然而，后一篇论文并没有研究这一现象的本质，而是关注其他问题。在关于双重拍卖的文献中（参见杜和朱（2014）、瓦亚诺斯（1999）），当拍卖参与者选择在给定拍卖中减少交易活动时，会产生类似的效果，因为他们预计未来会有更多的交易机会。在本例中，后者类似于代理商选择放弃限价订单而等待。4.主要结果在这一节中，我们推广了前面的结论，使它们适用于一般模型和任何平衡。和前面一样，我们从“限制”连续时间模型开始。考虑终端时间范围T>0和完全随机基(Ohm,~F=（~Ft）t∈[0，T]，P），上面有布朗运动W。我们将适应过程定义为（4.1）~pt=p+ZtσsdWs，p∈ R、 其中σ是一个渐进可测的局部平方可积过程。假设4.1。存在一个常数C>1，因此，1/C≤ σt≤ C、 尽管如此，t∈ [0，T]，P-a.s。。考虑一组Borel信念a和相关的测度{Pα}α族∈怡安(Ohm,对于P，FT）是绝对连续的。那么，对于任何α∈ A、 我们有pt=p+Aαt+ZtσsdWαs，p∈ R、 Pα-a.s。，T∈ [0，T]，其中Wα是Pα下的布朗运动，aα是有限变化过程。我们假设Aα是绝对连续的：即，对于任何α∈ A、 存在一个局部可积过程μα，使得Aαt=Ztμαsds，Pα-A.s。，T∈ [0，T]。假设4.2。对于任何α∈ A、 这个过程是P-A.s。

右连续，存在一个常数C>0，这样|μαt |≤ C、 尽管如此，t∈ [0，T]，P-a.s。。因此，我们可以重写p的动力学，在每个pα下，如下所示：pα-a.s.，以下适用于allt∈ [0，T]（4.2）~pt=p+Ztμαsds+ZtσsdWαs，p∈ R.此外，我们在一组Pα-测度零点上修改了上述随机积分，使得（4.2）适用于所有（t，ω）。在接下来的内容中，我们通常需要同时分析各种（t，α）的punder Pα的未来动力学，条件是Ft。这就是为什么我们需要下面的联合规则性假设。为了确保离散时间模型的正则条件概率的存在，我们可以，例如，假设由标准Borel空间中具有值的随机元素生成ftisg。假设4.3。存在规则条件概率n~Pαt=Pα的修正·|~Ftot∈[0，T]，α∈A、 以满足与P有关的塔楼属性（如第2.1节所述）。假设4.3满足，例如，如果Pα~ P、 无论如何∈ A、 或者如果集合A是可数的。在本文的其余部分，Pαt指假设4.3中出现的家族成员。所有的条件期望值Eα皮重都是在这样的Pαt下得出的。本节的主要结果要求对σ和|α进行额外的连续性假设。以下假设可以被视为σ的L-连续性的一个更强版本。假设4.4。存在一个函数ε（·）≥ 0，使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0和，P-a.s.～PαtEα（σs）∨τ- στ）| Fτ≤ ε(（t）= 1.所有t∈ [0，T- t] 都是s∈ [t，t+t] ，所有停车时间t≤ τ ≤ s、 所有这些∈ A.例如，如果σ是一个有界漂移和扩散系数的It^o过程，则满足上述假设。接下来，我们陈述一个关于漂移的连续性假设，它可以被解释为鞅Eαtμαs概率的一致右连续性。假设4.5。

对于任何α∈ A和任何t∈ [0，T），存在一个确定性函数ε（·）≥ 0，使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0和Pα-a.s.～PαtZTt~Eαtμαs-~Eαtμαsds≥ ε(t） !！≤ ε(t） 坚持到底≤ T≤ T≤ t+T≤ T请注意，假设4.3、4.4和4.5并不十分标准。因此，在下文中，我们描述了一个更为具体（尽管仍然相当普遍）的基于扩散的框架，其中假设4.1–4.5简化为扩散系数的标准规则性条件，并且易于验证。为此，考虑一个模型，其中|αt=¨α（t，Yt），σt=¨σ（t，Yt），在P下，过程Y是一个扩散，取RddYt=Γ（t，Yt）dt+∑（t，Yt）d′Bt中的值，其中Γ：[0，t]×Rd→ Rd，∑=（∑i，j）是[0，T]×Rd上的一个映射，其值在d×m矩阵空间中，`B是P（在原始随机基上）下的m维布朗运动。我们假设Γ和∑具有足够的正则性，从而得出Y是强马尔可夫过程的结论。请注意，假设4.1和4.2推导出了函数¨α和¨σ的上界和下界。如果我们假设Pα~ P、 无论如何∈ A.让我们进一步假设每个测量的Radon Nikodym导数为Girsanovform:dPαdP=exp-Ztkγα（s，Ys）kds+Ztγα（s，Ys）d′Bs,一个Rd值函数γα，对于每个α∈ A.假设Γ、γα和∑的所有条目都被一个常数（一致地覆盖在α上）绝对限定∈ A） 。此外，假设“σ”是全局Lipschitz，我们很容易验证假设4.4。为了验证假设4.5，我们假设由A（t，y）：=∑（t，y）∑t（t，y）生成的二次型是有界的，在所有（t，y）上是一致的，并且Γ、γα和∑的项是连续可微的，具有绝对有界导数（一致地在α上）∈ A） 。

然后，费曼·卡福尔穆拉暗示，对于任何≤ s、 αt=us的偏微分方程tus，α+dXi=1Γα，iyius，α+dXi，j=1Ai，jyiyjus，α=0，（t，y）∈ （0，s）×Rd，us，α（s，y）=′uα（s，y），和Γα=Γ+γα。假设，对于每个∈ [0，T]，函数¨μα（s，·）在绝对有界导数下连续可微，在所有（s，α）上一致。然后，上述偏微分方程基本解导数的标准高斯估计（参见Friedman（1964）中的定理9.4.2）意味着yius，α是绝对有界的，在所有（s，α）上是一致的。然后是It^o公式和It^o等距屈服，对于所有t≤ 看台≥ t:~Eαt~Eαtμαs-~Eαtμαs=mXj=1Zt∧stEαtdXi=1α（v，Yv）∑i，j（v，Yv）！dv≤ C（t）∧ s- t） ，常数C>0。上述估计和Jensen不等式暗示了假设4.5的陈述，并完成了基于扩散的环境的描述。如第3节所述，我们还考虑了一个逐步可测量的随机场D，s.t.P-a.s.函数Dt（·）-对于任何0，Ds（·）严格递减并在零处消失≤ s<t≤ T.我们假设需求曲线，~Dt（·）-~Ds（·），不能“太夸张”。假设4.6。对于任何0，都存在ε>0，s.t≤ T- ε ≤ s<t≤ T，存在一个Fs B（R）-可测随机函数κs（·），s.t.，P-a.s.，κs（·）严格递减且~Dt（p）-~Ds（p）≥ |κs（p）|，对于所有p∈ R.最后，我们介绍了经验分布过程（μt），在S上的有限西格玛加和测量空间中的值。下一个假设是，每个μt由一个确定性测量控制。假设4.7。无论如何∈ [0，T]，存在一个有限的西格玛加性度量单位uT（S，B（S）），S.T.，P-a.S.，μT是绝对连续的w.r.T.uT。我们将时间间隔[0，T]划分为N个大小的子间隔t=t/N。

离散时间模型是通过离散连续时间oneFn=~Fn得到的t、 pn=~pnt、 Dn（p）=（Dn）T-~D（n）-1)t） （p- pn），un=~unt、 在我们对上述主要假设进行评论之前，让我们先来评论一下。从技术角度来看，这些假设很重要，然而，其中一些假设有经济解释，可以对随后的结果提供（部分）直观的解释。特别是，假设4.1确保基本价格保持“嘈杂”，这意味着如果没有其他订单发布，代理人可以通过发布接近p现值的限价单来快速执行限价单。结合假设4.6，后者意味着，当频率N较高时，代理人有很多机会以接近基本价格的价格执行其限价指令（至少，如果没有其他订单发布得太接近基本价格）。直觉上，这意味着代理的执行值应该随着频率的增加而提高。假设4.5确保，如果管理层有一个关于基本价格方向的信号，那么这个信号是持续的——也就是说，它在适当的意义上是连续的。当交易频率N较大时，这种持续性意味着代理人有大量机会利用信号，这意味着她并不急于立即执行订单。下面给出的这项工作的主要结果及其证明证实了这些启发性结论确实是正确的。如前几节所述，我们的主要目标是分析增加交易频率对流动性的影响。因此，我们定义了一个极限连续时间模型，并考虑了一系列离散时间模型，从上述极限模型中获得，用于N→ ∞.

这可以解释为在允许不同交易频率的各种交易中，观察相同的代理人群体，每个人都有一个固定的未来需求连续时间模型。我们从以下定理开始，该定理表明，如果给定序列中的每个市场模型都允许非退化均衡，那么，随着交易频率的增加，终端买入价和卖出价会收敛到基本价格。定理4.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4,4.6,4.7成立。考虑一个给定时间间隔[0，T]的均匀划分族，其直径为{t=t/N>0}和相关的离散时间模型族，并用p0表示相关的基本价格过程，t、 假设每个这样的模型都允许一个非退化LTC均衡，并用pb表示相关的买入价和卖出价，坦帕，分别地。然后，存在一个确定性函数ε（·），s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，对于所有足够小的t>0时，以下保持SP-a.s.：帕tN- p0，tN+PBtN- p0，tN≤ ε(t） 上述定理有一个有用的推论，可以解释为：如果市场不会随着频率的增加而退化，那么这样的增加会提高市场效率。在这里，我们理解“提高效率”，即每个代理人的预期执行价格（即，代理人预期在游戏结束时收到或支付的每股价格）收敛于基本价格。推论4.1。在定理4.1的假设下，用A表示每个平衡点的支撑按λa计算的相关预期执行价格，tandλb，t、 然后，存在一个确定性函数ε（·），使得ε(（t）→ 0，作为T→ 0，P-a.s.，supn=0，。。。，N、 α∈~ATλa，总氮（α）- p0，tn+λb，总氮（α）- p0，tn≤ ε(t） ，对于所有足够小的t>0。证明：表示Eαn=~EαnT

根据附录A中的推论9.1和LTC平衡的定义λA，tN（α）=pb，tn和λb，tN（α）=pa，tN.从推论9.1（或者更一般地说，从值函数的定义）也可以得出λa，t（α）是一个上鞅，λb，t（α）是Pα下的一个子鞅。因此，我们有：λa，总氮（α）≥ Eαnpb，tn和λb，总氮（α）≤ Eαnpa，另一方面，注意我们必须有：λa，总氮（α）≤ Eαnpa，tn和λb，总氮（α）≥ Eαnpb，例如，假设λa，tn（α）>Eαnpa，关于这次活动Ohm正Pα概率。考虑一个处于状态（0，α）的代理，他遵循状态（1，α）代理的最佳策略，从时间n开始，直到事件发生Ohm（否则，她什么也不做）。不难看出，这一战略的目标价值Ohmλa，总氮（α）- Eαnpa，tN> 0，这与推论9.1相矛盾。第二个不等式也有类似的表现。因此，我们得出结论，对于anyn=0，N-1，都是λa，n（α）和λb，n（α）属于αnpb区间，tN，Eαnpa，tNi反过来收敛到零，如下所示：T→ 0，因为在命题4的证明中获得了确定性界。1.定理4.1和推论4.1的结果可以被视为一个更普遍观察的特例：随着摩擦变小，市场变得更有效。在目前的情况下，有限的交易频率被视为摩擦，而市场效率是通过买入价和卖出价之间或预期执行价之间的差异来衡量的。根据摩擦类型的选择，可在文献中找到更多类似结果的实例。例如，随着内幕人士的消失，Glosten&Milgrom（1985）和Kyle（1985）的市场变得有效。类似地，随着交易频率的增加和私人信号的消失，市场在杜朱（2014）中变得有效。

Brunnermeier&Pedersen（2005）中也提到，如果不限制代理商库存的规模，市场将变得有效。以上结果证明了高交易频率的积极作用。然而，它们基于这样一个假设，即市场不会随着频率的增加而退化。在第3节中，我们看到，只有当代理人是市场中立的（即α=0），市场才不会退化。如果违反了这一条件，且频率N足够高，则市场不承认任何非退化均衡（即，不存在安全机制，流动性危机永远不会发生）。事实证明，这个结论在本文考虑的一般情况下仍然成立。定理4.2。假设4.1,4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.7成立。考虑一组给定时间间隔[0，T]的均匀分区，其直径为{t=t/N>0}，包含任意小的t、 以及离散时间模型的相关家族。假设每一个这样的模型都允许一个非简并的LTC平衡，具有相同的支持度a。那么，对于所有α∈~A，我们有：~pis，Pα下的鞅。上述定理表明，如果交易频率N足够大，即使信号α非常小（但非零），市场也会退化。因此，正如第3节末尾所讨论的，这种退化不能归因于任何根本原因，我们称之为内生流动性危机。让我们为定理4.2的陈述成立的原因提供一个直观的（启发性的）论证。首先，假设所有多头经纪人（即持有正库存的经纪人）都看好资产（即持有正漂移）。

然后，与第3节类似，更高的交易频率放大了逆向选择效应，迫使做多机构从市场中撤出流动性（即，他们更愿意无所事事，等待更高的基本价格水平）。请注意，在当前设置中，代理可能有不同的信念，LOB可能有复杂的形状和动力学，并且预期的执行价格不再具有确定性。所有这些都使得我们很难简单地描述高频如何放大逆向选择。尽管如此，对该案例的一般分析仍然基于第3节末尾讨论的想法：它与Eαn的速度有关t（pn+1-p | pn+1>p）消失（随着频率的增加），相对于预期执行价格接近基本价格的速度。因此，为了避免市场退化，必须有非零数量的市场中性或看跌的多头经纪人。随着交易频率的增加，这些代理将在较低的级别发布限价订单。接下来，假设存在看涨因素（多头、空头或零库存）。然后，在足够高的交易频率下，代理人对资产单股多头头寸的预期价值将超过市场中性和看跌多头代理人公布的ASK价格。在这种情况下，看涨的经纪人更愿意以公布的要价购买更多股票，以便以后出售。由于代理人规模较小，且其目标是线性的，看涨代理人可以扩大其策略，以产生有限的预期利润。这与最优的定义相矛盾，并意味着均衡不存在。

因此，所有经纪人都必须是市场中性的或看跌的。运用对称论证，我们得出结论，所有代理人都必须是市场中立的。第7节给出了上述论点的严格公式，构成定理4.2的证明。值得一提的是，Glosten&Milgrom（1985）中也记录了LOB的可能退化，并将其称为“市场关闭”。后一篇论文中使用的设置非常不同：它分析了报价驱动的交易（即，与指定做市商的交易），并假设存在具有高级信息的内部人。然而，在目前的情况下，我们有可能与LOB简并度相平行。也就是说，Glosten&Milgrom（1985）中的退化发生在内部人数量增加时，这意味着内部人交易产生的信号变得足够大。后者类似于当前环境下基本价格的马丁尼性偏差。然而，Glosten&Milgrom（1985）内部人员数量的增加也意味着摩擦的增加（因为内部人员可以被解释为Glosten&Milgrom（1985）中的摩擦）。另一方面，定理4.2指出，当摩擦足够小时，就会出现市场退化。也许，内部人员数量的双重作用不允许对Glosten&Milgrom（1985）的市场关闭进行详细分析。市场微观结构的许多其他模型（参见Goettler等人。

（2005年）、Rosu（2009年）、Palour（1998年）、Foucault（1999年）、Du&Zhu（2014年））不太适合分析市场退化，这可能是因为这些模型中的代理人追求“一次性”策略（即他们不能选择等待并在以后发布限价单），或者因为基本价格（或其类似物）被限制为鞅。5 It^o过程的边际分布的条件尾根据前面章节的讨论，为了证明本文的主要结果，我们需要研究基本价格p的边际分布的性质（更准确地说，是其增量的分布）。为了证明定理4.1，我们需要证明，随着频率N增加到单位，基本价格和买入或卖出价格之间的差异收敛到零。事实证明，对于这一论点，以及定义2.2要求对所有α都是最优的这一事实，解释了为什么REM 4.2的声明适用于所有α，而不是un-a.e.，α∈~A.目的，有必要表明pC的标准化增量的分布接近标准正态分布。下面的引理总结了这些结果。它相当简单，但技术性很强，因此，其证明附在附录B中。为了表述结果（并便于后续章节中的推导），我们引入了附加符号。为了便于标注，我们去掉了上标对于某些变量（我们只在重要时强调这种依赖性）。对于时间间隔[0，T]上的任何市场模型，都与直径为的均匀划分相关联t=t/N>0，并且有一个基本的价格过程p，我们定义（5.1）ξN=pn- pn-1=~ptn- ■ptn-1，Eαn=~Eαtn，Pαn=~Pαtn，tn=nt、 n=1。

，新界/t、 我们用η表示一个标准正态随机变量（可能在扩展概率空间上），它在每个Pα下独立于fn。引理5.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4成立。然后，存在一个函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，以下为所有P的P-a.s∈ R、 全α∈ A、 所有n=1，N，（i）（p）∨ 1)Pαn-1.ξn√t> p- Pαn-1.σtn-1η>p≤ ε(t） ，（二）Eαn-1.ξn√t{ξn/√t> p}- Eαn-1.σtn-1η{σtn-1η>p}≤ ε(t） 。此外，如果我们将（ξn，η，p）替换为(-ξn，-η, -p） 。为了证明定理4.2，我们需要比较条件期望Eαn（pn+1）的速率-p | pn+1>p）消失（随着频率N变为单位）到预期执行价格收敛到基本价格的速率。这需要进行更细致的分析——尤其是，仅仅将（标准化的）基本价格增量的分布与高斯分布接近已经不够了。事实上，我们需要的是对基本价格增量分布的条件尾部的精确统一估计。期望的性质在下面的引理中得到了表述，我们相信，它本身是有价值的。这一结果使我们能够用指数形式近似地估计It^o过程的条件边际分布的尾部。据我们所知，这个结果是新的。建立期望估计值的主要困难在于：（a）我们估计的是有条件的，而不是常规的，尾部的；（b）估计值需要在参数值上保持一致。请注意，即使在扩散过程X的情况下，X的边缘分布尾部的经典高斯型边界也不足以确定所需的估计。

原因是，一般来说，由于参数值较大，从上到下的规则尾的高斯估计具有不同的衰减阶，这使得它们无法对条件尾（两个规则尾的比率）进行预处理。引理5.2。考虑以下随机基础上的连续半鞅（^）Ohm, （^Ft）t∈[0,1]，^P）：Xt=Zt^uudu+Zt^σudBu，t∈ [0,1]，其中B是布朗运动（关于给定的随机基），^u和^σ是逐步可测量的过程，因此上述积分定义良好。假设对于[0,1]中的任何停止时间τ≤ |^στ| ≤ C持有a.s.，其中一些常数C，C>0。然后，存在ε>0，仅取决于（c，c），s.t.，如果^μτ≤ ε、 ^E^s∨τ- ^στ）|Fτ≤ εa.s.，适用于所有s∈ [0,1]和所有停止时间τ，其值在[0,1]中，那么，对于任何c>0，存在c>0，仅依赖于（c，c，ε，c），s.t。以下情况成立：^P（X>X+z |X>X）≤ 总工程师-cz，x、 z≥ 0.证明：在证明过程中，我们将使用简写符号^Eτ和^Pτ来表示条件检验和条件概率w.r.t^Fτ。我们还表示at=Zt^uudu，Gt=Zt^σudBu。对于任何x≥ 0，让我们引入τx=1∧ inf{t∈ [x}:1。然后^P（X>X+z）≤^P（监督）∈[0,1]Xt>x+z）=^E{τx<1}Pτxsups∈[τx，1]（Xs）- x） >z！！注意，在{τx≤ s} ，我们有：Xs- x=As∨τx- Aτx+Gs∨τx- Gτx.此外，过程（Y）s∈[0,1]，其中Ys=As∨τx-Aτx，适用于过滤（^Fτx∨s） ，而过程（Z）是∈[0,1]，其中Zs=Gs∨τx-Gτx是关于它的鞅。接下来，在{τx<1}上，我们有：Pτxsups∈[τx，1]（Xs）- x） z=^Pτxsups∈[0,1]（Ys+Zs）>z！≤^Pτxsups∈[0,1]expcZs-奇兹> 经验cz- C√ε -复写的副本!,我们利用了hZis≤ hXi≤ C、 为了所有的人∈ [0, 1].

使用Novikov条件，很容易检查ms=expcZs-奇兹, s∈ [0，1]是真鞅，因此，我们可以应用Doob的鞅不等式来获得{τx<1}:Pτxsups∈[0,1]expcZs-奇兹> 经验cz- C√ε -复写的副本!≤ 经验-cz+c√ε+cC.收集上述不等式，我们得到（5.2）^P（X>X+z）≤^P（监督）∈[0,1]Xt>x+z）≤ C（ε）e-cz^P（τx<1）=C（ε）e-cz^P（监督）∈[0,1]Xt>x）。下一步是通过X分布的尾部来估计运行最大值的分布尾部。为此，我们按照之前的步骤进行：（5.3）^P（X>X）=^E{τx<1}Pτx（Y+Z>0）,上面定义了Y和Z。注意，在{τx<1}上，^Pτx（Y+Z>0）=^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx+√1.- τxZτx^uudu+√1.- τxZ（^σu）∨τx- ^στx）dBxu>0,其中Bxs=Bs∨τxis关于（^Fs）的连续平方可积鞅∨τx）。表示=Zs（^σu）∨τx- ^στx）dBxu，s∈ [0,1]，注意它是关于（^Fs）的平方可积鞅∨τx）。然后，在{τx<1}上（可能没有一组测度零点），我们有：^Eτx√1.- τxR=1.- τx^EτxR≤1.- τxZτx^Eτx（^σu）∨τx- ^στx）du≤ ε.此外，^Eτx√1.- τxZτx^uudu≤ ε.收集上述信息并使用切比雪夫不等式，我们在{τx<1}上得到：^Pτx（Y+Z>0）-^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx≤ -ε1/3≤ 2ε1/6.另一方面，由于布朗运动的强马尔可夫性质，在{τx<1}上，我们有，a.s.：^Pτx^στxB- Bτx√1.- τx≤ -ε1/3=^Pξ ≤ -ε1/3σσ=^στx，其中ξ是标准法线。As^στx∈ [c，c]，我们得出结论，上面的右边收敛到1/2，如ε→ 0，一致地覆盖{τx<1}中几乎所有的随机结果。

特别是，对于所有足够小的ε>0，我们有：{τx<1}^Pτx（Y+Z）≤ 0) -^Pτx（Y+Z>0）≤ 1{τx<1}δ（ε）<1，并且，鉴于（5.3），^P（x>x）≥^E{τx<1}Pτx（Y+Z）≤ 0)- δ（ε）^P（τx<1）将上述不等式和（5.3）相加，我们得到^P（x>x）≥ (1 - δ（ε））^P（τx<1）=（1- δ（ε））^P（supt∈[0,1]Xt>x），它与（5.2）一起产生引理的陈述。6定理4.1的证明在本证明的范围内，我们采用（5.1）中介绍的符号，并使用以下约定。注释公约6.1。LOB、买卖价格、预期执行价格和需求都是相对于p来衡量的。也就是说，我们用ν来表示νno（x 7→ x+pn）-1，panto表示pan-pn，pbn表示pbn- pn，λanto表示λan- pn，λbn表示λbn- pn，Dn（p）表示Dn（pn+p）。在此，我们只关心最后一个交易期内发生的事情——时间（N-1） ，其中N=T/t、 因此，我们省略了下标N-1只要上下文清楚。特别是，我们为paN编写了paN和PBP-1和pbN-1，ν表示νN-注意，在LTC平衡中，我们有：pa=paN=paN-1，对于pB和ν具有相似的等式。为了方便起见，我们还删除了上标t在LOB和相关的出价和要价中。最后，我们用A表示给定平衡的支撑。由于Pad和pb在我们的模型中的作用是对称的，我们将只证明pb命题的陈述。

我们将证明，在定理的假设下，存在一个常数C>0，仅取决于假设中的常数C。1和4.2，这样，对于所有足够小的t、 我们有，P-a.s.：（6.1）- C≤ 铅/√t<0首先，我们引入^Aα（p；x），我们称之为简化目标：（6.2）^Aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、- ξ） 1{ξ>p}.回想一下，在上一个时间段，在价格水平p下发布限价销售订单的预期相对收益由aα（p；pbN）给出，其中（6.3）aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、- ξ） 1{D+N（p-ξ)>ν+((-∞,p） ）}.回想一下，根据符号惯例6.1简化目标类似于α，但它假设没有比代理商发布的订单价格更好的订单。特别地，对于p，^Aα（p；x）=Aα（p；x）≤ pa.附录A中的推论9.1规定，在均衡状态下，P-A.s.，如果该状态（s，α）的代理发布限价销售订单，则他们会以最大化真实目标Aα（P；pb）的价格水平P发布订单。下面的引理表明，对于发布接近要价的限价卖出订单的代理，修改后的目标的价值变得接近真实目标的价值。引理6.1。P-a.s.，要么v+（{pa}）>0，要么我们有：Aα（p；pb）-^Aα（pa；pb）→ 0，作为p↓ pa，在整个α上均匀分布∈~A.证明：如果ν+（{pa}）=0，则ν+在pa处是连续的，且+((-∞, p] )→ 0，作为p↓ 爸爸，那么，我们有Aα（p；pb）-^Aα（pa；pb）=EαN-1.（p- PB- ξ） 1{D+N（p-ξ)>ν+((-∞,p） ）}- EαN-1.（爸爸）- PB- ξ） 1{ξ>pa}≤ |P- 帕|+帕- PB- ξL（PαN）-1） PαN-1.ξ>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )因此，有必要证明：（i）帕- PB- ξL（PαN）-1） 由独立于α和（ii）PαN的有限随机变量限定-1.ξN>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )→ 0，P-a.s.，作为P↓ pa，在α上均匀分布。

对于（i），我们有：帕- PB- ξL（PαN）-1)≤ |帕- pb |+kξkL（PαN-1)≤ |帕- pb |+2C√t、 其中常数C出现在假设4.1和4.2中。对于（ii），我们注意到{ξN>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） ）}={ξN>pa，ξ≤ P- D-1Nν+((-∞, p） )},因为DN（·）是严格递减的，DN（0）=0。假设4.6意味着κ-1(ν+((-∞, p） ））≤ D-1N（ν）+((-∞, p） ）<0，其中κ在时间N已知- 1.因此，PαN-1.ξ>pa，D+N（p- ξ) ≤ ν+((-∞, p） )≤ PαN-1.ξ ∈爸爸，p- κ-1(ν+((-∞, p） ））.仍然需要证明的是，P-a.s.，上面的右边收敛到零，在整个α上是一致的。假设它不成立。然后，在正概率P下，存在ε>0和（pk，αk）序列，例如↓ paandPαkN-1.ξ ∈ （爸爸，爸爸）- κ-1(ν+((-∞, pk））]≥ ε.请注意，P-a.s.，度量值系列^uk=PαkN-1.o ξ-1.太紧了。例如，后者是基于这样一个事实，即P-a.s.，ξ的条件二阶矩在所有α上一致有界（这反过来又是随机演算中的标准练习）。因此，普罗霍罗夫定理意味着这些度量的子序列弱收敛于R上的某个度量。接下来，请注意，对于所选子序列中的任何固定k，都存在足够大的k^u爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））- uk爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））≤ ε/2.因此，对于子序列中的任何k，我们有^u爸爸，pk- κ-1(ν+((-∞, pk）））≥ ε/2.以上是一个矛盾，作为相应区间（pa，pk）的交点- κ-1(ν+((-∞, 总的来说，k是空的。现在我们准备好证明（6.1）中的上界。引理6.2。在任何非简并LTC平衡中，pb<0<pa，P-a.s。。证明：我们只证明pb<0成立，另一个不等式非常相似。假设pb≥ 正P-概率集上的0Ohm∈ FN-1.我们要证明这会导致矛盾。

首先，推论9。1，在附录A中，意味着，P-A.s.，如果（s，α）状态的代理发布了限价销售订单，那么我们必须有：supp∈RAα（p；pb）≥ 0.此外Ohm, 对于所有α，我们有：^Aα（pa；pb）<0∈在每个PαN下，A，asξ在R中有完全的支撑-1（这反过来又源于σ一致有界远离零的事实）。然后，引理6.1暗示存在FN-1-可测量的\'p≥ 爸，就这样Ohm, 下面的公式适用于a.s.：如果ν+（{pa}）=0，则p>pa，并且在所有情况下，（6.4）aα（p；pb）<0，P∈ [pa，\'p]，α ∈早些时候，代理商在“p”以下发布限价销售订单是次优的。然而，代理商的策略只需要在一组p-度量值为零的情况下是最优的，并且这些集合对于不同的（s，α）可能是不同的。因此，需要做更多的工作来获得所需的矛盾。以B组为例 Ohmx R××A:B={（ω，s，α）|q（s，α）>0，^p（s，α）≤ “p}。该集合相对于FN是可测量的-1.BR××A, 由于^q和^p.Noticethat的可测量性，由于上述讨论和代理人行动的最佳性（参见附录A中的推论9.1），对于任何（s，α）∈ R××A，我们有：P（{ω|）（ω，s，α）∈ B} ）=0，亨森-1ZR×AB（ω，s，α）uN-1（ds，dα）=ZR×AEN-1（1B（ω，s，α）ρN-1（ω，s，α））uN-1（ds，dα）=0，其中ρN-1是氡Nikodym密度uN-1w。r、 t.到确定性度量uN-1（参见假设4.7）。以上暗示，PN-1-a.s.，1B（ω，s，α）ρN-1（ω，s，α）=0，表示uN-1-a.e.（s，α）。还要注意，对于所有（ω，s，α）∈ Ohm×R××A，{p（s，α）≤\'p}^q+（s，α）1Bc=0。根据上述观察结果和平衡定义（参见定义2.4）中的条件（2.4），我们得出以下结论：Ohm, 下面是a.s.：ν+（[pa，\'p]）=0，其中\'p≥ pa，如果ν+（{pa}）=0，那么`p>pa。

这与pa的定义相矛盾（回想一下，由于LOB的非简并性，PAI是P-a.s.定义）。只剩下证明pbin（6.1）的下限了。假设它不成立。也就是说，假设存在一个平衡族，具有任意小的t、 和正P概率FN-1-可测集Ohmt、 这样pb<-C√t onOhmt、 我们将证明，这导致了与pa>0的矛盾。为此，假设代理最大化简化目标函数^Aα，而不是真实目标函数Aα。然后，如果PBI足够负，则所有α的最优价格水平均为负。下面的引理给出了这个问题的精确公式。引理6.3。对于任何足够小的变量，都存在一个常数C>0，s.tt、 存在常数, δ>0，s.t.，P-a.s.，我们有^aα(-δ; 十）≥  + supy≥0^Aα（y；x），对于所有α∈~A和所有x≤ -C√t、 证明：表示“ξ=ξ”/√然后考虑随机函数Aα（p；x）=EαN-1.（p- 十、-ξ）1{ξ>p}.注意^Aα（p；x）=√t\'Aαp/√Tx/√T,因此，我们可以将引理的陈述重新表述如下：对于任何足够小的引理，都存在一个常数C>0，s.tt、 存在常数, δ>0，s.t.，P-a.s.，我们有α(-δ; 十）≥  + supy≥0’Aα（y；x），对于所有α∈~A和所有x≤ -C.注意“Aα”(-δ; 十）-\'Aα（y；x）=-xEαN-1.{-δ<ξ≤y}-EαN-1.ξ1{-δ<ξ≤y}-δEαN-1.{ξ>-δ}-叶αN-1.{ξ>y}在x中是不增加的，因此，这就是α(-δ; 十）- supy≥0′Aα（y；x）。因此，证明上述x=-C.接下来，考虑通过（6.5）Aσ（p；x）=^E定义的确定性函数Aσ（p；x）（p- 十、- ση）1{ση>p},其中η是辅助概率空间（^）上的标准正态随机变量Ohm,^P）。它来自外稃5。1存在一个函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，顺便说一句，我们有α（p；-C）- AσtN-1（p；-C）≤ ε(t） 总之∈~A和所有p∈ R

然后，我们可以选择t足够小，因此ε(t） <, 如果我们能证明存在常数，引理的陈述就会随之而来, δ、 C>0，s.t.，P-a.s.，aσtN-1(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0AσtN-1（y；-C） AsσtN-1(ω) ∈ [1/C，C]，P-a.s.，信息技术足以发现, δ、 C>0，s.t.Aσ(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0Aσ（y；-C） ,，σ ∈ [1/C，C]。请注意，上述不等式不涉及ω或ξ，它只是确定性函数的一个性质。还请注意Aσ（p；x）=σA（p/σ；x/σ），在（6.5）中有Agiven。然后，如果我们分别用F（x）和F（x）表示标准法线的cdf和pdf，我们得到a（p；x）=（p- x） （1）- F（p））-Z∞ptf（t）dt。一个简单的计算给出了A和Aσ（i）的以下有用性质，对于任意σ>0和任意x<0，函数p7→ σ（p；x）有一个唯一的最大化子pσ（x），特别是，它在p中递增≤ pσ（x）和p中的递减≥ pσ（x）。（ii）功能X 7→ pσ（x）=σp（x/σ）=σ（（1）- F）/F）-1(-x/σ）在x<0时增加，并收敛到-∞, 作为x→ -∞.然后，选择Clarge就足够了(-C/C）<0，确保pσ(-C） <0，对于所有σ∈ [1/C，C]。设置δ=-p(-C/C）/C保证pσ(-C）≤ -δ、 无论如何∈ [1/C，C]。然后，根据上面的性质（i），我们得到，对于所有σ∈ [1/C，C]Aσ(-δ; -C） >Aσ（0；-C） =supy≥0Aσ（y；-C） 。最后，作为一个例子(-δ; -C）- Aσ（0；-C） 是σ的连续函数∈ [1/C，C]，我们可以找到, 这样的话(-δ; -C）≥ 3. + supy≥0Aσ（y；-C） ,，σ ∈ [1/C，C]。回想一下，我们的假设是pb<-C√t坚持一套Ohmtof正P-测量。还记得thatpa>0，P-a.s.，因为引理6.2。

然后，引理6.1和6.3暗示存在FN-1-可测量的\'p≥ pa，s.t.，接通Ohmt、 我们有a.s.：如果ν+（{pa}）=0，那么`p>pa，并且在所有情况下，aα（p；pb）<supp∈RAα（p；pb），P∈ [pa，\'p]，α ∈~A.直觉上很明显，以上述价格水平p发布限价销售订单对代理商来说一定是次优的。然而，上述不等式本身并不产生矛盾，因为代理的策略仅在一组P-概率为零的情况下是最优的，并且这些集合对于不同的状态（s，α）可能是不同的。为了与pa的定义相矛盾，我们只需重复引理6.2证明的最后一部分（遵循等式（6.4））。这确保了（6.1）保持并完成了定理的证明。7定理4.2的证明在该证明的范围内，我们采用（5.1）中介绍的符号，并使用符号约定6.1（即我们测量LOB、预期执行价格和需求，相对于p，但保持相同变量的名称）。假设定理的陈述不成立：即存在α∈~A，使得~pis在Pα下不是阿马丁格尔。然后就有了∈ [0，T），s.T.，有正概率Pα，我们有EαspT6=~ps。在不丧失一般性的情况下，我们假设存在一个常数δ>0和一个集合Ohm∈ Fs，在所有随机结果中具有正概率Pα（因此P），s.tOhm, 我们有（7.1）~Eαs（~pT）- §ps）≥ δ（负值的情况类似）。接下来，我们定义一个任意并考虑关联的非退化LTC平衡。引理7.1。存在一个确定性函数ε（·）≥ 0，s.t.ε(（t）→ 0，作为T→ 0，对于任何足够小的t>0，存在n=0，N- 3和Ohm∈ Fn，s.t.Pαn(Ohm) > 0，以下内容将继续OhmPαn+2Eαn+3pN- pn+3≤ δ/2≤ ε(t） 。证据：证据来自假设4.5。考虑t=t=s和t=tn+2。

那么，假设4.5意味着Pαs~Eαtn+2ZTsμαudu-~EαsZTsμαudu≥ ε(t） !！≤ ε(t） 在Ohm, a、 s。。还请注意Eαs（~pT- ~ps）=~EαsTZsμαudu。然后，假设ε(t） 如果足够小，并回顾（7.1），我们得到＠Pαs＠Eαtn+2ZTsμαudu≤ 3δ/4!≤ ε(t） ，在Ohm. 因此，存在一个集合Ohm∈ 财政司司长 Ftn，s.t.~Pαtn(Ohm) > 0和∧Eαtn+2ZTsμαudu≥ 3δ/4，开Ohm. 接下来，我们选择t=s，t=tn+2，t=tn+3，并使用假设4.5，以获得Pαtn+2~Eαtn+3ZTsμαudu-~Eαtn+2ZTsμαudu≥ ε(t） !！≤ ε(t） ，在Ohm, a、 s。。ε假设(t） 如果足够小，利用最后两个不等式，我们得到Pαtn+2Eαtn+3ZTsμαudu≤ δ/2!≤ ε(t） 。最后，根据假设4.2，以及t很小，我们可以用上述等式中的ttn+3μαudu替换μαudu，用δ/4替换δ/2。这就完成了引理的证明。使用状态为（1，α）的代理等待到最后时刻n=n的策略，我们得出结论，过程（λan（α）+pn）必须是Pα下的上鞅。更准确地说，由于最优策略的定义，我们有P-a.s.λan+2（α）≥ Eαn+2λaN（α）+Eαn+2Eαn+3（pN- pn+3）+ξn+3.回想一下λaN（α）=pbNand，由于定理4.1（更准确地说，它来自定理的证明），对于所有足够小的变量，都存在一个常数C>0，s.tt>0，以下为P-a.s。-C√T≤ pbN<0<paN≤ C√t、 因此，我们有P-a.s.（7.2）λan+2（α）≥ -C√t+Eαn+2Eαn+3（pN- pn+3）+ Eαn+2ξn+3。根据假设4.2，我们有，P-a.s.Eαn+2ξn+3≤ CTEαn+3（pN- pn+3）≤ CT，因此λan+2（α）≥ -C√t+CT+Ct、 此外，利用引理7.1，我们得出结论，对于任何足够小的t、 存在n=0，N- 2和Ohm∈ Fn，s.t。

Pαn(Ohm) > 0和pαn+2Eαn+3pN- pn+3≤ δ/2≤ ε(t） ，在Ohm.使用（7.2）并假设t足够小，我们得到λan+2（α）≥ δ/4，开Ohm.接下来，附录A中的推论9.1意味着P-A.s.，pbn+1≥ Eαn+1λan+2（α）+ξn+2ξn+2<pbn+1.因此Ohm, 我们得到了（7.3）pbn+1- Eαn+1ξn+2ξn+2<pbn+1≥ δ/4.下面的引理表明，对于任意数p，基本价格增量的条件期望Eαn+1（ξn+2 |ξn+2<p）随着时间间隔的大小消失而接近p。这个结果来自引理5.2。引理7.2。对于所有足够小的物体，都存在一个常数C>0，s.tt>0，对于任何t∈ [0，T- t] ，以下为P-a.s.支持≤0P-~Eαt~pt+T- ~pt~pt+T- ~pt<p≤ C√t、 证明t：修正t>0，考虑ps的演化，对于s∈ [t，t+t] ，在Pαt~ps下- ~pt=Zstμαudu+ZstσudWαu，其中Wα是Pα下的布朗运动。通过√t、 我们得到了（~ps）- ~pt）/√t=X（s）-（t）/t、 Xs=Zs^uudu+Zs^σud^Wu，s∈ [0,1]，带^us=√tαt+st、 ^σs=σt+st、 ^Ws=√TWαt+sT- Wαt, s∈ [0, 1].请注意，上述过程适用于新的过滤^F，其中^Fs=~Ft+st、 在Pαt下，P-a.s.是关于F的布朗运动。接下来，根据假设4.1和4.4，对于任何足够小的t>0，P-a.s.的动力学(-Xs），在Pαt下，满足引理5.2的所有假设。因此，我们得到了Pαt（X<-十、- z）≤ 总工程师-zPαt（X<-x） ,，x、 z≥ 最后，我们注意到≤0P-~Eαt~pt+T- ~pt~pt+T- ~pt<p=√晚餐≤0P-~Eαt十、X<p=√晚餐≤0P-R∞-px dPαt（X<-x） ~Pαt（x<P）=√晚餐≤0R∞~Pαt（X<P- z） dz~Pαt（X<P）≤ C√t、 这就完成了引理的证明。使用（7.3）和引理7.2，我们得出结论，对于所有足够小的t、 我们有：pbn+1>0Ohm, P-a.s。。

此外，附录A中的推论9.1意味着∈~A，以下为P-A.s.λan+1（α）≥ pbn+1。接下来，由于符号的轻微滥用（在命题4.1的证明中引入了类似的符号），我们考虑了代理人以卖出价pan^aα（pan；λan+1）=Eαn发布限价销售订单的简化目标平锅- λan+1- ξn+1 |ξn+1>pan.上述估计意味着Ohm, 我们有，P-a.s.（7.4）^aα（pan；λan+1）≤ panαE- ξn+1 |ξn+1>pan）- Eαnpbn+1Ohm|ξn+1>pan< 0, α ∈~A.为了获得上述最后一个不等式，我们回顾：Ohm∈ Fnand，P-a.s.，1OhmPn(Ohm \\ Ohm) = 0，pbn+1>0开Ohm, 对于所有α，Pαn（ξn+1>pan）>0∈~A.接下来，重复引理6.1的证明（并使用λan+1绝对有界的事实，如推论4.1所示），我们得出结论，P-A.s.，要么v+n（{pan}）>0，要么Aα（p；λan+1）-^Aα（pan；λan+1）→ 0，作为p↓ pa，在整个α上均匀分布∈~A，这里我们引入真正的目标，Aα（p；λan+1）=EαnP- λan+1- ξn+1{D+n+1（p-ξn+1）>ν+n((-∞,p） ）}.这种趋同以及（7.4）意味着存在一个Fn可测量的“p”≥ 平移，这样，在Ohm, 以下是P-a.s.：如果ν+n（{pan}）=0，那么`P>pan，并且在所有情况下，aα（P；λan+1）<0，P∈ [pan，\'p]，α ∈~A.最后，我们重复引理6.2证明的最后一部分（遵循等式（6.4）），以获得与pan定义的矛盾，并完成定理的证明。

最后一个论点还表明如果规模足够小，代理商发布限价销售订单就变得不太理想，因为这一行动的预期相对收益变为负值，导致市场退化。8总结和未来工作在本文中，我们提出了一个新的市场微观结构建模框架，该框架不要求存在指定的做市商，LOB是内生的，是多个战略参与者（又名代理）之间平衡的结果。该框架基于连续玩家游戏。它非常接近拍卖式交易所的机制，因此，特别是，它可以用来分析交易所规则变化的流动性影响。我们使用提出的框架来研究高交易频率的流动性效应。特别是，我们展示了高交易频率的双重性质。一方面，在没有关于资产的看涨或看跌信号的情况下，更高的交易频率提高了市场的效率。另一方面，在足够高的交易频率下，即使是非常小的交易信号也可能放大逆向选择效应，在LOB中产生不成比例的大变化，这被解释为内生流动性危机。本文提出了许多有待进一步研究的问题。请注意，我们的主要结果是定性的：它们展示了LOB的一般行为，作为交易频率的函数，但不立即允许进行计算。建立定量结果也很有趣。特别是，我们希望在一个比第3节中使用的模型更现实、更具体的模型中构建一个平衡。

这种模型将考虑到异质性信念，并将规定代理人用于形成其信念的特定信息来源（即相关市场因素）。这类模型可以根据市场数据进行校准，并用于研究相关市场参数变化对LOB的影响。最后，为了更好地捕捉交易频率不受限制的市场现状，开发拟议框架的连续时间版本是很有意思的。所有这些问题都是我们的后续论文Gayduk&Nadtochiy（2016）的主题。9附录A这一部分包含了关于代理在拟定游戏中的价值函数表示的一些有用的技术结果。注意，（2.1）和（2.2）意味着，如果ν是可容许的，那么对于任何（α，m，p，q，r），我们有，p-a.s。J（p，q，r）（m，s，α，ν）- J（p，q，r）（m，s，α，ν）≤ |s- s | Eαm | paN |∨ |pbN |，s、 s∈ r这意味着每个J（p，q，r）（m，·α，ν）和Vνm（·α）在p下都有一个连续的修改。因此，只要ν是可容许的，我们就将一个代理的值函数定义为（2.3）左侧的前述连续修改。引理9.1。假设一个可容许LOBν存在一个最优控制。假设对于任何α∈ A、 （2.3）中定义的关联值函数Vνn（·α）相对于Fn是可测量的 B（R）。然后，它满足以下动态规划原则对于n=n和all（s，α）∈ S、 我们有，P-a.S.（9.1）VνN（S，α）=S+pbN- s-平移o适用于所有n=n- 1.

，0和全部（s，α）∈ S、 我们有vνn（S，α）=essupp，q，r{rn=0}EαnVνn+1（s，α）+qnpn+Vνn+1（s）- qn，α）-Vνn+1（s，α）·(9.2) ·{qn≥0，D+n+1（pn）>ν+n((-∞,pn）}+1{qn<0，D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}+1{rn=1}q+npbn- Q-npan+EαnVνn+1（s- qn，α）,在P下取本质上确界，在所有容许控制（P，q，r）上。证明：最重要的一步是证明，对于所有n=0。N- 1和（s，α）∈ S、 （9.3）Vνn（S，α）=essupp，q，rEαnVνn+1Sn，s，（p，q，r）n+1，α- gνn（pn，qn，rn，Dn+1）,在P下取本质上确界，在所有容许控制（P，q，r）和gνn（pn，qn，rn，Dn+1）上=pn{rn=0}+pan{rn=1，qn<0}+pbn{rn=1，qn>0}Sn，s，（p，q，r）n+1不依赖于s。假设J（p，q，r）（n，·α，ν）是目标函数的连续修正。注意，尽管我≤ K≤ n、 我们有，P-a.s.EαkJ（P，q，r）n、 Sm，s，（p，q，r）n，α，ν= J（p，q，r）k、 Sm，s，（p，q，r）k，α，ν+ Eαkn-1Xj=kgνj（pj，qj，rj，Dj+1）注意，对于任何（p，q，r）我们有，p-a.s.：j（p，q，r）（m，s，α，ν）≤ Vνm（s，α），对于所有s∈ 让我们证明（9.3）的左手边小于右手边vνm（S，α）=essupp，q，rJ（p，q，r）m、 Sm，s，（p，q，r）m，α，ν= essupp，q，rEαmJ（p，q，r）m+1，Sm，s，（p，q，r）m+1，α，ν- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）≤ essupp，q，rEαmVνm+1Sm，s，（p，q，r）m+1，α- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）接下来，我们证明（9.3）的右手边比左手边小。

对于任何（p，q，r），我们有，p-a.s.EαmVνm+1Sm，s，（p，q，r）m+1，α- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）= Eαm^，^m+1，Sm，s，（p，q，r）m+1，α，ν- gνm（pm、qm、rm、Dm+1）= J（~p，~q，~r）（m，s，α，ν）≤ Vνm（s，α），其中（~pn，~qn，~rn）与（^pn，^qn，^rn）重合，表示n≥ 当n=m时，它们等于（pm，qm，rm）。通过将状态过程的动力学（2.1）插入（9.3）中，可以很容易地完成证明。以下推论为值函数和最优控制提供了更明确的递归公式。特别是，它指出，一个代理在任何时候的值函数在s中保持线性，在正半线和负半线（可能有不同的斜率）。推论9.1。假设一个可容许的LOBν有一个最优控制（^p，^q，^r）。然后，对于任何（s，α）∈ S、 以下为所有n=0的P-a.S，N-11.Vνn（s，α）=s+λan（α）- s-λbn（α），具有一些适应过程λa（α）和λb（α），使得λaN（α）=pbandλbn（α）=paN；2.潘≥ Eαnλan+1（α）和pbn≤ Eαnλbn+1（α）;3.如果有的话∈ R、 PαnD+n+1（p）>v+n((-∞, p） )> 0，那么≤ Eαnλbn+1（α）|D+n+1（p）>ν+n((-∞, p） );4.如果有的话∈ R、 PαnD-n+1（p）>ν-n（（p，∞))> 0，那么≥ Eαnλan+1（α）|D-n+1（p）>ν-n（（p，∞));5.对于所有大于0的s，oλan（α）=maxpbn，Eαnλan+1（α）+晚餐∈REαnP- λan+1（α）{D+n+1（p）>v+n((-∞,p） ）}+,o 如果^qn（s，α）6=0且^rn（s，α）=0，则λan（α）=Eαnλan+1（α）+supp∈REαnP- λan+1（α）{D+n+1（p）>v+n((-∞,p） ）},p=^pn（s，α）达到上述上确界，如果^qn（s，α）=0和^rn（s，α）=0，那么λan（α）=Eαnλan+1（α），如果^rn（s，α）=1，那么λan（α）=pbn；6.

对于所有小于0的s，oλbn（α）=minpan，Eαnλbn+1（α）-晚餐∈REαnλbn+1（α）- P{D-n（p）>ν-N-1（（p，∞))}+,o 如果^qn（s，α）6=0且^rn（s，α）=0，则λbn（α）=Eαnλbn+1（α）- 晚餐∈REαnλbn+1（α）- P{D-n（p）>ν-N-1（（p，∞))},p=pn（s，α）达到上述上确界，如果^qn（s，α）=0和^rn（s，α）=0，那么λbn（α）=Eαnλbn+1（α），如果^rn（s，α）=1，那么λbn（α）=pan。证明：让我们将值函数的分段线性形式插入（9.2）Vνn（s，α）=essupp，q，r{rn=0}s+Eαnλan+1（α）- s-Eαnλbn+1（α）+Eαnqnpn+（s）- qn）+λan+1（α）- （s）- qn）-λbn+1（α）- s+λan+1（α）+s-λbn+1（α）·{qn≥0，D+n+1（pn）>ν+n((-∞,pn）}+1{qn<0，D-n+1（pn）>ν-n（（请注意，∞))}+1{r=1}q+npbn- Q-npan+（s）- qn）+Eαnλan+1（α）- （s）- qn）-Eαnλbn+1（α）首先，请注意，必须考虑所有随机变量（pn、qn、rn）的本质上确界。此外，本质上确界可以被所有确定性（pn，qn，rn）上的上确界所取代∈ R×{0，1}。为了了解后者，有必要假设最优策略（正概率）无法达到上确界，并通过标准的可测量选择论证（参见Aliprantis&Border（2006）中的推论18.27和定理18.26）构建一个优越的策略，这导致了矛盾。很容易看出，对于任何固定的（pn，s，rn），上述函数在qn中是分段线性的，斜率在qn=0和qn=s处变化。因此，对于一个单位，可容许性约束在这里不会造成任何困难，因为在（pn，qn，rn）没有达到上确界的情况下，它们可以得到改进，以便（pn，qn）增加不超过固定常数。若要存在最大值，此函数的斜率必须在qn处为非负→ -∞, 在qn处为非阳性→ ∞.这必须适用于任何（pn、rn、s），以确保代理人的价值函数是有限的：否则，代理人可以扩大其职位，任意增加价值函数。

考虑rn=1，我们得到了推论的条件2。rn=0的情况产生条件3和4。还要注意，上述函数的最大值总是在qn=0或qn=s时达到。考虑到所有可能的情况：rn=0，1，qn=0，s，s=0，s>0和s<0–我们得到了λana和λbn的递推公式（即推论的条件5和条件6）。此外，当最优qn值为0和s时，很容易看到值函数ins的分段线性结构向后传播，因此，推论的条件1成立。相反的陈述也很有用。推论9.2。考虑一个容许LOBν和容许控制（^p，^q，^r），使得^qn（s，α）∈ {0，s}。假设，对于任何α∈ A和任意n=0，N、 存在一个渐进可测的随机函数vν·（·，α），因此，对于任何∈ R、 P-a.s.（^P，^q，^R，Vν）满足推论9.1的条件1-6。然后，（^p，^q，^r）是LOBν的最优控制。证明：有必要在推论9.1的证明中还原论点，并记住，^q总是可以选择等于0或s，而不会影响最优性。10.引理5.1附录B。下面的引理表明，在条件形式下，标准化价格增量接近高斯。引理10.1。假设4.1,4.2,4.3,4.4成立。然后，存在一个确定性函数(·) ≥ 0，诸如此类(（t）→ 0，作为T→ 0，P-a.s.，对于所有α∈ 所有n=1，N，我们有αN-1.ξn/√T- σtn-1（Wαtn）- Wαtn-1)/√T≤ (t） 。证明：注意：ξn/√T- σtn-1（Wαtn）- Wαtn-1)/√t=√ttnRtn-1-α-sds+√ttnRtn-1（σs）- σtn-1） 然后，使用假设4.2，4.4和It^o等距，我们得到了引理的陈述。下一个引理根据Lnorm和随机变量的某些函数的期望值的接近性来连接邻近性。