以下关系适用于φq∈ φq（0）=0，|x |- 情商-1.≤ φq（x）≤ |x |，|φ′q（x）|≤ 1，x∈ R、 |φ′q（x）|≤q | x |，当eq<|x |<eq-1和|φ′q（x）|=0，否则。Ito公式在φq（x（t）上的应用- ym（t））代表t∈ [0，t∧ θR]我们得到φq（x（t）- ym（t）|≤ 铬 +铬qeq+CRZtEφ′q（x（t）- ym（t））|x（s）- ym（s）| ds+CRZtE | x（s）- ym（s）| d此处| x（t）- ym（t）|≤ 情商-1+CR +铬qeq+CRZtE | x（s）- ym（s）| Ds应用Gronwall不等式，代入（6），然后再次代入Gronwall不等式，我们得到了期望的d结果。例如，下面的随机微分方程xt=x+Ztk（l- xs）- dxsds+σZt√XSDWS对于本次sde，我们建议对t进行以下拆分：∈ （tn，tn+1]y（0）=x，y（t）=y（tn）+Zttn-肯塔基州（s）- dy（s）ds，y（t）=y（tn+1）+Zttnklds+σZttnpy（s）dw第一个方程可以近似如下，再次用y（t）表示近似值y（t）=y（tn）+Zttn-肯塔基州（s）- dy（s）y（^s）dss，每当y（tn）>0时产生正解。第二个方程可以按照[4]的精神进行近似。4应用于Ait-Sahalia模型在上一节中，我们描述了一种通过结合分裂技术和半离散方法来构造数值格式的新技术。当数值格式满足一些经典假设时，我们证明了一个收敛性结果。下面我们将使用这种技术为Ait-Sahalia模型构造一个显式的、保持正性的数值格式，该模型如下，xt=x+Ztaxs- a+axs- 阿克斯ds+Ztσxρsdwsx与x∈ R+。通过使用伊藤公式，我们得到y（t）=y（0）+ZtA.- apy（s）+ay（s）- ayr+1（s）+σyρ（s）ds+Zt2σyρ+1（s）dwsWe假设r+1>2ρ。

然后，我们将a和s分开，引入一个自由参数a>0，y（0）=xy（t）=y（tn）+Zttn是(s)- 亚太区（s）ds，（7）y（t）=y（tn+1）+Zttna+（a）- a） y(s)-ayr+1（s）+σyρ（s）ds+Zttn2σyρ+1（s）dws（8）很容易验证方程（7）在每个区间中至少有一个解，其中一个是下面的（t）=aa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）无论何时y（tn）都是正的且处于良好姿势≥ 我们可以使用半离散方法来近似方程（8），即y（t）=y（tn+1）+Zttna+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-当y（tn+1）时，1（^s）dws具有正且已知强解≥ 我们再次用y（t）表示（8）的近似值。稍后我们将使用以下形式的y，y，表示t∈ （tn，tn+1），y（t）=y（tn）+ztntntn-1a+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+ZTNTNT-12σy（s）yρ-1（^s）dws+Zttnay（s）- 亚太区（s）ds，y（t）=y（tn）+Zttn是(s)- apy（s）+a+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1天（s）- apy（s）ds1如果r+1>2ρ，那么我们有以下力矩界，对于 < 1如果a=ln，E（|y（t）|p+|y（t）|p）<∞证据设τR=inf{t∈ [0，T]：|y（T）|>R}。

注意y（t∧ τR）对所有ω也是一致有界的∈ Ohm.我们可以写∧ τR）=y（0）+Zt∧τR（a）- apy（s）+ay（s）+y（s）A.- a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1∧τRt∧τ射线- apy(s)双丁(t)∧ τR）≤ y（0）+Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1∧τRtn∧τ射线（s）dsLet us估计值ztn+1∧τRtn∧τ射线ds=aZtn+1∧τRtn∧τRaa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）ds=aZtn+1∧τRtn∧τRaa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）+2aa（py（tn）-aa）ea（t-tn）≤ C+Ztn+1∧τRtn∧τRa（py（tn）-aa）ea（t-tn）+2aaa+a（py（tn）-aa）ea（t-tn）ds=C+Ztn+1∧τRtn∧τRa（py（tn）-aa）ea（t-tn）≤ C+3a2EAA+Ztn+1∧τRtn∧τ射线（tn）ea（t）-tn）ds≤ C+y（总氮）∧ τR）（ea）- 1） 因此（t∧ τR）≤ C+y（总氮）∧ τR）（ea）- 1） +Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-1（^s）由v（s）注释∧ τR）以下Ito过程，v（s∧ τR）=C+y（tn∧τR）（ea）- 1） +Zt∧τR（a+ay（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τR2σy（s）yρ-我们看到了∧τR）≤ v（s）∧τR）。

我们将证明tv（s）有基础的pth矩，因此t也有基础的pth矩。伊藤公式在vp（t）上的应用∧ τR）我们得到了vp（t）∧ τR）=（C+y（tn∧ τR）（ea）- 1） ）p+Zt∧τRpvp-1.a+y（s）+y（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zt∧τRp（p- 1） 4σy（s）vp-2（s）yρ-1（^s）ds+Zt∧τRp2σy（s）vp-1（s）yρ-1.我们的期望值∧ τR）≤ E（C+y）（总氮）∧ τR）（ea）- 1） ）p+Zt∧τR（C+CEvp（s）+paEy（s）vp-1（s）ds+Zt∧τRpEvp（s）a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）+p（p- 1） 4σyρ-1（^s）我们假设r+1>2ρ，所以存在一些与ω无关的常数C， 这样a+σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）+p（p- 1） 4σyρ-1（^s）≤ CWe现在将使用不等式（a+b）p来估计该项≤ 2p-1ap+2p-1bb，E（C+y）tn∧ τR）（ea）- 1） ）p≤ C+p（ea）- 1） 佩普（田纳西州）∧τR）此外，以下术语vp-1（s）=Eaa+（py（^s）-aa）ea（t-tn）副总裁-1(s)≤ C+C sup0≤L≤综合以上结果，我们得到了∧ τR）≤ C+p（ea）- 1） pEvp（田纳西州）∧ τR）+CZt∧τREvp（s）+sup0≤L≤sEvp（l）dsNext settingu（s）=sup0≤L≤我们可以写-p（ea）- 1） p）u（t）≤ C+Zt∧τRCu（s）dsn现在是相应地选择自由参数a so asp（ea）的时候了- 1） p<1选择a=Ln我们很容易看出上述不等式对e非常适用 < 1.很明显，如果我们使用较小的 然后我们可以选择更大的a，这样相应的常数就会更小。利用Gronwall不等式和Fatou引理，我们得到了结果。不幸的是，我们不能直接使用我们的定理1来得到期望的结果，因此我们将进行不同的讨论。定理2如果r+1>2ρthenE | y（t）- y（t）|≤ 铬 +对于任何R>0的情况，都是CRR。因此，对于每一个ε>0，我们将R乘以，使得cr<ε，然后对于较小的值我们有E | y（t）- y（t）|≤ ε证明。

近似解y（t）如下所示，y（t）=x+Zt（a- apy（s）+（a）- a） y（s）+ay（s）- 是（s）年-1（^s）+σy（s）yρ-1（^s）ds+Zt2σy（s）yρ-1（^s）dws+Ztn+1天（s）- apy（s）dsSetv（t）=x+Zt（a）- apy（s）+（a）- a） y（s）+ay（s）- 是（s）年-1（^s）+σy（s）yρ-1（^s）ds+Zt2σy（s）yρ-1（^s）dws因此，E |y（t）- v（t）|p≤ C因此v（t）也有有界矩。差异y（t）- v（t）是一个愚蠢的人（t）-v（t）=Zta（py（s）-py（s））+（a- a） (s)- y（s））+a（s）- 年+年-1（^s）- yr+1（s）+σ（yρ（s）- y（s）yρ-1（^s））ds+Zt2σ（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s）在（y（t）上应用伊藤公式- v（t）和设置g（t）=a（py（s）-py（s））+（a- a） (s)- y（s））+a（s）- 年+年-1（^s）- yr+1（s））+σ（yρ（s）- y（s）yρ-1（^s））我们得到（y（t）- v（t））=EZt2（y（t）- y（t））g（s）+2（y（t）- v（t））g（s）+4σ（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s）d然后，很明显2e（y（t）- v（t））g（s）≤ C使用y，y的矩界。接下来我们将估计term2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））=2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））+2aE（y（t）- y（t））（py（s）-(s)≤ 2aE（y（t）- y（t））（py（s）-py（s））这里我们使用了h（x）=-√x是一个递减函数。利用Holder不等式和y，y，y有界矩的事实，我们得到（y（t）- y（t））（py（s）-(s)≤pE | y（t）- y（t）| pE | y（s）- y（s）|≤ CpE | y（s）- 因此，仍需对术语进行评估- y（s）|≤ E | y（| s）- y（s）|+E|y（s）- y（~s）|≤ E | y（| s）- y（s）|+E | y（| s）- y（^s）|+E（|y（^s）- y(s)|≤ C√现在我们将估算2e（y（t）- y（t））（a）- a） (s)- y（s））+a（s）- y（s））= 2aE（y（t）- y（t））+2aE（y（t）-y（t））（y（t）- y（t））≤ 行政长官（y（t）- y（t））+C√术语2e（y（t）- 年-1（^s）- yr+1（s））=2aE（y（t）- y（t））（年+1（s）- yr+1（s））+2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））≤ C + 2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））使用h（x）=- xr+1是一个递减函数。

But2aE（y（t）- y（t）y（s）（年）-1（^s）- 你-1（s））=2aE（y（t）- y（t））年+1（^s）- 年+1（s）+ 2aE（y（t）- y（t））（y（s）- y（^s））年-1（^s）自Eyr以来-1（t）<∞ 我们可以使用中值定理得出以下估计，E（y（t）- 年-1（^s）- 年+1（s））≤ C√术语2e（y（t）- y（t））（yρ（t）- yρ（t））=2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）利用中值定理，对于一些位于y（t），y（t）之间的h（t）。对于任何R>0,2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）=2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}+2（ρ- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）≤R}≤ CRE | y（t）- y（t）|+2（ρ）- 1） E（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}利用霍尔德的线质量，我们推导出e（y（t）- y（t））hρ-1（t）I{hρ-1（t）>R}≤pE（y（t）- y（t））h2ρ-2（t）qEI{hρ-1（t）>R}利用y，y，h和马尔可夫不等式的模界，我们得到以下估计，2E（y（t）- y（t））（yρ（t）- yρ（t））≤ CRE | y（t）- y（t）|+cr4项同样适用于4σE（yρ+1（s）- y（s）yρ-1（^s））因此我们得出结论E（y（t）- v（t））≤铬+碳√ + 中兴通讯(东)- v（s））dS，并利用Gronwall不等式得出期望的结果。现在很容易看出e | y（t）- y（t）|≤ CE | y（t）- v（t）|+CE | y（t）- v（t）|→ 0作为 → 如果r+1>2ρ，我们就有了这个lim→0E | py（t）-py（t）|=0证明。

利用Holder不等式和E | py（t）近似的非负性-py（t）|=E | y（t）- y（t）|（py（t）+py（t））≤pE | y（t）- y（t）| sE | y（t）+y（t）| Ey（t）从[19]中回顾，真解的反矩是有界的，我们总结了我们的证明。在实践中，我们将用一个稍微不同的近似值来近似等式（8），即y（t）=y（tn+1）+a +中兴通讯(s)σyρ-1（^s）- 艾尔-1（^s）ds+Zttn2σy（s）yρ-1（^s）转换后的Ait Sahalia mo de l的数值格式为followsy=x，yn+1=A. +aa+(√伊恩-aa）eaE-（σyρ）-1n+ayr-1n）+2σyρ-1nAit Sahalia模型的近似值为xn=√伊恩。5总结与评论在本文中，我们将s emi discr-ete方法与分步法相结合，对其进行了扩展。一般来说，我们可以将随机微分方程拆分为m方程（通过拆分漂移项），然后在每个方程中应用任何近似方法。

这种新技术的目的是使得到的数值格式具有边界保留性。例如，考虑以下Ait Sahalia类型模型，xt=x+Ztaxs- A.- B√xs- bxs- bln（1+xs）+axs- 阿克斯ds+Ztσxρsdws。利用变换yt=XT，我们得到了yt的下列微分方程，yt=y+ZtA.- A.√Y- 比斯- 比斯- B√ysln（1+ys）+ays- ayr+1s+σyρsds+Zt2σyρ+1sdw我们提出了以下狭缝步骤，并结合半离散技术数值格式，用于t∈ （tn，tn+1]y（0）=x，y（t）=y（tn）- bZttnpy（s）ln（1+y（tn））ds，y（t）=y（tn+1）- bZttny（s）y（tn）ds，y（t）=y（tn+1）- bZttny（s）ds，y（t）=y（tn+1）+ZTTNY（s）- apy（s）ds，y（t）=y（tn+1）+a +中兴通讯(s)- 艾尔-1（tn）+σyρ-1（tn）ds+Zttn2σyρ-1（tn）y（s）dws这些决议是=py（tn）-bln（1+y（tn））（t- tn）,y（t）=y（tn+1）e-按（tn）（t）-tn），y（t）=py（总氮+1）- 英国电信- tn,y（t）=aa+（py（tn）-aa）ea（t-tn）,y（t）=（y（tn+1）+a)E-（σyρ）-1（tn）+ayr-1（tn））+2σyρ-1（tn）这种分裂半离散技术的使用产生了一种保正的显式数值格式。另一个明显的推广是，我们也可以对时间变量进行半离散化。例如，我们可以假设如下假设，假设C假设函数fifor i=1。。。，m满足以下局部lipschitz条件，|fi（t，t，x，x，x）- fi（t，t，x，x）|≤ CR（| t- t | b+| x- x |+| x- x |+| x- x |），i=2。。。，m | fm+1（t，t，x，x）- fm+1（t，t，x，x）|≤ CR（| t- t | b+| x- x |+| x- x |+| x- 代表|x |，|x |，|x |，|x |，|x |≤ R、 为了t，t∈ [0，T]，对于一些∈ 对于某些b，b>0。通过这种推广，我们可以处理参数随时间变化的问题（见[3]）。也有可能拆分分歧术语。例如，如果a+…+am=a和B+。。。

+bl=b，然后是t∈ （tn，tn+1），ym（0）=x，y（t）=ym（tn）+Zttna（s，y（s））ds，。。。yi（t）=yi-1（tn+1）+Zttnai（s，yi（s））ds+Zttnb（s，yi（s））dws，。。。yj（t）=yj-1（tn+1）+Zttnaj（s，yj（s））ds，。。。ym（t）=ym（tn+1）+Zttnam（s，y（s））ds+zttnl（s，ym（s））dwswwhere i，j∈ {1，…，m}。一般的想法是，如果我们想用域D中的值构造一个数值格式，那么我们可以相应地拆分，比如y∈ D、 只要初始值（fory）是D，y∈ d无论初始值是否以绝对ym为单位∈ 当Ym的初始值为Dm时-1.为了近似上述任何没有扩散项的方程，我们可以使用任何合适的数值格式和任何半离散近似。对于第一个随机微分方程（在我们的设置中是i-方程）也是如此，但要近似任何其他随机微分方程（即带有一个微分项），我们应该完全离散相应的DE，即我们不能使用半离散方法。如果我们想要产生一个边界保留的数值格式，那么这些SDE（我们应该完全分解）可以用平衡Dmilstein方法近似（见[14]、[15]、[16]和[2]）。一个有趣的问题（我们在本文中没有回答）是半离散方法产生的显式数值格式的收敛速度。在[11]、[12]、[13]中，作者研究了各种数值格式的收敛速度，似乎这些技术也适用于半离散格式。参考文献[1]Y.Ait Sahalia，即期利率的连续时间模型测试，修订版。财务部。螺柱。9（2）385-426，（1996）[2]C.E.Dange r field-D.Kay-S.MacNamara-K。

Burrage，《带突变的Wright Fisher模型的保边界数值算法》，BIT数值数学，第52卷，第2期，第283-304页，（2012）[3]Halidias Nikolaos，《随机微分方程的半离散逼近与应用》，国际计算机杂志。数学89，No.6，780-794，（2 012）[4]Halidias Nikolas，构造随机微分方程数值方法的新方法，数值算法，Springer，（6），79-87，（2014）[5]Halidias Nikolas，多维随机微分方程的保正数值格式的构造，离散和连续动力系统系列B，20，153 160，（2015）[6]Halidias Nikolaos，一种新的CIR过程数值格式，蒙特卡罗方法和应用，第21卷，第3版，第245-253页，（2015）[7]Halidias Nikolaos，一种用于均值回复CEV模型的显式和保正的数值格式，日本工业出版社。阿普尔。数学32，545-552（2015）[8]Halidias Nikolaos，为双因素CIR模型构造保正数值格式，蒙特卡罗方法应用。21，No.4，313-323（2015）[9]N.Halidias-I.Stamatiou，明确逼近mea N-回复CEV过程，概率与统计学杂志，2015年第卷[10]N.Halidias-I.Stamatiou，关于使用半离散方法的一些非线性随机微分方程的数值解，《应用数学中的计算方法》，Vo lume 16，第1期，第105-132页，（2016）[11]M.Hutzenthaler-A.Jentzen-M.Noll，Cox-Ingersoll-Ross过程和具有可访问边界的Bessel过程的强收敛速度和时间正则性，arXiv:1403.6385[12]M.Hutzenthaler-A。

Jentzen，具有非全局Lipschitz连续系数的随机微分方程的数值逼近，美国数学社会回忆录，第236卷，第1112号，（2015）[13]A.Jentzen-T.M¨uller Gronbach-L.Yaroslavtseva，关于s-trong逼近具有任意缓慢收敛速度的随机微分方程，arXiv:1506.02828[14]C.Kahl-H.Schurz，普通SDE的平衡Milstein方法，蒙特卡罗方法和应用，第12卷，第2版，第143-170页，（2006）[15]G.N.Milstein-E.Platen-H.Schurz，Stiff-Stoc系统的平衡隐式方法，暹罗数值分析杂志第35卷，第3期，第1010-1019页，（1998）[16]G.N.Milstein-M.Tretyakov，数学物理的随机数值学，Springer，（2004）[17]E.Moro-H.Schurz，随机微分方程的保边界半解析数值算法，SIAM J.Sci。计算机。29 1525-1549（20 07）[18]A.Neuenkirch-L.Szpruch，adomain中具有值的标量SDE的一阶强近似，Numerische Mathematik，卷12 8，第1期，第103-136页，（2014）[19]L.Szpruch-X.Mao-D.Higham-J.Pan，强非线性AitSahalia型利率模型的数值模拟，比特数。数学51，第405-42 5页（2011年）