回想一下，在流动性提供者出售风险资产后，价格影响会提高买卖价格，在购买后会降低价格。因此，立即开始按市场订单进行交易以将库存保持在[βt，βt]不再是最优的，因为这将超过之前限价订单交易的收益。为了避免这种情况，我们可以只关注限价指令，并通过使用市场指令清算投资组合并在风险头寸退出较大区间时完全停止交易来确保可接受性[2βt，2βt]。在小价差和频繁执行限价指令的情况下，该事件的概率趋于零，因此提前清算造成的效用损失在领先指令中可以忽略不计，相应的策略是最优的。让我们简略地描述一下，第4节中的论点可以如何进行调整，从而得出这些结果。再次，构造一个无摩擦影子价格过程，对于该过程，最优策略的交易价格与限价订单市场相同。需求=（1）- εt）St-=1.- εt1- κεtStifN（1）t>0，andeSt=（1+εt）St-=1+εt1+κεtStifN（2）t>0，并假设商/sti在N（1）t，N（2）t的跳跃时间之间是分段常数。这些性质由destest的解满足-= σtdWt+1A（1）t1+εt1- εt（1）- κεt）- 1.dN（2）t- κεtdN（1）t+κ- 1(1 - εt）（1- κεt）dεt+（κ- 1)κ(1 - εt）（1- κεt）dhε，εit+（κ- 1） σt（1）- εt）（1- κεt）dhW，εit+1A（2）t1.- εt1+εt（1+κεt）- 1.dN（1）t+κεtdN（2）t+1- κ（1+εt）（1+κεt）dεt+（κ- 1） κ（1+εt）（1+κεt）dhε，εit+（1- κ） σt（1+εt）（1+κεt）dhW，εit（5.3）带括号：=（1+ε）（1+κε）-1S。在这里，（5.3）第二行和第四行中的术语确保EST与（1）一致- εt）（1- κεt）-1吨A（1）t+和（1+εt）（1+κεt）-1吨A（2）t+。对于常数εt，这些项消失。

在没有价格影响的情况下，它们无论如何都不会对ε起主导作用→ 0.这种无摩擦价格过程与原始limitorder市场中的限价订单执行价格相匹配，因为限价订单是以限价执行的，限价在订单执行之前已经确定。然而，由于价格影响（与限价订单市场中的执行同时发生）而产生的相应跃升，仅在无摩擦阴影市场的下一笔交易中计算。因此，管理投资者库存的市场订单——自然包括限价订单购买后的销售，反之亦然——可以在最优惠的价格下严格执行。因此，交易通常比最初的限价指令市场更有利，并且只对限价指令交易有利。如第4.2节所述，我们验证了在βt，βt和N（1）t，N（2）跳变时间之间振荡的风险位置在前序林中是最优的。与第4.3节中的情况类似，我们会检查是否可以通过使用保单在原始限价订单市场中获得相同的效用。同样的修改也可以在基线模型中使用，而不会产生价格影响。然而，精确的最优策略将库存保持在βt和βt之间，在简单的设置中按市场订单[22]进行设置，这样我们就可以选择这种类型的策略。上述提议。事实上，相应的限价令交易以与森林相同的价格执行。对于潜在的市场订单清算交易，存在一个额外的订单损失o（ε2）-θ=o（ε2（1）-θ），在前导阶O（ε2（1）处可忽略不计-θ)). 由于提前终止交易而损失的效用为O（ε2（1-θ），因为它被对应的森林所包围，并且它与引理4.1的证明类似，即过早终止的概率趋于零，即ε→ 0

因此，提前终止导致的总效用损失在前导阶O（ε2（1））也不可见-θ)). 综上所述，上述建议的政策符合无摩擦市场在主导指令下的最优效用，因此在原始限价指令市场的主导指令下也是最优的。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险》，2001年3月5日至39日。[2] Y.阿米哈德和H.门德尔森。经销商市场：通过库存做市。J.Financ。经济。，8(1):31–53, 1980.[3] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。定量。《金融》，8（3）：217-2242008。[4] D.贝尔西马斯和A.洛。执行成本的最优控制。J.Financ。做记号1(1):1–50, 1998.[5] P.布勒马德。点过程和队列：鞅动力学。柏林斯普林格，1981年。[6] A.Cartea和S.Jaimungal。风险指标和高频交易策略的微调。数学《金融》，2013年出版。[7] A.Cartea和S.Jaimungal。在限价和市场指令下的最优执行。预印本，2014年。[8] A.Cartea、S.Jaimungal和J.Ricci。低买高卖：高频交易视角。预印本，2011年。[9] J.Cvitani\'c和A.Kirilenko。高频交易者和资产价格。预印本，2010年。[10] 加曼先生。市场微观结构。J.Financ。经济。，3(3):257–275, 1976.[11] 格洛斯滕和米尔格罗姆。在一个专业市场中，由信息不对称的交易者进行买卖和交易。J.Financ。经济。，14(1):71–100, 1985.[12] O.Gu’eant、C.Lehalle和J.Fernandez Tapia。应对库存风险：市场开拓问题的解决方案。数学财务部。经济。，7(4):477–507, 2013.[13] F.吉尔波特和H.范。具有可预测信息的按比例微观结构中的最优高频交易。数学《金融》，2013年出版。[14] F.吉尔波特和H.范。

具有限制和市场指令的最优高频交易。定量。《金融》，13（1）：79-942013年。[15] T.Ho和H.Stoll。交易和收益不确定性下的最优经销商定价。J.Financ。经济。，9(1):47–73, 1981.[16] 霍斯特和诺约卡特。什么时候跨越边界？在双边限额订单簿中交易。西亚姆。财务部。数学5(1):278–315, 2014.[17] J.贾科德和A.N.希里亚耶夫。随机过程的极限定理。柏林斯普林格出版社，第二版，2003年。[18] K·简·切克和S·E·史莱夫。具有交易费用的最优投资和消费的渐近分析。金融斯托赫。，8(2):181–206, 2004.[19] J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。在有交易成本的投资组合优化中使用影子价格。安。阿普尔。Probab。，20(4):1341–1358, 2010.[20] J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。具有小交易成本的最优投资和消费的一般结构。预印本，2013年。[21]J.卡尔森和J.穆勒·卡贝。交易成本小的期权定价和套期保值。数学《金融》，2013年出版。[22]C.K–uhn和M.Stroh。限价指令市场中小投资者的最优投资组合：影子价格法。数学财务部。经济。，3(2):45–72, 2010.[23]A.马达万、M.理查森和M.洛曼。为什么证券价格会变化？纽约证券交易所股票的交易水平分析。牧师。财务部。螺柱。，10(4):1035–1064, 1997.[24]R.马丁。比例交易成本下的最优多因素交易。预印本，2012年。[25]A.孟克维尔德。高频交易和新的做市商。J.Financ。做记号16(4):712–740,2013.[26]A.Obizhaeva和J.Wang。最佳交易策略和供需动态。J.Financ。做记号16(1):1–32, 2012.[27]H.Pham和P.Fodra。马尔可夫更新模型中的高频交易。预印本，2013年。[28]M.Rosenbaum和P.Tankov。带跳跃套期保值策略的渐近最优离散化。安。Apl。

Probab。，24(3):1002–1048, 2014.[29]L.S lomi\'nski和T.Wojciechowski。具有时间相关反射屏障的随机微分方程。《随机统计》，85（1）：27-472013。[30]H.M.索纳和N.图兹。小交易成本的同质化和渐近性。暹罗J.控制优化。，51(4):2893–2921, 2013.[31]A.E.沃利和P.威尔莫特。考虑交易成本的期权定价最优套期保值模型的渐近分析。数学《金融》，7（3）：307-324，1997年。