原子存在时隐含挥发性的左翼渐近性

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Left-wing asymptotics of the implied volatility in the presence of atoms》
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作者：
Archil Gulisashvili
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
We consider the asymptotic behavior of the implied volatility in stochastic asset price models with atoms. In such models, the asset price distribution has a singular component at zero. Examples of models with atoms include the constant elasticity of variance model, jump-to-default models, and stochastic models described by processes stopped at the first hitting time of zero. For models with atoms, the behavior of the implied volatility at large strikes is similar to that in models without atoms. On the other hand, the behavior of the implied volatility at small strikes is influenced significantly by the atom at zero. S. De Marco, C. Hillairet, and A. Jacquier found an asymptotic formula for the implied volatility at small strikes with two terms and also provided an incomplete description of the third term. In the present paper, we obtain a new asymptotic formula for the left wing of the implied volatility, which is qualitatively different from the De Marco-Hillairet-Jacquier formula. The new formula contains three explicit terms and an error estimate. We show how to derive the De Marco-Hillairet-Jacquier formula from our formula, and compare the performance of the two formulas in the case of the CEV model. The resulting graphs show that the new formula provides a notably better approximation to the smile in the CEV model than the De Marco-Hillairet-Jacquier formula.
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中文摘要：
我们考虑了原子随机资产价格模型中隐含波动率的渐近行为。在这样的模型中，资产价格分布在零处有一个奇异分量。原子模型的例子包括恒定弹性方差模型、跳转到默认模型，以及在第一次达到零时停止的过程所描述的随机模型。对于有原子的模型，隐含波动率在大冲击下的行为与没有原子的模型相似。另一方面，小冲击下隐含波动率的行为受到零原子的显著影响。S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier发现了两项小规模冲击下隐含波动率的渐近公式，并提供了第三项的不完整描述。在本文中，我们得到了隐含波动率左翼的一个新的渐近公式，它与De Marco Hillairet-Jacquier公式在性质上不同。新公式包含三个显式项和一个误差估计。我们展示了如何从我们的公式推导出De Marco Hillairet-Jacquier公式，并在CEV模型的情况下比较了这两个公式的性能。结果图显示，新公式比De Marco Hillairet-Jacquier公式更接近CEV模型中的微笑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Left-wing_asymptotics_of_the_implied_volatility_in_the_presence_of_atoms.pdf
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可人4

2022-5-5 05:40:56

存在原子体系GULISASHVILIABSTRACT时隐含挥发性的左翼渐近性。我们考虑了原子随机资产价格模型中隐含效用的渐近行为。在这样的模型中，资产价格分布有一个奇异分量为零。原子模型的例子包括恒定弹性方差模型、跳转到默认模型，以及在第一次命中时间为零时停止的过程所描述的随机模型。对于有原子的模型，大冲击下隐含波动率的行为与无原子的模型相似。另一方面，零时的原子会显著影响小罢工时隐含波动率的行为。S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier发现了两项小冲击下隐含波动率的渐近公式，并且还提供了第三项的不完整描述。在本文中，我们得到了隐含波动率左翼的一个新的渐近公式，它与De Marco Hillairet-Jacquier公式在性质上不同。新公式包含三个显式项和一个误差估计。我们展示了如何从我们的公式推导出De Marco Hillairet-Jacquier公式，并在CEV模型的情况下比较了这两个公式的性能。由此产生的图表显示，新公式比德马尔科·希莱雷特·贾奎尔公式更接近CEV模型中的微笑。1.引言在过去十年中，发现了几个重要的无模型公式，描述了极端冲击下隐含波动率的渐近行为。这里我们只提到R.Lee的动量公式（见[15]）、s.Benaim和P.Friz的尾翼公式（见[2,3]，也见[4]）、作者建立的误差估计的渐近公式（见[13,14]）以及K。

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大多数88

2022-5-5 05:40:59

高和R.李（见[10]）。我们请感兴趣的读者阅读作者的书[12]，以了解更多信息。作者感谢Antoine Jacquier和Stefano De Marco阅读了这篇文章并发表了宝贵的评论。作者还感谢Antoine Jacquierf提供了本文最后一节中包含的图表。2 ARCHIL Gulisashvilith目前的作品受到S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier的论文[8]的启发。[8]的作者在sset价格分布有一个原子为零的情况下，获得了关于小冲击下隐含波动率渐近行为的有趣结果（见[8]中的定理3.7）。此类模型的特殊示例包括方差的恒定弹性模型、跳转到默认模型，以及由在第一次命中时间为零时停止的过程描述的随机模型（更多信息可在[8]中找到）。不难看出，在有原子和无原子的模型中，隐含波动率的右翼行为是相似的。因此，在[12]的第9章中讨论的在最大利率下隐含波动率的一般无模型渐近公式可用于含原子的随机资产价格模型。然而，在有原子和无原子的模型中，隐含波动率的左翼行为在性质上是不同的。这一事实在[8]中得到了注意和探讨。[8]表明，推论9中的一般公式。[12]中的31描述了隐含效用在看跌定价函数方面的左翼行为，适用于带有原子的资产价格模型（见下面的公式（9））。

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mingdashike22

2022-5-5 05:41:02

对于此类模型，上述公式仅提供隐含波动率渐近展开的前导项和误差估计。[8]的作者发现了一个更精确的渐近公式，描述了原子模型中隐含波动率的左翼行为（见下面的公式（11））。请注意，在[12]的第9.9节中，未考虑零原子对隐含波动率的左翼渐近性的影响。这一遗漏导致了对CEV模型中小冲击时隐含波动率的渐近行为的错误描述（见定理11中的公式（11.22））。[12]中的5。上述公式（11.22）只考虑了资产价格分布的绝对连续部分，而忽略了零原子的影响。在本文中，我们建立了原子模型中小冲击下隐含波动率的新的渐近公式（见下面的公式（17）、（19）和（20））。这些公式包含隐含波动率的渐近展开和误差估计的三个显式表达式。注意，在[8]中发现的渐近公式包含两项，并且只提供了关于第三项的不完整信息。此外，新公式与De Marco Hillairet-Jacquer公式之间存在质的差异。在新公式中，我们使用了与走向相关的函数的反函数，而[8]中使用了累积标准正态分布函数的反函数。

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何人来此

2022-5-5 05:41:05

本文第5节显示了原子3存在时隐含波动率的数值左翼渐近性，公式（20）比De MarcoHillairet-Jacquier公式更接近恒定方差弹性模型中隐含波动率的左翼。我们的下一个目标是介绍几个已知的对象，这些对象将在本文的其余部分中使用，然后阐述我们的ma in结果。资产价格将由过滤概率空间上定义的非负鞅建模(Ohm, F、 {Ft}，P）。过程X的初始条件用X表示，并且假设X是一个正数。还假设利率等于零。在序列中，符号C和P代表与价格过程X相关的赎回和卖出定价函数。这些函数定义如下：C（T，K）=E（XT）-（K）+P（T，K）=E（K）- XT）+.在前面的公式中，K是履约价格，T是价格。隐含波动率ICis为函数，满足以下条件：CBS（T，K，IC（T，K））=C（T，K）。（1）（1）左侧的表达式是Black-Scholes模型中的看涨期权定价函数，具有波动性参数eq ua lto IC（T，K）。函数cbs由cbs（T，K，σ）=xN（d（T，K，σ））定义-KN（d（T，K，σ）），（2），其中N是标准正态累积分布函数，即函数N（x）=√2πZx-∞E-伊迪。函数和din（2）由比亚迪（T，K，σ）=对数x定义-对数K+σTσ√Tandd（T，K，σ）=对数x-日志K-σTσ√T.备注1。在整个过程中，假设所有T>0和K的C（T，K）>0≥ x、此外，我们假设所有T>0和K<x的P（T，K）>0。

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大多数88

2022-5-5 05:41:08

之前的第一项限制保证了IC（K）适用于所有K≥ x、而在第二个限制条件下，所有K<1的波动率IC（K）都存在（更多细节见[12]4第9.1节）。ARCHIL GULISASHVILIRemark 2。到期日T>0将在整篇论文中确定。为了简化表示法，我们将在函数C和类似函数中抑制符号T。备注3。在证明本文所得结果时，我们通常假定x=1。很容易理解为什么这个假设不限制基因的稳定性。事实上，让我们定义一个newstochastic流程byeX=x-1X，分别表示相应的callpricing函数和隐含波动率byeC和iec。那么，不难看出C（K）=xeC十、-1K. 此外，同样的公式适用于Black Sholes调用定价函数，即ndthereforeIC（K）=IeC十、-1K. （3）由于processeX hasex=1是其初始条件，公式（3）允许我们在x=1限制下的隐含可用性的渐近公式和一般情况下的类似公式之间导航。设T>0，x=1，设置mT=P（XT=0）。如果每T>0，我们就有mT=0，那么函数G由G（T，K）=KP定义T、 K-1.（4）是一个通话定价函数（见[12]）。函数G在隐含波动率的左翼和右翼渐近之间起着联系的作用（见[12]）。现在，假设对于某些T>0，0<mT<1。让我们来了解一下这种爱好，并考虑一下罢工价格的C、P和ICas功能。注意，对于带有原子的模型，由（4）给出的函数G不是一个调用定价函数。实际上，函数G不满足条件G（K）→ 0作为K→ ∞. 然而，函数G具有调用定价函数的许多特性。

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大多数88

2022-5-5 05:41:11

例如，不难看出，布莱克-斯科尔斯暗示波动率对所有K都存在≥ 1（见备注1），此外，IC（K）=IGK-1.（5）对于0<K的所有K≤ 1.我们还有g（K）=mT+ψ（K），（6），其中ψ是一个正函数，使得ψ（K）→ 0作为K→ ∞. （7）存在原子时隐含波动率的左翼渐近性（6）和（7）的证明很简单。根据看跌期权定价函数的定义，g（K）=mT+“Z 1KdeuT（x）- KZ 1KxdeuT（x）#，其中eu是x在开放半直线（0，∞). 因此，ψ（K）=z1kdeuT（x）- KZ 1KxdeuT（x）≤z1kdeuT（x）。（8）现在很清楚（8）意味着（6）。最后，原子资产价格模型的等式（5）的证明与[12]中的Lemma 9.23的证明相同。备注4。我们用ptandepton表示随机变量XTon[0]的累积分布函数，∞) 和（0，∞), 分别地这些函数由pt（u）=uT（[0，u]）和pt（u）=euT（[0，u]）给出。很明显，pt（K）=mT+ZKdeuT（x），0<K<∞,epT（K）=ZKdeuT（x），0<K<∞.我们已经在推论9中提到了渐近公式。31英寸[12]。这个公式如下：IC（K）=√√T“slogP（K）-slogKP（K）#+OlogKP（K）-log logKP（K）！（9）作为K→ 0.使用中值定理和公式P（K）=KmT+KψK-1.,对于较小的K值（前面的公式来自（4）和（6）），我们得到（K）=√√TrlogK+O（1）（10）作为K→ 这意味着，在原子存在的情况下，（9）中给出的一般公式仅提供了隐含波动率接近零的渐近展开的前导项。（10）中给出的6 ARCHIL Gulisashvilile项的表达式也可以从Le e的动量公式中预测（见[15]）。事实上，对于带有原子的模型，资产价格分布的所有负序动量都是XTexplode。接下来，我们将对[8]的主要结果进行公式化，使其适应我们的符号。

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kedemingshi

2022-5-5 05:41:14

假设存在ε>0，使得ept（u）=O（uε）为u→ 0.ThenIC（K）=√√TrlogK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TqlogK+Φ（K）（11）作为K→ 0.在（11）中，符号N-1代表标准正态累积分布函数N的反函数。此外，（11）中的函数Φ满足订单的特殊估计条件稳定常数-作为K→ 0（详见[8]中的定理3.7）。请注意√2N-（11）中的1（mt）qlogK（12）并不是渐近展开式中的第三项，因为（12）中的表达式和函数Φ（K）作为K之间存在相互作用→ 0.在下面的定理7和推论9中，我们提供了三项隐含波动率的渐近公式和O阶误差估计条件稳定常数-作为K→ 0.我们方法的主要新颖之处在于，函数N-1利用信息公式（11），我们得到了一系列与走向相关的反函数（英国）-1，K>1，其中uk（x）=N（x）-√π扑通-x、 x∈ R.（13）很容易看出，对于每K>1，函数UK在区间上严格递增[-√扑通一声，∞) （区别对待！），还有Moreimx→-∞UK（x）=0和limx→∞英国（x）=1。存在原子时隐含波动率的左翼渐近7根据上述推理，逆函数（UK）-1在英国所有人都存在(-√（扑通一声）≤ y<1，（14）在区间[UK]上严格增加(-√plog K），1），并将该间隔映射到该间隔上[-√扑通一声，∞).备注5。请注意（英国）-1（y）为所有y而存在(-√（扑通一声）≤ y<1，（15）因此，（英国）-1（y）代表所有y与≤ y<1。另一方面，如果0<y<，那么我们必须假设条件（14）成立。根据Remark5（英国）-1（mT）是为所有K>1定义的，前提是≤ mT<1。此外，如果0<mT<，则（英国）-1（mT）是根据以下限制定义的：英国(-√（扑通一声）≤ 山。

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大多数88

2022-5-5 05:41:17

（16）注意，给定mT，存在SEK>1，这样（16）适用于allK>eK，而且0<mT≤ G（K）<1。因此，对于所有K>eK，我们可以通过反转函数UK来求解方程UK（x）=G（K）和UK（x）=mt。下一个引理很简单，我们省略了证明。引理6。假设K>1，假设y满足（15）。然后是不平等（英国）-1（y）>0当且仅当大于-√πplog K.接下来的两个陈述是本文的主要结果。定理7。让x>0。下面的渐近公式适用于上述资产价格模型中的隐含波动率IC（K）：IC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1.GxK+√√TUxK-1.GxKlogxK-+ OlogxK-（17）作为K→ 0.8阿奇尔·古利萨什维尔8。设x>0，假设随机变量x等于ept（K）=O条件稳定常数-!（18）作为K→ 0.ThenIC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1.pTKx+√√TUxK-1.pTKxlogxK-+ OlogxK-（19）作为K→ 0.推论9。设x>0，并假设随机变量满足条件（18）。ThenIC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1（公吨）+√√TUxK-1（公吨）logxK-+ OlogxK-（20）作为K→ 0.不难看出推论9来自定理7、Remark4、公式（6）和（8）以及中值定理。备注10。有趣的是，在公式（17）和（20）中，顺序项（logk）-他缺席了。这是因为在定理7的证明中，当我们结合公式（48）和（49）时，会出现某些取消。备注11。在公式中，只考虑原子的质量分布（参见公式中的公式）。备注12。比较De Marco Hillairet-Jacquier公式（11）和我们的公式（20），我们注意到两个主要区别。

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大多数88

2022-5-5 05:41:20

首先，公式（20）包含以下表达式：UxK-1（mT），而不是存在原子9n时隐含波动率的左翼渐近-1（mT）出现在公式（11）中。另一方面，（11）中的函数Φ满足Φ（K）=OlogxK-作为K→ 0，而（20）中的错误项是OlogxK-作为K→ 0.我们将在第2节中证明定理7，而在第3节中，我们将从我们的定理7中推导出德马尔科·希尔莱特·贾奎尔公式。此外，在第3节中，我们给出了差异的估计UxK-1（公吨）-N-小规模罢工1（公吨）。第4节讨论了CE V模型中隐含波动性的左翼行为。最后，在论文的最后一节（第5节），我们比较了两个公式的性能，提供了CEV模型中小冲击时隐含波动率的近似值：本文中的De Marco Hillairet-Jacquier公式和推论9中的公式。2.定理7的证明我们已经提到，在x=1的情况下证明定理是足够的。对于每一个小数值ε>0，seteGε（K）=G（K）+3N-1（mT）+2+ε√π（对数K）。（21）以下断言提供了隐含波动率的双边估计。定理13。设ε>0。然后存在Kε>0，使得√√TslogK+H2，εK≤ IC（K）≤√√TslogK+HK（22）对于所有0<K<Kε。在（22）中，函数Hand H2，ε定义如下：H（K）=H（UK）-1（G（K））i+（英国）-1（G（K））q[（英国）-1（G（K））]+2对数K（23）10阿奇尔·古利萨什维利安DH2，ε（K）=h（英国）-1（例如ε（K））i+（英国）-1（例如ε（K））rh（英国）-1（例如ε（K））i+2 log K.（24）定理的证明13。我们的第一个目标是找到满足以下条件的两个函数：CBS（K，eI（K））≤ G（K）≤ CBS（K，eI（K））（25）表示足够大的K值。

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可人4

2022-5-5 05:41:23

（25）中的不等式将允许WU估计大罢工的隐含波动率IGF，并且他可以描述隐含波动率IC的左翼行为。假设函数是一个实际函数，其增长速度比log K慢。函数将在以后选择。普泰（K）=√√Tqlog K+~n（K）。然后我们得到了（K，eI（K））=~n（K）√扑通一声K+K（K）和D（K，eI（K））=-2原木K- ~n（K）√扑通一声K+K（K）。因此，CBS（K，eI（K））=Nd（K，eI（K））-千牛d（K，eI（K））= N K（K）√砰砰的一声K+K！-千牛-2原木K- ~n（K）√砰砰的一声，K+а（K）！=A（K）-B（K）。我们的下一个目标是估计（26）年的最后一个学期。我们将使用以下已知的不等式：√2π十、-x（x+1）E-十、≤√2πZ∞xe-伊迪≤√2πxe-x、（27）存在原子时隐含波动率的左翼渐近性11（27）中的估计来自于[1]，7.1.13中的更强不等式。考虑到（27），我们看到b（K）=KN-2原木K- ~n（K）√砰砰的一声K+K！≤√πplog K+~n（K）2 log K+~n（K）exp-~n（K）4（对数K+~n（K））（28）和B（K）≥√πplog K+~n（K）2 log K+~n（K）exp-~n（K）4（对数K+~n（K））-√π（对数K+K）（2对数K+K）[（2对数K+K）+2对数K+K]exp-~n（K）4（对数K+~n（K））. （29）让我们接下来假设函数φ具有以下形式：φ（K）=Φ（K）plog K，（30），其中Φ是thatlimK→∞Φ（K）=γ。（31）在（31）中，γ是实数。那么我们有0≤扑通一声-扑通一声K+а（K）2原木K+а（K）≤扑通一声“1+Φ（K）扑通一声-s1+Φ（K）砰的一声#≤3Φ（K）16（logk），（32）表示所有K>K。它来自（28）和（32）中的第一个不等式thatB（K）≤√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通), （33）对于所有K>K。请注意(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)→ 经验-γ作为K→ ∞.12 ARCHIL GULISASHVILITo得到了较低的B（K）估计值，我们观察到√π（对数K+K）（2对数K+K）[（2对数K+K）+2对数K+K]exp-~n（K）4（对数K+~n（K））≤√π（对数K+ν（K））（对数K）=√π1+Φ（K）√日志K（日志K）≤√π“（对数K）+3Φ（K）2（对数K）+3Φ（K）8（对数K）#，K>K。

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大多数88

2022-5-5 05:41:27

（34）在（34）的证明中，我们使用了不等式（1+h）≤ 1+h+h，0<h<h。由（29）、（30）、（32）和（34）得出b（K）≥√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)-“3Φ（K）+4√π（对数K）+3Φ（K）√π（对数K）+3Φ（K）√π（logk）#，对于所有K>K。因此，条件（31）意味着对于每个ε>0，存在一个足够大的数Kε>0，使得对于每个K>Kε，B（K）≥√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)-3γ+ 4 + ε√π（对数K）。接下来，考虑到（26）、（33）和前面的不等式，我们看到下面的陈述成立。引理14。对于每个ε>0和所有K>Kε，Z（K）≤ 哥伦比亚广播公司（K，eI（K））≤ Z（K）+3γ+4+ε√π（logk），存在原子时隐含波动率的左翼渐近性，其中z（K）=NΦ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K-√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通). （35）引理14提供了函数CBS（K，eI（K））的估计值，它比函数CBS（K，eI（K））小一级√记录K。接下来，让我们选择函数Φ，使函数Z满足Z（K）=G（K），根据（35）中的公式，用Φ代替Φ。由（35）可知Φ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K=（英国）-1（G（K））。（36）现在，使用（36）我们看到，为了求Φ（K）的值，我们应该解以下二次方程：plog KΦ（K）-2h（英国）-1（G（K））iΦ（K）-2plog Kh（英国）-1（G（K））i=0。（37）解（37）并考虑（36），我们得到Φ（K）=H（K）plog K，（38），其中他的定义为（23）。接下来，我们将检查（38）定义的函数Φ是否可接受，也就是说，条件（31）适用于Φ。回想一下Z（K）=G（K），因此（6）给出了slimk→∞Z（K）=mT。它源于函数Z的定义（见（35））thatlimK→∞NΦ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K= 苏斯利姆山→∞Φ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K=N-1（公吨）。（39）14 ARCHIL GULISASHVILIIt不难看出Φ是一个有界函数。实际上，（39）意味着|Φ（K）| plog K√qlog K+Φ（K）plog K<M，其中M为正常数。

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kedemingshi

2022-5-5 05:41:30

因此√2M<sΦ（K）+Φ（K）plog K，因此函数Φ对于K的大值是有界的。现在，使用（39），我们看到thatlimK→∞Φ（K）=√2N-1（mT），因此γ=√2N-1（mT），其中γ是函数Φ在（31）中出现的常数。它由引理14和等式Z（K）=G（K）得出，即cbs（K，IG（K））≤ CBS（K，eI（K）），其中eI（K）=√√Tqlog K+H（K）、（40）和H（K）由（23）给出。因此，IG（K）≤eI（K），K>K.（41）为了得到较低的IG估计值，我们将进行类似的推理。这里唯一的区别是，我们将方程Z（K）=G（K）替换为方程Z2，ε（K）=eGε（K），其中eGε由（21）定义，ε>0是固定的，而Z2，ε是一个函数，如（35），但用未知函数Φ2，ε代替函数Φ。接下来，我们可以证明Φ2，ε（K）=H2，ε（K）plog K，其中函数H2，ε由（24）给出。此外，函数Φ2，ε对于K和limk的大值是有界的→∞Φ2，ε（K）=√2N-1（公吨）。因此γ=√2N-1（mT），其中γ是函数Φ2ε在（31）中出现的常数。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性15 let us seteI2，ε（K）=√√Tqlog K+H2，ε（K），（42），其中H2，ε（K）由（24）给出。由此得出cbs（K，eI2，ε（K））≤ CBS（K，IG（K））和henceeI2，ε（K）≤ IG（K），K>K1，ε。（43）很明显，orem 13中的公式（22）来自（5）、（40）、（41）、（42）和（43）。这就完成了定理13的证明。接下来，我们将估计隐含波动率ICin公式（22）的上下估计值之间的差异。

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能者818

2022-5-5 05:41:33

首先，请注意，由于函数Φ最终有界，公式（36）显示函数k7→ （英国）-1（G（K））也是最终有界的。类似地，函数k7→ （英国）-1（如ε（K））最终有界。根据（23）和（24），函数k7→ |H（K）|和K 7→ |H2，ε（K）|相当于函数Plog K近单位。因此，qlog K+H（K）-qlog K+H2，ε（K）=H（K）- H2，ε（K）plog K+H（K）+plog K+H2，ε（K）=OH（K）- H2，ε（K）plog K！，（44）作为K→ ∞.估计差值H（K）- H2，ε（K），我们观察到函数（UK）-1在区间的每个适当子区间上都有Lipschitz（英国）(-√1）Lipschitz常数在每一个这样的区间上独立于K。现在，不难看出，使用（21）、（23）和（24）thatH（K）- H2，ε（K）=Oplog K[eGε（K）-G（K）]= O日志K作为K→ ∞. 接下来，通过考虑（44），我们得到qlog K+H（K）-qlog K+H2，ε（K）=O（日志K）-（45）作为K→ ∞.16阿奇尔·古利萨什维利瑟雷姆15。以下公式适用于隐含波动率IC（K）作为K→ 0:IC（K）=√√TslogK+HK+ O条件稳定常数-!. （46）在（46）中，其功能由（23）定义。定理15来自定理13和（45）。备注16。注意，公式（46）中的O估计取决于ε。更准确地说，公式（46）应理解为：。在ε>0之前，存在cε>0和Kε>0，使得≤ IC（K）-√√TslogK+HK≤ cε条件稳定常数-对于所有0<K<Kε。定理证明7（续）。扩展函数x7→√1+x接近于零，我们得到√1+x=1+x-x+x+O（x）（47）作为x→ 现在，使用（47）和函数k7→ |H（K）|像对数K一样增长，我们看到qlog K+H（K）=plog Ks1+H（K）log K=plog K+H（K）2（log K）-H（K）8（对数K）+H（K）16（对数K）+O（日志K）-（48）存在ATOMS17as K时隐含波动率的左翼渐近性→ ∞.

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nandehutu2022

2022-5-5 05:41:36

此外，（23）和（47）表示h（K）=h（英国）-1（G（K））i+√普洛克（英国）-1（G（K））s1+[（英国）-1（G（K））]2对数K=√2（英国）-1（G（K））plog K+h（英国）-1（G（K））i+√（英国）-1（G（K））扑通一声K+O（日志K）-（49）作为K→ ∞. 接下来，结合（48）和（49），我们可以看到thatqlog K+H（K）=（log K）+√（英国）-1（克（克））+（英国）-1（G（K））2（对数K）+√（英国）-1（G（K））8原木K-（英国）-1（G（K））4（对数K）-√（英国）-1（G（K））4原木K+√（英国）-1（G（K））8原木K+O（日志K）-= （日志K）+√（英国）-1（G（K））+（英国）-1（G（K））（日志K）-+ O（日志K）-（50）作为K→ ∞. 现在，（17）是（46）和（50）的后续。这就完成了定理的证明。3.推论在本节中，我们将解释如何从我们的公式（17）中推导出由De Marco、Hillairet和Jacquier引起的隐含波动率左翼的渐近公式。注意，公式（17）对微小的变化都非常敏感。这种变化往往会产生O阶错误（日志K）-作为K→ 0.下一个语句本质上是在定理3中得到的结果。[8]中的7.18.阿基尔·古利萨什维利17。让x>0。ThenIC（K）=√√TlogxK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TlogxK-+ ΦxK. （51）在（51）中，函数Φ满足以下条件：lim supu→∞Φ（u）ψ（u）≤ 1，式中ψ（u）=√√T（对数u）-+√2π√特克斯N-1（公吨）ψ（u）。（52）证据。我们的第一个目标是替换这个表达（英国）-1（G（K））通过表达式N-1（mT），并估计误差。为了简短起见，我们把τ（K）=（UK）-1（G（K））-N-1（公吨）。（53）引理18。让x>0。那么下面的渐近公式是有效的→ 0:IC（K）=√√TlogxK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TlogxK-+ ηxK+ OlogxK-,式中η（u）=τ（u）√T+√2N-1（mT）τ（u）+τ（u）√T（对数u）-,τ由（53）定义。引理18来自定理7和（53）。下一个引理提供了函数τ的估计。引理19。以下公式适用：林素福→∞τ（K）ψ（K）≤ 1，其中函数ψ由（52）给出。存在原子的隐含波动率的左翼渐近性。

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nandehutu2022

2022-5-5 05:41:39

首先假设N-1（公吨）≥ 0.该假设等同于以下假设：≤ mT<1。然后，使用（13），我们可以看到N-1（公吨）≤ x<∞, 我们没有（x）-pπlog Kexp-N-1（公吨）≤ 英国（x）≤ N（x）。因此，对于y∈ [mT，1），N-1（y）≤ （英国）-1（y）≤ N-1y+pπ对数Kexp-N-1（公吨）!（54）安-1（G（K））≤ （英国）-1（G（K））≤ N-1G（K）+pπlog Kexp-N-1（公吨）!.辛森-1（y）′=N′（N）-1（y））=√2πexpN-1（y）,中值定理意味着（英国）-1（G（K））=N-式中，T（K），（G）0≤ T（K）≤√plog Kexp-N-1（公吨）经验N-1G（K）+√πplog Kexp-N-1（公吨）!.接下来，使用（6）和（7），我们看到对于e非常ε>0，存在Kε>0，这样t（K）≤√plog K（1+ε）。（56）此外，（6），（7），中值定理暗示-1（G（K））=N-1（mT）+ρ（K），（57），其中函数ρ为正且满足以下条件：ρ（K）≤√2πψ（K）expN-1（mT）+ε. （58）20 ARCHIL Gulisashvilunet，考虑公式（55）-（58），我们看到引理19在这个条件下成立≤ mT<1。在0<mT<的情况下，它仍然是p-rove引理19。前面的条件表示N-1（mT）<0。修正δ>0，例如N-1（mT+δ）<0。此外，fix K非常大，以至于以下不等式成立：-√扑通一声-1（G（K）），（59）N-1（G（K）+δ）<0，（60）和pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）< δ. （61）接下来，考虑到（59），我们假设-√扑通一声≤ 十、≤ N-1（G（K）+δ）。然后，使用（60），我们得到n（x）-pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）≤ 英国（x）≤ N（x）。此外，N-1（y）≤ （英国）-1（y）≤ N-1y+pπ对数Kexp-N-1（G（K）+δ）!,前提是(-√（扑通一声）≤ Y≤ G（K）+δ-pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）.从（59）和（61）可以看出，数字y=G（K）满足之前的条件。因此，N-1（G（K））≤ （英国）-1（G（K））≤ N-1G（K）+pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）!.

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可人4

2022-5-5 05:41:42

（62）此外，（62）和中值定理暗示，对于K>Kδ，0≤ T（K）≤√plog Kexp{V（K，δ）}，存在原子时隐含波动率的左翼渐近性，其中T（K）由（55）确定，且V（K，δ）=N-1G（K）+√πplog Kexp-N（G（K）+δ）!-N-1（G（K）+δ）。很容易看出这一点→0limK→∞V（K，δ）=0。因此，对于每一个ε>0，都存在Kε>0，使得（56）中的不等式适用于所有K>Kε。现在，在0<mT<的情况下，引理19的证明可以和在≤ mT<1。最后，不难看出推论17来自引理18和引理19。假设x=1，0<K<1。接下来我们将比较数字英国-1（mt）和N-1（mT）分别出现在滚动公式9和De Marco Hillairet-Jacquier公式（51）中。回想一下，如果≤ mT<1，则数字英国-1（mT）定义为所有0<K<1。另一方面，如果0<mT<，则英国-1（mT）在附加限制UK下定义-√rlogK！<mT.很明显，如果<mT<1，那么英国-1（mT）和N-1（mT）是所有0<K<1的正数。如果mT=，那么我们有英国-1（mT）>0和N-1（mT）=0。剩下的案件-√rlogK！<mT<（63）很有趣。在本例中，数字N-1（mT）是负数，而数字的符号英国-1（mT）可以是正的，也可以是负的。我们接下来将澄清之前的声明。引理20。假设条件（63）成立。那么以下是正确的：22阿奇尔·古利萨什维利（1）让数字K<1-√πqlogK<mT<。然后英国-1（mT）>0。（2）设K<1为-√πqlogK=mT.那么英国-1（mT）=0。（3）让数字K<1为UK-√rlogK！<mT<-√πqlogK。然后英国-1（mT）<0。备注21。

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何人来此

2022-5-5 05:41:45

请注意，在Lemma20第（1）部分中描述的情况下英国-1（mT）和N-1（mT）有相反的符号。艾玛20的证明很简单，我们留给读者作为练习。下一个断言描述了差异的限制行为英国-1（公吨）- N-1（公吨）。定理22。设0<mT<1。特林克→0√罗格英国-1（公吨）- N-1（公吨）= 1.（64）备注23。对于0<mT<，表达式英国-1（mT）存在干扰素-√rlogK！<mT（65）（见公式（15））。请注意，对于每一个0<mT<的固定mT，条件（65）适用于足够小的K值。这一解释表明我们应该理解0<mT<的公式（64）。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性23定理的证明22。认为≤ mT<1和setAK=英国-1（mT），A=N-1（mT）、（66）和BK=N-1.mT+qπlogKexp-A.. （67）引理24。对于所有0<K<1，√qlogK+BK≤ AK- A.≤√qlogK+Aexp（黑色）- A），其中A、AK和bk由（66）和（67）给出。引理24的证明。利用中值定理，我们可以看到- A=mT-UK（A）U′K（θ），（68），其中A<θ<AK。它源自（68）thaak- A=√qlogK+θexpθ- A.. （69）现在，引理24中的估计值来自（54）和（69）。让我们继续证明定理22。引理24意味着√qlogK+A√qlogK+BK≤ （AK）- A） \"√rlogK+A#≤ 实验（BK）- A）。（70）自BK以来→ A作为K→ 0，公式（64）遵循（70）。定理证明22的剩余部分类似于引理19的第二部分。让我们假设0<mT<。那么我们有-1（mT）<0。修正δ>0，使n-1（mT+δ）<0，（71）24阿尔奇·古利萨什维利，假设K<1-√rlogK<N-1（mT）（72）和√πqlogKexp-N-1（mT+δ）< δ. （73）让-√罗格≤ 十、≤ N-1（mT+δ）。（74）那么我们没有（x）-√πqlogKexp-N-1（mT+δ）≤ 英国（x）≤ N（x）。（75）因此，N-1（y）≤英国-1（y）≤ N-1.y+qπlogKexp-N-1（mT+δ）,前提是-√rlogK！<y<mT+δ-qπlogKexp-N-1（mT+δ）.由于之前的估计值适用于数字y=mT，因此我们有a<AK<BK，δ。

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何人来此

2022-5-5 05:41:48

这里A和A由（66）和bk定义，δ=N-1.mT+qπlogKexp-N-1（mT+δ）.接下来，使用（71）和（74），我们得到A<AK<BK，δ<0。它由（69）和不等式A<θ<BK，δ<0得出√qlogK+BK，δexp（BK，δ- （A）≤ AK- A.≤√qlogK+A.存在原子时隐含波动率的左翼渐近性25最后，不难看出，0<mT<的公式（64）可以从之前的估计和等式limk中推导出来→0BK，δ=A。备注25。定理22解释了为什么De MarcoHillairet-Jacquier公式中的误差项比公式（20）中的误差项更差。CEV模型恒定方差弹性模型（CEV模型）由以下随机微分方程描述：dSt=σSρtdWt，其中0<ρ<1，σ>0，S=S。如果≤ ρ<1，则x=0处的边界是自然吸收的，而对于0<ρ<，则采用吸收边界条件。CEV模型由J.C.Cox在[6]中介绍（另见[7]）。关于CEV模型的有用信息，包括下面给出的一些结果，可以在[5]中找到。在金融行业中，CEV过程用于对股票和商品的现货价格进行建模（例如，参见[9,11]及其参考文献）。修正T>0。那么我们有mt=1-Γ2(1 - ρ），s2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ)!. （76）此外，1uTof STI分布的绝对连续部分的密度如下：eDT（x）=cx-2ρexp(-x2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ））我-νs1-ρx1-ρTσ（1）- ρ)!. （77）在（76）中，Γ是由Γ（a，y）=Γ（a）Zyta给出的归一化不完全伽马函数-1e-tdt，a>0，y≥ 0，而在（77）中，参数ν由ν=-2(1-ρ），功能-ν是第一类修正贝塞尔函数，常数由c=sTσ（1）给出- ρ）经验(-s2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ） 26.ARCHIL Gulisashvilit被称为x→ 0，Iα（x）~Γ(α + 1)十、α对于所有α6=-1.-2, ···.

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可人4

2022-5-5 05:41:51

因此，从（77）可以看出→ 0，美国东部夏令时（x）~■cx1- 2ρ，（78），式中c=sTσ（1）- ρ） [2Tσ（1）-ρ)]2(1-ρ)Γ3.- 2ρ2(1-ρ)经验-2Tσ（1）-ρ). （79）现在，考虑到（78）和（79），我们认为这是K→ 0，ZKdeuT（x）~~c2（1）- ρ） K2（1）-ρ).因此，条件（18）成立。最后，应用推论9，我们得出以下结论。推论26。公式（20）和（77）给出的MTV适用于CEV模型中的隐含可用性。备注27。与推论26类似，除了CEV模型之外，还可以为许多其他模型建立命题，例如跳转到默认模型，以及在第一次击中零时停止的过程所描述的模型。要将推论9应用于原子模型，我们只需要知道Mt的值，并估计资产价格密度接近零的衰减率。[8]中提供了上述一些模型的此类信息。5.数值本节中的图表说明了两个渐近公式的性能，提供了CE V模型中隐含波动率左翼的近似值：De MarcoHillairet-Jacquier公式和本文中建立的公式（20）。图1和图2中的CEV参数值选择如下：s=0。05，T=1.2，β=0.6，a n dσ=0.2。在前面的假设下，质量在零处的值mt大约等于0.0707。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性27-30-25-20-15-10-50.900.951.001.051.101.151.20真smileDMHJ近似值2项近似值完整近似值图1。公式（20）和De Marco Hillairet-Jacquier近似（mT=0.0707）中的标准化隐含波动率。-30-25-20-15-10-5.-0.020.000.020.040.060.080.10DMHJ近似2项近似完整近似图2。

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mingdashike22

2022-5-5 05:41:55

公式（20）和De Marco-Hillairet-Jacquier近似（mT=0.0707）的标准化隐含波动率误差。在图1和图2中，自变量是由k=logKs给出的logmoneynessk。图1中的大蓝星显示了对函数K 7的蒙特卡罗估计→ IC（k）√T | k |。（80）为了绘制由蓝星表示的函数图，使用了10条路径的蒙特卡罗模拟，并用10028个ARCHIL GULISASHVILItime步骤绘制了一幅图。图1中的实心黑色曲线描绘了使用公式（20）中的所有三项的全微笑a p近似值。此外，黑色虚线中的图形对应于基于公式（20）的微笑近似值，带有2个项，而黑色十字中的图形表示De Marco Hillairet Jacquier近似值。图2显示了近似误差。即使是对图1和图2中图表的超官方观察也表明，公式（20）比De MarcoHillairet-Jacquier公式更接近CEV模型中隐含波动率的左翼。请注意，（80）中定义的函数的蒙特卡罗估计图和基于公式（20）的函数近似图非常吻合。参考文献[1]ABRAMOVITZ，M.，STEGUN，I.A.（编辑），《数学函数手册》，应用数学系列55，国家标准局，华盛顿，1972年。[2] BENAIM，S.，FRIZ，P.，规则变化和微笑渐近，数学。《金融》19（2009），1-12。[3] BENAIM，S.，FRIZ，P.，微笑渐近II：具有已知矩母函数的模型，J.Appl。问题。45 (2008 ), 16-32.[4] BENAIM，S.，FRIZ，P.，LEE，R.，关于极端情况下Black-Scholes隐含波动率，载于：Cont，R.（编辑），《定量金融前沿：波动率和信用风险模型》，威利，霍博肯，2009年，19-45。[5] 布莱彻，D.R.，林赛，A。

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可人4

2022-5-5 05:41:58

E.，关于CEV过程的结果，过去和现在，预印本，2010年。[6] COX，J.，期权定价注释一：方差扩散的恒定弹性，工作论文，斯坦福大学，1975年，（转载于《PortfolioManagement杂志》第22期（1996年），第15-17页）。[7] COX，J.C.，ROSS，S.A.，替代随机过程操作的评估，Journ。《金融经济学3》（1976），145-166页。[8] DE MARCO，S.，HILLAIRET，C.，JACQUIER，A.，在z ero的正质量隐含挥发性的模拟，预印本，2013年，可在arXiv:1 310.1020v1上获得。[9] DIAS，J.C.，VIDAL NUNES，J.P.，方差扩散恒定弹性下的实物期权定价，Journ。期货市场31（2011），230-250。[10] GAO，K.，LEE，R.，隐含波动率对任意顺序的渐近性，出现在金融学和随机学中；可从ssrn获得。com/abstract=1768383。[11] GEMAN，H.，SHIH，Y.F.，根据CEV模型对商品价格进行建模，Journ。另类投资11（2009），65-84。[12] GULISASHVILI，A.，分析可处理的随机股价模型，Springer Verlag Berlin Heidelberg，2012年。[13] GULISASHVILI，A.，李的矩公式在无矩爆炸的隐含波动性资产价格模型中的渐近等价性，以及Piterberg的猜想，Int.Journ。理论。阿普尔。《金融》杂志第15期（2012），1250020页。存在ATOMS29[14]GULISASHVILI，A.的隐含波动率的左翼渐近性，呼叫定价函数和极端打击时隐含波动率的误差估计的渐近公式，暹罗日报。菲南。数学1 (2010), 609-641.[15] LEE，R.，极端冲击下隐含波动率的矩公式，数学。《金融》第14期（2004），469-480页。俄亥俄大学数学系邮箱：gulisash@ohio.edu

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