根据mand-min引理3的估计，我们得到了局部展开式m（^s+it，T）=expm（^s，T）+itk-m（^s，T）T（1+O（t+tk））。有理函数1/（s（s）- 1） ）是局部常数，一阶：（^s+it）（^s+it）- 1)=λ+(λ+- 1） （1+O（k）-1/2)).因此，靠近鞍点的积分变成（7）ek2πiZ^s+ik-α^s-ik-αe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds=ek（1）-^s）M（^s，T）2πλ+（λ+- 1） Zk-α-K-αexp-m（^s，T）T（1+O（k）-3α+2）dt。设置u:=m（^s，T）1/2，我们从引理3u得到=√2k3/4ξ1/4（1+O（k-3/2）和u=ξ1/4√2k3/4（1+O（k）-3/2)).通过替换ω=ut并利用高斯积分具有指数衰减尾的事实，我们发现zk-α-K-αexp-m（^s，T）Tdt=uZuk-α-英国-αexp-ωdω=√πk-3/4ξ1/4（1+O（k-3/2)).（8） 在（7）中使用它，用引理3中的估计值替换M（^s，T），得到（4）的右边。请注意，要获得相对误差k-1/4，而不仅仅是k-1/4+ε，必须在局部展开式中再加一项，记住众所周知的事实，即鞍点法通常产生完全渐近展开式。有关类似分析中对该问题的详细讨论，请参见[7]。（下面的默顿模型也同样适用。）为了证明定理1，它还需要证明| t |>k上的积分-α可以被删除，因此（7）渐近相等（6）。这个尾部估计是在下面的引理中完成的。根据对称性，它有助于处理t>k-α.引理4。让<α<。然后我们有ek2πiZ^s+i∞^s+ikαe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2.证据设s=^s+it=λ+- ξ1/2k-1/2+it，其中t≥ K-α. 然后| M（s，T）| 经验<ξξ1/2k-1/2- 信息技术= 经验ξ1/2k1/21+tξ-1k 经验ξ1/2k1/21+k1-2αξ-1..使用事实1/（1+x）≤ 1.-x/2代表x≤ 1和k1-对于足够大的k，2α小于1，我们得到（9）| M（s，T）| 经验ξ1/2k1/2- ξ-1/2k3/2-2α/2.6斯特凡·格霍尔德，约翰·F。

MORGENBESSER和AXEL ZRUNEKFrom | s（s）- 1)|  1+tand（9），我们得到了k2πE-ksM（s，T）s（s）- 1)埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/21+t和thusek2πiZ^s+i∞^s+ik-αe-ksM（s，T）T（s）- 1） ds 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2Z∞K-αdt1+t 埃克（1）-λ++2ξ1/2k1/2-ξ-1/2k3/2-2α/2.定理1的证明是完整的。最后，我们提到XT（σ=0）分布的尾部渐近性可在[1]示例7.5中找到。它们也可以从Embrechts等人[5]的早期工作中推断出来。Merton跳跃扩散模型在他的一篇经典论文中，Merton[15]提出了一个带有高斯跳跃的L’evy跳跃扩散模型，作为对数收益的模型。如果跳跃大小分布的均值和方差为uresp。δ、 那么mgf就是整个函数m（s，T）=expTσs+bs+λ（eδs/2+us- 1).Benaim和Friz[3]给出了买入价格的一阶对数渐近性，（10）L:=-对数C（k，T）~√δkplog k，k→ ∞,隐含波动率的一阶渐近性：（11）V（k）~ 2.-3/4√δk/（对数k）1/4。我们定义的结果最好使用隐式定义的鞍点^s=^s（k），满足m（^s，T）=k（在Kou模型中，我们为求和生成函数写m=log m）定理5。为了k→ ∞, 默顿模型中的买入价格满足（k，T）=δek（1-^s）M（^s，T）2对数kp2πM（^s，T）1+O√日志k（12） =δek（1）-^s）+Tσ^s/2+b^s+λeΔ^s/2+μ^s-1.2对数kq2πTσ+λ（Δ^s+u）（（Δ^s+u）+δ）eΔ^s/2+us(13)·1+O√日志k.推论6。默顿模型的隐含波动率满足k→ ∞,V（k）=G-k、 L-logl+logk√π+ 好的-1/2（对数k）-5/4)(14)= 2-3/4√δk（对数k）-1/4+c√k（对数k）-3/4+O√k对数k（对数k）5/4！，（15） 其中L=-log C（k，T）是买入价G的绝对对数-（k，u）=√2(√u+k-√u） ，c=2-9/4δ-1/2(u + δ) - 2.-13/4δ3/2.MERTON和KOU跳跃扩散模型的渐近性7图3。

实心曲线是默顿模型的隐含体积，参数T=0.1、σ=0.4、λ=0.1、u=0.3和δ=0.4。虚线是一阶近似值（11），而虚线是我们定义的近似值（14）。定理7。默顿对数回归系数的密度→ ∞,fXT（k）=e-k^sM（^s，T）p2πm（^s，T）（1+O（k）-1/2（16）=e-k^s+Tσ/2^s+b^s+λeδ/2^s+μ^s-1.q2πTσ+λ（Δ^s+u）（（Δ^s+u）+δ）eΔ^s/2+us（1+O（k）-1/2（17）=exp-√δkplog k+O（k）！。（18） 公式（13）仅为（12），M替换为其显式形式，并与（17）和（16）保持相同。对于数值精度，最好使用（14）和（17），而不是更明确的变量（15）和（18）。我们首先从半显式公式（14）和（17）中推导（15）和（18），使用^s的渐近近似。鞍点满足（19）^s=√2对数kδ-δ+O对数k√日志k.该估计值源自鞍点方程m（^s，T）=k，采用了经典的“自举”技术（参见[10]的第22章）。从鞍点方程中，我们知道（20）eΔ^s/2+μ^s=k/T- ^s- bλ（Δ^s+u）~λδT√K√记录k。使用（17）中的这些属性可以得到（18）。对于底层的密度，我们得到（21）fST（k）=fXT（logk）/k=k-(√2/δ)√log log k·eO（log k）。8 STEFAN GERHOLD、JOHANNES F.MORGENBESSER和AXEL Zrunekt由于√logk，但它仍然渐近地比任何幂律轻。

模型参数的影响在这里似乎有点令人惊讶：跳变大小和泊松强度都没有出现在（21）中的主要因素中，而只有跳变大小方差。要获得明确的定义波动率扩展（15），请注意，通过（13）、（19）和（20），我们可以定义（10）到（22）L=√δkplog k-u+Δδk+O日志日志√日志k.从那时起-（k，u）=√库-1/2-√库-3/2+O（ku）-5/2），在（14）中使用（22）得到（15）。我们继续证明定理5和推论6中的第一个等式。定理7的证明与定理5非常相似，使用了密度的Fourier表示，因此省略了（参见[16]）。（或者，密度渐近性可以通过拉普拉斯方法从[4]中的序列表示（4.12）中推导出来。）推论6中的公式（14）是[8]中推论7.1的特例；误差项来自（10）。然后，我们的定理5可用于数值逼近Lin（14），或象征性地获得显式展开式（15）；见上图。请注意，我们定义的调用近似在（15）中产生了二阶项（以及更高阶项），这无法从（10）中推导出来。这有待证明（12）。再次，我们使用表示法（6），其中η>1，并将积分轮廓移动到鞍点^s。对于中心范围，我们让s=^s+它，其中| t |<k-α和α∈ (,).引理8。累积量生成函数m（s，T）=对数m（s，T）满足，k→ ∞,m（^s，T）=kδ√2原木k1+Olog klog k,m（^s，T）=k，m（^s，T）=δkp2对数k1+O√日志k,m（^s+it，T）=2k logk1+O日志k,其中| t |<k-α.证据至于Kou模型，这些展开式后面是显式mgf的直接计算。对于第二个方程，请注意，我们使用的是精确的鞍点，而不是像在Kou模型中那样的近似值。

由于鞍点趋于一致，有理函数1/（s（s-1） ）局部趋向于零：（^s+it）（^s）- 1+it）=δ2对数k1+O√日志k.（我们在这里使用了（19）利用这个引理和引理8，我们看到在处理高斯积分asin（8）之后，中心范围上的积分具有渐近性（12）。为了完成证明，我们需要提供一个尾部估计，其结果是s外的积分=^s+它与|t |<k-α可以忽略不计。同样，它有助于通过对称处理上部。MERTON和KOU跳跃扩散模型的渐近性9引理9。让<α<。然后我们有ek2πiZ^s+i∞^s+ik-αe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds埃克（1）-^s）M（^s，T）e-δk1-2α/(2√2.log k）log k.证明。我们的第一界M（s，T）：|M（s，T）|=exp<Tσs+bs+λeδs/2+us- 1.= 经验Tσ（^s）- t） +b^s+λcos（δt^s+ut）eδ（^s）-t） /2+^s- 1.≤ 经验Tσ（^s）- t） +b^s+λeΔ^s/2+^se-δk-2α/2- 1..乌辛-δk-2α/2= 1 - δk-2α/2+O（k-4α）和（20），我们得到m（s，T） E-TσT/2M（^s，T）e-δk1-2α/(2√2.k）。自| s（s）- 1)|  logk，这个估计意味着ek2πiZ^s+i∞^s+ik-αe-ksM（s，T）s（s）- 1） ds埃克（1）-^s）M（^s，T）e-δk1-2α/(2√2 log k）log kZ∞K-αe-σtT/2dt埃克（1）-^s）M（^s，T）e-δk1-2α/(2√2 log k）log k。参考文献[1]J.M.P.Albin和M.Sund\'en，关于L\'evy过程的渐近行为。I.次指数和指数过程，随机过程。应用程序。，119（2009），第281-304页。[2] S.Benaim和P.Friz，《微笑渐近II：具有已知矩母函数的模型》，J.Appl。Probab。，45（2008），第16-32页。[3] S.Benaim和P.Friz，规则变化和微笑渐近，数学。《金融》，第19期（2009年），第1-12页。[4] R.Cont和P.Tankov，带跳跃过程的金融建模，查普曼和霍尔/CRC金融数学系列，查普曼和霍尔/CRC，博卡拉顿，佛罗里达州，2004年。[5] P.Embrechts，J.L.Jensen，M.Maejima和J.L.Teugels，复合泊松过程和P\'olya过程的近似，Adv.in Appl。

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