在有噪声的Léevy模型中估计时间变化

2022-5-5 07:45:28

在嘈杂的L’evy模型中估计时间变化萨达姆·D·布尔统计实验室或剑桥大学抽象定量金融中，我们通常将资产价格建模为嘈杂的It’Osemi鞅。由于该模型是不可识别的，通过时间变化的L’evy过程进行近似可用于生成性建模。我们给出了该模型中标准化波动率或时间变化的一个新估计，它获得了极小极大收敛速度，并且不受有限变化跳跃的影响。在半鞅模型中，我们的估计符合标准化波动率，得到的收敛性与文献中之前暗示的一样好。1简介在定量金融中，我们通常希望利用历史数据预测未来资产价格的分布；在定价或评估投资策略时，这个问题很重要。从经济角度考虑，我们知道原木价格必须由一个噪声半鞅给出；然而，该模型通常无法从价格数据中识别。因此，我们将考虑将原木价格建模为嘈杂的时间变化过程。我们注意到，该模型具有足够的通用性，能够描述价格数据的显著特征——随机波动性、跳跃和噪声——而Hillestill模型则非常简单，能够从数据中识别其参数。因此，它是生成模型半鞅模型的有用近似。我们的目标是估计该模型中的标准化波动率或时间变化过程。正如经验证据所表明的那样，以前的估计未能在UMP变化有限时达到最小收敛速度。

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2022-5-5 07:45:31

因此，我们将描述一个新的估计值，该估计值包含最小最大速率，且不受任意跳跃活动的影响。在我们的半正定化模型中，我们将进一步证明Emak3/Sack1的收敛性。2010年理学硕士：91G70（初级）；62G08、62G20、62G35（次级）。关键词：It\'o半鞅，L\'evy过程，微观结构噪声，波动性，时间变化。和之前文献中暗示的一样好。因此，我们的估计实现了两全其美：当时间变化近似值准确时，具有良好的收敛性，而当时间变化近似值不准确时，没有惩罚。我们首先描述我们将要考虑的统计模型。我们假设我们有一个单一的资产，其有效的对数价格由一个It’osemima鞅给出，Xt=X+Ztbsds+Zt√csdBs+ZtZRx（u（dx，ds）-1 | x |<1νs（dx）ds），（1）其中bt∈ R是一个漂移过程，ct>0是一个波动过程，νta跳跃测量过程，u（dx，dt）是一个泊松随机测量，强度为νt（dx）dt，上述分解与过滤Ft有关（我们参考Jaco d和Shiryaev，2003年的定义）我们注意到，假设（1）在定量金融中极为常见，其动机是经济无套利论点，如Indelbaeand Schachermayer（1994）。模型（1）再现了价格数据的共同特征，如随机波动性——由特征（bt、ct、Vt）对时间的依赖性给出——以及跳跃——由跳跃测量过程Vt的存在给出。然而，为了将该模型与价格数据相匹配，人们普遍认为我们还必须考虑第三个特征，即微观结构噪声。由于买卖价差、交易规模、交易成本和通信延迟等经济人为因素，资产的报价通常会偏离有效的市场价格。

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2022-5-5 07:45:34

事实上，实证研究证实，高频价格数据波动太大，无法用有效的价格过程来解释（Andersen等人，2000年；Mykland and Zhang，2005年；Hansen and Lunde，2006年）。微观结构噪声的一个流行模型是假设在零平均误差下观察到对数价格。因此，我们认为，N- 1，（2）在一段时间间隔[0，T]内，误差εj满足E[εj | FT j/n]=0。（我们参考Jaco d等人，2009年对该模型的讨论。）不幸的是，观测结果不足以确定模型（1）的参数。即使给予无声的观察，也让时间视界→ ∞, 步长T/n→ 0时，我们通常无法识别漂移过程bt或跳跃测量过程νt。因此，在下文中，我们还将考虑一个时变的L′evyprocess模型。在这里，我们假设对数价格xt=LRt，（3）为L’evy p rocessLt=L+bt+√cBt+ZtZRx（u（dx，ds）- 1 | x |<1ν（dx）ds），带漂移b∈ R、波动率c>0，跳跃测量值ν，泊松随机测量值u（dx，dt），强度为ν（dx）dt，时间变化过程rt=Ztrsds，由速率过程rt>0给出。Carr和Wu（2004）推广了模型（3），byCont和Tankov（2004）也讨论了其应用。直观地说，该模型描述了根据活动率rt变化更快或更慢的价格；这个比率可以被认为是交易活跃度和交易量、投资者流动性和总体经济不确定性等因素的累积效应。形式上，时变模型（3）是半鞅模型（1）的子集，它满足s可分离条件BT=brt，ct=crt，νt=νrt。

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2022-5-5 07:45:37

（4）例如，这个条件要求跳转度量由速率过程rt控制，并且不包含特殊的跳转成分。由于这些参数仅定义为一个乘法常数，我们还必须为rt选择一个归一化。在下文中，为了简单起见，我们将把rt设置为一个积分（尽管我们也将讨论替代的归一化）。同样地，使用（4）我们可以定义为CrtCds；（5）我们注意到，这个定义对半鞅模型（1）也有意义。可分性条件（4）可以被认为类似于加法模型中的可加性条件。我们采用一个完全非参数的模型，这是很难做到的，并将其限制在一个低维的模型上，而低维的模型则不然。由于我们的小模型（3）反映了价格数据的显著特征——随机波动性、跳跃和噪声，它可能会很好地近似于完整模型（1）。此近似值在各种设置中都很有用。如果我们希望预测未来资产价格的分布，例如定价期权或评估投资策略，我们必须为数据建立一个生成模型。我们已经知道，我们无法确定完整模型（1），因为我们无法确定其参数Bt和νt。正如我们将在下文中看到的，模型（3）的p参数都可以从价格数据中确定；因此，它既可以直接用作生成模型，也可以作为识别合适的参数替代者的起点（Carr和Wu，2004；Cont and d Tankov，2004）。为了使模型（3）符合数据，我们必须估计时间范围t的参数b、c、ν和rt.I→ ∞, 步长T/n→ 0时，可以使用标准技术估计漂移B和波动c。

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kedemingshi

2022-5-5 07:45:41

一些作者（Figueroa-L\'opez，2009年，2011年；Belomestny，2011年；Belomestyand Panov，2013年）也考虑了L\'evy测度的估计，而Figueroa-L\'opez的包容性方法的扩展也可能是inVetter（2014年）。在下文中，我们将特别关注利率过程rt的估计。我们首先注意到，可以直接观察到促成这一过程的一些因素，特别是交易活动和交易量。虽然此类信息在实践中可能有用，但我们可以预期，并非所有此类因素都是可观察的，可观察因素与有效价格之间的关系可能不明确，尤其是在考虑微观结构影响后。因此，在下文中，我们将仅限于直接从价格数据估算RTP。虽然之前的工作已经在各种环境下提供了这种估计（Winkel，2001；Woerner，2007；Rosenbaum和Tankov，2011；Figueroa-L\'opez，2012），但这些作者没有考虑我们的环境（2）和（3）。即使考虑到微观结构噪声，我们也不能在这里应用它们的方法来获得极大极小收敛速度。估计RTI的另一种方法是首先使用识别（4），然后在半鞅模型（1）中估计波动率Ct。许多作者描述了在跳跃测量过程νt的各种假设下解决这个问题的方法。如果不存在跳跃，可以使用多尺度估计器（Zhang等人，2005年；Zhan g，2006年）、实现的核（Barndor ff-Nielsen等人，2008年）或预平均（Jacodet等人，2009年；Podolskij和Vetter，2009年b）来覆盖综合的波动率。

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2022-5-5 07:45:44

使用核估值器（Kristensen，2010；Mancini等，2014）、傅立叶级数（Munk和Schmidt-Hieber，2010b；Reiss，2011）或小波（Ho ff-mann等，2012）可以恢复像Ewisebe一样的即期波动率。在每种情况下，这些方法都可以达到极大极小收敛速度，相当于观测sizen的ctunder高斯白噪声-1/4. 事实上，可以证明这种联系是一种正式的统计等价关系（Reiss，2011）。然而，当存在跳跃时，我们必须在估计ct之前考虑它们。这样做的方法包括跳跃阈值法（Mancini，20012009；Fan and Wang，2007；Jing等人，2011），双功率变化（Barndor ff Nielsen and Shephard，2004；Podolskij and Vetter，2009a，b；Hautsch and Podolskij，2013），以及特征函数（Todorov and Tauchen，2012；Jaco d and Reiss，2014；Jacod and Todorov，2014）。不幸的是，如果跳跃是有限变化的，通常这些方法无法达到相同的收敛速度。即使对有效价格进行了无害的观察，我们也知道CTSUFF的极小值收敛速度，除非我们假设有限的变化部分是标度β-稳定过程（Jaco d和Reiss，2014；Jacod和Todorov，2014）。尽管如此，经验证据表明，价格数据确实包含有限的变化跳跃（Ait-Sahalia和Jacod，2009；Jing等人，2011）。因此，在下文中，我们将构建一个新的速率过程rt估计。我们将证明，我们的估计在两个模型中都取得了很好的收敛速度，并且在时变模型中不受任意跳跃活动的影响。我们的估算将分三个阶段进行。我们将首先获得价格增量的预平均估计值，以及微观结构的估计值，如Jacod等人所述。

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2022-5-5 07:45:47

（2009）或波多尔斯基和维特（2009b）。然后，我们将构建现货波动率的局部估计，通过估计价格过程的特征函数得出。虽然我们的方法将类似于前几位作者所考虑的方法（Todorovand Tauchen，2012年；Jacod和Reiss，2014年；Jacod和Todorov，2014年），但获得最小最大速率所需的精确构造将是新的。最后，我们将使用非参数回归的标准工具，平滑我们对波动率的局部估计。虽然很多这样的应用程序都是可能的，但我们将使用局部多项式，如Tsybakov（2009）所述。我们还将讨论如何从数据中自动选择所需的各种参数。然后我们将证明关于估计收敛速度的结果。我们注意到，我们的结果将适用于两种设置：一种标准的非参数设置，其中假设XT的特征是固定的，并且是固定的；以及在定量金融中更自然的设置，这些特征本身由具有局部有界特征的半鞅描述。对于simp licity，我们的结果将集中在h高频情况下，固定时间范围T=1。然而，我们注意到，模拟结果也可以在→ ∞, 前提是步长T/n→ 0.在时变L’evy模型（3）中，我们将证明我们的程序以极小极大收敛速度估计RTF，与噪声水平为n的高斯白噪声模型中的RTF相同-1/4. 我们的结果将适用于任意跳跃活动，并且不知道L’evy参数b、c和ν。在一般半鞅模型（1）中，我们将证明我们的程序继续估计rt。虽然这个问题的下界仍然未知，但我们将获得的收敛速度与以前工作中暗示的一样好。

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2022-5-5 07:45:50

因此，我们的估计达到了两全其美的效果：当时变近似值准确时收敛，当时变近似值不准确时收敛。在第2节中，我们将给出我们估计的结构，在第3节中，描述我们考虑的具体假设。在第4节中，我们将陈述我们关于收敛速度的结果，第5节给出证明。2局部特征函数估计在本节中，我们将定义对波动率和利率过程的估计。如引言所述，我们的估计分为三个阶段：预平均、现货波动率估计和平滑。我们从预平均步骤开始，然后使用constructionofReiss（2011）继续。我们必须首先将时间间隔[0,1]细分为若干相等的单元。为了定义n，我们选择n，n∈ N表示N，所以~ H-1mn（2m）-1） /8，m=1，2，对于带宽h，h>0，设置n=nn。然后，我们将[0，1]分成n个小单位，并在每个小单位上计算出Xt增量的预平均估计值bxkof。我们将计算xkby，将观察到的增量与标度函数Φn（t）进行积分；wede FINEΦn（t）=√nΦ（nt），Φ（t）=2sin（2πt）。标度函数Φ的具体选择受到了byReiss（2011）的启发，他指出，在高斯环境中，这种形式的函数最能有效地从噪声数据中提取信息。我们在每个周期中都包含一个正弦周期，而不是一个完整的周期；这种选择使我们能够确保预平均增量近似对称分布，这是我们在建模有限变化jum ps行为时需要的特性。我们现在可以定义预平均增量Bxk。对于k=0。

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kedemingshi

2022-5-5 07:45:53

N-1，定义指数集Jk=（n/n）[k，k+1）∩Z、让bxk=Xj，j+1∈Jkpj（Yj+1）- Yj），pj=Φn（j/n）。估计值BxkThus将观察到的X在时间间隔[k，k+1）/n内的增量平均。我们还可以确定该时间间隔内微观结构的估计值bσk。我们设定σk=n2nXj，j+1∈Jk（Yj+1）- Yj），与观测值的实际二次变化成正比。接下来，我们将描述我们的现货波动率估计步骤。我们将[0，1]细分为更大的仓位，并在每个仓位上构造波动率ct的估计bcl（u）。虽然我们的方法将基于局部特征函数估计，类似于前几位作者（Todorovand Tauchen，2012；Jacod和Reiss，2014；Jacod和Todorov，2014）所考虑的方法，但获得最小最大速率所需的精确构造将是新的。对于l=0，N-1，我们定义了ind ex集合Kl=n[l，l+1）∩Z、以及Xt增量的特征函数的局部估计值，由b~nl（u）=nXk给出∈Klcos（ubXk）。我们注意到，因此，bаl（u）将bxk在时间间隔[l，l+1）/n内的余弦取平均值。我们还可以确定微结构噪声相应贡献的估计值bψl（u）；我们设定bψl（u）=nXk∈Klexp(-κubσk），κ=4πnn。如果对数价格Xt和噪声εj是高斯的，那么通过考虑它们的特征函数，我们将期望b k l（u）≈ 经验(-（cl/n+κσl/n）u），bψl（u）≈ 经验(-κσl/nu）。然后我们可以重新排列这些数量，以获得一个估计值-乌洛格b~nl（u）bψl（u）事实上，这样的估计是有偏差的。然而，我们可以给出cl/n的修正估计bcl（u）；我们定义（u）=-乌洛格b~nl（u）bψl（u）+bτl（u）！，其中，偏差校正项bτl（u）=n1+bаl（2u）2 bаl（u）- 1..因此，我们确定了现货波动率的bcl（u）估计值。

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2022-5-5 07:45:56

与其他此类估计相比，这种方法的优势在于，它自然地解释了跳跃活动的存在：我们将证明，对于一般半鞅，bcl（u）是一个由调整的波动过程ct（u）=ct+nuZZR（1）给出的数量cl/n（u）的无偏估计- 因为(√nΦ（w）ux）νt（dx）dw。因此，过程ct（u）既包括波动率ct，也包括一个取决于跳跃度量的项→ ∞, 涉及νtvanishes的术语；然而，当jum p活性β较大时，该项不会快到可以忽略不计，因此我们必须明确考虑它。在时变模型（3）中，至关重要的是，两个项都以线性方式进入ct（u），因此ct（u）与速率过程rt成正比。在任一模型中，由于rt积分为一，我们可以通过对ct（u）的估计进行归一化来估计。然而，为了更好地估计RTO，我们不能直接使用初步估计值bcl（u），因为它们的方差太大。首先，我们必须使用非参数回归的标准工具来平滑它们。虽然许多这样的方法都是可能的，但在下文中，我们将使用ct（u）的局部多项式估计，如Tsybakov（2009）所述。为了确定我们的估计，我们使用非负核函数K:R→R、支持[-1,1]，且满足RRK（t）dt=1。还提供订单n∈ N、带宽h>0。然后让ect（u）表示阶数为N的ct（u）的局部多项式估计- 1，使用观察值bcl（u）、核K和ban dwidth h。换句话说，letect（u）=n-1Xl=0Wn，l（t）bcl（u），其中权函数Wn，l（t）由Wn，l（t）=nhK（λn，l（t））u（0）TVn（t）给出-1U（λn，l（t）），对于λn，l（t）=hT-自然对数,U（λ）=1, λ, . . .

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2022-5-5 07:46:01

，λN-1（N）- 1)!T、 Vn（T）=nhn-1Xl=0K（λn，l（t））U（λn，l（t））U（λn，l（t））t.常数n∈ N作为波动过程ct和其他与Xt相关的过程的平滑度weexpect的上界。我们在这里包括N较大的情况，因此我们的估计可以匹配已知的非参数下界，以获得广泛的平滑度。然而，在大多数金融过程中，我们可能会认为这是一种半鞅。我们稍后将看到，在这种情况下，必须取N=1；然后，上述估计减少为th eNadaraya-Watson核估计，权重Wn，l（t）由Wn，l（t）=K（λn，l（t））Pn给出-1l=0K（λn，l（t））。在任何一种情况下，我们都可以对波动率ct进行估计。为了估计标准化波动率或利率过程rt，我们同样定义了标准化估计ERT（u）=ect（u）nPn-1m=0bcm（u）=n-1Xl=0Wn，l（t）brl（u），其中brl（u）=bcl（u）nPn-1m=0bcm（u）。在以下部分中，我们将证明我们估计的ect（u）和ert（u）的理论性能结果。然而，我们首先简要讨论了它们的实施。特别是，我们注意到，上述估计需要选择许多参数：核K，阶数N，fr-quenceyu和带宽h，hand h。一般来说，非参数回归的良好性能可以通过一系列核K获得；常用的选择包括均匀核、Epanechn-ikov核和双重核，分别由k=1、2和3的β（k，k）密度给出。如果我们认为波动率ct和其他特征过程是由它的Emility Martin gales给出的，那么如上所述，我们也可以取N=1。剩下的参数u、h、h和h更重要。我们将在下面的g中显示，我们估计的bcl（u）的方差主要取决于频率u和带宽h，h的选择。

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2022-5-5 07:46:04

在参数回归中，带宽h的正确选择同样至关重要。为了选择这些参数，我们可以借用非参数统计学的方法。虽然有许多这样的方法可用，但我们将简要地提到广义交叉验证的启发，这是一种在非参数回归中选择带宽h的流行方法（Golub等人，1979年）。GCV标准Cv（u，h，h，h）=nPn-1l=0（erl/n（u）- brl（美国））nPn-1l=0Wn，l（l/n）提供以ert（u）为单位的误差估计值。然后，我们可以使用任何标准的全局优化算法，选择u、h、h来最小化该标准。对模拟数据的简单测试表明，最小化该标准为估计ect（u）和ert（u）提供了合理的参数选择。（我们注意到，直接将GCV应用于ect（u）是不可取的，因为标准有利于s参数，从而将估计值缩小到零。）因此，我们描述了波动率ct和正态分布或利率过程rt的新估计；然而，我们还没有考虑他们的表现。在下面的章节中，我们将展示，对于适当的参数选择，这些估计可以获得比半鞅模型（1）和时变L’evy模型（3）更好的收敛速度。3半鞅和L’evy模型在这一节中，我们将描述我们对数据所做的假设。我们的假设将被非参数统计和定量金融中的常见模型所满足。在这些假设下，我们可以继续证明我们的估计ect（u）和ert（u）达到了很好的收敛率。首先，我们假设原木价格是在广义半鞅模型（1）下产生的，我们的观察结果来自微观结构噪声模型（2），固定时间范围T=1。

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2022-5-5 07:46:08

为了简单起见，我们不考虑T的其他选择，但我们注意到当T→ ∞, 电话号码→ 0.我们的假设将以过滤Ft，t表示∈ [0，1]，关于它，半鞅分解（1）和（2）的d零均值条件成立。正如Jacod等人（2009）所述，为了对微观结构噪声进行建模，我们不会假设过滤是连续的。首先，我们将要求半鞅分解（1）对于过滤F+t=Ts>tFs也是有效的，并且噪声εjare F+j/n-可测。然后我们在一些过滤的可测空间上表示满足上述条件的概率测度P的类(Ohm, F、（英国《金融时报》）。我们还将对特征bt、Ct和νt、anderrorsεj进行进一步假设。我们首先对Ft适应过程进行平滑度假设。在下文中，我们将要求波动率ct，以及原木价格Xt和噪声εj的其他特征过程，以高概率满足这一假设。定义1。让我们∈ [0,1]是一英尺的停车时间，α≥, D>0，并设置α=1∧α. 我们将Iα（D，S）定义为一类Ft适应的复值过程Zt，其中停止的过程Zt∧信息：（i）Zt∧S|≤ D、 t∈ [0, 1];（二）Eh | Zs∧s- Zt∧S | | F+ti≤ D（s）- t） 2α，0≤ T≤ s≤ 1.（iii）如果α>1，则m表示小于αZt的最大整数∧Shas第m实导数Z（m）t∧SsatisfyingEh|Z（m）s∧s- Z（m）t∧S | | F+ti≤ D（s）- t） 2（α-m），0≤ T≤ s≤ 1.类Iα（D，S）因此包含所有过程，当被S停止时，这些过程在二次平均中是有界且光滑的。我们注意到这些类描述了各种各样的过程。首先，类Iα（D，1）包含几乎肯定是α-H-旧的、具有常数D的所有过程。

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2022-5-5 07:46:11

更一般地说，下面的引理表明，类I1/2（D，S）可以描述所有具有局部边界特征的c`agl`ad`o半鞅。引理1。设Zt为c`agl`ad`o半鞅，分解为Zt=Z+Zt-bZ，sds+Zt-√cZ、sdBZ、s+Zt-ZRx（uZ（dx，ds）- 1 | x |<1νZ，s（dx）ds）关于过滤fta和F+t。假设过程bZ，tandcZ，皮重是局部有界的，以及所有R>0的过程R | x |<RxνZ，t（dx）。然后，对于每个D>0，都存在一个事件Ohm∈ F、以及Ft停止时间，以便Ohm, Zt∈ I1/2（D，S），带P(Ohm∩{S=1}）→ 1作为D→ ∞.现在，我们定义了我们对观测结果Yj的假设。本质上，我们的结果将在模型中得到证明，在高概率下，漂移b是有界的，而随机波动率ct、跳跃过程νt和噪声方差σtar是有界且光滑的。定义2。让α≥, β ∈ [0, 2], γ ∈ [0,1]和0<C≤ D.我们将α、βγ（C，D）定义为概率测度P的类别∈ 在e通风孔上满足以下条件的Ohm∈ F、有一段时间，我停了下来∈ [0,1]，带P(Ohm∩{S=1}）≥ 1.- γ.（i）对于潜在过程ssσt，噪声εj具有方差e[εj | Fj/n]=σj/n∈ Iα（D，S）；有界四阶矩E[εj | Fj/n]≤ D、 j/n≤ S.（ii）漂移过程bt是有界的，|bt |≤ D、 t∈ [0，S]。（三）波动过程∈ Iα（D，S），并在ct下有界≥ C、 t∈ [0，S]。（iv）jump活性最高为β，ZR（1）∧|x |β）νt（dx）≤ D、 t∈ [0，S]；如果β>1，对于任何可测函数f:R→ C带| f（x）|≤ (1 ∧ x），我们有Zrf（x）νt（dx）∈ Iα（D，S）。还定义了Sα，β（C，D）=Sα，β（C，D），并让Sα，β表示概率度量P的类别，这些概率度量P位于一些Sα，βγ（C，D）中，每个0<C≤ D、 γ→ 0作为C→ 0，D→ ∞.在下文中，我们的理论结果将首先针对类α，β（C，D）进行证明，其中对数价格和噪声εJareal的特征肯定是有界且光滑的。

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2022-5-5 07:46:14

这些类对于我们的分析来说是最方便的，并且允许我们与文献中以前的非参数结果进行比较。我们注意到，这些课程给我们的课程设置了非常严格的条件；特别是，它们要求波动率Ct远离零。然而，我们也将我们的结果推广到更大的类Sα，β，它们只要求这些条件在理论上成立；特别是，它们只引入了较弱的界，几乎可以肯定ct>0。参数α和β控制着XT的两种不同的平滑特性。参数α测量Xt特性和εjover时间的平滑度：如果Xt是一个L′evy过程，且εj恒定变化，则上述条件可适用于α的任何值。相比之下，参数β控制Xt的跳跃活动，因此也控制其样本路径的smo特性。我们注意到，在典型的半鞅模型中，参数α=；我们在这里加入了α>的情况，以便与以前的非参数结果进行比较。我们还注意到，由于平滑度α是以平方平均值测量的，因此情况α=允许波动性或其他特征的跳跃；因此，对于任何水平的β跳跃活动，它允许特征平稳地依赖于Xt。更一般地说，引理1表明S1/2、β类包含最常见的金融过程模型。由于我们的一些结果将特定于时变模型（3），我们还定义了描述这种情况的子模型。我们注意到，我们的定义包括选择标准化；如（5）中所述，我们假设Rate Process rTigrated为1。定义3。设T表示概率测度P的类∈ 对于漂移b来说，这是令人满意的∈ R、波动率c>0，L′evy度量ν，利率过程rt>0（5）。

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kedemingshi

2022-5-5 07:46:17

同时定义模型Tα（C，D）=Sα，2（C，D）∩T，and Tα=Sα，2∩T这种标准化的选择对我们的结果来说是最方便的，但我们注意到其他的也是可能的；例如，我们可能更倾向于确定性归一化E[RTrsds]=T。如果我们在过程rt上进行一个更合理的假设，如inFigueroa-L\'opez（2009），那么对于合适的T→ ∞,电话号码→ 0，我们会发现RTrsds接近于E[RTrsds]。这两种规范化也将是接近的，并且两个参数将在两种设置中相等地应用。在下文中，为了简单起见，我们将集中讨论定义3。特别是，T1/2C类是时变L’evy过程中最常见的财务模型。有了这些定义，我们现在准备给出我们的评估结果。4收敛结果在本节中，我们将展示在我们的估计中，ect（u）和ert（u）在一般半鞅模型Sα、β和时变L′evy模型Tα中都有很好的收敛速度。特别是，我们将确定，在Tα中，在任意跳跃活动下，可以以最小最大速率恢复的时间。我们首先定义了一些与我们的结果相关的附加过程。我们设置φt（u）=exp(-ct（u）u）ψt（u），ψt（u）=exp(-κ∑tu），我们将展示的过程描述了估计值b~nl（u）和bψl（u）的平均值。我们还设置了ρt（u）=（1+νt（2u））- ηt（u），τt（u）=ρt（u）/n k t（u），我们将展示的过程描述了估计值b k l（u）和bcl（u）的方差。现在，我们从一个结果开始，这个结果是关于初始估计的准确度。在这个阶段，我们的结果将在有界半鞅模型Sα，β（C，D）中得到证明；稍后我们将回到其他模型的后果。我们可以确定，在高概率事件上，我们的初始估计bcl（u）具有渐近平均cl/n（u）和方差τl/n（u）。

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2022-5-5 07:46:21

我们可以进一步证明，这些语句中的错误是n阶的-α和n-α，其中=∧3α, α=α+.定理1。固定u，h，h>0，α≥, β ∈ [0,2]，0<C≤ D、假设P∈ Sα，β（C，D）。然后，局部波动率估计值bcl（u）是F（l+1）/n可测量的，我们有事件El∈ F（l+1）/n，令人满意（Ecl | Fl/n）≤ 经验(- An1/8）对于常数a>0，在其上[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）| Fl/n]=O（n-α），E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α).此外，这些结果在l=0，N- 1和P∈Sα，β（C，D）。因此，我们得出的估计值bcl（u）的行为大致类似于调整后波动过程ct（u）的n3/8观测值，误差为方差-1/8. 换句话说，我们获得了一个精度，就像在n下观察过程Ct（u）一样-1/4白噪声。虽然我们对bcl（u）的估计也包括一个附加偏差项，并且仅在一组高概率上是准确的，但我们仍将看到它们足够精确地恢复波动率时间变化rt。我们现在确定，我们的回归估计ect（u）是对调整后波动率ct（u）的良好估计。我们将逐点测量估计值的精度，在L-范数中，kfk=Zf（t）dt。在这些度量中，我们将显示ct（u）可以以n的速率恢复-α、其中α=α2（2α+1）是在n下恢复光滑度α函数的标准极小极大速率-1/4白噪声。定理2。将内核K修复为第2节，N∈ N、 u∈ R、 h，h>0，α∈ [，N]，β∈ [0,2]，0<C≤ D、让h~ N-1/2（2α+1），假设P∈Sα，β（C，D）。然后我们有一个事件E，令人满意的P（Ec | F）≤ 经验(-An1/8）对于常数a>0，在其上[|ect（u）- ct（u）| 1（E）| F]1/2=O（n）-α），均匀地在t中∈ [0,1]，安第斯[kec（u）- c（u）k1（E）| F]1/2=O（n）-α).此外，这些结果在P上是一致的∈ Sα，β（C，D）。因此，在模型Sα，β（C，D）中，回归估计ect（u）准确地恢复了ct（u）。

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2022-5-5 07:46:24

在更一般的模型Sα、β和Tα中，还需要得出挥发度和时间变化rt的结果。在Sα，β中，我们将得到速率n-α、其中α=α∧2.-β还取决于原木价格Xt的跳跃活动β。然而，在估计Rtin Tα时，我们将保留收敛率n-α、甚至在任意跳跃活动下。推论1。设参数K，N，u，h，h，α，β，C，D和h为asinTheorem 2。（i）如果P∈ Sα，β，估计值ect（u）和ert（u）满足| ect（u）-ct |，| ert（u）- rt |=Op（n）-α），均匀地在t中∈ [0,1]和Kec（u）-ck，ker（美国）-rk=Op（n）-α).此外，这些结果在P上是一致的∈ Sα，β（C，D）。（ii）如果也是P∈ T，ert（u）的结果与改进的收敛速度n保持一致-α.我们注意到，收敛性确实取决于参数K、N、u、h和h的选择，特别是要求带宽h为OREM 2中的chosenas。在这种情况下，自适应结果是可能的，例如，应用莱普斯基的方法选择h，并使用阿祖玛不等式来控制b~nl（u）和bψl（u）中的偏差（莱普斯基等人，1997年）。然而，为了简单起见，我们将把这些参数视为固定参数，并注意到它们可以像第2节中所述的那样进行启发式处理。对于时变L’evy模型Tα，作为Munk和Schmidt Hieber（2010a）结果的简单结果，我们可以进一步证明我们的比率是最优的。同样，我们可以为一般半鞅模型Sα，β提供一个部分匹配的下界。定理3。设α>，β∈ [0,2]和0<C<D.（i）没有估计C*tof ctcan满足YKC*- ck=op（n）-α），P上一致∈ Sα，β（C，D）∩ T或| c*T- ct |=op（n）-α），一致地在t上∈ [0,1]和P∈ Sα，β（C，D）∩ T（ii）对于任何估算r，同样的结果成立*在一般半鞅模型Sα，β中，如果β大，我们有α>α，匹配下界更难建立。

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2022-5-5 07:46:28

然而，我们注意到，我们的估计ect（u）和ert（u）已经获得了与之前在噪声下的工作相同的速率。此外，Jaco d和Reiss（2014）关于无噪声问题的最新论文表明，速率n-α确实是最优的，最多可达对数因子。当ju-mp活动较大时，RTI在时间变化模型Tα中的结果比一般半鞅模型Sα，β中的结果要好，这可能首先令人惊讶。然而，我们知道，估计波动率ctin Sα，β的困难主要来自于区分Ctan和νt。我们在tα中获得了改进的收敛速度，因为在这个模型中，我们可以在不必分离Ctan和νt的情况下估计速率过程Rt。因此，我们已经证明，我们的估计ert（u）可以在最小-最大速率下恢复噪声L’evy模型中的时间变化，相当于观察rtundern-1/4白噪声。它可以做到这一点，而不需要知道这个过程的分布，也不需要进行任意的跳转活动。此外，在一般半鞅环境中，在可能违反L’evy假设的情况下，ert（u）仍然是正态分布的有效估计。在这种情况下，我们再次实现了良好的速率，由噪声级n控制-1/4，或由于跳跃活动而产生的偏差，这是所有波动性估计的共同点。5.证据我们现在为我们的结果提供证据。我们在第5.1节中证明了关于bcl（u）估计的初步结果，并在第5.2节中证明了关于收敛速度的结果。第5.3.5.1节给出了技术证明。我们首先证明定理1，我们的结果证实了我们的初步估计bcl（u）中的错误。我们的证明将使用一系列引理，控制bcl（u）的各种成分的行为。我们首先陈述一些技术引理；第5.3节给出了证明。引理2。在REM 1的设置中，fix u∈ R、并设ξtdenote（i）ct（u），（ii）ψt（u）或（iii）ψt（u）。

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2022-5-5 07:46:31

在每种情况下∈ N、 0≤ T≤ s≤ 1，wehaveE[（ξs（u）- ξt（u）| F+t]=O（s）- t） 2α+n-1/2).此外，我们还有（iv）ct（u）≤ 3D，几乎可以肯定。引理3。在定理1的设置中，对于k=0，N- 1，你呢∈ R、我们有[cos（ubXk）|Fk/n]=k/n（u）+O（n-1/4），Var[cos（ubXk）|Fk/n]=ρk/n（u）+O（n-1/4).引理4。在REM 1的设置中，对于k=0，N- 1和u∈ R、我们有(-κbσku）|Fk/n]=ψk/n（u）+O（n-1/4），变量[exp(-κbσku）|Fk/n]=O（n-1/4).我们现在可以描述估计值bаl（u）和bψl（u）的行为。首先，我们将对第1项声明中提到的事件进行定义。We setEl={b k l（u）≥ ζ（u）}∩ {bψl（u）≥ ζ（u）}，其中常数ζ（u）=exp(-（κ+3）Du）。然后我们得到以下结果。引理5。在REM 1的设置中，对于l=0，N- 1.我们有：（i）E[b k l（u）- |l/n（u）|Fl/n]=O（n）-α);（ii）E[bψl（u）- ψl/n（u）|Fl/n]=O（n）-α);（iii）E[（b k l（u）- |l/n（u））|Fl/n]=ρl/n（u）/n+O（n-α);（iv）E[（bψl（u）-ψl/n（u））|Fl/n]=O（n-1/4);（v）对于p=3,4,E[（b k l（u）- |l/n（u））p | Fl/n]=O（n）-α); 和（vi）P（Ecl | Fl/n）≤ 经验(-An1/8），对于常数a>0。证据我们首先注意到Bаl（u）-νl/n（u）=nXk∈KlZδ，k，其中随机变量szδ，k=cos（ubXk）- νl/n（u），k∈ 吉隆坡；我们将首先证明关于Zδ，k的一些事实。我们有| Zδ，k |≤ 2，andE[E[Zδ，k | Fk/n]| Fl/n]=E[（φk/n（u）- νl/n（u）+O（n）-1/4）|Fl/n]，使用引理3，=O（1）E[（|k/n（u）- |l/n（u））|Fl/n]+O（n）-1/2）=O（n）-2α），（6）使用单甲基丙烯酸甲酯2（ii）。我们也有E[Zδ，k | Fk/n]=Var[Zδ，k | Fk/n]+E[Zδ，k | Fk/n]=ρk/n（u）+（φk/n（u）- νl/n（u））+O（n）-1/4），使用单一MMA 3，soE[（E[Zδ，k | Fk/n]-ρl/n（u））|Fl/n]=O（1）E[（ρk/n（u）- ρl/n（u））+（νk/n（u）- |l/n（u））|Fl/n]+O（n）-1/2）=O（n）-2α). （7）使用单一MMA 2（ii）。

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2022-5-5 07:46:35

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2022-5-5 07:46:38

然后利用Azuma不等式，我们得到了p（b k l（u）≤ ζ（u）| Fl/n）≤ P（b k l（u）-~nl（u）≤ -ζ（u）+O（n）-1/4）| Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A′>0。通过类似的论证，我们也得到了p（bψl（u）≤ ζ（u）| Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A′大于0。结果如下。最后，我们可以证明定理1。第1项的证明。根据定义，我们得到了bcl（u）的估计值是F（l+1）/n-可测量的，并且事件∈ F（l+1）/n。ECL概率的界同样直接来自引理5（vi）。因此，仍需证明bcl（u）的均值和方差的界。我们将把bcl（u）中的误差分解为三个项，分别控制log（b~nl（u））、log（bψl（u））和bτl（u）中的误差。我们首先考虑log（bаl（u）），并定义随机变量zа，l=bаl（u）аl/n（u）- 1.然后我们得到了（log（b~nl（u））- 对数（l/n（u）））1（El）=对数（1+Z k，l）1（El）=（Z k，l）-Zа，l+Zа，l+O（Zа，l））1（El），使用泰勒定理，因为在El上，1+Zа，l≥ζ（u）~nl/n（u）≥ ζ（u）>0。（8）为了将错误限制在log（b k l（u））中，我们现在将对z k，lterms进行期望。我们得到了E[Z~n，l1（El）|Fl/n]=Eb k l（u）аl/n（u）- 1 | Fl/n+ O（P（Ecl | Fl/n）），因为b k l（u）是有界的，且k l/n（u）≥ 2ζ（u）>0，=O（n）-α），使用单独的MMA 5（i）和（vi）。类似地，我们也有e[Z~n，l1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α），E[Z k，l1（El）| Fl/n]=O（n）-α），E[Z k，l1（El）| Fl/n]=O（n）-α），使用MMA 5（i）、（iii）、（v）和（vi）；因此，我们推导出[|Z|，l | 1（El）| Fl/n]≤ E[Z|，l1（El）|Fl/n]1/2E[Z|，l1（El）|Fl/n]1/2=O（n）-α），使用柯西-施瓦兹。现在，我们可以将错误绑定到log（b~nl（u））中。我们得出的结论是E[（log（b~nl（u））- 对数（μl/n（u）））1（El）|Fl/n]=E[（Zμ，l）-Z|，l+Z|，l+O（Z|，l））1（El）|Fl/n]=-τl/n（u）+O（n）-α），类似地，E[（log（b k l（u））- 对数（|l/n（u））1（El）|Fl/n]=E[（Z|，l+O（Z|，l））1（El）|Fl/n]=E[（Z|，l+O（|Z|，l |+Z|，l））1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α).接下来我们考虑err或in log（bψl（u））。

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2022-5-5 07:46:42

通过一个类似的论证，我们可以得到e[（log（bψl（u））- log（ψl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n）-α），E[（log（bψl（u））- log（ψl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n）-1/4），使用MMA 5（ii）、（iv）和（vi）。最后，我们证明了bτl（u）上的界，定义了随机变量zτ，l=b~nl（2u）- l/n（2u）。然后我们有（bτl（u）- τl/n（u））1（El）=n1+1/n（2u）+Zτ，l2 k l/n（u）（1+Z k，l）-1+1аl/n（2u）2аl/n（u）！1（El）=n-2（1+1/n（2u））Zа，l+Zτ，l2аl/n（u）+O（Zа，l+Zа，lZτ，l）！1（El），使用（8），且φt（u）在下方有界。使用上面的MMA 5（i）、（iii）和（vi），我们也得到了e[Zτ，l1（El）|Fl/n]=O（n-α），E[Zτ，l1（El）|Fl/n]=O（n-1/8).因此，我们得出结论E[（bτl（u））- τl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n-1/8）E[Z|，l+Zτ，l+Z|，l+|Z|，l | Zτ，l | | Fl/n]，因为|t（u）在以下有界，=O（n）-1/4），使用Cauchy-Schwarz。同样地，E[（bτl（u）- τl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n-1/4）E[Z k，l+Zτ，l | Fl/n]=O（n-3/8).因此，我们将误差限定在log（b~nl（u））、log（bψl（u））和bτl（u）中。结合这些结果，我们推断出E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（1）E[（log（b|l（u））- 对数（ψl/n（u））+τl/n（u）- （对数（bψl（u））- 对数（ψl/n（u））+（bτl（u）-τl/n（u）））1（El）|Fl/n]=O（n-α），andE[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（1）E[（log（b|l（u））- 对数（ψl/n（u））+（对数（bψl（u））- 对数（ψl/n（u））+（bτl（u）- τl/n（u））+O（n-1/4）1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α).最后，可以检查这些结果在l=0，N-1和P∈ Sα，β（C，D）。5.2收敛速度的证明我们接下来证明了我们对回归估计ect（u）性能的结果。我们的论点来源于Tsybakov（2009），注意考虑到第1项陈述中的额外错误项，以及目标ct（u）的随机性。定理2的证明。

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2022-5-5 07:46:45

首先，我们将陈述一些关于局部多项式回归的事实，如定理1.7 inTsybakov（2009）的证明所示。由于设计点l/nare是一致的，因此对于大n，矩阵Vn（t）是可逆的，并且权重函数Wn，l（t）定义得很好。此外，权重Wn，l（t）满足：| Wn，l（t）|=O新罕布什尔州T-自然对数≤ H, （9）在l=0，N- 1.N-1Xl=0 | Wn，l（t）|=O（1）；（10）安德-1Xl=0T-自然对数pWn，l（t）=（1，p=0,0，p=1，…，N- 1.（11）我们现在证明我们的估计ect（u）的结果。我们必须首先定义定理陈述中给出的高概率事件E。我们是A，b=Tb-1l=aEl，集合E=E0，n。然后我们注意到，从定理1，我们得到了（Ec | F）≤N-1Xl=0E[P（Ecl | Fl/n）| F]=O（n3/8）exp(- An1/8）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A，A′>0。类似地，对于l=0，N- 1，k≥ l、我们有（Eck，n | Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8）。（12）接下来，我们将估计值bcl（u）分为偏差和方差部分。L etbcl（u）=cl/n（u）+bc1，L（u）+bc2，L（u），（13），其中偏差项bc1，L（u）=E[（bcl（u）- cl/n（u）1（E）| Fl/n]P（E | Fl/n），当P（E | Fl/n）=0时，设置bc1，l（u）=0，方差项bc2，l（u）由（13）定义。我们同样可以将回归估计ect（u）分为偏差和方差部分。Letect（u）=ct（u）+ec1，t（u）+ec2，t（u）+ec3，t（u），（14）其中估计量偏差和方差ec1，t（u）和ec2，t（u）由eck，t（u）=n给出-1Xl=0Wn，l（t）bck，l（u），k=1，2，回归系数biasec3，t（u）=n-1Xl=0Wn，l（t）cl/n（u）- ct（u）。为了限制ect（u）中的误差，我们必须证明所有三项eck，t（u）都很小。我们从估计偏差ec1，t（u）开始，注意到对于largen，|bc1，l（u）|=1（E0，l）E[（bcl（u）- cl/n（u）1（El，n）|Fl/n]P（El，n | Fl/n）=O（1）E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El，n）| Fl/n]，使用（12），=O（1）（E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）| Fl/n]+P（Ecl+1，n | Fl/n）），因为（bcl（u）- cl/n（u））1（El）有界，=O（n）-α），（15）使用（12）和定理1。

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2022-5-5 07:46:48

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nandehutu2022

2022-5-5 07:46:52

我们有| ct（u）- ct |=nuZRZ（1）- 因为(√nΦ（w）ux）dwνt（dx）=O（n-1） ZR（1）∧ nx）νt（dx）=O（n-1） ZR（1）∧ （nx）β/2）νt（dx）=O（n-(2-β） /2）ZR（1）∧ |x |β）νt（dx）=O（n-(2-β） /2）=O（n）-(2-β)/4)).因此，我们得出结论| ect（u）- ct |=Op（n）-α); （16）通过一个类似的论点，Lerror，kec（u）也是如此-ck。我们可以进一步检查这些限制是否有条件地保持在F上，并在所有t上保持一致∈ [0,1]，P∈ Sα，β（C，D）。接下来我们考虑P∈ Sα，βγ（C，D），对于某些γ∈ [0, 1].在扩展的概率空间上创建一个进程XSt，t∈ [0,1]，这肯定与Xtat times t一致∈ [0，S]。泰晤士报∈ [S，1]，我们要求XT是关于FTA和F+t的L'evy过程，具有特征三重态（bS，cS，νS）。同时创建观测ysj=XSj/n+εSj，j=0，N- 1，j/n在哪里≤ S、误差εSj=εj。当j/n>S时，我们要求误差εSj是F+j/n-可测量的，并且等于±。有条件地Ohm, Sα，β（C，D）中的x和ysjl定律成立，因此我们可以将（16）应用于ecSt（u）。我们得到| ecSt（u）- 计算机断层扫描∧S | 1(Ohm) = Op（f（C，D）n-α）（17）在γ，C和D中一致，对于函数f（C，D）>0。我们现在考虑P的情况∈ 假设给定任意序列δn>0，δn→ ∞. 如果我们选择Cn→ 0，Dn→ ∞ 慢如n→ ∞, 我们将得到f（Cn，Dn）=O（δn）。

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2022-5-5 07:46:56

自从P∈ Sα，β，我们还有P∈ 对于某些γn，Sα，βγn（Cn，Dn）→ 0; 允许Ohm0，n∈ 范德森∈ [0,1]表示相关事件和停止时间。应用（17），我们推导出| ecSnt（u）- 计算机断层扫描∧Sn | 1(Ohm0，n）=Op（δnn）-α).辛塞普(Ohm0，n∩ {Sn=1}）≥ 1.- γn→ 1，这意味着| ect（u）- ct |=Op（δnn）-α).由于这个结果适用于任何发散序列δn，我们得出结论| ect（u）- ct |=Op（n）-α).同样，Lerror的结果也类似。接下来，我们假设P∈ Tα（C，D），并限制估计ert（u）的准确性。我们首先确定它的归一化常数nn-1Xl=0bcl（u）=n-1Xl=0fWn，l（t）bcl（u），其中权重fwn，l（t）=1/n。由于这些权重满足h=1频带的（9）和（10），我们得到nn-1Xl=0（bcl（u）- cl/n（u））=N-1Xl=0fWn，l（t）（bcl（u）- cl/n（u））= Op（n）-α），像在奥雷姆2一样争论。我们也有nn-1Xl=0cl/n（u）-Zct（u）dt！= EN-1Xl=0Z（l+1）/nl/n（cl/n（u）- ct（u））dt！≤ E“n-1Xl=0Z（l+1）/nl/n（cl/n（u）- ct（u））dt#，根据詹森不等式，=n-1Xl=0Z（l+1）/nl/nE[（cl/n（u）- ct（u））]dt=O（n-2α).我们由此推断nn-1Xl=0bcl（u）-Zct（u）dt= Op（n）-α). （18）根据定理2，我们还有| ect（u）- ct（u）|=Op（n）-α). （19）结合这些结果，我们得到| ert（u）- rt|=ect（u）nPn-1l=0bcl（u）-ct（u）Rct（u）dt= Op（n）-α），sinceRct（u）dt≥ C>0。我们可以再次检查，这个极限在F上有条件地成立，并且在整个t上一致地成立∈ [0,1]，P∈ Tα（C，D）。如上所述，我们得出P的结论∈ Tα，| ert（u）- rt |=Op（n）-α).如上所述，我们还可以得出结论，这些结果同样适用于Lerror-ker（u）-rk。最后，我们对P的ert（u）的性能进行了限制∈ Sα，β（C，D）。

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2022-5-5 07:46:59

结合（16）、（18）和（19），我们有nn-1Xl=0bcl（u）-Zctdt, |ect（美国）- ct |=Op（n）-α).如上所述，我们得到| ert（u）- rt |=Op（n）-α），这可以扩展到P∈ Sα，β和Lerror-ker（u）-rk。最后，我们还可以证明估计率的下界，这是Munk和Schmidt Hieber（2010a）结果的简单推论。证据3。我们从第（i）部分开始，并求助于Reom 2.1 inMunk和Schmidt Hieber（2010a）的证明。作者在与我们的α，β（C，D）相似的条件下，给出了ct的还原率下限。Munk和Sch midt Hieber认为σt=σ>0是一个确定性常数，ctis是确定性的，bt=νt=0。然后，他们为波动性构造了大量的选择cω，t，以至少n的速率彼此分离-α. 他们进一步证明，在一个这样的波动率函数cω，T下，我们不能一致地估计ω。因此，这就是为什么不估计c*tof ctcan满足YKC*- ck=op（n）-α).可以看出，当C<1<D时，它们的模型位于Sα，β（C，D）∩T表示大n，所以它们的下界也适用于该设置。通过重新标定它们的波动函数cω，t，我们也可以得到一般0<c<D的相同结果。一个点态下界可以用类似的论证来证明；我们在下面给出了一个证明。为波动率定义两种选择，c0，t=1，c1，t=1+hαK（（1- t） /h），其中h=n-1/2（2α+1）和K:R→ R是一个光滑的非负函数，满足K（0）=1，K（1）=0。我们注意到，当C<1<D时，对于大n，这些模型位于Sα，β（C，D）范围内；如上所述，通过重新缩放，我们可以使用一般的0<C<D。我们还可以使c0,1和c1,1以n的速率分离-α.

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