最优流动性供给 - 外文文献专区

2022-5-4 23:23:51

最优流动性供给*Christoph K¨uhn+Johannes Muhle Karbe¨2018年10月6日摘要小投资者以限价指令市场的最佳买入价和卖出价提供流动性。对于其他市场参与者的小息差和频繁订单，我们明确确定投资者的最优政策和福利。在这样做时，我们考虑了中间价、价差和订单流量的一般动态，以及考虑中的流动性提供者的任意偏好。数学学科分类：（2010）91B60、91G10、91G80。JEL分类：G11。关键词：限价订单市场，最优流动性供给，渐近性。1介绍金融市场上的交易有各种动机。例如，共同基金重新平衡其投资组合，对冲衍生品头寸，追加保证金可能需要清算大型资产头寸。此类交易需要向市场提供必要流动性的交易对手。传统上，这种做市商的角色是由指定的“专家”扮演的，他们同意以合同条款来匹配收到的订单，以赚取他们的出价和要价之间的差价。随着股票市场变得自动化，这种准垄断的设置已经让位于限制许多交易场所的订单市场。在这里，电子限价订单收集所有收到的订单，并自动配对匹配的买卖交易。这种限价指令市场允许几乎所有市场参与者参与系统的流动性供应，这已成为对冲基金流行的算法交易策略。本研究分析了流动性提供的最优策略及其绩效。与之前关于做市商的大多数工作不同，我们不考虑一个大型垄断专家（例如[10,2,15,3,12]），他会以最佳方式设定买卖价差。

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2022-5-4 23:23:56

相反，如[22,6,12,14]所述，*作者感谢Pierre Collin Dufresne、Paolo Guasoni、Jan Kallsen、Ren Liu、Mathieu Rosenbaum和Torsten Sch¨oneborn进行了富有成效的讨论，并感谢两位匿名推荐人提出了宝贵的意见。+德国法兰克福数学研究所法兰克福歌德大学，D-60054法兰克福上午，电子邮件：ckuehn@math.uni-法兰克福。德。感谢德意志银行（Deutsche Forschungsgeminschaft，DFG）项目“非流动性金融市场和限价订单市场中的最佳投资组合”的财务支持ETH Z–urich，f–ur Mathematik，R–amistrasse 101，CH-8092，Z–urich，瑞士和瑞士金融研究所，电子邮件johannes。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会（SNF）国家能力研究中心“金融估值和风险管理”（NCCR FINRISK）项目D1（金融风险管理中的数学方法）提供支持。27]，我们关注的是一家小型流动性供应商，该供应商通过分别以外部给定的买入和卖出价格发布限制买入和卖出订单来选择提供多少流动性。为了便于处理，我们假设流动性提供者的限制指令完全针对任何传入的市场指令执行，并且通过上述限制价格的选择，她的指令优先于其他市场参与者提交的限制指令。因此，我们从以不同限价下订单的激励中提取，这导致必须考虑的战略空间的巨大维度降低。也就是说，我们不必对整个订单进行建模。相反，我们的模型完全由买卖价格过程和其他市场参与者的市场订单到达时间来确定。

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2022-5-4 23:23:58

我们假设风险资产的中间价遵循鞅，并考虑其他市场参与者的小息差和频繁订单的实际相关限制机制。因此，我们在考虑中间价、价差和订单流量的任意动态，以及考虑流动性提供商的一般偏好的一般情况下，获得了明确的公式。考虑到流动性提供者的风险厌恶、资产的波动性以及外生订单的到达率，该模型告诉我们通过下达限额订单可以提供多少流动性。然而，我们的模型是从订单簿的精确微观结构中提取的，特别是从单位价格网格中提取的，以及对订单量信息的使用。本着这种精神，我们处理的扩散过程比整数值跳跃过程更容易处理。忽略交易量的影响，我们的模型具有标准无摩擦市场模型和按比例交易成本模型的特点。因此，该模型无法回答这样一个问题：例如，是否将最优规模的限购单精确地置于当前最佳出价，或者可能高于/低于它一个点。在这种情况下，最优策略由风险资产中货币头寸的上下限决定，投资者在另一市场参与者的外生市场指令到达时进行交易。因此，这些目标头寸决定了投资者在限额指令簿中公布的流动性金额。K–uhn和Stroh[22]通过解决具有单位风险厌恶的对数投资者的自由边界问题来描述这些边界，该投资者在具有恒定指令流的市场中仅保持多头头寸，并遵循正漂移的几何布朗运动进行买卖。

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2022-5-4 23:24:02

在本研究中，我们在一个带有鞅中间价的一般设置中显示，在其他市场参与者的小价差和频繁订单的限制下，上下目标头寸由βt=2εtα（2）tARA（x）σt，βt=-2εtα（1）tARA（x）σt.（1.1）在这些公式中，2ε是相对买卖价差的宽度，α（1）和α（2）是其他市场参与者的市场买卖订单的到达率，σ是风险资产回报的波动性，ARA（x）是投资者在其初始位置x的绝对风险规避，提供的最佳流动性量与资产的局部方差引起的库存风险成反比，由投资者的风险厌恶程度来衡量。相反，流动性准备金与每笔交易的报酬（即相对利差2εt）和到达率α（1）t成比例。这两个条件的乘积在通常的默顿头寸中扮演风险资产预期回报的角色，因为它描述了投资者单位时间的平均收入，根据她的风险厌恶和资产回报的方差进行交易，以确定最佳目标头寸。然而，这里的收入是通过扣除其他交易者的买入而获得的，对于交易成本较小的模型，最近的相关结果由[28,24,30,21,20]确定。这些对应于流动性接受者的最佳交易策略，其需求由流动性提供者（如本文所述的提供者）匹配。与经典的默顿问题不同，抛售订单是通过参与风险资产的趋势生成的。请注意，上述策略是短视的，因为它只取决于模型的局部动态；前导订单不考虑未来的变化。上述策略的绩效也可以量化。

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2022-5-4 23:24:05

在前导阶，它的确定等价性由x+ARA（x）E给出ZT（βtA（1）t+βtA（2）t）σtdt, （1.2）式中ω∈ A（1）t如果投资者在时间t之前的最后一次交易是一次购买，那么她的仓位会下降到上限βt。同样，ω∈ A（2）t如果投资者在上一次交易是出售风险资产后的头寸接近下限βt。因此，在限价指令市场中提供流动性的确定性等价物由未来平方目标头寸的平均值（相对于状态和业务时间σtdt）给出，并由风险规避重新调整。如果所有模型参数均为常数，则上述公式简化了tox+（2εα（1））（2εα（2））2ARA（x）σT。因此，在这种情况下，流动性准备金在前序相当于年金比例，即投资者分别从购买和销售中获得的收入的“漂移率”2εαIo除以投资者风险规避的两倍，再乘以风险资产的方差。在对称情况下，α（1）=α（2）=α，这与Black-Scholes模型中经典默顿问题的相应结果直接类似，其中等效年金由Sharperatio的平方除以投资者风险规避的两倍得出。对于给定的总订单流量α（1）+α（2），不对称性α（1）6=α（2）减少了流动性提供者的确定性等价物，因为它们减少了通过净额结算连续买卖交易在几乎没有库存风险的情况下赚取差价的机会。对于流动性提供者来说，我们的模型是一个过于乐观的游乐场。这些交易不会产生监控成本，并且总是在不必进一步缩小价差的情况下完全执行限额指令。订单的提交和删除是免费的。

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2022-5-4 23:24:09

此外，由于其他市场参与者的市场指令不会移动当前的最佳买入价或卖出价，因此它们在交替买入和卖出交易之间获得了全部价差，只受到中间价格变化风险的影响。如大量关于价格影响的文献（例如[4,1,26]）所承认的，如果其他市场参与者的购买和销售导致市场价格系统性上涨或下跌，那么这种变化是实质性的。这些影响可能源于逆向选择，如知情交易者掠夺流动性供应商[11]，或来自大量进入订单簿的订单[26]。我们的模型可以扩展到考虑相当于分数κ的来料订单的价格影响∈ [0,1]的半扩展。这个扩展仍然是可处理的；事实上，上面的公式（1.1）对于前导阶最佳位置限制推广到βt=2εt（（1-κ） α（2）t-κα（1）t）ARA（x）σt，βt=-2εt（（1-κ） α（1）t-κα（2）t）ARA（x）σt.（1.3）这与具有比例交易成本的模型的结果直接相似[20，等式（3.4）]；因为在我们的模型中，中间价遵循鞅，所以边际定价度量与物理概率一致。Guilbaud和Pham[13]研究了限制指令的部分执行。[14]分析了一个模型，其中流动性提供者必须通过离散的“滴答”来缩小利差，以获得执行优先级。如果价格影响几乎是差价的一半，这就产生了一个类似于Madhavan等人[23]的模型。对于对称阶流（α（1）t=α（2）t=αt），这些公式简化为βt=2εt（1）- κ） αtARA（x）σt，βt=-2εt（1）- κ） αtARA（x）σt。也就是说，流动性准备金只是减少了1倍- 在本例中为κ。这里的直觉是，对于κ≈ 1.价格影响几乎抵消了按比例交易成本εt流动性提供者每笔交易的收益。

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2022-5-4 23:24:13

因此，在这种情况下，做市变得不可靠，因为不断减少的收益被库存风险所抵消。即使有价格影响，领先订单的最佳确定性等价物仍然由（1.2）给出，如果其中一个替换了相应的交易边界。因此，由于价格影响，流动性提供者的利润随着其头寸限额的降低而减少。鉴于仍然乐观的假设，与（1.3）相关的最佳策略至少可以作为策略在实践中遵循的上限（如果为负值，则分别为下限）。它可以被明确计算，并且易于解释。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的模型。随后，本文的主要结果将在第3节中介绍，并在第4节中得到证明。最后，第5节对模型进行了扩展，以考虑传入订单的价格影响。2.模式2。1限价指令市场我们考虑一个金融市场，其中有一个安全资产，标准化为一个，以及一个风险资产，可以通过市场指令或限价指令进行交易。市场订单立即执行，但在t时的购买以更高的要价（1+εt）St结算，而销售只赚取较低的价格（1- εt）St.相反，限价订单可以以任意行权价格放入订单簿，但只有在另一个市场参与者的匹配订单到达后才能执行。处理具有任意行使价格的限价指令的复杂性是一项艰巨的任务。因此，为了获得一个易于处理的模型，我们遵循[22]的假设，即限制买入或卖出订单只能分别以当前的最佳买入价或卖出价进行。对于订单不会改变市场价格的小投资者，以及持续的最佳买入价和卖出价，可以这样解释。

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2022-5-4 23:24:16

在这种情况下，下（并不断更新）限购订单的价格“略高于”当前的最佳出价（1）- εt）ST保证在其他交易员的下一个市场卖出指令到达时立即执行。为了便于处理，我们从有限尺寸的存在中抽象出来。因此，执行价格较高的限价买入指令同时执行，但成本较高，而通过连续性，低于当前最佳出价的执行价格仅在以后执行。这一论点隐含地假设，其他市场参与者的传入订单是流动性驱动的，规模较小，因此它们不会移动市场价格（我们在第5节中展示了如何放松这一假设）。此外，考虑中的投资者规模更小，因为Herorder也不会影响市场价格，并且会根据其他市场参与者的任何传入订单立即执行。这些假设大大降低了问题的复杂性。然而，该模型仍然保留了通过提供流动性进行盈利与通过一路积累的头寸带来的投资风险之间的关键权衡。现在让我们正式确定这个限价订单市场的交易。所有随机量都是在过滤概率空间中定义的(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件。策略也就是说，ε是相对买卖价差的一半宽度。Guilbaud和Pham[13]研究了部分执行。由四个S=（MBt，MSt，LBt，LSt）t来描述∈[0，T]个可预测的过程。在这里，非递增过程MBT和MST分别表示投资者截至t时的累计市场买入和卖出订单。

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2022-5-4 23:24:20

MBtand MStpossess left and right limits，但可能有两次跳跃。对于c`adl`ag过程Yt和过程Mtof有限变量，Yt相对于toMtis的积分定义为-, Ys）dMs:=ZtYs-dMrs+X0≤s<tYs（Ms）+- Ms），（2.1）其中，积分器Mrt:=Mt-P0≤s<t（Ms）+- Ms）是c`adl`ag，即（2.1）右侧的第一项只是一个标准的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分，另见[22，等式（2.2）]。对于连续被积函数Yt，我们设置ztysdms:=Zt（Ys-, Ys）dMs。（2.2）LBt（分别为LSt）规定了限价购买订单的大小（1- εt）St（分别是在时间t时账面上的限价（1+εt）St的限价卖出指令），即，如果外源市场卖出或买入指令在时间t时到达，买入或卖出的金额。确定x单位在保险柜中的初始位置，以及x=0单位在风险资产中的初始位置。风险资产的数量，用φt表示，随着市场指令的变化，以及在某些计数过程N（1）到N（2）t的跳跃时间执行限价买入或卖出指令时的变化。在N（1）t的跳转时间，另一个市场参与者的卖出指令到达，因此流动性提供者的风险头寸根据账簿中相应的限制指令的数量增加，对于进入的买入指令，类似地，在N（2）t的跳转时间，市场指令在报价的不利一侧执行，而限价指令与其他交易者的指令在更有利的一方匹配。这导致了以下定义。定义2.1。

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2022-5-4 23:24:23

一对（φt，φt）t∈[0，T]指定投资者持有的货币单位和风险资产的数量被称为自我融资投资组合过程，其可以写为T=MBt- MSt+Zt-LBsdN（1）s-Zt-LSsdN（2）s（2.3）和φt=x-Zt（1+εs）SsdMBs+Zt（1- εs）SsdMSs（2.4）-Zt-磅（1- εs）SsdN（1）s+Zt-LSs（1+εs）SsdN（2）对于某些策略s=（MBt，MSt，LBt，LSt）t∈[0，T]，其中关于Mb和Mstar的积分在（2.2）中定义。备注2.2。实际上，流动性提供者并不总是比其他交易者拥有优先权，因此他们的限额指令不会针对所有匹配的市场指令执行。在我们的模型中，有一种假设是合理的，即LBT和LST可以是任意的可预测过程，因为限额订单的提交和删除通常是免费的。通过为N（1）和N（2）t选择较小的到达率来说明这一点。也就是说，这些过程可能只计算实际触发执行的市场订单部分。我们从中提取的部分处决在一定程度上可以通过降低到达率来考虑。事实上，在频繁到达的市场订单的限制机制中，部分执行的效果与完全执行的效果类似，完全执行只有一定的可能性。现在让我们指定模型的原语。我们在一般It^o流程环境下工作；特别是，不需要马尔可夫结构。对于布朗运动wt和波动过程σt，中间价followst=StσtdWt，S>0。假设风险资产的中间价为鞅，可以根据风险资产的趋势，将流动性准备金的影响从纯投资中分离出来；在技术层面上，即使在小息差的限制下，也需要获得多头和空头头寸。

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2022-5-4 23:24:26

这种假设是合理的，因为“造市通常不是定向的，因为它不利于证券价格的上涨或下跌”[14]。此外，正如最优执行文献（例如[4,1,26]）中所述，它也受到考虑中的时间尺度的影响：我们这里不是在处理长期投资，而是主要关注高频流动性提供策略，这些策略通常在交易日结束时进行清算和评估[25]。[8,13]研究了旨在提高短期漂移可预测性的高频策略模型。其他市场参与者的买卖订单到达时间分别由绝对连续跳跃强度α（1）和α（2）t的计数过程N（1）和N（2）两次建模；我们假设N（1）和N（2）ta。s、不要同时跳。与以前的大多数文献相比，我们不局限于具有独立且相同分布的到达时间的泊松过程。相反，我们考虑了总体到达率，从而重新获得了关于未来水平的不确定性，以及经验观察，如交易日订单流量的U形分布。我们感兴趣的是限制小相对半价差εt的结果。因此，我们将其参数化为εt=εEt，用于小参数ε和It^o过程Et。与具有比例交易成本的模型（例如[31,18]）不同，在模型中，假设所有其他模型参数保持不变是很自然的，因为价差趋于零，价差的宽度与异源市场订单的到达率密不可分。事实上，对于流动性更强、价差更小的市场，市场订单自然会更频繁。

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kedemingshi

2022-5-4 23:24:30

因此，我们相应地重新调整到达率：α（1）t=λ（1）tε-θ，α（2）t=λ（2）tε-θ对某些人来说θ∈ (0, 1).这里，θ>0确保了当ε的出价askspread消失时，外生市场订单的到达率爆炸→ 0.然而，限价指令执行速度不够快的风险是在限价制度下解决问题的关键因素。θ<1被假定为确保流动性准备金的收益以ε的形式消失→ 0.更高的到达率需要模型的扩展，例如传入订单的价格影响；详见第5节。在我们的最优策略和相应的效用中，指数θ只出现在渐近展开率中；前导阶项完全由到达率α（1）t，α（2）t决定。过程λ（1）t，λ（2）t，σt和Et满足以下技术假设：即αi是可预测的过程，而不是-RtαISD是i=1，2的局部鞅。假设2.3。λ（1）t、λ（2）t、σt和etar是有界且远离零界的正连续过程。此外，它是一个半鞅。其可预测的有限变差部分及其局部鞅部分的二次变差过程是绝对连续的，且具有丰富的速率。注意，我们考虑了过程λitand等的任何随机依赖性。在市场微观结构文献（例如[9]）中，导出了交易时间作为当前买卖价格函数的合理分布。2.2偏好投资者的偏好由一般的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数U:R描述→ R满足以下温和的正则性条件：假设2.4。（i） U是严格凹的，严格递增的，并且两次连续可微。（ii）相应的绝对风险规避有界且远离零：c<ARA（x）：=-U（x）U（x）<c，十、∈ R、（2.5）对于某些常数c，c>0。备注2.5。

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2022-5-4 23:24:33

由于U（x）=U（0）exp（RxU（y）/U（y）dy），条件（2.5）意味着U（x），|U（x）|≤ C经验(-cx），十、≤ 0和U（x），|U（x）|≤ C经验(-cx），对于某些常数C>0，x>0，（2.6）。满足这些假设的主要例子当然是指数效用U（x）=- 经验(-cx）具有恒定的绝对风险规避c>0。我们的结果也可用于定义在正半线上的公用事业，例如具有恒定相对风险厌恶的电力公用事业。这里，我们关注的是绝对风险规避一致有界的公用事业，因为它们自然会导致对风险资产进行有界的货币投资，符合实践中经常分配的“风险预算”：定义2.6。一系列自我融资的投资组合流程（φ0，ε，εε）ε∈（0,1）如果风险资产中持有的货币头寸εS一致有界，则限额指令中的市场称为可容许市场。这种可采性的概念没有限制性。事实上，事实证明，风险资产中的最优位置甚至一致收敛为零，如ε→ 0（参见定理3.1）。3主要结果本研究的主要结果是一个以ε2（1）为前导的最优交易政策-θ）对于较小的相对半扩散εt=εEt，以及通过应用它可以获得的效用的显式公式。为此，定义货币交易边界βt=2εtα（2）tARA（x）σt，βt=-2εtα（1）tARA（x）σt，并考虑通过市场指令在区间[βt，βt]内保持风险头寸βεt=ηt的策略，同时不断更新相应的限制指令，以便在另一个市场参与者的买卖指令允许卖方或以优惠价格分别购买时，分别交易到βt。

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2022-5-4 23:24:36

形式上，这意味着过程（βεt）t∈[0，T]被定义为Skorokhod随机微分方程dβεT+=βεTσtdWt+（βT）的唯一解- βεt）dN（1）t+（β- βεt）dN（2）t+dψt，βε=0，（3.1），其中ψ是使溶液保持在[βt，βt]中的最小有限变化过程。这对应于策略bt:=ztsdψ+s，MSt:=ztsdψ-s、 LBt:=βt- βεtSt，LSt:=βεt- βtSt。（3.2）比亚迪ψεt+=Stdψ+t给出的相关投资组合过程族-标准ψ-t+βt- βεtStdN（1）t+βt- βεtStdN（2）t，νε=0，d~n0，εt+=-（1+εt）dψ+t+（1）- εt）dψ-t+（1）- εt）（βεt- βt）dN（1）t+（1+εt）（βεt）- βt）dN（2）t，~n0，ε=x，可用于清算财富过程bxεt:=~n0，εt+εεt{~nεt≥0}(1 - εt）St+εt{ηεt<0}（1+εt）St。本文的主要结果如下：定理3.1。假设假设假设2.3和2.4成立。然后，上述策略在主导顺序ε2（1）下是最优的-式中：E[U（bXεT）]=Ux+ε2（1）-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ)),ε → 0，对于相应的清算财富过程（bXε）ε∈（0,1），其中[U（XεT）]≤ Ux+ε2（1）-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ)),ε → 0，对于任何竞争族（Xε）ε∈（0,1）个可容许的清算过程。这里，ω∈ A（1）t分别为ω∈ A（2）t表示投资者在时间t之前的最后一笔交易分别是买入或卖出，即。

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2022-5-4 23:24:40

Ait={ω|（ω，t）∈ 对于可预测集a（1）=n（ω，t）|sup{s，Ai}，i=1，2∈ （0，t）|N（1）s>0}>sup{s∈ （0，t）|N（2）s>0}o，A（2）=N（ω，t）|sup{s∈ （0，t）|N（2）s>0}≥ sup{s∈ （0，t）|N（1）s>0}o.（3.3）（按照惯例，在（N（1），N（2））的第一次跳跃之前，所有时间点都属于A（2））。如果模型参数λit、σt、εtar均为常数，则上述公式将toE[U（bXεt）]=Ux+2λ（1）λ（2）ARA（x）σtε2（1-θ)!+ o（ε2（1）-θ)), ε → 也就是说，βt≤ βεt≤ β和ψ是一个连续的有限变化过程，使得Rt{βεs=βs}dψ不减，Rt{βεs=βs}dψs=0不增，Rt{βs<βεs<βs}dψs=0。解决方案的存在性和唯一性由S lomi’nski和Wojciechowski[29]中的定理3.3保证，该定理应用于跳跃时间之间（3.1）的演化，没有关于N（1）和N（2）t的积分。对于我们在这里考虑的特殊反射SDE，在（4.1）中显式构造了解决方案。4证明本节包含我们主要结果定理3.1的证明。我们的工作如下：首先，当相对半价差εt=εt趋于零并跳到交易边界βt，βt时，我们的政策βεt变得越来越频繁，几乎所有的时间最终都花在βt，βt附近。受这个结果的激励，我们构建了一个无摩擦的“影子市场”，它至少与最初的限价指令市场一样有利，对于这种情况，在β和β之间波动的政策在小息差的领先顺序上是最优的。

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2022-5-4 23:24:43

在第三步中，我们证明了应用我们的原始策略βεt获得的效用与在小利差的领先订单下更有利的无摩擦影子市场中的近似优化器的效用相匹配，因此我们的候选βεt在领先订单下确实是最优的。4.1在上述近似结果中，我们首先表明我们的政策βεt几乎一直在边界βt附近花费，βt相对半价差εt=εt崩溃为零，其他市场参与者的订单变得越来越频繁：引理4.1。关于随机区间]]inf{t>0|N（1）t>0或N（2）t>0}，t]]，进程βεt- βtA（1）t- βtA（2）tεθ-1ε的概率一致收敛到0→ 0.证明。可以显式构造Skorokhod SDE（3.1）的解。设（τεi）i∈N（1）t的跃迁时间，即βε到上边界βt的跃迁时间（为了便于记法，我们可以将模型扩展到t之外）从τεiup到（N（1）t，N（2）t的下一跳时，解由βεt=expZtτεiσudWu给出-Ztτεiσudu- sup（ZsτεiσudWu）-Zsτεiσudu- 自然对数βs| s∈ [τεi，t]）！（4.1）（类似于在N（2）t的跳跃时间之后），以及ψt=ψτεi+βεt- βτεi-RtτεiβεuσudWu。事实上，（4.1）中的βε满足了βεt=βεtσtdWt- βεtdsupnRsτεiσudWu-Rsτεiσudu- 自然对数βs| s∈ [τεi，t]o, 后一个积分器是非减量的，在集合{βε<β}上甚至是常数，因为如果ln（βεt）<ln（βt），则在t上不能达到上确界。定义流程t:=ZtσudWu-Ztσudu- ln2Etλ（2）塔拉（x）σt！，T≥ 0.yt不依赖于标度参数ε，并且根据假设2.3，它具有几乎确定的连续路径，这意味着supt，t∈[0，T]，|T-t|≤h | Yt- Yt|→ 0，a.s.，h→ 0

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2022-5-4 23:24:47

（4.2）由（4.1）可知，βεtβt=expYt- 小吃∈[τεi，t]Ys！（4.3）对于τεi和（N（1）t，N（2）t）和expyt的下一个跳跃时间之间的所有t- 小吃∈[τεi，t]Ys！≥ 经验- 监督∈[0，T]，|T-t|≤h | Yt- Yt |！对于h>0，t∈ （τεi，（τεi+h）∧ [T]。（4.4）现在，fix任意eε>0。根据（4.2），pexp中存在seh>0- 监督∈[0，T]，|T-t|≤呃| Yt- Yt|！<1.- eε！≤eε。（4.5）注意，在执行限价销售订单后，βεt跳到βt<0，然后无法进入区域[0，（1）- eε）βt）在下一次限价采购订单执行之前。因此，我们可以使用（4.3）并估计远离上交易边界βtas的偏移量，如下所示：T∈ （τε，T]s.T.βεTβT∈ [0, 1 - eε）≤ PM1，ε∪b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M2，ε，i∪b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M3，ε，i, （4.6）式中m1，ε：={ω∈ Ohm | N（1）T（ω）>b2Tλ（1）maxε-θc}，M2，ε，i:={ω∈ Ohm | τεi+1（ω）- τεi（ω）>eh}，M3，ε，i:=（ω）∈ Ohm | exp（Yt（ω）- 小吃∈[τεi（ω），t]Ys（ω））<1- eε对于某些t∈ （τεi（ω），（τεi（ω）+eh）∧ T]），其中λ（1）maxε-θ作为计数过程N（1）t跳跃强度的上界。在平面英语中，要么有许多跳跃到上边界βt，要么有一个远离βt的长时间偏移，和/或有一个短偏移，尽管如此，它使危险位置βεt离边界βt足够远，我们表明，这些事件的概率小于ε足够小的情况下的eε。观察到在（N（1）t，N（2）t）的第一次跳跃后，我们有0<βεt≤ β吨A（1）和β吨t≤ A（2）t上的βεt<0。当βt=2Etλ（2）tσtε1-θ和过程2etλ（2）tσt有界，（4.6）的估计反过来产生|βεt- βt |εθ-1A（1）t→ 概率一致为0。通过对βεt A（2）应用相同的参数，我们可以得到断言。现在让我们推导出（4.6）所需的估计值。首先，回想一下时间改变了的过程→ N（1）ΓuwithΓu:=inf{v≥ 0 | Rvλ（1）sε-θds=u}是一个标准的泊松过程（参见[5，定理16]）和Γλ（1）maxε-θT≥ T

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2022-5-4 23:24:50

结果：P（M1，ε）≤ P（N（1）Γλ（1）maxε-θT>b2Tλ（1）maxε-θc）≤eε，对于足够小的ε，根据大数定律（4.7）。其次，因为N（1）的跃迁强度从下方以λ（1）minε为界-θ>0，我们得到τεi+1- τεi>xλ（1）minε-θ!≤ 经验(-x），x∈ R+，i∈ N.选择x=λ（1）minε-θ呃，这个估计产量τεi+1- τεi>eh对于某些i=1，b2Tλ（1）最大ε-θc≤ b2Tλ（1）最大ε-θc exp-λ（1）minε-θeh.这反过来又给了SPb2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M2，ε，i≤eε，ε足够小。（4.8）最后，在（4.4）和（4.5）之前，我们得到了b2Tλ（1）最大ε-θc[i=1M3，ε，i≤ Pexp- 监督∈[0，T]，|T-t|≤呃| Yt- Yt|！<1.- eε！≤eε（4.9）表示ε足够小。将（4.7），（4.8）和（4.9）拼凑在一起，可以得出（4.6）中的概率确实以足够小的ε为界。这就完成了证明。4.2辅助无摩擦影子市场与具有比例交易成本的市场[19]和限价订单市场[22]类似，我们通过用合适的“影子价格”eSt替换中间价格ST，将原始优化问题简化为无摩擦版本。后者可能对交易更有利，但也会带来同等的最优策略和效用。与[22]的关键区别在于，我们关注的是小价差的渐近结果。因此，有必要确定“近似”影子价格：这些价格至少是同样有利的，而且存在着在两个市场中以相同价格交易所有利差的策略，但在无摩擦市场中只有“几乎”最优的小利差策略。这显著简化了结构，从而允许处理此处考虑的一般框架。事实上，引理4.1中建立的近似结果表明，它有助于寻找无摩擦影子市场，其中最优策略在上下两个基准βt，βt之间振荡计数过程N（1）t，N（2）t的跳跃时间。

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kedemingshi

2022-5-4 23:24:54

为此，我们可以简单地让影子价格在执行limitbuy order sell订单时跳到bid order ask price，然后让影子价格随着bid order ask price的变化而变化，直到下一次跳。为精确起见，leteS=（1+ε）砂密度测试-= σtdWt+1A（1）t1+εt1- εt- 1.dN（2）t-1.- εtdεt-σt1- εtdhW，εit+1A（2）t1.- εt1+εt- 1.dN（1）t+1+εtdεt+σt1+εtdhW，εit（4.10）=:deRt，其中（3.3）中的A（1）和A（2），其中-1.-εtdεt-σt1-εtdhW，εitand1+εtdεt+σt1+εtdhW，εitensure thateSt=（1）- εt）Ston A（1）t+：=lim supn→∞A（1）t+1/nandeSt=（1+εt）Ston A（2）t+：=lim supn→∞A（2）t+1/neven表示时变εt。（通过将分部积分公式应用于过程1，可以很容易地导出修正项。） εtand St.）然后：（1- εt）St≤美国东部时间≤ （1+εt）St，eSt=（1）- εt）StonN（1）t>0，eSt=（1+εt）StonN（2）t>0。（4.11）也就是说，无摩擦的价格过程涉及买卖价差，因此总是导致至少对市场订单有利的交易价格。当由于限价指令的执行而获得更有利的交易价格时，EST会跳起来与之匹配。因此，交易至少与原始限价订单市场一样有利。现在的关键步骤是确定最佳的森林政策。在相应的无摩擦市场中，投资组合可以直接根据货币头寸eηt=ηteSt进行等价参数化-持有在风险资产中，相关的财富过程EXEηt=x+ZteηSDER。我们有以下二分法：引理4.2。设（eηεt）ε∈（0,1）是具有相关财富过程Sexeηε的一致有界保单族。然后，对于每个δ>0，存在一个εδ>0，这样：eXeηεt∈ （十）- δ、 x+δ），T∈ [0，T]≥ 1.- δ或EhUeXeηεTi<U（x），ε ≤ εδ. （4.12）证据。第一步：让δ>0。

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2022-5-4 23:24:58

U impliesU（eXeηεT）的严格凹性≤ U（x）+U（x）（eXeηε）- 十）+U（x+δ）- U（x）- U（x）δ{eXeηεT≥x+δ}+U（x）- δ) - U（x）+U（x）δ{eXeηεT≤十、-δ} （4.13）和0>最大值U（x+δ）- U（x）- U（x）δ，U（x）- δ) - U（x）+U（x）δ=: f（δ）。根据假设2.3，存在K∈ R+使EeXeηε≤ x+Kε1-θ对于所有ε∈ (0, 1).与（4.13）一起，这个yieldsEhU（eXeηεT）i≤ U（x）+U（x）Kε1-θ+PeXeηεT6∈ （十）- δ、 x+δ）f（δ）。因此，预期效用要么低于U（x）orPeXeηεT6∈ （十）- δ、 x+δ）≤U（x）Kε1-θ-f（δ）。（4.14）由于（4.14）的右侧趋于零，因此ε→ 0，这已经证明了在终端时间t=t时的断言。在剩下的三个步骤中，我们将展示如何将断言扩展到allintermediate times t∈ [0，T]以统一的方式。步骤2：我们首先考虑过程x+RteηεsσsdWs，ε∈ (0, 1). 它们是真鞅和supε∈（0,1）E“中兴ηεsσsdWs#< ∞.因此，族（|RTeηεsσsdWs | p）ε∈（0,1）对任何p都是一致可积的∈ (1, 2). 因此，对于每ξ>0，就存在一个δ>0这样的p中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ ==> E中兴ηεsσsdWsP≤ ξ（4.15）每ε∈ (0, 1). 根据Doob的最大不等式Esupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWsP≤聚丙烯- 1.体育课中兴ηεsσsdWsP（4.16）从（4.15）和（4.16）中，我们得出结论：ξ > 0 δ > 0 ε ∈ （0,1）P中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ==> Psupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWs≥ ξ!≤ ξ.第3步：让我们证明过程sexeηεt- 十、-RteηεsσsdWstend在ε的概率中一致为零→ 0（参见第（4.10）节，了解ErtanderσsdWs的差异）。由（4.7）可知，εt线性地趋于零，eηεt的一致有界性，exηεt的dNit-项和dt-项在ε的总变差距离中均为零→ 0.关于tohW，εIt的积分和关于εt漂移部分的积分也是如此。

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2022-5-4 23:25:01

为了证明积分关于εt的连续鞅部分的收敛性“一致不概率”，我们再次使用步骤2的论证。第4步：现在，我们结合前面三步的断言来完成引理的证明。设ξ>0。第二步，存在一个δ∈ 所有ε的（0，ξ）s.t∈ （0,1）含义p中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ δ ==> Psupt∈[0，T]中兴ηεsσsdWs≥ ξ/2!≤ ξ/2（4.17）成立。到第3步，存在eε>0 s.t.Psupt∈[0，T]eXeηεs- 十、-中兴ηεsσsdWs≥ δ/2!≤ δ/2, ε ∈ （0，eε）。（4.18）此外，根据三角形不等式，一个搭扣中兴ηεsσsdWs≥ δ≤ P（| eXeηεT）- x|≥ δ/2）+PeXeηεT- 十、-中兴ηεsσsdWs≥ δ/2. （4.19）在步骤1中，所有ε都存在bε>0 s.t∈ （0，bε）P（|eXeηεT）- x|≥ δ/2) ≤ δ/2或EhUeXeηεTi<U（x）。现在，让ε∈ （0，eε）∧ bε）。任何一个都有EhUeXeηεTi<U（x）或者，通过（4.19），（4.18），我们可以应用（4.17）来得出以下结论：监督∈[0，T]RteηεsσsdWs≥ ξ/2≤ ξ/2. 加上（4.18），δ≤ ξ、再次是三角形不等式，一个到达PSUPT∈[0，T]εsηeXe- 十、≥ ξ!≤ ξ.备注4.3。引理4.2断言，对于小ε，政策的财富过程要么非常接近初始位置，要么政策“非常糟糕”，因为相应的预期效用小于通过根本不交易风险资产获得的收益。从任意一致有界策略族（eηε）ε出发∈（0,1），对于e[U（eXeηεT）]<U（x）的所有ε，我们可以用0代替eηε。然后，修正后的财富过程族与原始财富过程族表现得最少，引理4.2表明修正后的财富过程族在ε的概率上一致收敛→ 0

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2022-5-4 23:25:04

因此，我们假设（eXeηε）ε已经具有这个性质∈（0,1）不丧失一般性。现在让我们计算通过应用这样一系列策略（eηε）ε获得的预期效用∈(0,1).根据假设2.3，关于εtand hW，εitin（4.10）的积分主要用于ε→ 实际上，连续鞅部分由σtdwt控制，漂移项由积分相对于计数过程Nit的漂移控制，其顺序为2ε1-θEtλit。因此，在续集中可以安全地忽略这些术语。[17，定理I.4.57]和[17，定理II.1.8]中的It^o公式得出：U（eXeηεT）=U（x）+ZTU（eXeηεT-)eηεtσtdWt+ZTU（eXeηεt-)（eηεt）σtdt（4.20）+U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)* （ueR）- νeR）T+U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)* νeRT，其中ueri是er的跳跃度量（参见[17，命题II.1.16]），而在[17，定理II.1.8]的意义上，是νeRis补偿器。布朗运动的积分与补偿随机测度- 是真鞅。要了解这一点，首先考虑布朗积分。通过（2.6）我们得到了（eXeηεt）-) ≤ C经验(-ceXeηεt-)1{eXeηεt-<0}+U（0）1{eXeηεt-≥0}具有常数C，C>0。因此，由于eηεtσt的有界性，必须证明ZTexp(-2ceXeηεt）dt< ∞. （4.21）根据Doleans-Dade指数公式[17，定理I.4.61]和[17，定理II.1.8]，我们有(-2ceXeηεt）=exp(-2cx）E-2cZ·eηεsσdWs+（exp(-2ceηεx）- 1) *ueR- νeRt（4.22）×expZt（2c（eηεs）σs）ds+（exp(-2ceηεx）- 1) * νeRt.尽管如此，t∈ [0，T]，上述表示中的普通指数由一个常数一致有界。

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2022-5-4 23:25:07

这是因为σtas和（eηεt）都是一致有界的，而且强度ε-λ（1）t，ε-θλ（2）皮重对于任何ε>0有界，对于跳跃部分（对于非常小的ε）也是如此：（exp(-2ceηεx）- 1) * νeRt=Zt（exp(-2ceηεs2εs/（1）- εs）- 1） 1A（1）sε-λ（2）sds+Zt（exp（2ceηεs2εs/（1+εs））- 1） 1A（2）sε-λ（1）十二烷基硫酸钠。（4.21）现在紧随其后，因为（4.22）中的随机指数不仅是一个局部鞅，而且是一个具有递减期望的超鞅，因为它对于足够小的ε是正的。关于补偿随机测度ueR积分的论证- νeRin（4.20）与此类似。通过中值定理（2.6）和[17，定理II.1.33]可以证明(-2ceXeηε）* νeRTi<∞.但这跟上面的布朗积分一字不差，同样使用了，当相应的跳跃强度都是一致有界的时候，膨胀的跳跃。总之，（4.20）因此[U（eXeηεT）]- U（x）=EZTU（eXeηεt）-)（eηεt）σtdt+（U（eXeηε）-+ eηεx）- U（eXeηε）-)) * νeRT≤ 中兴通讯U（eXeηεt）-)（eηεt）σt+U（eXeηεt）-)eηεt2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（eXeηεt-)（eηεt）σt- U（eXeηεt）-)eηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#，（4.23）对于不等式，我们使用了U的凹性，并插入了ert的定义。由（2.6），（4.21）也表明（4.23）中的随机变量是可积的。此外，对于任何统一边界策略族eηεt，ZTU（eXeηεt）dt和ZTU（eXeηεt）dt对ε是一致可积的∈ （0，ε），（4.24），其中ε>0是一个非常小的常数。事实上，根据（4.21）的证明，其中的界在ε中一致成立∈ (0, ε). 然后，利用詹森不等式，我们观察到RTU（eXeηεt）dt,RTU（eXeηεt）dt期望值一致有界，这反过来会产生固定财富的（4.24）EXEηεt-, （4.23）上界中的被积函数是策略eηεt中的二次函数。

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2022-5-4 23:25:10

插入逐点最大值2ε1-θEtλ（2）tARA（eXeηεt）-)σt（1）-εEt）A（1）t-2ε1-θEtλ（1）tARA（eXeηεt）-)σt（1+εEt）A（2）t，如果明确考虑关于εtand hW，εi的积分，这些只会导致额外的高阶项，对于小ε，它可以由常数乘以εeηεt限定。它的阶数为O（ε1）-θ）（在ω，t中均匀地）乘以（2.5），因此产生以下上界：E[U（eXeηεt）]- U（x）≤中兴通讯“-U（eXeηεt）U（eXeηεt）2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（eXeηεt）U（eXeηεt）2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）t#dt+o（ε2（1-θ)).这里，我们使用了2εt/（1） εt）=2εt+O（ε），通过（4.24），余数一致地限定在期望值内。对于反馈策略ηε族，*t=2ε1-θEtλ（2）tARA（eXeηε，*T-)σtA（1）t-2ε1-θEtλ（1）tARA（eXeηε，*T-)σtA（2）t（4.25）一致收敛为零的ε→ 0，这个不等式变成了一个前导阶为ε2（1）的等式-θ），即：E[U（eXeηε，*T） ]- U（x）（4.26）=E“ZTU（eXeηε，*T-)（eηε，*t） σt+U（eXeηε，*T-)eηε，*t2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（eXeηε，*T-)（eηε，*t） σt- U（eXeηε，*T-)eηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#+o（ε2（1-θ））=中兴”-U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*t） 2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*t） 2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）t#dt+o（ε2（1-θ)).这里，第一个等式源自中值定理，因为微分余数由C |U（eXeηε，*T-+ ξ) - U（eXeηε，*T-)|ε2(1-η）对于某些常数C>0，不依赖于εaseηε，*/ε1-θ有界于ε→ 0乘以（2.5），以及一些有界随机变量ξ，其ε趋于0→ （4.24）表示该项是一致可积的，因此剩余项的阶数确实为o（ε2（1）-η)).结果：E[U（eXeηεT）]- E[U（eXeηε，*T） ]≤ ε2(1-θ）MZTE“U（eXeηε，*t） U（eXeηε，*（t）-U（eXeηεt）U（eXeηεt）#dt+o（ε2（1-（4.27），其中常数M是2Et（λ（2）t）/σ和2Et（λ（1）t）/σt的统一界→ x、我们还有U（eXeηε）/U（eXeηε）→ U（x）/U（x）在概率ε中一致→ 0

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2022-5-4 23:25:13

如上所述，在（4.24）中，我们有一致可积性，因此这种收敛实际上保持在L中。因此，（4.27）和勒贝格积分的支配收敛定理yieldE[U（eXeηεT）]≤ E[U（eXeηε，*T） ]+o（ε2（1）-θ），即族（eηε，*t） ε>0在前序ε2（1）处近似最优-θ).如果明确考虑关于ε和hW，εi的积分，这不会改变逐点优化器和前导阶的相应上界。与（4.26）一起，同样的论证也得出相应的前导阶最优效用由[U（eXeηε，*T） ]=U（x）-U（x）2U（x）EZT（eηε，*t）杜瑞特+ o（ε2（1）-θ））=Ux+ε2（1-θARA（x）E“ZT2Et（λ（2）t）σtA（1）t+2Et（λ（1）t）σtA（2）t！dt#！+o（ε2（1-θ），其中第二个等式来自泰勒定理和eηε的定义，*t、如果所有模型参数λit，σt，εtare都是常数，则可以显式地计算公式中的积分。实际上，由于P[A（1）t]=1- P[A（2）t]=λ（1）/（λ（1）+λ（2）），然后得出e[U（eXeηε），*T） ]=Ux+2λ（1）λ（2）ARA（x）σε2（1）-θT！+o（ε2（1）-4.3主要结果的证明我们现在完成主要结果的证明。为此，我们使用第3节中的策略βεt建议一致地接近于几乎最优的策略eηε，*用Lemma 4.1给出的价格过程来预测影子市场。由于无摩擦影子市场中的交易至少与原始限价指令市场中的交易一样有利，且政策βεt在两个市场中以相同的价格进行交易，这反过来又产生了βεt的前序最优性。定理3.1的证明。设ηεt:=βεt(1 - εt）1{βεt>0}+（1+εt）1{βεt<0},式中，βε是（3.1）的解，其阶数为O（ε1）-θ）在ω，t中一致。

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2022-5-4 23:25:18

请注意，ηε是保单βεt的最高头寸，如果风险资产的估值是影子价格而不是中间价格。步骤1：我们想将ηε的最高财富与近似优化器ηε的财富进行比较，*锡市场定义见（4.25）。通过（4.24），在（4.23）的展开式中，可以分别用U（x）和U（x）替换U（eXeηεt）和U（eXeηεt），从而得到o（ε2（1）阶的余数-θ）），对于任何性质为eηεt/ε1的保单族eηε2-θ是一致有界的。适用于ηε和eηε，*t、这个屈服强度[U（eXηεt）]- E[U（eXeηε，*T） ]=E“ZTU（x）（ηεt）σt+U（x）ηεt2εt1- εtε-λ（2）tA（1）t+U（x）（ηεt）σt- U（x）ηεt2εt1+εtε-λ（1）tA（2）t！dt#-中兴通讯-U（x）U（x）2ε2（1）-θ）Et（λ（2）t）σt！A（1）t+-U（x）U（x）2ε2（1）-θ）Et（λ（1）t）σt！A（2）tdt#+o（ε2（1）-θ））=E“ZTU（x）σt（ηεt）- β1A（1）t- β1A（2）t）+（eηε，*T- β1A（1）t- β1A（2）t）dt#（4.29）+o（ε2（1）-θ)).引理4.1和ηεt- βεt=O（ε2-我们有（ηεt）- βtA（1）t- βtA（2）t）/ε1-θ→ 在（N（1）t，N（2）t）的第一次跳跃后，概率一致为0。eηε也是如此，*t、由于（N（1）t，N（2）t）的第一跳变时间的期望值为O（εθ）（4.29）的最后一行中的被积函数均为O（ε2（1）阶）-这给出了“ZTU（x）σt”（ηεt）- β1A（1）t- β1A（2）t）+（eηε，*T- β1A（1）t- β1A（2）t）dt#=o（ε2（1）-θ））+O（ε2-θ=o（ε2（1）-θ)).第二步：设（ψ0，ε，ψε）ε∈（0,1）是（ψ0，ε，ψε）=（x，0）的有限序市场中任意可容许的投资组合过程族。通过（4.11）和[22，命题1]证明中的步骤1，我们得到了ψ0，εt+ψεt{ψεt≥0}(1 - εt）St+ψεt{ψεt<0}（1+εt）St≤ x+ZtψεsdeSs。（4.30）由于eS/S的有界性，定义2.6意义上的可容许性意味着族（ψεeS）ε∈（0,1）一致有界。因此，我们可以应用（4.28），即家庭由反馈政策eηε主导，*.现在采取策略（3.2）。

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2022-5-4 23:25:21

对于相应的投资组合过程（φ0，εt，φεt）t∈[0，T]我们有ηεT=νε测试-并且——通过构造策略andeSt——（4.30）保持相等（ψ0，εt，ψεt）=（а0，εt，аεt）。再加上（4.29）和eηε的近似最优性，*在最激烈的市场中，这是一种说法。5外生订单的价格影响在我们的模型中，买入和卖出价格仍然不受新订单执行的影响。对于流动性提供者来说，这是最乐观的情况，因为按库存风险计算，这使他们能够在交替买卖交易之间获得全部利差。对于那些订单中没有任何信息的小噪音交易者来说，忽略价格影响是合理的。然而，对于战略和可能知情的交易对手来说，这是值得怀疑的。对于这些，预计价格在购买后会上升，在销售后会下降（比较，例如[11,23]）。类似地，其他市场参与者的较大订单也会耗尽订单，从而使市场价格朝着相同的方向移动[26]。我们的基本模型可以进行扩展，以简化的形式将传入订单的价格影响纳入其中。事实上，假设中间价格遵循DST-= σtdWt- κεtdN（1）t+κεtdN（2）t，（5.1）对于某些价格影响参数κ∈ [0,1]。使用信息：-, 我们的小投资者被允许以投标价格（1-εt）St-并以要价（1+εt）St限制销售订单-然而，在St跳跃之前，当外生卖方订单到达跳跃时间N（1）t时，买入和卖出价格会下降，而在外生买方订单到达跳跃时间后，买入和卖出价格会上升。这与最优执行文献中的Almgren-Chriss模型[1]在精神上类似，因为我们也不试图指定整个订单簿的动态，而是直接模拟处决造成的价格变动。N（2）t的次数。

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2022-5-4 23:25:25

（请注意，无论我们的小投资者选择提供多少流动性，这种情况都会发生。）从形式上讲，这意味着自融资条件（2.4）被φt=x取代-Zt（（1+εs）Ss-, （1+εs）Ss）dMBs+Zt（（1）- εs）Ss-, (1 - εs）Ss）dMSs-Zt-磅（1- εs）Ss-dN（1）s+Zt-LSs（1+εs）Ss-dN（2）s.参数κ表示半扩展εtSt的分数-价格受其影响。κ=0对应于上述没有价格影响的模型。相反，κ≈ 根据Madhavan等人[23]的精神，1导致了amodel，在这里，流动性提供者不赚取差价，只为他们的服务获得一小部分外生补偿。在该模型中，流动性提供者不会将价格影响内部化，因此会继续以最佳买入价和卖出价进行流动性后处理。这个假设是为了便于处理。事实上，对所考虑的限价进行这种限制的动机并不像连续买卖价格的基本模型那样令人信服。或者，如[6]中所述，可以考虑模型，其中流动性提供者的订单规模是固定的，但可以在订单簿中更深入地发布，以量化不利的价格影响。以一种易于处理的方式整合有关订单规模和位置的战略决策是未来研究的一个具有挑战性的方向。在我们模型的上述扩展中，最优策略类似于基线版本中的策略，没有价格影响。当执行限价指令时，仍有人交易到某些头寸限额βt，βt。然而，由于价格影响的负面影响降低了提供流动性的动机，因此βt、β皮重相应降低。如果执行将出价和要价移动当前一半价差εtSt的一小部分κ-, 那么βt=2εt（（1-κ） α（2）t-κα（1）t）ARA（x）σt，βt=-2εt（（1-κ） α（1）t-κα（2）t）ARA（x）σt，（5.2）假设-κ） α（2）t-κα（1）和（1）-κ） α（1）t-κα（2）皮重阳性。

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