货币隐含波动率斜率的小到期渐近性

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Small-maturity asymptotics for the at-the-money implied volatility slope
in L\\\'evy models》
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作者：
Stefan Gerhold, I. Cetin G\\\"ul\\\"um, Arpad Pinter
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
We consider the at-the-money strike derivative of implied volatility as the maturity tends to zero. Our main results quantify the behavior of the slope for infinite activity exponential L\\\'evy models including a Brownian component. As auxiliary results, we obtain asymptotic expansions of short maturity at-the-money digital call options, using Mellin transform asymptotics. Finally, we discuss when the at-the-money slope is consistent with the steepness of the smile wings, as given by Lee\'s moment formula.
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中文摘要：
当到期日趋于零时，我们考虑隐含波动率的货币履约衍生品。我们的主要结果量化了包含布朗成分的无限活度指数LSevy模型的斜率行为。作为辅助结果，我们利用Mellin变换的渐近性，得到了货币数字看涨期权短期到期的渐近展开式。最后，我们讨论了当货币斜率与李矩公式给出的微笑翅膀的陡度一致时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Small-maturity_asymptotics_for_the_at-the-money_implied_volatility_slope_in_Lév.pdf
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能者818

2022-5-5 02:21:44

Levymodelstefan GERHOLD，I.CETIN G¨UL¨UM和ARPAD PINTERAbstract中现金隐含波动率斜率的小成熟度渐近性。当到期日趋于零时，我们考虑隐含波动率的货币履约衍生品。我们的主要结果量化了包含布朗成分的有限活动指数L’evy模型的斜率行为。作为辅助结果，我们利用Mellin变换的渐近性，得到了货币数字看涨期权短期到期的渐近展开式。最后，我们讨论了当货币斜率与李矩公式给出的微笑翅膀的陡度一致时。1.引言近年来，有关期权价格渐近性和隐含波动性的文献激增（许多参考文献参见[4,24]）。这些结果对快速模型校准、定性模型评估和参数化设计具有实际意义。L’evy模型（和推广）中隐含波动水平的小时间行为已被详细研究[7,17,18,19,33,38]。另一方面，我们关注隐含波动率的货币斜率，即履约衍生工具，并研究其在到期日变小时的行为。对于差异模型，当成熟度趋于零时，通常存在一个极限微笑，极限斜率就是这个极限微笑的斜率（例如，对于赫斯顿模型，这是从[14，第5节]）。然而，我们的重点是指数L’evy模型。这里没有无限的微笑可以区分，因为隐含的波动性会扩大到货币[38]。

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大多数88

2022-5-5 02:21:48

事实上，这是一个理想的特性，因为这样一来，L’evy模型更适合捕捉市场上观察到的陡峭的短期到期微笑。但这也意味着，极限斜率不能直接从隐含波动率本身的行为推断出来，需要单独分析。（请注意，如果到期日和原价以适当的方式共同趋于零，那么微笑是有限的[32]。）日期：2018年10月1日2010年数学科目分类。91G20、60G51、41A60、44A15。关键词和短语。隐含波动率，勒夫过程，数字期权，渐近性，梅林变换。JEL分类：G13。我们感谢Jos’e Fajardo、Peter Friz、Friedrich Hubalek、Andreas Kyprianou和MykhayloShkolnikov的有益讨论，并感谢奥地利科学基金（FWF）在P 24880-N25赠款项下提供的财政支持。特别感谢匿名推荐人的全面且非常有用的评论，其中一些评论导致我们改变了论文的核心。2 S.GERHOLD、I.G¨UL¨UM和A.PINTERIt证明，布朗成分的存在具有决定性的影响：没有布朗成分，ATM（在货币处）的斜率（在温和条件下）会爆炸。爆炸是T级的-1/2对于许多型号，但也可能较慢（CGMY Modely with Y∈ （1,2），例如。；参见示例10）。不过，我们的主要结果是关于含有布朗成分的L’evy模型。我们提供了一个结果（第5节中的推论6），将矩母函数的渐近行为转化为ATM斜率的渐近行为。当应用于具体模型时，我们发现斜坡可能会收敛到一个有限的极限（正态逆高斯、梅克斯纳、CGMYmodels），或者以低于T的速度爆炸-1/2（广义回火稳定模型；这种行为似乎是最现实的，见[5]）。

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大多数88

2022-5-5 02:21:51

注意，一些研究[1,2,9]强调了布朗成分在拟合历史数据或期权价格时的重要性。特别是，在许多纯jumpL’evy模型中，ATM隐含波动率随着T收敛到零↓ 0（参见[38]中的命题5以获得精确的陈述），这似乎是不可取的。从实际角度来看，渐进斜率是模型校准的一个有用成分：例如，如果市场斜率为负，那么模型参数的简单约束也会迫使（渐进）模型斜率为负。我们的数值试验表明，即使成熟度不短，斜率的符号也可以通过一阶渐近近似可靠地识别。通过我们的公式，可以根据模型参数轻松确定渐近斜率（当然还有它的符号）。例如，当且仅当偏度参数满足β>-.为了得到这些结果，我们研究了在电话通话时的渐近性；它们与隐含波动率斜率的关系是众所周知的。而对于L′evy过程X，转移概率P[XT]的小时间行为≥ x] （在金融术语中，数字看涨价格）对于x 6=x（参见[20]和其中的参考文献）进行了充分的研究，对于x=x知之甚少。尽管如此，P[XT]的一阶渐近性≥ 十] 是可用的，如果不存在布朗成分，这将起作用。如果L’evy过程有布朗成分，那么众所周知limT→0P[XT≥ 十] =。在这种情况下，P[XT]的二阶项≥ 十] 需要获得斜率渐近性。为此，我们使用了一种新的方法，包括转换概率的梅林变换（w.r.t.时间）（第4节和第5节）。

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2022-5-5 02:21:54

我们相信，该方法对涉及L’evy过程时间渐近性的其他问题具有广泛的适用性，并希望在未来的工作中对此进行详细阐述。最后，我们考虑这样一个问题：钱坡上的积极因素是否要求右翼的微笑更陡峭，反之亦然。机翼陡度指的是此处的大走向渐近线。事实证明，对于我们考虑的几种有限活动模型来说，情况的确如此。这导致了对这些模型可以产生的微笑形状的模拟。安徒生和利普顿[4]最近发表的综合论文是为数不多的处理小时间L’evy斜率渐近性疾病的其他著作之一。除了关于各种模型和渐近机制的许多其他问题外，他们还研究了调和稳定模型的小成熟度ATM数字价格和波动率斜率L’EVY模型3的隐含波动率斜率（文献[4]中的命题8.4和8.5]）。这包括作为特例的CGMY模型（有关详细信息，请参见示例10）。他们的证明方法与我们的完全不同，利用了回火稳定模型特征函数的显式形式。他们主要利用支配收敛定理分析了凸性。另一方面，我们假设特征函数的某种渐近行为，并且仅在计算具体例子时使用其显式表达式。例如，我们的方法涵盖了无额外影响的广义回火稳定、NIG和Meixner模型的ATM斜率。最近的预印本[21]也与我们的工作密切相关。在这里，布朗成分被推广到随机波动率。另一方面，Levy测度的假设排除了NIG和Meixner模型等。第6节对我们的结果与[4]和[21]的结果进行了额外的比较。Al`os等人。

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大多数88

2022-5-5 02:21:57

[3] 还研究了小时间隐含波动率斜率、短期波动率和跳跃，但假设后者具有有限的活动性，这不是我们的重点。关于大时间斜率的结果见[23]；另见[25]，第63f页。2.数字看涨价格我们用S=eX表示基础价格，标准化为S=1，用P.W.l.o.g.表示价格。利率设置为零，因此S是P-鞅。假设下面的日志X=（Xt）t≥0是一个具有特征三重态（b，σ，ν）和X=0的L’evy过程。XTisM（z，T）=E[ezXT]=exp（Tψ（z））的矩母函数（mgf），其中（2.1）ψ（z）=σz+bz+ZR（ezx）- 1.- zx）ν（dx）。如果L’evy过程有一个有限的第一时刻，那么这种表示是有效的，我们当然会假设，因为即使St=ext也应该是可积的。此外，如果Xhas路径是有限变化的，则nRR | x |ν（dx）<∞, ψ（z）=σz+bz+ZR（ezx）- 1） ν（dx），其中漂移bis由b=b定义-ZRxν（dx）。下面的定理收集了关于p[XT]的小时间行为的一些结果≥ 0]. 所有这些都是已知的，或者很容易从已知的结果中获得。我们主要感兴趣的是S=eXis是鞅的情况，因此P[XT≥ 0]具有货币数字看涨价格的解释。尽管如此，我们还是提到，对于第（i）-（iv）部分，这种假设是不必要的。在第（iv）部分中，使用了[35]中的以下4.GERHOLD、I.C.G¨UL¨UM和A.PINTERcondition:（H-α）L\'evy测度ν有一个密度G（x）/|x | 1+α，其中G是一个非负可测函数，允许在零处存在左极限和右极限：C+：=limx↓0g（x），c-:= 利克斯↑0g（x），带有c++c-> 0.定理1。

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大多数88

2022-5-5 02:22:00

设X是具有特征三重态（b，σ，ν）的L′evy过程，X=0。（i）如果X的变化有限，且b6=0，则限制↓0P[XT≥ 0]=（1，b>00，b<0。（ii）如果σ>0，则limT↓0P[XT≥ 0] =.（iii）如果X是一个L’evy跳跃扩散，即它有有限的活动跳跃且σ>0，那么p[XT≥ 0]=+bσ√2π√T+O（T），T↓ 假设σ=0，且（H-α）对某些α成立∈ [1，2）。如果α=1，我们另外假设c-= c+=：c和Rx-1 | g（x）- g(-x） |dx<∞.特林姆↓0P[XT≥ 0]=（+πarctanb）*πcifα=1，+απarctanβ-棕褐色απ如果α6=1，其中b*= B-R∞（g（x）- g(-x））/x dx和β=（c+- C-)/（c++c）-).（v）如果存在鞅且L’evy测度满足ν（dx）=e-x/2ν（dx），其中ν是对称度量，则p[XT≥ 0] = Φ(-σimp（1，T）√T/2），其中Φ表示标准高斯cdf。证据（i）我们有P[XT≥ 0]=P[T-1XT≥ 0]，但T-根据[36]中的定理43.20，1xT将a.s.收敛到b。（ii）如果σ>0，则T-1/2xt在分布中收敛到方差为σ的中心高斯随机变量（见[36]）。关于这种情况下的进一步CLT类型结果，请参见[13,27]。（iii）根据具有指数分布的第一跳变时间τ，我们发现[XT]≥ 0]=P[XT≥ 0|τ ≤ T]·P[τ≤ T]+P[XT≥ 0 |τ>T]·P[τ>T]=O（T）+P[σWT+bT≥ 0]（1+O（T））=P[σWT+bT≥ 0]+O（T）=Φ（b）√T/σ）+O（T）。（2.2）Levy模型5的隐含波动率斜率现在应用扩展（2.3）Φ（x）=+x√2π+O（x），x→ 0.（iv）根据[35]中的命题1，重标度过程Xε，αt:=ε-1Xεαt收敛为严格α稳定过程X*,αtasε↓ 0.限制↓0P[XT≥ 0]=limε↓0P[ε-1Xεα≥ 0]=P[X*,α≥ 0]，并且有必要评估后一种概率。对于α=1，X*,1具有具有特征指数log E[exp（iuX）的Cauchydistribution*,1） ]=ib*U- πc | u |，因此P[X*,1.≥ 0]=πarctanb*πc。

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kedemingshi

2022-5-5 02:22:03

（我们的b*表示为γ*在[35]中）如果1<α<2，那么X*,α具有严格稳定的分布，其特征指数为log E[exp（iuX*,α)] = -|du |α1.- iβsgn（u）tanαπ,式中α±=-Γ(-α）因为απc±≥ 0，dα=dα+dα-, β=dα+- dα-dα∈ (-1, 1).P[X]的理想表达式*,α≥ 0]然后从[11]开始。有关更多相关参考资料，请参见[17]。（v）在此假设下，市场模型在[15,16]的意义上是对称的。该陈述是[15]中的定理3.1。方差伽马模型和0<Y<1的CGMY模型都是有限方差模型的例子（当然，只有当σ=0时），所以第1部分适用。第（三）部分显然适用于默顿和寇的著名JumpDiffusion模型。在第6节中，我们将讨论第（四）部分的两个示例（NIG和Meixner）。隐含波动率斜率和小到期数字期权（Black-Scholes）隐含波动率是指使Black-Scholes看涨期权价格等于看涨期权价格的波动率，其标的为：CBS（K，T，σimp（K，T））=C（K，T）：=E[（ST- K） +]。由于σimp（K，T）没有明确的表达式（见[26]），许多作者研究了近似值（例如，见引言中的参考文献）。隐含波动率斜率和数字看涨期权之间的以下关系是众所周知的[25]；我们给出了完整性的证明。（请注意，STY的绝对连续性适用于所有感兴趣的L’evy模型，见[36]中的定理27.4，并将一直假设。）6 S·格霍尔德、I·G¨UL¨UM和A·品特伦玛2。假设每T>0，sti定律绝对连续，且（3.1）limT↓0C（K，T）=（S）- K） +，K>0。那么，对于T↓ 0,(3.2)Kσimp（K，T）|K=1~r2πT-P[ST≥ 1]-σimp（1，T）√T√2π+Oσimp（1，T）√T.证据

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可人4

2022-5-5 02:22:06

根据隐函数定理，隐含波动率斜率有了相应的表示Kσimp（K，T）=KC（K，T）- KCBS（K，T，σimp（K，T））σCBS（K，T，σimp（K，T））。由于STis定律是绝对连续的，所以买入价C（K，T）是连续可微的w.r.T.K，并且KC（K，T）=-P[ST≥ K] 。插入Black Scholes织女星和数字价格的明确公式，并专门针对ATM情况K=S=1，我们得到Kσimp（K，T）| K=1=Φ(-σimp（1，T）√T/2）- P[ST≥ 1]√T~n（σimp（1，T）√T/2），其中Φ和φ分别表示标准高斯cdf和密度。根据[34]中的命题4.1，我们的假设（3.1）意味着年化隐含收益率σimp（1，T）√T趋向于零↓ 0.（参考文献[34]中使用的第二个假设是无套利界限-（K）+≤ C（K，T）≤ S、对于K，T>0，但这些在这里是令人满意的，因为我们的买入价格是由鞅S.）使用展开式（2.3）和洎（x）生成的=√2π+O（x），我们由此得到（3.2）。当然，渐近关系（3.2）与[12]中给出的小额货币扩张是一致的，其中p2π/T- P[ST≥ K]作为隐含波动率的二阶项（即一阶导数）出现。引理2表明，为了获得ATM（ATM）斜率的一阶渐近性，我们需要ATM数字呼叫价格P的一阶渐近性≥ 1]. （回想一下S=1。）适用于有极限的模特↓0P[ST≥ 1] =，我们还需要数字呼叫的二阶项，以及σimp（1，T）的一阶项√TATM数字呼叫的极限值1/2是典型的fordi ffusion模型（见[27]），以及包含布朗运动的L’evy过程。对于不含扩散成分的有限活动模型，P[≥ 1] 也可能收敛到1/2（例如，在带有Y的CGMY模型中∈ （1，2）），但也可以使用其他限制值。

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可人4

2022-5-5 02:22:10

参见第6节中的示例。从定理1和引理2的（i）部分，我们可以立即得出以下结果。注意，我们始终假设X是S=eXisa鞅，S=1。提议3。假设L’evy过程X具有有限的变化（因此，σ=0是必要的），b6=0。然后，L’EVY模型的ATM隐含波动率斜率乘以波动率斜率Kσimp（K，T）|K=1~ -pπ/2sgn（b）·T-1/2，T↓ 0.注意T-在任何模型中，1/2是坡度最快的增长顺序（见Lee[30]）。如果X是σ>0的L′evy跳跃扩散，那么根据定理1（3.2）的第（iii）部分，以及σimp→ σ（隐含波动率收敛于即期波动率），我们得到了有限极限（3.3）limT↓0Kσimp（K，T）|K=1=-bσ-σ.（应当理解，替换K＝1将在限制器之前执行。）↓ 0.）注意，（3.3）右侧的表达式确实取决于跳跃参数，因为由条件E[exp（X）]=1确定的漂移b取决于它们。此外，（3.3）与方差斜率的形式计算一致↓0Kσimp（K，T）|K=1=-2b- [25]中第61f页的σ。事实上，（3.3）因跳跃差异而闻名，参见[3,39]。关于Mellin变换渐近性的一般评论引理2之后提到，如果我们想在含有布朗成分的L’evy模型中找到极限斜率，我们需要ATMdigital调用的二阶项。虽然这对于有限的活动模型来说很容易（见后退部分的末尾），但在有限的活动跳跃的情况下就更难了。我们将使用梅林变换的渐近性来确定这个二阶项。有关该技术的更多详细信息和参考资料，请参见示例[22]。

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能者818

2022-5-5 02:22:15

函数H的梅林变换，在（0，∞), 定义为（MH）（s）=Z∞Ts-1H（T）dT。在H为零且为零的适当生长条件下，该积分定义了复杂平面开放垂直条带中的解析函数。函数H可以通过梅林反演（见[22]中的公式（7））：（4.1）H（T）=2πiZκ+i从变换中恢复∞κ-我∞（MH）（s）T-sds，其中κ是MH分析性条带中的实数。对于（4.1）的有效性，证明H是连续的，y是7→ （MH）（κ+iy）是可积的。用s表示∈ R是解析性条带左边界的实部。应用中的一个典型情况是，MH在s处有一个极点，并允许向左半平面进行非均质延伸，在s>s>s>处有更多极点。还假设亚纯延拓满足增长估计为±i∞ 允许将（4.1）中的集成路径向左移动。然后我们用留数定理收集每个极点的贡献，并得出一个展开式（见[22]中的公式（8）），H（T）=Ress=S（MH）（S）T-s+Ress=s（MH）（s）T-s+。因此，基本原理是将变换的奇点映射到T-H在零处的渐近展开。MH的单极点是T的幂次幂，而双极点产生一个额外的对数因子logT，如展开式T所示-s=T-si（1）- （对数T）（s）- si）+O（（s）- 是的。主要结果：数字看涨价格和斜率渐近XT的mgf M（z，T）在一条z中是解析的-< Re（z）<z+，由临界矩（5.1）z+=sup{z给出∈ R:E[ezXT]<∞}和（5.2）z-= inf{z∈ R:E[ezXT]<∞}.由于X是一个L′evy过程，临界时刻不依赖于T。

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大多数88

2022-5-5 02:22:18

我们将从傅里叶表示[29]P[ST]中获得关于转移概率（即数字调用价格）的渐近信息≥ 1] =P[XT≥ 0]=2iπZa+i∞A.-我∞M（z，T）zdz=πReZ∞M（a+iy，T）a+iydy，（5.3），其中垂直整合等值线的真实部分满足a∈ (0, 1) （z）-, z+，并且始终假定积分收敛。我们将分析这个积分的渐近行为，对于T↓ 0，通过计算其梅林变换。概率（数字价格）P[XT的渐近性≥ 0]从（5.3）中可以明显看出。对数M作为T函数的线性使我们能够以半显式形式评估梅林变换。引理4。假设S=eXis是鞅，σ>0。那么，对安雅来说∈ （0，1），函数（5.4）H（T）：=Z的梅林变换∞eTψ（a+iy）a+iydy，T>0，由（5.5）（MH）（s）=Γ（s）F（s），0<Re（s）<给出，其中（5.6）F（s）=Z∞(-ψ（a+iy））-sa+iydy，0<Re（s）<。此外，如果Re（s），则|（MH）（s）|呈指数衰减∈ （0，）是固定的和| Im（s）|→∞.Lemma 4的证明见附录。在汉德进行梅林变换后，我们现在开始在i∞ 到P[XT]的展开式≥ 0]对于T↓ 0.以下结果涵盖了NIG和Meixner模型，以及广义回火稳定模型，所有这些模型的σ均大于0。详见第6节。定理5。假设S=eXis是鞅，σ>0。进一步假设有常数a∈ （0,1），c∈ C、 ν∈ [1,2）和ε>0，使得拉普拉斯指数满足（5.7）ψ（z）=σz+czν+O（zν-ε），Re（z）=a，Im（z）→ ∞.然后ATM数字呼叫价格满足（5.8）P[XT≥ 0]=+CTv+o（Tv），T↓ 0，式中C~nν=~nν2πσ~ν-1米（e）-iπ∧νc）Γ(-带/ν=（2）-ν)/2 ∈ (0,].

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kedemingshi

2022-5-5 02:22:21

对于ν=1，这简化了toP[XT≥ 0]=+Re（c）σ√2π√T+o(√T），T↓ 与引理2一起，这个定理暗示了以下推论，这是我们关于隐含波动率斜率T的主要结果↓ 0.推论6。在定理5的假设下，ATM隐含的挥发率斜率表现如下：（i）如果ν=1，则↓0Kσimp（K，T）|K=1=-Re（c）σ-σ、用（5.7）中的c。（ii）如果1<ν<2且Cν6=0，则Kσimp（K，T）|K=1~ -√2πC|νT|-1/2，T↓ 0.定理5的证明。从（5.3）和（5.4）我们知道（5.9）P[XT≥ 0]=πRe H（T）。我们现在用Mellin反转公式（4.1）表达H（T），其中包含κ∈ (0,).引理4证明了这一点，引理4产生了MH沿垂直光线的指数衰减。（很明显，H的连续性也是反变换所必需的。）因此，我们有（5.10）H（T）=2πiZ1/4+i∞1/4-我∞Γ（s）F（s）T-sds，T≥ 0.如第4节所述，我们现在证明Γ（s）F（s）有一个亚纯延拓，然后将（5.10）中的积分路径向左移动，并收集剩余。众所周知，Γ是亚纯的，极点位于非正整数上，10 S.GERHOLD，I.C.G¨UL¨UM和A.PINTERso，因此有必要讨论（5.6）中定义的F的延拓。正如在第四章的证明中，我们把h（y）：=-ψ（a+iy），y≥ 为了证明所设计的亚纯延拓的指数衰减，可以方便地拆分积分：F（s）=Zyh（y）-sa+iydy+Z∞yh（y）-sa+iydy（5.11）=:A（s）+F（s），0<Re（s）<。常数y≥ 0将在稍后指定。它很容易捕捉到平面的一半。由（5.7）可知，函数h具有展开式（精确地说，ε可能减小）（5.12）h（y）=σy+~cyν+O（yν）-ε），y→ ∞,式中c：=(-ciν>1，-（c+σa）iν=1。在s=0时，F（或F）不是解析的，原因是（5.11）中的第二个积分在y大时无法收敛。

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kedemingshi

2022-5-5 02:23:00

到（5.12），我们有（O是统一的w.r.t.s，andy≥ 0仍然是任意的）：~F（s）=Z∞是啊（σy）-s（1+O（yν）-2))-s- （σy）-sdy=Z∞ya+iy（σy）-s（1+O（yν）-2))-s- 1.dy.（A.2）我们现在选择y，对于一些常数C>0，对数| 1+O（yν）-2)|≤π,arg（1+O（yν）-2))≤π,对数（1+O（yν）-2))≤ Cyν-2.坚持到底≥ y、（通过稍微滥用符号，这里是O（yν）-2）当然，表示隐藏在O（yν）后面的函数-2）在（A.2）中）尽管如此，w∈ C我们估计| ew- 1| ≤ |w | e | Re（w）|。利用（A.2）中的这一点，我们发现L’EVY模型的隐含波动率斜率（1+O（yν）-2))-s- 1.=经验(-s对数（1+O（yν）-2))) - 1.≤ |s对数（1+O（yν）-2） exp | Re | s log（1+O（yν）-2))|)≤ C|s|yν-2exp（π| Im（s）|），其中C=Cexp（πsups | Re（s）|），因此|F（s）|≤ C | s | eπ| Im（s）| Z∞yy-2 Re（s）+ν-3dy=expπ| Im（s）|（1+o（1））.参考文献[1]Y.Ait-Sahalia，从离散数据判断基础连续时间模型是否是一种差异，《金融杂志》，57（2002），第2075-2113页。[2] Y.Ait-Sahalia和J.Jacod，布朗运动对高频数据建模是必要的吗？，安。统计学家。，38（2010），第3093-3128页。[3] E.Al`os，J.A.Le`on和J.Vives，关于具有随机波动率的跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为，Finance Stoch。，11（2007），第571-589页。[4] L.Andersen和A.Lipton，《指数L’evy过程的渐近性及其效用微笑：调查和新结果》，Int.J.Thero。阿普尔。《金融》，第16期（2013年）。论文编号1350001，共98页。[5] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatherel，《粗波动下的定价》，量化金融，16（2016），第887-904页。[6] S.Benaim和P.Friz，《微笑渐近II：具有已知矩生成函数的模型》，J.Appl。Probab。，45（2008），第16-32页。[7] S.I.Boyarchenko和S.Z.Levendorskii，非高斯Merton-Black-Scholes理论，第卷。

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2022-5-5 02:23:05

《统计科学与应用概率高级系列》第9期，世界科学出版有限公司，新泽西州River Edge，2002年。[8] Bu，利用L’evy过程的期权定价，硕士论文，查默斯理工大学，G¨oteborg，2007年。[9] P.Carr和L.Wu，什么样的流程是选项的基础？一个简单的稳健测试，《金融杂志》，58（2003），第2581-2610页。[10] R.Cont和P.Tankov，《带跳跃过程的金融建模》，查普曼和霍尔/CRC金融数学系列，查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2004年。[11] Y.A.Davydov和I.A.Ibragimov，关于具有独立增量的过程泛函的渐近行为，Probab理论。应用程序。，16（1971），第162-167页。[12] L·德·利奥、V·巴尔加斯、S·西里贝蒂和J-P·布沙德，我们为了其中一个微笑走了数百万英里。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1203.5703，2012。[13]R.A.Doney和R.A.Maller，《零度和零度时L’evy过程的稳定性和对正态的吸引力》，J.Theoret。Probab。，15（2002），第751-792页。[14] V.Durrleman，《从隐含波动到现货波动》，金融史托赫。，14（2010），第157-177页。[15] J.Fajardo，《列维过程下的障碍式合同：一种替代方法》。预印本，可在SSRN上获得，2014年。[16] J.Fajardo和E.Mordecki，《列维市场中的对称性和对偶性》，Quant。《金融》，第6期（2006），第219-227页。[17] J.E.Figueroa-L\'opez和M.Forde，《指数L\'evymodels的小成熟微笑》，暹罗J.金融数学。，3（2012），第33–65.22页S.GERHOLD，I.C.G–UL–UM和A.PINTER[18]J.E.Figueroa-L\'opez，R.Gong和C.Houdr\'E，带L\'evy跳跃的随机波动率模型的分布、密度和期权价格的小时间扩展，随机过程。应用程序。，122（2012），第1808-1839页。[19] J.E.菲格罗亚-欧佩兹、R.龚和C。

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2022-5-5 02:23:08

Houdr’e，指数L’evy模型ATM期权价格的高阶短期扩展。将于2014年发表在《数学金融》杂志上。[20] J.E.Figueroa-L\'opez和C.Houdr\'E，L\'evy过程转移分布的小时间展开，随机过程。应用程序。，119（2009），第3862-3889页。[21]J.E.Figueroa-L\'opez和S.\'Olafsson，具有L\'evy跳跃的随机波动率模型下隐含波动性偏差的短时渐近性。预印本，可用http://arxiv.org/abs/1502.02595, 2015.[22]P.Flajolet，X.Gourdon和P.Dumas，Mellin变换和渐近：调和和，Theoret。计算机。Sci。，144（1995），第3-58页。特殊体积算法的数学分析。[23]M.Forde、A.Jacquier和J.E.Figueroa-L\'opez，指数L\'evy模型的大时间微笑和倾斜。预印本，2011年。[24]P.Friz、S.Gerhold、A.Gulisashvili和S.Sturm，关于Heston模型中定义的波动率smileexpansion，量化金融，11（2011），第1151-1164页。[25]J.Gathereal，《波动表面》，执业指南，威利，2006年。[26]S.Gerhold，隐含波动率有明确的公式吗？，阿普尔。数学E-Notes，13（2013），第17-24页。[27]S.Gerhold，M.Kleinert，P.Porkert和M.Shkolnikov，《半鞅的小时间中心极限定理及其应用》，随机学，87（2015），第723-746页。[28]R.W.Lee，极端冲击下隐含波动率的矩公式，数学。《金融》，第14期（2004年），第469-480页。[29]，转换方法的期权定价：扩展、统一和误差控制，计算金融杂志，7（2004），第51-86页。[30]，隐含波动率：静力学、动力学和概率解释，载于《应用概率的近期进展》，斯普林格，纽约，2005年，第241-268页。[31]D.Madan，P.Carr和E.Chang，《方差伽马过程和期权定价》，欧洲金融评论，2（1998），pp。

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2022-5-5 02:23:11

79–105.[32]A.Mijatovi\'c和P.Tankov，资产价格跳跃模型中短期隐含波动的新视角。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1207.0843, 2012.[33]M.Roper，隐含波动率爆炸：欧洲的调用和隐含波动率接近指数L’evy模型的验证。预印本，可在http://arxiv.org/abs/0809.3305, 2008.[34]M.Roper和M.Rutkowski，关于看涨期权价格面和接近到期的隐含波动率面之间的关系，Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，12（2009），第427-441页。[35]M.Rosenbaum和P.Tankov，在命中时间取样的时变L’evy过程的渐近结果，随机过程。应用程序。，121（2011），第1607-1632页。[36]K.-i.佐藤，列维过程和完全可分分布，剑桥高等数学研究第68卷，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。[37]W.Schoutens，Meixner过程：金融理论与应用，欧洲随机报告2002-004，欧洲随机，埃因霍温，2002年。[38]P.Tankov，《指数L’evy模型中的定价和套期保值：近期结果回顾》，2010年普林斯顿数学金融讲座，第2003卷，麻省理工学院讲稿。，柏林斯普林格，2011年，第319-359页。[39]严S.Yan，《跳跃风险、股票回报和隐含波动率斜率》，金融经济学杂志，99（2011），第216-233页。Levy车型的隐含波动率斜率23TU Wien，Wiedner Hauptstrasse 8–10/E105-1，A-1040澳大利亚维也纳邮件地址：sgerhold@fam.tuwien.ac.atTU维恩，维德纳·豪普斯特拉8-10/E105-1，澳大利亚维也纳A-1040邮箱地址：伊斯梅尔。gueluem@tuwien.ac.atTU维恩，维德纳·豪普斯特拉8-10/E105-1，A-1040澳大利亚维也纳，邮件地址：arpad。pinter@tuwien.ac.at

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