加速股份回购：定价与执行策略

nandehutu2022

2443

收藏 2022-05-05

英文标题：
《Accelerated Share Repurchase: pricing and execution strategy》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Jiang Pu, Guillaume Royer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In this article, we consider the optimal execution problem associated to accelerated share repurchase contracts. When firms want to repurchase their own shares, they often enter such a contract with a bank. The bank buys the shares for the firm and is paid the average market price over the execution period, the length of the period being decided upon by the bank during the buying process. Mathematically, the problem is new and related to both option pricing (Asian and Bermudan options) and optimal execution. We provide a model, along with associated numerical methods, to determine the optimal stopping time and the optimal buying strategy of the bank.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑与加速股份回购合同相关的最优执行问题。当公司想要回购自己的股份时，他们通常会与银行签订这样的合同。银行为公司购买股票，并按照执行期内的平均市场价格支付，期限由银行在购买过程中决定。从数学上讲，这个问题是新的，与期权定价（亚洲和百慕大期权）和最优执行有关。我们提供了一个模型，以及相关的数值方法，以确定银行的最佳停止时间和最佳购买策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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可人4

2022-5-5 07:37:18

加速股份回购：定价与执行策略*Olivier Guéant+Jiang PuGuillaume Royer§摘要在本文中，我们考虑与加速股份回购合同相关的最优执行问题。当企业想要回购自己的股份时，他们通常会与银行签订这样的合同。银行为公司购买野兔，并在执行期间以平均市价支付，期间长度由银行在购买过程中决定。从数学上讲，这个问题是新的，与期权定价（亚洲和百慕大期权）和最优执行有关。我们提供了一个模型，以及相关的数值方法，以确定银行的最佳停止时间和最佳购买策略。关键词：最优执行，ASR合同，最优停止，随机最优控制，效用差异定价。1简介关于最优执行的数学文献通常涉及执行成本和价格风险之间的权衡。价格风险可以根据不同的基准价格来衡量：如果是实施短缺（IS）订单，则为到货价格；如果是目标成交（TC）订单，则为当日收盘价格；如果是VWAP订单，则为给定时间段内的VWAP。在所有这些情况下，基准的定义（尽管不是其价值）都是事先知道的。然而，对于非常大的订单，尤其是当一家公司想要（重新）购买自己的股份时，通常会考虑一个基准价格，即一个时期内的平均价格*这项研究是在欧洲金融研究所支持下的研究倡议“最佳执行情况统计”的支持下进行的。

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mingdashike22

2022-5-5 07:37:21

作者要感谢罗伯特·阿尔姆格伦（量化经纪人）、尼古拉斯·格兰查姆·德劳克斯（汇丰法国）、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CFM）、特里·莱昂斯（牛津人）、拉姆齐·马格里比（汇丰法国）、胡延·范（巴黎迪德罗大学）、克里斯·罗杰斯（剑桥）和马修·罗森鲍姆（UPMC）对该主题的讨论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。fr——欧洲金融研究所。研究倡议“最佳执行和流动性统计”，蒋。聚氨基甲酸酯。2009@m4x.org§CMAP，巴黎理工学院，纪尧姆。royer@polytechnique.edu.period这是在执行过程中决定的。更准确地说，在加速股份回购合同的情况下，或者更确切地说，在支付后的固定名义加速股份回购（以下简称ASR）的情况下，银行必须在一组预先确定的日期中，在银行在执行过程中选择的行权日τ交付固定Q股。然后，作为股份交换，公司在τ日向银行支付每日VWAP价格[0，τ]期间的算术平均值。因此，ASR是一种亚洲类型的选项，带有Bermud a型锻炼日期。此外，由于交付数量通常很大，我们需要考虑市场影响和执行成本。因此，我们考虑的问题既是一个期权定价问题，也是一个最优执行问题。Rogersand Singh[17]以及Li和Almgren[16]主要考虑了期权定价和执行成本套期保值。

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何人来此

2022-5-5 07:37:25

在他们的背景下，与关于交易成本的文献（例如参见[5,6,7,15]）相反，并与关于最优清算的文献（参见Almgren和Chriss[2]的开创性论文以及最近的两篇论文[9,18]）一致，作者认为，执行成本在执行量上不是线性的（与之成比例），而是严格凸的，以考虑流动性影响。罗杰斯和辛格考虑了一个惩罚执行成本和到期时均方误差的目标函数。在这个接近均值-方差的框架下，当非流动性成本为sm时，他们得到了最优套期保值策略的近似值。李安达格伦受最近在五只美国股票上观察到的锯齿模式（见[13,14]）的激励，认为这是一个具有永久和暂时影响的模型。在他们的模型中，他们假设执行成本是二次的，并考虑常数Γ近似。使用一个不同的目标函数，他们得到了对冲策略的封闭形式表达式。这两份文件都不考虑实物结算，而是现金结算，因此忽略了部分成本。此外，他们只考虑欧洲的回报，因此我们的问题更加复杂。在最近的一份工作文件中，Jaimungal等人[12]提出了一个加速股份回购合同的模型。有趣的是，他们设法将问题简化为3变量的PDE5，而初始问题是在维度5中。然后对他们得到的偏微分方程进行数值求解。我们的模型在很多方面与他们的模型不同。第一个重要差异与市场影响模型有关：在[12]中，作者只考虑了二次执行成本的情况，而我们提出了一个具有市场影响函数一般假设的模型，包括临时市场影响和永久市场影响。

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大多数88

2022-5-5 07:37:29

另一个重要点是，他们的模型考虑了具有库存惩罚的风险中性代理的情况，而我们的模型更一般，因为我们在基于效用的框架中考虑了风险规避代理，从而允许差异定价。在我们提出的框架中，我们还设法将与问题相关的5变量Bellman方程简化为3变量方程，可以使用经典工具进行数值求解。我们的模型也不同于[12]中提出的模型，因为作者使用了一个连续模型，并用全球TWAP代替了每日VWAP价格的离散平均值。因此，我们避免了连续时间导致的计算困难（参见[12]中提到的数值问题）。在我们的离散时间模型中，我们考虑到，根据支付的定义，价格的日变化最近，Guéant和Pu[11]还提出了一种方法，在基于公用事业的框架中，在对市场影响的一般假设下，对普通期权进行定价和对冲。他们特别考虑了实际定居。以及自成立以来与每日VWAP价格算术平均值相关的支付。最后，一个微小的差异是，他们将其模型限制为ASR的一个变体，银行可以随时进行锻炼，而我们考虑的是百慕大锻炼日期的更现实的情况。在第二节中，我们介绍了模型的基本假设和第5维度中的贝尔曼方程。在第三节中，我们将展示如何从5个变量的贝尔曼方程到3个变量的方程。在第4节中，我们将介绍永久性市场影响。

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能者818

2022-5-5 07:37:33

在第5节中，我们开发了一种数值方法，用多项式大小的树来计算问题的解，并给出了数值例子。2模型的设置我们考虑的问题是银行被企业要求通过加速股份回购（ASR）成熟度合同回购0%以上的企业股份的问题。根据合同的定义，银行将在[0，T]的asub期限内购买该公司的股份，并可在合同规定的日期交付。交付时，公司收到股票，并支付Q股自成立以来的每日平均VWAP。2.1问题公式我们考虑一个离散模型，其中每个时间段对应一天（长度δt）。换句话说，如果间隔[0，T]对应于N天（T=NδT），我们认为子划分（tn）为0≤N≤n为tn=nδt，为了简单起见，我们用n索引变量。为了引入随机变量，我们考虑了一个过滤概率空间Ohm, （Fn）0≤N≤N、 P满足通常的要求。为了建模价格，我们从初始价格开始，我们认为价格的动态（在没有市场影响的情况下）由以下公式给出：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1，其中n+1是Fn+1-可测量的，其中（n）被认为是i.i.d。

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能者818

2022-5-5 07:37:36

均值为0，方差为1，矩母函数定义在R+上。为了坚持对加速股份回购合同支付的定义，我们认为≥ 1、SNI是该期间的每日VWAP[tn-1，tn]，这个VWAP在tn时已知。我们还介绍了过程（An）n≥1代表[0，tn]期间每日Vwaps的算术平均值：An=nnXk=1Sk。我们还可以考虑SNI是第n天的收盘价，然后用d天收盘价的平均值来近似A的支付。为了购买股票，我们假设银行每天都会发送一份当天执行的订单。bank在[tn，tn+1]上发送的命令的大小被表示为vnδt，其中假设过程v是自适应的。因此，在时间tn（表示为qn）时仍需购买的股份数量验证：（q=Qqn+1=qn）- vnδt，N≤ N- 银行为收购[tn，tn+1]股份支付的价格假定为VWAPprice Sn+1执行成本。为了模拟执行成本，我们引入了一个函数L∈C（R，R+）验证g:oL（0）=0，oL是一个偶数函数，oL在R+上增加，oL是严格凸的，oL是渐近超线性的，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.银行支出的现金由流程（Xn）0建模≤N≤定义人：X=0Xn+1=Xn+vnSn+1δt+LVN+1Vn+1δt其中Vn+1δt是该时期的市场容量[tn，tn+1]。我们假设过程（Vn）是F-可测的。备注1。在应用中，L通常是幂函数，即L（ρ）=η|ρ| 1+φ，φ>0，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|φ，ψ>0的函数。换句话说，执行成本共享的形式为η|ρ|φ+ψ，其中ρ是参与率。Almgren等人在[3]中进行的实证研究支持了这种形式的临时市场影响函数。然后我们引入一个非空集N {1, . . .

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kedemingshi

2022-5-5 07:37:40

N- 1} 对应于银行可以选择是否将股份交付给公司的时间指数（请注意/∈ n因为银行在时间tN=T时别无选择：如果银行事先没有这样做，它将被迫在终端时间T时交货）。实际上，这个集合的形式通常是{n，…，n- 1} 其中n>1。在时间n∈ N∪{N} 在交付时，我们假设剩余待购买股份（qn) 可以购买相当于qn的现金锡+ l（qn）) 哪里l 是一个函数，假设是凸的，偶数的，在R+上增加，并验证l(0) = 0.可以设置l 在0之外足够高，以防止q与0不同时交付。考虑到Convex指示器l（q） =+∞1q6=0也是可能的。因此，银行面临的优化问题是：sup（v，n)∈AE[-经验(-γ（QAn）- Xn- qn锡- l（qn）)))] , （1）其中A是一组可接受的策略，定义为：A=n（v，n)v=（vn）0≤K≤N-1is（F）-适应，n是a（F）-停止时间取N值∪{N} OA和WHERγ是银行的绝对风险规避参数。解决这一问题需要确定银行的最佳执行策略和最佳停止时间。我们使用该效用最大化设置来确定ASR合同的差异价格。定义1（ASR合同的价格）。我们将SRC合同的差异价格∏定义为∏：=infnpsup（v，n）)∈AE[-经验(-γ（p+QAn）- Xn- qn锡- l（qn）)))] ≥ -1这正是与编写ASR合同相关的确定性等价物的相反价值。备注2。对银行而言，ASR合同的主要利益在于其期权性部分。银行可以在其选择的日期交付股份，因此可以受益于执行价格与自成立以来的平均价格之间的差异。因此，如果没有执行成本，ASR的价格∏将为负。

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可人4

2022-5-5 07:37:43

实践中的一个重要问题是了解与期权成分相关的收益是否补偿了流动性成本和合同风险，即∏是正还是负。2.2值函数和Bellman方程在本节中，我们介绍了与初始问题（1）相关的值函数，并通过相关的Bellman方程描述了其演变。也就是说，我们定义为：un（x，q，S，A）=sup（v，n)∈安-经验-γQAn，A，Sn- Xn，x，vn- qn，q，vnSn，Sn- l（qn，q，vn）)i、（2）式中，Anis是时间t定义为：An=n（v，n)v=（vk）n≤K≤N-1is（F）-适应，na（F）-停止时间取（N）中的值∪ {N} )∩{n，…，n}o，我们将在下面看到，udoes不依赖于A。这与Anis仅定义为n的事实是一致的≥ 1.状态变量定义为0时≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+k-1Xj=nvjSn，Sj+1δt+LvjVj+1！Vj+1δtqn，q，vk=q-K-1Xj=nvjδtSn，Sk=S+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，Sj+1标记3。我们可以将值函数限制为q∈ [0，Q]。很容易看出，涉及[0，q]之外的q值的策略是次优的。现在我们介绍与动力学问题（2）相关的贝尔曼方程。为此，我们引入For n>n:~un，n+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1i、（3）然后我们有：位置1。以函数族（un）0为例≤N≤由（2）定义。然后它是与之相关的贝尔曼方程的唯一解：un（x，q，S，A）=-经验(-γ（QA）- 十、-qS- l（q））如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验(-γ（QA）-十、-qS- l（q）））如果n∈ N、联合国，N+1（x，q，S，A）否则。（4）我们参考[4]来证明这个结果。备注4。

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能者818

2022-5-5 07:37:47

初始时间在这里起着特殊的作用，如n=0，An，a，Sn+1=A0，a，S=S0，S=S+σ√δt。随后，udoes不依赖于A，并写入：u（x，q，S）=supv∈热湖X0，x，v，q0，q，v，S0，S，S0，Si、 3简化为三变量方程3。1变量的变化为了降低问题的维数，我们在命题2中引入了一个变量的变化，主要包括用（标准化的）分布z:=S来写p问题-Aσ√在这之前，让我们从引理开始。引理1。一个人≤ N≤ K≤ N、如果Yk:=Yn，X，A，S，v和Y定义为asYk=- QAn，A，Sk+Xn，x，vk+qn，q，vkSn，Sk，Y=- QA+x+qS，那么我们有：Yk- Y=σ√δtK-1Xj=nqj-1.-jkQj+1-1.-nkQS- Aσ√δt+K-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt.证明。为了便于阅读，我们省略了所有的上标。一方面，我们有：Ak- A=nkA+kk-1Xj=nSj+1- A=1.-nk（S）- A） +σ√δtk-1Xj=n1.-jkj+1。另一方面，我们有：Xk- x+qkSk- qS=k-1Xj=n（qj- qj+1）Sj+1+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+qkSk- qS=k-1Xj=nqj（Sj+1- Sj）+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt=k-1Xj=nqjσ√δtj+1+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt。根据这些方程，我们得到了结果。现在我们为下一个命题介绍变量的关键变化。为了n≥ 1，q∈ [0，Q]和Z∈ R、我们定义：θn（q，Z）=inf（v，n)∈γlogE“expγσ√δtN-1Xj=nqj-1.-jnQj+1-1.-nnQZ+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)!!#!, （5）和∧θn，n+1（q，Z）=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z+ LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）!!#!. （6）结果如下：位置2。为了n≥ 1.我们对问题（2）进行了以下描述：（i）un（x，q，S，A）Verifiesun（x，q，S，A）=-经验-γ-Y- θnq、 S- Aσ√δt. （7）（ii）由θnis满足的贝尔曼方程：θn（q，Z）=l（q）如果n=n，最小值θn，n+1（q，Z），l（q）如果n∈ N、 θN，N+1（q，Z）否则。（8）证据。

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可人4

2022-5-5 07:37:51

对于（i），让我们首先注意：γlog- un（x，q，S，A）- Y=inf（v，n）)∈γlogE“expγYn- Y+l（qn，q，vn）)!!#!.利用引理1，我们计算了差异Yn- Y:Yn- Y=σ√δtN-1Xj=nqj-N- jnQj+1-N- nnQS- Aσ√δt+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt.然后γ测井(-un（x，q，S，A））- Y=inf（v，n）)∈γlogE“expγσ√δtN-1Xj=nqj-1.-jnQj+1-1.-nnQS- Aσ√δt+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)!!#!.利用θn的定义，我们得到un（x，q，S，A）=-经验-γ-Y- θnq、 S- Aσ√δt.为了证明（ii），我们首先证明了（6）中定义的θn，n+1满足以下方程：~un，n+1（x，q，S，A）=-经验-γ-Y-θn，n+1q、 S- Aσ√δt. （9）为此，我们注意到：I=γlog(-联合国，n+1（x，q，S，A））- Y=infv∈RγlogE“expγYn+1- Y+θn+1Q- vδt，Sn+1- An+1σ√δt!!#!.差异Yn+1- Y可以用引理1计算，如上所述：Yn+1- Y=σ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1S-Aσ√δt+ LVN+1Vn+1δt.差异Sn+1- An+1可直接计算：Sn+1-An+1=Sn+1-nn+1A+n+1Sn+1=nn+1σ√δts- Aσ√δt+n+1.因此，我们有i=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1S-Aσ√δt+LVN+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1s- Aσ√δt+n+1!!#!.这给出了（9）。最后，我们将方程（7）和（9）插入到（4）中，得到（8）。（θn）有界的证明，允许我们直接从（4）计算这个动态规划方程，见附录A.3.2变量变化背后的基本原理，并与[12]命题2状态进行比较。要解决的问题实际上是维度3，三维是时间、库存q和价差Z=S-Aσ√δt.尤其是，银行的购买行为仅取决于s和A到Z。有趣的是，注意到这个结果与Jaimungalet al.在[12]中获得的结果之间的联系。在不同的框架下，在[12]中获得的最优策略仅取决于比率。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:37:54

这些结果非常重要，因为它们可以减少变量的数量，从而显著提高数值方法的速度。在这两种情况下，相关变量是价格S相对于平均p大米A的相对位置。这与直觉一致：如果S低于A，则有购买股票的动机，因为在没有流动性成本的情况下，收益将是A- 最后，我们强调变量的变化是一个比率，而不是我们框架中的差异。这来自他们对对数正态价格回报的选择。他们确实考虑了一个具有年龄计量布朗运动f或S的连续时间框架，而我们选择了一个具有独立且正态分布价格增量的离散时间框架。为了找到最优清算策略和最佳停止时间，我们需要解一个递归方程来计算（q，Z）7→ （θn（q，Z））n.θn的定义服务于一个新的元素。它由三部分组成：θn（q，Z）=inf（v，n）)∈γlogE“expγσ√δtn-1Xj=nqj-1.-jnQj+1 |{z}风险项-1.-nnQZ{z}z术语+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)|{z}流动性术语！！#！。（10）风险术语对应于与支付相关的风险。如果n如果已经确定，这种风险可以通过均衡购买股票，直到= Nδt.然而，n这是一个停车时间，事前不知道。实际上，这意味着，为了对冲与收益相关的风险，策略（大致）取决于n的目标值, A根据Z的演变而变化的目标值：当S低于A时，我们希望尽早结束该过程，以从A和S之间的差异中获益，而我们预期如果S大于A，则为大。为了理解Z项，值得回顾的是，银行时间的确定性等价于QAn-Xn-qnSn-θnqn，Sn- σ√δt（这是等式（7））。

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kedemingshi

2022-5-5 07:37:57

换言之，既然银行能赚到QAn-Xn-qn如果它现在能够购买qn股票并立即交付（并行使期权），那么函数θn表示与有限的可用流动性相关的成本。对于负值Z，Z项量化了f，因为可用流动性有限，且Z的均值回复在0左右，银行将无法完全受益于S和A之间的当前差异。θ是Z的递减函数，目标交付时间n越长, θnis越小，因为Z将有时间返回到0。同样，当Zis为正时，θnis在Z中减小这一事实很简单，因为对于Z的正值，情况自然会改善，因为均值回归现象。最后两项对应于（运行）执行成本和最终流动性成本。3.3 ASR合同的最佳策略和定价在本节中，我们坚持ASR合同的价格，以及如何利用提案2的e对其进行最佳对冲。让我们回到最初的问题。银行期初的价值函数isu（0，Q，S）=supv∈热湖X0,0，v，q0，Q，v，S0，S，S0，Si=supv∈雷- 经验-γQS0，S- X0,0，v- QS0，S- θ（Q）-vδt，0）i=supv∈重新-经验-γ-LvVVδt- θ（Q）-vδt，0）.因此，银行在时间0时的功能价值不取决于价格。这使我们能够从θ中获得ASR合同差异价格的以下公式：第3项。ASR合同的差异价格由∏=γlog给出(-u（0，Q，S））=infv∈RLvVVδt+θ（Q）-vδt，0）.因此，ASR合同的定价依赖于（θn）n的递推方程（8）的求解。我们可以将上述θ的定义推广到n=0的情况。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:00

然后我们直接看到∏=θ（Q，0）。与这种差异价格相关的函数（θn）和递归方程（8）允许找到最佳策略。我们在下面的命题中描述最优策略：命题4。在时间0时，最佳策略包括发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RLvVVδt+θ（Q）-vδt，0）。在中间时间tn<T，如果银行尚未交付股份，则表示zn=Sn-σ√δt，最优策略包括以下内容：o如果n 6∈ N、发送v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtqn-Qn+1n+1-Qn+1Zn+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Zn+n+1）!!#!.o 如果n∈ N、比较θN，N+1（qn，Zn）和l（qn）。-如果θn，n+1（qn，Zn）<l（qn），然后发送一份v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtqn-Qn+1n+1-Qn+1Zn+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Zn+n+1）!!#!.– 如果l（qn）≤§θn，n+1（qn，Zn），然后在剩余的股票被购买后交付股票（假设在模型中是即时的，价格为Snqn+l4.引入永久性的市场影响4。1模型的设置在上述初始设置中，市场影响只是暂时的，归结为执行成本。在这一部分中，我们概括了前面的模型，以引入永久市场影响。为了引入永久性市场影响法案，我们需要估算ASR的收益：我们不考虑Sn+1是当天的VWAP[tn，tn+1]，而是假设它是当天的收盘价，因此A是自期权以来收盘价的平均值。这一近似值是可以接受的，并且通常由从业者在考虑ASR合同时做出。剩余待购买股份的数量仍在演变为qn+1=qn- vnδt，但其演化影响股票价格。在大多数文献中，在[2]和[8]之后，假设对价格的影响与Vnδt成正比。

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可人4

2022-5-5 07:38:03

在这里，根据市场影响的平方根定律，我们考虑一个更一般的形式，即[10]中提出的动态无套利模型的离散对应物（另请参见[1]中阿方西等人的工作）。为此，我们在负函数和递减函数F上引入一个n∈ Lloc（R+），我们写n+1=Sn+σ√δtn+1+（G（qn+1）-G（qn）），其中G（q）='Qqf（| q）-y |）dy.如果我们假设大小vnδt的顺序在区间[tn，tn+1]上均匀执行，这将导致现金账户的以下动态（见附录B）：Xn+1=Xn+Sn+1vnδt- qn（G（qn+1）-G（qn））+（F（qn+1）-F（qn））-σvnδt√′n+1，其中（（k，′k））kare i.i.d.随机变量，其动量生成函数定义为R+，E[（k，k）]=0，V[（k，k）]=√√而F（q）='Qqyf（| q-注释6。涉及F和G的术语与永久性市场影响有关，代表市场影响在订单执行过程中逐渐产生的事实。噪声项σvnδt√′n+1对应于这样一个事实，即当价格Sn+1为收盘价时，我们在一天内逐步执行，并最终执行。我们请读者参阅附录B以了解有关此模型的详细信息。在线性永久市场影响的情况下，该函数是一个常数函数。在这种情况下，影响只取决于交易量qn+1- qn=vnδtSo到目前为止，我们考虑了购买过程中的永久市场影响，但没有考虑交货时的影响。

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能者818

2022-5-5 07:38:07

为了说明交货时的原因，我们认为∈ N∪{N} ，剩余待买的野兔（qn）) 可按总消费额购买锡+ F（0）- F（qn）) + l（qn）) 哪里l 如上所述，是一个罚函数，假设为b econvex，偶数，在R+上增加，并验证l(0) = 0.银行面临的优化问题则略有不同：sup（v，n)∈AE[-经验(-γ（QAn）-Xn- qn锡- F（0）+F（qn）) -l（qn）)))] , （11） 4.2类似于一个三维问题的简化为了解决这个问题，我们如上所述在时间tn:un（x，q，S，A）=sup（v，n）引入问题的值函数)∈安- 经验- γQAn，A，Sn- Xn，x，vn-qn，q，vnSn，S，vn-F（0）+F（qn，q，vn）) - l（qn，q，vn）)i、其中状态变量定义为0≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+（F（qn，q，vk）- F（q））+k-1Xj=nvjSn，S，vj+1δt-qn，q，vjG（qn，q，vj+1）- G（qn，q，vj）+ LvjVj+1Vj+1δtqn，q，vk=q-K-1Xj=nvjδtSn，S，vk=S+G（qn，q，vk）- G（q）+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，S，vj+1与该问题相关的贝尔曼方程如下：un（x，q，S，A）=-经验(-γ（QA）- 十、-qS- F（0）+F（q）- l（q））如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验(-γ（QA）- 十、-qS- F（0）+F（q）- l（q）））, 如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，（12）式中■un，N+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，S，vn+1，An，A，Sn+1i、（13）关于保证不存在动态套利的定义的基本原理，请参见附录B。使用与第3节中使用的变量类似的变量变化，我们将问题简化为3维：位置5。

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可人4

2022-5-5 07:38:10

为了n≥ 1，un（x，q，S，A）可以写成（x，q，S，A）=-经验-γ质量保证-十、- qS+F（q）- θnq、 S- Aσ√δt, （14）其中θ由归纳定义为：θn（q，Z）=l（q） +F（0）如果n=n，最小值θn，n+1（q，Z），l（q） +F（0）如果n∈ N、 §θN，N+1（q，Z）否则，（15）带：§θN，N+1（q，Z）=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!. （16） 4.3 ASR合同的最优策略和定价在第3.3节中，我们可以从（θn）和递归方程（15）推导出ASR合同和最优策略的价格。差异价格∏隐含定义为：u（0，Q，S）=-经验(-γ (-Π)) .根据前面的计算，我们得到：位置6。在存在永久市场影响的情况下，ASR合同的间接价格∏由∏=infv给出∈RγlogE“expγ-σvδt√′- Q（G（Q-vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）！！#！=infv∈Rnγh-γvδt√- Q（G（Q-vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）o，其中h是随机变量σ的累积量母函数√δt′。p屋顶与命题2的想法相同。与此不同的价格相关，我们可以展示一个最优策略。7号提案。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:13

在时间0时，最佳策略包括发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈Rnγh-γvδt√- Q（G（Q- vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）o.在中间时间tn<t，如果银行尚未交付股份，则表示zn=Sn-σ√δt，最优策略包括以下内容：o如果n 6∈ N、发送v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!.o 如果n∈ N、比较θN，N+1（qn，Zn）和l（qn）+F（0）。-如果θn，n+1（qn，Zn）<l（qn）+F（0），然后发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!.– 如果l（qn）+F（0）≤§θn，n+1（qn，Zn），然后在剩余的股票被购买后交付股票（假设在模型中是瞬时的）。5数值方法和示例我们现在给出了在没有永久市场影响的情况下的数值方法。在这种情况下，如果我们同等地指定（n）定律，这个问题确实可以用多项式大小的树来解决。这些树不是金融中使用的大多数树方法（例如C ox-Ross-Ru-binstein模型）中的经典重组树，而是以O（N）表示的节点卷总数，其中N是时间步数。我们提出的模型是基于五项树的。利用这些树，我们进行比较静力学，以分析这些参数的作用。5.1五项树方法的描述为了获得问题的解决方案，我们需要首先为创新过程（n）选择一个特定的分布≥1.一个简单的例子是一个简单的抛硬币模型，n=±1，概率为50%-50%。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:16

为了获得更复杂的价格动态，我们考虑（n）n的以下分布≥1：n=+2有概率+1有概率0有概率-1.概率-2.概率利用Bellman方程（8）和（6），我们看到n<n的θn（q，Z）的计算需要θn+1的值·,nn+1（Z+k）为了k-in{-2.-1, 0, +1, +2}.因此，为了数值求解贝尔曼方程，我们使用了一棵树。问题是，没有任何东西可以先验地确保节点数量不会随着时间步数呈指数增长。事实上，我们将讨论节点数量的增长是如何在时间步数上是二次的而不是指数的。为了了解这一点，我们从变量的变化开始。8号提案。θnca可以写成：θn（q，Z）=Θn（q，n（Z+n-1），其中（Θn）满足递归方程：Θn（q，ζ）=l（q）如果n=n，Θn（q，ζ）=minn，n+1（q，ζ），l（q）oif n∈ N、 ΘN（q，ζ）=ΘN，N+1（q，ζ），否则，式中ΘN，N+1（q，ζ）=infq∈RγlogPj=0pjexpγσ√T（j）- 2)Q-qn+1-Qn+1ζn- （n）-1)+LQ- ~qVn+1TVn+1t+n+1（~q，ζ+nj）！！！，（17）选择d分布来匹配标准正态分布的前四个时刻：E[n]=0En= 1En= 0En= 3这意味着整个树中的节点数是时间步数N的三次函数，其中（pj）由下式给出：p=p=p=p=p=p=证明。

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mingdashike22

2022-5-5 07:38:19

我们首先定义了1≤ N≤ N为：ΘN（q，ζ）=θNq、 ζn- （n）-1).然后使用满足（θn）0的贝尔曼方程（8）≤N≤N、我们有：Θn（q，ζ）=l（q）如果n=n，Θn（q，ζ）=minθn，n+1q、 ζn- （n）-1), l（q）如果n∈ N、 ΘN（q，ζ）＝θN，N+1q、 ζn- （n）-1)否则现在，我们使用θn，n+1的定义来计算θn，n+1q、 ζn- （n）-1):θn，n+1q、 ζn- （n）-1)= infq∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1ζn- （n）-1)+LQ- ~qVn+1δtVn+1δt+θn+1q+nnζn- （n）-1)+ n+1!!#!.注意到θn+1q，nn+1ζn- （n）-1)+ n+1= Θn+1q，ζ+nn+1+2,我们得到：△θn，n+1q、 ζn- （n）-1)=Θn，n+1（q，ζ）。这就是结果。新变量ζ是节点的索引。为了计算∏，我们需要计算Θ（·，0），它是用Θ（·，0）、Θ（·，1）、Θ（·，2）、Θ（·，3）和Θ（·，4）计算的。通过归纳，我们看到，在步骤n，我们需要Θn（·0），Θn（·1），Θn（·，2n（n）-1)). 特别是，树的每一级节点的数量都以二次方式演化。在树中的每个节点（n，ζ），我们使用经典优化方法计算值Θn（0，ζ），Θn（δq，ζ），Θn（Q，ζ），其中δQ是我们网格中两个连续值之间的步长。除了这些值之外，我们还在每个节点（ζ，n）设置一个布尔值表，其中n∈ N确定银行是否应交付股份。5.2示例5。2.1参考场景我们现在转向上述树方法的实际使用。我们考虑以下无永久市场影响的参考情况，即对应于库存总SA的四舍五入值。本案例将用于概述本文的其余部分S=45EURoσ=0.6EURo天-1/2，相当于大约等于21%的年波动率T=63个交易日。

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mingdashike22

2022-5-5 07:38:21

到期前交付的一组可能日期为N=[22,62]∩N.oV=400万股·天-1oQ=20000万股oL（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1欧元·股-1·天-1和φ=0.75。此外，我们强迫银行在交货时已经购买了所有存货。因此，我们使用l（q） =+∞1{q6=0}。我们对风险规避的选择是γ=2.5×10-7EUR-1.为了举例说明该模型，我们考虑了价格的三条轨迹。在众多的策略中，我们选择了一系列最优的策略。第一价格轨迹（图1）呈上升趋势，股票价格因此高于其平均水平（虚线）。这对应于正Z和银行h，因为没有理由快速交付股票。事实上，在这种情况下，银行的最佳策略是以较低的价格买入股票，以最小化执行成本，如图2.0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格Z所示-15-10-5 0 5 10 15图1：价格轨迹10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图2：价格轨迹的最优策略1第二个价格轨迹（图3）有下降趋势，因此股价低于平均水平。这相当于一个负Z，银行有一个不定期交付的动机。然而，当n=22（n的第一个日期）时，Z值不足以鼓励分娩。当n=36时，Z的轨迹和执行成本水平最终导致交付——见图4。

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kedemingshi

2022-5-5 07:38:25

我们还发现，当Z在下降后增加时，出售股票甚至可能是最优的：这与等式（10）中的风险项一致，因为Z的增加推迟了目标交付时间.0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格-15-10-5 0 5 10 15图3：价格轨迹20 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图4：价格轨迹的最优策略2我们考虑的第三个价格轨迹（图5）对应于Z在0附近振荡。如前两个例子所示，我们在图6中看到，银行的行为以一种自然的方式与Z密切相关。当Z减小到负值时，A大于购买股票的成本（如果执行成本不太大），银行会加快购买过程。相反，当Z增加时，购买过程变慢，甚至变成销售过程（参见图6第16天）。如上所述，其基本原理是风险规避：当Z从一个低值变为一个高值时，目标交付时间会延迟一些，银行有动机跳转到一个允许对冲支付的轨道，如第3.1节末尾所述。但最有趣的现象出现在第28天之后：Z在0以下的偏移使银行在第28天持有Q股的投资组合成为最佳选择，即交付所需的全部股票。。。当时没有发生BUT交付。这家银行的确是百慕大银行的长期选择（实际上这里是美国人），有着复杂的支付方式，而且更愿意持有它而不是行使它。银行最终在最后时刻交付了股份。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:28

在28日之后对基础资产的往返对应于降低期权的风险。0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格-15-10-5 0 5 10 15图5：价格轨迹30 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图6：价格轨迹的最优策略3除了最优策略，我们可以在参考案例中计算ASR合同的价格∏。这里，这个价格是负的，因为我们发现∏Q=-0.503.这意味着，在效用方面，与ASR合同的期权性部分相关的收益对于补偿（在效用方面）流动性成本和合同风险非常重要（见备注2）。5.2.2仅购买策略我们已经看到，银行的最佳策略可能涉及出售已购买的股票。乍一看，这可能看起来像是套利，但事实并非如此：这是ASR合同的支付效应和银行的风险规避的自然结果。我们在图7、8和9中展示了上述三个参考轨迹，如果我们限制允许的策略集只购买一个人，那么什么是最佳策略。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图7：仅限购买策略与价格轨迹的无约束策略1这并不意味着价格在Q中是线性的。

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何人来此

2022-5-5 07:38:31

这只是意味着，对于我们考虑的Q值，wefound∏Q=-0.503.01003004050600.0.20.40.40.60.6 0.8还有1.0次要买-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图8：价格轨迹的仅限购买策略与无约束策略20102003004050600.0.20.40.40.60.60.8 1.0剩余购买时间-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图9：仅限购买策略与价格轨迹的无约束策略3我们在图7、图8和图9中看到，当不允许往返时，银行通常会缓慢购买更多，以避免往返的需要。另一个不同之处是，在轨迹3的情况下，随着b银行更快地交付股票，这种差异变得更大。与期权相关的风险确实无法部分对冲，因为我们将策略限制为只购买策略。然后，银行决定在n=28时交付。为了量化受约束情况和不受约束情况之间的差异，我们可以将之前的价格∏与当策略集仅限于购买策略时受约束的价格∏进行比较。毫不奇怪∏约束Q=-0.486大于∏qa，所选风险规避参数γ的差异相当小。5.3比较静态我们现在使用五项树方法来研究参数对最优策略和ASR合同价格的影响。更准确地说，我们关注风险规避参数γ、非流动性参数η和波动性参数σ。5.3.1风险规避的影响让我们首先关注风险规避。我们考虑的参数为γ2×参考值为-9, 2.5 × 10-7和2.5×10-6.图10、图11和图12显示了γ对之前产生的三个参考股价轨迹的最优策略的影响。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:34

我们看到，银行越是厌恶风险，其战略就越接近直线。这是很自然的，因为直线策略可以完美地对冲与支付相关的风险。在谱的另一端，当γ=0时，最优策略远离对角线，阻止银行立即购买的只是执行成本。有趣的是，当γ=0时，最优策略不涉及任何往返。最后，我们在图12上看到γ高（2.5×10-6）同时阻止银行延迟交货。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6Z图10：价格轨迹中不同γ值的最优策略1名义Q的影响可以从η和γ的影响中推导出来。同样，体积曲线中的任何多重变化都可以分析为η的变化。然而，没有研究φ的影响，因为φ在不同股票中没有太大差异。第3节中得到的公式可以推广到γ=0的情况。事实上，归纳法很简单。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6Z图11：价格轨迹中不同γ值的最佳策略20102004050600.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6图12：价格轨迹中不同γ值的最优策略3就价格而言，我们得到：γ0 2.5×10-92.5 × 10-72.5 ×10-6∏Q-0.621-0.609-0.503-0.190我们看到价格是风险规避参数γ的递增函数。这是很自然的，因为这个价格是一个考虑了风险的差异价格。

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能者818

2022-5-5 07:38:37

特别是，如果我们将γ设为不切实际的高值，则价格为正，这意味着对于γ=1，我们得到∏Q=0.015。与风险和执行成本相关的成本不能通过与ASR合同的可选性相关的价值来补偿。5.3.2执行成本的影响让我们来看看执行成本，更准确地说是非流动性参数η。我们考虑了我们的参考案例，p参数η有3个值：0.01、0.1和0.2。我们专注于我们的第三个价格指数（图13），因为它完美地显示了η的作用。韦恩迪德发现，股票流动性越高，q值达到0.01020030050600.0.20.40.40的速度就越快，还有1.0倍的时间可以买入-15-10-5 0 5 10 15泽塔=0.2eta=0.1eta=0.01z图13：价格轨迹中不同η值的最佳策略3就价格而言，η的影响很重要，因为η是执行成本的主要驱动因素。我们确实有以下价格：η0.01 0.1 0.2∏Q-0.554-0.503-0.461股票的流动性越低，银行在购买过程中的成本就越高。5.3.3挥发物的影响使我们得以完成挥发物的影响。我们考虑了我们的参考案例，参数σ有3个值：0.3、0.6和1.2。我们关注第二条价格轨迹，因为它允许我们理解波动性的作用。我们在图14中看到的是，波动性越高，往返的大小就越重要。这与风险厌恶有关：波动性越高，在Z增加后，跳上对应于更好对冲的轨道的动机就越重要。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:40

然而，σ几乎不影响最佳交货日期，因为A和S都受到σ的影响。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zsigma=0.3sigma=0.6sigma=1.2Z图14：价格轨迹的不同σ值的最佳策略2就价格而言，我们得到了以下图表。我们看到σ是价格的一个非常重要的驱动力。σ0.3 0.6 1.2∏Q-0.251-0.503-0.914当σ增加时，价格下降，因为可选性成分的值更高。然而，由于风险厌恶，也可能出现相反的效果。事实上，在我们的数学关系（σ）中，后一种效应似乎只在非现实的σ值上占主导地位≥ 30).结论在本文中，我们提出了一个模型来确定银行与企业签订ASR合同的最佳策略。我们的离散时间模型嵌入了问题涉及的主要影响因素，除了提供最佳策略外，还允许确定合同的差异价格。我们的模型的主要局限性之一是每天只做一个决定，因此银行的行为不受日内价格变化的影响。考虑当日价格变化需要考虑S的连续模型以及a的离散时间价格波动，这样就不可能简化为三维问题。附录A：定义（θn）n时（θn）的界限≥0在第3节中，没有任何东西可以先验地保证函数只具有有限的值。我们现在提供边界，以证明函数θn–因此∏是有限的。9号提案。n<n，q∈ R、 Z∈ R、 θn（q，Z）≤γgγQ- Q1.-nN+γN-1Xj=n+1gγQ1.-jN-Q1.-nNσ√δtZ+LqVn+1δtVn+1δtw，其中g表示随机变量σ的累积量母函数√δt。证据

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nandehutu2022

2022-5-5 07:38:45

给定n<n，q和Z∈ R、我们考虑的策略包括在时间Tn发送一份规模为q的订单，并等待到期日T交付股份，具体如下所示：vn=q/δtvj=0J∈ {n+1，…，n- 1} n= n我们有：θn（q，Z）≤γlogE“expγσ√δtqn+1-N-1Xj=nQ1.-jNj+1- Q1.-nNZ+LqVn+1δtVn+1δt！！#！≤γgγQ- Q1.-nN+γN-1Xj=n+1gγQ1.-jN-Q1.-nNσ√δtZ+LqVn+1δtVn+1δt这里我们使用了（j）jare i.i.d.随机变量这一事实。位置10。我们还提供了θn的下限：N≤ NCn，Dn∈ R+，θn（q，Z）≥ -CnZ+- DnProof。我们用阿克沃德归纳法证明了这个命题。对于n=n，CN=0和DN=0，这一观点是正确的l ≥ 0.我们有n∈ {1，…，N-1} ，θn，n+1（q，Z）=单位为fv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1j+1-Qn+1Z+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）!!#!≥ -σ√δtQn+1Z+infv∈RE“θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）#.假设我们有Cn+1，Dn+1∈ R+这样q、 Z∈ R、 θn+1（q，Z）≥ -Cn+1Z+-Dn+1。然后∧θn，n+1（q，Z）≥ -σ√δtQn+1Z+E“-Cn+1nn+1（Z+n+1）+- Dn+1#≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1Eh（Z+n+1）+i- Dn+1≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1EhZ+++n+1i-Dn+1≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1Z+- Cn+1nn+1Eh+n+1i- Dn+1≥ -Cn+1nn+1+σ√δtQn+1Z+-Cn+1nn+1Eh+n+1i+Dn+1.让我们定义n=nn+1Cn+1+σ√δtQn+1≥ 0Dn=nn+1Cn+1Eh+n+1i+Dn+1≥ 0然后θn（q，Z）=min{l（q），θn，n+1（q，Z）}≥ 最小{0，~θn，n+1（q，Z）}≥ 最小{0，-CnZ+- Dn}=-CnZ+-Dn。附录B：永久市场影响的离散时间模型在第4节中，我们介绍了永久市场影响的离散时间模型。

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能者818

2022-5-5 07:38:48

该模型来源于连续时间内的以下模型：o待分配股份的数量演变为：dˇqt=-ˇvtdt.o价格具有以下动态：dˇSt=σdWt+f（|Q）- qt |）vtdt.o现金账户演变为：dˇXt=vtˇStdt+Lˇvtˇvt！ˇVtdt。通过求解上述随机微分方程，我们得到s<t:St-ˇSs=σ（Wt）-Ws）+^tsf（|Q）- 71qr |）71vrdr=σ（Wt-Ws）-^qtqsf（|Q-y |）dy=σ（Wt）-Ws）+G（qt）-G（qs）。写出Sn=Stn，我们得到：Sn+1=Sn+σ√δtn+1+（G（qn+1）-G（qn）），其中n+1=Wtn+1-Wtn√δ是一个标准正态随机变量。这符合第3.3节模型的设置。现在来谈谈我们的现金账户s<t:Xt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。通过分段积分，我们得到：ˇXt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr-^ts（ˇqs）- ˇqr）f（| Q）- ˇqr|）ˇvrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr+qtˇqs（ˇqs）- y） f（| Q）-y |）dy+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr+ˇqs^qtˇqsf（|Q-y |）dy-^qtˇqsyf（|Q- y |）dy+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr- ˇqs（G（ˇqt）-G（qs））+（F（qt）- F（qs））+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。现在，写Sn=Stn，Xn=xtn，假设vt和vt在[tn，tn+1]上都是常数，分别等于Vn+1和Vn，我们得到：Xn+1- Xn=Sn+1vnδt- σvnδt√′n+1-qn（G（qn+1）- G（qn））+（F（qn+1）-F（qn））+LVN+1Vn+1δt，其中′n+1=√δt′tn+1tn（r- 德弗里斯这样说n+1，′n+1~ N0,√√. 这符合第4节模型的设置。我们完成本附录的重点是最终成本中涉及的术语。

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kedemingshi

2022-5-5 07:38:51

如果我们考虑两次s和t，且s<t且ˇqt=0，那么：ˇXt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=ˇqsˇSs+^tsˇqrσdWr+^tsˇqrf（|Q- ˇqr|）ˇvrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=ˇqsˇSs+^tsˇqrσdWr+F（0）- F（qs）+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。如果s对应于交付时间，那么我们可以考虑购买剩余的待购买股份（即qn）在我们的模型中）交换qn锡+ F（0）- F（qn）) 加上风险流动性溢价l（qn）).参考文献[1]A.阿方西、A.席德、A.斯林科、Ord er book resilience、价格管理和正向投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1），511-533，2012年。[2] R。Almgren，N.Chriss，投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3月5日至40日。[3] R。阿尔姆格伦、C·图姆、E·豪普特曼、李浩。直接估计股票市场的影响。风险，18（7）：58-622005。[4] R。E.贝尔曼，动态规划。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1957年。[5] G.Barles，H.M.S on er，具有交易成本的期权定价和非线性BlackScholes方程，金融与随机，2369-3971998。[6] J.Cvitani'c，I.Karatzas，《交易成本下的套期保值和投资组合优化：阿马丁格尔方法》，数学金融，6133-165，1996年。[7] J.Cvitani'c，H.Ph am，N.Touzi，《反作用成本下超级复制问题的封闭式解决方案，金融与随机》，3（1），35-541999年。[8] J.Gatheral，无动态套利和市场影响，定量金融，第10卷，第7期，第749-759页，2010[9]O.Guéant，最优执行和大宗交易定价：一般框架，预印本，[10]O.Guéant，永久市场影响可能是非线性的，预印本，2013[11]O.Guéant，J.Pu，期权定价和带有执行成本和市场影响的期权定价，预印本，2013[12]S.J aimungal，D.Kinzebulatov，D.Rubisov，最优加速股份回购，预印本，2013[13]C.-A.Lehalle，S。

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