我们定义了VaR asIt（α）=1的违反过程L（t）>varα（L（t））.Christo Offersen（[13]）表明，当且仅当违规过程It（α）满足两个条件时，VaR预测才有效：o无条件覆盖假设：E[It（α）]=1- α、 和o独立条件：It（α）和Is（α）对于s6=t是独立的。在这两个条件下，It（α）是独立的、同分布的伯努利随机变量，成功概率为1-α. 因此，违规数量具有二元分布。这意味着在实践中，通过将VaR替换为其估计值来考虑违规过程的估计值，并检查该过程是否表现为独立且分布相同的伯努利随机变量，违规（成功）概率接近1- α. 如果风险值违规的比例与FROM 1没有显著差异- α、 然后我们得出结论，该估计/预测方法是合理的。然而，上述独立性条件在实践中可能会被违反，因此，将VaR作为历史样本的无条件分位数来计算的一般方法是有问题的。这就是为什么文献中提出了关于独立性假设的各种测试，例如Christo Offersen和Pelletier（见[14]）根据违反VaR阈值之间的天数开发的测试。回溯测试。类似地，一种简单的ESM回溯测试近似方法可能基于ES作为综合VaR的表示（Acerbi和Tasche[2]，命题3.2）：ESα（L）=1- αZαqu（L）du≈[qα（L）+q0.75α+0.25（L）+q0.5α+0.5（L）+q0.25α+0.75（L）]，（5.1），其中qα（L）=V aRα（L）。

因此，如果qα（L），q0。75α+0.25（L），q0。5α+0.5（L），dq0。25α+0.75（L）是成功的回溯测试，那么ESα（L）的估计值也可以被认为是可靠的，前提是仔细手动检查观察样本上部0.25%尾部的观察值。无论如何，必须手动检查上尾观测值，以便将数据异常值与真正的远尾观测值分开。到目前为止，建议的程序提供了统计测试和人为监督的合理组合。与Acerbi和Sz’ekly[1]中建议的测试程序相比，它的优点是不依赖蒙特卡罗模拟进行统计测试。（5.1）中不同变量对ES的线性近似是否有四个支撑点？实际上，支持点上VaR违规联合测试的威力将随着选择的支持点数量而下降，但随着可用观测样本的大小而增加。因此，支持点的数量必须根据具体情况根据样本量确定。基于（5.1）的应用程序roach不仅因其简单性而具有吸引力，还因为它表明了一个事实，即对于相同的确定性水平，需要更长的样本来验证ESα（L）和VaRα（L）（另见Yamai和Yoshiba[64]）。BaselCommittee提出了一种ES回溯测试方法的变体，该方法基于在97.5%和99%水平上测试两个分位数的水平违规[5]。5.2回溯测试分布预测我们概述了一种基于L’evy Rosenblatt变换（也称为概率积分变换（PIT））的分布预测样本外验证方法。

正如前面指出的，这种方法非常重要，因为测试分布预测可能会有所帮助，尤其是对于基于尾部的风险度量，如ES。美国对金融模型进行回溯测试的时间相对较短。这些基金会由迪博尔德及其合著者创立。Diebold等人[22]从风险管理的角度解决了密度预测估值的问题，提出了一种基于勒维-罗森布拉特变换（或PIT）的均匀分布来测试金融中连续分布预测的方法（勒维[45]和罗森布拉特[55]）。将L’evy定理应用于PIT，他们观察到，如果分布预测序列与产生观测的未知条件定律序列一致，那么PIT序列是独立且相同分布的U（0，1）。在Diebold等人[23]中，他们将密度预测评估扩展到多变量情况，涉及时变条件相关性等交叉变量相互作用，并提供了使用密度预测“校准”技术改善密度预测效率的条件。他们最终将PIT方法应用于高频金融数据（波动率预测）以说明其应用。请注意，PIT的定义已被推广用于不一定连续的累积分布函数（cdf）（见Gneiting和Ranjan[37]以及其中的参考文献）。然而，在全面实施和实际使用之前，仍有一些差距需要填补。Blum在他的博士论文[8]中研究了各种悬而未决的问题，并在预测区间重叠和多个预测视界的情况下，提出并验证了一种基于P IT的方法。布鲁姆在他的论文《经济学中心发电机》（ESG）中对此进行了阐述。

通常，金融机构使用情景生成器，生成数千个情景，每个情景都有自己在未来某个时间的某个特定值的预测值。回想一下，场景是通过模拟基础流程的iid创新构建的。这些模拟值定义了一个经验分布，代表了一个分布预测。因此，将对获得的分布进行回溯测试；这是对预测分布的抽样回溯测试。有关方法学的详细信息，我们参考Blum[8]、SCOR Switzerland[57]和其中的参考文献，仅对以下主要步骤进行总结。根据从所有情景中获得的值，我们推断出^Φi表示的经验分布，该分布假定收敛于Φi（x）=P（Xi）定义的边际cdfΦ≤x | Fi-m） 其中xic对应于样本外时间点Tian和Fi处变量X的情景预测-mto最新的可用信息-m来自simulationstart，m是预测步数。因此，在样本外时间点ti，我们利用^Φi，将时间Tia的分布识别为之前时间ti计算的分布-m、 以及一个新观察到的值xi。现在我们应用PIT来构建随机变量Zi:=Φi（Xi），已知实现Φi（Xi）。Dieb old等人[22]和Diebold等人[23]已经证明，当预测Φi（.）的条件分布为与历史数据生成的真实过程一致。出于实际目的，需要测试PIT变换变量是否独立且相同U（0，1）-分布。如果其中一个条件被拒绝，则模型无法通过ou t-of-sample测试。

正如Diebold和Mariano[21]所指出的，这不是对模型的测试，因此并不意味着模型没有价值。拒绝仅意味着样本内和样本外周期之间可能存在结构性差异，或者模型不符合完整的预测数据。各种统计测试都是可能的，比如标准测试，如均匀性的χ检验或自相关显著性的肯德尔-斯图尔特测试。继续使用Diebold等人的方法，他们在Diebold等人[22]中提出的非参数测试（参见Diebold等人[23]了解多变量情况）也可能有用。该测试包括比较分别从Zi和U（0，1）获得的直方图，以及在考虑Zi及其低阶幂的相关图时检测独立性的偏差。注意，由于序列相关性，基于PIT的测试有一些局限性。例如，正如SCOR Switzerland[57]所建议的那样，克服这个问题的一种方法是通过重新定义的自举生成现实的预测场景。许多其他结果丰富了关于分布回溯测试的文献（参见Elliott等人[24]，Gneiting和Katzfuss[34]）。我们可能会提到完成审查的其他两种方法，一种是基于评分的概念（参见Gneiting and Raftery[35]、Gneiting andRanjan[36]、Amisan o and Giacomini[3]，或调查文件Gneiting and Katzfuss[34]），另一种是混合评分和PI T方法（参见Gneiting and Katzfuss[34]）。我们已经在定义2.4中引入了评分函数的概念。

当使用它进行回溯测试时，我们修改它来测量损失函数s（f，Y），其参数是密度预测f和未来观测Y的实现Y。6结论在本文中，我们列出了一些通常被认为是良好风险度量必须具备的特性：一致性、共单调可加性、鲁棒性和可引出性。然后，我们重新审视了流行的风险度量值风险值（VaR）和预期短缺（ES）以及最近建议的预期值，并检查了它们满足哪些属性：o众所周知，VaR总体上缺乏可预测性，因此可能无法恰当地解释风险集中。然而，我们发现，对于许多实际应用而言，这可能不是一个严重的问题，只要潜在风险具有确定的方差，或者在某些情况下具有确定的均值。VaR不能将所有风险“超越”VaR这一事实是一个更严重的缺陷，尽管它使VaRa风险度量比我们考虑的其他风险度量更稳健。当一个人面临各种不同尾部的风险选择时，这种效率可能会特别严重。VaR和ES将呈现不同的最优结果，众所周知，就VaR风险而言，这些结果是次优的（例如McNeil等人[49]，示例6.7）。oES弥补了VaR尾部风险的次可加性和敏感性的不足，但最近发现它是不可引发的。这意味着ES的回溯测试比VaR的回溯测试更具前瞻性。我们发现，尽管如此，ES的回溯测试仍有许多可行的方法（例如，基于分布预测、在不同置信水平下使用VaR对ES进行线性拟合，或直接使用蒙特卡罗测试）。

然而，必须承认，要达到相同的确定性水平，ES比VaR需要更多的验证数据。预期值被认为是ES的一致且可引出的替代方案。然而，虽然Expectiles确实有许多吸引人的特性，但它们的基本概念不如VaR或ES的概念直观。此外，预期值不是共单调相加的，这意味着在应用中，由于非线性依赖性，它们可能无法检测到风险浓度。总而言之，我们发现，在我们讨论的风险度量中，ES似乎是最适合在实践中使用的，尽管在其估计和回溯测试方面存在一些警告，这些警告可以被小心地缓解。我们还没有找到充分的证据来证明最近的竞争对手Expectile对ES的全面替代是合理的。尽管如此，在特殊应用中，作为ES和VaR的替代品，预期值当然值得记住。确认我们感谢两位审稿人仔细阅读了手稿，并提出了一些建议，这些建议帮助改进了论文的陈述。我们还感谢Michel Dacorogna就实际回溯测试进行了有趣的讨论。我们衷心感谢RARE-318 984（FP7玛丽居里-欧文奖学金）的部分支持。参考文献[1]C.Acer bi，B.Sz\'ekly，回测预期短缺。《风险》（2014）即将出版。[2] C.Acerbi，D.Tasche，关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》26，（2002）1487-1503。[3] G.Amisano，R.Giacomini，通过加权似然比检验比较密度预测。商业和经济统计杂志25，（2007）177-190。[4] P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath，Cohent风险度量。数学金融9，（1999）203-228。[5] 英国广播公司。《交易账簿基本面回顾：修订后的市场风险框架》。

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