最优市场套利模型

2022-5-5 07:28:12

最优市场套利模型*Huy N.Chau1,2和Peter Tankovma巴黎大学Diderotabstract我们构建并研究了允许最优套利的市场模型。我们说，一个模型允许最佳套利，如果在零利率设置下，从初始财富1开始，仅使用正投资组合，可以超级复制常数c>1。最优套利策略是指该常数具有最高可能值的策略。我们对最优套利的定义与Fernholz和Karatzas（2010）中的定义类似，后者研究了市场投资组合的最优相对收益率。在这项工作中，我们提出了一个系统的方法来构建市场模型，其中最优套利策略是存在的，并且是明确已知的。然后，我们发展了几个新的套利市场模型的例子，这些模型是基于经济主体关于某些事件不可能发生的观点，而不是临时构造。我们还探讨了Guasoni和R\'asonyi（2012）中引入的套利脆弱性概念，并提供了在这个意义上不脆弱的套利模型的新例子。关键词：最优套利、不完全市场、无无界利润、无界风险、套利的脆弱性、严格局部鞅1简介数学金融中的一个关键概念是无套利。非正式地说，套利机会就是赚钱的可能性*我们非常感谢约翰·鲁夫对该报早期版本的有益评论。不冒任何风险，从无到有。显然，为了确保市场效率，这些策略应该被排除在外。

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2022-5-5 07:28:15

无套利理论的数学表述有很长的历史，从Harrison a and Kreps（1979）的第一个离散时间结果，到Delbaen and Schachermayer（1994）和Delbaen and Schachermayer（1998）在一般半鞅模型中的刻画。特别是，在Delbaen和Schachermayer（1994）中，证明了具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）条件等价于一个等价局部鞅测度（ELMM）的存在，即一个新的概率测度，在该概率测度下，贴现资产价格过程是一个局部鞅。NFLVR为解决定价、对冲或投资组合优化问题提供了可靠的理论框架。然而，对于一些申请来说，要求不提供免费午餐的限制太大了。事实上，假设金融市场存在有限的套利机会似乎是合理的，因为整个“套利者”部门都在投资银行全职工作，以利用这些机会。这就是为什么最近的文献中出现了具有套利机会的市场模型的原因之一，从Delbaen和Schachermayer（1995a）的三维贝塞尔过程模型开始。在不依赖等价鞅测度概念的情况下，Platen（2006），参见Platen和Heath（2006），开发了基准方法，这是一种新的资产定价理论，是基于物理测度的。在随机投资组合理论（Karatzas和Fernholz，2009）的背景下，NFLVR条件不是强制的，套利机会出现在相对意义上。

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大多数88

2022-5-5 07:28:18

这些工作表明，NFLVR条件可以被另一个较弱的概念替代，同时保持上述经济问题的可解性，并且确实提出了几个新概念，参见Fontana（2013）的综述。如果有人对效用最大化感兴趣，已经证明（Karatzas a and Kardara s，2007），这个问题的最小无免费午餐类型条件是有界风险的无无界利润（NUPBR）条件。这种情况在Kabanov（1997）中也被称为BK，它也相当于Kabanov和Kramkov（1994）的第一类无渐近套利（NAA1）。众所周知，NFLVR相当于NUPBR加上经典的无ar比特率假设（见Delbaen和Schachermayer（1994）的推论3.4和推论3.8，或Karatzas和Kardaras（2007）的命题4.2）。这意味着满足onlyNUPBR的市场可能会接受套利机会。为了从潜在的套利中获益，我们需要明确描述套利策略，并设计一种方法来比较不同的策略，以便以最有效的方式利用套利机会。Fernholz和Ka r atzas（2010）在这方面迈出了重要的一步。本文引入了关于市场投资组合的最优相对套利的概念，并用抛物偏微分不等式的最小正解刻画了连续马尔可夫市场模型中的最优相对套利。这项工作在Fernholz和Karatzas（2011）中扩展到了资产相对风险和协方差结构不确定的市场模型。Ruf（2011）给出了存在相对套利和强相对套利机会的精确条件。

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可人4

2022-5-5 07:28:21

结果表明，最优相对收益率与以几乎确定的方式扩大市场投资组合所需的最小成本有关。Ruf（2013）详细研究了有套利机会的市场中的套期保值问题。该文特别指出，三角洲套期保值仍然是不连续的马尔可夫市场中的最优套期保值策略，该市场不承认等价的局部风险度量，只承认风险的平方可积市场价格。除了Fernholz和Karatzas的随机波动理论以及Platen和Heath的基准方法外，关于没有套利机会的市场的现有文献仍然是理论性的，其发现被实践广泛用于基于套利机会制定实际交易策略。这与以下事实有关：文献中发现的套利市场的例子通常是临时性的，不够灵活，无法校准实际的市场数据。此外，Guasoni和R\'asonyi（2012）的研究表明，分散市场中存在的大部分ar比特率示例都是脆弱的，这意味着当交易成本被引入模型时，无论其价值有多小，或者当价格记录有一个小的观察误差时，它们就会消失。本研究的目的是提出一种新的方法来建立允许最优仲裁年龄的模型，并明确描述最优套利策略。为了做到这一点，我们从一个概率度量Qunder开始，它是NFLVR条件必须满足的。然后，我们构造了一个新的概率测度P，它不等同于Q，在该测度下NFLVR不再成立，但NUBPR仍然满足。

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2022-5-5 07:28:24

这个过程并不新鲜，可以追溯到Delbaen和Schachermayer（1995a）对贝塞尔过程的构造。然而，我们将其扩展到两个方向。首先，从理论角度出发，我们给出了P下索赔的超边际价格与Q下相关索赔的超边际价格的一个刻画。这使得我们能够根据Q下的超边际价格刻画P下的最优套利价格，这更容易使用等价的局部鞅测度进行计算。其次，从经济学的角度，我们为新的套利模型提供了一种经济直觉，该模型实现了经济主体关于某些市场事件不可能性的观点。换句话说，如果一个经济主体认为某个事件（例如外部违约）是不可能的，但它实际上是在市场中定价的，那么我们的方法可以用来构建一个新的模型，将这种可能性结合起来，并计算相关的最佳套利策略。然后，我们结合这两种思想，开发了几类新的具有最优套利的模型示例，从而可以对不完全市场进行明确的经济解释。我们还讨论了这些套利对小交易成本/小观察误差的稳健性问题，并表明我们的一些例子在Guasoni和R\'asonyi（2012）的观点中并不脆弱。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了市场环境并陈述了主要假设。第3节介绍了最优套利，并将其与一个超边际问题联系起来。在第4节中，我们使用了一个绝对连续的度量变化来构建具有最优套利的市场。

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2022-5-5 07:28:27

我们在2002年建立了几个随机积分和随机积分的例子。让(Ohm, F、 F，P）是给定的过滤概率空间，其中过滤F=（Ft）t≥假设0满足右连续和P-空集增广的一般条件。对于任何经过调整的RCLL工艺，使用S进行wedenote-其可预测的左连续版本和S:=S- s-它的跳跃过程。对于d维半鞅S和可预测过程H，我们用H·S表示H相对于S的向量随机积分∞ （一个停止时间），并假设在T之后，所有的价格过程都是常数，等于它们在T的值。关于随机基（Ohm, F、 F，P），我们考虑一个具有Rd值非负半鞅过程S=（S，…，Sd）的金融市场，其组成部分对d风险资产的价格进行建模。无风险资产用沙子表示，我们假设≡ 1，也就是说，所有的价格过程都已计算在内。我们假设金融市场是无摩擦的，这意味着没有交易限制、交易成本或其他市场影响。设L（S）是所有Rd值S-可积可预测过程的集合。这是投资者可以选择的最合理的策略类别，但需要其他约束条件，如下文所述，以排除加倍策略。定义2.1。让x∈ R+。元素H∈ 如果H=0且（H·S）t，则称L（S）为X容许策略≥ -x代表所有t∈ [0，T]P-a.s.元素H∈ 如果L（S）i是某个x的x-可容许策略，则称其为可容许策略∈ R+。为了x∈ R+，我们用ax表示所有x-容许策略集，用a表示所有容许策略集。

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2022-5-5 07:28:30

通常情况下，假设HTC代表我们在时间t时持有的风险资产单位数。对于（x，H）∈R+×A，我们定义了portfo lio价值过程Vx，Ht=x+（H·S）t。这相当于要求投资组合仅由自我融资允许的战略生成。给定半鞅S，我们用Kx表示一个人可以通过x-容许策略从零初始成本开始实现的所有结果集：Kx={（H·S）t | H是x-容许的}，用Xx表示初始成本为x:Xx={x+（H·S）t | H是x-容许的}的策略结果集。注意xxx中的所有元素都是非负的。所有Kxandall xxx的并集分别用K和X表示。所有可容许策略超复制的有界索赔都包含在内=K-L+∩ L∞.现在，我们回顾了Delbaen和Schachermayer（1994年）、Karatzas和Kardaras（2007年）和Kardaras（2012年）研究过的一些非免费午餐条件。定义2.2.o我们说，市场满足关于一般可容许被积函数的无套利（NA）条件∩ L∞+= {0}.o 我们说，市场满足了与Van i s hing Risk（NFLVR）房地产公司就一般行政可能的被积体ifC提供的非免费午餐∩ L∞+= {0}，其中条形表示L的超范数拓扑中的闭包∞.o 如果setKis以L为界，即iflimc，则不存在具有有界风险的无界利润（NUPBR）→∞嘘∈美联社V0，H>c= 0holds.o如果存在一个停止时间τ，使得P[τ<T]>0，且策略H=H1]τ，T]实现（H·S）T>0 P-a.S，则市场允许立即套利（IA）∈ （τ，T）。我们说，如果市场上不存在即时套利，则无即时套利（NIA）条件成立。上述无套利类型条件的经济解释可描述如下。经典套利意味着一个人可以在没有风险的情况下从无到有。

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2022-5-5 07:28:33

如果存在一个FLVR，从零资本开始，人们可以找到一系列财富过程，使得终端财富收敛到一个与零不相同的非负随机变量，交易策略的风险变得任意小。如果一个乐观主义者，可以发现一系列具有有限（或指数小）风险的财富过程，其最终财富具有无限的可能性。在本文中，我们对满足以下假设的金融市场感兴趣。假设2.3。在局部有界的情况下，市场状态为NUPBR，但条件NFLVR在物理测度p下失败。在局部有界假设下，根据资产定价的基本理论，NF LVR条件等同于aELMM的存在（见Delbaen和Schachermayer（1994）中的Coro llary 1.2），但对于一般半鞅，必须用等价的西格玛鞅测度来代替ELMM。因此，对局部Bounded过程的限制允许我们使用局部鞅，而不是sigma鞅。当NFLVR条件失败，但NUBPR条件保持不变时，ELMM将被一个较弱的“缺陷”概念所取代。定义2.4。等价局部鞅定义（ELMD）是一个非负过程Z，Z=1，ZT>0，因此ZV是所有V的局部鞅∈ 特别地，ELMD是一个非负局部鞅。法图的莱姆马伊暗示，它也是一只超级艺术的莺，它的期望值比这要低或相等。因此，局部鞅密度是一个期望为1的ELMD。一般来说，我们不能使用ELMD来定义新的可能性度量，因为新度量失去了质量。值得注意的是，当ELMD是一个严格的局部鞅时，情况与带气泡的市场非常不同。

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2022-5-5 07:28:36

事实上，如果资产价格在风险中性度量下是严格的局部鞅，则称其为泡沫，参见Heston等人（2006）、Cox and Hobson（2005）、Jarrow等人（2007）、Jarrow等人（2010），这意味着不存在套利机会。最近，Kardaras（2012）在一维情况下证明了以下结果。Takaoka（2010年）通过适当改变计算参数给出了多维案例的另一种证明，以应用Delbaen和Schachermayer（1994年）的经典结果，Song（2013年）仅通过使用资产过程的局部特征的属性。定理2.5。NUPBR条件等价于至少存在一个ELMD。脆弱而稳健的套利由于真实市场存在价格，这种套利在存在小交易成本或小观察误差的情况下消失，因此无法在实践中加以利用。这种被称为套利脆弱性的属性（Guasoni and R\'asonyi，2012）在以下两个定义中描述。定义2.6。当ε>0时，两个严格正过程S，~S为ε-close if1+ε≤■StSt≤ 1+εa.s.适用于所有t∈ [0，T]。定义2.7（脆弱性/稳健性）。我们说（P，S）市场的套利是脆弱的，如果yε>0，则存在一个过程，即ε-接近，这样（P，S）-市场满足NFLVR。如果套利不是脆弱的，我们就说它是稳健的。Guasoni和R\'asonyi（2012）表明，在差异环境中，如果原木价格过程的系数是局部有界的，套利是脆弱的。例如，当我们在贝塞尔的例子中引入小摩擦时，这个悲剧就消失了。Bender（2012）定义了一种简单的恶意套利策略，即买入并持有策略，如果投资者进行交易，该策略保证投资者的收益至少为ε>0。

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2022-5-5 07:28:39

很明显，一个简单的明显套利行为总是稳健的。3最优套利众所周知，NFLVR成立的充要条件是NUPBR和NAhold都成立，见Delbaen和Schachermayer（1994）的推论3.4和3.8，或Karatzas a和Kardara s（2007）的Proposition 4.2。此外，Delbaen和Schachermayer（1995b）的引理3.1表明，如果NA失败，那么市场要么承认即时套利，要么承认A中的Astragy创造的套利。此外，如果存在即时套利，则相关策略在A中，并且可以自由扩展以产生无限的套利。但是由于假设，这种情况在我们的市场是不允许的。3.因此，只有在x>0的集合中使用策略才能利用任意年龄。这个推理由下面的引理形式化。引理3.1。NUPBR意味着NIA。证据我们将证明，即时套利意味着无限利润和有限风险。假设S在停止时间τ和P（τ<T）>0时允许立即发生一个rbitrage。存在一个策略H，使得T的H=H1（τ，T）和（H·S）T>0∈ （τ，T）。我们观察到Hn:=nH∈ A和这些TNV0，HnTon∈这在概率上是不可靠的。这意味着市场允许无限利润和有限风险。由于这些原因，我们市场上的风险是有限的，最优套利利润的问题自然产生。定义3.2。对于固定时间范围T，我们定义（T）：=supnc>0：H∈ A、 V1，HT≥ c、 P- a、所以。如果U（T）>1，我们称之为U（T）最优套利利润。数量U（T）是从单位初始资本开始，在时间T可以实现的最大确定性金额。显然，这个值比下面的值低1。这一定义可以追溯到费尔霍尔茨和卡拉茨（2010）的论文。

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2022-5-5 07:28:42

在差异设置中，这些作者描述了以下值supnc>0：H∈ A、 V1，HT≥ cXSiT，P- a、这是一个人相对于市值所能获得的最高回报。3.1最优套利和超边际价格定义3.3。提出索赔≥ 0，我们定义+（f）：=infnx≥ 0：H∈ Ax，Vx，HT≥ f、 P- a、所以，这是一个人可以通过非负性财富过程超越f的最小数量。Ruf（2011）讨论了将自己局限于非负财富过程的原因。如果Z是一个局部市场变量，且财富过程V仅限于保持在某个常数x<0以上，那么ZV可能不再是一个超级马丁格尔。让我们将SP+价格的定义与文献中的超级套期保值价格进行比较。给定类别的超边际价格通常由p（f）=infnx定义≥ 0：H∈ A、 Vx，HT≥ f、 P- a、所以。换句话说，我们允许财富过程（可能是负的）从下方一致有界。请注意，在满足NA的市场中，SP+（f）=SP（f）。的确，如果NA成立，对于每个可容许被积函数H，我们有k（H·S）-tk∞≤ k（H·S）-Tk∞, 见Delbaen和Schachermayer（1994）中的命题3.5。如果x+（H·S）T≥ f然后（H·S）T≥ F-十、≥ -x使k（H·S）-Tk∞≤ x、这意味着k（H·S）-tk∞≤ x或（H·S）t≥ -x、尽管如此，t∈ [0，T]。在我们的r位r年龄市场模型中，SP（f）≤ SP+（f）。哈萨诺夫（2 013）讨论了两种超边缘价格之间的差异。下面的引理很简单，但对我们的问题很有用。引理3.4。U（T）=1/SP+（1）。证据(≤) 取任意一个c>0，这样就存在一个策略H∈ A高饱和度oV1，HT=1+（H·S）T≥ c、 P- a、 s.o（H·s）t≥ -1.为了所有人0≤ T≤ T然后，一个简单的缩放参数为我们提供了对冲1o（超级注册）1/c+1/c（H·S）T的策略≥ 1，P- a、 s.o（可采性）1/c（H·s）t≥ -1/c适用于所有0≤ T≤ T根据定义3.3，一个人可以以1/c的成本支持Edge 1。

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2022-5-5 07:28:47

因此，我们得到了最优套利利润（T）的上限≤SP+（1）。(≥) 逆不等式可以用同样的论证来证明。上面的引理有两个结果。首先，SP+（1）的知识足以找到最佳套利利润。其次，任何人都应该找到超越1的策略，以实现最佳ar比特率。显然，SP+（1）≤ 1.如果SP+（1）<1，则存在最优套利。如果SP+（1）=1，最优套利不存在，但套利可能仍然存在。在Ruf（2011）的例子8中，持有1的最便宜价格是1，但我们可以以正概率获得大于1的终端财富。4.构造最优套利的市场模型在本节中，我们给出了两种构造最优套利的市场模型。它们都是从价格过程满足NFLVR的概率度量Q开始，并进行非等价度量更改，以构造一个新的度量P，允许f或ar位r。在早期的研究中，已经研究了用绝对连续的度量变化构造的套利机会。这种技术的第一个例子是贝塞尔模型，该模型在Delbaen和Schachermayer（1995年a）中给出。这项技术在O斯特里德和莱茵兰德（2006年）以及鲁夫和龙格加尔迪耶（2013年）中得到了推广。然而，我们通过将P下的超边际价格刻画为Q下的超边际价格来进一步推动这一观点，这使我们能够描述最优套利。4.1基于非负鞅Q的构造是过滤测度空间上的概率测度Ohm, F、（Ft）t≥0如第2节开头所述，并假设在Q下，以下是正确的：o风险资产过程S是一个局部有界半鞅，满足NF LVR。o存在一个M=1且q[{τ]的非负RCLL鞅M≤ T}∩ {Mτ-> 0}] = 0.

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kedemingshi

2022-5-5 07:28:49

（1）式中τ=inf{t≥ 0:Mt=0}使用 = +∞.因为M是右连续的，这意味着M只能在[0，T]上连续地达到零。使用M作为Radon-Nykodym导数，我们通过DPDQ定义了一个新的概率测度Ft=Mτ∧t、那么P对于Q是绝对连续的（但不是等价的）。事实上，M在Q下可以达到零，但在P下总是正的，因为P[τ≤ T]=EQ[Mτ∧Tτ≤T] =0。定理4.1。在上述假设下，（P，S）-市场满意度为y FT可测量索赔f≥ 0时，我们假设spp+（f）=SPQ+（f1MT>0）。推论4.2。在定理letsup\'Q的假设下∈ELMM（Q，S）E\'Q[1MT>0]<1。然后（P，S）-market允许最优套利，最优套利策略允许（Q，S）-市场中索赔1MT>0的超边缘策略。证据根据无套利条件下的标准超复制定理（Delbaen和Schachermayer（1995c）的定理9），SPQ+（1MT>0）=sup＠Q∈ELM M（Q，S）E\'Q[1MT>0]。托勒姆的证据。设Q是一个等价于Q的局部鞅测度，并用Z表示其相对于Q的密度。第一步：我们通过证明Z/M是一个ELMD来证明（P，S）-市场满足NUPBR。我们定义τn=inf{t≥ n}Mt<0 = +∞. 因为，根据条件（1），M不会跳到零，所以我们得到了Mt∧τn>0T≥ 0 Q-a.s.我们注意到<< 英国《金融时报》上的P∧τn.的确，取任意一个A∈ 英尺∧τnsuch thatP（A）=0，我们计算q[A]=EQ金额∧τnMt∧τn= EP金额∧τn= 这意味着P等于Ft上的Q∧τn.根据Jacod a and Shiryaev（2002）第168页推论3.10，为了证明过程n是一个具有局部序列（τn）的P-局部市场，我们需要证明（NM）τ是每个n的Q-局部市场≥ 1.

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可人4

2022-5-5 07:28:52

那么，o\'Z/M是P-局部鞅，因为\'Z是Q-局部鞅。o\'“ZS/M是一个P-局部鞅，因为”ZS是一个Q-局部鞅。o“ZV/M是每个P-V的P-local ma r tingale。因为P和Qare在Ft上是等价的∧τn，我们得到了一个Q-容许财富过程。因此，对于每一个n，我们有一个Q-局部市场，所以是（\'ZV）τn。第2步：我们证明等式SPP+（f）=SPQ+（f1MT>0）。(≤) 取任意x>0，这样就存在一个策略H∈ aqx满足vt=x+（H·S）T≥ f1MT>0，Q- a、自从P<< Q、 Protter（2003）第170页定理25表明∈ P下的L（S）以及HQ·S=HP·S，P-a、 s。。我们还看到x+（H·S）t≥ 0，P-a、 s和x+（H·s）T≥f1MT>0=f，P- a、这意味着SSPP+（f）≤ SPQ+（f1MT>0）。(2)(≥) 对于逆不等式，取任意一个x>0，这样就存在一个策略H∈ Apx和VPT=x+（H·S）T≥ f、 P- a、我们将展示t hatx≥ SPQ+（f1MT>0）。定义Hn:=H1t≤τn，那么Hn在Q下是S-可积和x-可容许的。从第一步，我们看到tτn∧ TT，P-a.s.，因此VnT=x+（Hn·s）T→ VPT、P-a.s.或VnTMT>0→ VPTMT>0≥ f 1MT>0，Q-a.s.以下收敛保持不变- VnTMT=0=VnTMT>0→ VPTMT>0≥ f1MT>0，Q- a、序列VnT- 十、- VnTMT=0=（Hn·S）T- VnTMT>0在setK中- L+（在Q下）和从下到下的统一边界-x、因为（Q，S）-市场满足NFLVR条件，所以设置K-L+是Fatou闭的（见Delbaen和Schachermayer（1994）推论1.2后的注释），我们得到VPTMT>0- 十、∈ K-L+或x≥ SPQ+（f1MT>0）。换句话说，SPP+（f）≥ SPQ+（f1MT>0）。（3）从（2）和（3）中，公关工作已经完成。4.2基于可预测停车时间的施工在本节中，我们将第4.1节的施工应用于可预测停车时间。和前面一样，我们考虑空间（Ohm, F、（F）t≥0).设σ为停止时间，使得Q（σ>T）>0。

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2022-5-5 07:28:55

我们定义了一个新的概率测度，相对于Q绝对连续，bydPdQFt=Q[σ>T | Ft]Q[σ>T]：=Mt.（4）在新的度量下，P（σ>T）=EQ（Mtσ>T）=1。这种结构有以下经济解释。考虑事件（E），如公司或主权国家违约，其发生以停止时间σ为特征。给定一个计划期，我们对这个事件（E）在计划期之前的发生感兴趣。假设市场代理人对未来情景的可能性有共同的估计，这与无套利概率测度Q相对应，并且在这种概率下，事件（E）在计划期之前和之后都具有非零概率。现在考虑一位知情的经济代理人，他相信事件（E）不会在计划期之前发生。例如，代理人可能认为，在潜在违约的情况下，相关公司或州将获得救助。然后，我们的知情公司可能想要构造一个n替代模型P，在该模型中，由于错误定价而产生的套利机会可能会被利用，套利策略可能会以严格的方式构造。下面的推论提供了一种构建此类amodel的方法。推论4.3。假设以下条件成立o风险资产过程S是一个局部有界se鞅，在Q下满足NFLVR。o过滤F是准左连续的。oσ是一个可预测的停止时间，因此对于y停止时间θ，等式[1σ>T | Fθ]>0，Q- a、关于{σ>θ}。对我们的套利结构的“知情代理”解释暗示了可能与潜在融资比率扩大所产生的套利机会研究有关的联系，以及其他信息，参见例如Fontana等人（2012年）；Imkeller等人（2001年）。

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2022-5-5 07:28:58

对这些联系的详细研究有待进一步研究。然后是（P，S）-市场。给出了一个f≥0，我们假设spp+（f）=SPQ+（f1σ>T）。此外，ifSPQ+（1σ>T）=sup\'Q∈ELMM（Q，S）E\'Q[1σ>T]<1，则（P，S）-市场允许最优套利。证据在检查M上的条件（1）后，这个结果将从定理4.1中得到。设τ=inf{t>0:Mt=0}。通过构造，{σ}上的Mσ=0≤ T}和Mt>0表示T<σ。这意味着τ=（σ，σ≤ T+∞, 否则由于过滤F是准左连续的，σ是一个可预测的停止时间，M不会在σ处跳跃（见Protter（2003），第190页）。这意味着t hatq[{τ≤ T}∩ {Mτ-> 0}]=0且条件（1）满足。5个示例5。1一个完整的市场例子让wqq是布朗运动，让F是它的完全自然过滤。我们假设风险资产的价格演变如下：St=1+wqt，并通过σ=inf{t>0:St定义一个可预测的停止时间≤ 0}. 利用布朗运动极限定律，我们得到Q[σ>T]=Q[（WQ）*T>-1] = 1 -2N-√T> 0，其中N表示标准正态分布函数。接下来，根据马尔可夫性质，我们计算Q[1σ>T | Ft]=Q[（WQ）*T>-1 | Ft]=（σ上为0≤ t1- 2N-圣√T-T> 因此，在{τ>t}上，我们得到等式[1σ>t | Ft]>0。这意味着第4.2节的构造适用，我们可以通过（4）定义一个新的度量值P。由于（Q，S）-市场是完全的，且ELMM（Q，S）={Q}，因此权利要求1的超边际价格σ>TisQ[σ>T]=1- 2N-√T< 1，这意味着P-市场允许最优套利。将It^o公式应用于（5），我们得到鞅表示：EQ[1σ>T | Ft]=Q[σ>T]+rπσ∧tZ√T- 东南方-Ss2（T）-s） DWQ。（6）因此，Ht=rπ√T- te-St2（T）-t） t≤σ是最优套利策略，即1σ>Tinthe（Q，S）-市场的套期保值策略，以及（P，S）-市场中1的套期保值策略。现在我们来计算S在P下的动力学。

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kedemingshi

2022-5-5 07:29:01

根据Girsanov定理（参见Protter（2003）第136页的定理41），WPt=WQt-Q[σ>T]√2πσ∧tZMse-Ss2（T）-（s）√T- SDS是一个P-布朗运动。因此，P下S的动力学由T=1+WPt+Q[σ>T]给出√2πσ∧tZe-Ss2（T）-s） Ms√T- sds（7）=1+WPt+rπσ∧tZ1- 2N-党卫军√T-sE-Ss2（T）-（s）√T- sds（8）现在，让我们从Guasoni和R\'asonyi（2012）的角度讨论这个例子中套利的脆弱性和鲁棒性。利用可预测停止时间σ=inf{t>0:St构造的最优套利模型≤ 0}是脆弱的。实际上，从（7）我们可以写出Xt:=log Stas followsdXt=e的动力学-XtdWPt+Q[σ>T]√2πe-XtMte-St2（T）-（t）√T- T-E-2Xtdt（9）由于在（9）中，漂移是局部有界的，波动是连续的和非奇异的，根据Guasoni和R\'asonyi（2012）的定理2，我们得出结论，套利是脆弱的：对于任何ε>0的情况，我们可以找到一个过程，该过程采用了一个等价的人工测度，并满足1- ε ≤eS（t）S（t）≤ 1+εa.s.对于所有t∈ [0，T]。然而，我们可以稍微修改停止时间σ来构造一个不被上述价格过程的小扰动破坏的轨道。更准确地说，我们选择可预测的停止时间σ作为St到达正斜率直线的第一时间，即σ=inf{t≥ 0:St≤ α大于0的αt}。根据Jeanblanc等人（2009）的命题3.2.1.1，Q[σ>T]=Qinf0≤T≤T（WQt）-αt）>-1.= N1.- αT√T-e2αN-1.- αT√T∈ （0,1），我们可以通过（4）定义一个允许最优套利的测度P。很容易看出，ST>αT，P-a.s.这允许构造一个简单的买入和持有套利策略如果αT>1，在开始时购买一个单位的S，并保持到T。这种策略产生了αt的收益- 概率为1如果αT≤ 1，引入停止时间σ=inf{t>0:St=αt}。如果σ≤T、在σ处购买一个单位的S，并保持到T。否则，什么都不要做。

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2022-5-5 07:29:04

很容易看出P[σ≤ T/2]=Q[σ≤ T/2，σ>T]>0，这意味着该策略产生的概率大于αtwith正概率。这种策略是Bender（2012）意义上的一种简单而明显的套利，这意味着它是稳健而不脆弱的（见第2节末尾的讨论）。在这种情况下，我们将计算对数S的动力学，并与Guasoni和R’asonyi（2012）的结果进行比较。根据马尔可夫性质和带漂移布朗运动的极限定律，我们计算了条件概率yEq[1σ>T | Ft]=（0，如果σ≤ tN圣-αT√T-T-e2α（St-αt）N-St+2αt-αT√T-T如果σ>t，则表示y=St-αT√T- t、 Yt=-St+2αt- αT√T- 并应用It^o公式，我们得到了条件律σ<t:dEQ[1σ>t | Ft]的动力学=√2πe-（Yt）√T- t+e2α（St-αt）√2πe-（Yt）√T- T- N（Yt）2αe2α（St-αt）dWQt和Mt:dMt=Q[σ>T]的动力学√2πe-（Yt）√T- t+e2α（St-αt）√2πe-（Yt）√T- T- N（Yt）2αe2α（St-αt）dWQt。根据Girsanov定理，dWPt=dWQt-MtQ[σ>T]√2πe-（Yt）√T- t+e2α（St-αt）√2πe-（Yt）√T- T- N（Yt）2αe2α（St-αt）dt是一个P-布朗运动。最后，S在P isdSt=dWPt+MtQ[σ>T]下的动力学√2πe-（Yt）√T- t+e2α（St-αt）√2πe-（Yt）√T- T- N（Yt）2αe2α（St-αt）dt。再次应用It^o的公式，我们可以看到Xt=log Stsatis fies dxt=e-XtdSt-E-2Xtdt=e-XtMtQ[σ>T]√2πe-（Yt）√T- t+e2α（St-αt）√2πe-（Yt）√T- T- N（Yt）2αe2α（St-αt）dt-E-2Xtdt+e-XtdWPt。（10）（10）中的漂移可以写成（t，Xt）的函数，并且它不是局部有界的，例如，1/M在（t，log（αt））的邻域中是无界的。因此，Guasoni和R\'asonyi（2012）的结果出现了问题。5.2基于泊松过程的稳健套利确保ar bitr年龄对小扰动的稳健的另一种方法是将跳跃引入价格过程动态。设N为Q下的标准泊松过程，并假设F=FN，这是一个拟连续的函数。

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2022-5-5 07:29:07

那么St=1+Nt-t是Q-鞅。我们定义了可预测的停止时间τ=inf{t>0:St≤ 0}和一个新的概率测度P<< Q通过dP | Ft=St∧τdQ | Ft.（P，S）-市场允许在T>1的情况下进行最佳套利，因为在这种情况下，SPQ（1ST>0）=Q[ST>0]<1。在这里，与本节的第一个示例或Guasoni和R\'asonyi（2012）中讨论的贝塞尔过程示例不同，我们可以证明ar比特R年龄并不脆弱。实际上，我们定义了一个真正的参数ε>0，构造了一个简单的购买，并持有如下的rbitrage策略：o如果S跳到[0，ε]，那么我们什么也不做。o如果S不在[0，ε]上跳跃，我们在ε处购买一个单位的S，并将其保持到S的第一次跳跃时间。假设T>1，过程N必须在T之前跳跃，因为St>0，Pa.S。这意味着该策略以正概率产生比ε更大的收益。因此，这是Bender（2012）的观点中一个简单而明显的套利，因此它并不脆弱（见第2节末尾的讨论）。5.3对不完全市场的扩展假设S是一个非负Q局部鞅，从1开始只有正跳跃。假设推论4.3中的条件已满足。准左连续性的要求没有那么严格，例如，列维过程的自然完成过滤是准左连续过滤（见Protter（2003）第148页练习8）。设a为正数，使得aT/2>1，并通过σ=inf{t>0:St定义可预测的停止时间≤ 至少。度量P由DPDQ定义Ft=Q[σ>T |Ft]Q[σ>T]。从经济学的角度来看，这意味着资产价格将保持在αt线以上。

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2022-5-5 07:29:11

然后，对于任何等价的局部鞅测度\'Q，使得S是非负的\'Q局部鞅，我们有\'Q[σ≤ [T]≥\'Q[ST/2≤ aT/2]=1-\'Q[ST/2>aT/2]≥ 1.-E\'Q[ST/2]aT/2≥ 1.-两点钟。超边际价格为SPQ（1σ>T）=sup\'Q\'Q[σ>T]≤aT/2<1。因此，（P，S）-市场允许最优套利。由于ST>aT>2，P-a、对于s.5.4 a变量的小扰动，套利e的存在是鲁棒的：从泡泡集s建立一个套利，它是一个非负Q局部鞅，没有正跳，满足s=1，并且≤ ε<1，t的Q-a.s≥ T换句话说，市场存在泡沫。我们定义σ=inf{t≥ 0:St>K}表示K>1。在这个例子中，atrader认为S的价格可能不会超过上限K。在前面的例子中，该交易者可以构建一个套利模型P，如（4）所示，前提是满足推论4.3中的条件。在任意ELMM¨Q，Sσ下∧这是一个有界的“Q”局部鞅，因此是一个“Q”鞅。所以weget1=E\'Q[Sσ∧T] =K\'Q[σ≤ T]+ST\'Q[σ>T]，因此\'Q[σ]≤ T]=1- ST\'Q[σ>T]K>1- εK.1σ>Tissup'Q的超边缘价格∈ELMM（Q，S）E\'Q[1σ>T]<1-1.- εK.5.5对资产及其波动性的联合押注t=1+ZtσSudWQu，其中WQis是布朗运动，σSis是假设连续的波动过程。让σ<σ定义停止时间如下：σ=inf{t>0:St≤ 0}，σ=inf{t>0:σSt≤ σ}, σ = σ∧ σ.假设Q[σ≤ T、 σ>T]>0，且符合第4.3条规定的条件。这种停止时间r的选择意味着S将不为0，其波动率将保持在σ以上直到时间T。

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2022-5-5 07:29:14

然后，在任何等价的局部鞅测度\'Q下，我们有\'Q[σ]≤ T]=\'Q[σ≤ T、 σ>T]+\'Q[σ≤ [T]≥\'Q[B*σT≤ -1，σ>T]+\'Q[σ≤ [T]≥\'Q[B*σT≤ -1] >0，其中B*t=inf0≤U≤B是布朗运动，比如t hattZσSudWQu=BRt（σSu）du。因为Q[σ≤ T]从下方以数量“Q[B”为界*σT≤ -1].这个量是正的，不依赖于“Q”，因为B是“Q”下的布朗运动。因此，sup“Q”Q[σ>T]有界于1之外。超级边缘价格SPQ（1σ>T）=sup‘Q‘Q[σ>T]<1.5.6 A变化：在方括号上下注示例5.5中的构造可以修改如下。设我们是一个从1开始的非负连续半鞅，并且是一个Q局部鞅。我们定义σ=inf{t>0:St≤ 0}，σ=inf{t>0[S]t≤ -a+bt}，σ=σ∧ σ、其中a，b为正常数。假设Q[σ≤ T、 σ>T]>0，且推论4.3中的条件已满。然后，在任意ELMM’Q下，我们计算’Q[σ≤ T]=\'Q[σ≤ T、 σ>T]+\'Q[σ≤ [T]≥\'Q[B*[S] T≤ -1，σ>T]+\'Q[σ≤ [T]≥\'Q[B*英国电信-A.≤ -1] >0，这意味着超边际价格SPQ（1σ>t）=sup‘Q‘Q[σ>t]<1。参考Bender，C.（2012）。简单的年龄。《应用概率年鉴》，22（5）：2067-2085。考克斯，A.M.G.和霍布森，D.（2005）。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》，9（4）：477-492。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994年）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，300（1）：463-520。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1995年a）。贝塞尔过程中的套利可能性及其与当地市场的关系。概率论与相关F i elds，102（3）：357–366。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1995年b）。存在绝对连续的本地马丁酒度量。《应用概率年鉴》，5（4）：926-945。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1995年c）。无套利房地产价格变动。

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2022-5-5 07:29:17

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