交易频率的流动性效应

2022-5-9 03:23:49

交易频率的流动性效应*Roman Gayduk和Sergey Nadtochiy+？§密歇根大学摘要本文中，我们提出了一个离散时间建模框架，其中有限订单簿（LOB）的形状和动态是由多个市场参与者（代理人）之间的均衡内生产生的。我们使用提出的建模框架，在一个非常普遍的环境中分析交易频率对市场流动性的影响。特别是，我们展示了高交易频率的双重效应。一方面，如果代理人选择在均衡状态下提供流动性，较高的频率会提高市场效率。另一方面，这也使市场更加脆弱，因为如果市场中性（即，他们的信念满足一定的鞅性质），代理人会选择均衡地提供流动性。如果交易频率足够高，即使与市场中立性有很小的偏离，也可能导致代理人停止提供流动性，这代表了市场的内生流动性危机（又称流动性崩溃）。该框架使我们能够更深入地了解这种流动性危机是如何展开的，并将其与所谓的逆向选择效应联系起来。关键词：流动性、交易频率、限价指令簿、连续玩家游戏、It^o过程的条件尾部。1导言本文关注的是拍卖式交易所交易频率的流动性效应，参与交易的代理人可以发布限价或市场指令。一方面，更高的交易频率为市场参与者提供了更多的交易机会，从而提高了市场的流动性和效率。另一方面，更高的交易频率也为一些参与者提供了更多操纵价格、扰乱市场流动性的机会。

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2022-5-9 03:23:52

这种操纵产生了一种新的风险，这种风险会导致异常高的价格偏差，而这无法用资产基本价值的变化来解释。这一现象最著名的例子是2010年的“金融危机”。这个例子促使我们需要全面研究战略参与者提供流动性的角色和他们产生的流动性风险之间的权衡，以及它们与交易频率的关系。市场的整体流动性由限价指令簿（LOB）捕获，其中包含所有限价买入和卖出指令。本文的目标有两个方面。首先，我们开发了一个新的市场微观结构建模框架，在该框架中，LOB的形状及其动态是由代理之间的相互作用内在产生的。这种方法的诸多优点之一是，可以对市场对交易所规则变化的反应进行建模：例如，有限的交易频率、交易税等。目前工作的第二个也是最重要的目标是，使用拟议的建模框架，调查交易频率对流动性的影响。特别是，本文的主要结果（参见第3节中的讨论，以及第4节中的定理4.1、4.2和推论4.1）描述了高交易频率的双重效应。因此，如果一手交易的参与者提供相同的流动性，那么一手交易的价差就会降低，如果一手交易的参与者提供相同的价差，那么一手交易的价差就会降低*本版本：2017年2月13日。

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2022-5-9 03:23:55

第一版2015年8月28日。+NSF拨款DMS-1411824的部分支持得到了两位作者的认可我们感谢匿名推荐人和副主编的建设性意见，这些意见帮助我们显著改进了论文。§致函美国密歇根大学数学系Sergey Nadtochiy，地址：美国密苏里州安娜堡教堂街530号；电子邮件：sergeyn@umich.edu.ef效率。另一方面，更高的交易频率也使LOB对代理人的态度偏离市场中立性更敏感。当然，很明显，强烈的看涨或看跌信号会促使市场参与者以更高或更低的价格进行交易。然而，我们观察到的新奇之处在于交易频率在放大这种效应中所起的作用。也就是说，我们表明，如果交易频率很高，即使代理商拥有大量库存，只要偏离市场中立性很小，他们就会停止提供流动性，要么完全退出市场，要么发布远离基本价格的限价指令。此类行为会导致LOB出现不成比例的偏差，这无法用任何根本原因来解释：这些偏差远高于交易信号（即基本价格的预期变化），并且这些偏差的发生不会导致资产的供需短缺。我们将这种偏差称为内生流动性危机，因为它是由交易机制（即市场参与者相互作用的规则）造成的，而不是任何根本原因（注意与流动性崩溃的相似性）。我们的框架提供了关于这种流动性危机如何展开的见解，将其与所谓的逆向选择效应联系起来。

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2022-5-9 03:23:59

特别是，第3节构建了一种均衡，在这种均衡中，内生流动性危机不会因为异常庞大的市场秩序而发生，从而消除了LOB一侧的流动性，而是因为代理商的最佳策略要求他们停止提供LOB一侧的流动性。在数学方面，我们的分析使用了一般It^o过程增量的条件尾的性质。这方面的主要结果是在外稃5中。2，给出了一般It^o过程增量的条件尾上的一致指数界。我们相信这个结果本身是有用的，而且据我们所知，它在现有文献中是不可用的。近年来，我们观察到专门研究市场微观结构的文献数量激增。除了各种实证研究外，现有理论工作的很大一部分都集中在最佳执行问题上：见Obizhaeva&Wang（2013）、Almgren（2003）、Schied等人（2010）、Gathereal&Schied（2011）、Cont等人（2010）、Bayraktar&Ludkovski（2011）、Avellanda&Stoikov（2008）、Cvitani’c&Kirilenko（2010）、Predoiu等人（2011）、Gu’eant&Lehalle（2015），Cartea&Jaimungal（2013）、Guilbaud&Pham（2013）、Stoikov&Waeber（2012）以及其中的参考文献。在这些文章中，大叶的动力学和形状是外生的，或者，等价地，限额和市场订单的到达过程是外生的。特别是，这些文章都没有试图解释LOB的形状和动态，LOB直接来自市场参与者之间的互动。分析市场微观结构的不同方法源于经济学文献。例如，帕洛尔（1998年）、福柯（1999年）、戈特尔等人（2005年）、卡莫纳和韦伯斯特（新泽西州）、拉查佩尔等人。

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2022-5-9 03:24:02

（2013）、Rosu（2009）、Du&Zhu（2014）、Bressan&Facchi（2013）、Bressan&Facchi（2014）、Bressan&Wei（2016）考虑了市场微观结构的均衡模型，它们与目前的工作关系更为密切。然而，上述论文中提出的模型不能以足够的精度代表拍卖式交易所的机制，尤其不适合分析交易频率的流动性效应，这是本文的主要重点。一些相关的文献聚焦于指定做市商市场中LOB的内源性形成：例如，格洛斯滕和米尔格罗姆（1985）、凯尔（1985）、伊斯利和奥哈拉（1992）、卡莫纳和韦伯斯特（2012）、阿德里安等（2016）。在这些论文中，LOB不是多主体均衡的结果：而是由一个单一主体，即做市商控制。在本文中，我们将整个LOB建模为大量代理之间的均衡输出，每个代理都可以消费和提供流动性（特别是，我们没有指定的做市商）。我们的背景与关于双重拍卖的文献有关（参见Vayanos（1999），Du&Zhu（2014）），关键的区别在于，每次拍卖的参与者可以选择两种“不对称”的策略：市场或限价订单。此外，本框架假设，在事前，所有代理都可以访问相同的信息，从这个意义上说，它类似于Palour（1998），Goettler等人（2005），Rosu（2009）。特别是，本文中的逆向选择效应不是由代理之间的任何先验信息不对称引起的，而是由交换机制引起的。我们将问题模拟为一个连续的玩家游戏——这种抽象让我们能够获得计算上易于处理的结果（参见。

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2022-5-9 03:24:05

Aumann（1964年）、Schmeidler（1973年）、Carmona（2013年）提出了连续玩家游戏的概念，Andrasry&Lions（2007年）、Cardaliaguet（2010年）、Carmona&Delarue（2013年）、Lacker（2014年）提出了平均场游戏的子类。论文的结构如下。第2.1小节描述了概率设置，以及交换的执行规则和代理的结果状态过程。第2.2小节定义了均衡，并引入了市场退化的概念（代表了内生流动性危机）。在第3节中，我们在一个简单的模型中构建了一个均衡，说明了内生流动性危机是如何展开的，以及它如何与逆向选择效应联系在一起。第4节中的定理4.1、4.2和推论4.1是本文的主要结果：它们形式化并推广了第3节的结论。在第5节中，我们证明了关于It^o过程边际分布（条件）尾的关键技术结果。第6、7节包含了主要结果的证明。我们在第8.2节中总结了有限频率拍卖风格交易所的建模框架2。1.交易机制我们考虑一个交易只能在离散时间n=0，1，N.我们假设市场参与者分为两类：外部投资者，他们“不耐烦”，因为他们只提交市场订单；战略参与者，他们可以提交市场订单和限价订单，并且愿意在给定（短）时间内优化其行动，以获得更好的执行价格。在我们的研究中，我们将重点放在被称为代理人的战略参与者身上，并通过外生需求对外部投资者的行为进行外生建模。

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2022-5-9 03:24:08

对外部投资者的解释很清楚：这些投资者要么对市场有长远的看法，要么只是出于短期利益以外的原因需要购买或出售资产。相反，战略参与者（即代理人）是短期交易者，他们试图在较短的时间范围内最大化自己的目标。在每个时间段[n，n+1]，所有进入交易所的订单都被分为限额订单和市场订单。限额订单被收集在所谓的限额订单簿（LOB）中，市场订单形成需求曲线。在时间n+1时，需求曲线中的市场订单将根据LOB中的限额订单执行。然后，在下一个时间间隔中重复该过程。特别地，在一段时间内[n，n+1]（为简单起见，我们称之为“时间n”），代理人可以提交市场订单、发布限价买入或卖出订单，或等待（即不做任何事情）.如果限价单未在给定时间段内执行，则取消或重新定位下一个时间段无需支付任何费用。请注意，我们的框架没有对限价单的时间优先级进行建模。然而，引入时间优先级不会改变代理的最大目标值，因为“勾号大小”假定为零（即，一组可能的价格水平为R），因此，管理者总是可以通过在给定竞争订单的上方或下方“完整地”发布订单来实现优先级。下面给出了有关建模LOB的形成和执行规则的更多详细信息。需求曲线由一个随机字段D=（Dn（p））p进行外生建模∈R、 n=1，。。。，非过滤概率空间Ohm, F=（Fn）Nn=0，P, 这就是一个平凡的西格玛代数，完成了w.r.t.P。

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2022-5-9 03:24:11

随机变量D+n（p）=max（Dn（p），0）表示外部投资者和提交市场订单的代理人愿意以或低于p的价格购买的资产股份数量，在一段时间内[n]累计-1，n）和D-n（p）=-min（Dn（p），0）表示在同一时间段内，外部投资者和提交市场订单的代理人愿意以p价或高于p价出售的资产股份数量。我们假设Dn（·）是a.s.非递增且可测量的w.r.t.Fn B（R）。我们用信念的Borel空间表示，对于每个α∈ A、存在主观概率测度Pα(Ohm, FN），这与P是绝对连续的。我们假设，对于任何n=0，N和任意α∈ A、给定Fn，条件概率Pα存在一个正则形式，表示为Pαn。我们用Eαn表示相关的条件期望。我们还需要假设，对于任何α∈ A、族{Pαn}Nn=0存在一个修正，它满足了关于P的塔特性，在以下意义上：对于任何n≤ m和任意r.v.ξ，使得Eαξ+<∞, 我们有EαnEαmξ=Eαnξ，P-a.s。存在这样一种修正，例如，如果Pα~ P.在任何市场模型中，对于每一个α，我们都会对条件概率进行这样的修正（直到一组P-测度为零），并假设所有条件期望{Eαn}都是在这一系列测度下进行的。极限指令簿（LOB）由一对适应过程ν=（ν+n，ν）给出-n） Nn=0，这样每个ν+nandν-R（w.R.t.Fn）上的有限西格玛加性随机测度B（R））。我们不区分“激进”限价指令，这些指令以相反限价指令的价格水平发布，并将其视为市场指令。

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2022-5-9 03:24:14

这不会导致失去一般性，因为我们环境中的市场参与者对LOB有着完美的观察。例如，如果Fn是由标准Borel空间中具有值的随机元素生成的，则该假设成立。这里，ν+n对应于累计限额销售订单，和ν-n对应于时间n发布的累计限额购买订单。n=0，N由随机变量spbn=sup supp（ν）给出-n），pan=inf supp（ν+n）。请注意，这些扩展的随机变量总是定义得很好，但可能包含有限的值。我们将代理人的状态空间定义为S=R×A，其中第一个分量表示管理者的清单，第二个分量表示她的信念。每个处于状态（s，α）的agent都使用主观概率测度Pα来模拟未来的结果。有很多代理，它们在状态空间上的分布由经验分布过程u=（un）Nn=0给出，因此每个u都是S（w.r.t.Fn）上的有限西格玛加性随机测度 B（S））。特别是，集合中试剂的总质量时间n的S由un（S）给出。库存水平s代表每个代理人在状态（s，α）下持有的股份数量。特别是，集合中所有代理人持有的股份总数 S由byRSsun（ds，dα）表示。下面的备注2.1讨论了在有限人游戏中对这一定义的解释。我们请读者参考《卡莫纳》（2013），了解连续玩家游戏的一般概念。备注2.1。本节中定义的连续体玩家游戏可与以下特定玩家游戏相关。用u表示在给定时间内代理人状态的经验分布。回想一下，u是一个度量onS=R×a，并假设它是狄拉克度量的有限线性组合：u=MPMi=1δ（si，αi）。

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2022-5-9 03:24:17

我们解释了该集团代理人持有的股份。让我们解释一下这个概念如何与相关有限玩家游戏中的实际库存水平（即代理人持有的实际股份数量）相关。为此，考虑M个代理的集合，其状态由其（实际）清单和信念（s，α）给出，当前状态为{（~si=si/M，αi）}。将代理的“单位质量”定义为M。在这个有限的玩家集合中，任何状态（Ms，α）下代理的质量（相对于单位质量M测量）精确为u（{（s，α）}），其总库存为Msu（{（s，α）}）。然后，sharesper代理的数量被定义为这些代理持有的总库存除以其质量，它等于M s。选择s=~si，我们得出结论，在Fite player集合中，代理在状态（~si，αi）下持有的每个代理的股份数量由M~si=si给出，这与我们在连续体playergame中对si的解释一致。当库存水平{si}很小时（参见本文扩展版的第2.3小节，Gayduk&Nadtochiy（2015）），由于参数α不随时间变化，代理的状态过程，表示（Sn）是一个经过调整的右值过程，代表她的库存。每个代理的控制由三个适应过程（p，q，r）=（pn，qn，rn）N组成-1n=0on(Ohm, F），其值在R×{0,1}中。

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2022-5-9 03:24:21

第一个坐标pn表示在时间n下的限价单的位置，而qn表示限价单的大小（以每个代理人的股份为单位，与购买订单对应的负值）。最后一个坐标rn显示代理提交的是市场订单（如果rn=1）还是限额订单（如果rn=0）。假设一个代理发布了一个价格水平为pn的限价销售订单。如果以该价格水平购买资产的需求，即D+n+1（pn），超过在时间n时发布在pn以下的所有限价卖出指令的金额，则（且仅在该时间）代理行的限价卖出指令被执行。代理商的市场订单总是按照提交订单时的出价或要价执行。我们将内部市场订单（即代理人提交的订单）解释为代理人在给定时间内加入外部投资者的决定。综上所述，我们得到了从初始库存开始的agent状态过程的以下动力学∈ R在时间m=0时，N- 1:S（p，q，r）m（m，S，ν）=S，S（p，q，r）n+1（m，S，ν）=S（p，q，r）n+1（m，S，ν）- S（p，q，r）n（m，S，ν）=-qn{rn=1}（2.1）- 1{rn=0}q+n{D+n+1（pn）>v+n((-∞,pn}- Q-n{D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}, n=m，N-1.注意，尽管Pα不会随时间而改变，但根据收到的新信息，代理人认为未来需求的条件分布会发生动态变化。注：在任何给定的时间，每个代理只允许在单一价格水平下限价订单。然而，这并不意味着失去最佳性。事实上，使用附录A中导出的动态规划原理，我们可以通过归纳法证明，在均衡状态下，代理人不会从同时发布多个限价单中获益。

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2022-5-9 03:24:24

如Schmeidler（1973）所示，这是一个典型的连续玩家游戏。上述动态代表了对代理执行情况的乐观看法。特别是，它们意味着，一旦需求到达，相同价格水平的所有限价订单将全部执行：即，每个代理都认为，在给定价格水平的所有订单中，她的限价订单将首先执行。此外，所有代理的市场订单都是按照买入价和卖出价执行的：即，每个代理都认为，当需求曲线与LOB相对时，其市场订单将在给定时间段结束时首先执行。这些假设可以部分地由代理人的订单非常小这一事实来证明：qnis以每个代理人的份额来衡量，单个代理人的质量为零。然而，如果非零数量的代理人以相同的价格水平提交限价指令，或同时提交执行限价指令，则上述状态动态可能违反市场清算条件：执行的市场指令的总规模（以股票和美元计）可能与执行的限价指令的总规模不一致（至少在代理人看来）。然而，如果在任何时候，以相同价格水平发布限价订单或发布市场订单的代理数量为零，则该问题将得到解决。换句话说，（ν，p，q，r）满足，p-a.s.：作为对r的度量（即，它没有原子），而rn=0。这种平衡在本文扩展版Gayduk&Nadtochiy（2015）的第8节中进行了阐述。

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2022-5-9 03:24:27

连续玩家游戏的一般定义及其与有限玩家游戏的联系可以在Carmona（2013）和其中的参考文献中找到（另见本文扩展版的第2.3小节，Gayduk&Nadtochiy（2015））。本文提出的建模框架与经济学文献中的双重拍卖模型密切相关（参见杜和朱（2014），瓦亚诺斯（1999））。主要区别在于拍卖的非标准设计。也就是说，在提议的设置中，拍卖参与者可以选择不同的交易方式，即市场或限价指令，这会在参与者之间产生事后信息不对称：在观察需求曲线之前提交限价指令，而使用有关LOB的完整信息提交市场指令。这种差异并非巧合——事实上，它对于现实地描述与每种订单类型相关的风险至关重要，并且是本文确定的结果的核心。下一小节将对信息结构进行更详细的讨论。2.2平衡从初始状态（s，α）开始的试剂目标函数∈ S、在任何时候m=0，N、使用控制（p，q，r），由Fm可测量的随机变量（2.2）J（p，q，r）（m，s，α，ν）=Eαm给出S（p，q，r）N（m，S，ν）+pbN-S（p，q，r）N（m，S，ν）-平锅-N-1Xn=mpn{rn=0}+pan{rn=1，qn<0}+pbn{rn=1，qn>0}S（p，q，r）n+1（m，S，ν）#，其中我们假设0·∞ = 0.在上述表达式中，我们假设，在最终时间n=n时，每个代理人都被迫以当时的出价或要价平仓。或者，你可以将其视为在最后一次外部市场订单执行后立即对剩余库存进行营销。定义2.1。对于给定的LOBν，整数m=0。

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2022-5-9 03:24:30

N-1和状态（s，α）∈ S、如果（2.2）中预期内的表达式的正部分在pα下有明确的预期，则适应过程的三元组（p，q，r）是可容许的控制。对于给定的LOBν、初始条件（m，s，α）和F×B（s）自适应随机场（p，q，r）的三元组，通过pn=pn将后者与随机过程（p，q，r）区分开来（只要不会引起混淆）S（p，q，r）n（m，S，ν），α, qn=qnS（p，q，r）n（m，S，ν），α, rn=rnS（p，q，r）n（m，S，ν），α,状态动力学（2.1），对于n=m，N.这个系统递归地确定（p，q，r）和S（p，q，r）。定义2.2。对于给定的LOBν，我们称渐进可测随机场（p，q，r）的三重态为非最优控制，如果对于任何m=0，N和任意（s，α）∈ S、我们有：o（p，q，r）是可容许的，oJ（p，q，r）（m，S，α，ν）≥ J（p，q，r）（m，s，α，ν），p-a.s.，对于任何容许控制（p，q，r）。在上文中，我们对连续玩家博弈做出了标准的简化假设：每个代理都太小，以至于当她改变控制时，都无法影响累积控制的经验分布（用ν表示）（参见Carmona（2013））。还要注意的是，我们对最优控制的定义意味着它是时间一致的：在未来的任何步骤中，使用相同的终端标准重新评估最优，必须得出相同的最优策略。接下来，我们讨论拟议博弈中的均衡概念。首先，我们注意到，如果pbNor PANNE变得有限，库存为正或负的代理商可能面临的目标价值为“-∞”, 对于他们使用的任何控制。在这种情况下，它们的最优控制可能会以任意方式选择，从而导致不切实际的平衡。为了避免这种情况，我们对ν施加额外的正则性条件。定义2.3。给定的LOBν是可容许的，如果对于任何m=0。

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2022-5-9 03:24:33

N-1和任意α∈ A、我们有，P-A.s.：Eαm | paN |∨ |pbN |<∞.让我们考虑固定（m，s，α，ν）的代理的（随机）值函数：（2.3）Vνm（s，α）=essupp，q，rJ（p，q，r）（m，s，α，ν），其中本质上确界在p下，在所有容许控制（p，q，r）上，J（p，q，r）由（2.2）给出。附录A显示，对于任何可容许的ν，Vνm（·α）在P下有一个连续的修正，我们称之为具有α信念的代理的值函数。利用动态规划原理，附录A提供了一个明确的递归方程组，用于描述最优策略和值函数。具体而言，附录A的结果（参见推论9.1）得出以下命题。提议2.1。假设对于一个可容许的LOBν，存在一个最优控制（^p，^q，^r）。然后，对于任何（s，α）∈ S、以下为所有n=0的P-a.S，N- 1:Vνn（s，α）=s+λan（α）- s-λbn（α），具有一些适应过程λa（α）和λb（α），使得λaN（α）=pbandλbn（α）=paN。λa（α）和λb（α）的值可以解释为信念为α的代理人的预期执行价格，他们分别是资产的多头和空头。定义2.4。考虑经验分布过程u=（un）Nn=0和市场模型，如第2.1节所述。我们说，如果存在aBorel集合a，则给定的LOB过程ν和控制（p，q，r）形成一个平衡 A、称为平衡点的支撑，例如：1。unR×A\\~A= 0，P-a.s.，所有n，2。ν是可容许的，且（p，q，r）是在状态空间＠S=r×＠A，3上的ν的最优控制。对于任何n=0，N- 1，我们有，P-a.s.，（2.4）ν+n((-∞, x] ）=Z~S{pn（S，α）≤x、 rn（s，α）=0}q+n（s，α）un（ds，dα），十、∈ R、（2.5）ν-n((-∞, x] ）=Z~S{pn（S，α）≤x、 rn（s，α）=0}q-n（s，α）un（ds，dα），十、∈ R.备注2.2。

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2022-5-9 03:24:35

从命题2.1可以看出，在均衡状态下，初始库存为零的代理什么也不做是最优的。因此，在平衡状态下，往返策略是不可能的。考虑到均衡中的往返策略，例如，可以引入| q |或代理总库存的上限（如Brunnermeier&Pedersen（2005）中所做的）。然而，我们不认为这样的修改会改变市场流动性作为交易频率函数的定性行为，这是本文的主要重点。请注意，由于P下的最优控制要求时间一致，上述定义实际上定义了一个子博弈完美均衡。还值得一提的是，定义2.4定义了部分平衡，因为经验分布过程是外生的。更传统的纳什均衡需要由初始分布和状态过程的值来确定u：（2.6）un=uo（s，α）7→S（p，q，r）n（0，S，ν），α-1，必须保持P-a.s.，对于所有n=0，N、除定义2.4中的其他条件外，通过（2.1）定义S（p，q，r）N（0，S，ν）。尽管如此，我们选择在定义均衡时不强制执行条件（2.6），以允许新的代理进入游戏，这实际上相当于外源性建模。如果假设没有新代理人进入市场，则必须执行定点条件（2.6）。还要注意，我们对需求曲线Dn（·）的解释意味着它由外部（即外部投资者）和内部（即由于代理人）市场订单组成。因此，考虑平衡点的额外一致性条件可能是合理的。

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2022-5-9 03:24:39

该条件的一部分是确保非零数量的代理人仅在基本价格高于要价（即，仅在实际执行市场买单时）时提交市场买单，同样，非零数量的代理人仅在基本价格低于买价时提交市场卖单。我们假设代理人的市场订单以最高优先级进入需求曲线：例如，他们的市场购买订单以与基本价格密切相关但低于基本价格的价格水平进入需求曲线，以确保他们是第一批被执行的订单。因此，上述一致性条件的另一部分是确保基本价格左侧或右侧的需求曲线的绝对值足够大，足以解释所有内部市场订单。从数学上讲，这种一致性条件可以表示为：（2.7）dbn:=un（{（s，α）：qn（s，α）<0，rn（s，α）=1}）>0=> pn+1>平移，跛行↑pn+1D+n+1（p）≥ dbn，（2.8）dan:=un（{（s，α）：qn（s，α）>0，rn（s，α）=1}）>0=> pn+1<pbn，跛行↓pn+1D-n+1（p）≥ 丹。如果代理从未在均衡状态下提交市场订单，上述条件将变得多余。本文扩展版的第8节Gayduk&Nadtochiy（2015）展示了如何构建满足条件（2.6）且代理人从不提交市场订单的均衡（因此，（2.7）和（2.8）也是如此）。然而，需要强调的是，当前工作的主要结果（参见第4节）为所有平衡提供了必要的条件：对于满足条件（2.6）、（2.7）、（2.8）的平衡，以及不满足条件的平衡。备注2.3。让我们来评论一下游戏的信息结构。在当前设置中，所有代理都观察到过滤F给出的相同信息。

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2022-5-9 03:24:42

我们考虑了一个开环纳什均衡，在该均衡中，主体的策略被视为一个适应的随机过程（而不是其他参与者的状态和控制的函数），并相应地选择了最优性的定义。此外，由于u适用于F，每个代理都有关于其他代理的当前和过去状态及其信念的完整信息。然而，由于代理使用不同的（主观）度量{Pα}，他们对u未来值的看法可能不同。当然，假设代理没有关于彼此当前状态的完整信息会更现实，但这会使问题变得更加复杂。在目前的情况下，经纪人还拥有关于基本价格当前位置的完整信息。在我们的后续论文Gayduk&Nadtochiy（2016）中，我们放松了这一假设，这使我们能够为个体代理人的“局部”行为开发一个更现实的模型。然而，对于本文分析的问题，这种放松似乎不是必要的。由于所有代理使用相同的信息，本文属于试图在不存在信息不对称的情况下解释微观结构现象的文献链（参见Goettler等人（2005）、Rosu（2009）、Palour（1998）、Foucault（1999））。然而，值得一提的是，提交市场指令和限价指令的市场参与者之间存在信息不对称。这种不对称性并不是由于任何一个代理都可以获得先验的优越信息。相反，它源于限额指令的本质，其设计是“被动的”（参见第2.1小节最后一段的讨论）。inGoettler等人（2005年）也进行了类似的观察。接下来，我们需要在平衡的概念中添加另一个条件。

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2022-5-9 03:24:45

请注意，方程式（2.4）-（2.5）应作为定点约束，使人们能够获得最佳控制（p、q、r）以及LOBν。然而，这些方程只适用于n=0，N- 1：事实上，代理不需要选择他们的控制时间n=n，因为游戏结束了，他们的剩余库存被标记为买入价和卖出价。然而，最终的买入价和卖出价是由LOBνN决定的，而LOBνN又可以任意选择。为了避免这种二元性，我们对本文研究的平衡施加了额外的约束。首先，我们介绍基本价格的概念。定义2.5。假设P-a.s.，对于任何n=1，N、存在唯一的PNDNpn= 0.然后，调整过程（pn）Nn=1被称为基本价格过程。无论何时，只要援引基本价格的概念，我们都假定它是明确的。背后的直觉很清楚：这是一个即时需求平衡的价格水平。然而，重要的是要强调，我们不认为资产可以在基本价格水平上交易。相反，pis是当前需求曲线的一个特征，而所有实际交易都在交易所进行，与当前LOB相对。我们设置的这一方面不同于文献中的许多其他方法。定义2.6。假设基本价格定义明确，并表示ξN=pN- pN-1.然后，如果（2.9）νN=νN，则LOBν的非平衡在终端交叉（LTC）处是线性的-1.o （x 7→ x+ξN）-1，P-a.s.上述定义假设终端LOBν是从νN中获得的-1通过简单的转换，转换的大小等于基本价格的增量。这种定义将终端的LOB与需求过程联系起来，排除了许多非自然的平衡。特别是，非平衡的存在问题变得非常重要。

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2022-5-9 03:24:48

然而，均衡的存在并不是当前工作的主要重点：本文建立的存在性结果仅限于第3节，该节在aspeci fic Gaussian随机游动模型中构建了LTC均衡（本文扩展版的第8节给出了一个更一般的存在性结果，Gayduk&Nadtochiy（2015））。本研究的核心是观察到，药剂可能会达到平衡，其中LOB的一侧变空（如第3节的示例所示）。我们称这种LOB和相关的平衡为退化。定义2.7。我们说，如果ν+n（R）>0且ν-n（R）>0，对于所有n=0，N-1，P-a.s。。直观地说，LOB的简并性是指LOB的一方以正概率从市场上消失的情况：即ν+n（R）或ν-n（R）变为零。显然，当本应提供流动性的代理选择发布市场订单（即消耗流动性）或等待（均不提供流动性）时，就会发生这种情况。这种退化可以被解释为内生流动性危机——这种危机主要是由代理人之间的相互作用引起的，不能由任何基本经济原因（例如，双方对资产的外部需求可能仍然很高）来解释。从乐观的角度来看，我们假设当一个平衡点可用时，代理选择一个非退化平衡点。然而，如果不存在非退化均衡，则内生流动性危机可能以正概率发生。

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2022-5-9 03:24:51

本文的主要目的之一是深入了解内生流动性危机的发生及其与交易频率的关系。3示例：高斯随机游走模型在本节中，我们考虑外部需求D的特定市场模型，以构建非退化LTC均衡。更重要的是，利用这个模型，我们说明了交易频率对流动性的影响。目前的例子，虽然非常简单，但使我们能够确定随着交易频率的增加，代理人（以及LOB）的最优策略中的重要变化。特别是，我们展示了高交易频率可能会不成比例地放大逆向选择效应，并可能导致流动性危机。请注意，在目前的情况下，逆向选择现象不是任何事前信息不对称的结果，而是由交换机制（即限制指令的性质）造成的，这类似于Goettler等人（2005年），Foucault（1999年）中记录的现象。在本文的其余部分，我们表明，本节的结论并不是由于本节中对模型的特殊选择，事实上，它坚持一个更一般的设置。在完全随机的基础上(Ohm,~F=（~Ft）t∈[0，T]，P），我们考虑一个连续时间过程P：（3.1）~pt=P+αT+σWt，P∈ R、 t∈ [0，T]，其中α∈ R和σ>0是常数，W是布朗运动。我们还考虑了一个任意的渐进可测随机场（~Dt（p）），s.t.，p-a.s.，函数~Dt（·）-对于任何0，Ds（·）在0处严格递减并消失≤ s<t≤ T最后，我们介绍了经验分布过程（μut），其值在S的有限西格玛加性度量空间中。

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2022-5-9 03:24:53

我们将时间间隔[0，T]划分为大小为N的子间隔t=t/N.离散时间模型是通过离散连续时间oneFn=~Fn得到的t、 pn=~pnt、 Dn（p）=（Dn）T-~D（n）-1)t）（p- pn），un=~unt、在本节中，为了简单起见，我们假设代理的信念集是一个单态：a={α}和Pα=P。我们还假设（至少从代理的角度来看）市场上总是存在一些长短代理：un（（0，∞) ×A），un((-∞, 0）×A）>0，P-A.s.，对于所有n.显然，n代表交易频率，连续时间模型代表“限制模型”，代理人将其作为基准，以便在不同交易频率的市场中做出一致的预测。我们假设基准模型是固定的，N允许变化。在本节的剩余部分中，我们提出了一种在上述离散时间模型中构造非退化LTC平衡的方法。我们证明了当α=0时，该方法对任何（N，σ）都是成功的。然而，对于α6=0，我们在数值上证明，当N变大时，该方法失败。我们确切地说明了拟议建设失败的原因，为这一现象提供了经济解释。此外，我们分析了接近于非退化均衡不存在的时刻的市场，并证明此时代理人的行为遵循内生流动性危机的典型模式。鉴于命题2.1，为了构建非退化LTC均衡，我们需要找到一个控制（^p，^q，^r）和预期执行价格（^λa，^λb），s.t。库存s的代理的价值函数由VN（s）=s+^λan给出- s-λbn，它是通过策略（^p，^q，^r）实现的。此外，我们需要找到一个非退化LOBν，s.t.（2.4）、（2.5）和（2.9）保持。

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2022-5-9 03:24:57

我们的安萨兹如下=hanδpan，hbnδpbn, pan=^pan+pn，pbn=^pbn+pn，-∞ < ^pbn，^pan<∞,^pn（s）=pan{s>0}+pbn{s<0}，^qn（s）=s，^rn（s）=0，λan=^λan+pn，λbn=^λbn+pn，其中δ是狄拉克测度，（^pa，^pb，^λa，^b）是确定性过程，han=R∞sun（ds）>0，hbn=R-∞|s|un（ds）>0。有了这样的安萨兹，条件（2.4）、（2.5）会自动满足。因此，我们只需要选择有限的确定性过程（^pa，^pb，^λa，^λb）s.t.：^paN=^paN-1，^pbN=^pbN-1（使平衡点LTC）和相关的（^p，^q，0）形成最优控制，产生值函数Vn（s）=s+λan-s-λbn。附录A包含描述此类族（pa、pb、λA、λb）的必要和充分条件。特别是，我们从推论9.1和9.2中得出（^paN）-1，^pbN-1，^λaN-1，λbN-1）在单周期情况下组建合适的家庭[N]- 1，N]，如果他们解决了以下系统：（3.2）^paN-1.∈ arg maxp∈重新（p- ^pbN-1.- ξ） 1{ξ>p}, ^pbN-1<0，^pbN-1.∈ arg maxp∈重新（^paN）-1.- p+ξ）1{ξ<p}, ^paN-1> 0，^λaN-1=^pbN-1+ αt+E（^paN）-1.- ^pbN-1.- ξ） 1{ξ>^paN-1},λbN-1=^paN-1+ αT- E（^paN）-1.- ^pbN-1+ξ）1{ξ<^pbN-1},^pbN-1.≤^λaN-1，λbN-1.≤ ^paN-1，^paN-1.≥ ^pbN-1+ |α|t、为了确保离散时间模型的正则条件概率的存在，我们可以，例如，假设由标准Borel空间中具有值的随机元素生成ftisg。式中ξ=pN~ N（α）t、 σt）。让我们来评论一下（3.2）中等式的经济意义。前两行中的预期代表在所选价格水平p+pN的时间N执行限价订单的相对预期收益-1.与在时间N时将存货标记为市场价格相比，以书的另一面可用的最佳价格：即pbN=^pbN-1+ξ+pN-1或盘=^盘-1+ξ+pN-1.

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2022-5-9 03:25:00

请注意，当且仅当时间N的基本价格高于或低于所选的限价指令时，才会执行限价指令：即ifpN-1+ξ>p+pN-1或pN-1+ξ<p+pN-1.很明显，只有当相对预期利润为非负时，代理人发布限额订单才是最佳选择，当且仅当^pbN-1<0<^paN-1.（3.2）中的第三行和第四行代表代理人在时间N的预期执行价格- 1，假设他们使用（^paN）给出的控制-1，^pbN-1). 每一个右边都是两个组成部分的总和：发布限价订单的相对预期利润和时间N时按市价计价的预期价值，相对topN测量-1.让我们分析（3.2）最后一行中的不等式。如果投标价格在时间N- 1超过长期代理（即^pbN）的预期执行价格-1+pN-1> ^λaN-1+pN-1，那么每一个拥有正库存的代理都倾向于在时间N提交市场订单，而不是限价订单-1，这会导致LOB的ask端退化。同样，我们建立了λbN-1.≤ ^paN-1.最后，如果α>0且^paN-1<^pbN-1+ αt、代理人可以在时间N使用市场指令购买资产- 1.以^paN的价格-1+pN-1，并在时间N以预期价格^pbN出售-1+pN-1+ α^paN-1+pN-1（α<0时，反向策略有效）。这一策略可以被扩展以产生有限的预期利润，因此，被（3.2）最后一行中的最后一个不平等排除在外。我们通过解（3.2）的前两行给出的定点问题，并验证所需不等式成立，从而构造（3.2）的解。我们在MatLab中实现了这个计算，结果可以显示为图1中图形的最右点。从数值解中，我们可以看到如果足够小，条件就足够了-1.≤^λaN-1和λbN-1.≤ ^paN-1感到满意（参见。

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2022-5-9 03:25:03

图1的右侧部分）。此外，对于α≥ 我们有^paN-1.- ^pbN-1.- ξ|ξ>^paN-1.= ^paN-1.- ^pbN-1.- Eξ|ξ>^paN-1.≤ ^paN-1.- ^pbN-1.- αt、这就产生了（3.2）中的最后一个不等式。α<0的情况也被类似地处理。注意，^λaN=^pbN=^pbN-1和^paN-1=^paN=^λbN。因此，我们构建的单周期均衡满足：（3.3）^pbn≤λan，λbn≤ ^pan，^λan+1<0，^λbn+1>0，对于n=n- 1.如果（3.3）中的前两个不平等中的一个失败，代理人会选择提交市场订单，而不是限制订单，这会导致LOB退化——它的一面消失。如果最后两个不等式中的一个失效，在任何价格水平下执行限价令都会为账簿一侧的代理人产生负的相对预期收益（由（3.2）第一行或第二行中的预期给出）。因此，所有此类代理停止发布任何限价订单已成为当务之急，LOB也随之退化。后者被解释为逆向选择效应。例如，如果（3.3）中的第三个不等式失败，那么，每个做多代理都相信，无论她的限价单发布的价格是多少，如果在下一个时间段执行，她在下一时间步的预期执行价格将高于执行限价单的价格。因此，发布限价单是次优选择。在一段时间内[N]- 1，N]，通过选择足够小的t、我们可以确保（3.3）中的不等式得到满足。然而，事实证明，当我们递归地构建一个均衡时，我们可能会遇到（3.3）中的一个不等式失败的时间步，这意味着在给定的时间段内（至少使用所提出的方法）无法构建非退化LTC均衡。

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2022-5-9 03:25:07

要了解这一点，请考虑（^pa，^λa）的递归方程（选择这些方程是为了满足附录a中推论9.1的条件，给出了ouransatz）：（3.4）^pan∈ arg maxp∈重新P-^λan+1- ξ{ξ>p},^λan=^λan+1+αt+E^pan-^λan+1- ξ{ξ>^pan）}< 0时，限价订单的执行在所选的ansatz中很简单，因为书的每一边（即多头或短头）的代理以相同的价格发布订单。事实上，严格证明任何（α，σ）系统都存在唯一的解决方案并不困难，只要t足够小了。为了简洁起见，我们省略了这个结果。这很容易直观地解释，因为（3.2）的前两行中的最佳目标值的形式为C√t+αO(t）。对于（^pb，^λb）也是如此。利用高斯分布的性质，很容易看出，如果^λan+1<0，则^pan>0。类似的结论适用于（^λb，^pb）。因此，如果λak<0<λbk，对于k=n+1，N、我们的方法允许我们在时间间隔[N，N]上构造一个非退化LTC均衡，^pb<0<^pa。如果代理是市场中性的，这种构造总是成功的：即α=0。实际上，在这种情况下，假设^λan+1<0<^λbn+1，我们有^pbn<0<^pan和^λan+1+E^pan-^λan+1- ξ{ξ>^pan）}+= E^λan+1{ξ>^pan）}+ E（^pan）- ξ） 1{ξ>^pan）}< 因此，λan<0，同样，我们推断λbn>0。通过归纳，我们得到了任意（N，σ）的非简并LTC平衡[0，N]，只要α=0。推论4.1表明→ ∞, 过程（λa，λb）收敛到零，这意味着预期执行价格收敛到基本价格。后者被解释为高频交易制度下的市场效率：任何市场参与者都希望以基本价格购买或出售资产。

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2022-5-9 03:25:12

图2的左侧显示，如果α=0，买入价和卖出价也会收敛到基本价。这可以解释为增加交易频率的积极流动性效应。然而，如果α6=0，情况就完全不同了。例如，假设α>0。然后，（3.4）的第二行表示^λ至少增加αt在（向后）递归的每一步。回想一下，步骤数是N=T/t、因此，λa≥λaN+αT。如果|λaN |很小（如果N很大，通常就是这种情况），那么我们可以得到^λaN+1≥ 0，在某个时间n，这违反了（3.3）中的第三个不等式，或者，等价地，意味着（3.4）第一行中的目标对于所有p都是严格负的。后者意味着，对于具有正库存的代理来说，下达限额订单是次优的，并且所提出的方法无法在区间[n，n]中产生非退化的LTC均衡。图1显示了这种情况确实发生了。图1和图2还表明，对于给定的（有限）频率N，如果|α|足够小，仍然可以构造非简并平衡。然而，对于任何|α| 6=0，无论它多么小，都存在足够大的N，s.t。非退化平衡不存在（至少在所提出的方法定义的类别内）。如图2所示。重要的是提供一种经济解释，解释为什么会发生这种退化。仔细检查图1可以发现，大约在^λabe为非负时，要价^paexplode。这意味着想要出售资产的代理人只愿意以非常高的价格出售资产。还请注意，该价格比基本价格的预期变化大几个数量级（由图1左侧的黑色虚线表示）。

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2022-5-9 03:25:15

因此，这样的行为不能由基本原则的行为来证明。事实上，这正是所谓的内生流动性危机。那么，是什么导致了这种流动性危机呢？重申市场退化有两个潜在原因：代理人可以选择提交市场订单（如果^pbn>^λanor^pan<^λbn），或者他们可以选择等待，什么也不做（如果^λan+1）≥ 0或λbn+1≤ 0). 图1的右侧显示，简并度是由第二种情况引起的。这意味着，对内生流动性危机的天真解释是错误的，这种解释的依据是，在一个看涨的市场中，那些需要购买资产的人会提交市场订单，抹去账面卖方的流动性。相反，如果书中卖方的代理人有相同的信念，他们会提高要价，这样想购买资产的代理人就不能再提交市场购买订单。事实上，要价的上涨可能与基本价格（即信号）的预期变化不成比例，这就是导致内生流动性危机的原因。由此产生的买卖价格变化的大小不仅取决于信号，还取决于交易频率，这表明了增加交易频率的负面流动性效应：由于代理人偏离市场中立性，市场变得脆弱。反过来，后者的解释是，更高的交易频率加剧了逆向选择效应。要了解这一点，请考虑，例如，一家代理试图出售资产的一部分。增加交易频率会增加该代理的预期执行价值，使其更接近基本价格：这相当于^λA接近零（从下面开始）。假设代理以p的价格发布限价销售订单。

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