第一类套利与中国的过滤放大

2022-5-5 11:56:56

半鞅金融模型中的第一类套利和过滤放大Baatrice ACCIAIO、CLAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASAbstract。在一般半鞅金融模型中，我们研究了在初始和渐进过滤放大条件下第一类无套利（NA）（或者，等价地，无无界利润和有界风险）的稳定性。在这两种情况下，我们都提供了一个简单而一般的条件，足以确保任何固定半鞅模型的稳定性。此外，我们给出了所有半鞅模型的可解性的一个特征。简介在金融数学中，人们广泛研究了具有不同信息集的市场模型，尤其是与内幕交易和信用风险建模有关的模型（参见[JYC09]及其参考文献）。通常情况下，我们首先假设一个关于给定信息集的模型，然后用市场上最初不存在的一些附加信息来扩大该信息集。从数学角度来看，这相当于考虑在给定的过滤概率空间上扩大原始过滤。由于该模型旨在代表金融市场，一个基本问题是附加信息是否允许套利。本文旨在在一般半鞅驱动的模型背景下回答上述问题，无论是在附加信息随着时间的推移逐渐增加的情况下，以及在初始时间完全添加附加信息的情况下。参考过滤扩大理论的术语（参见[Jeu80]了解该理论的完整说明，[JYC09，§5.9]和[Pro04，Ch。

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2022-5-5 11:57:00

六] 对于主要结果的陈述），这对应于将获得的过滤分别视为原始过滤的渐进式或初始放大。我们的分析侧重于第一类无套利（NA）条件（见[Kar10]），即等价于有界风险无无界利润（NUPBR）条件（见[Kar10，命题1]）。从数学上讲，条件Nai等价于严格正局部鞅函数的存在，并且可以被证明是确保日期适定性的最小条件：2015年5月20日。2010年数学学科分类。60G44，91G10。关键词和短语。逐步扩大过滤；初步扩大过滤；第一类套利；鞅消去器。第二作者的研究得到了玛丽·居里欧洲内部研究金的支持，该研究金属于欧洲共同体框架计划的第七部分，根据PIEF-GA-2012-332345.2号拨款协议，比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯提出的效用最大化问题（见[KK07，提案4.19]）。在关于随机时间τ的渐进放大的情况下，我们研究了NaO在随机时间范围[0，τ]上的稳定性，表明扩大后的过滤中第一类套利的存在与资产价格过程在原始过滤中的特定非负局部鞅为零的同时出现跳跃的可能性有着至关重要的联系。反过来，我们证明后一种情况的可能性与原始过滤的局部鞅在放大过滤中的行为密切相关，直至适当的归一化。

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2022-5-5 11:57:04

在原始过滤初始扩大的情况下，在[Jac85]的经典密度假设下，我们建立了一组类似的结果，表明扩大过滤的有效性与资产价格过程跳跃的可能性有关，同时原始过滤中的非负martin gales家族跳跃到零。反过来，与渐进放大的情况一样，后一种可能性也充分体现了原始滤波的局部鞅在放大滤波中的行为，直至适当的归一化。在渐进扩张和初始扩张的两种情况下，这些结果使我们能够提供一个简单有效的条件，确保固定的s-Martin gale模型的稳定性，并明确描述所有半鞅模型的稳定性。尽管我们没有对主要结果进行陈述，但对其证明的检查揭示了一种解决问题的实际方法：在原始过滤中使用局部鞅函数，我们在放大过滤中明确构造局部鞅函数，以显示条件NA的有效性。在这个过程中，我们获得了一些关于渐进和初始过滤放大的有趣的新结果，展示了如何通过适当地描述过程，将过程的超/局部鞅性质从原始过滤转移到放大的过滤。对于与诚实时间τ有关的渐进式过滤放大（见[Pro04，第六章]），套利收益的示例见[Imk02]、[Zwi07]和[FJS14]。在连续半马丁-盖尔模型的背景下，如[FJS14，定理4.1]所示（另见[Kre13，Lemm a6.7]），条件NAI在随机时间范围[0，τ]上的放大过滤中始终有效。

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2022-5-5 11:57:07

在一般半鞅模型的情况下，这不再成立，见§1.5.1中的示例。在这种背景下，最近的论文[ACDJ14]探讨了逐步扩大过滤的可闻性问题，并代表了目前工作的灵感来源之一。特别是，与定理1.4和备注1.5中给出的条件等效的关键作用已在[ACDJ14]（见备注1.6）中首次指出并证明，我们在定理1.7中获得的特征化结果与[ACDJ14]中已经建立的特征化结果等效（见R emark 1.8）。然而，与后一篇论文相比，我们在这里采用了完全不同的方法，并为这些结果提供了原始且相当简单的证明，避免了使用补偿随机积分（参见[HWY92，定义9.7]），并且，有些令人惊讶的是，不依赖经典的JeulinYor分解公式（参见[Jeu80，命题4.16]）。相比之下，我们利用了半鞅模型3[Kar15]中最近在第一类比特率和过滤放大中建立的与τ相关的Az’ema超鞅的可选分解的性质。我们还想提及的是，在经典的无免费午餐消失风险（NFLVR）情况下（见[DS94，DS98]），已经对其稳定性以及在逐渐扩大的过滤中保留m artin gale财产的关系进行了研究[CJN12]。在最初的过滤扩大案例中，[GP98]、[GP01]和[IPW01]等研究了在扩大过滤中实现arb硝化的可能性。关于经典的NFLVR条件，众所周知，如果J的条件定律对所有时间都等价于条件定律（参见[GP98]），则它在初始放大时相对于随机变量J是稳定的。

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2022-5-5 11:57:10

然而，据我们所知，到目前为止，还没有研究过初始放大的不稳定性问题。有趣的是，我们表明，无论是进展还是初始病例，都可以依靠相同的方法进行治疗。本文的组织结构如下。第1节包含我们的主要结果的框架和陈述。在第2节中，我们考虑逐步扩大过滤。我们研究了临界停止时间，然后用它来确定局部鞅，并证明扩大过滤条件的稳定性。在第3节中，我们对最初扩大的过滤进行了相同的分析，并获得了类似的结果。1.主要结果1。1.概率设置。在接下来的所有内容中，我们研究了一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）t∈R+是一种过滤，通过P-空集满足右连续性和饱和的通常假设。一般来说，F∞ F保持不变，最后一组包含可能是严格的。我们将使用随机过程一般理论中的标准符号。对于任何无法解释的符号和结果，读者可以参考[HWY92]或[JS03]。1.2。市场模式。修正d∈ N={1，2，…}，让我们≡ （是）我∈{1，…，d}是上的非负半鞅的集合(Ohm , F、 P）。每个Si，我∈ {1，…，d}对资产的价格过程进行建模，并根据市场中的基准证券进行贴现。从初始资本x开始∈ [0, ∞)根据一个d维、F-可预测和S-可积的策略H，投资者的贴现财富过程由Xx，H:=x+R·（Ht，dSt）给出。应该注意的是，我们通过ou t使用向量随机积分。定义X（F，S）为所有非负过程的类Xx，在前面的符号中。

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2022-5-5 11:57:13

（在X类（F，S）的定义中，初始资本X∈ [0, ∞) d维、F-可预测和S-可积策略H是任意的，只要Xx，H≥ 0.）定义1.1。对于T∈ (0, ∞), 在[0，T]上有信息F和资产的第一类套利是χT∈ L+（FT），其中P[χT>0]>0，并且对于所有x∈ (0, ∞)我们想指出的是，非负性假设对以下结果的保持并不重要，前提是局部鞅的概念被西格玛鞅的概念适当地取代（见[DS98]和[TS14]）。4 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASthere存在X∈ X（F，S），其中X=X（其中财富过程X可能发生在X上），因此p[XT≥ χT]=1。如果在T的任何区间[0，T]上不存在信息为F和资产S的第一类套利∈ (0, ∞), 我们认为条件NA（F，s）成立。每当Q~ P、我们用Y（F，S，Q）来表示Y=1的所有严格正F适应c`adl`agy过程的类，使得Y和ys是上的局部鞅(Ohm, F、 Q）。inY（F，S，Q）中的元素称为严格正局部鞅函数（对于S）(Ohm, F、 Q））。当严格正性被非负性所取代时，我们只需要讨论局部鞅定义。如果yqdenotest Q相对于P的密度过程，注意Y（F，S，Q）=Y（YQ/YQ）|Y∈ Y（F，S，P）持有。根据[TS14，定理2.6]的推论，条件NA（F，S）是等价的（F，S，Q）6= （其中，当然是Q~ P是任意的）。对于我们的pur姿势（见下面的备注1.3），我们需要一个更精确的陈述。定理1.2。条件NA（F，S）成立的充要条件是存在Q~ P和严格正ebx∈ X（F，S）使得（1/bX）∈ Y（F，S，Q）。请注意，即使定理1.2的陈述比[TS14，定理2.6]更严格，它实际上也遵循后者的证明。

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2022-5-5 11:57:17

事实上，[TS14]证明了NA（F，S）意味着Q的存在~ P和严格正ebx∈ X（F，S）使得YQ/（bXYQ）∈ Y（F，S，P），其中yq表示Q相对于P的密度过程。本文的主要目的是研究以渐进或初始方式扩大过滤F时条件的稳定性。当然，首先要解决的问题是过程的半鞅性质的保持，这在文献中通常被称为H′-假设。在通过随机时间τ进行渐进过滤放大的情况下，这是Jeulin-Yor定理的结果，该定理始终适用于时间τ（对于诚实的时间，它适用于所有[0，∞)); 参见[JY78]。对于初始过滤展开的情况，当满足Jacod的密度假设时，半鞅性质保持不变的一个众所周知的情况是；参见[Jac85]。我们想指出的是，这些事实也将与我们在第2节中对渐进式扩张案例（见推论2.9）和第3节中对初始扩张案例（见备注3.5）的分析相一致。备注1.3。定理1.2将在证明我们的主要定理中发挥关键作用。事实上，它表明NA（F，S）等价于Y的存在∈ Y（F，S，Q）这样{s6=0}={y6=0}，对于某些Q~ P.如下所示（见第2.4节和第3.3节），为了从原始过滤的局部鞅过滤器开始构建放大过滤的局部鞅过滤器，该属性变得至关重要（与R标记2.11和3.8也进行比较）。渐进式过滤放大的主要结果。我们首先研究了过滤F相对于可测量随机时间τ的渐进放大条件下的稳定性：Ohm 7.→ [0, ∞] 使得P[τ=∞] = 0

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2022-5-5 11:57:20

（我们请读者参考[Pro04，第一类套利和半鞅模型中的过滤放大第六章]，了解过滤放大理论的文本说明。）逐渐扩大的过滤G=（Gt）t∈R+通过（1.1）Gt={B定义∈ F | B∩ {τ>t}=Bt∩ s-ome-Bt的{τ>t}∈ Ft}，T∈ R+。特别是，G是一个包含F并使τ成为停止时间的右连续过滤，但请注意，G不是包含F并使τ成为停止时间的最小右连续过滤，比较[GZ08]中的讨论。它来自于Jeulin-Yor定理，即Sτ：=（Sτ∧t） t∈R+是一个半鞅(Ohm, G、 P）（例如，参见[JY78]；实际上，我们都在推论2.9中提供了这个基本事实的另一种简单证明）。然后，X类（G，Sτ）的定义方式与§1.2中相应的X类（F，S）的定义方式完全相同。后半部分中使用的符号NA（G，Sτ）指的是不存在第一类信息G和资产Sτ的套利。与τ相关的Az’ema超马尔可夫在过滤的渐进放大研究中起着关键作用（由I[[0，τ[[on]的可选投影给出）(Ohm, F、 P），参见[Jeu80]和其中的参考），我们用Z表示。这意味着P[τ>σ| Fσ]=Zσ，适用于所有有限的停止时间σ(Ohm, F），注意Z∞:= 极限→∞鉴于P[τ=∞] = 0（注意限制Z∞由于上鞅收敛定理，它总是存在的。此外，如果是I[[τ]的双重可选投影，∞[]，因此u：=A+Z是一个非负一致可积的马丁盖尔(Ohm, F、 P）ut=E[A∞|无论如何≥ 0（参见[Nik06，第8.2节]）。此外，通过对偶可选投影的一般性质（参见。

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2022-5-5 11:57:23

[HWY92，T heorem5.27]），对于任何停止时间σ(Ohm, F），它认为在{σ<∞}.为了所有人∈ N、设ζN:=inf{t∈ R+|Zt<1/n}。此外，设置（1.2）ζ：=limn→∞ζn=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}=inf{t∈ R+|Zt=0}，其中最后一个等式成立，因为Z是上的非负超鞅(Ohm, F、 P）。现在我们引入一个在续集中非常重要的停站时间。C开-关ζ-可测量事件∧：={ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}，定义（1.3）η：=ζ∧=ζI∧+∞我Ohm\\Λ.很明显，η是(Ohm, F）满足P[η>τ]=1。实际上，P[τ>η| Fη]=Zη=0和P[τ=η<∞|Fη]=AηI{η<∞}= AζI∧=0（记住P[τ=∞] = 假设为0）。在§1.5中，η可能完全不可访问或可访问。然而，引理2.5表明P[η=σ<∞ | Fσ-] < 适用于所有可预测时间的1小时(Ohm, F）。下面的结果确定了在当前渐进过滤扩大的情况下条件的稳定性。与最初扩大过滤的对应物（定理1.11和1.12）一起，它们是本文的主要结果。First结果与固定半鞅模型的条件的稳定性有关。6比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯泰奥雷姆1.4。如果NA（F，S）成立，P[η<∞, Sη6=0]=0，则NA（G，Sτ）成立。备注1.5。上述定理的信息是，为了确保渐进式过滤放大的保存，只需检查在η时的过滤过程是否持续。很明显，如果NA（F，eS）满足上述条件：=Sη-= Sη- SηI[[η，∞[]，那么NA（G，Sτ）也成立，因为P[η>τ]=1。实际上，为了得到NA（G，Sτ），NA（F，eSζn）对所有n都有效∈ N

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2022-5-5 11:57:27

实际上，NA（F，eSζn）的n表示NA（G，Sτ）∧ζn），并且区间[[0，τ∧ ζn]]排气[[0，τ]]，因为P[ζ≥ τ ] = 1. 现在，由于条件可以在当地给出，因此索赔如下。备注1.6。定义为I[[0，τ]]在(Ohm, F、（另见[Jeu80，第四节1]）；换句话说，对于任何停止时间σ(Ohm, F），eZσ=P[τ≥ σ| Fσ]对{σ<∞},所以EZ=Z+A.很容易看出条件P[η<∞, Sη6=0]=0相当于S et{Z的消失-> 0，eZ=0，s6=0}。因此，定理1.4与[ACDJ14，推论2.20，第（b）部分]中通过不同技术证明的结果相对应。此外，当S是一个左连续S emimatin gale时（见[JS 03，定义I.2.25]），[ACDJ14，定理2.8]表明NA（F，eSζn）对于所有n∈ N、实际上，对于保护G中的不动产是必要且有效的（另见[ACDJ14，备注2.9]）。定理1.4恢复了已知的事实，即对于所有连续s-Martin大风，条件在渐进放大下是稳定的；参见[FJS14]和[Kre13]。此外，这意味着条件P[η<∞] = 0足以保证任何资产定价过程集合的稳定性。在下一个结果中，我们证明了这个条件也是必要的，以获得这种一般稳定性。事实上，对于P[η<∞] > 0，我们提供了第一类套利的一个明确示例，进一步说明了条件P[η<∞, 定理1.4中的Sη6=0]=0不能被削弱；另见§1.5.1。下列定理的陈述（1）是第1.4项的直接结果，而陈述（2）的证明在第2.4节中给出。定理1.7。下列陈述成立：（1）如果P[η<∞] = 0，那么对于NA（F，S）成立的任何S，NA（G，Sτ）也成立。（2）假设P[η<∞] > 0

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2022-5-5 11:57:30

然后，D是I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P），非负过程S:=E(-D）-1I[[0，η[[是上的局部鞅](Ohm, F、这里我们通过矛盾的方式提供一个pro。假设没有∈ (0, ∞) 和χT∈ L+（GT）使得p[χT>0]>0，满足条件，对于所有x∈ (0, ∞), 存在Xx=x+（Hx·Sτ）∈ X（G，Sτ）与p[XxT≥ χT]=1。考虑集合A:={χT>0}，并将n取得足够大，使得B:={ζn∧ T≥ τ ∧ T}∩ A.∈ GTS满意度P[B]>0。注意ψT:=χTIB∈ L+（GT）使得P[ψT>0]>0。现在，每x∈ (0, ∞), 定义过程Yx:=x+（Hx·Sτ）∧ζn）∈ X（G，Sτ）∧ζn）。根据可采性定义，P[YxT≥ 0] = 1. 此外，在Bwe上有YxT=x+（Hx·Sτ∧ζn）T=x+（Hx·Sτ）T≥ χT=ψT。总的来说，这就是P[YxT≥ ψT]=1，与NA（G，Sτ）不矛盾∧ζn）。半鞅模型和Sτ中的第一类套利和过滤放大在P[Sτ>1]>0时是非减损的。特别是，条件NA（F，S）成立，但条件NA（G，Sτ）失效。备注1.8。与备注1.6中的讨论类似，条件P[η<∞] = 0相当于集合{Z]的消失-> 0，eZ=0}={Z-> 0，Z=0，A=0}。因此，通过不同的技术，我们在定理1.7中得到的特征等同于[ACDJ14，定理2.22]中证明的特征。第二节是定理1.4和定理1.7的证明；还有几个有趣的副作用。在下文的§1.5中，给出了几个示例。1.4. 初始过滤放大的主要结果。现在，我们研究了过滤系数F初始增大时条件的稳定性，即F-可测量的随机变量J在Lusin空间（E，BE）中取值，而E的Borelσ-场为E。

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2022-5-5 11:57:33

由于符号的滥用，我们用G=（Gt）t表示∈R+过滤G=（Gt）t的右连续增强∈Gt定义的R+：英尺∨ σ（J），对于所有t∈ R+。让γ：BE7→ [0，1]是J的定律（因此γ[B]=P[J∈ B] 对所有人都适用∈ 是的）。此外，对于所有的t∈ R+，设γt：Ohm ×BE7→ [0，1]是J的Ft条件定律的常规版本，它存在于（E，be）是Lusin时。假设1.9。在§1.4中，我们在以下条件下工作：（J）对于所有t∈ R+，γt<< γ在P-a.s.意义上成立。假设1.9是[Jac85]中引入的经典密度假设。事实上，如[Jac85，命题1.5]（另见[Pro04，定理VI.11]）所示，条件（J）成立的当且仅当∈ R+存在一个σ-有限度量单位νton（E，BE），使得γt<< 从P-a.s.的意义上来说，是νtholds。Jaco d的密度假设在金融数学中起着重要作用，尤其是与其他信息的建模有关（参见[AIS98、GP98、GP01、Bau03、GVV06、KH07、KHL11]）。下一个辅助结果（其证明推迟到第3节）意味着条件密度的存在。它基本上对应于[Jac85，引理1.8]（另见[Ame00，附录A.1]）。请注意，O（F）表示上的F可选σ字段Ohm ×R+。引理1.10。存在一个（BE） O（F））-可测量的函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ pxt（ω）∈[0, ∞), c\'adl\'ag in t∈ 例如：（i）对于EVERY t∈ R+，γt（dx）=pxtγ（dx）保持P-a.s；（ii）每x∈ E、过程px=（pxt）t∈R+是上的鞅(Ohm, F、 P）。每x∈ E和n∈ N、定义车辆上的停车时间系列(Ohm, F）通过（1.4）ζxn:=inf{t∈ R+|pxt<1/n}和ζx:=inf{t∈ R+| pxt=0}.8比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯∈ E、它认为（ζxn）n∈这是一个非减量序列，P[limn→∞ζxn=ζx]=1，px=0，∞[（另见[Jac85，引理1.8]）。

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2022-5-5 11:57:36

还要注意的是，由于[Jac85，推论1.11]，我认为PζJ<∞= 0，其中ζJ（ω）：=ζJ（ω）（ω）表示所有ω∈ Ohm. 每x∈ E、我们考虑了Fζx-可测事件∧x:={ζx<∞, pxζx-> 0}. ∞我Ohm\\λx，十、∈ E、这是一个暂停时间(Ohm, F）表示px跳到零的时间。在假设1.9下，我们现在讨论关于初始放大过滤有效性的定理1.4和1.7的对应部分。请注意，假设1.9保证S是上的半鞅(Ohm, G、 P），通过[Jac85，定理1.1]，这是通过依赖半鞅的Bichteler-Dellacheriec特征来证明的。（在这方面，另见本文件备注3.5。）这使我们能够按照§1.2中关于过滤F的规定定义X类（G，S）和条件NA（G，S）。第一个结果与已执行半鞅模型的条件NA的稳定性有关。定理1.11。在假设1.9下，进一步假设空间L(Ohm, F、 P）是可分离的，P[ηx<∞, Sηx6=0]=0对γ-a.e.x保持不变∈ E.如果NA（F，S）成立，那么NA（G，S）成立。注意，可分性是一个温和的技术假设，只允许我们使用[SY78，命题4]的结果；正如后一篇文章的作者所提到的，它在所有具有实际意义的情况下都是令人满意的。在§1.5.3中，我们将提供一个示例，说明条件P[ηx<∞, Sηx6=0]=0，对于γ-a.e.x∈ E、不能放弃。与逐步扩大过滤的情况一样，定理1.11具有以下结果：如果P[ηx<∞] = γ-a.e.x为0∈ E、条件NA（F，S）意味着任何资产价格过程S的条件NA（G，S），以形成定理1的表（2）的对应项。7（关于所有半鞅模型的条件稳定性）在初始放大滤波的情况下，我们必须稍微偏离原始设置。

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2022-5-5 11:57:39

更准确地说，当P[ηx<∞] > 0将包含一个潜在的半鞅的有限集合。（但是，请参见备注1.13。）也就是说，dx表示I[[ηx]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）对于所有x∈ E、确定系列（Sx）x∈Evia（1.6）Sx:=E(-Dx）-1I[[0，ηx[,，十、∈ E、在第3节中，在空间L的可分性假设下(Ohm, F、 P），可以确定一个人可以获得一个版本的功能E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Sxt（ω）是什么 O（F）-可测量。通过SJ（ω，t）定义的过程SJ:=SJ（ω）t（ω）表示所有（ω，t）∈ Ohm ×R+是一个s-Martin gale(Ohm, G、 P），并具有以下财务解释：了解J和第一类unitARBITRAGE以及半鞅模型中的过滤放大的内幕人士9初始资本在时间上对指数为J的单个股票单位的头寸为零，并保持不变。尽管该策略可能涉及有限数量的资产，但它具有最简单的买入和持有性质。下列定理的陈述（1）是定理1.11的中间结果，而陈述（2）的证明在第3.3节中给出。定理1.12。在假设1.9下，以下陈述成立：（1）如果P[ηx<∞] = γ-a.e x为0∈ E、那么对于NA（F，S）成立的任何S，NA（G，S）也成立。（2）假设空间L(Ohm, F、 P）是可分离的，且thatREP[ηx<∞] γ[dx]>0。然后，家庭（Sx）x∈Ein（1.6）由上的局部鞅组成(Ohm, F、 P），而Sj与P无关SJt=SJ，T∈ R+< 1.特别地，NA（F，Sx）对每x都成立∈ E、布特纳（G，SJ）失败了。粗略地说，在定理1.12的第（2）部分中，内幕人士从家族（Sx）x中的单一资产开始识别∈它不会违约，因此可以套利。备注1.13。

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2022-5-5 11:57:44

IfPk∈NP[J=xk]=1对{xk | k族成立∈ N} E、人们可以找到一种单一资产，这种资产将导致对第一个k股的套利∞] γ[dx]>0意味着存在κ∈ N使得P[ηxκ<∞] > 0.自从PζJ<∞= 0，P[J=xκ，ηxκ<∞] = 0以简单的方式进行跟踪；因此，买入并持有策略I{J=xκ}导致套利{J=xκ}·Sxκ。当定律γ有一个不同的分量时，前一个参数可能不起作用；然而，在比Rep更强（更准确地说，至少不弱）的假设下，仍然可以使用单一资产获得第一类套利∞] γ[dx]>0，如定理1.12第（2）部分所述。也就是说，B∈ beithγ[B]>0，用明显的方式定义ηBin，作为鞅（γt[B]）t∈R+跳到零。注意，对于所有t，γt[B]=RBpxtγ[dx]相等∈ R+；尤其是PηB<∞> 0表示rep[ηx<∞] γ[dx]>0。（对于某些集合B，ConverseApplication是否也成立，这是一个悬而未决的问题。）∈ 是的。）假设PηB<∞> 0换someB∈ 定义S:=E时，比沃斯γ[B]>0(-（分贝）-1I[[0，ηB[[其中，Db表示I[[ηB]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P），可以证明S是一个局部鞅(Ohm, F、 P），andI{J∈B} ·S与P[St=S]不减，T∈ R+]<1，即NA（F，S）保持，而NA（G，S）失败。备注1.14。有趣的是，定理1.7和定理1.12中给出的过滤条件下保持不动产的必要条件和充分条件与[Fon14]中获得的绝对连续（但不一定等同）测量变化下保持不动产的必要条件和充分条件非常相似。

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2022-5-5 11:57:47

考虑到[Yoe85]中所示的过滤放大和非等效测量变化之间存在的深刻联系，这种相似性并非巧合。10 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardarash引理1.10以及定理1.11和1.12的证明见§3。下文§1.5给出了初始放大框架中涉及泊松过程的一个例子。1.5. 例子。前两个例子是渐进式过滤扩大框架。在第一种情况下，停止时间η完全不可访问，定理1.7的断言（2）通过显式计算得到证明；第二个示例包含一个可以访问η的设置。最后一个例子显示了条件P[ηx<∞, Sηx6=0]=0，对于γ-a.e.x∈ E、在定理1.11.1.5.1中不能被忽略。一个渐进过滤放大的例子，其中η完全不可访问。让(Ohm, F、 P）是支持F-可测随机变量ζ的完全概率s步：Ohm 7.→ R+使得P[ζ>t]=exp(-t）坚持到底∈ R+。设置F=（英尺）t∈R+是满足通常假设并使ζ为停止时间的最小过滤。定义τ：=ζ/2，并将获得的过滤G视为F相对于τ的逐渐增大。设Z和A如§1.3所示。注意，Zt=0对{ζ≤ t} ，而Zt=exp(-t）保持{t<ζ}，τ=ζ/2之后的最后一个事实，以及指数定律的无记忆性。因此，Zt=exp(-t） I{t<ζ}对所有t都是真的∈ R+。同样地，Aσ=P[τ=σ| Fσ]=P[ζ=2σ| Fσ]=0对于所有有界停车时间σon均为真(Ohm, F），这意味着A=0。注意ζ=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}和Zζ-= 经验(-ζ) > 0. 自从A=0，对于定义为asin（1.3）的η，我们得到η=ζ。

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2022-5-5 11:57:50

I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）等于toD:=（η）∧ t） t∈R+；在p中，ζ=η在(Ohm, F、 P）。这里我们有P[η<∞] = 因此我们可以构造一个局部鞅，如图1.7-（2）。对于w it，S:=E(-D）-1I[[0，η[=exp（D）I[[0，η[[，th at is，St=exp（t）I{t<ζ}表示t∈ R+。注意，S是一个拟左连续非负鞅(Ohm, F、 P），使NA（F，S）微不足道地成立。然而，由于s严格增加到τ，NA（G，sτ）失效。1.5.2。一个渐进式过滤放大的例子，其中ηi是可访问的。让(Ohm, F、 P）支持F-可测r和dom变量ζ的bea完全概率空间：Ohm 7.→ N例如pk:=P[ζ=k]∈ （0,1）适用于所有k∈ N、哪里∞k=1pk=1。设置F=（英尺）t∈R+是满足通常假设并使ζ为停止时间的最小过滤。由于ζ没有价值，因此它是一个可访问的时间(Ohm, F、 P）。定义τ：=ζ- 1，并考虑逐步扩大的过滤G。让Z和A定义为§1.3。同样，可以显式地计算Z。实际上，Zt=0对{ζ≤ t} )；此外，uponde fining qk=P∞n=k+1对于所有k∈ {0, 1, . . .}, 指的是· 整数部分，我们有zt=P[τ>t|Ft]=P[ζ>t+1|Ft]=P[ζ>t+1 | Ft]=qt+1QT, 关于{t<ζ}。半鞅模型中的第一类套利和过滤放大注意ζ=inf{t∈ R+| Zt-= 0或Zt=0}和Zζ-= Qζ/Qζ-1.> 0.5百万，Aζ=P[τ=ζ| Fζ]=0成立。因此，对于（1.3）中定义的η，η=ζ；特别是，η在(Ohm, F、 P）1.5.3。初始过滤放大下的一个示例。让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持强度λ>0的泊松过程N在时间T停止∈ (0, ∞). L设F为N生成的正确连续过滤，并考虑随机变量J:=NT。

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何人来此

2022-5-5 11:57:53

如[GVV06，§4.2]中所述（与[GP01，§4.3]进行比较），可以检查PxT=e-λtλ（T）- （t）十、-Nt（λT）xx！（十）- （新界）！I{Nt≤x} ，尽管如此∈ [0，T），pxT=e-λTx/（λT）xI{NT=x}，因此满足Jacod的标准（假设1.9）。然后考虑由St:=exp定义的过程新界- λt（e）- 1), 尽管如此，t∈ [0，T]。过程S是一个严格正的F-鞅（参见[JYC09，命题8.2.2.1]），因此na（F，S）成立。然而，NA（G，S）不成立。为此，定义G停止时间σ：=inf{t∈ [0，T]|Nt=Nt}并考虑策略-一] ]σ，T]]。那么，尽管如此∈ [0，T]，我们得到(-一] ]σ，T]]·S）T=I{T>σ}expNσ- λσ（e）- 1)1.- 经验-λ（t）- σ）（e）- 1).特别是这个过程-一] ]σ，T]]·S是不减损的d P[σ<T]=1，因此意味着na（G，S）不能保持。实际上，在本示例的上下文中，过程px具有跳到零的正概率，并且该事件正好与泊松过程N的跳时对应，因此表明条件P[ηx<∞, 对于γ-a.e.x，Sηx6=0]=0∈ 我没能坚持住。2.逐步扩大筛选中的第一类套利在本节中，将给出定理1.4和定理1.7的证明。在这个过程中，我们还将得到一些有趣的结果，这些结果与非负su per/局部鞅在随机时间τ之前的行为有关(Ohm, F、 P）在放大过滤G中（见第2.3节）。特别是，这些结果并不符合过滤放大理论的经典结果。2.1. 与τ相关的表示对。下一个结果是[Kar15，定理1.1]。定理2.1。

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2022-5-5 11:57:58

对于任意随机时间τon(Ohm, F）满足P[τ=∞] = 存在一对具有以下性质的过程（K，L）：（1）K是f-适应的，连续的，不减损的，0≤ K≤ 1.（2）L是一个非负局部鞅(Ohm, F、 P），L=1。（3）对于任何非负可选进程，V(Ohm, F），我们有（2.1）E[Vτ]=EZR+VtLtdKt.12 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARAS（4）RR+I{Kt-=1} dLt=0和rr+I{Lt=0}dKt=0保持P-a.s.这也是[Kar15，§1.1]中结果的一部分，即Z=L（1- K），给出了Z的一个特殊的乘法可选分解。一般来说，有许多可能的乘法可选分解；定理2.1中描述的性质以独特的方式指定了对（K，L）。还要注意的是，在特殊情况下，P[τ=σ]=0表示每个停止时间σ(Ohm, F、 P），分解Z=L（1- K）与超马氏体Z的乘法Doob-Meyer分解一致（见[Kar15，备注1.6]）。备注2.2。让它成为一个停车时间(Ohm, F）。对于任何B∈ Fσ，（2.1）应用于过程v=IBI]]σ，∞[]，与Z=L（1）结合- K） Z的定义意味着e[Lσ（1- Kσ）IB]=E[ZσIB]=E[Vτ]=E“IBZ（σ，∞)LtdKt#。因为上述等式适用于所有B∈ Fσ，由此得出（2.2）Lσ（1- Kσ）=E“Z（σ，∞)LtdKtFσ#。备注2.3。（2.1）givesP[Lτ=0]=E的另一个用法ZR+I{Lt=0}LtdKt= 因为L是一个非负的局部鞅(Ohm, F、 P），因此[[0，τ]] {L>0}。引理2.4。对于（1.2）中定义的ζ，以及表示I[[τ]的双重可选投影的A，∞[]，下列等式成立：（2.3）{ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}={ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。此外，Lζ=0适用于上述事件。证据因为Z=L（1- K），{ζ<∞, Zζ-> 0} = {ζ < ∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0}是立即的。

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2022-5-5 11:58:01

根据[Kar15，等式（1.1）]中K的定义，可以得出如下结论：{ζ<∞}, Aζ=0Kζ=0。此外，关于{ζ<∞, Zζ-> 0}, Kζ=0意味着Kζ=Kζ-< 1，这说明再次使用[Kar15，等式（1.1）]时，Aζ=0。集合等式（2.3）已经建立。最后，请注意0=Zζ=Lζ（1- Kζ）意味着Lζ=0必须保持{ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。2.2. 关于停止时间η的结果。回想一下η=ζI∧+∞我Ohm\\其中∧：={ζ<∞, Zζ-> 0, Aζ=0}。鉴于（2.3），λ={ζ<∞, Kζ-< 1，Lζ-> 0, Kζ=0}。为了证明下一个结果，除其他外，我们确定η在确定时是不可预测的。引理2.5。设D为I[[η]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）。然后：半鞅模型中的第一类套利和过滤放大13（1）D<1，P-a.s。；特别是，E(-D）是非递增且严格积极的；（2）非负过程(-D）-1I[[0，η[[是上的局部鞅](Ohm, F、 P）。证据在任何可预测的时间(Ohm, F），它认为Dσ=P[η=σ| Fσ-] 关于{σ<∞}（参见[HWY92，定理5.27]）。在下一段中，我们将介绍Dσ<1对{σ<∞} 在任何可预测的时间(Ohm, F）。然后，可预测截面定理应用于D<1 P-a.s。；特别是，这个过程(-D）-1I[[0，η[[将被很好地定义。这将建立第（1）部分。我们继续展示P[η=σ<∞ | Fσ-] < 1适用于任何固定的可预测时间σ(Ohm, F）。假设∑：={P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} ∈ Fσ-使得P[∑]>0。upon将σ替换为可预测时间σ∑：=σI∑+∞我Ohm\\∑，我们推断出一个可预测时间σ的存在性(Ohm, F）使得P[σ<∞] > 0和{σ<∞} = {P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} 等等。从上一组等式可以得出P[η=σ<∞ | Fσ-] = I{η=σ<∞}, 这尤其意味着{η=σ<∞} ∈ Fσ-.

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2022-5-5 11:58:04

因此，since E[（A+Z）σ| Fσ-] = 0对{σ<∞} （因为a+Z是一个鞅(Ohm, F、 P）和σ是可预测的(Ohm, F））E[Aσ| Fσ-] = -E[Zσ| Fσ-] = -E[ Zη| Fσ-] = E[Zη-| Fσ-] , 关于{η=σ<∞} ,在上一个等式中，我们使用了η的定义。另一方面，再次使用η的定义，我们得到E[Aσ| Fσ-] = E[Aη| Fσ-] = 0对{η=σ<∞}. 因此E[Zη-| Fσ-] = 在{η=σ<∞}. 自Zη-> 0对{η<∞}, 平等Zη-I{η=σ<∞}| Fσ-= 0表示P[η=σ<∞] = 0，这与p[σ<∞] > 0和{σ<∞} = {P[η=σ<∞ | Fσ-] = 1} 等等。因此，P[η=σ<∞ | Fσ-] <1适用于任何可预测的时间(Ohm, F）。我们继续建立第（2）部分。设I=I[[η，∞[3]所以我- D是一个局部鞅(Ohm, F、 P）。部件集成(-D）-1I[[0，η[=1-Z·E(-D）-1dit+Z·（1）- 信息技术-) 德(-D）-1t=-Z·E(-D）-1编辑+E(-D）-1，其中第二个等式来自以下事实：- 我-= I[[0，η]]和E(- D）-1在[η]上是常数，∞[[.使用It^o的公式（实际上，有限变化过程的积分理论是有效的），这是检验(-D）-1=1+Z·E(-D）-滴滴涕。接下来就是(-D）-1I[[0，η[=1-Z·E(-D）-1td（I）- D）鉴于我- D是一个局部鞅(Ohm, F、 P）。我们写Q~ 当Q是等于F上的P的概率时，请注意，我们定义并依赖于τ（特别是η）的所有量都依赖于下面的14 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardaras概率测度。为了建立定理1.4，η保持不变和p概率的等价变化是很重要的。下一个结果确保了情况确实如此。引理2.6。让Q~ P、让ηqs为上的停止时间(Ohm, F）与η类似，在Q下定义≡ ηPde定义在P下的（1.3）中。

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2022-5-5 11:58:08

那么ηQ=η几乎肯定成立（在P和Q下）。证据表示为与τon相关的ZQthe Az′ema Supermaningale(Ohm , F、 Q）。我们声称{ZQ>0}={Z>0}具有模消失。事实上，在注意到{Zσ=0}={P[τ>σ| Fσ]=0}={Q[τ>σ| Fσ]=0}后，这是从可选截面定理得出的=ZQσ=0适用于所有有界停车时间σon(Ohm, F），其中第二组等式成立，因为~ P.特别是Zη=0和Zη-> 0表示ZQη=0和ZQη-> 0.现在表示为I[[τ]的双可选投影，∞[on](Ohm, F、 Q）。自从Q~ P和P[τ=η]=0，由此得出AQη=Q[τ=η| Fη]=0。与之前的观察结果一起，这意味着ηQ≤ η. 通过改变P和Q的角色，我们得到了逆不等式，完成了证明。2.3. 逐步扩大过滤中的超/局部鞅。n ext结果将是开发过程中的关键，也具有独立的意义。提议2.7。下面的陈述是正确的：（1）设X是一个非负的上鞅(Ohm, F、 P）。那么，过程Xτ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）。（2）设X是一个非负的局部鞅(Ohm, F、 P）使[[η，∞[[ {X=0}保持（模消失）。然后，过程Xτ/Lτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。证据首先请注意，通过备注2.3，1/Lτ得到了很好的定义。如果X是一个非负的超鞅(Ohm, F、 P），Doob-Meyer分解得到X=N时的th- B、其中N是一个（非负）局部鞅(Ohm, F、 P）和B是一个越来越可预测的过程(Ohm, F） B=0。设s<t和G∈ Gs。由（1.1）可知，存在一个集∈ FSG∩ {τ>s}=Gs∩ {τ>s}。然后定义非负可选过程Y:=IGsI]]s，∞[[（Xt/Lt）I{Lt>0}on(Ohm, F）因此，在半鞅模型15IG中，第一类套利和过滤放大了∩{τ>s}Xτt/Lτt=Yτ。

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大多数88

2022-5-5 11:58:13

根据定理2.1，得出（2.4）E[Yτ]=E“Z[0，∞)YuLudKu#=E“IGsZ（s，t）XuLuI{Lu>0}LudKu+XtLtIGs∩{Lt>0}Z（t，∞)LudKu#=E“IGsZ（s，t）XuI{Lu>0}dKu+XtLtIGs∩{Lt>0}Lt（1）- Kt）#=E“IGsZ（s，t]XudKu+XtI{Lt>0}（1- Kt）！#，其中（2.2）用于上述第三个等式。注意到{Lt>0} {Ls>0}，分部积分则意味着（2.5）E[Yτ]≤ E“IGs∩{Ls>0}Z（s，t]XudKu+Xt（1）- Kt）！#=E“IGs∩{Ls>0}Xs（1）- Ks）+Z（s，t）（1）- 库-)dXu！#。此外，由于≤ K≤ 过程B在增加，它认为（2.6）Z（s，t）（1- 库-)dXu=Z（s，t）（1- 库-)dNu-Z（s，t）（1）- 库-)dBu≤Z（s，t）（1）- 库-)德努昂(1 - K-) · N、（1）- K-) · N≤ [N，N]。首先假设N∈ H、也就是说[N，N]1/2∞< ∞,从which可以得出（2.7）呃(1 - K-) · N、（1）- K-) · N1/2∞我≤ 呃[N，N]1/2∞我∞.与（2.6）一起，这意味着EhIGs∩{Ls>0}R（s，t]（1）- 库-)dXui≤ 因此，由于（2.5），EIGs∩{τ>s}XτtLτt= E[Yτ]≤ EIGs∩{Ls>0}Xs（1）- Ks）= EIGs∩{Ls>0}XsLsLs（1）- Ks）= EIGs∩{Ls>0}XsLsI{τ>s}= EIGs∩{τ>s}XsLs,其中Ls（1）- Ks）=Zs=P[τ>s |Fs]和[[0，τ]] 在最后一行中使用了{L>0}。从那时起IGXτtLτt= EIGs∩{τ>s}XτtLτt+ E搞笑∩{τ≤ s} XτsLτs≤ EIGs∩{τ>s}XτsLτs+ E搞笑∩{τ≤ s} XτsLτs= EIGXτsLτs,因此，我们证明了Xτ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）。一般情况下是由局部化引起的。事实上，根据[Pro04，定理IV.51]，每个局部鞅N(Ohm, F、 P）非减量序列（σn）n∈Nof停车时间（在F和d、a和G下）P-a.s.16 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS Kardaras收敛到一致性，使得NσN∈ 所有n∈ N.前面的参数暗示了th atXσN∧τ/Lτ是上鞅(Ohm, G、 P）所有n∈ N和命题的陈述（1），然后是法图引理。为了证明第（2）条，定义非减损序列（σn）n∈通过σn的Nof停止时间：=inf{t∈ R+|[X，X]t>n}∧ ζn，对于所有n∈ N

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2022-5-5 11:58:16

为了将来参考，请注意σn≤ ζ ≤ η适用于所有n∈ N.直接检查limn→∞P[ζn<τ]=0；在此之前，为了证明这个结果，必须证明Xτ∧σn/Lτ∧σ是一个鞅吗(Ohm, G、 P）全部∈ N.根据第（1）部分，过程Xτ∧σn/Lτ∧他是一个超级艺术家(Ohm, G、 P）所有n∈ N.因此，必须证明E[Xτ∧σn/Lτ∧σn]=E[X]适用于所有n∈ N.与证明的第一部分类似，设置Y:=（X/L）I{L>0}，并注意Yσ是可选的(Ohm, F） andXτ∧σn/Lτ∧σn=Yσnτ适用于所有n∈ N.类似于（2.4）的计算表明（2.8）EXτ∧σnLτ∧σn= E[Yσnτ]=E“Z[0，σn]XtdKt+XσnI{Lσn>0}（1- Kσn）#。注意XσnI{Lσn=0}（1- Kσn=0表示所有n∈ N事实上，这来自引理2.4 sin ce{Lσn=0，Kσn<1}={σn=η}对所有n都成立∈ N.因此，与（2.5）中的情况类似，通过部分积分得到Xτ∧σnLτ∧σn= E“Z[0，σn]XtdKt+Xσn（1- Kσn）#=E“Z[0，σn]（1）- Kt-)dXt#=E[X]，其中最后一个等式使用不等式（2.7）（现在适用于鞅σn，约定为K0）-= 0），所有n∈ 这就结束了争论。命题2.7表明，在关于1/Lτ的正规化之前，超马尔可夫性质始终可以从原始过滤F转移到放大过滤G，并为将F-局部鞅转化为G-局部鞅提供了一个有效的标准。如第2.4节所示，该结果将在证明定理1.4中起关键作用。在本节的其余部分中，我们提供了两个有趣的附带结果，虽然在续集中没有使用，但它们与命题2.7密切相关。第一种方法给出了Xτ/Lτ的局部鞅性质的一个特征(Ohm, G、 P）f对于每个非负局部鞅Xon(Ohm, F、 P）。提议2.8。

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可人4

2022-5-5 11:58:20

下面的陈述是等价的：（1）对于每个非负局部鞅X(Ohm, F、 P），过程Xτ/Lτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P）。（2）过程1/Lτ是一个局部鞅(Ohm, G、 P）。（3） P[η<∞] = 0.证明。含义（1）=> （2）是微不足道的，而（3）=> （1）根据命题2.7的第（2）部分。为了证明（2）=> （3），注意序列{τn}n∈定义为τn:=inf{t∈ R+| 1/Lτt>n}，第一类套利和所有n的半鞅模型中的过滤放大∈ N、是1/Lτon的定位序列(Ohm, G、 P）。确定序列{νn}n∈Nofstopping时间(Ohm, F） viaνn:=inf{t∈ R+| Lt<1/n}，对于所有n∈ N、观察τN=νnI{νN≤τ}+ ∞I{νn>τ}。然后，通过计算A到（2.8），我们得到1=ELτ∧τn= ELτ∧νn= EKνn+I{Lνn>0}（1）- Kνn）= 1.- EI{Lνn=0}（1）- K∞),在最后一个等式中，我们得到了K在{L=0}上不增加的事实。反过来，这意味着{K∞< 1} ∩ {Lνn=0}= 保持（模消失）。由于引理2.4和之后{K>0} {L>0}保持模消失（见[Kar15]），这意味着P[η<∞] = 0命题2.7的第（1）部分给出了[JY78]关于Xτ的半鞅性质的经典结果的一个快速而简单的证明(Ohm, G、 P）对于任意半鞅X(Ohm, F、 P）。推论2.9。对于任意二次鞅X(Ohm, F、 P），过程Xτ是上的半鞅(Ohm, G、 P）。证据设X是上的半鞅(Ohm, F、 P），因此X=X+B+N，对于有限变分B和局部鞅N(Ohm, F、 P）。根据[JS03，命题I.4.17]，它认为N=N′+N′，其中N′和N′是两个局部鞅(Ohm, F、 P）这样|N′|≤ 对于某些a>0和N′的Pa.s.具有有限的变化。为了证明证明（n′）τ是一个半鞅，必须证明这一点(Ohm, G、 P）。

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2022-5-5 11:58:23

为此，设σn:=inf{t≥ 0:|N\'t |≥ n} ，代表n∈ N、所以那不是∧σn≥ -（a+n）所有t的P-a.s≥ 因此，根据第2.7条第（1）部分，过程（a+n+n′）σn∧τ/Lσn∧τ是上的s超鞅(Ohm, G、 P）。反过来，这意味着（N′）σN的半鞅性质∧τon(Ohm, G、 P）。由于半鞅通过局部化是稳定的（参见[JS03，命题I.4.25]），这表明了（N′）τ的半鞅性质(Ohm, G、 P）。2.4. 逐步扩大过滤的条件。作为命题2.7的推论，NA（G，Sτ）成立的充分条件是立即成立的。以下结果的证明是向前的，因此省略了。符号Y（G，Sτ，P）是自解释的。提议2.10。假设S上存在一个局部鞅定义M(Ohm, F、 P）使得{M>0}=[[0，η[[]然后，Mτ/Lτ∈ Y（G，Sτ，P）。特别是，注意命题2.10提供了一个明确的程序，用于转换S上的局部鞅函数(Ohm, F、 P）转化为Sτon的局部鞅导数(Ohm, G、 P）。现在，我们准备好展示我们在渐进过滤放大条件下的鼻稳定性结果的证据。定理1.4的证明。根据引理2.6和定理1.2，我们可以在不丧失普遍性的情况下（必要时用Q代替P）假设严格正ebx的存在∈ X（F，S）使得y:=（1/bX）∈ Y（F，S，P）。S ince P[η<∞, Sη6=0]=0保持，我们得到P[η<∞, Yη6=0]=0；特别是，P[η<∞, （Y-S）η6=0]=0小时。用引理2.5表示，定义M:=18比阿特丽斯·阿克西奥、C劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯E(-D）-注意，M=1和{M>0}=[[0，η[[]通过引理2.5，它遵循着msi-E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si是局部鞅吗(Ohm, F、 P）尽管我∈ {1，…，d}。

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2022-5-5 11:58:26

皮瑟莫尔，E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si=E(-D）-1，Y-Si-E(-D）-1I[[η，∞[Y]是的=E(-D）-1，Y-Si,哪里E(-D）-1I[[η，∞[Y]是的= 0源于E(-D）-1I[[η，∞[E](-D）-1ηI[[η，∞[[是一个单跳过程，从η开始跳(-D）-这是可以预测的，因此E(-D）-1I[[0，η[]，Y-Si=E(-D）-1，Y-Si=Z·E(-D）-1td是的这是一个局部鞅(Ohm, F、 P）F或所有i∈ {1，…，d}。因此，它是一个局部鞅(Ohm, F、 P）尽管我∈ {1，…，d}，定理1.4来自命题2.10。定理1.7的证明。陈述（1）直接来自定理1.4。对于语句（2），设D为引理2.5，定义S=E(-D）-1I[[0，η[]。然后S=1，这是一个直到τ的非递增过程，因此Sτ≥ 1.此外，根据引理2.5，S是一个局部鞅(Ohm, F、因此NA（F，S）成立。从（2.1）和Z=L（1- K），使用分部积分和D的定义，我们得到了E[Dτ]=EZ∞DtLtdKt= -EZ∞DtdZt= EZ∞Zt-滴滴涕= EZ∞Zt-dI{η≤t}= E[Zη-I{η<∞}].因此，如果P[η<∞] > 然后P[Dτ>0]>0，因此P[Sτ>1]>0。这意味着na（G，Sτ）失败，从而得出结论。注意，根据命题2.8，定理1.7 imp证明，对于所有半鞅模型，当且仅当过程1/Lτ是一个局部鞅时，nai是稳定的(Ohm, G、 P）。备注2.11。命题2.8允许直接证明定理1.7的陈述（1）。实际上，根据[TS14，定理2.6]，NA（F，S）等价于过程Y的存在∈ Y（F，S，P）。根据命题2.8，如果P[η<∞] = 0，那么Yτ/Lτ和（Yτ/Lτ）Sτ是上的局部鞅(Ohm, G、 P），所以Yτ/Lτ∈ Y（G，Sτ，P）。因此，根据[TS14，定理2.6]，NA（G，Sτ）成立。然而，请注意，这条推理路线不能用于证明定理1.4。

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2022-5-5 11:58:29

事实上，为了从Y（F，S，P）的元素出发，根据命题2.7，在扩大的过滤G中构造严格正的局部鞅，需要证明NA（F，S）和P[η<∞, Sη6=0]=0一起意味着存在一个严格正的局部鞅，它不会在η处跳跃。为了保持这个性质，我们需要更精确地陈述[TS14]的主要结果，形式为定理1.2。第一类套利和半鞅模型中的过滤放大192.5。与命题2.10部分相反。虽然命题2.10有助于在定理1.4中逐步扩大的情况下建立可接受性，但我们在这里讨论的是逆问题。准确地说，一旦放大的过滤G中存在Sτ的偏差，我们就会寻求确保F中S的偏差存在的条件。此外，我们希望F中的偏差在[[η]上消失，∞[[，以便在命题2.10的设置中结束。下一个结果表明，当τ避免所有的停止时间(Ohm, F、 P），表示P[τ=σ<∞] = 0适用于所有停车时间σon(Ohm, F）。定理2.12。假设τ避免了所有的停止时间(Ohm, F、 P）。如果Y（G，Sτ，P）6=, 然后，S上存在一个局部鞅(Ohm, F、 P），Y=0在[η]上，∞假设C是I[[τ]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, G），注意，对于每一个可预测的时间σ(Ohm, G）它在Cσ=P[τ=σ| Gσ-] 关于{σ<∞}. 现在，假设τ避免了所有的浇头时间(Ohm, F、 P），因此特别是所有可预测的，这相当于说τ是一个完全不可访问的停止时间(Ohm, G、 P）；见[Jeu80，第65页]。从这个事实可以看出Cσ=0对{σ<∞} 每一个可预测的时间(Ohm, G）。

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