美式期权为什么要用最小二乘法

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收藏 2011-05-18

longstaff的最小二乘法是蒙特卡洛模拟计算美式期权最常用的方法，但是我总是对这个理论不是特别明白：按照书上的说法，在非最后一个行权日，需要比较继续持有期权的“期望”收益和立即行权的收益，继续持有的收益需要计算期望值（也就是最小二乘法）。但蒙特卡洛本身已经模拟出了实际的路径，在该路径下继续持有的收益是确定的啊，为什么还需要再去求一次期望值？这似乎和蒙特卡洛本身有点矛盾（蒙特卡洛本身就是为了避免考虑求取期望等等的难度而直接模拟出实际路径）。。。还有最小二乘法这种回归方法，除了比较接近实际结果外，其本身V=a*S^2+b*S+C这个公式有没有什么解释意义？

此外，我看longstaff的paper上举的简单的例子中，只会针对立即行权的收益>继续持有收益的路径用最小二乘法回归，其他路径未处理。但是有的软件的处理方法会对所有路径的继续持有收益进行最小二乘的回归。究竟哪种更合理呢？还是两种都可以呢？

有没有哪位大侠能解答下我的疑惑，或者说下自己的看法也行，感激不尽~~~~~

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cxqing

2011-5-27 15:04:48

我个人的理解是这样的，也不知道对不对
首先，对于每一条模拟的路径，可以看成是总体中的一个样本点，也就是一个观察值，
比如第一条路径在某时刻 t 的股价是 S1  期权的价值是 V1
      第二条路径在某时刻 t 的股价是 S2  期权的价值是 V2
      。。。。。
      相当于在某一时刻 t ，你得到了该股票价格的一个观测序列和期权价值的观测序列
      然后从中得到股价与期权价值之间的关系

   根据这些点，进行拟合，就是所说的最小二乘法

   V=a*S^2+b*S+C  没什么具体的意义
首先，最小二乘法说的是  用一组基函数的线性组合来最佳逼近 L2空间（不知道你有没学过泛函或者数值分析，或数值代数）

然后  这个公式就是  用多项式函数的  三个基函数  1 X X^2 的线性组合来逼近期权价值的函数

当然，你也可以用其他的基函数来逼近  比如  三角函数  傅里叶函数  等等一堆的基函数来逼近