随机波动率模型中的CVA和脆弱期权

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收藏 2022-06-25

英文标题：
《CVA and vulnerable options in stochastic volatility models》
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作者：
Elisa Alos, Fabio Antonelli, Alessandro Ramponi, Sergio Scarlatti
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
In this work we want to provide a general principle to evaluate the CVA (Credit Value Adjustment) for a vulnerable option, that is an option subject to some default event, concerning the solvability of the issuer. CVA is needed to evaluate correctly the contract and it is particularly important in presence of WWR (Wrong Way Risk), when a credit deterioration determines an increase of the claim\'s price. In particular, we are interested in evaluating the CVA in stochastic volatility models for the underlying\'s price (which often fit quite well the market\'s prices) when admitting correlation with the default event. By cunningly using Ito\'s calculus, we provide a general representation formula applicable to some popular models such as SABR, Hull \\& White and Heston, which explicitly shows the correction in CVA due to the processes correlation. Later, we specialize this formula and construct its approximation for the three selected models. Lastly, we run a numerical study to test the formula\'s accuracy, comparing our results with Monte Carlo simulations.
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中文摘要：
在这项工作中，我们希望提供一个一般原则来评估脆弱期权的CVA（信用价值调整），这是一个受制于某些违约事件的期权，涉及发行人的可解性。CVA需要正确评估合同，当信用恶化决定索赔价格上涨时，在存在WWR（错误方向风险）的情况下尤为重要。特别是，当承认与违约事件的相关性时，我们有兴趣在随机波动率模型中评估标的价格（通常与市场价格非常吻合）的CVA。通过巧妙地使用伊藤微积分，我们提供了一个适用于一些流行模型（如SABR、Hull \\&White和Heston）的通用表示公式，该公式明确显示了CVA中由于过程相关性而产生的修正。之后，我们专门化这个公式，并为三个选定的模型构造其近似值。最后，我们进行了数值研究以检验公式的准确性，并将我们的结果与蒙特卡罗模拟进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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CVA_and_vulnerable_options_in_stochastic_volatility_models.pdf
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能者818

2022-6-25 06:47:44

随机波动率模型中的CVA和脆弱期权。Alos公司*, F、 Antonelli+，A.Ramponi，S.Scarlati§2019年7月31日摘要在这项工作中，我们希望提供一个一般原则，以评估脆弱期权的CVA（信用价值调整），这是一个受制于某种违约事件的期权，涉及发行人的可解性。CVA需要正确评估合同，尤其是在存在WWR（错误方向风险）的情况下，当信用恶化决定索赔的风险增加时，CVA尤为重要。特别是，在承认与违约事件的相关性时，我们有兴趣在随机波动率模型中评估标的价格（通常与市场价格非常吻合）的CVA。通过巧妙地使用伊藤微积分，我们提供了一个适用于一些流行模型（如SABR、Hull&White和Heston）的通用表示公式，该公式明确地显示了由于过程e s相关性而导致的修正inCVA。之后，我们将此公式特殊化，并为三个选定的模型构造其近似值。最后，我们进行了一项数值研究，以检验公式的准确性，并将我们的结果与蒙特卡罗模拟进行了比较。关键词：信用价值调整、脆弱期权、随机波动率模型、Intensity Approach JEL分类：E43、G12、G13。数学科目分类（2010）：91G60、91G20、60J75.1简介可违约债权是受某些违约事件影响的衍生产品，涉及交易对手在交易最终结算前的可变现性。这就是所谓的“交易对手信用风险”（CCR），其直接后果是产品的价格需要调整，以在其报价中包括违约的可能性。

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大多数88

2022-6-25 06:47:47

这种导致价格下降的调整通常被称为信用价值调整（CVA），朱和Pykhtin（29）在一篇论文中首次介绍了这种调整。上一次金融危机（20072008）大大增加了对场外市场产品CCR的监控和定价，许多研究人员和从业者试图制定一个总体框架，更好地评估CVA评估，以补偿衍生品持有人购买CCR。事实上，沿着*蓬佩法布拉大学经济与商业系，elisa。alos@upf.edu+迪西姆-法比奥拉奎拉大学。antonelli@univaq.it亚历山德罗，罗马大学经济与金融系Tor Vergata。ramponi@uniroma2.it§塞尔吉奥罗马大学企业工程系。scarlattii@uniroma2.ityears，其他价值调整也被认为导致了首字母缩略词（X）VA。最近研究方向的最新概述见【15】。许多工作集中于掉期的CVA评估，而其他工作则集中于欧洲期权。在这种情况下，当风险仅与发行人相关时，这些合同被称为脆弱期权，人们可以在这种情况下找到大量文献（参见[12]、[8]、[9]、[4]和参考文献，最后三个重点是CVA）。通常，默认事件以随机时间表示，表示默认时间。违约时，投资者可能会蒙受全部损失，或者可能会部分收回投资的现值。CVA评估的困难是双重的。

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可人4

2022-6-25 06:47:49

首先，违约时间可能无法完全衡量市场价格产生的信息，因为它也反映了其他外部因素，其次，即使在完全了解该随机时间的情况下，衍生品的评估也需要随机时间和价格过程的联合分布，通常很难知道。在这个框架中，我们考虑了脆弱欧式期权和各种随机波动率模型的C-VA评估。这种选择的重要性在于，随机波动率模型更适合市场，再现了隐含波动率的微笑和偏差。一些论文（[21]和[28]）已经在结构违约框架下讨论了赫斯顿模型下的脆弱期权定价（见[20]）。或者，可以使用所谓的强度法（在[24]中介绍了可违约债券的定价方法），以有条件地描述违约时间的分布，以反映市场价格产生的信息。在随机波动率设置中，假设与违约强度相关联的基础GARCH模型，在离散时间内获得了[27]中的第一个结果，但连续时间内的文献很少。在本文中，我们将资产价格、违约时间和其他随机因素的联合动力学描述为一个马尔可夫系统，其组成部分可能表现出相关性。

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何人来此

2022-6-25 06:47:52

我们注意到，过程之间的相关性是关键的，事实上，在强度和价格/波动过程之间缺乏独立性，评估公式简化为两个单独的评估：经典的无违约衍生产品价格乘以强度过程诱导的因子（类似于到期时支付1的债券价格）。当存在相关性时，计算结果就不那么容易了，我们采用了一种由e.Alos（[1]）开发的技术，通过部件公式进行精确积分，以确定相关性的贡献。评估公式分为三项：第一项给出零相关性CVA值，即独立案例的值，第二项和第三项分别来自强度过程与资产价格和随机波动率的相关性。我们称之为“一阶表示公式”，因为它涉及无违约价格的一阶导数。这个表达式指出了相关性的贡献，但没有明确指出它。如果需要的话，可以通过再次将It^o公式应用于无违约价格，得到所谓的“二阶表示公式”，来说明每个过程所起的作用。计算变得更加复杂，但第二个表达式更准确地捕获了参数化后的相关行为。更详细地说，我们通过Vasicek或CIR过程对强度进行建模，每个过程都与SABR、Hull&White和Heston随机波动率模型相结合。因此，根据SDE中描述模型的各因素之间的相关系数，特别是资产价格和强度（ρ）之间以及强度和波动性（ν）之间的相关系数，显式重写了重新表述公式。

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大多数88

2022-6-25 06:47:55

我们得到的一阶和二阶公式对应于C VA关于相关参数的一阶或二阶展开，这种方法可以扩展到任何阶，代价是计算量更大。对于每种情况，这些都是通过“特殊”技术来近似的，我们所达到的数值精度和计算速度使这种技术成为蒙特卡罗方法的有效替代方法。为了阐明ρ的作用，让我们考虑投资者A从B银行购买g A看涨期权，该看涨期权写在C银行的资产上，在大型市场上与B竞争。如果B违约，则强度λ将有一个较大的值，ρ>0将反映资产的属性，从而由于获得市场头寸而相应增加其价值。因此，A将在投资组合中有一个资金雄厚但交易对手接近违约的看涨期权合约，d描述了错误的方式风险（WWR）情况。最后，我们指出，我们的方法可以直接扩展到包含随机相关率，其数值精度和速度使我们有兴趣在未来的研究中将其应用于更一般的XVA评估。在接下来的两部分中，我们首先介绍了CVA评估的理论公式，然后提供了马尔可夫条件的一般表示公式。在第4节中，我们专门研究了与两个强度模型相关的三个stochstic波动率模型的一阶公式，并建议对每一个模型采用适当的近似技术。在第5节中，我们仅对与CIR强度模型耦合的SABRand-Heston模型的二阶公式进行了相同的讨论。这些都是最有意思的案例，为了便于阐述，我们决定仅限于这些案例。

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可人4

2022-6-25 06:47:58

我们方法的数值讨论见最后一节。2可违约欧洲索赔的CVA评估T[0，T]为有限时间间隔，以及(Ohm, F、 P）具有过滤{Ft}t的完全概率空间∈[0，T]，用P-空集合并使右连续。我们还认为，所有流程都有一个c'adl'ag版本。市场模型将由利率过程Rt和表示资产原木价格的过程Xt描述，其动态将在稍后详细说明。资产价格也可能取决于其他随机因素。我们假设过滤{Ft}t∈[0，T]足够丰富，可以支持上述所有过程；o没有套利；o给定的概率P是一个风险中性度量，已经根据一些标准进行了选择。因此，我们用St=ext表示资产价格，用B（t，s）=e表示-RSTRUDUT远期贴现因子。在该市场中，对到期时支付f（XT）的可违约欧洲连续索赔进行了评级，其中f是稍后将指定的函数。我们用τ（不一定是停止时间w.r.t.过滤Ft）表示或有权益的默认时间，用ZtanFt表示-可测量的有界恢复过程。为了正确评估这种类型的导数，我们需要包括默认时间生成的信息。我们用GT表示逐渐扩大的过滤，这使得τaGt-停车时间，即Gt=Ft∨ σ({τ ≤ t} ）。因此，表示为Ht=1{τ≤t} 通过HTITS自然过滤，我们选择Gt=Ft∨ Ht。我们做了一个基本假设，即H假设（参见[14]和[13]以及其中的参考文献），即（H）每英尺-鞅仍然是Gt-鞅。在此假设下，B（t，s）Ss，s≥ t仍然是Gs-风险中性概率对过滤Gs唯一扩张下的鞅。

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能者818

2022-6-25 06:48:01

（为了保持符号的简洁，我们不表示我们用于期望值的可能性，假设它与使用中的过滤器相对应）。在此设置中，最终值为f（XT）、默认时间τ和恢复过程{Zt}的可违约索赔价格由cd（t，t）=E[B（t，t）f（XT）1{τ>t}+B（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt]，T∈ [0，T]，（1）而相应的无故障值为c（T，T）=e[B（T，T）f（XT）| Ft]。在许多情况下，投资者不知道违约时间，他们可能只观察违约是否发生。实际可观察数量是资产价格，因此，有趣的是，用Ft而不是Gt来编写定价公式（1）。为此，我们有以下关键引理，请参见[7]或[5]。任何可积G的引理2.1-可测量的r.v.Y，以下等式保持h{τ>t}Y | Gti=P（τ>t | Gt）Eh{τ>t}Y | FtiP（τ>t | Ft）。（2）将此引理应用于（1）的第一项和第二项，并回顾1-Ht=1{τ>t}是Gt-可测量的，我们得到[B（t，t）f（XT）1{τ>t}Gt]=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）1{τ>t}Ft]P（τ>t}）（3）E[B（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt]=1{τ>T}E[B（T，τ）Zτ{T<τ≤T}| Ft]P（τ>T | Ft），（4），可通过遵循危险过程方法使其更加明确。我们表示给定的默认时间τ的条件分布FtbyFt=P（τ≤ t | Ft），t型≥ 0，（5）从何处，代表u≥ t、 P（τ≤ u | Ft）=E（P（τ≤ u | Fu | Ft）=E（Fu | Ft）。我们还假设ft（ω）<1表示所有t>0，以很好地定义所谓的危险过程Γt：=-ln（1-英尺）=> 英尺=1- e-Γtt>0，Γ=0。（6）用这个符号，我们重写（3）asE[B（t，t）f（XT）1{τ>t}}Gt]=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）1{τ>t}}Ft]EΓt=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）1{τ>t}}}Ft]EΓt=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）E[1{τ>t}| Ft]EΓt=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）E-ΓTeΓt | Ft]=1{τ>t}E[B（t，t）f（XT）E-（ΓT-Γt）| Ft]。假设B（t，·）Z。

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kedemingshi

2022-6-25 06:48:05

是有界F- 鞅（通常是这样），我们可以处理（4）中的期望，应用[6]中命题5.1.1的扩展，如[3]中所述。命题2.1设M是有界F鞅。然后（i）对于任何t≤ TE[Mτ{t<τ≤T}| Ft]=EhZTtMu-dFu+Xt<u≤T亩Hu | Fti，（7）其中Xswe表示Xs- Xs型-, 对于任何过程X.（ii），如果M和H没有同时跳跃，则n[Mτ{t<τ≤T}| Ft]=E[ZTtMu-dFu |英尺]。（8）（iii）如果M i s F-可预测的或M和H没有同时跳跃，而F是可预测的，因此，Mτ{t<τ≤T}| Ft]=E[ZTtMudFu | Ft]。（9）备注2.1过程H和B（t，·）Z.没有同时跳跃，因为B（t，·）Z.是c'adl'ag，τ对于{Ft}是不可测量的，因此它不是F-停车时间。c'adl'ag进程的跳转时间是停止时间（见[26]），因此这两个进程不能同时跳转。记住上一条评论，并假设危险过程与导数λt不同，称为强度过程，Γt=Rtλudu，（4）变成[B（t，τ）Zτ{t<τ≤T}| Gt]=1{τ>T}E[B（T，τ）Zτ{T<τ≤T}| Ft]eΓT=1{τ>T}EhZTtB（T，s）ZsdFs | FtieΓT=1{τ>T}EhZTtB（T，s）Zse-ΓsdΓs | FtieΓt=1{τ>t}EhZTtB（t，s）Zse-（Γs-Γt）dΓs | Fti。因为Γ是连续的，它不会对任何跳跃充电。

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mingdashike22

2022-6-25 06:48:08

因此，定价公式（1）变为SCD（t，t）=1{τ>t}Ee-RTt（rs+λs）dsf（XT）+ZTtZsλse-Rst（ru+λu）哑铃| Ft, （10）恢复[24]中的Lando公式（3.1）和（3.3）。假设回收率分数（[11]），Zt=Rc（t，t）f或一些0，则可以进一步专门化此公式≤ R<1，并使用可选投影定理（见[25]定理4.16）E[ZTtZsλse-Rst（ru+λu）duds | Ft]=REhZTtc（s，T）λse-Rst（ru+λu）duds | Fti=REhZTtEe-RTsruduf（XT）| Fsλse-Rst（ru+λu）duds | Fti=REhe-RTtruduf（XT）（1- e-RTtλudu）| Fti。将这两部分放在一起，我们最终得到cd（t，t）=1{τ>t}hREe-RTtruduf（XT）|英尺+ (1 -R） E类e-RTt（ru+λu）duf（XT）| Fti、（11）Fard在[12]中也使用了f（x）=（ex- K） +这可以解释为无违约价格和有违约价格的凸组合。因此，我们对单边CVA也有一个表达式，定义为无违约价格和调整价格CV a（t）之间的差异：=1{τ>t}[c（t，t）- cd（t，t）]=1{τ>t}（1- R） Ehe公司-RTtruduf（XT）（1-e-RTtλudu）| Fti。（12）立即注意到，如果λ独立于（Xt，rt），则-RTt（rs+λs）dsf（XT）| Fti=Ehe-RTtrsdsf（XT）| FtiEhe-RTtλsds | Fti。（13）当然，期望值的可计算性在很大程度上取决于λ的建模选项。3随机波动率模型中CVA的表示形式在本节中，我们考虑一系列随机波动率模型，为了简单起见，从现在起，我们假设零分数回收率（R=0）和无风险即期利率R=0。这些都不是限制性的假设，因为下面的讨论可以很容易地扩展到0<R<1和R是时间的确定函数的情况。使用相同的技术，增加问题的维数也可以考虑随机利率。

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何人来此

2022-6-25 06:48:11

因此，我们的市场模型由资产对数价格Xt和决定波动过程Dxt=-a（Yt）e-2(1-γ） Xtdt+a（Yt）e-(1-γ） XtdBt，0<γ≤ 1（14）dYt=b（t，Yt）dt+c（t，Yt）dBt（15）Bt=ηBt+p1- ηZt，Bt=Bt，其中Bt和Zt是独立的布朗运动，0≤ η<1，b，c：[0，T]×R+-→ R+anda：R+-→ R+是确定性函数，因此（14）-（15）允许一个唯一的强解。我们注意到，由于确定性系数，配对（Xt，Yt）以及

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nandehutu2022

2022-6-25 06:48:14

无套利的情况下，默认自由价格U是一个鞅，因此应用^o的公式，我们得到du（s，Xs，Ys））=LU（s，Xs，Ys）ds+a（Ys）e-(1-γ） Xs型xU（s，Xs，Ys）dBs+c（s，Ys）yU（s、Xs、Ys）dBs=xU（s、Xs、Ys）dMXs+yU（s，Xs，Ys）dMYs，（17），其中mx和mys分别是X和Y的鞅部分，l=s+a（y）e-2(1-γ） x个(xx号- x） +c（s，y）yy+ηa（y）c（s，y）e-(1-γ） x个xy+b（s，y）y检验PDE（LU（s，x，y）=0U（T，x，y）=f（x）。（18）通过分部积分和利用（18），我们得到了以下关于{τ>t}CV A（t）=Et事件的“经典价格”和调整价格之间差异的基本表示公式(1 - NtT）U（T、XT、YT）= (1-Ntt）U（t，x，y）-EthZTt公司xU（s、Xs、Ys）dhNt、Xisi- EthZTt公司yU（s，Xs，Ys）dhNt，Y isi，（19）这是不相关项加上两个额外项，这两个额外项来自资产和违约以及波动性和违约之间的相关性。备注3.1我们可以从不同的角度来看评估（16）：CVA（t）=Et(1 - NtT）u（T、XT、vT）{τ>t}，其中vt：=vt（t-t），σt=a（Yt）是随机波动过程，Vt表示自适应平均方差过程（或零执行方差掉期）Vt=t- 春节ZTtσds=T- 春节ZTta（Ys）ds.这个过程被称为方差交换，它更容易根据市场数据而不是不可交易的随机因子Y进行估计。这两个过程是严格连通的，weassume（H1）存在一个可逆函数d（t，y）∈ C1,2（[0，T]×R+），因此vt=d（T，Yt），我们可以用v等效地写求值。

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可人4

2022-6-25 06:48:17

实际上，by（H1）（X，v）仍然是阿马尔科夫对，函数验证了一个等价的偏微分方程hs+f（s，z）[e-2(1-γ） x个(xx号- x）- z] +ηe-(1-γ） xg（s，z）xz+h（s，z）zziu（s，x，z）=0（20），其中f（s，vz）=a（d-1（s，z）），g（s，z）=a（d-1（s，z））yd（s，d-1（s，z）），h（s，z）=c（s，d-1（s，z））(yd（s，d-1（s，z）），到达Cv A（t）=Et(1 - NtT）u（T、XT、vT）=(1-Ntt）u（t、Xt、vt）- EthZTt公司xu（s、Xs、vs）dhNt、Xisi- EthZTt公司zu（s、Xs、vs）dhNt、visi。（21）假设（H1）没有限制性，事实上，我们感兴趣的所有模型都验证了假设（H1）：=d（t，Yt）=Ytφ（t，t），φ（t，t）：=ec（t-t）- 1c，c（t，Yt）=cYt=> yd（t，Yt）=2Ytφ（t，t），Yt=vtpφ（t，t），H&Wvt=Ytφ（t，t），φ（t，t）：=ZTteRst[b（u）+c（u）]duds，c（y，Yt）=c（t）Yt=> yd（t，Yt）=2Ytφ（t，t），Yt=vtpφ（t，t），Hestonvt=θ（t- t） +（Yt- θ） φ（t，t）φ（t，t）：=1-e-k（T-t） k，c（t，Yt）=cpYt=> yd（t，Yt）=φ（t，t），Yt=vt- θ（T- t） φ（t，t）+θ。备注3.2由于σt=a（Yt），当a也是不可微函数时，我们得到u（t，Xt，vt）=u（t，Xt，Yt）=u（t，Xt，a-1（σt）），因此V ega（t）=σU（（t，Xt，a-1（σt））=zu（t、Xt、vt）yd（t，Yt）σa-1（σt），由此我们可以通过冻结初始时间tCV A（t）上的整数和，给出上述表达式（21）的近似值≈(1-Ntt）u（t、Xt、vt）-Delta（t）EthhNt，XiTti公司-V ega（t）yd（t，Yt）σa-1（σt）EthhNt，viTti（22）自xu（t，Xt，vt）=xU（t，Xt，Yt）=δ（t）（23）zu（t，Xt，vt）=V ega（t）yd（t，d-1（t，vt））σ（a-1）（σt）。

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kedemingshi

2022-6-25 06:48:20

（24）当专门研究我们感兴趣的三个模型时，假设λ有一些特定的特性，（19）或（21）中出现的量可以根据强度与其他两个过程之间的相关参数明确计算，这是我们将在下一节中要做的。表示公式（19）非常关键，因为它允许尽可能利用martin gale Nt的显式表示。例如，当考虑λ的动力学模型时，就会出现这种情况，在这种情况下，我们可以求助于债券定价理论，我们可以得到NTS=Ese-RTtλudu= e-RstλuduEse-RTsλudu= e-RstλudueД（T-s） λs+ψ（T-s）（25）对于成熟时间的某些确定性可微分函数Д和ψ，这意味着DNTS=- Ntsn[λs+Д′（T- s） λs+ψ′（T- s） ]ds+Д（T-s） dλs-^1（T- s） dhλ，λiso=- Nts^1（T- s） dMλsdhX，Ntis=- Nts^1（T- s） dhX，λisdhY，Ntis=- Nts^1（T- s） dhY，λ是，其中Mλ表示过程λ的鞅部分。因此，表示（19）变为Cv A（t）=Et(1 - NtT）U（T、XT、YT）= (1-Ntt）U（t，x，y）+EthZTtxU（s、Xs、Ys）NtsИ（T- s） dhX，λisi+EthZTtyU（s、Xs、Ys）NtsИ（T- s） dhY，λisi。（26）二次协变量将表示模型过程之间的相关性。

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