多周期投资组合优化的倾斜目标范围策略

2022-5-31 07:31:16

基于两阶段最小二乘蒙特卡罗方法的多期投资组合优化的倾斜目标范围策略*+, Nicolas Langrené+，Yu Tian，Zili Zhu+，Fima Klebaner和Kais Hamza第一版：2016年8月19日修订版：2018年9月10日最终版：计算金融杂志，2019年摘要本文针对投资组合优化问题提出了一种新的投资策略。所提议的策略使目标范围内的预期投资组合价值最大化，该范围由一个保守的较低目标（表示需要资本保护）和一个理想的较高目标（表示投资目标）组成。这一策略有利于塑造整个回报概率分布，因为它同时寻求期望的预期回报，降低下行风险，并隐含地限制波动性和高风险。为了说明这种投资策略的有效性，我们研究了一个具有交易成本的多周期投资组合优化问题，并开发了一种两阶段回归方法，该方法改进了经典的最小二乘蒙特卡罗（LSMC）算法，用于处理复杂的支付，如灰凹函数、突变函数或不连续函数。我们的数值结果表明，与经典的LSMC算法相比，常数相对风险规避（CRRA）效用方法和所提出的倾斜目标距离策略（STRS）都有了实质性的改进。我们的数字结果说明了STR将投资组合价值控制在目标范围内的能力。

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2022-5-31 07:31:19

与CRRA效用法相比，STRS实现了类似的均值-方差边界，同时提供了更好的下行风险-回报交易效果。关键词：基于目标的投资组合优化；替代性能测量；多周期港口优化；最小二乘蒙特卡罗；两阶段回归JEL分类：G11、D81、C63、C34，MSC分类：91G10、91G80、91G60*通讯作者。电子邮箱：rongju。zhang@monash.edu+CSIRO Data61，RiskLab Australia澳大利亚莫纳什大学数学科学学院1简介投资组合优化理论和实践中的一个关键且长期存在的问题是选择有效且透明的绩效标准来平衡风险和回报。在本文中，我们提出了一个新的投资组合优化准则，旨在在一定程度上结合文献中所考虑的经典准则各自的优点。文献的起源与不确定性下的决策概念相对应。在此基础上，冯·诺依曼（VonNeumann）和Morgenstern（1944）提出了预期效用法，即通过效用函数获取投资偏好。这种方法的缺点包括效用函数的抽象性质，这可能使其不切实际，以及它忽略了实际决策的几个实际方面，正如Tversky和Kahneman（1992）的累积前景理论所确定的，例如Barberis（2012）。Markowitz（1952）的均值-方差框架使用方差来衡量风险，可以很好地近似二次效用情况。

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2022-5-31 07:31:22

假设资产收益为正态分布时，发现许多其他风险度量与方差相等（例如，Klebaner、Landsman、Makov和Yao（2017）证明了与一阶和二阶下偏矩相等），但均值方差框架从其简单的二次公式中获益匪浅。有些人可能会争辩说，方差不足以衡量投资组合风险，因为资产回报通常表现出所谓的leptokurtic特性，这意味着可能需要将更高的时刻纳入优化。我们参考Lai（1991）和Konno、Shirakawa和Yamazaki（1993）的偏度分量，参考David Norman（1990）的偏度和峰度。解决资产回报非正常问题的另一种方法是使用下行风险度量。最常见的下行风险度量是较低的部分矩（例如，Markowitz（1959）引入的半方差）、风险价值（VaR，Longerstaey1996）和条件风险价值（CVaR，Rockafellar和Uryasev 2000，也称预期差额）。这些度量可以替代方差，形成平均下行风险法，参见Harlow（1991）的平均较低部分矩框架，Alexander和Baptista（2002）的平均VaR框架，以及Agarwal和Naik（2004）的平均CVaR框架。最后一条主要文献对应基于目标的战略，旨在跟踪特定投资目标。

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可人4

2022-5-31 07:31:25

一种流行的基于目标的策略是最大限度地提高实现返回目标的概率，参见Browne（1999a）中的固定绝对目标，以及Browne（1999b）、Pham（2003）、Gaivoronski、Krylov和van der Wijst（2005）和Morton、Popova和Ivilina（2006）中的相对基准目标。或者，可以将不良结果的可能性降至最低，例如，见Hata、Nagai、andSheu（2010）、Nagai（2012）和Milevsky、Moore和Young（2006）。在投资组合优化中使用明确指定的投资目标，可以在实践中更容易理解和监控。然而，选择适当平衡风险和回报的合适投资目标仍然是一项具有挑战性的任务。在这些经典投资标准的基础上，我们在本文中提出了所谓的倾斜目标范围策略（STRS），该策略在预先指定的目标范围内最大化预期投资组合价值，由代表资本保护需求的保守较低目标和对应于投资者希望达到的理想回报水平的期望较高目标组成。隐含地，优化可以描述为最大化实现收益率位于目标范围内且尽可能接近上目标的概率。拟议的可疑交易报告背后有三个主要动机。第一个动机可以追溯到投资目标函数的主要目的，即为收益的概率分布创造一个理想的形状。STR寻求理想的预期回报，同时削减超出目标范围的大部分分布尾部，从而抑制了整个回报分布。第二个动机来自难以为基于目标的传统策略指定单一回报目标，这无法同时为追求理想的投资目标和下行保护服务。

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2022-5-31 07:31:28

STRS解决了这一难题，它使用了一个较高的目标来解释寻求回报的偏好，结合了一个较低的目标来解释厌恶损失的偏好。最后，投资者不太可能采用基于抽象参数的效用函数等性能标准，这些参数具有不可预见的实际影响。我们提出了两个明确的目标，以回报为标志，具有直观的目的（较低目标的资本保护和较高目标的期望投资回报），这是一个更实际的投资标准。为了测试拟议的STR（在第2节中制定）的有效性，我们研究了具有比例交易成本的多周期投资组合优化问题。为此，我们修改了经典的最小二乘蒙特卡罗（LSMC）算法，以使用两阶段回归技术，这使得逼近突变STRS目标函数（方程（2.1））的问题与逼近线性函数一样简单。第3节将进一步讨论SMC文献和拟议的两阶段LSMC方法的细节。我们表明，对于光滑常数相对风险规避（CRRA）效用方法和突变STR，这种两阶段LSMC方法在数值上比经典LSMC方法更稳定。我们发现，较低目标的适当水平是初始投资组合价值，因为它将标准差和最终投资组合价值的下行风险降至最低。重要的是，我们表明，STRS标准的行为确实符合其设计的预期：投资组合价值在规定范围内目标明确，下行风险相对于较高目标的选择是稳健的。

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mingdashike22

2022-5-31 07:31:31

我们的数字表明，与CRRA效用优化方法相比，STRS实现了类似的均值-方差边界，同时提供了更好的下行风险-回报交易效果。我们还提供了STR的两个简单扩展，如第4节所述。第一种扩展称为平坦目标范围策略（FTRS），对应于实现目标范围的纯概率最大化，而无需进一步尝试追求更高的回报。对于那些保持偿付能力比寻求高回报更重要的问题，例如长期养老金计划、退休基金和生命周期管理，FTRS非常有用。第二种扩展称为相对目标范围策略（RTRS），侧重于相对回报：它涉及根据超过随机基准的超额回报定义的回报目标范围，如股票市场指数、利率或通货膨胀率。所有数值结果见第5.2节倾斜目标范围策略。在本节中，我们定义了投资组合优化问题的倾斜目标范围策略（STRS），并讨论了该策略的潜在益处。我们考虑一个投资组合优化问题，在有限的时间范围内有d个风险资产可用。设αt={αit}1≤我≤dbe各风险资产的投资组合权重，用投资组合价值（或财富）表示。假设投资者的目标是最大化终端投资组合价值E[f（WT）]某些函数的预期。然后，目标函数simplyreadssupαE[f（WT）]，（2.1）图2.1：倾斜目标范围函数，其中投资偏好由函数f（·）表征。

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2022-5-31 07:31:34

在本文中，我们提出以下参数形状：f（w）=（w- LW）{LW≤ w≤ UW}，（2.2）其中LW∈ R代表保守的下目标UW∈ R表示所需的上目标，指示函数{LW≤ w≤ UW}如果LW返回一个≤ w≤ UWand否则返回零。我们将形状（2.2）和相应的目标（2.1）称为STR。在本文中，我们通过初始投资组合值W规范化投资组合值W和边界[LW，UW]。实际上，公式（2.2）显示f（W；LW，UW）=W×f（wW；LWW，UWW），因此我们可以假设W=1，并将边界LW和UWW设置在1附近。图2.1显示了LW=1.0和UW=1.2的等式（2.2）示例。从方程（2.2）可以看出，目标是在区间[LW，UW]内最大化预期的终端投资组合价值，而该区间外的价值将被惩罚为零。该策略隐含地结合了两个目标：最大化预期终端投资组合价值和最大化终端投资组合价值位于所选目标范围内的可能性【LW，UW】。在方程（2.2）中倾斜形状的左侧，函数在较低目标LW处是凸的。这与特沃斯基（Tversky）和卡尼曼（Kahneman）（1992）的累积前景理论中的观点一致，即投资者在亏损时往往会寻求风险。相反，在倾斜形状的右侧，函数是不连续的，并且在上部目标UW处跳到零。与经典效用函数和累积前景理论相比，这是STRS的显著特征。特别是，上述超出上限目标Uw的上行潜力似乎与人们偏好更多而非更少的不满足公理相冲突。

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2022-5-31 07:31:37

下面解释了此上限的重要性。在其他条件相同的情况下（其他条件相同的假设），人们会期望人们更多地选择而不是更少。在动态随机投资组合优化的背景下，这一公理可以解释为：下行风险固定（收益分布的左尾），投资者更倾向于更高的上行潜力（收益分布的右尾）。然而，经过大量的数值实验，我们得出结论，非递减效用函数无法将上行潜力与下行风险解耦。事实上，追求更高的上行潜力会导致风险更高的投资组合决策，这可能会导致回报分布出现大右尾（收益）和大左尾（损失）。由于其他条件同等假设不适用于这种随机环境，我们无法判定我们是否存在满足水平。这一水平取决于投资者对风险和回报的偏好。由于上行潜力和下行风险自然交织在一起，拟议的上行目标能够通过解决下行风险的主要原因（即追求过高的上行潜力）来减少下行风险。因此，实现的回报可以很好地控制在目标范围内，并具有很高的可信度，这在某些情况下比以更高的下行风险为代价考虑罕见的意外收益的可能性更为重要。3多周期投资组合优化在本节中，我们考虑一个多周期投资组合优化问题，并将其表述为离散时间动态规划问题，为此我们开发了一个两阶段LSMC方法来解决该问题。

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2022-5-31 07:31:40

LSMCalgorithm最初由Carriere（1996）、Longstaff和Schwartz（2001）以及Tsitiklis和Van Roy（2001）开发，用于美式期权定价，几位研究人员已将其扩展到解决动态投资组合优化问题。Brandt、Goyal、Santa Clara和Stroud（2005）考虑了一个CRRA效用函数，并通过求解值函数的泰勒级数展开的一阶条件来确定半封闭形式的解。Cong和Oosterlee（2016a）以及Cong和Oosterlee（2016b）考虑基于目标的均值-方差目标函数，并使用次优策略对控制变量进行正向模拟，这些变量在反向递归编程中迭代更新。后来，Cong和Oosterlee（2017）将Jain和Oosterlee（2015）的随机捆绑技术与Brandt et al.（2005）的smethod相结合。Zhang、Langrené、Tian、Zhu、Klebaner和Hamza（2019年）考虑了CRRA效用函数，并采用了Kharroubi、Langrené和Pham（2014年）的控制随机化技术，用于投资组合优化问题，转换成本包括交易成本、流动性成本和市场影响。上述工作用一个连续的Payoff函数来解决问题，经典的LSMC方法对此非常有效。相比之下，对于LSMC算法来说，处理高度非线性、突然变化或不连续的支付可能更困难（Zhang等人（2019）、Balata和Palczewski（2018）、Andreasson和Shevchenko（2018））。STRS（2.2）在上限UW处突然下降，这是一个困难的函数。此外，由于目标范围之外的最终财富在价值函数中被截断为零，因此对这些零的直接回归将放弃财富变量的原始信息。

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2022-5-31 07:31:43

在本节中，我们提出了一种两阶段LSMC方法来克服这些问题。3.1动态规划指单个时期内无风险资产的累计回报。用Rt表示=Rit公司1.≤我≤D风险资产超过无风险利率的超额收益，用Zt表示为收益预测向量。方程（2.1）中的优化问题可以表述为一个具有外生状态变量zt和一个内生状态变量Wt的随机控制问题 Rdbe是可接受的投资组合权重集。方程（2.1）中的值函数现在可以重写为vt（z，w）：=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TE[f（WT）| Zt=z，WT=w]。（3.1）考虑投资期限[0，T]的等距离散化，表示为0=T<···<tN=T。财富过程演变为Wtn+1=WtnRf+αtn·Rtn+1, （3.2）且值函数满足以下动态规划原则：tn（z，w）=f（w），vtn（z，w）=supαtn∈AEvtn+1Ztn+1，Wtn+1|Ztn=z，Wtn=w, （3.3）式中f（w）=（w）- LW）{LW≤ w≤ UW}。3.2经典最小二乘蒙特卡洛法LSMC算法的第一部分是对所有随机状态变量的正向模拟。让Mdenote计算蒙特卡罗模拟的数量。返回预测器{Zmtn}1≤m级≤M0级≤n≤与资产异常返回{Rmtn}1≤m级≤M0级≤n≤通过一些预先确定的返回动态生成的Nare。相比之下，财富过程是一个内生状态变量，取决于投资组合权重的实现。我们遵循Kharroubi等人（2014）的控制随机化方法：我们随机生成统一的投资组合权重{αmtn}1≤m级≤M0级≤n≤N、然后计算相应的投资组合值{Wmtn}1≤m级≤M0级≤n≤根据方程式（3.2）。LSMC算法的第二部分使用离散化过程。我们将控制空间离散化为Ad={a，…，aJ}。

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2022-5-31 07:31:47

我们将连续值函数Cvjt定义为在作出αtn=aj决策的条件下对后续值函数的期望∈ Ad，即CVjtn（z，w）：=evtn+1Ztn+1，Wtn+1Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj. （3.4）因此，值函数可近似为vtn（z，w）=supαtn∈AEvtn+1Ztn+1，Wtn+1Ztn=z，Wtn=w≈ maxaj公司∈AdCVjtn（z，w）。为了计算这个值函数，我们采用反向动态规划。在时间tN，valuefunction等于^vtN（z，w）=（w- LW）{LW≤ w≤ UW}。在时间tn，假设连续值函数{CVjtn（z，w）}1≤j≤Jn+1≤n≤N-已经估计了1个。我们在当前时间CVJT为每个决策aj评估连续值函数∈ 然后我们重置投资组合权重{αmtn}1≤m级≤Mto aj，并重新计算从tN到tN的内生财富：^Wm，（n，j）tN+1=~WmtnRf+aj·Rmtn+1^Wm，（n，j）tn+2=^Wm，（n，j）tn+1Rf+arg最大值∈Adn^CVltn+1Zmtn+1，^Wm，（n，j）tn+1o·Rmtn+2...^Wm，（n，j）tN=^Wm，（n，j）tN-1.Rf+arg最大值∈Adn^CVltN-1.ZmtN公司-1，^Wm，（n，j）tN-1.o·RmtN. （3.5）式中，^Wm，（n，j）tn：=^WmtnWmtn=~Wmtn，αtn=aj，n=n，N是从tN到tN的重新计算财富，使用时间tN时的投资组合权重aj和时间tN+1时的估计最优投资组合权重，田纳西州-为了逼近连续值函数CVjtn（z，w），经典的LSMC算法对payoffs{f（^Wm，（n，j）tN）}1进行回归≤m级≤Mon{ψk（Zmtn，~Wmtn）}1≤k≤K1级≤m级≤M、式中{ψk（z，w）}1≤k≤Kis是状态变量基函数的向量。然而，这里的主要困难在于突然的上界UW，根据我们的数值探索，这可能会在回归中造成较大的数值误差。当f将^Wm，（n，j）tn的值限制在目标范围[LW，UW]之外时，我们的回归问题看起来类似于限制回归问题，其中常用的估计方法是最大似然估计（MLE）。

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2022-5-31 07:31:50

然而，我们的问题与删失回归问题之间的主要区别在于，我们可以访问两个删失样本{f（^Wm，（n，j）tN）}1≤m级≤和未经检测的样品{Wm，（n，j）tN}1≤m级≤M、因此，最大似然估计将忽略未经审查的值^Wm，（n，j）tn的信息，这些值在该估计问题中也是可见的。这一额外信息的可用性促使我们提出一种利用这一信息的两阶段回归。现在我们详细描述这项技术。3.3两阶段最小二乘蒙特卡洛法这两阶段回归工作如下：1。而不是回归收益{f（^Wm，（n，j）tN）}1≤m级≤M、我们回归财富{Wm，（n，j）tN}1≤m级≤Mon{ψk（Zmtn，~Wmtn）}1≤k≤K1级≤m级≤Mto获得βjk，tno1≤k≤K=arg最小值β∈RKMXm=1KXk=1βkψkZmtn，~ Wmtn-^Wm，（n，j）tN！，^σjtn=vuutM- KMXm=1^Wm，（n，j）tN-KXk=1^βjk，tnψkZmtn，~ Wmtn!. （3.6）因此，终端财富可建模为^W（n，j）tN=^ujtn（z，W）+^σjtnε，^ujtn（z，W）：=KXk=1^βjk，tNψk（z，W），（3.7），其中ε是回归残差，出于演示目的，我们假设为高斯。（请注意，MLE还要求对残差分布进行假设。）Letφ（x）=√2πexp（x）表示标准正态概率密度函数，Φ（x）=Rx-∞φ（x）dx代表标准正态累积分布函数。将方程（3.7）插入连续值公式（3.4），以获得闭合形式的估计。

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2022-5-31 07:31:53

通过组合方程（3.4）、（3.5）、（3.6）和（3.7），我们获得了以下每个aj的连续值函数的闭合形式估计∈ 适应时间tn：^CVjtn（z，w）=E[（WtN- LW）{LW≤ WtN公司≤ UW}| Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj]=Eεh^ujtn（z，w）+^σjtnε- LW公司×nLW≤ ^ujtn（z，w）+^σjtnε≤ UWoi公司=^ujtn（z，w）- LW公司Eε“（LW- ^ujtn（z，w）^σjtn≤ ε≤华盛顿大学- ^ujtn（z，w）^σjtn）#+^σjtnEε“ε（LW- ^ujtn（z，w）^σjtn≤ ε≤华盛顿大学- ^ujtn（z，w）^σjtn）#=^ujtn（z，w）- LW公司ΦUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- ΦLW- ^ujtn（z，w）^σjtn！！-^σjtnφUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- φLW- ujtn（z，w）σjtn！！，（3.8）通过直接积分获得最后一个等式。3、映射^αtn：（z，w）7→^αtn（z，w）和^vtn：（z，w）7→ ^vtn（z，w）由^αtn（z，w）=arg maxaj估计∈Ad^CVjtn（z，w）和^vtn（z，w）=maxaj∈Ad^CVjtn（z，w）。（3.9）综上所述，由于方程（2.2）中倾斜目标距离函数的截尾线性形状，动态规划方程（3.3）中的条件期望可以通过闭式公式（3.8）进行估计。由于回归方程（3.6）与^Wm，（n，j）tN的线性关系，这种两阶段回归比f（^Wm，（n，j）tN）的直接回归更稳健和稳定。第4.1小节描述了CRRA效用法的类似封闭形式条件值，第5.3小节说明了该两阶段LSMC方法提供的数值改进。更一般而言，这里提出的方法（3.7中的线性近似+3.8中的去中心校正）可以适应残差为非高斯的情况：这将简单地修改（3.8）中的校正项。对残差分布的选择和估计方法（经验分布、核估计、混合正态分布等）没有限制。

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kedemingshi

2022-5-31 07:31:56

然而，在不丧失一般性的情况下，可以合理地假设低频交易的残差为正态，例如在第5节的数值实验中考虑了月度回报和月度再平衡。此外，通过回归{Wm，（n，j）tN}1可以很好地捕捉财富分布的特性≤m级≤{Wmtn}1的Mon基函数≤m级≤M、产生接近正常值的回归残差。根据我们的数值实验，残差非常接近正常值。出于这些原因和演示目的，我们自此假设残差正常，并重点分析新投资目标（2.2）的影响。3.4国家相关标准偏差上一小节中的一个重要假设是，^σjt仅取决于投资组合决策aj，而不取决于国家变量（Ztn，Wtn）。本小节描述了如何改进标准偏差估计以纳入状态变量。与^ujtn（z，w）的近似值类似，与状态相关的标准偏差^σjtn（z，w）可以通过状态变量基函数的线性组合的指数来近似，^σjtn（z，w）=exp（PKk=1^ηjk，tnψk（z，w））。指数变换的目的是避免负标准差估计的可能性。然后，两阶段回归变为^W（n，j）tN=^ujtn（z，W）+ε，ε~ N0，σjtn（z，w）,^ujtn（z，w）=KXk=1^βjk，tnψk（z，w），^σjtn（z，w）=expKXk=1^ηjk，tnψk（z，w）.请注意，标准最小二乘回归不能用于估计标准偏差等不可观测变量。相反，我们使用MLE。

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2022-5-31 07:31:59

我们首先进行最小二乘回归以近似平均μjtn（z，w），然后通过最大化以下对数似然函数来近似对数标准偏差logσjtn（z，w）：ηZtn，Wtn，^W（n，j）tN=MXm=1-KXk=1ηjk，tnψkZmtn，~ Wmtn-（εm）膨胀-2KXk=1ηjk，tnψkZmtn，~ Wmtn,式中，^εm=^Wm，（n，j）tN-KXk=1^βjk，tnψkZmtn，~ Wmtn.我们使用Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno算法来实现此对数似然函数的最大化。在第5.3小节中，我们比较了标准偏差估计中有无状态依赖的结果。3.5上限目标作为第2节讨论的止损目标，绩效衡量中上限目标的主要目的是降低下行风险。然而，在多周期优化中，当实现的财富超过上限目标时，可能会出现一个悖论：默认情况下，投资组合优化器可能会告诉基金经理挑选最有可能下跌的资产。当Wt≥ UWR公司-（T-t） f，通过投资UWR，可以在一定程度上超越上目标-（T-t）将大量财富注入无风险资产并取出余额Wt- UWR公司-（T-t） F远离问题。要实现这种校正，有两种方法：1。在方程（2.1）的值函数中，可以用min{T，τ}代替T，其中τ是第一个（停止）时间，使得Wτ≥ UWR公司-（T-τ） f.在时间τ（如果发生在T之前），动态优化停止：量UWR-（T-τ）金融机构投资于无风险资产，余额Wτ- UWR公司-（T-τ） FIS取出。2、或者，可以为问题添加额外的动态控制：动态提取/消耗，例如参见Dang、Forsyth和Vetzal（2017）。为了简单起见，我们在本文中使用第一种方法。

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2022-5-31 07:32:02

根据我们的数值实验，我们发现实施这一止损规则不会显著影响最终财富分布，因为通常只有很小一部分财富实现超出上限。例如，我们在numericalsection中显示，约1%的实现超出了[LW=1.0，UW=1.1]的上限，而[LW=1.0，UW=1.2]的实际值超过了0%。4扩展本节将两阶段LSMC方法用于替代投资目标。我们首先描述了如何使用两阶段LSMC方法来处理CRRA效用方法，然后我们将STR的公式调整为扁平目标范围策略（FTRS），该策略纯粹是最大限度地提高实现预先指定目标范围的概率，而无需进一步尝试集结以获取利益，并将目标范围策略基于随机基准，将绝对固定目标范围替换为相对目标范围。4.1 CRRA效用在经典的LSMC方法中，E型条件预期效用[U（WT）| Ztn=z，Wtn=w]将由β·ψ（z，w）近似，当效用函数U高度非线性时，这可能会导致较大的数值误差，见Van Binsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）、Denault和Simonato（2017）、Zhang等人（2019）和Andreasson和Shevchenko（2018）。提出的两阶段回归避免了这种非线性问题，大大提高了LSMC方法的稳定性。在本小节中，我们推导了CRRA效用法的两阶段持续价值估计。

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可人4

2022-5-31 07:32:05

这些估计涉及以下特殊函数：o伽马函数：Γ（z）=z∞tz公司-1exp(-t） dto上升阶乘：z（n）=Γ（z+n）Γ（z）o第一类反超几何函数：F（a，b，z）=∞Xn=0a（n）b（n）znn！o第二类反超几何函数：ψ（a，b，z）=Γ（1- b） Γ（a）- b+1）F（a，b，z）+Γ（b- 1） Γ（a）z1-bF（a- b+1，2- b、 z）假设终端财富的条件平均值^ujtn（z，w）和标准偏差^σjtnh已根据方程式（3.6）和（3.7）计算。然后，使用aGaussian分布实际矩的一般公式（Winkelbauer（2014）），CRRA实用程序方法中的连续值函数由^CVjtn（z，w）=E“^WtN1给出-γ1- γZtn=z，Wtn=w，αtn=aj#=^σjtn1.-γ1- γ·-我√1.-γ·ψ-1.- γ、，则，，-^ujtn（z，w）^σjtn！. （4.1）我们在第5.3.4.2小节“平坦目标距离策略”中使用此封闭式公式进行数值比较。STR（2.2）产生的回报分布向上回报目标倾斜。然而，还存在一些其他类型的投资组合优化问题（如生命周期和保险相关投资），对于这些问题，保持偿付能力的能力胜过对高预期回报的偏好。对于此类问题，可以将倾斜目标范围形状（2.2）调整为f（w）={LW给定的fl at target range形状≤ w≤ UW}。

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2022-5-31 07:32:08

（4.2）图4.1用[LW，UW]=[1.0，1.2]说明了上述方程（4.2）。然后投资组合优化问题变成svt（z，w）=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TE[{LW≤ w≤ UW}| Zt=z，Wt=w]=sup{ατ∈A} t型≤τ≤TP[LW≤ WT公司≤ UW | Zt=z，Wt=w]，（4.3），这是一种纯概率最大化策略。保守的FTR比经典的风险价值（VaR）最小化方法更灵活：当UW=+∞, FTR（4.3）和VaR最小化实现了可比的投资结果，前者的差异是固定的绝对切分水平，后者的差异是隐含的相对切分水平。具体而言，FTRS将低于特定损失水平的概率降至最低，而VAR程序将特定损失分位数降至最低。当UW确定时，FTR为投资者提供了更大的灵活性来设计他们的风险偏好，因为在这种情况下，较低的回报目标LW是投资者明确提出的，而确定较高目标UW的选项扩大了可能的风险偏好的范围。图4.1：平坦目标距离函数如果根据方程式（3.6）和（3.7）估计了终端财富的条件平均值^ujtn（z，w）和标准偏差^σjtnhave，则延拓值函数简单地由^CVjtn（z，w）=P[{LW]给出≤ WtN公司≤ UW}| Ztn=z，Wtn=w，αtn=aj]=PεhnLW≤ ^ujtn（z，w）+^σjtnε≤ UWoi=ΦUW- ^ujtn（z，w）^σjtn！- ΦLW- ^ujtn（z，w）^σjtn！。（4.4）4.3随机基准的目标范围也可以确定相对于随机基准的回报阈值Lw和Uw，无论是股市指数、通货膨胀率、汇率还是利率。我们参考了Franks（1992）、Browne（1999a）、Brogan和Stidham Jr.（2005）以及Gaivoronski等人。

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2022-5-31 07:32:11

（2005）针对旨在超越随机基准的经典投资策略。用B表示随机利息基准，并将相对超额财富定义为W- B、我们可以将目标距离函数修改为：fB（w，B）：=（w-b） {LW≤ w- b≤ UW}，（4.5）表示STR，fb（w，b）：={LW≤ w- b≤ UW}，（4.6）用于FTRS。随机基准B可以简单地建模为一个额外的外部状态变量，因此可以使用第3.5节数值试验中开发的相同方法解决这个新问题。在本节中，我们测试了倾斜目标范围策略（STRS），并说明了它如何实现投资者的范围目标。表5.1总结了用于我们数值实验的资产类别和外部状态变量。我们考虑投资于五种资产的投资组合：无风险现金、美国债券（AGG）、美国股票（SPY）、国际股票（IFA）和新兴市场股票（EEM），表5.1中列出的其他资产被用作回报预测因子。表5.1：风险资产和回报预测数据集基础数据源U。S、债券AGG（ETF）Yahoo FinanceU。S、股票间谍（ETF）Yahoo FinanceInternational股票IFA（ETF）Yahoo FinanceEmerging Market股票EEM（ETF）Yahoo FinanceJapanese股票NIKKEI225 Yahoo FinanceU。K、股票FTSE100雅虎金融澳大利亚股票ASX200雅虎金融黄金现货价格世界黄金协会原油现货价格美国能源信息。管理U、美元美元指数联邦储备日元JPYUSD联邦储备欧元美元联邦储备澳元联邦储备现金部分的年利率设定为2%。我们假设0.1%的比例交易成本，并参考Zhang et al.（2019）关于如何使用内生变量处理LSMC算法中的转换成本。

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2022-5-31 07:32:14

一阶向量自回归模型根据2003年9月至2016年3月表5.1所列资产的月度对数收益率进行校准。通过对残差进行自举，一年内每月生成10000条模拟路径。两阶段回归方法近似于线性财富WT，而不是凹效用U（WT）；因此，如Van Binsbergen和Brandt（2007）以及Zhang等人（2019）所述，10000条路径的样本被视为足以达到数值稳定性。出于同样的原因，我们在算法中使用一个简单的二阶多元多项式作为线性最小二乘回归的基函数。为了简单起见，所有报告的分布都是在样本中模拟的，这在理论上可能会使估计向上偏移。在数值实验中，我们对离散控制网格使用0.2增量的网格，不允许短期出售和借用。除了第5.3小节测试依赖于状态的标准偏差外，所有其他数值实验均使用独立于状态的标准偏差。该程序是用Python 3.4.3编写的，在2.2 GHz Intel Core i7 CPU上大约需要两个小时才能完成M=10000条路径、12个时间步、13个状态变量、二阶多项式基和五维投资组合的0.2控制网格的计算。5.1财富分配图5.1提供了使用STRS时终端投资组合价值估计分布的一些示例。我们还记得，投资组合价值W和界限[LW，UW]是由初始财富来衡量的，因此在不丧失一般性的情况下，我们假设W=1.00。较低的目标LW设定为初始财富水平1.00，这是一个自然选择，代表投资者对资本保护的偏好。

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2022-5-31 07:32:17

测试了四个不同的上部目标：1.05、1.10、1.20和1.30。图5.1：使用STR的终端财富分布图5.1中可以对STR产生的终端财富分布的形状做出一些评论。最引人注目的观察结果是，STR确实将大部分财富实现限定在预先确定的目标范围内，对于较低的上限目标水平UW=1.05和UW=1.10，财富分布在某种程度上模拟了倾斜目标范围函数（2.2）的形状，使得下行风险可以忽略不计。这表明两阶段LSMC算法确实能够正确处理突然不连续的Payoff函数。尽管第3.5小节中描述了第一次修正，但仍有一些财富变现高于上限，这可能是由于月度再平衡的离散时间性质造成的（在一个月内可能会发生大幅上升，之后风险投资会立即停止，如第3.5小节所述）。图5.2：预计使用STRAS的财富分布的时间演变，将上限目标UW设置为更高的水平，会产生更高的预期终端财富，具有更高的标准差和更大的下行风险（通过损失资本的概率衡量）。同时，上目标UW越高，终端财富分布越难向上目标倾斜。关于超出目标范围的尾部，两个较低的较高目标水平UW=1.05和UW=1.10产生较大的右尾部，而两个较高水平UW=1.20和UW=1.30产生较大的左尾部，这与UW越大，投资者为获得较高回报而愿意承担的风险越高这一事实相一致。

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2022-5-31 07:32:20

这说明STR能够满足不同的风险偏好。需要监控的一个有趣的量是比率R：=（E【WT】- LW）/（UW- LW）测量相对于目标范围的预期性能E【WT】的位置：R=0%表示E【WT】=LW，而相反的R=100%表示E【WT】=UW。在图5.1的实验中，R是UW的递减函数，从UW=1.05的R=72%下降到UW=1.30的R=38%。这说明了一个自然的事实，即期望的上限目标越高，实现它就越困难。所提议策略的一个明显缺点是，当上下目标都设置为相对较高的水平（例如LW）时，左尾相对较长≥ 1.00和UW≥ 1.20。图5.2显示了整个投资期内财富分布的时间演变（0.05%至99.95%），对于[LW=1.0，UW=1.1]（左上图）、[LW=1.0，UW=1.2]（右上图）、[LW=1.0，UW=∞] （左下面板）和[LW=0，UW=∞] （右下图），其中最后一个策略相当于在不考虑风险的情况下最大化预期的终端财富。结果表明，与UW=∞ 在底部面板中。一旦，由于上行潜力和下行风险自然交织在一起，当上目标设定为非常高的水平时，就无法很好地防范下行风险，如[LW=1.0，UW=∞] 示例（左下面板）。5.2敏感性分析和LW的选择下一个实验是对预期的终端财富、标准偏差和STR界限的下行风险进行敏感性分析。

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2022-5-31 07:32:23

图5.3显示了预期终端财富（E【WT】，Firstrow）、终端财富的标准偏差（SD【WT】，第二行）和下行风险（P【WT<1】，第三行）是如何受到上限UW（左列）和下限LW（右列）变化的影响的。图5.3的左栏显示了预期E【WT】、标准偏差SD【WT】和下行风险P【WT<1】如何随着UW的增加而增加，尽管P【WT<1】的UW=1.5左右达到了一个平台，而E【WT】的UW=1.8左右达到了一个平台。在右栏中，我们可以看到，当Lw远离初始财富W=1.0时，标准偏差SD【WT】和下行风险P【WT<1】都会增加。当LW>1.0时，两种风险度量都会随着| LW而增加-W |由于在交易期开始时需要额外的风险，迫使投资组合价值从W=1.0增长到较低的目标LW>W=1.0。当LW<1.0时，两种风险度量也会随着| W而增加- LW |由于缺乏即时损失处罚。然而，LWon e【WT】的净影响几乎可以忽略不计。因此，这些观察结果表明，LW=W=1.0是目标区间下限的合适选择，从中可以根据投资者的风险偏好和回报要求设置上限Uw。图5.3：灵敏度分析w.r.t.目标边界5.3模型验证以下实验旨在通过与classicalLSMC方法的比较验证两阶段LSMC方法。我们首先研究了CRRA效用优化示例。已经注意到，当效用函数高度非线性（高风险厌恶）时，模拟和回归方法可能会产生较大的数值误差，例如Van Binsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）和Denaultand Simonato（2017）。

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2022-5-31 07:32:26

我们将两阶段LSMC方法和经典LSMC方法应用于CRRA效用优化，然后比较得到的初值函数估计值^v=MPMm=1（^WtN）1-γ/（1）-γ）为期一年，每月重新平衡。继Zhang等人（2019）之后，我们选择M=10000条样本路径，以确保解的数值稳定性。对于经典的LSMC方法，我们将效用函数本身作为回归基础的一部分，以便回归基础可以在一定程度上调整为风险规避参数。图5.4显示，当γ值较高时，经典LSMC方法变得不稳定，而两阶段LSMC方法收敛得很好。在我们的实验中，两阶段LSMC方法可以很好地逼近CRRA效用优化方法，达到γ=100。图5.4：两阶段LSMC与CRRA效用的经典LSMC相比，我们将我们的两阶段LSMC与解决STR的经典LSMC进行比较。为了检查异方差残差的可能性，我们校准了第3.4节所述的状态相关标准偏差σ（z，w），并将其与标准偏差仅取决于投资组合决策的原始两阶段LSMC方法进行比较。特别是，我们使用简单的线性基来近似对数标准差。图5.2显示，与经典的LSMC方法相比，两阶段LSMC方法显著改善了估计值和收益分布，而使用状态相关的标准偏差并不能显著改善结果，这表明同质残差的假设是合理的。表5.2：两级LSMC v.s。

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大多数88

2022-5-31 07:32:29

STRS的经典LSMC经典LSMC两级LSMC两级LSMC+σ（z，w）Lww^vE[WT]SD[WT]P[WT<1]vE[WT]SD[WT]P[WT<1]vE[WT]SD[WT<1]1 1.1 0.0058 1.1571 0.1847 0.1244 0.0574 1.0596 0.0272 0.0028 0.0475 1.0499 0.0318 0.00951 1.2 0.0292 1.1609 0.1709 0.1077 0.0922 1.0883 0.0405 0.0128 0.0904 1.0867 0.0405 0.01221 1.3 0.0608 1.1631 0.1542 0.0832 0.1190 1.1126 0.0588 0.0178 0.12391.1164 0.0609 0.01921 1.4 0.0918 1.1663 0.1597 0.0656 0.1393 1.1296 0.0832 0.0244 0.1446 1.1351 0.0893 0.02861 1.5 0.1199 1.1692 0.1625 0.0503 0.1578 1.1449 0.1078 0.0299 0.1596 1.1491 0.1165 0.03211 1.6 0.1455 1.1721 0.1641 0.0454 0.1718 1.1563 0.1264 0.0352 0.1728 1.1596 0.1359 0.04131∞ 0.1903 1.1743 0.1652 0.0483 0.1934 1.1684 0.1635 0.0423 0.1938 1.1688 0.1625 0.04465.4 STRS和CRRAWe现在将STRS与CRRA效用优化方法进行比较。关于这一比较，我们的主要发现是，对于CRRA效用法的每个风险规避水平γ，可以找到一个目标范围【LW，UW】，这样STR可以提供类似的预期，但标准差较低，下侧风险较低。如图5.5所示，[LW，UW]=[0.93，1.53]的STR如何优于γ=10的CRRA效用方法。尽管STR的统计时刻更好，但与CRRA效用法相比，STR的短尾短尾可被视为我们方法的一个缺点，尽管与CRRA效用法相比，放弃一些上行潜力是下行风险保护得到改善的原因。图5.5：终端财富分布：STRS和CRRATo之间的比较提供了更全面的比较，我们现在报告了两种风险回报权衡：平均方差边界和回报与下行风险之间的权衡。

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2022-5-31 07:32:32

图5.6显示了三个月投资期内STR（针对LW和UW的不同组合）和CRRA效用方法（针对不同γ水平）的有效前沿。结果表明，STRS和CRRA效用方法具有相似的均值-方差有效前沿，而STRS提供了更好的下行风险-回报权衡。请注意，当风险规避参数很小（风险中性）或很高时，STRS和CRRA效用法产生类似的结果，而对于中间风险规避水平，STRS更可取。图5.6：与CRRA的比较：风险-回报权衡一个理论证明，与传统效用策略相比，STR的效率更高，这将有助于证实我们的数字结果。然而，例如，考虑到很难用一个更简单的下行风险最小化目标为单个交易期推导出明确的时间分配（Klebaneret al.2017），理论上无法证明STR比经典效用策略更有效。因此，我们将这个问题留作进一步研究。5.5扩展本小节讨论了第4节所述的修改目标范围策略产生的财富分布。图5.7提供了LW=1.0和UW=1.05、1.10、1.20和+∞. 主要观察结果是，正如预期的那样，最终财富位于预定范围之外的概率【LW，UW】小于STR（参考图5.1进行比较）。这是FTR的主要优势：下行风险保持在最低水平，而这种安全的代价是无法产生高回报。

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2022-5-31 07:32:36

最后，财富分布对UW的选择不太敏感：即使UW=∞, 鉴于缺乏追求高回报的动机。理论上，如果想要最大化终端财富位于目标范围内的概率，下限LW=1.0，上限UW足够大，那么最佳决策应该是将所有资本分配给无风险资产。然而，从数字上看，很难保证在任何时候、任何途径都能完全配置无风险资产。直觉上，原因如下：对于主要分配给无风险资产的投资组合，大部分（如果不是全部的话）终端财富变现将在目标范围内，这使得价值函数在这些对流投资组合分配中浮动且几乎不变。图5.7：使用FTRS的终端财富分布图5.8提供了以被动等权重投资组合为基准的相对目标范围策略（RTRS）的一些示例。投资组合价值低于基准投资组合的可能性很小（约6%- 超额收益分配为8%），但高于绝对目标提供的收益。原因是被动等权重基准已经提供了较高的预期回报，因此，要想跑赢这一目标，需要承担比之前绝对回报目标示例中所需的风险更大的风险。图5.8：具有相对目标范围策略的超额终端财富分布访问STR（顶行）和FTR（底行）的财富分布6结论本文介绍了投资组合优化问题的倾斜目标范围策略（STR）。TRS使预期投资组合价值最大化，同时将大部分回报分布限制在预定范围内。

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mingdashike22

2022-5-31 07:32:39

这一联合目标是通过无约束优化公式实现的，该公式以更简单的方式实现了与更复杂的约束优化方法预期的结果相似的结果。为了说明STRS的有效性，我们研究了一个多周期投资组合优化问题，并提出了一种两阶段最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法来处理新的目标函数。两阶段回归法也可用于一般投资目标，如平滑常数相对风险规避（CRRA）效用。我们表明，与直接回归相比，这种回归方法大大提高了LSMC算法的数值稳定性。我们表明，与CRRA效用法相比，STRS实现了类似的均值-方差边界，同时提供了更好的下行风险-回报权衡。我们发现，目标范围下限的建议水平是初始投资组合价值，在该水平上，最终投资组合价值的标准差和下行风险被略微最小化。由此，可以根据风险偏好设定目标范围的上限。此外，STR使用的无约束优化公式建立在指标函数的基础上，有可能对其他动态风险度量（如已实现波动率或最大提取）纳入额外的范围约束。这是我们希望在未来研究中调查的一个领域。致谢作者感谢陈文博士和两位匿名裁判的宝贵评论和评论。参考文献：Agarwal，V.和N.Y.Naik（2004）。涉及对冲基金的风险和投资组合决策。金融研究回顾17（1），63–98。Alexander，G.J.和A.M.Baptista（2002年）。使用均值-VaR模型进行投资组合选择的经济意义：与均值-方差分析的比较。

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