随机流动性下的最优清算

2022-5-11 02:10:08

在大多数关于价格影响模型的文献中，跨期影响通常是（单个）大型交易者策略的确定函数。实际上，我们更希望市场流动性的某些方面（Kyl85具有出色的弹性、深度和紧密性）随着时间的推移随机变化，而成熟的交易者会相应地调整其最佳策略。即使对于被广泛研究的最优清算问题，在连续时间模型中，最优清算策略适应流动性随机变化的容器也相对较少，参见[Alm12、LS13、FSU17、GHS16、GH16]。我们考虑一个模型，其中暂时的市场失衡涉及自身的随机性。价格影响是短暂的，也就是说，它可能是持续的，但最终会随着时间的推移而消失。此外，它是非线性的，对应于limitorder book密度的一般形状（见备注2.3），并且是乘法的，以确保风险资产价格为正。更准确地说，我们的价格过程是≥0=（f（Yt）St）t≥0在市场中观察到的价格偏离基本价格的因子F（Yt），在大交易者缺席的情况下，基本价格将占主导地位。影响函数为正且不断增加，因此乘数结构确保价格保持正，与加法模型相比，加法模型的一个概念缺陷是负资产价格可能以（小）正概率出现。我们的随机影响过程是受控的OrnsteinUhlenbeck（OU）类型，即它由布朗运动和大交易者在风险资产中的支撑所驱动（见下面的等式（2.3））。YMODEL的平均回复是影响的暂时性。与[AFS10，PSS11]类似，与限额订单簿（LOB）形状相关的影响函数F可以理解为描述LOB中（时间）不平衡的量效应过程，见备注2.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:11

额外的噪音会产生随机LOB，或者可以被视为其他非战略性大型交易商的累积影响，见备注2.4。对于具有瞬时影响的乘法模型，我们将基本价格视为指数布朗运动，并允许与库存量效应过程的非零相关性。在这个设置中，我们将有限时间范围内的最优清算问题作为一个有限燃料类型的奇异随机控制问题进行研究，并构造其显式解。我们的主要结果，即定理3.1，给出了最优策略，即在无曲线边界inR处倾斜反射的扩散的局部时间过程，状态空间是影响水平和对therisky资产的持有量。我们的最优策略的随机性源于它对价格动态的瞬态成分的适应性，并且是局部时间型的。与风险中性交易者不相关的是，此处的“Sis”波动性相关，参见备注3.3。我们通过从更常见的方法（见备注6.4）显式构造值函数来解决奇异控制问题，因为我们无法更直接地验证最优性，这是由于（见备注6.8）所引起的技术复杂性。相比之下，我们首先将优化策略集限制为设置可能的边界。为了能够应用变分法中的方法，弹性边界上反射的（4.6）次差异，即随着反射过程在边界上花费的局部时间而变化的边界，并采用坐标变化。通过求解变分法问题，我们构造了candidateTheorem 5.6。后者对于我们验证最优性至关重要。论文的结构如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:15

第3节陈述了第2节中提出的奇异随机控制问题的解决方案，并概述了接下来的一般讨论过程。在第4节中，提出了一个变分法问题，因此在第5节中构造了byboundary。通过求解HJB变分不等式（3.3），我们证明了最优性，并推导了6.2中的值函数和最优控制问题。我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）与两个相关布朗运动W和B相关系数ρ∈ [-[W，B]t=ρt，t≥ 0.0表示Wandb的二次共变。过滤（Ft）t≥假设0满足完备性和右连续性的一般条件，所以我们可以取半鞅的c`adl`ag版本。关于随机分析的概念，我们参考[JS03]。其（折扣）价格不变为1。大投资者持有Θt≥在timet拥有0股therisky资产。她可能会清算她最初的9200头寸-按Θt:=Θ0交易的股份-- 目前，Aof资产出售至时间t。我们定义了一套可接受的策略asA（9200）-):= {A:A非递减，c`adl`ag，可预测，0=：A0-≤ 在≤ Θ0-}.未受影响的基本价格S=（\'St）t≥风险资产的0%根据tod“St=u”Stdt+σ”StdWt演变∈ (0, ∞), σ>0，u∈ R、（2.1）作为一个几何布朗运动，在没有大投资者的干扰下。然而，通过交易，大投资者通过某种影响过程对风险资产的实际价格St:=f（Yt）St，（2.2）产生市场影响，通过增加正平滑函数f>0，f（0）=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:18

该过程可被解释为一个交易量影响过程，代表限额订单（LOB）中大额交易的瞬时交易量位移，其形状对应于价格影响函数F，见备注2.3。对于^σ>0，扰动^σdBt的影响- 进程上的数据DYT=-βYtdt+^σdBt- dAt，Y0-= y、（2.3）Yrateβ>0。（2.3）强解的存在性和唯一性由[PTW07，Thm.4.1]等保证。有时我们会写，强调它们是σB-AOU流程的财务解释是，在大交易者没有活动的情况下，影响会减少，因为它会回到中性状态零，从而“减少影响”（以绝对值计算）。γ ≥γtALt（y；A）：=Zte-γuf（Yu）~SudAcu+X0≤U≤TAu6=0e-γuèSuZAuf（Yu）-- x） dx，（2.4）福特≥0，其中t=Act+Pu≤TAu是将A分解为其yyy的（路径）分解，A（2.3）（2.4）[BBF17b，第5.3节]以获取详细信息。尤其是伊凡→ A位于斯科罗霍德马纳，则上述定义确保L（y；An）→ L（y；A）以最小概率表示。陆上通信线∞:极限→∞L目标是在有限的时间范围内最大化预期（贴现）收益，maxA∈A（Θ0）-)E[L∞（y；A）]带v（y，θ）：=supA∈A（θ）E[L∞（y；A）]，（2.5），其中v（y，θ）表示y的值函数∈ R和θ∈ [0, ∞).备注2.1。该值函数随y和θ的增大而增大。实际上，θ中的单调性来自a（θ） A（θ）表示θ≤ θ. 对于单调性iny，请注意fory≤ 扬丹战略∈ A（θ）1 hasYy，At≤ Yy，Atfor allt，暗示（y；A）≤ Lt（y；A）。对于本文的其余部分，函数f和标量β，u，γ，σ，ρ，^σ满足假设2.2。C1。我们有δ：=γ- u>0，这意味着漂移系数-δs表示γ折扣基础价格e-γt’STI为阴性。C2。冲击函数f∈ C（R）满足f，f>0和（f/f）<（Φ/Φ），其中Φ（x）：=Φδ（x）：=H-δ/β(σρ^σ - βx）/pβ^σ, （2.6）具有Hermite函数hν（参见[Leb72，第10.2节]）和σ、^σ、β>0和ρ∈[-,1].C3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-11 02:10:22

冲击函数f进一步满足（f/f）<（Φ/Φ）。补体第四成份。函数λ（y）：=f（y）/f（y），y∈ R、是有界的，即存在λmax∈(0, ∞)使得0<λ（y）≤ λmaxy∈ R.C5。函数k（y）：=σf（y）f（y）- (β + δ) + (σρ^σ - βy）f（y）f（y）是严格递减的。C6。安迪来了∞∈ 例如（f/f）（y）=（Φ/Φ）（y）和（f/f）（y）∞) = （Φ/Φ）（y）∞)持有。假设2.2通过例如f（y）=exp（λy）和λ满足∈(0, ∞), 参见下面的引理5.1。有关乘法LOB的形状，请参见[BBF17a，第2.1节]。注意Φ是（直到一个常数因子）唯一的正且递增的theODE^σΦ（y）+（σρσ）解- βy）Φ（y）- ΔΦ（y）=0。假设C1中的总体负漂移确保了有限时间范围内的优化问题具有有限值。假设C2和C3意味着（边界）点Y的唯一性∞引理5.3中所需的假设C6。而C3是y的唯一性∞, 这并不重要，需要在（6.14）中进行验证。假设C4中λ的界被用来表示引理6.5中的值函数的一些增长条件，这是应用鞅最优性原理（命题6.1）所必需的。验证引理6.7需要假设C5。现在让我们来评论一下该模型及其财务解释。备注2.3。我们解释了如何从（静态）乘法限额订单簿（LOB）的角度来解释价格影响函数F，并将其视为[PSS11]精神中的avolume effect过程，在我们的上下文中，它将相对价格影响与暂时的交易量不平衡联系起来。为此，让我们回顾一下价格影响函数和LOB（一般）密度之间的联系，更多细节和示例请参见[BBF17a，第2.1节]。对于相对价格扰动Srt:=St/\'St，letq（r）dr表示在pricer\'St可获得的产品密度。我们将由qt产生的（签名）测量称为乘法极限订单簿。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:25

其累积分布函数为q（r）：=Rrq（x）dx。在某些（区间）内以价格出售的资产总量{r}St:r∈ R} R, ∞RRqxxAt>0 At time从RT处移动价格-“stcort”使音量发生变化--吃了-γt’StRrt-RTXQKYL85QRT- Qrt-按rt/rt系数变化-. 变量的变化，y:=Q（rt）和f:=Q-1产生（2.4）中的跳跃项。从这个意义上讲，YDE注意到过去和现在的交易对LOB交易量的影响。通过（2.3）中的漂移，[Kyl85]称之为弹性的这种效应属性。注意，在我们的模型中，弹性是随机的（2.3），β是恒定的（不同的是，例如到[GH16]）。备注2.4。随机性可以解释暂时性影响的变化，这些变化不能完全由单个代理自身的交易活动来解释，因此不能用确定性功能建模来单独描述。（a）大多数关于暂时性影响的文献都认为影响是单个大型交易者行为的决定函数。这里我们考虑[Fre98]中提到的一个应用问题。额外的随机噪声项^σdBtin（2.3）可以理解为对其他大型“噪声”交易者（非战略性行动）影响的总体影响。关于多个交易者之间的战略行为（如[SZ17]）的问题很有趣，但超出了本文的范围。（b）请注意，（边际）价格过程的波动性和漂移S=f（Yt）Stfrom（2.2），在这一点上（额外的具体的）少量的。此外，我们还强调了相对价格影响函数的形式7.→ f（Yt）-+ )/f（Yt）-) 一般情况下可能会有所不同。从备注2.3的意义上讲，这是从大交易者的角度来看的。价格波动，如调节价格动态漂移的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。人们可以将这种信号的随机性解释如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:28

当λ=f/fb为常数时，对数价格可以写为logs=（logs+λYsig）+λYtrans，Θ，其中Ysig是一个具有失调的均值回复信号=-βysigdt+^σdBtandYtrans，ΘisYtrans，Θt-βYtrans，Θtttp从长远来看，最佳清算策略将适应信号，并取决于信号和对数之间的相关性，见定理3.1和备注3.3。备注2.5。注意到买卖价差没有明确建模，价格影响F（即LOB形状）是静态的，我们认为该模型处于介观频率。在这个水平上，正如[AKS16，Rmk.2.2]所指出的，将价格影响和流动性成本视为各种类型订单的总和是明智的。我们处理单调策略，因此LOB只有一个（bid）方面是相关的。考虑到有限时间范围可以被视为更长时间范围的近似值，具有更高的分析可处理性。关于与瞬时影响的可加性模型进行比较的问题，从理论角度来看，资产价格的正性是可取的，与更长时间范围的应用相关（例如，对于大型机构交易，参见[CL95]，或对于较长期限的套期保值问题），而且似乎比具有（2.1）等乘性价格演化的常见模型更适合。参见[BBF17a，示例5.4]了解更详细的讨论和更多参考资料。3最优策略及其推导方法本节阐述了描述奇异随机控制问题解的主要定理，并概述了随后几节中证明该问题的一般论证过程。为了解释这些想法，首先让我们来说明变分不等式（3.3）是如何通过应用鞅最优性原理来很容易地提出的，它是优化问题的动态规划方程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:31

为此，考虑一个可接受的策略A，即过程gt（y；A）：=Lt（y；A）+e-γtΘStV（Yt，Θt），（3.1），其中g0-（y；A）=SV（Y0-,Θ0-) 安德夫∈ C2,1（R×[0，∞); [0, ∞)) 是某种功能。假设可以选择V，使得G是一个超鞅。那么一个人应该有“SV（y，9200）”-) = E[G0-（y；A）]≥ 极限→∞E[LT（y；A）]+limT→∞E-γTE[\'STV（YT，ΘT）]=E[L∞（y；A）]假设右侧的第二个和收敛到0。因此，对于每一个可接受的策略，它都是一个超级艺术家*v（2.5）的值函数（系数的模化）。为了描述v，可以将其^o’s公式应用于getdGt=e-γt\'St^σVy（Yt）-, Θt-) dBt+σV（Yt）-, Θt-) dWt+(u - γ） V+（σρ^σ）- βYt-)Vy+σVyy（Yt）-, Θt-) dt+F- Vy- Vθ（Yt）-, Θt-) dAct+Z在F- Vy- Vθ（Yt）-- x、 Θt-- x） dx.（3.2）定义，δ=γ- u，C2,0函数上的微分算子ФbyL~n（y，θ）：=^σ^yy（y，θ）+（σρ^σ- βy）νy（y，θ）- Δψ（y，θ）。通过方程（3.2），求解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）变分不等式0=max{f- Vy- Vθ，LV}，V（y，0）=0，y∈ R、（3.3）将成为局部（超）鞅。这表明存在着一种抛售行为- Vy- Vθ表示交易（即卖出），以及等待区域w（不行动区域），其中dt integrandLV为零，且最佳不交易。假设这两个区域={（y，θ）∈ R×（0，∞):y（θ）<y}和w={（y，θ）∈ R×（0，∞):y<y（θ）}被自由边界{（y，θ）：y=y（θ）}隔开。一个最优策略，即一个带有鞅的策略，描述如下：if（Y0-,Θ0-)∈ S、然后进行批量销售假设（Y，Θ）=（Y0--A、 9200--（A）∈ S.>Y、是的，这个过程（Y，Θ）应该用反映在边界上的扩散过程来描述W∩ 罪恶方向(-, -1），即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:34

当（Y，Θ）达到{（Y，0）：Y（0）时，在内部等待并在边界出售所有股票≤ y} 。对于这种反映出的差异，存在性和唯一性遵循经典结果，见备注4.2，定理4.3提供了对最优控制的后续构造至关重要的重要特征。最优清算问题的解实际上是由微分方程明确给出的边界上的局部时间过程描述的。这一主要结果如下文第3.1条所述。在接下来的章节中，我们将通过构造变分不等式（3.3）的经典解来找到随机控制问题的值函数。如果（候选）解的关键变分不等式满足，则最优性可以通过典型的鞅参数进行验证，见命题6.1。基于结果的问题作为（非标准）变分法问题。其解由导出边界的（单侧）局部最优性性质导出（参见定理5.6）。这个（3.3）值函数，构建于此，以便最终在第27页得出定理3.1的证明。让假设2.2得到满足。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:37

然后是普通微分方程（θ）=((Φ)- Φ（fΦ）- fΦ）/Φ（ΦΦ）- （Φ）f+（Φ）- ΦΦ）f+（ΦΦ）- （Φ）fy（θ）（3.4）初始条件为（0）=Y的唯一解为：[0，∞)→ R、这是严格的递减和映射[0，∞) 对（y）双射∞, y] ，福扬迪∞从假设C6开始。边界函数表征问题（2.5）的解*= (+K） [0，τ]]，其中:= Θ0-{Y0-≥y+0-}+~1{Y0-<y+0-,~≥0}带√ ≤Θ0-令人满意的--~=y（Θ0）--~), 其中（Y，K）是[[0，τ]]上唯一的连续适应过程，K不递减，解出它们反映的SDEYt≤y（Θ0）-- - Kt），dYt=-βYtdt+^σdBt- dKt，dKt=1{Yt=y（9200）---Kt）}dKt，从（Y0）开始-- , 0），对于清算时间τ：=inf{t≥ 0:Kt=Θ0-- }.此外，τ具有有限的矩。备注3.2。最优控制*行为如下：1）如果0-≥ y+0-, 立即在时间0卖出所有商品并停止交易；2）否则，如果（Θ0-, Y0-) 就是这样（9200）-)< Y0-< y+0-, 进行sizeA的初始大宗交易*:= >所以y=Y0-- 在边界上y=y（Θ）。现在处于等待区W，在时间τ清算所有资产之前，尽可能多地出售以保持最低的收益（Y，Θ）（参见图1：等待，例如在时间t∈[25,34]从那时起，影响小于y（Θt）。逆本地时间τ`:=inf{t>:Kt>`}就是资产变现所需的时间（在首次大宗出售后）。对于τ>0（备注3.2中的情况2），其拉普拉斯变换E-ατ`=Φα（Y）Φα（Y（Θ））expZ`y（Θ）- x） +1Φα（y（Θ）- x））Φα（y（Θ）- x））dx(3.5)α >≤ ` ≤0--利用Φαw.r.t.参数α的解析性，我们很容易得到τ`有元素。此外，拉普拉斯变换（3.5）可以通过高效的数值反演获得清算时间τ的分布，例如：。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:41

[AW95]。tYtΘt图1：最佳清算Θt=50资产（初始大宗交易后）的影响路径（蓝色）、资产位置Θt（红色，减少）和反射边界（Θt）（橙色，增加）的样本路径), δ=0.1，β=1，ρ=0，^σ=1，f（·）=exp（·）。备注3.3。优化器取决于基本价格的波动性。如果相关性ρ不为零，则最优策略和自由边界的形状取决于基本价格过程的波动率σ。这与许多加性影响模型有显著区别，其中最优清算策略不依赖于基本价格过程的鞅部分，参见[LS13，第2.2节]。为了强调对ρ的依赖性，我们在（2.6）中写出Φρ，用fρ表示（3.4）的右侧，用yρ表示根/f-(Φρ)/Φρ. 所以常微分方程的解ρ（yρ）（θ）=Fρyρ（θ）其中yρ（0）=yρ是最佳边界λfyeλyFρ（y）=F（y-因为Φρ（y）=Φ（y-和thusyρ（θ）=y（θ）+σρσ/β。对于将军，调查∞根据假设，C6仍然揭示了边界的类似位移。因此，当影响和基本价格为正ρ>时，等待区域增加。备注3.4。（^σ=0）在[BBF17a，Thm.3.4]中求解，并以最优边界函数为特征。假设2.2暗示了该定理的模型假设[BBF17a，假设3.2]。使用Hermiteky^σ的渐近展开[Leb72，等式（10.6.6）]-yk∞→边界为^σ&0，fory^σ求解常微分方程（3.4）。4重新表述为变分演算问题在本节中，我们将变分不等式（3.3）的自由边界问题重新表述为（非标准，首先）变分演算问题。为了勾勒出他们的想法，假设大交易者必须清算Θ≥0股，并且（Y，Θ）已经在卖出和等待区域之间的自由边界上（在初始跳跃或等待之后）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:43

莱蒂：[0，Θ]→ Rbe aCfunction，y（Θ）=Yandy<0（我们期望最佳边界是这样的）。为了找到最佳的边界曲线，我们将在定义4.1中的一组反映策略上优化预期收益。Y、 Anon减少A，使Yt≤y（Θ）- At）和dyt=-βYtdt+^σdBt- dAt，Y=Y（Θ），dAt=1{Yt=Y（Θ）-At）}dAt，A=0，在[0，τ]]上表示τ：=inf{t≥:At=Θ}。我们称之为反应策略。备注4.2。强解（Y，a）的存在性和唯一性源于经典结果的（Acaruel扩展），参见[DI93]，将强解对（Y，a）视为具有斜反射方向的（退化）扩散(-,+1）以平滑的边界。这一过程被认为是一种一维差异，它反映了大量随当地时间变化的现象。在这个意义上，我们称反射为弹性。将a视为一个带有反射的差异，我们可以重写a的预期收益，a是Y的一个确定性函数，见下文（4.8），其最大化者应描述最优策略。对于这一步，我们主要依赖于（4.8）的拉普拉斯被积函数的表示取决于整个过程，需要重新参数化才能得到一个可处理的变分法问题（4.10）-（4.11）。设τΘ为na=Θ时的停止时间。对于proceedsL的持续反映策略A：=L（y（Θ）；A），我们通过[DM82，定理57]得到了anyT∈[0, ∞),E[LT]=EhZτΘ∧Tf（Yt）e-δtE（σW）tdAti=EhE（σW）TZτΘ∧Tf（Yt）e-δtdAti。对于固定的T，设Q为dQ/dP=E（σW）吨英尺给出的测量值。ThenE[LT]=EQhZτΘ∧Tf（Yt）e-δtdAti。（4.1）Girsanov定理给出了过程Bt:=Bt-[B，σW]t=Bt-σρ是Q下的布朗运动。因此，我们在QdYt=（σρ^σ）下- βYt）dt+^σ债务- dAt，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-11 02:10:48

冲击过程是一个（反映的）Ornstein-Uhlenbeck过程，其位移直接传递到极限→ ∞在（4.1）中，因为测量值发生了变化。然而，请注意，（4.1）的右侧仅取决于量度Q下的反射扩散（Y，A）定律。这就是为什么我们在P下考虑具有以下动力学的反射扩散（X，AX）：对于g（A）：=Y（Θ- a） letdXt=（σρ^σ）- βXt）dt+^σdBt- dAXt，X=g（0），（4.2）dAXt=1{Xt=g（AXt）}dAXt，AX=0，（4.3）τX`:=inf{t>0:AXt>`或AXt=Θ}，（4.4）Xt≤ gAXt[τXΘ]溶液（X，AX），直到τXΘ如下，如备注4.2所示。现在，通过（4.1）我们得到E[LT]=E[RτXΘ∧Tf（Xt）e-δtdAXt]，它给出了→ ∞通过两边的单调收敛∞] = EhZτXΘf（Xt）e-δtdAXti=EhZτXΘfg（AXt）E-δtdAXti=EhZΘfg（`）E-ΔτX`d`i=ZΘfg（`）EE-ΔτX`d`，（4.5）使用（4.3）。为了将后者仅表示为自由边界的泛函，我们需要定理4.3。Θ=θisE的τX′从（4.2）-（4.4）的拉普拉斯变换E-ΔτX`= 经验Zθ-`y（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dx对于`<θ。（4.6）证据。我们将通过计算（4.5）中的项来确定拉普拉斯变换，首先用任意测试函数代替，然后使用变异计算的思想。识别q（y，θ）：=E[RTe-连续函数的δt~n（Xt）dAXt]→[0, ∞) x=y时≤y（θ）、Θ=θ和t:=τXθ，这有助于构造mt:=Zte这样的结构-δu k（Xu）dAXu+e-δtqXt，θ- AXt是[0，T]]上带e的鞅-δtq（Xt，θ）- AXt）→0镶嵌→ T.考虑状态空间i:={（y，θ）：y<y（θ）}。检查鞅性质，假设我们有q∈ C2,1（I）∩ C1,1（I），It^o的公式得出（类似于（3.2））thatqy+qθ=φonIandLq（y，θ）=0 inI。此外，对于qin，我们有q（y，θ）=Φ（y）C（θ），其中Φ=Φδ来自（2.6）和一些函数C∈ C.LetH（θ）：=q（y（θ），θ）。条件qy+qθ=φ导致h（θ）=Φ（y（θ））C（θ）y（θ）+ν（y（θ））- Φ（y（θ））C（θ）= A（θ）H（θ）+B（θ），其中（θ）：=y（θ）-Φ（y（θ））/Φ（y（θ））和b（θ）：=ν（y（θ））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:51

求解H的这个方程得到（因为H（0）=0）H（θ）=Zθy（z）经验ZθZy（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dxdz，它产生候选值q（y，θ）=Φ（y）H（θ）/Φ（y（θ））。检查Q很简单∈ C2,1（I）∩ C1,1（I）和qy+qθ=φon一、给它一个鞅，使用qy（X，θ）的有界性-AX）在[[0，T]]上。通过qny的单调性，henceq（y，θ）≤ H（θ），我们得到-δtq（Xt，θ）- AXt）→0镶嵌→ Tvia主导了收敛，因此在（4.5）中，我们发现θ~n（y（z））E[E]-ΔτXθ-z]- 经验ZθZy（x）- 1.Φδ（y（x））Φδ（y（x））dx| {z}=：（z）dz=0。（4.7）注意Z 7→ E[exp(-ΔτXθ-z） ]是连续的。因此，如果（z）某个地方>0∈, θz<z>z，zythaty<0），我们可以找到一个连续函数oy> 0内（z，z）和o在（z，z）外y=0，这意味着srθа（y（z））（z） dz>0，矛盾（4.7）。同样地，（z） <0也会导致矛盾。因此 = （0，θ）上的0。备注4.4。让我们注意到，定理4.3通过将Φδ作为微分发生器的增量非负δ-本征函数，推广到在增量边界处反映的一般（规则）微分。事实上，证据不会改变。利用定理4.3和（4.5），我们推导出了关于边界的反应策略的过程的以下表示：E[L]∞] =ZΘfg（`）经验-Z`g（a）+1Φδ（g（a））Φδ（g（a））dad`。（4.8）由于（4.8）中的d`-被积函数依赖于G的整个路径，经典的变分法无法直接使用。因为定义（a）=y（Θ）- a）我们使用R（`）：=R`（1）-y（x））Φ（y（x））Φ（y（x））dx thatE[L∞] = E-r（Θ）ZΘfy（`）呃（`d`）。（4.9）由于Φ，Φ>0和<0，函数严格增加，因此有一个反比-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:54

固定R:=R（Θ）和设置w（R）：=y（R-1（r）），我们确认-1（r）=Zrw（z）+Φ（w（z））Φ（w（z））dz。因此，通过重新参数化（θ）=w（r（θ）），为（4.9）找到一个最大化函数将问题归结为找到一个最大化j（w）：=ZRf的函数ww（r）E-（R）-r）w（r）+Φ（w（r））Φ（w（r））博士∞]) （4.10）根据条件K（w）：=ZRw（r）+Φ（w（r））Φ（w（r））dr=Θ。（4.11）5求解变分法问题在本节中，我们通过在第一个和函数（θ）上使用必要和有效的条件（见等式（5.6）和（5.7））来（局部地）求解最大化（4.10）服从（4.11）的变分法问题，并在引理5.4中显示其局部最优性。定理5.6中的执行问题。这将在后面的第6节中至关重要，以验证在引理6.7中提出的sell区域的预期不平等性。等周问题（4.10）-（4.11）的最大化也最大化了J+mKform:mrgf00考虑扰动sw（r）+h（r）of whith（0）=h（r）=0，函数lj+mK极值的一个必要条件是其第一个变量D（J+mK）消失wgf000=Fw-ddrFw+吉瓦-ddrGwm，（5.1）带g（r，w，w）：=w+Φ（w）/Φ（w）和f（r，w，w）：=f（w）e-（R）-r） G（r，w，w），分别是K和J的内积。由于我们假设从（未知的）边界开始，所以一侧是固定的，w（R）=y（Θ）。但另一端（0）是免费的。因此，由D（J+mK）的部分与扰动sw（r）+h（r）的积分，其中的扰动sw（0）=0施加为D（J+mK）消失的附加条件=Fw+mGwr=0。这种自然边界条件（参见[GF00，第1.6节]）产生了拉格朗日乘数M（R）=-f（y）e-Rfory:=y（0）=w（0）。乘法威瑟Φ（w）后，方程式（5.1）简化为威瑟Φ（w）f（w）Φ（w）- f（w）Φ（w）= f（y）Φ（w）- Φ（w）Φ（w）. （5.2）插入r=0给出了y的一个条件，即f（y）Φ（y）=f（y）Φ（y）。假设C6保证Y的存在性和C2唯一性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:10:57

另一方面，将（5.2）的两边与r区分开来，就得到了w0的颂歌=er（fΦ- fΦ）Φ+er（fΦ）- fΦ）Φ- f（y）（b）- ΦΦ)w+er（fΦ）- fΦ）Φ，（5.3），其中f=f（w（r）），f=f（w（r）），Φ=Φ（w（r））等。根据表5.1，上述等式（5.2）中的两边在边界w（r）上均为负值。对应于Ornstein-Uhlenbeck过程发生器的IgenValueδ>0的正的、递增的本征函数Φ=Φδ满足Φ（n）（x）< Φ（n）-1）（x）Φ（n+1）（x）适用于所有x∈ R和n∈ N.尤其是，（Φ）<Φ。此外，对于n∈ Nlimx→-∞Φ（n）（x）/Φ（n）-1）（x）=0和limx→+∞Φ（n）（x）/Φ（n）-1）（x）=+∞.证据SinceHν（x）=2νHν-1（x）对于复数ν（参见[Leb72，等式（10.4.4）]），等式（2.6）表示Φ（n）ΔΦ（n+2）δ-Φ（n+1）δ=Φδ+nβΦδ+nβ- （φδ+nβ）2n^σ2nβnnYk=0（δ+kβ），因此对于每个δ、β、σ、^σ>0和ρ，必须证明（Φ）<ΦΦ∈[-,1] 在（2.6）中。这相当于为每一个ν<0显示（Hν）<HνHν。自从Γ(-ν） >与hν（x）=Γ(-ν)-1R∞E-T-2xtt-ν-1dtf对于ν<0（参见[Leb72，等式（10.5.2）]，函数νx（t）：=e-T-2xtt-ν-1是[0]上绝对连续的有限测量单位u的密度，∞). 对于概率测度P[A]：=u（[0，∞))-1u（A）考虑两个独立的随机变量x，Y~P.通过[Kle08，Thm.6.28]，我们可以交换微分和积分（在上面的积分表示中）来看到Hν（x）Hν（x）- Hν（x）=4~E[x- XY]。对称性给出了E[X- XY]=~E[（X- Y） ]≥0.由于X和Y独立于绝对连续分布，Fubini定理得出P[X=Y]=0，所以E[（X- Y）>0。Φ（n）/Φ（n）的渐近行为-1）遵循案例x中的[Leb72，等式（10.6.4）]→ -∞ 从[Leb72，eq。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:00

（10.6.7）]→ +∞.现在（5.2）给出了给定的r的表示，w asr=logf（y）Φ（w）+logΦ（w）- Φ（w）Φ（w）f（w）Φ（w）- f（w）Φ（w），（5.4），我们可以用它来简化ODE（5.3）（假设w6=0）tow=-ΦΦ+fΦ- fΦfΦ- fΦ+Φ- ΦΦ(Φ)- ΦΦ，wryθwrθr:rθwe gety（θ）=w（r）r（θ）=w（r）（1）-y（θ）Φ（y（θ））/Φ（y（θ）），它简化了玩具（θ）=Φ（y）Φ（y）+Φ（y）/w（r）=Φ（（Φ）- Φ（fΦ）- fΦ）（Φ）- （Φ）f+（Φ）- ΦΦ）f+（ΦΦ）- （Φ）f=M（y（θ））M（y（θ）），（5.5），其中M:=fΦ- fΦ（Φ）- ΦΦ和M:=fΦ- fΦ（Φ）- ΦΦ. （5.6）通过（5.2）和引理5.1，对于任何θ，我们都有M（y（θ））>0。我们得到M（y（θ））<0。在假设C2下，所有y的M（y）<0∈ R.证明。LetG：=Φ/Φ，H：=Φ/Φ。我们有G，G，H，H>0和G<HbyLemma 5.1。当λ（y）=f（y）/f（y）>0，因此f/f=λ+λ，我们得到（G）ΦM/f=λG+（λ）- λH）G+（G- λG）H.SoM（y）<0当且仅当λ（y）G（y）<q（λ（y）），其中右侧为q（λ）：=（H- λ） λG+（λ- G） GH。函数在λ中为二次函数，在λ中取最小值*:=HG+GH2G，q值（λ）*) =（HG+GH）4G- GH。还要注意，G=（H- G） G.我们发现4g（λG- q（λ））≤ 4G（λG）- q（λ）*)) < 4G（G）- q（λ）*)= 4（G）- （GH+GH）+4GGH=G4G（小时）- G）-H+（H- G） H+ 4（H）- G）生长激素= -GH+H+2G- 3GH≤ 0，使用λ（y）<G（y），y∈ R、假设是C2。所以M（y）<0表示所有y∈ R.引理5.3。让我们满足假设C2、C3和C6。存在唯一解θ7→y（θ），θ∈ [0, ∞), 在ODEy=M（y）/M（y）中，y（0）=y，（5.7）和y严格地减小tolimθ→∞y（θ）=y∞（与杨迪一起）∞根据假设C6）。证据SinceM/Mis本地Lipschitz byf∈ C（R），存在唯一的极大解：[0，θmax）→ Rof（5.7）。通过引理5.2，我们得到m（y（θ））>0和m<0，y<θmax<∞limθ→θmaxyθ-∞{（θ，y（θ））：≤ θ<θmax}和[0，∞)×{y∞}是二维θ，y7的轨迹→ （我的）自主动力系统的轨迹不能交叉，安迪∞< yby引理5.1，我们必须有y∞<y（θ）表示所有θ∈ [0，θmax），这与θmax<∞.此外，y-1（y）=Ryy（M/M）（x）dx是每年的固定值∈（y）∞, y] 。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:05

因为θmax=∞, 它跟随着y（θ）→ Y∞asθ→ ∞.通过考虑第一个变量D（J+mK），我们发现了一个候选边界函数，它是一个可能的极值w:[0，R]→ RofJ+mK。计算w处的第二个变量D（J+mK），我们发现w确实是一个局部最大化子。引理5.4。函数^J:=J+mK:C（[0，R]）→ Rde由（4.10）-（4.11）和M定义=-f（y）e-Rhas是严格的局部极大值rW（r）=y（r-1（r）），y（5.7）ε>6≡ H∈ C、 RhhRkhkW1，∞khk∞∨ khk∞< ε它容纳^J（w+h）<^J（w）。证据对于交流扰动H:[0，R]→ rofwwith（0）=h（R）=0我们通过[GF00，第5.25节，（10）和（11）]D（J+mK）[w；h]=ZR得到ph（r）+Qh（r）drp=P（r，w（r），w（r））和Q=Q（r，w（r），w（r））由P给出=Fww+mGww= 0，Q=Fww+mGww-解甲还乡Fww+mGww=E-（R）-r）Φf+2ΦΦf+ΦΦF- F+ΦΦm、 f，Φ和它们的导数在w（r）处被计算，当没有参数被提及时。关于r yields0=ddre的差异（5.1）-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ mddrΦΦ= E-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ E-（R）-r）Φf+2ΦΦf+ΦΦF- Fw+ΦΦm w=e-（R）-r）Φf+ΦΦF- F+ 2Qw=e-（R）-r） Φ（Φ）fΦ- fΦ+ 2Qw。（5.8）根据等式（5.2）和引理5.1，（5.8）中的第一个和沿w（r）为负。乌里尔-1rr-1w<SoQ（r，w（r），w（r））<-[0，R]上的κ<0乘以（5.8）对于某些常数κ=κR，给出了第二个变量在w处为负定义，即对于h 6≡ 0，D（J+mK）[w；h]=ZRQ（r，w（r），w（r））h（r）dr<-κZRh（r）dr<0。（5.9）为了缩短符号，让^F:=F+mG，所以^J:=J+mK=RR^Fdr。除非论点是明确写出来的，否则取^F=^F（r，w（r），w（r））。泰勒定理给出了^J（w+h）-^J（w）=D^J[w；h]+D^J[w；h]+E（h），第一个变量D^J[w；h]=0by（5.1），第二个变量D^J[w；h]=RRQhdr<0 by（5.9），剩余（h）=ZRX |α|=3α^Fr、 w+ξ-rhhα！drr∈[0,1]，其中w=（w（r），w（r））>，h=（h（r），h（r））>和多指数α∈ N、将^F（r，·）看作r上的函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:08

因为^F是wwe getE（h）=ZR中的一个函数^Fwww（r，w+ξrh）h+^fww（r，w+ξrh）hhdr=：zrahdr注意，通过[0，R]的紧性，我们有一致收敛supr∈[0，R]supξ∈[0,1]A.h（r），h（r），w（r），w（r），ξ，r→ 0作为KKW1，∞→ 0.现在选择ε>0，使其足够小A.h（r），h（r），w（r），w（r），ξ，r< κ/2对于所有受体∈ [0，R]，ξ∈ [0,1]和h与khkW1，∞< ε. 因此，对于h 6≡ 0^J（w+h）-^J（w）=ZR（Q+A）hdr<-κZRhdr<0。请注意，定义w（r）：=y（r-1（r））不依赖于区间边界。因此引理5.4中的优化器over[0，R]对于allR>0是最优的。我们可以显式地计算优化器的值J（w）。引理5.5。对于引理5.4中的最优w，我们有j（w）=（ΦM）（y（Θ））=（ΦM）（w（R））。证据通过直接计算，我们得到fm/（ΦM）=（fΦ）-fΦ）/（fΦ-fΦ）。此外，（5.2）giveser=f（y）/（ΦM）（w（r））。用r=r（`）和（5.7），我们从（4.9）得到j（w）=e-r（Θ）ZΘf（y（`））er（`）d`=（ΦM）（y（Θ））ZΘfΦM（y（`）d`=（ΦM）（y（Θ））Zy（Θ）yfMΦM（x） dx=（ΦM）（y（Θ））fΦ- fΦfΦ- fΦy（Θ）y=（ΦM）（y（Θ））。现在我们可以将迄今为止获得的结果转换回碰撞状态空间和资产位置。以下定理对于我们在第6节的验证论证中的分析至关重要。定理5.6。函数：[0，∞)→ 由等式（5.7）确定的Rde为（单侧）EL∞（是fly，）θ>ε>0，因此对于任何减小的y∈ C（[0，∞)) withy（·）≤ ~y（·）≤ y、 y=~yon[θ，∞) 和0<ky- ■ykW1，∞< ε、就这样L∞是fl（y，θ）> EL∞是fl（~y，θ）.证据为了清楚起见，我们写ej=JRandK=kr来强调函数sj，KonR的依赖性。调用y的参数化，并将y.Fixθ>0的参数化，然后选择，使y（θ）=w（r），y（θ）=w（r）和w（r）=y（θ）=y（r）。SoR:=ry（θ），^R:=R＠y（θ）=RθΦ（＠y（x））dx+R＠y（0）~y（θ）Φ（u）段d^θ：=R-1y（^R）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:12

再见≡ ~y，y（·）≤ 在（0，θ）外相等且Φ/Φ单调的情况下，y（·），我们有^R>R，因此^θ>θ。K^Rw^θK^RwθJrwMwrSo如果kw- ~wkW1，∞足够小，通过引理5.4我们得到JR（w）=ΦMw（R）-ΦMw（^R）+ J^R（w）=ΦMw（R）-ΦMw（^R）+E-^Rf（y）^θ+J^R-E-^Rf（y）K^R（w） >ΦMw（R）-ΦMw（^R）+E-^Rf（y）^θ+J^R-E-^Rf（y）K^R（~w）=ΦMy（^θ）- η)-ΦMy（^θ）+ E-^Rf（y）η+J^R（~w）=：ψ（η）+J^R（~w）。式中η：=^θ- θ > 0. 到（5.4）我们得到e-^Rf（y）=（ΦM）（y（^θ））。其中（5.5）跟在ψ（η）之后-（ΦM）MMy（^θ）- η)+ΦMy（^θ）= -ΦMMM+ΦMy（^θ）- η)+ΦMy（^θ）.因此ψ（0）=-（ΦMM/M）（y（^θ））。SinceM>0开(-∞, y），在（y）上M>0∞, y] 通过引理5.2和Φ>0，M<0，它遵循ψ（0）>0。所以ψ（η）>0表示η>0足够小。因此我们得到了（4.10）EL∞是fl（y，θ）= JR（w）>J^R（~w）=EL∞是fl（~y，θ）.η和kw的界- ~wkW1，∞满足足够小的ε>0，因为（y，`）7→y（`）和（y，`）7→R-1y（`）在w1中是连续的，∞×R，sokw- ~wkW1，∞→0，^R→ R和^θ→ θasε→ 0.6构造值函数并验证在本节中，我们构造了一个候选值函数，并根据前面章节的结果验证引理6.6和6.7中的变量不等式（3.3）。这将足以证明我们的主要结果定理3.1。通过ODE（5.7）定义了一个候选边界来分离销售和等待区域，我们现在将构造一个变分不等式（3.3）的解，该解将给出最优清算问题的值函数。作为引理5.5的直接结果，我们得到了它沿边界vbdry（θ）：=V的值y（θ），θ= Φy（θ）My（θ）. （6.1）WVVW^σVyyσρσ- βyVyδVVWinyasΦ。因为V也应该是单调递增的，所以对于某些递增函数C:[0，∞)→[0, ∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:15

利用边界条件VW（y（θ），θ）=Vbdry（θ），根据方程（6.1），我们得到VW（y，θ）：=Φ（y）C（θ）（6.2）fory≤y（θ）和θ≥0，式中c（θ）：=M（y（θ））。另一方面，在销售区域，我们要求V=VS满足f=VSy+VSθ。我们把S分成两部分：S:={（y，θ）∈ R×（0，∞):y（θ）<y<y+θ}，S:={（y，θ）∈ R×（0，∞):y+θ<y}。允许:= （y，θ）≥0表示k·k∞-点的距离（y，θ）∈ 越过边界这是方向(-1.-1). 这意味着在S中（但不是在S中）thay（θ- ) = Y- . （6.3）在S中，我们需要有vs（y，θ）：=VW（y）- , θ - ) +败走恶犬-f（x）dx，（6.4）因为S中的VSy+VSθ=f和VS（y（θ），θ）=VW（y（θ），θ）。类似地，在S中，VS（y，θ）：=Zyy-θf（x）dx。（6.5）最后，候选值函数定义为：V=VWon W，V=VSon S，V=VSon S。（6.6）本节的其余部分致力于验证HJB变分不等式（3.3）的经典解，并通过应用鞅最优性原理来总结定理3.1的证明。我们首先根据第3.6.1节“鞅最优性原则”将启发式验证形式化，即v是最优清算问题的值函数（参见（2.5））。命题6.1（鞅最优性原理）。考虑aC2,1函数v:R×[0，∞)→[0, ∞)具有以下特性：1。每100-≥ 存在常数C，Cso，v（y，θ）≤ Cexp（Cy）∨ 1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-];2-≥A.∈ A0-G（3.1）大风，其中y=Yy，Ais在（2.3）中定义，以及额外的yg（y；A）≤ G0-（y；A）。然后我们有‘S·V（y，θ）≥ v（y，θ）。此外，如果存在*∈ A（Θ0）-) 这样的*) 是鞅和g（y；a）*) =G0-（y；A）*) 保持不变，那么我们就有了SV（y，θ）=v（y，θ）和v（y，θ）=E[L∞（y；A）*)]为了9200-=θ ≥在这种情况下，任何（y；A）不是鞅的策略都是次优的。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:18

根据我们对每一个T≥ 0’SV（Y0-, Θ0-) ≥ E[G（y；A）]≥ E[LT（y；A）+E-γT’STV（YT，ΘT）=E[LT（y；A）]+E-γTE[\'STV（YT，ΘT）]=E[LT（y；A）]+E-δT′SE[E（σW）TV（YT，ΘT）]。（6.7）通过单调收敛，（6.7）中的第一个和趋于∞（y；A）堡垒→ ∞.为了确保第二个和收敛到0，考虑Ornstein-Uhlenbeck过程dXt=-βXtdt+^σdBt，X=y。应用It^o公式得出βt（Yt- Xt）=Z[0，t]eβudΘuT≥ 0.（6.8）由于Θ是非递增的，我们得出结论≤ Xtfor allt≥0.Letp，q>1是共轭的，即1=1/q+1/p。使用H¨older不等式和V，e上的界E（σW）TV（YT，ΘT）≤ EE（σW）pT1/pEV（YT，ΘT）q1/q=E经验pσWT-pσT1/pE[V（YT，ΘT）q]1/q=E[E（pσW）T]1/pexpPpσT-pσTEV（YT，ΘT）q1/q=expP- 1σTE[V（YT，ΘT）q]1/q≤ 经验P- 1σTE[Cqexp（qCYT）∨ 1] 1/q≤ 经验P- 1σTE[Cqexp（qCXT）∨ 1] 1/q.XEXTye-βTVar（XT）=σ2β（1- E-2βT），我们得到K:=E[Cqexp（qCXT）∨ 1] 撒克≤ 1+CqexpqCE[XT]+qCVar（XT）≤ 1+CqexpqCy+^σ4βqC.这个绑定的onKis是独立的。现在选择P>1这样的P-1σ<δ(-δT）exp（p-1σT）是指数递减的inT，因此（6.7）中的二次和收敛到0→ ∞. 这意味着SV（y，θ）≥ E[L∞（y；A）]代表阿拉∈ A（θ），并得出索赔的第一部分。第二部分同样指出，ifA*∈ A（θ）等于g（y；A）*) 是鞅，且g（y；a）=G0-（y；A），那么我们在估计（6.7）T中有等式而不是不等式→ ∞\'SVy，θEL∞对*\'SV（y，θ）≥ v（y，θ）通过索赔的第一部分，我们推导出A的最优性*.为了稍后证明（3.2）中的随机积分为什么是真鞅，我们需要以下技术步骤6.2。让9200-≥0被赋予andF∈ C2,1（R×[0，∞);R）因此存在康斯坦茨，C≥0与| F（y，θ）|≤ Cexp（Cy）∨1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-].A.∈ A0-YA:Yby（2.3）代表y∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-11 02:11:21

然后，随机积分过程z·’SuF（Yu，Θu）dBuandZ·’SuF（Yu，Θu）是真鞅。证据它需要检查[Rt拞Suexp（2CYu）du]<∞为了每个人≥按指数增长0。以DXT给出的Ornstein-Uhlenbeck过程为例=-βXtdt+^σdBt，x=y。在命题6.1的证明中（见（6.8）），我们有Yt≤ XTT≥ 0.特别是，EhZtèSuexp（2CYu）dui≤ EhZt“Suexp（2CXu）dui=中兴通讯[“Suexp（2CXu）]du≤ZtqE[Su]E[exp（4CXu）]du<∞,利用柯西-施瓦兹不等式和X是高斯过程的事实。6.2定理3.1V（3.3）的验证和证明∈ R.v（y，0）=0是清楚的，因为em（y）=0。剩下的将被分成几个引理。引理6.3（平滑粘贴）。Let（yb，θb）∈ W∩ 然后Φ（yb）C（θb）+Φ（yb）C（θb）=f（yb），（6.9）Φ（yb）C（θb）+Φ（yb）C（θb）=f（yb）。（6.10）证据。这很容易从c（θb）=M（yb）和c（θb）=M（yb）中得出，参见定义fcand（5.7），以及mandm的定义，参见（5.6）。注意，当（yb，θb）=（y，0）时，我们取0的右导数，等式仍然成立。备注6.4。（6.9）（6.10）导出卖出和等待区域之间的边界。事实上，解（6.9）-（6.10）关于toC（θb）和c（θb），很容易看出c（θb）=M（yb）和c（θb）=M（yb）。另一方面，根据链式规则，我们得到θ（yb）C（θb）=M（yb）θ·y-1·范围θ（yb）=MM（yb），这给出了（5.7）中边界的常微分方程。要获取初始条件，请注意边界条件v（·，0）≡0给定sc（0）=0，即M（y）=0，与引理5.3完全相同。因此，假设边界上的函数具有足够的光滑性，就可以导出候选边界函数y（·）。这与奇异随机控制文献中的经典方法相似，参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:24

[KS86，第6节]。我们选择通过变量演算进行看似更长的推导的原因，对于验证sell区域中候选值函数的不等式至关重要，见引理6.7。即使在λ（·）为常数的特殊情况下，我们所知的厄米函数的商的性质也可能是独立的，参见备注6.8。平滑粘贴特性转化为V的平滑度。此外，指数Vylemma为6.5。函数visc2,1（R×[0，∞)). 此外，每-存在依赖于Θ0的康斯坦茨C，C-, 使得hv（y，θ）和vy（y，θ）都是非负的，并且从上面以Cexp（Cy）为界∨ 1表示所有（y，θ）∈ R×[0，Θ0-].证据在W中，函数2，1通过构造和C（θ）=M（y（θ））是连续可微分的，因为y（·）和M（·）是可微分的。对于（y，θ）∈ S、集合（yb，θb）：=（y-（y，θ），θ-（y，θ）和:= （y，θ）（回忆（6.3））。对于第一个等式，我们用（6.4）表示；对于第二个等式，我们用（6.9）表示vsy=Φ（yb）C（θb）（1）- y） +Φ（yb）C（θb）(-y） +f（y）- f（yb）（1）- y） =Φ（y）- )C（θ）- ) + f（y）- f（y）- ). （6.11）Sincef，,C和Φ是连续可分的，Vy也是如此。因此，通过（6.10），VSyy=Φ（yb）C（θb）（1- y） +Φ（yb）C（θb）(-y） +f（y）- f（yb）（1）- y） =VWyy（yb，θb）+f（y）- f（yb），（6.12）是连续的。另一方面，通过（6.4）和（6.10）我们得到vsθ（y，θ）=Φ（yb）C（θb）(-θ） +Φ（yb）C（θb）（1）- θ) - f（yb）(-θ） =Φ（yb）C（θb），（6.13），这是连续的。对于（y，θ）∈ W∩ 在边界上，左导数w.r.t.yislimx&0xV（y，θ）- V（y）- x、 θ）= Φ（y）C（θ），而右导数再次由（6.11）给出，等于左导数在这种情况下，（y，θ）=0。因此，Vis在导数为y（y，θ）=Φ（y）C（θ）的边界上连续可微w.r.t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:27

类似地，v在边界上的左导数是Φ（y）C（θ），等于（6.12）的右导数，y=yb。大众汽车的左导数。r、边界上的tθ等于右导数（由（6.13）给出）。因此，V是C2，1在W内∪ 对于（y，θ）∈ S、我们有vsy=f（y）- f（y）- θ），VSyy=f（y）- f（y）- θ） andVSθfy- θ（6.5）SS，vw的左导数。r、 t.yi由（6.11）给出，而右导数为f（y）- f（y）。自θ- = 在这种情况下，C（0）=0，它们相等，且为Hencevyvyvw。r、 t.θ由（6.13）给出，其中（yb，θb）=（y，0）。右导数w.r.t.θ是f（y- θ） =f（y）。它们等于（6.10）和C（0）=0。因此，Vis2,1∪ 它仍然需要检查{（y，0）：y上的平滑度∈ R} 。这里的导数是0。Vis在这种情况下连续可微分的w.r.t.θ，因为（·）、C和在θ=0时，连续可微分的w.r.t.θ（在这种情况下，我们考虑正确的导数）。为了总结证据，Vandvyc的界限可以如下论证。在等待区域，包含在(-∞, y] ×[0，∞), 我们有v（y，θ）=C（θ）Φ（y）和vy（y，θ）=C（θ）Φ（y）。由于Φ，Φ严格地增加iny（参见（2.6）和[Leb72，第10章]了解Hermite函数的性质），Vandvy将被一个常数所限制。现在，在我们的销售区域- Vy- Vθ=0。然而，Vθ>0，因为inS（6.13）保持and c（θb）=M（y（θb））>0，而inS保持Vθ（y，θ）=f（y）- θ)>0. 同样，在销售区域，Vy>0。因此，<Vy（y，θ）<f（y）≤ exp（λ）∞y）∨1根据假设C4。因此，积分inygivesV（y，θ）≤ V（0，θ）+exp（λ）∞y） /λ∞弗利≥0，表示v（y，θ）≤ Cexp（Cy）∨对于适当的常数C，C。接下来我们证明V解变分不等式（3.3）。引理6.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:32

函数VW:W→ [0, ∞) 从（6.2）满足度Lvw（y，θ）=0和f（y）<VWy（y，θ）+VWθ（y，θ）表示y<y（θ）。证据通过（5.5），我们得到vwθ=Φ（y）M（y（θ））y（θ）=Φ（y）M（y（θ））和vwy=Φ（y）M（y（θ））。回想一下aty=y（θ），我们通过（6.9）等式vwy+VWθ=f（y（θ））。现在考虑y<y（θ）。通过引理5.2，我们得到了M（y）>M（y（θ））的结果fΦ（y） >ΦΦ（y） My（θ）=ddyMy（θ）Φ（y）Φ（y）+My（θ）.因此，y 7→ （f）- VWy（y，θ）+VWθ（y，θ））/Φ（y）在y内增加。因为aty=y（θ）等于0，我们得到了所声称的不等式。这就是定理5.6发挥关键作用的地方。回想假设2.2并注意到∞引理5.3在条件C3下是唯一的。引理6.7。沙上的函数VS和VS分别满足VS和VS≤ 0，LVS<0。此外，除了waitregion和sell region（W∩ S）在那里我们有平等。证据首先考虑地区。从引理6.5（见（6.11）-（6.12））中回想一下，在这种情况下vsy（y，θ）=VWy（y- , θ - ) + f（y）- f（y）- ),VSyy（y，θ）=VWyy（yb，θb）+f（y）- f（yb），其中y=yb+（y，θ）和θ=θb+（y，θ）。Fix（yb，θb）∈ W∩ 考虑扰动 7.→ （y，θ）=（yb+, θb+). 赛斯():= LVS（yb+, θb+)=σVWyy（yb，θb）-σf（yb）+σρσVWy（yb，θb）- σρ^σf（yb）- δVW（yb，θb）+σf（y）- βyVWy（yb，θb）+βyf（yb）+（σρ^σ- βy）f（y）- δZyybf（x）dx。注意引理6.6给出的h（0）=0，并展示()<0代表>0，这需要证明() < 全部为0 > 0.我们都有 ≥ y=yb+时为0 那() = βf（yb）- VWy（yb，θb）+ f（y）^σf（y）f（y）- (β + δ) + (σρ^σ - βy）f（y）f（y）|{z}=k（y）,在哪里 = 我们考虑正确的导数。现在我们证明k（y）<0≥ Y∞. 为此，回想一下Φ是ODEΔΦ（x）=^σΦ（x）+（σρ^σ）的解-βx）Φ（x）。不同的水资源税。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 02:11:34

x除以Φ（x）yields0=^σΦ（x）Φ（x）+^σΦ（x）Φ（x）- (β + δ) + (σρ^σ - βx）Φ（x）Φ（x）所以在y的左端∞关于我们的边界，我们有∞) =^σff（y）∞) +^σΦ（y）∞)Φ（y）∞)- (β + δ) + (σρ^σ - βy∞)Φ（y）∞)Φ（y）∞)=^σff（y）∞) -^σΦΦ（y）∞) < 假设C3为0（6.14）。假设C5，我们得到每y的k（y）<0≥ Y∞.特别是k（yb+)<全部为0≥0.由于阳性且呈上升趋势，产品7.→（fk）（yb+) 正在减少。因此，提供H（0+）≤0足以显示不平等性。强调h对点yb、θ乘θb、θbhhθbhθθ和在[0]上，∞) × [0, ∞).假设某个边界点（yb，θb）的θb（0+）>0，θb>0。通过关于θ和存在一些ε>0，使得lvs>0 onU:=S∩ Bε（yb，θB）。这将导致一个矛盾的事实，即候选边界是随机优化问题的（单侧）严格局部最大化子，其策略由局部反射时间描述，见定理5.6θbεy·∈ 满足定理5.6 andy（θ）<~y（θ）条件的≤ 阴（~y（θ），θ）∈ 而且，这样的话，Yandy就在我们的外面。对于相应的反应策略，A:=Are fl（y，Θ）和A:=Are fl（y，Θ）表示为Θt:=Θ-~AtandΘt:=Θ-在他们的资产定位过程中。λAandAareτ：=inf{t的清算时间≥:~At=Θ}和τ：=inf{t≥:分别是At=Θ}。根据定理4.3（另请参见（3.5）之后的讨论），我们得到：=)τ∨ τ < ∞a、 s.固定初始冲击力A0-=耶-=y（Θ）。为了比较策略A和ΘA，考虑过程G（y）；A） andG（y（Θ）；从（3.1）中选择A）作为我们的候选值函数（由引理6.5确定为2,1）。因为v（·，0）=0，我们有lt（~A）=GT（~A）和lt（A）=GT（A）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝