因此，我们推断出≤ T≤ s≤ 1，E[（Zs∧s- Zt∧S） | F+t]≤ 2E[（ZP，s∧s- ZP，t∧S） +（ZM，S）∧s- ZM，t∧S） | F+t]≤ 2E“Zt∧党卫军∧S | bZ，u |+Z1≤|x |<3R | x |νZ，u（dx）！杜+Zt∧党卫军∧ScZ，u+Z | x |<3RzνZ，u（dx）！杜| F+t#≤ D（s）- t） /2+D（s）- （t）≤ D（s）- t） ，使用S的定义≥ 2.我们得出结论：Zt∈ I1/2（D，S），所以仍然需要证明P(Ohm∩{S=1}）→ 1作为D→ ∞. 我们首先考虑这个事件Ohm, 请注意，自Zis Fifine以来，我们有(Ohm) → 1作为D→ ∞.我们进一步考虑停止时间S。由于积分sr | x |<RxνZ，t（dx）是局部有界的，如果R→ ∞ 慢慢地用D，然后用PSUPT∈[0,1]Z | x |<RxνZ，t（dx）>D！→ 0as D→ ∞. 因为Bt和Ct也是有界的，所以我们也有Psupt∈[0,1]| bt |>D！，Psupt∈[0,1]ct>D！→ 最后，当Xtis c`agl`ad时，它又是局部有界的，并且是psupt∈[0,1]|Xt |>R！→ 0as D→ ∞. 结合这些结果，我们得到P（S=1）→ asD 1→ ∞, 按要求。接下来，我们将我们的技术引理建立为2-4，用于证明定理1；我们从一些新的定义开始。我们将用现货特征指数θt（u）=ibtu来描述原木价格的特征函数Xt-ctu+ZR埃克斯- 1.- iux1 | x |<1νt（dx）。我们还将描述预平均增量bxkusing constantspj，qj。对于j∈ Jk，k=0，N- 1，我们定义了j=（Φn（j/n），j+1∈ Jk，0，否则，设置p-1= 0. （请注意，这与我们之前对pj的定义并不冲突，pj仅适用于j，j+1。）∈ （Jk.）那么对于j=0，N-1，我们定义了qj=pj-1.-pj。我们现在可以继续讨论引理了。引理6。在REM 1的设置中，让0≤ T≤ s≤ 1，u，v∈ R、 andk=0，N- 1.我们有：（i）|θt（u）|=O（1+u）；（ii）|θt（u）- θt（v）|=O（1+（|u |+|v |）|u- v |）；（iii）E[|θs（u）- θt（u）|F+t]=O（1+u+u（s）- t） 2α）；（iv）Pj∈Jkqj=2κ+O（n-1/2); 和（v）R（k+1）/nk/nθk/n（Φn（w）u）dw=-ck/n（u）u证明。

我们依次证明每一句话。（i） 对于t∈ [0,1]，u，x∈ R、 我们有| eiux- 1.- iux1 | x |<1 |≤|ux | | x |<1+2·1 | x|≥1.≤ 2（1+u）（1）∧ x） ，（20）so |θt（u）|=O（1+u）|bt |+| ct |+ZR（1∧ x） νt（dx）= O（1+u）。（ii）对于t∈ [0,1]，w∈ R、 |x |<1，我们同样有| ix（eiwx）- 1)| ≤ |wx |，对于u，v来说也是如此∈ R、 |θt（u）- θt（v）|≤Zvuddwθt（w）-Z | x|≥1（eiwx）- 1） νt（dx）！dw+Z | x|≥1 |（eiux）- 1) - （eivx- 1） |νt（dx）=Zvuibt- wct+Z | x |<1ix（eiwx- 1） νt（dx）dw+Z | x|≥1 | eiux- eivx |νt（dx）=ZvuO（1+| w |）| bt |+| ct |+Z | x |<1xνt（dx）！dw+O（1）Z | x|≥1νt（dx）=O（1+（|u |+|v |）|u- v |）。（iii）对于u，x∈ R、 我们首先设定f（x）=eiux- 1.- iux1 | x |<12（1+u），对于t∈ [0,1]，Zν，t=ZRf（x）νt（dx）。从（20）中，我们得到了| f（x）|≤ (1∧x） 所以如果β>1，Zν，t∈ Iα（D，S），对于0≤ T≤ s≤ 1，E[（Zν，s- Zν，t）| F+t]=O（s- t） 2α）。如果β≤ 1，我们同样有| f（x）|≤|ux | 1 | x |<1+1 | x|≥11+u≤2(1 ∧|x |）1+| u |，so | Zν，t |=O（1/（1+| u |），和（Zν，s）- Zν，t）≤ 2（Zν，s+Zν，t）=O（1/（1+u））。在这两种情况下，由于θt（u）=ibtu-ctu+2（1+u）Zν，t，我们推导出e[|θs（u）- θt（u）|F+t]=O（u）E[（bs- bt）| F+t]+O（u）E[（cs- ct）|F+t]+O（1+u）E[（Zν，s]- Zν，t）| F+t]=O（1+u+u（s）- t） 2α）。（iv）对于k=0，N- 1.我们有XJ∈Jkqj=Xj∈Jk[Φn（t）]j/n（j-1） /n+ O（n）-1/2），因为j∈ Jk，qj=-[Φn（t）]j/n（j-1） /nunless j- 1 6∈ Jkor j+16∈ Jk，在这种情况下，qjand[Φn（t）]j/n（j-1） /nare O（n）-1/4），=Xj∈JkZj/n（j）-1） /nΦ′n（t）dt！+O（n）-1/2）=n-2Xj∈JkΦ′n（j/n）+O（n）-1/2），因为- t|≤ 1/n，|Φ′n（s）- Φ′n（t）|=O（n1/4），=n-1Z（k+1）/nk/nΦ′n（t）dt+O（n）-1/2）=2κ+O（n-1/2).（v） 对于k=0，N- 1，我们有z（k+1）/nk/nθk/n（Φn（w）u）dw=nZθk/n(√nΦ（w）u）dw=RenZθk/n(√nΦ（w）u）dw,因为θ是厄米的，Φ是反对称的-我们现在可以证明引理2。艾玛2的证明。

我们考虑每个过程ξtin转弯，证明（iv）与（i）是同余的。（i） 为了u，x∈ R、 我们设定f（x）=2nuZ（1）- 因为(√nΦ（w）ux）dw，注意0≤ f（x）≤1.∧nuxnu≤ 1.∧x、 如果β>1，则过程zc，t=ZRf（x）νt（dx）因此在Iα（D，S）中，因此为0≤ T≤ s≤ 1，E[（Zc，s- Zc，t）| F+t]=O（s- t） 2α）。如果相反≤ 1.我们同样拥有0≤ f（x）≤1.∧√n | ux | nu≤1.∧ |x|√n | u |，so | Zc，s |=O（n-1/4）和（Zc，s）-Zc，t）≤ 2（Zc，s+Zc，t）=O（n-1/2).在这两种情况下，sincect（u）=ct+2Zc，t（u），我们就得到了e[（cs（u）- ct（u））| F+t]=O（1）E[（cs- ct）+（Zc，s-Zc，t）| F+t]=O（s- t） 2α+n-1/2).从那时起≤ZR1∧ |x |βνt（dx）≤ D、 我们还有ct（u）≤ 3D，几乎可以肯定。（ii）0≤ T≤ s≤ 1.我们有[（美国）- |t（u））|F+t]≤ 2E[（cs（u）- ct（u））+（σs（u）- σt（u）|F+t]=O（s- t） 2α+n-1/2），使用（i）。（iii）结果与（ii）相似。接下来，我们描述Xt和噪声εj增量的特征函数。对于j=0，N- 2.确定增量Xj=X（j+1）/n- Xj/n，设定Xn-1= 0. 然后我们得到以下结果。引理7。在REM 1的设置中，让j=0，N- 1、美国∈ R.然后（i）ifu=o（1），E[exp（iuεj）| Fj/n]=exp(-σj/nu）+O（|u |）；或（ii）如果j 6=n- 1，u=O（n1/2），E[exp（iuXj）| F+j/n]=exp（n）-1θj/n（u））+O（n-1（1+| u |+un）-α)).证据我们依次证明每个结果。（i） 我们注意到εj | Fj/nha是有界的四阶矩，因此我们可以利用泰勒定理将其特征函数扩展到三阶。我们得到exp（iuεj）|Fj/n]=1+iuE[εj | Fj/n]-uE[εj | Fj/n]+O（|u |）E[|εj | Fj/n]=1-σj/nu+O（|u |）=exp(-σj/nu）+O（|u |），对于足够小的u，因为σj/nis有界。（ii）我们定义eΘt=Ztθs（u）ds，t∈ [0,1]，并从引理6（i）中注意到θs（u）是有界的。这一过程是有界的、连续的和有限的变化。

我们推导出它的随机指数E（Θ）t=exp（Θt）6=0。来自推论II。2.48在Jacod和Shiryaev（2003）中，我们发现过程mx，t=exp（iuXt）E（Θ）是局部F+t-鞅；因为MX是有界的，所以它也是真鞅。因此，我们可以使用MX来计算增量的特征函数Xj。从引理6（i）中，我们得到了u=O（n1/2），MX，（j+1）/nMX，j/n=expiuXj-Z（j+1）/nj/nθs（u）ds！=O（1），类似地，随机变量zx，j=Z（j+1）/nj/n（θs（u）-θj/n（u））ds=O（1）。因此，我们获得了这个经验(-N-1θj/n（u））E[exp（iu）Xj）| F+j/n]=EMX，（j+1）/nMX，j/nexp（ZX，j）| F+j/n= 1+EMX，（j+1）/nMX，j/n（exp（ZX，j）- 1） | F+j/n,因为MX，这是一个鞅，=1+O（1）E[|ZX，j | F+j/n]，因为MX，（j+1）/n/MX，j/nand-ZX，jare有界，=1+O（1）E“Z（j+1）/nj/n|θs（u）- θj/n（u）| ds | F+j/n#=1+O（1）Z（j+1）/nj/nE[|θs（u）- θj/n（u）|F+j/n]1/2ds=1+O（n-1（1+| u |+un）-α） ），使用单一MMA 6（iii）。结果如下：-1θj/n（u）是有界的，使用单mma 6（i）。我们现在可以证明引理3。引理3的证明。我们首先注意到，我们可以假设n足够大，以至于jk是非空的。我们用增量项来表示预平均增量的分布Xj和噪声εj。根据定义，我们得到bxk=Xj∈Jkpj(Xj-εj+εj+1）=Xj∈Jk（pj）Xj+qjεj）。我们现在计算这个和的特征函数，条件为onFk/n；我们从写SPJ函数的特征开始Xj。对于j∈ Jk，setZθ，j=|θj/n（pju）- θk/n（pju）|。然后我们得到了j，j+1∈ Jk，E[exp（iupjXj）| F+j/n]=exp（n）-1θj/n（pju））+O（n-3/4），因为| pj |=O（n1/4），使用单个MMA 7（ii），=exp（n-1θk/n（pju））+O（n-3/4+n-1Zθ，j），（21）自byLemma 6（i），n-1θt（pju）是有界的。

结果（21）也适用于j∈ Jk，j+16∈ Jk，从那时起pj=0。我们也可以写出j的qjεj项的特征函数∈ Jk，setZσ，j=|σj/n- σk/n |。然后我们得到E[exp（iuqjεj）|Fj/n]=exp(-qjσj/nu）+O（n-3/4），因为| qj |=O（n-1/4），使用单个MMA 7（i），=exp(-qjσk/nu）+O（n-3/4+n-1/2Zσ，j），（22），因为σtu是有界的。因此，我们可以归纳地计算sumsbxk的特征函数，m=Xj∈Jk:j≥m（pjXj+qjεj）。通过对m的归纳，我们将证明e[exp（iubXk，m）| Fm/n]=expXj∈Jk:j≥m（n）-1θk/n（pju）-qjσk/nu）（23）+O（1）Xj∈Jk:j≥我-3/4+n-1Zθ，j+n-1/2Zσ，j | Fm/n]。在基本情况下，当m=max（Jk）+1时，结果是微不足道的。在诱导的情况下，我们假设∈ Jk和（23）保持m+1。因为[exp（iubXk，m）|Fm/n]=E[exp（iuqmεm）E[exp（iupmXm）×E[exp（iubXk，m+1）|F（m+1）/n]|F+m/n]| Fm/n]，使用（21）和（22），我们得到（23）也适用于m。因此，当m=min（Jk）时，（23）也适用，在这种情况下，bXk，m=bXk。我们的结论是e[cos（ubXk）|Fk/n]=ReE[exp（iubXk）|Fk/n]= 重新[xn，Fm/124e]= 重新经验Xj∈Jk（n）-1θk/n（pju）-qjσk/nu）+ O（n）-1/4），使用（23）和引理6（iii），=ReexpZ（k+1）/nk/nθk/n（Φn（w）u）dw- κσk/nu！！+O（n）-1/4），因为- t|≤ 1/n，|Φn（s）- Φn（t）|=O（n）-1/4），并使用单一MMA 6（i）、（ii）和（iv），=k/n（u）+O（n-1/4），使用单个MMA 6（v）。因此，我们还得到了var[cos（ubXk）|Fk/n]=E[cos（ubXk）|Fk/n]-E[cos（ubXk）| Fk/n]=E[1+cos（2ubXk）|Fk/n]-E[cos（ubXk）|Fk/n]=（1+k/n（2u）+O（n-1/4)) - k/n（u）+O（n）-1/4）），=ρk/n（u）+O（n-1/4），因为φt（u）是有界的。我们接下来讨论噪声估计bσk。

我们首先需要将原木价格过程分解为两部分：我们设置xt=XI，t+XJ，t，其中平方可积分量XI，t=Ztbsds+Zt√csdBs+ZtZ | x |<1x（u（dx，ds）- νs（dx）ds）和大跳跃分量xj，t=ZtZ |x|≥1xu（dx，ds）。我们首先证明一个关于过程XI，t引理8的变化的技术结果。在REM 1的设置中，对于j=0，N- 1，p=2，4，Wehaveh（XI，（j+1）/n- 十一、 j/n）p | F+j/ni=O（n）-1).证据我们的论点遵循Luschgy和Pag`es（2008）。我们定义了+t-鞅，t=XI，t-Ztbsds，注意eh（XI，（j+1）/n- 十一、 j/n）p | F+j/ni=O（1）E“（MI，（j+1）/n- MI，j/n）p+Z（j+1）/nj/n | bs | ds！p | F+j/n#=O（1）Eh（MI，（j+1）/n- MI，j/n）p | F+j/ni+O（n）-p） 因此必须证明MI，t的等价界。如果p=2，我们注意到e[（MI，（j+1）/n-MI，j/n）| F+j/n]=E[[MI]（j+1）/n- [MI]j/n | F+j/n]=E“Z（j+1）/nj/ncsds+Z（j+1）/nj/nZ | x |<1xu（dx，ds）| F+j/n#=Z（j+1）/nj/nE”cs+Z | x |<1xνs（dx）| F+j/n#ds=O（n-1） ，（24）根据需要。如果p=4，那么由于二次变量[MI]是可积的，我们可以定义鞅mv，t=[MI]t- E[[MI]t]。（25）然后我们注意到e[（MV，（j+1）/n-MV，j/n）| F+j/n]=E[[MV]（j+1）/n- [MV]j/n | F+j/n]=E“Z（j+1）/nj/nZ | x |<1xu（dx，ds）| F+j/n#，因为[MV]t只依赖于XI，t，=Z（j+1）/nj/nE”Z |x |<1xνs（dx）|F+j/n#ds中的跳跃≤Z（j+1）/nj/nE“Z | x |<1xνs（dx）| F+j/n#ds=O（n-1). （26）因此我们得到了[MI，（j+1）/n- MI，j/n）| F+j/n]=O（1）E[（[MI]（j+1）/n）- [MI]j/n）| F+j/n]，使用伯克霍尔德-戴维斯-格伦迪不等式，=O（1）E[（MV，（j+1）/n- 中压，j/n+O（n-1） ）| F+j/n]使用（24）和（25），=O（1）E[（MV，（j+1）/n- MV，j/n）| F+j/n]+O（n）-2） =O（n）-1） ，使用（26）。我们现在可以证明引理4。这是艾玛4的证据。

我们首先用Eσ，k表示原木价格的大跳跃分量XJ，t在[k，k+1）/n区间内是恒定的。由于XJ中的预期ju mps数量，在该区间内为z（k+1）/nk/nZ |x|≥1νs（dx）ds=O（n-1/2），我们有高概率的Eσ，kholds，P（Ecσ，k）=O（n-1/2).在事件Eσ，k中，我们认为XJ，t对我们的估计bσk没有贡献。在这种情况下，bσk等于σk=n2nXj，j+1∈Jk（Zε，j+ZI，j），其中随机变量szε，j=εj+1- εj，ZI，j=XI，（j+1）/n- 十一、 j/n.由于Eσ，kholds具有很高的概率，因此我们可以通过限定Eσk来进行。我们设置k=Eσk- σk/n，然后haveSk=Sk，0+Sk，1+Sk，2+Sk，3+O（n-1/2），对于SUMSK，0=n2nXj，j+1∈Jk（σj/n+σ（j+1）/n-2σk/n），Sk，1=n2nXj，j+1∈Jk（Zε，j）- σj/n- σ（j+1）/n），Sk，2=nnXj，j+1∈JkZε，jZI，j，Sk，3=n2nXj，j+1∈JkZI，j，我们将依次绑定。对于Sk，0，我们注意到如果j，j+1∈ Jk，我们有[（σj/n+σ（j+1）/n- 2σk/n）|Fk/n]=O（1）E[（σj/n- σk/n）+（σ（j+1）/n- σk/n）|Fk/n]=O（n-1/2），所以E[Sk，0 | Fk/n]=O（n-1/2). 类似地，对于界Sk，1，我们注意到如果alsoj，j+1∈ 我们有[（Zε，j- σj/n- σ（j+1）/n）（Zε，j- σj/n- σ（j+1）/n）|Fk/n]=（O（1），|j- j|≤ 1,0，否则。所以E[Sk，1 | Fk/n]=O（n-1/2).为了约束Sk，2，我们注意到E[Zε，jZI，j | Fk/n]=E[εjE[ZI，j | F+j/n]+ZI，jE[εj+1 | F（j+1）/n]|Fk/n]=O（n）-1） ，使用单MMA 8，所以E[Sk，2 | Fk/n]=O（n-1). 对于Sk，3，我们同样有e[ZI，j | Fk/n]=O（n）-1） ，使用单MMA 8，所以E[Sk，3 | Fk/n]=O（n-1).

从上面，我们可以推导出E[Sk | Fk/n]=O（1）E[Sk，0+Sk，1+Sk，2+Sk，3 |Fk/n]+O（n-1） =O（n）-1/2），因此E[|Sk | Fk/n]=O（n-1/4).因此，我们控制了Sk的偏差；它需要计算它的矩母函数f（v）=E[exp(-vk）| Fk/n]。自Sk以来≥ -σk/n，对于v≥ 我们可以在期望下求导数，得到| f′（v）|=|E[Skexp(-vk）| Fk/n]|≤ exp（vσk/n）E[|Sk | Fk/n]=O（n）-1/4），在v上均匀分布∈ [0，u]，用于固定u≥ 根据泰勒定理，我们得到了一些v∈ [0，u]，f（u）=f（0）+uf′（v）=1+O（n）-1/4).我们由此推断出(-u（bσk）- σk/n）|Fk/n]=E[exp(-u（bσk）- σk/n）1（Eσ，k）|Fk/n]+O（n-1/2），因为bσk≥ 0，σtis bou nded，=E[exp(-uSk）1（Eσ，k）|Fk/n]+O（n-1/2）=f（u）+O（n）-1/2），因为滑雪板在下面弯曲，=1+O（n-1/4).因此，我们计算了bσk的矩母函数- σk/n；我们现在可以推断出我们的结果。由于ψt（u）是有界的，我们得出结论E[exp(-κbσku）|Fk/n]=ψk/n（u）+O（n-1/4）和Var[exp(-κbσku）|Fk/n]=E[exp(-2κbσku）|Fk/n]-E[exp(-κbσku）|Fk/n]=ψk/n（u）（1+O（n）-1/4) - 1+O（n）-1/4））=O（n-1/4），根据需要。注释有效的价格流程。Xt的bt，ct，νtsemi鞅特征。Xt中的两个布朗运动。Xt中的2u（dx，dt）泊松随机测量。2εj微结构噪声。2年服务价格。2n观察次数。时变模型中的2LtL’evy过程。2b，c，νL′evy Lt的特征。2时间变更流程。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.标准化波动率。3n，n，n估算中使用的箱子数量。6h，以n为单位的HB和宽度，n。6Φ，Φn预平均的刻度函数。6bXkpre平均增量。用于p重新平均的JK索引集。6bσk估计噪声方差。b~nl（u）估计的特征函数。用于波动率估计的7K指数集。7bψl（u）估计的噪声特征函数。噪声特征函数中的κ常数。7bcl（u）估计挥发性。bcl（u）中的7bτl（u）偏差校正项。ct（u）调整波动率过程。7ect（u）ct的局部多项式估计。ect（u）中的8K、N、h参数。8Wn，l（t）重量单位为ect（u）。8ert（u）rt的局部多项式估计。9T时间范围。噪音前后的10英尺F+t过滤。S概率度量的基类P。10Iα（D，S）类α-光滑过程。10αLipschitz平滑率。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Sα，βγ（C，D）类半鞅模型。11Ohm, Sα，βγ（C，D）中的S可能事件和停止时间。由Sα，βγ（C，D）给出的11Sα，β（C，D），Sα，β半鞅模型。12Tα（C，D），Tα类时变L’evy模型。13 k t（u），ψt（u）的渐近平均值b k l（u），bψl（u）。13ρt（u），τt（u）b k l（u），bcl（u）的渐近方差。α、 bcl（u）均值和方差的α收敛速度。ect（u）估计ct（u）的13α收敛速度。ect（u）估计ct的14α收敛速度。15El，ζ（u）可能事件和常数，单位为1。17θt Xt的点特征函数。33pj、QJF或平均老化前的重量及其差异。33XJINXT的增量。37XI、t、XJ、Xt的可积分和大跳跃组件。41参考Ait-Sahalia Y和Jacod J.估计高频数据中跳跃的活动程度。安。统计学家。，37（5A）：2202-22442009。Andersen T、Bollerslev T、Diebold F和Labys P.伟大的实现。风险，13:105–1082000。巴恩多夫-尼尔森·O·E和谢泼德·N.《随机波动和跳跃的力量和双力量变化》s·J·Financ。计量经济学，2（1）：1-372004。巴恩多夫-尼尔森O E、汉森P R、伦德A和谢泼德N。设计实现的核函数来测量存在噪声时股票价格的事后变化。《计量经济学》，76（6）：1481-153620008。Belomestny D.通过复合特征函数估计对时变L′evy过程的统计推断。安。统计学家。，39(4):2205–2242, 2011.贝洛梅斯特尼D和帕诺夫V。

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