渐进扩张背景下的套利

2022-5-5 06:49:25

渐进扩张背景下的套利安娜·阿克萨米特*, Tahir Choulli+、Jun Deng+和Monique Jeanblanc*2018年7月24日摘要本文完成了Choulli等人[5]的分析，并包含两个主要贡献。第一个贡献在于提供和分析许多市场模型的实际例子，这些模型承认经典套利，同时在随机视界下以及在模型的特定情况下纳入诚实时间时，它们保持有界风险的无无界利润（下文简称NUPBR）。对于这些市场，我们明确计算了套利机会。第二个贡献在于，在随机视界下，在诚实时间满足模型特殊情况的附加重要条件后，为有界风险的有界概率的稳定性提供了简单的证明。1导言本文研究的是一个金融市场，其中一些资产根据参考过滤进行了调整。然后，我们假设一个代理有一些额外的信息，并且可能会使用适应更大过滤G的策略。这个额外的信息是由一些随机时间τ的知识建模的，当这个时间发生时。我们严格学习以提高过滤环境，并特别关注诚实的时代。我们的目标是检测τ的知识是否允许一些套利，即，如果使用G-适应策略，代理可以进行套利。在本文中，我们考虑了无套利的两个主要概念，即无经典套利和有界风险的有界套利。据我们所知，在一般情况下，没有关于经典套利的参考文献。

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2022-5-5 06:49:29

本文的目的是首先介绍这个问题，在一些特定的情况下解决它，并给出一些经典套利的明确例子（与[7]中的证明不同），其次在一些特定的模型中，给出有界风险条件下的非无界利润的简单估计。在诚实时间避免连续过滤中的停止时间的情况下，Fontana等人[7]研究了同样的问题，作者调查了几种套利。我们请读者阅读那篇论文，查阅文献中大量的相关结果。本文的组织结构如下：第2节介绍了这个问题，并回顾了关于套利和逐步扩大过滤的一些定义和结果。在第3节中，我们研究了过滤理论扩展中的两种典型情况，即浸入和正密度催眠情况。第4节涉及诚实时间，我们证明，在完全市场的情况下，在下一个时间之前和之后都存在经典套利，我们给出了构造这些套利的方法。许多例子都说明了这一点，我们在一个封闭的m中展示了这些套利。在第5节中，我们研究了一些非诚实时间的例子。在第6节中，我们在一些具体例子中研究了arandom时间之前和诚实时间之后的NUPBR条件。*法国埃弗里埃松大学实验室分析与概率+数学与统计科学系。，加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学2一般框架我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, A、 F，P）其中过滤F满足通常假设∞ A、和一个随机时间τ（即，一个正的A-mea可测量随机变量）。

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2022-5-5 06:49:31

假设交易价格为S（F适应正过程）的风险资产和无风险资产（为简单起见，假设价格为常数，无风险利率为零）的金融市场是无套利的。更准确地说，在没有普遍性的情况下，我们假设S是（P，F）-（局部）鞅。在本文中，地平线等于∞.我们用G表示F逐渐扩大的过滤，即包含F的最小右连续过滤，使τ成为定义为gt=∩>0英尺+∨ σ(τ ∧（t+）。我们认为（H′）假设在两个过滤F和G之间成立，其中F 如果anyF鞅是G-半鞅。对于半鞅X和可预测过程H，我们使用符号H 随机积分r·hsdxsw存在时的X。我们从一个基本的注释开始：假设不存在使用G-可预测策略的套利，并且P是唯一的概率测度，使得S是F-ma可预测的。因此，特别是（S，F）市场是完整的（即（S，S）交易的市场）。那么，粗略地说，对于一些等价的马氏测度Q，S可以是a（Q，G）-鞅，因此也可以是a（Q，F）-鞅，Q将与F上的P重合。这意味着任何（F，Q）-鞅都是a（G，Q）-鞅。另一个微不足道的重新标记是，在τ是F-停止时间的特殊情况下，放大过滤和参考过滤是相同的。因此，在τ.2.1示例之前和之后均不存在套利条件。我们在这里研究两个基本示例，以在第一步中展示在aBrownian过滤中如何发生套利，在第二步中，不连续模型呈现出一些困难。2.1.1布朗caseLet dSt=StσdWt，其中W为布朗运动，σa为常数，为风险资产的价格。这个鞅S到0 a.S。

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2022-5-5 06:49:34

当t变为单位时，随机时间τ=sup{t:St=S*}在哪里*= 小吃≥0SSI是一个固定的诚实时间，显然会导致eτ之前的套利：在时间0，购买一股S（以S价），借入S，然后在时间τ偿还贷款，并以Sτ价出售资产份额。增益为Sτ- S> 0，初始值为空。τ之后也有套利s：在τ时间点，对s进行空头头寸，即持有价值为V的自筹资金，使dVt=-dSt，Vτ=0。通常不允许空头头寸，因为vt=-St+Sτ不在下面有界。在这里-St+Sτ是正的，因此卖空是一种任意选择的机会。2.1.2泊松情形N为强度为λ的泊松过程，M为其补偿鞅。我们将定价过程定义为dSt=St-ψdMt，S=1，其中ψ是一个常数，满足ψ>-1和ψ6=0，s othatSt=exp(-λψt+ln（1+ψ）Nt）。注意，如果S是某个等价鞅测度Q的（Q，G）-严格局部鞅，当t变为整数且ln（1+ψ）时，我们不能推断它也是一个（Q，F）-局部鞅-ψ<0，当t进入单位时，s变为0 a.s.w。随机时间τ=sup{t:St=S*}和S*= 小吃≥这是一段诚实的时光。如果ψ>0，则Sτ≥ 一个套利机会在时间τ实现，在股票中有很长的位置。如果ψ<0，那么套利就不那么明显了。我们将在第4.2节中详细讨论这一点。在τ之后存在套利，在τ时间出售或有权益，支付金额为1，在τw之后第一次支付≤τSs。当ψ>0时，它减小为Sτ=sups≤τSs，对于ψ<0，一个hasSτ-= 小吃≤τSs。

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2022-5-5 06:49:37

在时间t=τ时，不知情的买方将有权支付正价格，而知情的卖方知道这项工作永远不会完成。2.2允许的投资组合和套利机会在本节中，我们回顾了套利的基本定义，并给出了零利率市场中无套利的充分条件。详情请参考[7]。让K成为其中一个过滤器F、 G. 注意，为了使积分θ S对G可预测过程θ有意义，我们需要S是G-半鞅。这需要（关于{t>τ}）关于τ的一些假设。暂时∈ R+，元素θ∈ 如果（θ），则称LK（S）为a-a可容许的K策略（S）∞:=极限→∞(θ S）德州学者和Vt（0，θ）：=（θ） S） t≥ -所有t的P-a.s≥ 0.我们用所有a-容许K-策略的AKatheset表示。过程θ∈ 如果θ∈ AK:=Sa∈R+AKa。如果V（0，θ），一个可容许策略产生一个套利机会∞≥ 0 P-a.s.和PV（0，θ）∞>> 为了避免混淆，我们将这些套利称为经典套利。如果没有这样的θ∈ AKwe表示，金融市场M（K）：=(Ohm, K、 P；S）这就是无套利（NA）条件。在金融市场M（K）中，如果且仅当K中存在一个等价的鞅测度，即一个概率测度Q，则不存在具有消失风险的免费午餐（NFLVR）~ 这个过程是一种（Q，K）-本地马丁酒。如果NFLVR成立，就不存在经典套利。非负K∞-P（ξ>0）>0的可测随机变量ξ如果所有x>0存在一个元素θx，则产生一个有界风险的无界概率∈ 那么V（x，θx）∞:=x+（θx）（S）∞≥ ξP-a.s。

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2022-5-5 06:49:42

如果不存在这样的随机变量，我们认为金融市场M（K）满足无无界有界风险（NUPBR）条件。当且仅当NA和NUPBR均成立时，我们认为NFLVR成立（见[6]共同提案3.4和提案3.6[14]）。严格正K-局部鞅L=（Lt）t≥0，L=1和L∞> 0 P-a.s.被称为（s，K）在时间范围内的局部鞅定义[0，] 如果程序失败是K-局部鞅；在这里这是一个K停止时间。[14]中定理4.12给出了描述严格正态价格过程的NupBr条件的重要结果，然后在[17]中定理5中进行了推广。我们在这里重做。定理2.1设我们是一个严格正的K-半鞅。然后，当且仅当K.2.3过滤结果的扩大存在局部鞅函数时，NUPBR条件成立。我们现在回顾一些关于过滤逐步扩大的基本结果。读者可以参考Jeulin[11]和Jeulin and Yor[12]了解更多信息。设τ为随机时间，即正随机变量。我们定义了左极限为F-supermartingaleZt:=P的右连续τ>t英尺.注意，如果P（τ>0）=1，Z=1。Z的光学分解导致了一个重要的F-对偶，我们用m表示，给定m:=Z+Ao，（2.1），其中Ao是A:=11[[τ，∞[[（所以Ao是一个非递减过程）。注意，m是非负的：的确，mt=E（Ao）∞+ Z∞|（英国《金融时报》）。第二个重要的F-超鞅，通过Hezt定义：=Pτ ≥ T英尺,将在接下来的部分中演奏一首特殊的r^ole。其中一个有Z=Z+Ao，因此，超级艺术家们将a分解为aseZ=m- 敖-. （2.2）我们从以下明显（但有用）的结果开始MMA 2.2假设金融市场（S，F）是完整的，并假设φ是满足m=1+φ的F-可预测过程 s

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2022-5-5 06:49:45

如果mτ≥ 1和P（mτ>1）>0，那么，G-可预测过程φ11[[0，τ]]是“τ之前”市场中的一种经典套利策略，即in（Sτ，G）。证据：由于市场的完整性，存在F-可预测过程。因此，11[[0，τ]]~n是初始值为1，最终值为mτ的可预测容许自融资策略-1满足mτ- 1.≥ 上午0点。P（mτ）- 1>0）>0，这是（Sτ，G）中的一种经典套利策略。2.3.1τ之前的分解公式在第一步中，我们将注意力限制在τ之前发生的事情上。因此，我们不需要对τ进行额外的假设，因为对于任何随机时间τ，如Jeulin[11，Prop.（4,16）]：对于任何F-局部鞅X，我们将G-局部鞅bx（在时间τ处停止）bXt:=Xτt建立的，在τ处停止的任何F-鞅都是GSEMI鞅-Zt∧τdhX，mifsz-, （2.3）式中，通常Xτ是被定义为Xτt=Xt的停止过程∧τ.一个有趣的例子是伪停止时间。我们记得，随机时间τ是一个伪停止时间，在τ处停止的任何F-鞅都是G-鞅（见[16]）。这相当于F-鞅m始终等于1.2.3.2诚实时间和τ后的分解公式。我们需要对τ施加条件，使得（F-鞅）价格过程S是G-半鞅，这样就可以定义G可预测过程关于S的随机积分，我们对必要的条件和充足的条件不感兴趣，这些条件很难处理（见[11，III，2，c]）。相反，我们关注的是诚实的时代。如有必要，请参阅附录中的定义。OREM 2.3设τ为随机时间。

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2022-5-5 06:49:47

然后，以下条件是等价的：（i）随机时间τ是诚实的，即，对于每个t≥ 存在一个Ft可测的随机变量τtsuch，τ=τton{τ<t}。（ii）在{τ<∞}.（iii）存在一个可选集∧，使得τ（ω）=s up{t:（ω，t）∈ {τ<∞}.（iv）Aot=Aot∧τ.证明：条件（i）、（ii）和（iii）之间的等价性在[11]的定理（5,1）中给出。含义（一）=> （iv）来自[4]中类似的论点。为了完成证明，我们展示了（iv）=> （三）。设∧为测度dAo的支撑，即∧={（ω，t）|ε>0 Aot（ω）>Aot-ε(ω)}.se t∧是可选的，因为ao是可选的过程。然后，[[τ]] ∧和Aot=Aot∧τ意味着τ确实是{τ<∞}. 在诚实时间的情况下，任何F-鞅X都是具有（可预测的）分解[11，Prop.（5,10）]Xt=bXt+Zt的G-s e mima r鞅∧τdhX，mifsz--Ztt∧τdhX，miFs1- Zs-, （2.4）其中BX是一种G-本地市场啤酒。我们想强调Z的作用。正如我们将看到的，这个过程对于证明套利机会的存在非常重要。我们也给出了诚实时间的一个简单特征——停止时间。引理2.4随机时间τ是一个诚实时间，当且仅当Zτ=1a时避免F-停止时间。s、关于（τ<∞).证明：假设τ是一个诚实的时间，避免F-停止时间。根据定理m 2.3，诚实性意味着Zτ=1，避免性意味着对于每个F-停止时间T，E，AO的连续性(AoT）=P（τ=T<∞) = 0.那么，关系式Z=Z+结果就是这样。现在假设在set{τ<∞}. 然后，在{τ<∞} 我们有1=Zτ≤eZτ≤ 1，soeZτ=1，τ是一个时间单位。此外Aoτ=eZτ- Zτ=0，对于每个F停止时间Twe haveP（τ=T<∞) = E（11{τ=T}{Aoτ=0}（T<∞)) = E（Z）∞{u=T}{Aou=0}dAou=0。所以τ避免了F停止时间。

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2022-5-5 06:49:50

3.一些特殊情况3。1浸入假设，密度假设我们记录了过滤F在Q下浸入G，如果有（F，Q）-局部鞅是（G，Q）局部鞅。引理3.1如果浸入性质在G上的概率Q下满足，例如S是（F，Q）-鞅，则NFLVR、NA和NUPBR的所有三个概念都成立。证明：假设我们是（F，Q）-局部鞅，那么它也是（G，Q）-局部鞅。一种说法是，如果存在正EFT，则随机时间τsa符合正密度假设 B（R+）-可测函数（ω，u）→ αt（ω，u）表示：对于任何一个相对有界函数φ，E（φ（τ）|Ft）=ZR+φ（u）αt（u）f（u）du，P- a、其中f是τ的密度函数。换句话说，τ的条件分布由gt（θ）：=P（τ>θ| Ft）=Z定义的生存概率来表征∞θαt（u）f（u）du。在这种情况下，假设（H′）是满足的（见[2]或[8]）。引理3.2如果S是（P，F）-鞅，如果τ关于F的条件定律满足正密度假设，则NFLVR适用于G。因此NA和NU PBR也适用于G。证据：事实上，在正密度假设下，可以证明（参见Amendinger的论文[2]和Grorud and Pontier[8]），亲婴儿性*, 定义在F上∨σ（τ）asdP*|英尺∨σ（τ）=αt（τ）dP | Ft∨σ（τ）满足P下的以下断言（i）*, 对于任何t（ii）P，τ与ftp无关*|Ft=P | Ft（iii）P*|σ（τ）=P |σ（τ）注意，浸入是在P下进行的*. 现在很明显，如果S是一个（P，F）-鞅，则放大的过滤F中的NFLVRholds∨σ（τ），因此在G中。实际上，（F，P）-鞅S是-使用独立性-an（Fτ，P）*)-鞅，所以S，被G适应，是a（G，P）*)-鞅与P*是一个等价的鞅测度。

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2022-5-5 06:49:53

如果S只是一个局部鞅，那么我们将得到followslet{τn}n∈Nbe是S的F-局部化序列，意味着Sτ是a（P，F）鞅，从n开始∈ 自从P*|F∞= P | F∞F在P下浸入G中*, 认为Sτnisa（P*, G）鞅。此外，由于Sτnis F自适应，我们也有Sτnis a（P*, F）鞅。最后，序列{τn}n∈Nis将w.r.t.bo th本地化（P*, F）和（P*, G），这意味着S是a（P*, F）局部鞅。4一类诚实时间的经典套利在本文中，我们将[7]中获得的结果推广到任何完整市场，并推广到下文将定义的更广泛的诚实时间类别。这些结果是针对连续过滤的完整市场中的ho nest times avo-IdGf Stop times建立的。在本节中，我们用Ts表示所有F-停止时间的集合，Th表示所有F-诚实时间的集合，R表示由R:=nτ随机时间给出的随机时间的集合 Γ ∈ A和T∈ T使得τ=T 11Γ+∞11Γco，（4.1）提案n 4.1以下包含物 R 第。（4.2）C.FontanaProof向我们提供了这一证据：第一个包含内容是明确的。为了这个目的为了方便读者，我们给出了两种不同的证明。让我们以τ为例∈ R.1）On（τ<t）=（t<t）∩ Γ，我们有τ=T∧ t和t∧ t是可测量的。因此，τ是最诚实的时间。2）我们想在（τ<∞),eZτ=1。实际上，eZt=11（T≥t） P（Γ| Ft）+P（Γc | Ft），因此（τ<∞)eZτ=11Γ（T<∞)eZT=11Γ（T<∞)（11（T）≥T）P（Γ| FT）+P（Γc |FT））=11Γ（T）<∞)= 11(τ <∞).这证明τ是一个诚实的时间。下面的定理代表了我们在一般框架中的主要结果。定理4.2假设（S，F）是一个完整的市场，并假设φ是一个满足m=1+φ的F-可预测过程 s

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2022-5-5 06:49:57

那么下面的断言就成立了。（a）如果τ是一个诚实的时间，τ6∈ R、那么，G-可预测过程φb=φ11[[0，τ]]是“τ之前”市场上的一种典型的可预测策略，即in（Sτ，G）。（b）如果τ是诚实时间，它不是F-停止时间，如果{τ=∞} ∈ F∞, 然后g可预测的过程φa=-ν11]]τ，ν]]，G-停止时间定义为ν：=inf{t>τ：eZt≤1.- Aoτ}（4.3）是市场中“τ后”的一种经典套利策略，即-Sτ，G）。证明：（a）来自m=eZ+Ao-andeZτ=1，我们推断mτ≥ 1.自τ/∈ R、一个搭扣（mτ>1）=P（Aoτ-> 0) > 0. 然后，根据引理2.2，过程φb=φ11[[0，τ]]是套利策略in（Sτ，G）。（b）从m=Z+ao和定理2.3（iv）中，我们可以得出，对于t>τ，mt-mτ=Zt-Zτ≥ -1.另一方面，使用m=eZ+Ao-, 我们可以得出，对于t>τ，mt- mτ=eZt- 1 + Aoτ。假设{τ=∞} ∈ F∞确保∞= 11{τ =∞}尤其是{τ<∞} {eZ∞= 0}.因此，（4.3）满足{ν<∞} = {τ < ∞}. 那么，mν- mτ=eZν- 1 + Aoτ≤Aoτ- 1.≤ 0，并且，由于τ不是F-stop时间，P（mν- mτ<0）=P(Aoτ<1）>0。因此-Rt∧ντ~nsdSs=mτ∧T- mt∧ν是可接受的自我融资策略的值=-初始值为0，终端值为mτ-mν≥ 满足P（mτ）的0-mν>0）>0。定理的证明到此结束。备注4.3我们注意到，如果τ是一个有限的诚实时间（因此F∞-可测量）且不是一个覆盖时间，则密度假设不满足，浸入也不成立。事实上：（i）如果在某种等价的概率测度下，τ独立于F，那么密度假设成立∞.（ii）浸入性能与P（τ>t | Ft）=P（τ>t | F）相等∞) 对于有限的最短时间，它是11τ>t。那么，应该有P（τ>t | Ft）=11τ>tandτ将是一个停止时间。备注4.4市场的完整性是一个显而易见的条件。

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2022-5-5 06:50:00

有关计数器示例，请参见[7]。在接下来的两小节中，我们将探讨几个诚实时代的例子。它们中的每一个都被定义为可选集的结束，因此根据定理2.3（iii），这确实是一个诚实的时间。我们可以在这一节中明确地为布朗套利和布朗套利的机会开发布朗套利。对于诚实时间的其他例子，以及相关的经典套利，我们请读者参考[7]（注意，本文中构造的套利与我们的套利不同）。在这一小节中，我们假设给定一个一维布朗运动W和F是它的增强自然过滤。市场模型由过程为常数的银行账户和价格过程为t=exp（σWt）的股票表示-σt），给定σ>0。值得一提的是，在布朗过滤的上下文中，对于任何具有lo Cally可积分变化的过程V，其F-对偶可选投影等于其F-对偶可预测投影，即Vo，F=Vp，F.4.1.1给定水平的最后通过时间建议N4.5考虑以下随机时间τ：=sup{t:St=a}和ν：=inf{t>τ圣≤a} ，其中0<a<1。然后，以下断言成立。（a） “在τ之前”的模型（Sτ，G）承认G-可预测过程φb=a{S<a}I]]0，τ]]给出的经典套利机会。（b）模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程给出的经典套利机会-a{S<a}I]]τ，ν]]。证明：自τ∈ 我们利用定理4.2。我们计算可预测的过程，例如m=1+ 为此，我们计算Z如下。

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2022-5-5 06:50:05

使用[10，练习1.2.3.10]，我们得出- Zt:=P（τ）≤ t | Ft）=Psupt<uSu≤ a |英尺= P苏普苏≤阿斯特|英尺= Φ阿斯特式中，esu=exp（σfWu）-σu），fW独立于FtandΦ（x）=P苏普苏≤ 十、= P（U）≤ x） =P（x）≤ U）=（1）-x） +，其中U是具有统一定律的随机变量。因此我们得到Zt=1-(1-Sta）+（特别是Zτ=eZτ=1），dzt=11{St<a}adSt-2adl在哪里lAi是a级S的当地时间（当地时间的定义见He等人[9]第252页）。因此，我们推导出m=1+~n 注意，ν：=inf{t>τ圣≤a} =inf{t>τ| 1- (1 -（Sta）+≤}, 所以ν与（4.3）一致。定理4.2结束了命题的证明。4.1.2到期前水平的最后通过时间我们的第二个随机时间示例，在这一亚区中，考虑了有限的地平线。在本例中，我们引入以下符号H（z，y，s）：=e-zyNzs- Y√s+ 埃辛-zs-Y√s, （4.4）其中N（x）是标准正态分布的累积分布函数。建议N4.6考虑以下随机时间（诚实时间）τ：=sup{t≤ 1:St=b}其中b是正实数，0<b<1。设V和β为vt:=α- γt-α=ln bσ和γ=-σβt:=eγVt（γH（γ，| Vt |，1-（t）- sgn（Vt）H′x（γ，|Vt |，1-t）），其中H在（4.4）中定义，且设ν与（4.3）中相同。然后，以下断言成立。（a） “在τ之前”的模型（Sτ，G）承认G-可预测过程φb:=σStβtI[[0，τ]]给出的经典套利机会。（b）模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程φa给出的经典套利机会：-σStβtI]]τ，ν]]。证明：这个命题的证明来自定理4.2，只要我们可以将鞅写成关于S的积分随机数。这是这个证明剩余部分的主要重点。根据定理2.3（iii），时间τ是诚实且有限的。

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2022-5-5 06:50:08

诚实时间τ可以看作τ=sup{t≤ 1：γt+Wt=α}=sup{t≤ 1:Vt=0}。设置T（V）=inf{T:Vt=0}，我们使用标准计算得到（见[10]第145-148页）1- Zt=P（τ）≤ t | Ft）=（1- eγVtH（γ，|Vt |，1-t））11{t（V）≤T≤1} +11{t>1}，其中H在（4.4）中给出。特别是Zτ=eZτ=1。利用它的引理，我们得到了1的分解- eγVtH（γ，|Vt |，1- t） a是半鞅。Z的鞅部分由dmt=βtdWt=σStβtdSt给出，从而结束了证明。4.2泊松滤波中的套利机会在本小节中，我们假设给定泊松过程s N，强度率λ>0，自然滤波F。股票价格过程由DST=St给出-ψdMt，S=1，Mt:=Nt- λt，（4.5）或等效的St=exp(-λψt+ln（1+ψ）Nt），其中ψ>-1.在下文中，我们引入转动α：=ln（1+ψ），u：=λψln（1+ψ）和Yt:=ut- 所以St=exp(-ln（1+ψ）Yt）。给定的破产概率x（x）由x表示∞), 用Tx=inf{t:x+Yt<0}和x≥ 0.（4.7）下面，我们描述了诚实时间的第一个示例以及相关的套利机会。4.2.1给定水平下的最后通过时间建议N4.7假设ψ>0，并设ψ=ψ（Y）-- A.-1） 11{Y-≥a+1}- ψ（Y）-- a） 11{Y-≥a} +11{Y-<a+1}- 11{Y-<a} ψS-.对于0<b<1，考虑以下随机时间τ：=sup{t:St≥ b} =sup{t:Yt≤ a} ，（4.8）带a:=-αln b.那么下面的断言成立。（a） “在τ之前”（Sτ，G）的模型承认了G-可预测过程φb:=φI[[0，τ]]给出的经典套利机会。（b）模型“在τ之后”（S-Sτ，G）承认由G-可预测过程φa给出的经典套利机会：-νI]]τ，ν]]，其中ν如（4.3）所示。证明：由于ψ>0，一个有u>λ，所以Y到+∞ 当t到单位时，τ是有限的。

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2022-5-5 06:50:10

与时间τisZt=P（τ>t | Ft）=ψ（Yt- a） 11{Yt≥a} +11{Yt<a}=1+11{Yt≥a} （ψ（Yt）- （a）-1），其中ψ在（4.7）中定义（有关本例的更多详细信息，请参见[1]）。我们设置θ=μλ- 1，并推导出ψ（0）=（1+θ）-1（见[3]）。定义θ=inf{t>0:Yt=a}，然后，对于每个n>1，θn=inf{t>-1:Yt=a}。可以证明，时间是可预测的F-stop时间（[1]）。过程的F-对偶可选投影ao11[[τ，∞]]等式Sao=θ1+θXn[[θn，∞]].实际上，对于任何F-可选过程U，我们有E（Uτ）=E（X{τ=n}Uθn）=E（XE（11{τ=n}Fθn）Uθn）和E（11{τ=n}Fθn）=P（T=∞) = 1.-Ψ(0) = 1 -1+θ.因此，过程AO是可预测的，因此Z=m- Ao是Z的Doob Meyer分解，因此我们可以m=Z-其中pz是Z的F-可预测投影。为了计算pz，我们用更合适的形式写出过程Z。为此，我们首先指出{Y≥a} =11{Y-≥a+1}N+（1）-N）11{Y-≥a} 11{Y<a}=11{Y-<a+1}N+（1）-N） 11{Y-<a} 。然后，我们得到m=ψ（Y）-- A.-1） 11{Y-≥a+1}- ψ（Y）-- a） 11{Y-≥a} +11{Y-<a+1}- 11{Y-<a}N=ψS-φM=~nS.由于两个鞅m和S是不连续的，我们推断m=1+ν 因此，这个命题遵循定理4.2。请注意，这里我们讨论的是可预测投影，而不是双重可预测投影。4.2.2固定时间范围内的上确界时间第二个示例需要以下符号*t:=sups≤tSs，ψ（x，t）：=P（S）*t> x），bΦ（t）：=P（sups<tSs≤ 1），eΦ（x，t）：=P（sups<tSs<x）（4.9）命题n 4.8考虑由τ=sup{t定义的随机时间τ≤ 1:St=S*t} ，（4.10）其中*t=sups≤tSs。

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2022-5-5 06:50:14

然后，以下断言成立。a）对于ψ>0，将G-可预测过程定义为ψt:=11{t<1}hψ麦克斯（S）*T-圣-(1+ψ), 1), 1 - T- Ψs*T-圣-, 1.- Ti+11{S*T-<圣-（1+ψ）}bΦ（1）- t） +h{max（S）*1.-,S1-（1+ψ））=S}- 11{max（S）*1.-,S1-)=S} i{t=1}。那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。在这里，ψ和bΦ的定义见（4.9），而ν的定义与（4.3）类似。b）因为-1<ψ<0，定义G-可预测过程φt:=ψI{S*t=St-}bΦ（1+ψ，1）-t） +ψ（S）*tSt-(1+ψ), 1 -（t）- ψ（S）*tSt-, 1.-t） ψSt-.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。证据：注意，如果-1<ψ<0过程S*是连续的，Sτ<S*τ=supt∈[0,1]Ston集（τ<1）和Sτ-= s*τ -= 监督∈[0,1]St.如果ψ>0，Sτ-< s*τ -< 监督∈[0,1]在集合上（τ<1）。定义集合（英文）∞n=0使得E={τ=1}和En={τ=Tn}与n≥ 1.顺序（英文）∞n=0构成一个Ohm. 那么，τ=11E+P∞n=1TnEn。注意，τ不是自En起的F停止时间/∈ FTN≥ 1.与诚实时间τisZt=P（τ>t | Ft）=P（sups）相关的超马氏体Z∈（t，1]Ss>sups∈[0，t]Ss | Ft）=P（sups∈[0,1-t] bSs>S*tSt | Ft）=11（t<1）ψ（S）*tSt，1-t），对于b，S和ψ（x，t）的独立副本由（4.9）给出。As{τ=Tn} {τ ≤ Tn} {ZTn<1}，我们有Zτ=11{τ=1}Z+∞Xn=1{τ=Tn}ZTn<1，{eZ=0<Z-} = .下面我们将证明断言a）。因此，我们支持ψ>0，并计算出eaot=P（τ=1 | F）11{t≥1} +XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn-<STn}P（sups∈[Tn，1[Ss]≤ STn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn-<STn-（1+ψ）}bΦ（1）- Tn）11{t≥Tn}，其中bΦ由（4.9）给出。

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2022-5-5 06:50:16

如前所述，我们的标准是=11{S*=S} {t≥1} +Xs≤t{s<1}{s*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ（1）- （s）Ns=11{S*=S} {t≥1} +Zt∧1{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ（1）- s） dMs+λZt∧1{S*s-<党卫军-(1+ψ)}^Φ(1 - s） ds。注意我们有{S*=S} =h{max（S）*1.-,S1-（1+ψ））=S}- 11{max（S）*1.-,S1-)=S} 我M+11{max（S）*1.-,S1-)=S} 。和m=Z+Ao=Z-p（Z）+敖-p(Ao）。然后，我们将过程Z重新写入如下Z=11[[0,1[[ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1), 1 - TM+（1）-M） I[[0,1[[ψ]s*-s-, 1.-T.这意味着-p（Z）=11[[0,1][[Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1), 1 -T- Ψs*-s-, 1.- T因此，通过结合所有这些重新标记，我们推断m=Z-p（Z）+敖-p(Ao）=~n然后，断言a）紧跟在定理4.2之后。接下来，我们将证明断言b）。假设-1<ψ<0，我们计算eaot=P（τ=1 | F）11{t≥1} +XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} {t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn=STn-}P（sups）∈[Tn，1[Ss<STn-|FTn）11{t≥Tn}=11{S*=S} t≥1} +Xn{Tn<1}{S*Tn=STn-}eΦ（STn）-STn，1-Tn）11{t≥Tn}，其中eΦ（x，t）由（4.9）给出。为了找到Ao的补偿器，我们写下EAOT=11{S*=S} {t≥1} +Xs≤t{s<1}{s*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-（s）Ns=11{S*=S} {t≥1} +Zt∧1{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-s） dMs+λZt∧1{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ，1）-s） ds。因此，由于过程的连续性*, 我们找到了-p（Ao）t=I{S*t=St-}eΦ（1+ψ，1）-（t）Mt，Zt-压电陶瓷=ψ（S）*tSt-(1 + ψ), 1 - （t）- ψ（S）*tSt-, 1.-（t）新界。这意味着mt=Zt-pZt+Aot-p（Ao）t=ψI{S*t=St-}eΦ（1+ψ，1）-t） +ψs*tSt-(1 + ψ), 1 -T- Ψs*tSt-, 1.-T新界。由于m和S是纯间断F-局部鞅，我们得出结论，m可以写成m=m+ν·S的形式，断言b）的证明紧随定理4.2。这就结束了这一主张的证明。我们将在下面展示我们的最后一个例子。本例的分析基于以下三个函数。ψ（x）=P（S）*> x） =P（supsSs>x），bΦ=P（supsSs≤ 1），andΦ（x）=P（supsSs<x）。

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2022-5-5 06:50:20

（4.11）建议N4.9考虑由τ=sup{t:St=S给出的随机时间τ*t} 。（4.12）那么，以下断言成立。a）对于ψ>0，将G-可预测过程定义为Фt:={S*T-<圣-（1+ψ）}bΦ+ψ麦克斯（S）*T-圣-(1+ψ), 1- ψ（S）*T-圣-)圣-ψ.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。在这里，ψ和bΦ的定义见（4.11），而ν的定义方式与（4.3）类似。b）因为-1<ψ<0，将G-可预测过程定义为ψ：=ψ（S*s-(1+ψ)) - ψ（S）*s-) + 11{S*=s-}ψ（ψ）1-.那么，对于模型（Sτ，G），φb:=φ11[[0，τ]]是一个套利机会，而φa:=-νI]]τ，ν]]是模型的一个不可预测的机会-Sτ，G）。这里再次定义了ν，如（4.3）所示。证明：让我们注意到τ是有限的，与之前一样，如果-1<ψ<0，Sτ<S*τ=支撑S*是连续的，如果ψ>0，Sτ=S*τ=suptSt。与诚实时间τisZt=P（τ>t | Ft）=P（sups∈（t），∞]Ss>sups∈[0，t]Ss | Ft）=P（sups∈[0,∞]bSs>S*tSt | Ft）=ψ（S）*（4.1）给出了S和ψ的独立系数。因此，我们推断Zτ<1。在下面，我们将证明断言a）。我们假设ψ>0，用（Tn）表示泊松过程N的跳跃序列，我们导出ot=XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn-<STn}P（sups≥TnSs≤ STn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn-<STn-（1+ψ）}bΦ11{t≥Tn}，其中bΦ=P（supsSs≤ 1）由（4.11）给出。我们继续寻找AoAot=Xs的补偿≤t{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦNs=Zt{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦdMs+λZt{S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦds。现在，正如我们对前面的命题所做的，我们计算m的跳跃。

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2022-5-5 06:50:23

为此，我们写如下=Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)M+ψ（S）*-s-).这意味着-pZ=Ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)因此，我们得出m={S*s-<党卫军-（1+ψ）}bΦ+ψ麦克斯（S）*-s-(1 + ψ), 1)- ψ（S）*-s-)M.由于鞅M和M都是纯不连续的，我们推断M=M+~n 然后，这个命题紧跟定理4.2。在下面，我们将证明断言b）。为此，我们假设ψ<0，并计算eaot=XnP（τ=Tn | FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn=STn-}P（sups）≥TnSs<STn-|FTn）11{t≥Tn}=Xn{S*Tn=STn-}eΦ（STn）-STn）11{t≥Tn}，其中eΦ（x）=P（supsSs<x）。因此，Aot=Xs≤t{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）Ns=Zt{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）dMs+λZt{S*s=Ss-}eΦ（1+ψ）ds。因为在ψ<0的情况下，过程S*是连续的，我们得到-pZ=ψ（S）*s-(1 + ψ)) - ψ（S）*s-)N、敖-p（Ao）=11{S*=s-}eΦ（1+ψ）M.因此，我们得出结论：m=Z-pZ+Ao-p（Ao）=ψ（S）*s-(1 + ψ)) - ψ（S）*s-) + 11{S*=s-}eΦ（1+ψ）ψN.这意味着鞅m的形式为m=1+~n·S，断言b）紧随定理4.2，命题的证明完成。5非诚实随机时间的套利机会本节是本文的第二个主要部分。在这里，我们开发了一些市场模型的实际例子和随机时间的例子，这些时间不是诚实的时间，我们研究了经典套利的存在性。本节包含两个小节，讨论两种不同的情况。5.1在布朗过滤：Emery的例子中，我们在这里给出了一个例子，其中τ是一个伪停止时间。让我们通过dSt=σStdWt来定义，其中W是布朗运动，σ是常数。设τ=sup{t≤ 1:S- 2St=0}，即1之前的最后一次，此时价格等于其在时间1的终值的一半。上述模型中的提议N5.1 NA在τ之前成立。

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2022-5-5 06:50:26

在τ之后还有经典的套利。证明：注意{τ≤ t} ={inft≤s≤12Ss≥ S} ={inft≤s≤1SST≥SSt}Sincesst，s≥ t和sstare独立于Ft，P（inft≤s≤1SST≥SSt | Ft）=P（inft≤s≤12Ss-T≥ S1-t） =Φ（1）- t）式中Φ（u）=P（infs≤u2Ss≥ 苏）。由此可知，超鞅Z是一个确定性递减函数，因此，τ是一个伪停止时间，S是一个直到τ的G-鞅，并且在τ之前不存在轨道S。在τ之后显然存在套利，因为在t时间τ之后，人们知道沙的值S>Sτ。事实上，对于t>τ，一个人有St>Sτ，并且套利在1之前的任何时间都是存在的。5.2在泊松滤波中，该子部分发展了类似的随机时间示例——如前一子部分的布朗滤波——并表明这些随机时间对市场经济结构的影响与前一子部分的影响大不相同。在本节中，我们将研究强度为λ且补偿鞅mt=Nt的泊松过程N- λt.表示tn=inf{t≥ 0:Nt≥ n} ，Hnt=11{Tn≤t} n=1,2。股票价格S被描述为d bydSt=St-ψdMt，其中，ψ>-1，ψ6=0。（5.1）或等效性，St=Sexp(-λψt+ln（1+ψ）Nt）。那么，Mt:=Ht- λ（t）∧T）：=Ht- At，a和Mt:=Ht- （λ（t）∧（T）- λ（t）∧ T））：=Ht- 有两个F-鞅。注意如果ψ∈ (-1,0）之间，股价上升；如果ψ>0，b e tween and T，则stock过程减小。这将是套利存在的起点。5.2.1两个跳跃时间的凸组合下面，我们给出了一个随机时间的例子，它避免了停止时间，且无套利性失效。建议N5.2考虑避免停车时间的随机时间τ=kT+kTF，其中k+k=1，k，k>0。

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2022-5-5 06:50:31

那么以下性质成立：（a）随机时间τ不是一个诚实的时间。（b） eZτ=Zτ=e-λk（T）-T） <1，{eZ=0<Z-} = .（c） τ之前有一个经典套利，由φt给出：-E-λkk（t）-（T）{Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}ψSt-{t≤τ }. （5.2）（d）τ：ifψ之后存在套利∈ (-1,0），在τ买入，在T之前卖出；如果ψ>0，s在τ时卖空，在T之前买回。证明：首先，我们计算超鞅Z:P（τ>T|Ft）=11T>T+11{T≤t} 集合E=（t）上的{t>t}P（kT+kT>t | Ft）≤ （t）∩（T>T），量P（kT+kT>T | Ft）是可测量的。接下来，在E上，P（kT+kT>t | Ft）=P（kT+kT>t，t>t | Ft）P（t>t | Ft）=E-λk（t）-T） e-λ（t）-T） =e-λkk（t）-T），我们使用了Tand T的独立性- 因此，我们推断，P（τ>T | Ft）=11{T>T}+11{T≤t} {t>t}e-λkk（t）-T）。因为Zt=（1-Ht）+Ht（1）-Ht）e-λkk（t）-T）我们利用e-λ（t）-T） dHt=dHt，dZt=-dHt+e-λkk（t）-T）（（1）- Ht）dHt- HtdHt）- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=e-λkk（t）-T）(-HdHt- HtdHt）- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=-E-λkk（t）-T） dHt- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt=dmt- E-λkk（t）-T） dAt- λkkHt（1）- Ht）e-λkk（t）-T） dt，其中dmt=-E-λkk（t）-T） dMt。Hencemτ=1-Zτe-λkk（t）-T） dMt=1+ZτTe-λkk（t）-T） λdt>1。现在我们开始证明这个命题。i）因为τ避免了停止时间，所以Z=eZ。注意EZτ=Zτ=e-λk（T）-T） <1。因此，τ不是唯一的时间。由于Z>0，我们推断（a）和（b）两个断言都是正确的。ii）现在，我们将批准断言（c）。我们将明确描述套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 2}. 我们推断mt=11{T≤t}- At=11{Nt≥2}- At=11{Nt-≥1}Nt+11{Nt-≥2}(1 - （新界）- 在（5.3）因此，Mt=Mt-p（M）t={Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}新界={Nt-≥1}- 11{Nt-≥2}Mt.（5.4）由于M和M都是纯圆盘连续的，所以我们得到Mt=1+（φ） M） t=1+（ν） S） t，w这里φt=-E-λkk（t）-（T）I{Nt-≥1}- I{Nt-≥2}, 和φt=φtψSt-. （5.5）iii）τ后的套利：在τ时，拥有G信息的人已知的Ti值。

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2022-5-5 06:50:34

价格过程在时间T之前降低，然而，等待时间T不会导致套利 = T- τ（在τ时已知），在τ时有套利卖空，在τ时交割+. 该策略是可接受的，因为在Tand T之间，S（1+~n）所包围的量。这就结束了这个命题的证明。5.2.2两个标度跳转时间的最小值我们现在给出一个非诚实随机时间的例子，它不能避免停止时间，并导致经典的任意年龄机会。建议5.3考虑与之前相同的市场，并确定τ=T∧ 在，其中0<a<1。然后，以下性质成立：（a）τ不是一个诚实的时间，不能避免F-停止时间，（b）Zτ=11{T>aT}e-βaT（βaT+1）<1安德兹τ=e-βaT（βaT+1）<1，{eZ=0<Z-} = .（c）在τt=-E-βt（βt+1）{Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}ψSt-{t≤τ}，其中β=λ（1/a- 1). （5.6）（d）τ：ifψ之后存在套利∈ (-1,0），在τ/a之前买入，在τ/a之前卖出；如果ψ>0，在τ/a之前卖空τ并回购。证明：首先，让我们计算上鞅Z，Zt=11{T>T}P（aT>T|Ft）=11T>tP（aT>T，T>T）P（T>T）=11{T>T}eλtE（11T>tE）-λ（ta）-T） +）=11{T>T}eλtZt/ate-λ（ta）-x） λe-λxdx+11{T>T}eλtZ∞t/aλe-λydy=11{T>T}e-βt（βt+1），其中β=λ（1/a- 1). 尤其是Rzτ=11T>aTe-βaT（βaT+1）<1。与上述类似的计算会导致Zt=Zt-= 11{T≥t} e-βt（βt+1）。这证明了断言（a）和（b）。i）在这里，我们将证明断言（c）。

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2022-5-5 06:50:37

由于它的公式，我们有dzt=-E-βt（βt+1）dHt- 11吨≤Tβe-βttdt=-E-βt（βt+1）dMt- E-βt（βt+1）dAt- 11吨≤Tβe-βttdt。因此，dmt=-E-βt（βt+1）dMt。Hencemτ=1+11{aT<T}λ2(1 - E-βaT）β- 吃了-βaT+11{T<aT}2λ1 - E-βTβ- λTe-βT- Tβe-βT- E-βT+11{T=0}（5.7）并且，当x>0时- E-十、- xe-x> 0和2λβe-βx- λβxe-βx- xβe-βx-βe-βx+βIx=0>0，则得到mτ>1；因此，古典套利的存在。现在，我们明确描述了套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 1}. 我们推断mt=11{T≤t}- At=11{Nt≥1}- At=11{Nt-≥0}Nt+11{Nt-≥1}(1 - （新界）- 在（5.8）因此，Mt=Mt-p（M）t={Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}新界=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}Mt.（5.9）由于M和M都是纯圆盘连续的，所以我们有M=1+~n S、式中φt=-E-βt（βt+1）{Nt-≥0}- 11{Nt-≥1}ψSt-. （5.10）ii）主张证明（d）遵循命题5.6中相同的主张证明（d）。这就是命题的证明。5.2.3最多两次按比例跳跃时间建议5.4考虑与之前相同的市场。定义τ=T∨ 在，其中0<a<1。然后，以下性质成立：（a）τ不是一个诚实时间，并且不能避免F-停止时间。（b） Zτ=λτe-λτ/a1-E-λτ<1，andeZτ=I{T≥aT}+I{T<aT}Zτ6≡ 1和{eZ=0<Z-} = .（c）在τt=-1.-λte-λta1- E-λt！I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}ψSt-.

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2022-5-5 06:50:39

（5.11）（d）τ：ifψ之后存在经典套利∈ （0,1）和T<aT，在τ买入，在τ/a之前卖出；如果ψ>0且T<aT，则在τ卖空，在τ/a之前回购。证明：首先，让我们计算上鞅Z，1- Zt=P（τ）≤ t | Ft）=P（t∨在≤ t | Ft）=11{t≤t} PT≤助教英尺= 11{T≤t} PT≤ta，T≤ TP（T）≤ t） =11{t≤t} 一,- E-λtZt1.- E-λ（ta）-y）λe-λydy=11{T≤t} 一,-λte-λta1- E-λt！。因此zt=1-11{T≤t} 一,-λte-λta1- E-λt！=11{T>T}+I{T≤t} λte-λta1- E-λt，（5.12）和zτ=λ（t∨ aT）e-λT∨aTa1- E-λ（T）∨aT）<1。使用相同类型的参数givezt=11{T≥t} +11{t<t}λte-λta1- E-λt，a ndeZτ=11{t≥aT}+11{T<aT}λ（T∨ aT）e-λT∨aTa1- E-λ（T）∨在）。（5.13）这使我们可以得出结论，两种断言（a0和（b）都成立。这个结论的证明与前一个结论的证明相似。证据的剩余部分将涉及断言（c）。把Kt=1-λte-λta1-E-λt，Zt=1- HtkT，并应用它的公式，我们得出DzT=-d（香港）t=-KtdHt- HtdKt=-KtdMt- KtdAt- HtdKt。（5.14）因此，mt=1-ZtKtdMt。（5.15）现在，我们明确描述套利策略。注意{T≤ t} ={Nt≥ 1}. 我们推导出mt=I{T≤t}- At=I{Nt≥1}- At=I{Nt-≥0}Nt+I{Nt-≥1}(1 - （新界）- 在（5.16）因此，Mt=Mt-p（M）t=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}新界=I{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}Mt.（5.17）由于Mt和Mt都是完全不连续的，所以我们有Mt=1+ν·St，其中Фt=-KtI{Nt-≥0}- I{Nt-≥1}ψSt-. (5.18)6 NUPBR对于特定模型在本节中，我们讨论了一些有趣的实际模型，我们证明了NUPBR在τ以下是有效的。正如我们在引言和摘要中提到的，这一部分的独创性在于证明的简单性。Choulli等人（2013年）对NUPBR进行了全面全面的分析。

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2022-5-5 06:50:43

在这一节中，我们将假设z>0.6.1，在τ之前，设bm为G-鞅，在{t上与m（2.3）相关的时间τ停止≤ τ} bmt:=mτt-Ztdhm，Mifsz。6.1.1连续过滤的情况我们从连续鞅的特殊情况开始，证明对于任意随机时间τ，NUPBR在τ之前成立。我们注意到连续性假设意味着Z的martinga-le部分是连续的，并且Z的可选和Doob-Meyer分解是相同的。假设所有F-鞅都是连续的。然后，对于任意随机时间τ，NUPBR在τ之前保持不变。Sτ的G-局部鞅导数由dLt=-LtZtd bmt。证明：我们利用定理2.1，为Sτ提供了一个G-局部鞅定义。将正G-局部鞅L定义为dLt=-LtZtd bmt。然后，如果SL是G-局部马氏体，则为NUPBRholds。回想一下，再次使用（2.3），bSt:=Sτt-Zt∧τdhS，miFsZsis是G-局部鞅。通过分部积分，我们得到（使用连续鞅的括号不依赖于过滤）d（LSτ）t=LtdSτt+StdLt+dhL，SτiGtG-mart=LtZtdhS，miFt+ZtLtdhS，bmiGtG-mart=LtZt（美国国土安全部，麻省理工学院）- 麻省理工大学国土安全部）=0XG-mart=Y是X的符号- Y是G-局部鞅。备注6.2如果τ是一个诚实的时间和可预测的表示性质，则根据定理4.2，NA条件不成立，因此NFLVR条件也不成立。

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2022-5-5 06:50:46

这反过来又意味着，Sτ的所有G-局部鞅都是S-三次局部鞅。6.1.2在泊松函数的情况下，我们假设S是形式为dSt=St的F-鞅-ψtdMt，其中ψ是一个可预测的过程，满足ψ>-1和ψ6=0，其中M是标准泊松过程的补偿鞅。在泊松设置中，对于某些F-可预测过程，从m可预测表示属性，dmt=νtdmt，因此，在t≤ τ、 d bmt=dmt-Zt-dhm，mit=dmt-Zt-λνtdtPropositio n 6.3在泊松环境中，对于任意随机时间τ，NUPBR在τsinceL=E之前保持不变-Z-+ ν bm= E-νZ-+ ν厘米,是Sτ的G-局部鞅导数。证明：我们利用定理2.1，寻找形式为dLt=Lt的G-局部鞅-κtd-bmt（和ψtκt>-1）所以L是正的，SτL是G-局部鞅。按部件公式积分得出（在t上）≤ τ） d（LS）t=Lt-dSt+St-dLt+d[L，S]tG-mart=Lt-圣-ψtZt-dhM，mit+Lt-圣-κtψtνtdNtG-mart=Lt-圣-ψtZt-νtλdt+Lt-圣-κtψtνtλ（1+Zt）-νt）dt=Lt-圣-ψtνtλZt-+ κt（1+Zt）-νt）dt。因此，对于κt=-Zt-+νt，一个人得到一个变量。注意dlt=Lt-κtd-bmt=-书信电报-Zt-+ νtνtdcmt确实是一个正的G-局部鞅，自-+νtνt<1。备注6.4如果τ是一个诚实的时间和可预测的表示性质，则Sτ的所有G-局部鞅都是严格的G-局部鞅。6.1.3 Lévy处理假设S=ψ (u -ν）式中，u是Lévy过程的跳跃度量，ν是其补偿器。这里，ψ (u - ν）是R·Rψ（x，s）（u（dx，ds）- ν（dx，ds））。马氏体m表示为m=ψm (u -ν).

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2022-5-5 06:50:49

然后，在（2.3）中，μ的G-补偿器为νgw，其中νG（dt，dx）=Zt-（Zt）-+ ψm（t，x））ν（dt，dx），即S允许G-半鞅分解的形式=ψ (u - νG）- ψ (ν -νG）命题n6.5考虑正G-局部鞅：=E-ψmZ-+ ψmI]]0，τ]] (u -νG）.那么L是Sτ的G-局部鞅，因此Sτ满足NUPBR。证明：我们利用定理2.1，我们的目标是找到一个形式为DLT=Lt的正G-局部鞅L-κtd bmtso认为LSτ是G-局部马丁酒。由部分公式化（SL）G整合而来-集市=-L-ψ (ν -νG）+d[S，L]=-L-ψ (ν - νG）+L-ψψmκ 微克-集市=-L-ψ (ν -νG）+L-ψψmκ νG=-L-ψ1.- （1+ψmκ）Z-（Z）-+ ψm）因此可能的选择是κ=-Z-+ψm。可以证明，L确实是一个正的G-局部鞅，参见[5]。6.2在τ之后，我们现在假设τ是一个诚实的时间，它满足Zτ<1（出于可积性的原因）。这个条件和引理2.4特别意味着τ不能避免F-停止时间。关于条件Zτ<1的进一步讨论，请参考[1]。还要注意的是，在连续过滤的情况下，Zτ=1，NUPBR在τ之后无法保持（见[7]）。在（2.4）之后，对于任何F-鞅X（特别是对于m和S）bXt:=Xτt-Zt∧τdhX，mifsz+Ztt∧τdhX，miFs1- 这是一种本地的马丁酒。6.2.1连续过滤的情况我们从连续鞅的特殊情况开始，证明对于任何诚实时间τ，Zτ<1，NUPBR在τ之后成立。命题N6.6假设τ是一个诚实时间，它满足Zτ<1，并且所有F-鞅都是连续的。然后，对于任何时间τ，N UPBR在τ之后保持不变。S的G-局部鞅- Sτ由dLt=-Lt1-中兴bmt。证明：我们照常使用定理2.1。这个证明是基于它的微积分。

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2022-5-5 06:50:52

寻找dLt=Ltκtd bmt形式的G-localmartingale定义，并使用par ts公式进行积分，我们得到，对于κ=-(1 - Z）-1.过程L（S）-Sτ）是G-局部鞅。备注6.7如果可预测表示属性在r e spec t至S中成立，则作为定理4.2的推论，NA条件不成立，因此NFLVR条件也不成立。这反过来意味着S的所有G-局部鞅-Sτ是严格的G-局部鞅。6.2.2泊松函数的情况我们假设S是形式为dSt=St的F-鞅-ψtdMt，w withψ是一个可预测的过程，满足ψ>-1.分解公式（2.4）在τasbSt=（11]τ之后读取，∞[·S）t+Ztt∨τ1 - Zs-dhS，mis=（11）τ，∞[·S）t+λZtt∨τ1 - Zs-νsψsSs-ds。假设F是泊松滤波，τ是满足Zτ<1的诚实时间。然后，NUPBR在τsinceL=E之后保持不变1.- Z-- ν bm= Eν1 - Z-- ν]τ,∞[厘米,是S的G-局部鞅- Sτ。证明：我们使用了定理2.1，我们是G-局部鞅的loo king，形式为dLt=Lt-κtd-bmt（和ψtκt>-1）所以L是正的G-局部鞅和（S）- Sτ）L是aG局部鞅。部分积分公式导致tod（L（S- Sτ）t=Lt-d（S）- Sτ）t+（St-- Sτt-)dLt+d[L，S]- Sτ]tG-集市=-λLt-圣-νtψt1- Zt-{t>τ}dt+Lt-圣-κtψtνt{t>τ}dNtG-集市=-λLt-圣-νtψt1- Zt-{t>τ}dt+λLt-圣-κtψtνt{t>τ}（1）-1.- Zt-νt）dt=λLt-圣-ψtνt{t>τ}-1.- Zt-+ κt（1）-1.- Zt-νt）dt。因此，对于κt=1-Zt--νt，得到一个G-局部鞅函数。注意dlt=Lt-κtd-bmt=Lt-1.- Zt-- νtνt{t>τ}dcmt确实是一个正的G-局部鞅，从1开始-Zt--νtνtNt>-1.

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