for the Heston model. We perform numerical experiments to demonstrate the performance and accuracy of our method. As a result of numerical experiments, it is shown that our new method is much faster and reliable than Euler discretization method.
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中文摘要:
在本文中,我们提出了一种Wishart多维随机波动率(WMSV)模型的精确模拟方法,该模型最近由Da Fonseca等人提出。我们的方法基于对给定波动水平的对数价格的条件特征函数的分析。特别是,我们找到了赫斯顿模型的条件特征函数的显式表达式。我们进行了数值实验来证明我们的方法的性能和准确性。数值实验结果表明,该方法比欧拉离散化方法速度快、可靠性高。
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分类信息:

一级分类:Quantitative Finance        数量金融学
二级分类:Pricing of Securities        证券定价
分类描述:Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类:Mathematics        数学
二级分类:Probability        概率
分类描述:Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用:例如中心极限定理,大偏差,随机微分方程,统计力学模型,排队论
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2022-4-29 18:37:01
Wishart多维随机波动率模型的精确模拟*Wanmo Kang+2018年11月19日摘要在这篇文章中,我们提出了Wishart多维短期波动率(WMSV)模型的精确模拟方法,该模型最近由Da Fonseca等人提出[14]。我们的方法基于对给定波动水平的对数价格的条件特征函数的分析。特别是,我们找到了赫斯顿模型的条件特征函数的显式表达式。我们进行了数值实验,以证明我们的方法的性能和准确性。数值实验结果表明,该方法比欧拉-r离散化方法速度快、可靠性高。关键词:Wishart过程、随机波动率、蒙特卡罗方法、精确模拟1简介自从1993年引入Heston的随机波动率模型[24]以来,它一直是随机波动率模型中最重要、应用最广泛的模型。它的流行依赖于对参数的清晰财务解释和模型的计算可执行性。Heston[24]以封闭形式给出了对数资产价格的特征函数,并证明了欧式看涨期权可以通过反转特征函数来定价。尽管Hestonmodel很受欢迎,但广泛的实证研究已经证明了它的局限性[4,5,10,11,13]。该模型最关键的缺陷在于它不能生成真实的波动率期限结构;Heston模型提供了太过丰富的隐含波动性表面,无法捕捉现实。但经验研究表明,短期到期的隐含波动率曲线具有相当陡峭的斜率,并且是凸的,而长期到期的隐含波动率曲线则趋于可信[11,13]。
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2022-4-29 18:37:04
因此,大量工作集中在推广赫斯顿模型,以适应此类程式化事实。有两种方法可以推广赫斯顿模型。第一个是增加股票收益率、波动率或两者的动态跳跃[4、5、16]。另一条流一直在研究隐含波动的多因素性质[5,11,14,16]。在多因素随机波动率模型中,Wishart多维随机波动率(WMSV)模型是最灵活的模型,它与隐含波动率的期限结构非常匹配[14,13]。该模型中已实现波动率的期限结构由一个正的半限定矩阵值随机过程描述,即由Bru[8]开发并由Gourieroux和Sufana[22]在财务文献中介绍的Wishart过程。资产价格与波动率因子之间的依赖关系也用平方矩阵表示。这种模型的矩阵规格使得捕捉*韩国国家数学科学研究所,电子邮件:ckang@nims.re.kr+韩国KAIST数学科学系,电子邮件:wanmo。kang@kaist.edustylized期权市场中观察到的事实。该模型可以同时满足长期波动水平和短期偏差。此外,该模型还表现出随机杠杆效应,使该模型足以处理随机倾斜效应。即使有了这些灵活的参数规格,它仍然可以进行分析处理;通过Du ffee等人[16]和Carr和Madan[9]的快速傅立叶变换方法,可以处理欧洲香草价格期权的问题。尽管WMSV模型的分析方面得到了很好的探索[6,14,13,18],但对该模型的模拟研究却很少。
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2022-4-29 18:37:07
Gauthier和Possamai[19]在原始Euler格式的基础上提出了一些离散化格式,但它们的格式在精度方面不太令人满意。他们的方案会产生严重的偏差误差,其精度对模型参数敏感。在本文中,我们提出了一种WMSV模型的精确模拟方法,该方法不受偏差的影响。我们对WMSV模型的新模拟方法是由Broadie和Kaya[7]对Heston模型的精确模拟方法推动的。他们的主要观察结果是,只要对端点和方差过程的整体进行精确采样,就可以对赫斯顿模型进行精确采样。为此,他们推导了方差过程积分到端点的条件特征函数,并用它通过Fourier反演技术对积分进行采样。我们采用了一种类似但相当直接的方法从WMSV模型生成样本。我们对波动系数过程的终值进行采样。然后,我们使用傅里叶逆变换技术,在波动率因子的给定终值的条件下,生成股票的对数价格。为了应用傅里叶反演技术,有必要找到相关的特征函数。在我们的例子中,它是给定波动因子终值的对数价格的条件特征函数。我们证明了它可以通过求解一个特定的常微分方程组得到。特别是,我们为赫斯顿模型提供了一个条件特征函数的显式公式。一般来说,由于矩阵乘法的不可交换性,常微分方程组不允许有闭式解,但可以用数值方法有效地求解。本文的其余部分组织如下。
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2022-4-29 18:37:11
第2节介绍了WMSV模型规范,并推导了原木价格的条件特征函数。第3节简要回顾了Broadie Kaya对Heston模型的精确模拟方法。第4节详细介绍了WMSV模型的精确模拟方法。在第5节中,我们给出了一些数值结果,并将我们的方法与标准离散化方法和Broadie Kaya方法进行了比较。第六部分总结全文。一些详细的推导遵循附录。2 Wishart多维随机波动率模型在WMSV模型中,风险中性度量下的资产价格动态由DSTST=rdt+trhpXt描述dWtR+ dZtpId- RRi、 S=S>0,(1)其中tr是迹算子,r是代表风险中性漂移的常数,W和z是独立的d×d标准矩阵布朗运动,即W和Zare的所有项独立于标准一维布朗运动。在本规范中,挥发度由d×d对称正半定矩阵值过程Xt确定。在下文中,我们用S++d(S+d)表示对称正(半)有限矩阵集。d×d矩阵R规定了资产价格和波动因素之间的相关性,并确定了回报分布的偏度。假设波动率因子过程是一个Wishart过程,它求解方程dxt=(Δ∑)∑+HXt+XtH)dt+pXtdWt∑+dWtpXt,X=X∈ S+d,(2)其中∑,H是d×d矩阵,δ≥ D-1.参数限制δ≥ D-1确保(2)[12]的唯一弱解的存在。Wishart过程是平方根均值回复过程的矩阵模拟。
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2022-4-29 18:37:16
为了赋予波动率的典型均值回复特征,假设矩阵H为负定义。在本文中,我们用对数价格Yt=log(St)来表示资产价格,因此(1)变成了Dyt=R-tr[Xt]dt+trhpXtdWtR+ dZtpId- RRi、 Y=Y。(3)我们首先回顾了WMSV模型的有效转换公式[14],并且我们推导了对数价格Y的条件拉普拉斯转换,给出了终端波动率,使用有效转换公式和测量技术的变化。2.1 YT的拉普拉斯变换由于WMSV模型的有效性质,原木价格过程的拉普拉斯变换在初始值(x,y)中呈指数形式。特别是,拉普拉斯变换的形式如下。命题2.1(Da Fonseca等人[14])。原木价格的拉普拉斯变换-uYTi=e-φ(0,u)-tr[ψ(0,u)x]-uy,如果LHS是有限的,(4),其中(φ,ψ)是tψ(t,u)=2ψ(t,u)∑∑ψ(t,u)-(H)- uR∑ψ(t,u)- ψ(t,u)(H)- u∑R) +u(u+1)Id,tφ(t,u)=-δtr[ψ(t,u)∑Σ] - ur,(5)代表0≤ T≤ 终端值ψ(T,u)=0和φ(T,u)=0。备注2.2。在本文中,为了便于注释,我们将方程(5)作为反向方程。有了这个后向方程,给定的条件拉普拉斯变换可以写成X,yhe-uYTFti=EXt,Ythe-uYT-ti=e-■φ(0,u)-tr[°ψ(0,u)Xt]-uYt,式中(∧φ,∧ψ)是(5)与∧ψ(T)的解- t、 u)=0和∧φ(t)- t、 u)=0。注意,通过解的唯一性,ψ(·+t,u)=ψ(·,u)和φ(·+t,u)=φ(·,u)。所以我们得到了△ψ(0,u)=ψ(t,u)和d△φ(0)=φ(t)。因此我们有了爱-uYTFti=e-φ(t,u)-tr[ψ(t,u)Xt]-嗯。(6) 2.2给定Ytxt的条件拉普拉斯变换本小节的目的是找到给定Ytxt=XT的条件拉普拉斯变换∈S++d.我们应用了a ffine变换公式(6)和测量技术的变化(例如。
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