使用MOSEK进行投资组合优化的回归技术

nandehutu2022

2044

收藏 2022-05-05

英文标题：
《Regression techniques for Portfolio Optimisation using MOSEK》
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作者：
Thomas Schmelzer, Raphael Hauser, Erling Andersen and Joachim Dahl
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
Regression is widely used by practioners across many disciplines. We reformulate the underlying optimisation problem as a second-order conic program providing the flexibility often needed in applications. Using examples from portfolio management and quantitative trading we solve regression problems with and without constraints. Several Python code fragments are given. The code and data are available online at http://www.github.com/tschm/MosekRegression.
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中文摘要：
回归被许多学科的实践者广泛使用。我们将潜在的优化问题重新表述为二阶圆锥规划，提供了应用中经常需要的灵活性。利用投资组合管理和定量交易的例子，我们解决了有约束和无约束的回归问题。给出了几个Python代码片段。有关代码和数据，请访问http://www.github.com/tschm/MosekRegression.
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Regression_techniques_for_Portfolio_Optimisation_using_MOSEK.pdf
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可人4

2022-5-5 02:39:12

使用MOSEKThomas Schmelzer的投资组合优化回归技术*, Raphael Hauser+，Erling D.Andersen，Joachim Dahl2013年10月15日摘要回归被许多学科的实践者广泛使用。我们将潜在的优化问题表示为二阶圆锥曲线图，提供应用中经常需要的灵活性。利用投资组合管理和定量交易的例子，我们解决了有约束和无约束的回归问题。给出了几个Python代码片段。1简介对于任何专业人士来说，回归都是工具箱里的锤子。它被广泛使用，纯粹的力量往往能产生惊人的结果。然而，回归超越了将一条直线拟合成点云的简单概念。回归与二次曲线规划密切相关，在保持数学细节最少的情况下，我们将在第2节讨论这种联系。这使得回归成为投资组合优化的通用工具，因为我们能够应用约束和界限。在第3节中，我们讨论了密切相关的规范化问题。在投资组合优化的背景下，正规化术语模拟交易成本。这些功能有助于解决潜在的优化问题。在第4节中，我们将讨论股票投资组合管理中的典型问题。我们将讨论一些常见的实用概念及其作为圆锥曲线程序的实现。在第5节中，我们简要介绍了如何为未来收益生成数据驱动的估值器。最后，我们将演示如何使用前几节介绍的工具和概念，使用真实世界的数据构建公共投资组合。*Z–urcherstr。

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kedemingshi

2022-5-5 02:39:15

2号，阿尔滕多夫，8852，瑞士，托马斯。schmelzer@gmail.com+牛津大学数学研究所，安德鲁·威尔斯大厦，英国牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，OX2 6GG，hauser@maths.ox.ac.ukMOSEK ApS，Fruebjergvej 3，哥本哈根16号信箱，2100，丹麦，support@mosek.comCode数据可在以下网站上获取：http://www.github.com/tschm/MosekRegression2回归回归的核心问题是建立解释变量X之间的线性关系模型∈ Rn×mand因变量y∈ 注册护士。X的列是解释变量X，X，xm。我们发现系数w，w，wm使得加权的sumXw=mXi=1xiwi与y，minw之间的欧几里德距离最小∈RmkXw-yk。（1）术语r=Xw- y是余数。残差的2-范数是krk=√rTr=pPni=1ri。注意，如果向量居中（平均值为零），则2-范数类似于向量r的标度标准偏差。方程（1）是一个无约束最小二乘问题，因为我们正在最小化残差平方和的平方根。文献中更常见的是最小化2-范数的平方，minw∈RmkXw-yk。（2）显然，方程（1）和方程（2）中的问题有相同的解。在本文中，我们假设X的行比列多。我们称这种系统为超定系统。欠定系统在金融领域的实际应用中很少见，需要应用第3节中介绍的技术，使其解决方案独特。2.1正规方程残差必须与X的范围正交。这种几何洞察力是最强大算法的基础，也是正规方程的核心思想，揭示了这个无约束问题的显式解决方案xTxW=XTy。请避免直接求解这些方程，或者通过显式计算XTX的逆来求解更糟的方程。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:39:18

这可能会出现严重错误，尤其是如果X几乎是线性相关列。撇开这些数字上的原因不谈，使用这种方法没有优雅的方式来说明w的边界和约束。请注意，求解这些方程，然后通过修改无约束解来应用约束，在许多情况下会导致非常次优的结果。2.2圆锥曲线通过将回归嵌入一个更通用、更强大的概念（称为圆锥曲线规划）来实现所需的灵活性。为了本文的目的，理解二次锥和旋转二次锥就足够了。我们将n维二次锥定义为Rn，Qn的子集=十、∈ Rn | x≥qx+x+··+xn. （3） XXX图1：满足x的二次或二阶锥≥px+x。二次（或二阶）圆锥的几何解释如下图所示。1表示有三个变量的圆锥体，并说明圆锥体的外部如何类似于冰淇淋圆锥体。凸集S称为凸锥，如果为任意x∈ 我们有αx∈ sα ≥ 0.从定义（3）可以看出，ifx∈ Qnthenαx∈ Qnα ≥ 0，这正好证明了二次锥的概念。n维旋转二次锥定义为qnr=十、∈ Rn | 2xx≥ x+··+xn，x，x≥ 0. （4）这两个锥体在正交变换下是等效的，所以我们只需要第一个锥体，但两者都很方便，并且公式更简单。2.3从二次优化到二次优化通常使用二次优化来解决回归问题。在方程（2）中，我们显式地计算Xw的内积- y、貂皮∈RmwTXTXw-YT2Y+YTW。任何凸二次规划问题都可以重新表述为一个二次规划问题，但后一类优化问题更具一般性，可以产生更灵活的建模工具。

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mingdashike22

2022-5-5 02:39:21

一些简单的例子包括：o|x |≤ T<==> （t，x）∈ Q.o卡克斯- bk≤ T<==> （t，Ax）- b）∈ Qn+1o| x|≤ T<==> （1/2，t，x）∈ QrokAx- bk≤ T<==> （1/2，t，Ax）- b）∈ Qn+2更多的例子可以在MOSEK建模指南[1]中找到。2.4使用conesA的回归现代优化的核心思想是在更高维度的空间中解决一个问题，在这个空间中，标准结构对现代优化更方便。这种策略也适用于回归问题。这可能看起来很有说服力，但也开启了一系列新的可能性。我们使用题记公式（例如，最小化f（x）相当于最小化v，使得f（x）≤ v）对于方程（1）建立锥的存在性，min（w，v）∈Rm+1V受kXw约束-yk≤ v、请注意，约束描述了一个二次锥，例如（v，Xw）-y）∈ Qn+1。对于方程（2），我们使用旋转的圆锥体，min（w，v）∈Rm+1V受kXw约束-yk≤ 2×v，因此（1/2，v，Xw- y）∈ Qn+2r。2.5 MOSEKMOSEK是用于大规模凸优化和积分优化的商业优化求解器。该解算器实现了齐次嵌入算法[4]，该算法已被证明非常健壮和可靠。例如，它以优雅的方式处理不可行模型，提供最优解或问题不可行或无界的证明。MOSEK的圆锥曲线解算器支持的不同功能是整个Rn非负正态Rn+。o二次锥旋转二次锥锥对称正半有限矩阵。半定义圆锥体增加了显著的灵活性，并允许对大量问题进行建模，见[5,6]，但不在本文的范围内。2.6示例在一个简短的intermezzo中，我们给出了第一个使用Python和MOSEK的新Fusioninterface实现problemmin（w，v）的函数∈Rm+1V主体（v、Xw）- y）∈ Qn+1Pmi=1wi=1w≥ 0.清单1：来自mosek的约束回归1。

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大多数88

2022-5-5 02:39:24

fusion import*3 def__ROTQC one（型号，expr1，expr2，expr3）：4个型号。c ons培训（Expr.vstack（expr1，expr2，expr3），5个域。i nRo tate dQC one（））7 def__lsq____（model，name，X，w，y）：8#将变量v附加到model9 v=model。变量（名称，1，Dom ain.unbu nde d（））10#（1/2，v，Xw-y）在Qr11 re sidual=Expr中。sub（Expr.mul（Den seM atr ix（X，w），y）12 uur otQ Con e_uu（M，0.5，v，re sidual）13返回v15 def lsqP osF ull Inv（X，y）：16#定义一个模型17 M=模型（\'ls qP os\'）19#权重-v ariab les20 w=M。变量（\'w\'，X.shape[1]，Do ma in.grea ter than（0.0））22#e\'*w=123 M.co nst raint（Expr.sum（w），Domain。等式ualsTo（1.0））25#变量为平方和re sid uals26 v=_lsq _（M，\'ssqr\'，X，w，y）28模型。对象ive（对象tiv eSen se.最小化，v）29模型。solve（）31 return w.lev el（）Fusion是Mosek的一个新的高级接口。我们构建一个模型，并在fly上显示变量和约束。请注意，该模型是通过引用传递的，例如，在lsq函数中添加一个变量将修改调用中使用的模型。3正则化如果X的列几乎是相关的（即解释变量之间的高度相关性），正则化可以稳定计算结果，否则计算结果不可靠，并且对小扰动和舍入误差高度敏感。与[2]相比，这种影响是导致（定量）投资组合优化在一些实践者中名声不佳的原因。在实践中，人们经常观察到，当输入数据被修改时，最优投资组合会采取极端的杠杆作用和显著的替代位置。正则化可以帮助驯服乐观主义者。实践者应该警惕投资组合优化过程中的潜在不稳定性。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:39:28

正规化通常与排除某些解决方案的约束相结合，例如，下面我们将进一步讨论如何控制股票投资组合中的杠杆。两者结合在一起，再加上常识，在实践中效果最佳。在这里，我们将解释如何在租赁方问题中纳入规范化条款。在投资组合优化的背景下，我们可以将正规化术语解释为交易成本。当新数据可用时，我们通常会重新选择投资组合。投资组合的当前状态由向量w.Trades描述由系数的变化引起w=w-w、显然，我们希望避免相当突然和戏剧性的变化，因为它们会导致巨大的成本。交易成本模型有几种可能的选择：o二次成本，例如成本~ w、这种选择避免了大额交易，往往会高估大额交易的交易成本。被称为Ridgeregression或Tikhonov正则化线性成本，例如成本~ |w |。这一选择优先考虑了w中的sparseupdates，但与在anorder book中进食的非线性效应不匹配。被称为稀疏回归或套索次二次成本，例如成本~ |w | 3/2。与[3]相比，这种选择是由订单簿的经验密度分布决定的。这种模式的结合是可能的。在现代统计学中，二次成本和线性成本的结合被称为弹性网。3.1岭回归本次最小化中包括正则化项minw∈RmkXw-yk+λkΓ（w）- w） K对于一些适当选择的矩阵，Γ。在许多情况下，该矩阵被选为身份矩阵Γ=I，优先考虑具有较小范数的解。对于无约束问题，修正的正态方程，XTX+λΓTΓw=XTy+λΓTΓw表示缩放协方差矩阵XTX的收缩接近度。

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大多数88

2022-5-5 02:39:31

在受训练的情况下，封闭形式的解决方案通常再次不可用。我们通过引入一个额外的旋转二次圆锥（w，v，u）来解决这个问题∈Rm+2v+U对象v、，Xw-R∈ Qn+2ru、，Γ（w）-w）∈ Qm+2r。3.2稀疏回归正则化项现在是1-范数而不是2-范数，优先考虑具有较小范数的稀疏解minw∈RmkXw-yk+λkΓ（w）- w） k.向量v的1-范数∈ Rmiskvk=mXi=1 | vi |。我们通过附加维数为2，min（w，v，t）的m个二次锥来解决这个问题∈R2m+1v+λPmi=1受制于v、，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，m、我们使用Python和MOSEKmin（w，v，t）的新融合接口构建了一个稀疏回归∈R2m+1v+λPmi=1受制于v、，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，mPmi=1wi=1w≥ 0.清单2:mosek的稀疏回归1。fusion import*3 def__Q Cone___;（型号，expr1，expr2）：4型号。c ons traint（扩展vstack（扩展1，扩展2），5个域。inQCone（））7 def__abs__（model，name，expr）：8 t=model。变量（名称，int（expr.size（）），9个域。无边界（））10#（t#i，w#i）\\in Q2或abs（w#i）<=t#i11，适用于范围（0，expr.size（））：12#QCone#（模型，t.索引（i），expr。索引（i））14返回t16定义的l sqPo sFul l InvP enal ty（X，y，Gamma，lamb，w0）：17#定义模型18 M=模型（\'lsq Spars e\'）20#重量-v ariab les21 w=M。变量（\'w\'，X.shape[1]，doma in.grea terthan（0.0））23#e\'*w=124m.co nst raint（Expr.sum（w），Domain。等式ualsTo（1.0）26#平方和变量uals27 v=u lsq u（M，\'ssqr\'，X，w，y）29#变量和[abs（Gamma*（w-w0））]30 p=Expr。mul（Den seM atr ix（伽马），Expr。sub（w，w0））31 t=Expr。sum（_uu\'ab s_uuu（M，\'abs（称重），p））33型。对象（对象）最小，34 Expr.add（v，Expr。

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能者818

2022-5-5 02:39:34

mul（lamb，t））35型。3.3三分之二的回归这个选择是基于对订单数据的实证调查。请注意，这个问题不是一个重新表述的二次问题。这是一个典型的例子，揭示了圆锥规划的力量和灵活性，minw∈RmkXw-yk+λmXi=1 |[Γ（w-w） [i|3/2，相当于tomin（w，v，s，t，z）∈R4m+1v+λPmi=1受制于v、，Xw-Y∈ Qn+2r（ti，[Γw-Γw]i）∈ Q、 i=1，m（si，zi，ti）∈ Qr，i=1，M, ti，si∈ Qr，i=1，m、我们现在使用3m+1圆锥来描述这个问题。4权益投资组合管理我们使用上述技术解决投资组合管理中的常见问题。在下面讨论的所有示例中，矩阵X∈ Rn×m描述了m项风险资产n个连续历史收益的时间序列，X的每一行指数对应于一个投资期，每一列指数对应于一项资产。我们寻找这些资产的最佳组合。不同的目标、期望、约束、风险偏好和交易成本等导致在实践中使用不同的配方。4.1约定投资者希望管理m风险资产的投资组合。投资者在投资期间[t，t+1]（一小时，一天，一周，一个月，…）将风险资本C的部分wi（t）分配到资产i中，最后，他/她准备再次调整位置。在时间t+1时，w中的更新是由投资组合问题的基础输入数据的变化引起的。投资组合的连续时间序列的收益率。投资组合回报率是第k个历史投资期内资产i的收益率的m线性回归srk=mXi=1wixk，i=Xk，·wwhere Xk，iis的加权和。4.2最小化跟踪误差指数跟踪投资组合最小化与给定投资组合或指数的距离（或跟踪误差），例如：。

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何人来此

2022-5-5 02:39:37

返回时间序列rM。貂皮∈RmkXw-RMK主体toPmi=1wi=1w≥ 0，这相当于tomin（w，v）inRm+1vsubjectv、，Xw-rM∈ Qn+2rPmi=1wi=1w≥ 0.我们通过仅对多头头寸的资本C进行充分投资来跟踪投资组合。请注意，两个投资组合的累积回报可能会显著不同。一个潜在的补救办法是使用资产和投资组合或指数的累积回报。4.3最小化投资组合差异尽管完全不投资可以避免风险，但最小差异投资组合很受欢迎。这样的投资组合可以通过不跟踪rM=（0，0，…，0）的回报时间序列来构建。从理论角度来看，投资此类投资组合是没有意义的，但在实践中，它们的表现相当有竞争力，因此很受欢迎。4.4最大化预期投资组合回报最著名的投资模型是Markowitz的单期均值-方差模型。在这个模型中，我们通过仔细分散各种可用资产，使预期投资组合收益最大化，同时将估计风险保持在预定水平或低于预定水平。投资者希望积极管理m风险资产的投资组合。投资者在投资期间[t，t+1]（一小时，一天，一周，一个月，…）持有资产i的固定头寸wi（t），最后，他/她准备再次调整位置。资产i的预期收益为E[Ri]。Ri是描述投资期间[t，t+1]内资产i单位头寸收益率的随机变量。预期需要用估计值ui代替≈ E[Ri]这通常通过第5节中描述的方法，使用历史价格和时间t时的其他可用数据来完成。

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kedemingshi

2022-5-5 02:39:40

因此，预期投资组合回报为xiwiui=wTu。因此我们解决了这个问题∈RmwTu以kXwk为准≤ σmaxPmi=1wi=1w≥ 0.一旦我们去掉long-only约束，问题就更有趣了。当乐观主义者确定一些戏剧性的风险设置位置时，解决方案很可能几乎会爆炸。我们以前在监管的背景下讨论过这一点。一种常见的方法是直接控制杠杆。这可以在w的1-范数范围内完成。对于有空头头寸的投资组合，mXi=1 | wi |>Xi=1wi=1。我们通过引入m个锥来控制w的1范数，例如ti≥ |wi |因此（ti，wi）∈ Q、 i=1，m、要构建流行的130/30端口组合，请使用setmXi=1ti≤ 1.3 + 0.3.市场中立的投资者可能更喜欢使用不引起长期偏好的权重。此类投资者通常使用mxi=1wi=0.0和mxi=1ti=2.0来限制多头头寸和空头头寸的大小。对于实际的投资组合，我们通常需要对单个系数和资产子集进行额外的限制，例如，属于某些部门。4.5稳健的投资组合优化在前面的章节中，我们已经看到，在存在不可靠数据的情况下，正规化如何成为一种有效的工具。或者，我们可以设计一个明确考虑不确定性的稳健投资组合。假设数据是不确定的，但属于一个简单的已知不确定性集。然后，我们可以形成一个稳健估计，在简单的不确定性集上优化模型的最坏情况实现。

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何人来此

2022-5-5 02:39:43

对于非常简单的不确定性集，这相当于一个易于处理的优化问题，与非稳健版本相比，这并不难解决。对于此类投资组合，我们的多头头寸高达1.3×C，空头头寸高达-0.3×C。例如，假设预期收益的向量u是不确定的，但已知位于椭球体内={y∈ Rn | y=Au+u，kuk≤ 1} ，其中A是一个具有非负特征值的对称矩阵，u是椭球的中心，即我们通过单位球的（已知）变换来表征。这种不确定性集自然会作为统计师的信任区域出现。最坏情况下的回报由E上的最小wTu给出，即asminu∈EwTu=明谷≤1wT（Au+u）=wTu+明谷≤1wTAu。当wTA 6=0时，通过选择u=-（Aw）/kAwk，换句话说，minu∈EwTu=wTu- 考克。然后，可以通过求解max（w，t）来计算使E上的最坏情况收益最大化的投资组合∈Rm+1wTu- t受kXwk约束≤ σmaxkAwk≤ tPmi=1wi=1w≥ 0.5资产回报预测在上一节中，我们已经介绍了资产预期回报的概念。定量投资组合管理主要依赖于这样一种假设，即对以前的回报及其对未来缺乏指示力的普遍否认是不真实的。资产回报中的交易自相关是最常见的定量投资策略之一。为了简化技术讨论，我们假设我们有一个时间序列的回报r，r。。请注意，实践者倾向于使用经波动性调整的收益率，因此使用同方差收益率。我们的目标是预测RNA，这是一个线性函数的历史数据，直到这个时间点，即在r。

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大多数88

2022-5-5 02:39:47

，rn-1和任何后续收益均假定由应用于其自身类似数据历史的同一线性函数预测（具有适当的时间偏移）。我们可以将系统设置为最不受约束的模型rr··rn-1rr··rn。。。。。。。。。。。。w=rnrn+1。。。. （5）一种常见的替代方法是使用历史数据的简单线性函数硕士（注册护士）-1）硕士（注册护士）-1）硕士（注册护士）硕士（注册护士）。。。。。。。。。w=rnrn+1。。。. （6）移动平均值通常被选为历史数据的线性函数，因此（6）实际上是作为模型（5）的一个限制而获得的，即w仅在某一线性子空间中取值。由于ESOF模型的降维比ESOW模型的相对自由度更精确，因此ESOF模型的降维比ESOW模型的相对自由度更精确。另一种相对于自由度增加数据点数量的方法是变换从不同资产中获得的数据，使它们以相同的比例出现，以便所有数据可以一起使用。这就产生了更稳健的估计量w。当然，我们绝不局限于使用移动平均数。有很多有趣的想法。常识与第3节中的规范化技术相结合，可以构建由数据驱动的极具竞争力的交易系统。6个现实世界的例子在本节中，我们将概述项目组合管理中的典型任务。我们的最终目标是展示MOSEK如何帮助解决常见的研究问题。6.1数据我们使用流行的pandas Library for Python从雅虎金融下载股票数据。在实验中，我们使用调整后的收盘价来反映股票分割、股息等。

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mingdashike22

2022-5-5 02:39:50

我们选择了我们最喜欢的五家美国公司，下面是它们的符号。Google Googles Goldman SachsAAPL APPLEIMB IBMT AT&T^GSPC S&P 500一旦获取数据，我们会将数据写入csv文件，以简化任何进一步的分析。清单3：使用pandas1导入程序读取数据。伊奥。数据作为web2导入日期时间作为dt3导入熊猫作为pd5定义从Yaho o（SYMBOLS）蚀刻数据：6 s=dt。dat etime（2010,1,1）7 e=dt。dat etime（2012年12月31日）8返回pd。Da taFra me（9{symb:web.get_Da ta_y aho（symb，s，e）[“Adj Close”]10表示符号中的符号]）12如果{uu name e_uuuu==\'\'uuu main uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu。to_csv（“data.csv”）6.2只长期股权投资组合在量化投资组合管理中的常见任务是找到一个过去可能是最优的投资组合。显然，这可能会为未来带来有限的信息，但我们将在这里避免讨论。我们忽略了管理者应该多久更新一次投资组合，以及如何对重新平衡投资组合的成本进行建模。这些问题在实践中是相关的，但超出了本文的范围。现在让我们来考虑没有空头头寸的完全投资组合。这转化为5种股票的线性组合中的非负系数w。我们正在重用上述功能。首先，我们计算投资组合的最小方差。投资组合收益时间序列的方差Xw=（R，R，…，Rn）是方差Xw=nX（Ri-“-R”）。在除最慢的交易量化交易策略外的所有交易中，收益率的波动顺序至少比平均值的第个数量级大一个数量级。

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何人来此

2022-5-5 02:39:53

因此，通常会做出近似假设，即R=0，因此最后一个问题再次类似于最小二乘问题方差Xw=nXRi=nkXwk。在第二个问题中，我们计算5个权重的集合，使跟踪误差方差（Xw）的方差最小化- rM）=nkXw-RMK其中RMI是索引的返回向量。我们还计算我们的宇宙的1/N投资组合，例如，对每项资产应用相同的权重。我们观察到的结果显然取决于学习周期，尤其是选定的资产范围。对于我们的宇宙和日期范围（20102011212），对于最小方差投资组合OG 0.05T 0.67AAPL 0.03GS 0.00IBM 0.25和指数跟踪GOOG 0.10T 0.30AAPL 0.12GS 0.18IBM 0.30，我们得到以下结果。请注意，最小方差投资组合试图大量投资AT&T，但完全避免了高盛。指数跟踪器在其位置上略为平衡。我们还演示了如何应用一些简单的投资组合诊断，并报告这一时期的年度夏普比率和观察到的投资组合回报标准差。观察到的年化夏普比率为1/N 0.74指数0.51分钟方差0.93跟踪0.77对于收益的标准偏差，我们得到1/N 0.012指数0.012分钟方差0.009跟踪0.011列表4：计算portfolios1进口熊猫作为pd2进口Mo sek Solver作为ms4 def Compute Return（ts）：5 ts=ts。dropna（）6个返回ts。diff（）/ts。换档（1）8 def lsq位置满（X，y）：9返回pd。系列（索引=X.列，10个数据=ms.lsq Pos full l（X.值，y.值））12 def A nnua l ize d Shar p eRa t io（ts）：13返回16*ts。平均值（）/ts。std（）15如果_uname__==\'_u main _;\'：16#从csv文件17 data=pd加载数据。读取uuCSV（“数据”）。

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kedemingshi

2022-5-5 02:39:57

csv，ind ex_co l=0，18 pa rse da tes=True）20只股票=数据[GOOG”，“T”，“AAPL”，“IBM”，“GS”]21个指数=数据[GSPC”]23个股票=股票。应用（计算机etu rn）。fillna（值=0.0）24 re tIndex=co mpu tern（指数）。fillna（值ue=0.0）26 rhsZ ERO=pd.TimeSeri es（指数=retstocks.index，数据=0.0）28 wMin=l sqP osF（X=retStocks，y=rhsZero）29 wTrack=ls qPosFull（X=retStocks，y=retInde X）31 d=dict（）32 d[“最小变量”]=（retstock*wMin）。求和（轴=1）33天[“指数”]=retInde x34天[“1/N”]=ret股票s。平均值（轴=1）35天[“跟踪记录”]=（返回至轨道*wTrack）。总和（轴=1）36帧=pd。DataFr ame（d）38#使用一些dia gno sti cs39打印框。使用40打印框。std（）7结论SCONIC编程提供了解决具有挑战性的回归问题所需的灵活性。这些问题不仅出现在金融领域，也出现在任何处理数据的定量学科中。在本文中，我们特别讨论了文件夹优化。参考文献[1]莫塞克建模手册，莫塞克ApS，2013年。在线提供fromhttp://www.mosek.com/resources/doc.[2] R.O.Michaud，《高效资产管理》，威利，1998[3]阿尔姆格伦，R.，图姆，C.，豪普特曼E.，和李H.，股权市场影响。风险，18（7月7日）：57-622005。[4] Ye，Y.，Todd，M.J.，Mizuno，S.，An O(√nl）-迭代齐次自对偶线性规划算法。运筹学数学，第53-67页，1994年。[5] Ben Tal，A.，Nemirovski，A.现代凸优化讲座：分析、算法和工程应用。MPS/SIAM优化系列，SIAM，2001年。[6] Boyd，S.，Vandenberghe，L.，凸优化。剑桥大学出版社，2004年。[7] Meucci，A.，线性回报与复合回报。

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能者818

2022-5-5 02:39:59

《投资组合管理中的常见陷阱》，GARP风险专业人士，第49-51页，2010年4月，可从SSRN获得http://papers.ssrn.com/abstract=1586656

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