实践中最好的风险度量是什么？标准的比较

2022-5-5 06:26:02

实践中最好的风险度量是什么？标准测量方法的比较*, Marie Kratz+，Dirk Tasche2015年1月30日摘要预期短缺（ES）已被广泛接受为一种风险度量，在概念上优于风险价值（VaR）。然而，与此同时，它也因与回溯测试相关的问题而受到批评。特别是，ES被发现是不可激发的，这意味着ES的回溯测试不如，例如。，对forVaR进行回溯测试。有人建议将E目标作为ES和VAR的潜在更好替代品。在这篇文章中，我们重新讨论了r isk测度的一些常见的理想性质，如相干性、共单调可加性、鲁棒性和可引出性。我们检查VaR、Es和Expectiles是否享受这些属性，特别是Expectiles。我们还考虑了它们对资本配置的影响，资本配置是风险管理中的一个重要组织。我们发现，尽管存在适用于ES估计和回溯测试的警告，但它可以被视为一个良好的风险度量。因此，没有充分的证据证明在应用中用预期替代ES是合理的。对于回测ES，我们提出了一种经验方法，包括用一组四个分位数替代ES，这应该允许对VaR.2000 AMS分类使用回测方法：62P05；91B30关键词：回溯测试；资本配置；一致性；多元化；启发性；预期短缺；期待的；预测；概率积分变换；风险度量；风险管理；稳健性；风险管理是银行、保险公司、投资基金等金融机构的核心竞争力。风险度量技术显然是风险管理过程的核心。

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2022-5-5 06:26:05

风险可以用概率分布来衡量。*埃塞克商学院；电子邮件：苏珊娜。emmer@yahoo.deSusanne埃默于2012-2013年在埃塞克商学院担任客座教授，是CREAR的联合成员。+埃塞克商学院CREAR风险研究中心；电子邮件：kratz@essec.edu——电子邮件：德克。tasche@gmx.netDirk塔什目前在英国审慎监管局（英国银行的一个部门）工作。他还是伦敦帝国理工学院的客座教授。本文中表达的观点是作者的观点，不一定反映英格兰银行的观点。然而，有时用一个可以解释为资本金额的数字来表示风险是有用的。将损失分布或dom变量映射到资本金额的工具称为风险度量。以下问题对金融机构至关重要：o我们应该从风险度量中获得哪些属性？o什么是“好的”风险度量是否存在“最佳”风险度量？许多经济学、金融学和数学方面的研究都被用来回答这些问题。克拉姆（1930）是风险资本最早的研究者之一，他引入了破产理论（克拉姆[17]）。马科维茨（1952，[52]）对现代档案理论做出了重大贡献。利润和损失（P&L）分布的差异随后成为金融领域的主要风险度量。但使用这种风险度量有两个重要的缺点。它要求风险是具有有限方差的随机变量。它还隐含地假设它们的分布在平均值周围是近似对称的，因为方差不区分均值的正负偏差。

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2022-5-5 06:26:08

从那时起，人们提出了许多风险度量，其中风险价值（VaR）和预期缺口（ES）似乎最受欢迎。在Artzner等人[4]的开创性工作中，风险度量的理想属性已在一组公理中进行了形式化。由于预期S hortfall具有重要的一致性属性，因此在许多风险管理机构，尤其是资本配置机构中，它取代了VaR，VaR在所有情况下都不满足这一属性（Tasche[61]）。巴塞尔银行监管委员会还建议在内部市场风险模型中用ES取代VaR[5]。最近，Gneiting[33]的一项研究指出，直接对预期短缺估计值进行回溯测试可能存在问题，因为预期短缺是无法引发的。因此，考虑到回溯测试的可行性，在最近的研究中（Bellini等人[6]和Z iegel[65]），预期值被认为是预期短缺的一致且可引发的替代方案。参见Chen[12]对问题的详细讨论。本文的目的是提供一些基于概率分布的流行风险度量的概要，以便讨论和比较它们的性质。然后，我们可以回答上述问题，并从风险管理和模型验证的角度研究风险度量选择的影响。最近的几篇评论文章（例如Embrechts和Hofer[25]，Embrechts等人[31]）也讨论了风险度量的使用及其在监管方面的一些特性。在这里，我们向学者和专业人士展示了四种标准风险度量方差、VaR、ES和Expectile的数学特性。我们考虑m个风险头寸的投资组合，其中Li，i∈ {1，…，m}，表示第i位的损失。

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2022-5-5 06:26:11

然后，在一般的e期损失模型中，投资组合范围内的损失为byL=Pmi=1Li。在这个模型中，损失是正数，而收益是负数。我们假设投资组合损失变量L定义在p概率空间上(Ohm, F、 P）。本文的组织结构如下：在介绍第1节之后，第2节回顾了风险度量的主要定义和性质，如一致性、共单调可加性、法律不变性、可引出性和稳健性，然后介绍了我们希望在本研究中评估的三个下行风险度量。在第3节中，我们将从概述开始，比较这些风险度量的性质。在总结了关于风险价值次可加性的最重要结果之后，我们讨论了稳健性的不同概念，讨论了预期短缺和预期值的可引出性，并观察到预期值不是共单调可加的。第4节涉及资本配置和多元化效益，以及风险度量和风险管理的重要应用领域。我们回顾了风险头寸对整个投资组合风险贡献的定义，并展示了如何计算预期的风险贡献。此外，我们还引入了多元化指数的概念，用于量化和比较投资组合的多元化。然后，我们在第5节中介绍了一般的回溯测试方法，并详细介绍了预期的不足。本文在第6节结束时讨论了不同风险措施的优缺点，并对实践中风险措施的选择提出了建议。符号1M表示集合M的指示器功能，即1M（x）=1如果x∈ M和M（x）=0如果x/∈ M.2风险度量：定义和基本属性风险和风险度量是没有唯一定义和年龄的术语。

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2022-5-5 06:26:14

用概率分布来衡量风险是很自然的。但通常用一个数字来表示风险是有用的。从概率分布空间或随机变量到实数的映射称为风险度量。在本文中，风险度量被理解为以资本金额的形式提供风险评估，作为抵御未来意外损失的某种缓冲。2.1一致性和相关属性Artzner等人[4]证明，在给定一些“参考工具”的情况下，有一种自然的方法可以通过描述一个头寸离监管机构接受的距离来定义风险度量。在Artzner等人的背景下，所有风险集合是概率空间上所有实值函数的集合Ohm, 假设它是有限的。Artzner等人定义“一旦一项谨慎的参考投资被指定为最低额外资本，则不可接受头寸的风险度量……投资于参考仪器，使修改头寸的未来价值变得可接受。”Artzner等人称投资者的未来价值为“风险”。此外，他们还陈述了四条公理，任何风险度量在有效的风险监管和管理中都应该满足这些公理。因此，我们需要对各种风险措施进行协调。

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mingdashike22

2022-5-5 06:26:18

一致性捆绑了某些数学属性，这些属性是选择风险度量的可能标准。定义2.1如果风险度量ρ满足以下条件，则称其为一致性：关于风险度量的替代解释，请参见Rockafellar和Uryasev[54]。o均匀性：如果所有损失变量L和h都是均匀的，则ρ是均匀的≥ 它认为ρ（hl）=hρ（L）次可加性：如果对于所有损失变量，Land Lit保持ρ（L+L），则ρ为次可加性≤ ρ（L）+ρ（L）单调性：ρ是单调的，如果对于所有损失变量，Land Lit保持≤ L=> ρ（L）≤ ρ（L）。o平移不变性：对于所有损失变量L和a，ρ是平移不变性∈ Rit认为ρ（L）- a） =ρ（L）- a、共单调可加性是风险度量的另一个性质，它主要是次可加性的补充性质。定义2.2如果存在一个实值随机变量X（共同风险因子）和非递减函数f，则两个实值随机变量称为协单调变量，且f为L=f（X）和L=f（X）。如果对于任何共单调随机变量，风险度量ρ都是共单调可加的，并且Lit认为ρ（L+L）=ρ（L）+ρ（L）。共单调性可能被认为是随机变量最强烈的依赖性（Embrechts等人[28]）。因此，如果风险度量是次可加性和共单调可加性的，那么一方面它会奖励多样性（通过次可加性），但另一方面不会将任何多样性收益归因于共单调风险（通过共单调可加性）——这似乎很直观。仅依赖于损失分布的风险度量具有特殊意义，因为它们的价值只能通过损失观测（即。

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2022-5-5 06:26:20

不需要额外的信息（如压力情景）。定义2.3风险度量ρ是定律不变的ifP（L≤ l) = P（L）≤ l), l ∈ R=> ρ（L）=ρ（L）。2.2可诱导性在估计风险度量时，一个有趣的标准是可诱导性，由Osband[50]和Lambert等人[47]介绍，然后由Gneiting[33]介绍。我们很容易回忆起它的定义，它与得分功能有关。关于更多细节，我们请读者参考Gneiting和Katzfuss[34]关于概率预测的最新综述，包括可引出性的概念。

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2022-5-5 06:26:23

对于可启发性的定义，我们首先引入了严格一致性的概念。评分函数是一个单值的评分函数→ [0, ∞),（x，y）→ s（x，y），其中x和y分别是点预报和观测值。定义2.5设ν是R:ν:P上一类概率测度P上的泛函→ 2R（R的幂集），P7→ ν（P） R.A评分函数s:R×R→ [0, ∞) 函数ν相对于类P是一致的当且仅当，对于所有P∈ P、 t∈ ν（P）和x∈ R、 EP[s（t，L）]≤ EP[s（x，L）]，L是定义在(Ohm, F、 P）。如果函数s是一致的且p[s（t，L）]=EP[s（x，L）]=> 十、∈ ν（P）定义2.6当且仅当存在与ν相对P严格一致的scoringfunction s时，函数ν相对于P是可导出的。示例2.1评分函数的标准示例如下：s（x，y）=（x- y），平方误差（x，y）=（1{x≥y}- α）（十）- y） sgn（x）- y），0<τ<1固定加权平方误差（x，y）=| x- y |，绝对误差（x，y）=s（x，y）=（1{x≥y}- α）（十）- y） 0<α<1固定、加权绝对误差平方、加权平方、绝对和加权绝对误差是严格一致的评分函数：平均函数由平方误差得出，期望值由加权平方误差得出，中值由绝对误差得出，分位数由加权绝对误差得出（见Newey和Powell[53]）。可引出性是确定最佳点预测的一个有用标准：函数的（严格）一致评分函数的类别与函数的类别相同，而函数的类别（仅）是最佳点预测。

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2022-5-5 06:26:26

因此，如果我们已经发现一个函数的得分函数是严格一致的，我们可以通过^x=arg minxEP[s（x，L）]来确定对ν（P）的最优预测^x。因此，概率分布函数的可引出性可以解释为该函数可以通过广义回归来估计的性质。另一个使可诱导性成为一个重要概念的特性是，它可以用来比较不同预测方法的性能（详细讨论见Gneiting[33]）。2.3条件可诱导性到目前为止，我们只区分了可诱导和不可诱导泛函。然而，事实证明，一些有用的风险度量是不可引出的，但在以下情况下是“二阶”可引出的。定义2.7（条件可诱导性）如果存在泛函eγ和γ：D，则P的泛函ν称为条件可诱导→ 2R与D P×2r使得（i）eγ相对于P是可导出的，（ii）（P，eγ（P））∈ D代表所有P∈ P、（iii）所有c∈ eγ（P）函数γc:Pc→ 2R，第7页→ γ（P，c） R是可引出的相对toPc=P∈ P:（P，c）∈ D, 对于所有的P，和（iv）ν（P）=γ（P，eγ（P））∈ 有时，c和γ（P，c）分别是单值的。在这种情况下，我们用它们唯一的元素分别识别单点集c和γ（P，c）。条件可诱导性是一个有用的概念，用于预测一些不可诱导的风险度量。在第3.3节中，我们将研究ES作为风险度量的一个例子，它的第二启发性提供了分两步预测的可能性。

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2022-5-5 06:26:29

事实上，由于γc的可引出性，我们可以首先预测γ（P），然后在第二步中，将γ（P）的结果作为x和f预测γ（P，c），因为γc具有可引出性。通过回溯测试和预测比较，条件可诱导性提供了一种将预测方法分成两部分的方法，并分别进行回溯测试和比较其预测性能的方法。这反映了在实践中经常使用的一种方法，即将复杂的预测方法分解为单独验证的组件方法。虽然这款应用程序roach在处理复杂问题方面很有吸引力，但它不一定需要对预测模型进行最佳选择。备注2.1每一个可引出的泛函都是有条件合法的。2.4稳健性评估风险度量时的另一个重要问题是稳健性。如果没有不确定性（在适当的意义上定义），结果在gful中可能没有意义，因为损失分布中的小测量误差可能会对风险度量的估计产生巨大影响。这就是为什么我们从连续性的角度研究稳健性。由于大多数相关的风险度量对于弱拓扑不是连续的，我们需要一个强大的收敛方向。在此之前，由于一些标度特性便于风险管理，在调查风险度量的可靠性时，考虑瓦瑟斯坦距离是有用的（参见Bellini等人[6]）。回想一下，两个概率测度P和Q之间的瓦瑟斯坦距离定义如下：dW（P，Q）=inf{E（|X）- Y |）：X~ P、 Y~ Q} 当我们将风险度量称为与瓦塞尔斯坦距离相关的稳健时，我们指的是与瓦塞尔斯坦距离相关的连续性，其含义如下：定义2.8让Pn，n≥ 1，P是概率测度，Xn~ Pn，n≥ 1和P~ 十、

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mingdashike22

2022-5-5 06:26:32

风险度量ρ在X处称为连续，与瓦瑟斯坦距离相关→∞dW（Xn，X）=0=> 画→∞|ρ（Xn）- ρ（X）|=0。在下面的第3.2节中，我们讨论了一些流行的风险度量关于Wasserstein距离的鲁棒性。Cont等人[16]使用了一个不同的、可能更直观的稳健性概念，将估计过程考虑在内。他们研究稳健性，即风险度量估计对向用作估计基础的数据集添加新数据点的敏感性。结果表明，对于相同的风险度量，估计方法会对敏感性产生显著影响。例如，如果我们使用参数模型而不是使用经验损失分布，那么风险度量估计可以以完全不同的方式对额外的数据点做出反应。因此，Cont等人认为的鲁棒性更多地与数据样本中的异常值的敏感性有关，而不仅仅与测量误差有关。继续。还表明风险度量的次可加性和稳健性（在上下文意义上）之间存在冲突。与基于弱拓扑或Wasser状态连续性的鲁棒性相比，Cont等人的概念允许区分不同程度的鲁棒性。这一概念可能会使人们很难决定风险度量是否合理地对风险敏感，或者对于估计样本中的数据异常值不再敏感。然而，在金融和保险中，确实会出现较大的值，这些值不是异常值或测量误差，而是观察过程本身的事实。尤其是在（再）保险中，有人可能会说，大额索赔实际上比小额索赔得到了更准确的监控，其价值也得到了更好的估计。因此，康特等人提出了鲁棒性问题。

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2022-5-5 06:26:35

可能与此无关。这就是为什么为了本文的目的，我们采用了基于瓦瑟斯坦距离的稳健性概念，该距离侧重于较小的测量误差。2.5流行的风险度量方差和标准差历来是金融领域的主要风险度量。然而，在过去20年左右的时间里，它们在实际应用中经常被VaR所取代，VaR是目前最流行的下行风险度量。定义2.9α级的风险价值（VaR）∈ 损失变量L的（0，1）定义为损失分布的α分位数：VaRα（L）=qα（L）=inf{l : P（L）≤ l) ≥ α}.VaR有时因许多不同的原因而受到批评。最重要的是它缺乏次可加性，而且它完全忽略了损失分布尾部损失的严重性。为了解决这些问题，引入了一致的风险度量预期短缺。定义2.10（Acerbi和Tasche[2]）α级的预期短缺∈ 损失变量L的（0,1）（也称为风险尾值或超分位数）定义为α（L）=1- αZαqu（L）du=E[L | L≥ qα（L）]+（E[L | L≥ qα（L）]- qα（L））P[L≥ qα（L）]1- α- 1..如果P[L=qα（L）]=0（特别是，如果L是连续的），则ESα（L）=E[L | L≥ qα（L）]。2.6预期已被证明是不可诱发的（片麻岩[33]）。这就是为什么期望值被认为是连贯的、可引出的替代方案（Bellini等人[6]，Ziegel[65]）。以下定义描述了期望值的特征，类似于常见的期望值特征，作为最小化问题的解决方案。因此，它们概括了预期值。然而，这种定义并不是最普遍的，因为它要求随机变量是可积的。

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2022-5-5 06:26:38

因此，我们随后对其进行了修订。定义2.11对于0<τ<1且squ为不可理解的L，τ-期望值eτ（L）为定义基τ（L）=arg minl∈RE[τmax（L- l, 0)+ (1 - τ）麦克斯(l - 五十、 [0]）由于风险价值不一致，预期短缺缺乏直接可引出性，因此寻找既一致又可引出的风险度量是有意义的。可能的候选人是我们刚刚定义的预期；以下观察结果提出了一个更一般但不那么直观的定义：引理2.1（Newey和Powell[53]或Bellini等人[6]）如果L是可积随机变量，则eτ（L）是唯一解l 方程τE[max（L- l, 0)] = (1 - τ） E[max(l - 五十、 [0]）。因此，eτ（L）满足τ（L）=τe[L1{L≥eτ（L）}]+（1- τ） E[L1{L<Eτ（L）}]τP[L≥ eτ（L）]+（1- τ） P[L<eτ（L）]。根据Gneiting（33），定理10），在所有可积随机变量的空间上都可以导出E x谱。命题2.1（Bellini等人[6]）期望值具有以下性质：表1：标准风险度量的性质属性方差VaR ESτ（对于τ≥ 1/2）相干性x超单调可加性x鲁棒性xw。r、 t.弱拓扑热胀度x x w。r、 t.Wassers-tein距离可诱导性x xxxxxelicatibility（i）对于0<τ<1，期望值是齐次的，且具有规律不变性。因此，期望值是线性相关随机变量的加法，即corr[L，L]=1=> eτ（L+L）=eτ（L）+eτ（L）。（二）1/2≤ τ<1，期望值是次加的（因此是相干的），而f或1/2≥τ>0，它们是超加的。Ziegel[65]最近表明，期望值确实是唯一不变的、连贯的风险度量。从引理2.1和命题2.1来看，期望值似乎是弥补VaR和ES不足的理想选择。

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2022-5-5 06:26:41

然而，情况并非如此，因为预期值不是从其所谓的Kusuoka表示（如Ziegel[65]中给出的f或实例）直接得到的共单调相加。1/2<τ<1期望值的命题2.2不是共单调加法。命题2.2的证明。如果eτ是共单调可加的，那么根据Tasche[60]的eorem 3.6，它将是所谓的光谱风险度量。但是，根据Ziegel[65]的推论4.3，它是不可引出的，与命题2.1（iii）不矛盾。3标准风险度量的属性尽管考虑不同的风险度量可以更全面地描述投资组合的风险，但在实践中，人们通常必须选择一个数字，作为战略决策的基础进行报告。为了帮助做出这一选择，让我们从表1开始，概述所考虑的风险措施及其相互关系，然后再回到表1，介绍更多细节。可以证明，对于Fif处的弱拓扑，α级的VaR是鲁棒的-1在α处是连续的。参见[39]中的定理3.7。3.1当风险值是次可加的时？一般来说，VaR的次可加性属性不成立，因此VaR不是一个相干度量。缺乏次可加性与合并投资组合应带来多元化效益的概念相矛盾。因此，使用VaR分散风险管理是困难的，因为我们无法确定，通过汇总不同投资组合或业务单位的VaR数字，我们将获得企业整体风险的界限。此外，α级的VaR没有提供概率小于1的尾部损失严重程度的信息- α、与相同信任水平的专家相比。当查看聚合风险SPni=1Li时，众所周知（Acerbi和Tasche[2]）风险度量ES是一致的。

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2022-5-5 06:26:44

尤其是它是次可加的。相比之下，VaR通常不是次加的。事实上，可以给出超加的例子（例如e mbrechts等人[27]），即V aRαnXi=1Li>nXi=1V aRα（Li）。VaR是否为次加性取决于共同损失d分布的性质。我们不会对VaR次可加性条件下的结果进行详尽的回顾，但在本节的剩余部分中，我们只给出了其中三个结果，即三个标准情况：（i）随机变量是独立的、同分布的（iid），并且是正规则变化的。（ii）随机变量呈椭圆形分布。（iii）r和dom变量具有阿基米德生存依赖结构。有关更多相关结果，请参见Danielson等人[18]和Embrechts等人[27,28,29,30]。广告（一）。下面的结果给出了风险值iid随机变量的尾部行为满足渐近s可加性的条件。命题3.1（Embrechts e t al.[27]）考虑独立且同分布的随机变量Xi，i=1，n具有公共累积分布函数F。假设它们随尾指数β>0而有规律地变化，这意味着右尾指数为1- F.他们的收入分配满意度→∞1.- F（ax）1- F（x）=a-β、总的来说，a>0。那么风险度量VaR对于X是渐近次可加的，Xnif且仅当β≥ 1:limα1V aRαPni=1XiPni=1V aRα（Xi）≤ 1.<=> β ≥ 1.广告（二）。另一类重要的分布是椭圆分布，它暗示了VaR的次可加性。命题3.2（Embrechts等人[28]）Le t X=（X，…，Xn）是具有椭圆分布的随机向量。

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2022-5-5 06:26:48

考虑线性投资组合M={Z=Pni=1λiXi |Pni=1λi=1}。如果0.5<α<1:VaRα（Z+Z），则α级的VaR在M上是次可加的≤ V-aRα（Z）+V-aRα（Z），Z，Z∈ 广告学硕士（iii）。此外，对于另一种类型的依赖关系，阿基米德的生存copula也存在类似的结果：命题3.3（Embrechts等人[29]）考虑随机变量Xi，i=1，n具有相同的连续边际分布函数F。F=假设分布为尾部‘-F随尾部指数有规律地变化-β<0，即F（x）=x-对于某些函数，βG（x）在单位时间缓慢变化，并假设(-十、-Xn）有一个带生成器ψ的阿基米德copula，它在0处随索引有规律地变化-α < 0. 那么对于所有α>0，我们有oVaR对于所有β>1是渐进的对于所有的β<1，VaR都是渐近超加的。最近，为了在关于损失随机变量的不同依赖性假设下评估风险度量VaR和ES，发展了数值和分析技术。这些技术当然有助于更好地理解风险度量的聚集和分散特性，尤其是VaR等非一致性度量。在本文中，我们不回顾所有这些技术和结果，而是参考Embrechtset al.[30]和其中的参考文献以了解概述。然而，值得一提的是最近的两项研究，一项是Embrechts及其合著者[30]引入的新数值算法，用于提供聚合风险VaR的边界，另一项是Kratz[43]，[44]关于聚合重尾风险VaR评估的研究。Embrechts等人[30]介绍的数值算法允许计算高维（非齐次）投资组合的可靠上下限f或VaR，无论依赖结构是什么。

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2022-5-5 06:26:52

引用作者的话，“令人惊讶的是，额外的正相关性信息（如正相关性）通常不会显著提高上限。相比之下，模型上的高阶边际信息（如果可用）可能会导致边界得到极大改善。这是一个好消息，因为在实践中，通常只有边际损失分布函数是已知的或统计估计的，而损失之间的依赖结构要么完全未知，要么部分未知。”在Kratz[44]中，开发了一种新方法，称为Normex，用于为聚合独立重尾风险提供高分位数的准确估计。这种方法对样本大小的依赖性很弱，对于任何非负的风险尾部指数都能给出很好的结果。3.2鲁棒性关于弱拓扑，大多数常见的风险度量是不连续的。因此，由于Stahlet al.[58]的命题2.1中详述了一些方便的标度性质，在风险管理中，人们通常将稳健性视为（2.4）定义的Wasserstein距离的连续性。根据S tahl等人[58]，方差、期望短缺、期望值和平均值对于弱拓扑是不连续的，而α级的SVAR在Fif F下是稳健的-1在α处是连续的。Stahl等人观察到，m平均值、VaR和预期短缺与Wasserstein距离是连续的，Bellini等人[6]表明，预期值与Wasserstein条件是Lipschitz连续的，常数K=max{α1-α;1.-αα}，这意味着关于瓦瑟斯坦距离的连续性。关于Cont等人[16]中给出的稳健性（如第2.4节所述），Cont等人证明，历史预期短缺对数据点的变化比VaR更敏感。

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2022-5-5 06:26:55

此外，与VaR相比，ES对数据点的大小很敏感。作者还调查了估算方法对敏感性的影响，发现99%水平的历史预期短缺比高斯和拉普拉斯预期短缺更敏感。此外，他们还讨论了次可加性要求、一致性要求和arisk测度估计的稳健性之间的潜在冲突。考虑到VaR因其作为分位数的定义而对不属于VaR邻域的数据点的大小不敏感，Cont等人的观察结果并不令人惊讶。ESP的引入是为了弥补VaR的风险敏感性不足。最后，请注意，在实践中，ES的估计通常基于比VaR估计更大的子样本。例如，当使用100000次模拟迭代时，99%水平的ES估计值为1000点，而VaR估计值基于99000阶统计量的小邻域。此外，Hauksson等人[38]在实证研究VaR和ES的标度特性时发现，ES的标度指数的数值稳定性要高得多。这一观察结果在某种程度上反驳了Cont关于估算所需数据量的评论。因为oftenone可以使用高频数据来精确估计E S，然后使用缩放特性来确定聚合风险的E S。3.3可激发性和条件可激发性风险价值（VaR）缺乏一致性，这是目前实践中最流行的风险度量，提请注意另一个下降的风险度量，即（2.10）中定义的预期短缺。

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2022-5-5 06:26:58

预期缺口是一个连贯的风险度量，与风险价值相比，预期缺口对风险价值以外的损失的严重程度很敏感。然而，一旦涉及到预测和回溯测试预期的hortfall，与风险价值相比，一种潜在的效率就出现了。Gneiting[33]表明，预期的短缺是无法引发的。他证明了凸水平集的存在是风险测度可导性的一个必要条件，并证明了凸水平集的存在与期望的不足。值得注意的是，其他重要的风险度量，如方差，也无法得出（Lambert等人[47]）。引理3.1对于具有有限平均数的连续分布，ES是有条件可导出的。最近，Jadhav等人[40]提出，“修正后的预期短缺”是一个随机且连贯的变量。然而，他们对连贯性的证明是错误的。此外，Jadhav等人似乎忽略了Contet al.（[16]，第3.2.3节）之前研究过修正后的预期缺口，并观察到其不一致。引理3.1的证明。修正α∈ (0, 1). 设P={R上具有有限平均数的连续分布}和D=（P，c）∈P×R:P[c，∞)> 0. 对于连续分布P，ES简化为ESα（L）=E[L | L≥qα（L）]，其中L表示分布为P的一般随机变量。因此我们可以用γ：D重写α（L）→ 由（P，c）7定义→ γ（P，c）：=EP[L | L≥ c] 和∧γ：P→ 由第7页定义→ γ（P）：=qα（L）。因为我们有P（L）≥ qα（L））=1- 对于连续分布P，满足定义2.7的属性（ii）和（iv）。属性（i）成立，因为具有有限平均值的分布分位数可通过严格一致的评分函数s（x，y）=（1{x）得出≥y}-α）（十）-y）（纽伊和鲍威尔[53]）。

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2022-5-5 06:27:02

对于Fix ed c∈ 定义为定义2.7的R和Pc，第7项片麻岩[33]的应用表明，γ顺式构象可通过严格一致的评分函数（x，y）得出=φ（y）- φ（x）- φ′（x）（y）- 十）[c，∞)（x）式中φ（x）=x1+|x |。这证明了定义2.7的性质（iii）。在实践中，引理3.1意味着，由于其条件可诱导性，我们可以在两步程序中尝试和预测种姓。1.我们预测分位数为^qα（L）=arg minxEP（（1{x）≥L}- α）（十）- 五十））使用严格一致的评分函数s（x，y）=（1{x≥y}- α）（十）- y）来自示例2.1.2。将该结果作为固定值^qα，我们观察到E[L | L≥ ^qα]只是一个期望值。因此，我们可以使用严格一致的评分函数来预测ESα（L）≈E[L | L≥ ^qα]。如果L是平方可积的，则分数函数可以简单地选择为平方误差，如ESα（L）≈ arg minxEP（（x- 五十），式中≈P（A）=P（A | L≥ ^qα）。该程序的结果是对ES进行组件优化预测。引理3.2对于具有有限二阶矩的分布，方差是有条件可导出的。引理3.2的证明。设P={R上具有有限二阶矩的分布}。定义γcbyγc:P→ R、第7页→ γ（P，c）：=EP[（L- c） ]和△γ乘以△γ：P→ R、第7页→ 我们可以重写方差EP（（L）- 作为var（L）=γ（P，～γ（P））。然后根据Newey和Powell[53]的观点，γ是可引出的。对于固定的c，根据片麻岩（[33]）的定理8（a）可以得出γcis。因此，方差在定义2.7的意义上是有条件的。

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2022-5-5 06:27:05

引理3.3（见Gneiting[33]）对于具有有限平均值的分布，期望值是可引出的。因此，根据备注2.1，期望值是有条件的。4资本分配和多元化效益出于风险管理目的，将整个投资组合的风险分解为与该投资组合所包含的子投资组合或资产相关的组成部分（风险贡献）是很有用的。解决这个问题有很多方法。另见塔什[61]f。在下文中，我们将更详细地讨论所谓的欧拉分配，以及投资组合多元化的量化和比较。4.1使用预期缺口或预期损失进行资本分配[59]认为，从经济角度来看，从投资组合优化的角度来看，将风险贡献确定为敏感性（部分激励）最有意义。偏导数对风险贡献的定义更具吸引力的是，根据欧拉定理（参见Tasche[59]在风险管理背景下对该定理的陈述），如果风险度量的欠考虑是同质的，则此类风险贡献会增加整个投资组合的风险。从技术上讲，我们建议对风险贡献进行以下定义。定义4.1设L，L，Lmbe随机变量，使L=Pmi=1，并用ρbea测量风险。如果h=0的导数ρ（L+h Li）d hexists，则Litoρ（L）的风险贡献由ρ（Li | L）=dρ（L+h Li）d h定义h=0。（4.1）如果（4.1）右侧的导数都存在于i=1时。

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2022-5-5 06:27:09

在定义2.1的意义上，风险度量ρ是齐次的，那么欧拉定理意味着ρ（L）=mXi=1ρ（Li | L）。Tasche[59]表明，如果其中一个Li的平滑密度取决于另一个Li的实现，那么定义4.1意义上的预期短缺的风险贡献将存在，并具有直观的形状。然而，识别风险度量偏导数存在的充分条件及其计算过程可能会很繁琐。对于一致风险度量，Delbaen在[20]中建议了一种优雅的方法来确定风险贡献。在下面的定理中，我们描述了预期短缺的风险贡献。在定理4.2中，我们使用Delbaen方法推导出对预期的风险贡献。定理4.1（Tasche[59]，Delbaen[20]）如果（4.1）中所述的偏导数存在于选择为预期缺口的ρ，那么头寸对投资组合预期缺口的风险贡献可以计算为α（Li | L）=E[Li | L≥ qα（L）]利用德尔巴恩的方法，我们还可以得出预期资产的资本配置。关于基于鞍点近似的替代方法，请参见Martin[48]。定理4.2如果ρ=eτ存在（4.1）中所述的偏导数，那么，对于1/2≤ τ<1，头寸对投资组合预期的风险贡献可以通过τ（Li | L）=τE[Li{L>Eτ（L）}]+（1）计算得出- τ） E[Li{L≤eτ（L）}]τP[L>eτ（L）]+（1- τ） P[L≤ eτ（L）]。（4.2）定理4.2的证明。证据遵循德尔巴恩的方法（德尔巴恩[20]）。

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2022-5-5 06:27:12

回想一下，A凸函数f:L的弱次梯度∞(Ohm) → R在X处∈ L∞(Ohm) （见Delbaen[20]第8.1节）定义为：f（X）={а：а∈ L(Ohm) 这样的话∈ L∞(Ohm), f（X+Y）≥ f（X）+E[~nY]}。为了确定风险度量eτ的次梯度，我们注意到oeτ是一个定律不变的相干风险度量，o如Jouini等人[42]所示，eτ具有所谓的Fatou性质，o如Bellini等人[6]所示，我们得到了eτ（L）=maxE[L]：∈ Mτ, 带mτ=φ ≥ 0以E[~n]=1和sup~ninf~n为界≤ 最大值τ1-τ,1-ττ,o 如Bellini等人[6]中所示，对于~n=τ1{L>eτ（L）}+（1- τ） {1≤eτ（L）}τP[L>eτ（L）]+（1- τ） P[L≤ eτ（L）]，我们有∈ Mτ和eτ（L）=e[？L]。Delbaen[20]的定理17现在意味着是eτ（L），即它适用于所有有界随机变量L*τ（L+L*) ≥ eτ（L）+e[L*].根据Delbaen[20]的命题5，如果eτ（L）h仅作为一个元素，然后我们得到eτ（L+hl）*)d hh=0=E[°~nL*]. （4.3）服用L*= Liin方程（4.3）暗示了（4.2）。定理4.2的证明表明，即使定义4.1意义上的衍生工具不存在，预期值（以及预期短缺）的风险贡献仍然可以定义。如果损失变量的分布不平滑（例如不连续），则可能会发生这种情况。然后是副毕业生eτ（L）可能包含一个以上的元素，因此存在风险贡献的候选向量。

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大多数88

2022-5-5 06:27:15

参见Kalkbrener[46]了解有关连贯风险度量的风险贡献方法的更多详细信息。4.2多元化效益在风险管理中，正确评估多元化效益对保险和投资都至关重要，因为风险多元化可能会降低公司对基于风险的资本的需求。为了量化和比较投资组合的多元化，定义了指数，如B¨urgi等人[9]定义的与多元化收益密切相关的概念，以及Tasche[61]定义的多元化指数。这两个指数都不是通用的风险度量，取决于风险度量的选择和投资组合中潜在风险的数量。如前所述，风险度量的次可加性和共单调可加性是正确表示差异效应的重要条件。在这种情况下，第4.1节中介绍的资本分配有助于确定风险集中度。让我们定义多元化指数（Tasche[61]）：定义4.2让L，Ln为实值随机变量，设L=Pni=1Li。如果ρ是一个风险度量，使得ρ（L），ρ（L），定义ρ（Ln），则diρ（L）=ρ（L）Pni=1ρ（Li）表示投资组合L相对于风险度量ρ的分散指数。如果存在Litoρ（L）（见定义4.1）中的风险贡献ρ（Li | L），则diρ（Li | L）=ρ（Li | L）ρ（Li）表示与风险度量ρ相对应的子投资组合的边际多元化指数。对于齐次、次加性和共单调可加性风险度量，Tasche得出了多样化指数的以下性质：性质4.1（Tasche[61]）设ρ为齐次、次加性和共单调可加性风险度量。然后oDIρ（L）≤ 1（由于su的缺陷）。oDIρ（L）≈ 1表示L，几乎是共单调的。

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大多数88

2022-5-5 06:27:18

多元化指数越接近，投资组合的多元化程度就越低如果DIρ（Li | L）<DIρ（L），则存在i>0，使得DIρ（L+hLi）<DIρ（L），对于所有0<h<i。目前尚不清楚，偏离指数应远低于100%，以表明高度偏离，因为在存在不可偏离风险的情况下，即使是大型优化投资组合，其指数也可能相对较高。尽管如此，将边际多元化指数与投资组合的多元化指数进行比较，有助于发现未实现的多元化潜力。因此，将其作为一个高度多元化的标准，而不是一个高度多元化的标准。请注意，标准差或期望值等风险度量将显示具有完全线性相关头寸的投资组合的100%分散指数，但不适用于具有不完全线性相关的共单调头寸。因此，对于非单调相加的风险度量，由于非线性依赖，存在低估缺乏多样性的危险。B¨urgi等人[9]提出了一个类似于多元化指数的概念，以量化风险组合的多元化绩效。B–u rgi等人定义了投资组合L=Pni=1LiasDB（L）=1的多元化效益的概念，用DB表示-RACρ（Pni=1Li）Pni=1RACρ（Li），其中RAC表示风险调整后的资本，定义为在给定违约概率水平下防止公司破产所需的最小额外资本量：RACρ（L）=ρ（L）- E（L），其中ρ（L）表示为L选择的风险度量。很明显，DB的属性与多样性指数的属性非常相似，即：属性4.2（B¨urgi等人。

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2022-5-5 06:27:21

[9] ）设ρ为齐次次可加共单调可加风险测度。然后o0≤ DB（L）≤ 1（由于次可加性）o对多元化效益的解释很简单，即Db（L）=1表示完全混合0表示共单调风险X∈]0,1[表明由于多元化，资本减少了100倍。因此，DB（L）越高，多元化程度越高（与多元化指数DIρ相比）。相同的注释适用于物业4.1和物业4.2。这两个指数不仅取决于ρ的选择和投资组合规模n，而且更强烈地取决于风险之间的依赖结构。忽视依赖性可能会导致对RAC的严重低估。Busse等人[10]的一个简单模型对这一点进行了分析说明，该模型表明，在风险和风险之间引入依赖性会显著降低差异收益。在比较分别选择VaR和ES来衡量差异收益的成本时，我们可以真正看到VaR作为风险度量的局限性。即使有一部分风险是不可分散的，VaR也可能不会像Emmer和Tasche[32]的提案3.3所示那样捕捉到它。在Busse等人[10]中，VaR显示了大量风险的转换收益，而对于这一范围的风险，ES没有减少，因此正确地反映了风险不能完全分散的事实。此外，依赖的类型也很重要。线性相关性（用线性相关性衡量）无法准确描述极端风险之间的相关性，尤其是在压力时刻。忽视依赖性的非线性可能会导致对多元化效益的高估。B¨urgi等人对此有很好的描述。

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2022-5-5 06:27:24

[9] 谁考虑将椭圆和阿基米德连接函数用于风险建模，并比较它们对RAC和hen ce评估的影响，以及对多样化效益的影响。5回溯测试：可以使用哪些方法？回溯测试是什么意思？根据Jorion[41]，这是一套统计程序，旨在检查事后观察到的已实现损失是否符合VaR预测。我们当然可以将这一定义扩展到任何风险度量。最近，Gneiting[33]提出了一个潜在问题，即当使用预期短缺（ES）作为风险度量时，直接回溯测试可能会产生问题。对于VaR或Expectles这样的风险度量，这不是一个问题，因为正如前面所看到的，它们是可引出的。这在实践中真的是个问题吗？一方面，Acerbi&S z’ekly[1]最近提出，实际可启发性（或可启发性缺失）与风险度量的回溯测试无关，而是与不同估计方法的预测性能进行比较有关。另一方面，一些金融机构，尤其是再保险公司，通过使用概率分布预测检查其内部模型的输出，解决了回溯测试问题。尽管如此，如果人们仍然希望只对ES进行点预测，我们提出了一种经验方法，包括用分位数近似ES，见第5.1节。此外，如第3.3节所述，ES是两个可诱导成分的组合，因为它是有条件可诱导的。因此，对ES进行回溯测试的一种自然方法是使用第3.3节中描述的算法，在该算法中，我们根据相关的评分函数分别对两个组件进行回溯测试。这里是Weback测试分位数的第一个组件。

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mingdashike22

2022-5-5 06:27:27

然后，将分位数的结果作为固定值，我们可以对ES进行回溯测试，因为它只是一个平均值，而二次误差是严格一致的scoringfunction。更一般地说，回溯测试方法的选择应取决于预测的类型。有以下几种回溯测试方法：（i）变量值的点预测；它们通常表示为条件期望E[Yt+k | F（Ys，s≤ t） [where e F（是的，是的）≤ t）表示时间序列Y上截至时间t的可用信息。有大量文献，尤其是在计量经济学方面，关于点预测和样本回溯测试的成熟方法（例如Clements和Hendry[15]或Elliott等人[24]）。（ii）预测或区间预测的概率范围（例如风险价值或预期短缺的预测）；他们预测了一个区间，在该区间内预测值的概率为p（例如区间(-∞, V aRp（Yt+k）]，其中V aRp（Yt+k）是Yt+k的投影p分位数。在过去的15年里，人们在预测间隔方面做了大量工作，尤其是在回溯测试方面。关于这个话题的一个很好的参考文献是克里斯托弗森（[13]）。由于金融行业对这一风险度量的兴趣，VaR的回溯测试已经得到了很好的发展。例如，我们参考了Dav\'e和Stahl[19]，对于VaR的回溯测试程序，我们参考了Campbell[11]。（三）全概率分布P[Yt+k]的预测≤ .

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