自激Hawkes过程的分支比近似

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Branching ratio approximation for the self-exciting Hawkes process》
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作者：
Stephen J. Hardiman and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We introduce a model-independent approximation for the branching ratio of Hawkes self-exciting point processes. Our estimator requires knowing only the mean and variance of the event count in a sufficiently large time window, statistics that are readily obtained from empirical data. The method we propose greatly simplifies the estimation of the Hawkes branching ratio, recently proposed as a proxy for market endogeneity and formerly estimated using numerical likelihood maximisation. We employ our new method to support recent theoretical and experimental results indicating that the best fitting Hawkes model to describe S&P futures price changes is in fact critical (now and in the recent past) in light of the long memory of financial market activity.
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中文摘要：
我们引入了一个与模型无关的霍克斯自激点过程分支比近似。我们的估计器只需要知道足够大的时间窗口内事件计数的均值和方差，这些统计数据很容易从经验数据中获得。我们提出的方法大大简化了霍克斯分支比率的估计，霍克斯分支比率最近被提出作为市场内生性的代理，以前使用数值似然最大化进行估计。我们使用我们的新方法来支持最近的理论和实验结果，表明从金融市场活动的长期记忆来看，描述标准普尔期货价格变化的最佳拟合霍克斯模型实际上是至关重要的（现在和最近）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Statistical Mechanics 统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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可人4

2022-5-6 00:52:21

自激Hawkes过程的分支比率近似Stephen J.Hardiman和Jean-Philippe BouchaudCapital Fund Management，法国巴黎大学街23号，75007号（日期：2014年10月10日），我们为Hawkes自激点过程的分支比率引入了一种独立于模型的近似。我们的估计器只需要知道足够大的时间窗口内事件计数的均值和方差，这些统计数据很容易从经验数据中获得。我们提出的方法大大简化了霍克斯分支比率的估计，最近提出的霍克斯分支比率是市场内生性的近似值，以前使用数值似然最大化进行估计。我们使用我们的新方法来支持最近的理论和实验结果，结果表明，从金融市场活动的长期记忆来看，描述标准普尔期货价格变化的最佳霍克斯模型实际上是至关重要的（现在和最近）。I.自激霍克斯过程霍克斯模型[1,2]是一个简单而有力的框架，用于模拟或建模时间上聚集的事件的到来（例如地震冲击和余震、神经尖峰序列和金融市场上的交易）。在一维中，该模型是一个计数过程N（t），其强度λ（t）（单位时间内的预期事件数）由常数项u和作为事件历史函数的“自激”项给出。λ（t）=u+Zt-∞φ（t）- s） dN（s）（1）这个自激术语通过内生反馈产生事件聚集：过去的事件对未来事件的发生率有贡献。φ(τ ) ≥ 0是“影响内核”，它决定了过去在滞后τ发生的事件的权重。

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何人来此

2022-5-6 00:52:24

基底强度u和内核形状φ（t）是需要改变的参数。核函数的一个常用选择是指数函数φ（τ）=αe-βτ[3,4]但一般来说，要使用的内核应该取决于要建模的数据的应用程序或动态。注意，对于φ（t）=0，模型简化为具有恒定强度u的泊松过程。通过采用等式（1）两侧的期望值，并假设平稳性（即有限平均事件率e[λ（t）]=λ），我们可以将过程的平均事件率表示为∧=u/（1）- n）≥ 式中n=Rφ（τ）dτ。我们可以在霍克斯过程和众所周知的分支过程[5]之间创建一个直接映射，其中外源性“母”事件以u的强度发生，并可能产生x个额外的内源性“子”事件，其中x来自meann的泊松分布。这些反过来可能会产生更多的“子”事件等。与Hawkes核的积分相对应的值n是分支比，它决定了模型的行为。如果n>1，意味着每个事件通常会触发至少一个额外事件，则该过程是非平稳的，可能会在有限时间内爆炸[6]。然而，对于n<1的情况，该过程是固定的，并且已被证明在建模事件的聚集到达时非常有用，在包括神经生物学[7]、社会动力学[8,9]和地球物理学[10,11]在内的各种应用中都是如此。霍克斯模型最近也在金融领域得到了许多应用[12–14]，尤其是作为对影响金融交易所限价指令簿的高频事件进行建模的一种手段[15–19]。霍克斯框架在金融领域的一个新应用是作为衡量金融市场内生性或“灵活性”的一种手段[3,6]。

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大多数88

2022-5-6 00:52:28

在[3]中，作者考虑了1998年至2010年间E-mini标准普尔未来合同的中间价格变化，并观察到最佳拟合指数核模型的分支比率n在此期间一直在稳步增加，从n≈ 1998年为0.25至n≈ 2010年为0.65（参见下面的图6）。他们认为，这一观察结果表明，近年来，随着高频和算法交易的兴起，市场变得更加活跃，因此更容易出现市场不稳定和所谓的“泡沫崩溃”。然而，在[20]中，我们认为，随着观察窗的扩大，中等价格变化的事件率（在1998年和2011年均可检测到）存在长期依赖性，因此最佳拟合的平稳霍克斯模型实际上必须是关键的，即分支比n=1。这得到了理论论证和对市场数据的实证测量的支持。然而，让我们坚持认为，只有当人们相信霍克斯过程能够准确地反映市场的现实时，这个结论才成立。很有可能，市场的动态更为复杂（例如，涉及方程式（1）定义的霍克斯过程中没有的非线性），但在霍克斯过程的框架内表示这种动态的最佳方法是选择n=1，并带有长范围的影响核。在本文中，我们介绍了霍克斯过程分支比率的一个简单近似值，它允许我们忠实地再现[3]的结果，该结果将统计数据作为市场不稳定性的度量和崩溃预测的度量。我们的近似方法的优点在于它非常简单：只需在一个足够大的时间窗口内估计事件计数的均值和方差。

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kedemingshi

2022-5-6 00:52:31

这种近似也避免了[3]中采用的非常复杂的方法[4]固有的许多缺陷[21]。估计器接受一个参数，时间窗口大小W，在此期间我们测量事件计数的均值和方差。我们注意到，当我们使用我们的估计器对标准普尔电子期货市场的中间价格变化进行估算时，其窗口大小为W，则分支比率估计值会随着时间的推移而增加，如[3]所述。然而，如果我们允许窗口大小适当扩展（每18个月大小减半），以适应市场上不断减少的交互延迟，我们将恢复[20]中提出的恒定分支比率估计值。这一结果再次表明，需要一种尺度不变的方法，或者至少是尺度敏感的方法来衡量金融市场事件的“重现性”。二、最大似然估计在t、t、…、时观察到的事件（如中间价格变化），T在区间[0，T]中，可以通过最大化参数θ集合上的对数似然[4，22]来拟合霍克斯模型。对数L（t，…，tn |θ）=-在指数核θ={u，α，β}的情况下，ZTλ（t |θ）dt+ZTlogλ（t |θ）dN（t）（2）。在实践中，由于缺乏封闭形式的解决方案，使用数值技术获得了使对数可能性最大化的模型参数{710u，^α，^β}。然后，分支比估计为^n=^α/^β。然而，使用该程序作为估算Hawkes branchingratio n=Rφ（τ）dτ的方法存在许多缺陷[21]。

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何人来此

2022-5-6 00:52:34

可以说，其中最重要的一点是，以这种方式对n进行的任何估计都将严重依赖于核模型的选择（例如指数、幂律等）。可能是Chosen模型无法令人满意地描述观测到的事件，因此，从最大似然法中提取的分支比的意义值得怀疑。如[21]所示，在存在不完美事件数据的情况下使用该方法时，也必须小心。在他们的一个图中，作者给出了一个（负）对数似然曲面，该曲面具有两个极小值，即上述方法不是唯一一种用于确定金融应用中霍克斯过程参数的方法，事实上，最近的一份出版物[18]提出了一种快速但仍然参数化的方法，用于确定多元指数霍克斯过程。（一个本地，一个全球）。全局日志可能性最小值实际上只不过描述了毫秒内的数据包聚集，毫秒是由在不同时间到达交换的事件被捆绑并记录在同一时间戳中的处理器产生的。随后在短时间间隔内（本例中为一毫秒）对时间戳进行随机化，会产生虚假的高频相关性，从而使全局最小值变得无关紧要。局部对数似然最小值实际上更好地解释了“真正的”低频动力学，但它在解释纯粹的高频聚类方面做得很差，并且受到较低对数似然的惩罚。事实上，当[21]的作者选择满足这个局部最小值时，他们证实了[20]中给出的结果。因此，我们认为有必要在一个人的样本中进行额外的检查（如非参数方法[15]），以支持通过可能性最大化获得的结果。

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大多数88

2022-5-6 00:52:38

为了解决因模型选择而产生的分支比率估计中的陷阱，我们在下一节中提出了一个简单的独立于模型的分支比率近似工具，该工具准确地再现了[3]之前的结果，并指出了描述市场的相关Hawkes过程的关键性。三、分支比nw的均值-方差估计从核函数的Fourier变换与自协方差ν（τ）=E的Fourier变换的一般表达式开始[dN（t）dN（t+τ）dt]-事件率的∧。（有关推导，请参见[1,15]）。^ν(ω) =Λ1.-^φ(ω)（3）设置ω=0，我们得到了分支、平均事件率和自协方差积分之间的关系（在平稳情况下为n）≤ 1） Z∞-∞ν（t）dt=∧1.-R∞φ（t）dt≡Λ(1 - n）（4）因此，为了推导平稳Hawkes过程的分支比，我们只需要找到∧andR的值∞-∞ν（t）dt。估算∧很简单，它由单位时间内事件的经验平均数给出。估计∞-∞ν（t）dt，我们考虑长度为W的窗口中总事件计数nw的方差。理论上，这由以下公式得出：σW=E“ZWt=0dN（t）dtdtdtzwt=0dN（t）dtdtdt#- （λW）=ZWt=0ZWt=0ν（t）- t） dt=ZWt=0ZW-tτ=-tν（τ）dt dτ=ZWτ=-Wν（τ）（W）- |τ|）dτ≤ WZ∞-∞ν（τ）dτ（5）然后我们注意到：。ν（t）→ 0表示| t |>R2。W R使（W）- |t |）/W≈ 1为所有| t |<r第σW≈ WZ∞τ =-∞ν（τ）dτ（6），我们使用公式（4）发现：≈ 1.-quWσW:=n（7），其中uW=λW是在一个大小为W的窗口中落下的事件的平均数。上面的表达有一个非常直观的解释。当方差等于事件率时，过程服从泊松统计，n=0。高于事件率的方差的任何增加都表明一些正相关，并且在aHawkes框架内，正分支比率。等式中的注释。

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kedemingshi

2022-5-6 00:52:43

（5） σW/W是r的有偏估计∞-∞ν（τ）和一般情况下，W将低于其理论值。这意味着等式（7）通常会低估分支比率，并且仅在极限W内变得精确→ ∞.在实践中，为了估计总长度为T=mW的经验样本的分支比率，我们用它们的样本估计值替换等式（7）中的均值和方差项：△uW=WNTT≡mmXi=1NW（i）（8）~σW=m- 1mXi=1（西北（i）- §uW）（9）以这种方式获得的估计对于大T W.i.e.m 1.对于最大尺寸W，我们始终可以通过增加T和NW的观测数m，确保我们对NW方差的估计在期望的最大误差范围内，以期望的最小概率进行。此外，我们可以通过允许W非常大来使等式（6）精确。然而，请注意，对于任何一个有限的m，在所有可能实现的过程中，n的平均值实际上是-∞! 这是因为一个值√σW=0总是有非零概率的可能。出于这个原因，我们选择呈现我们估计的中值。四、数值模拟和实施注意事项在图1中，我们测试了上一节中描述的估计过程，这些过程模拟了具有各种分支比率的指数霍克斯过程。为此，我们确定β=1.0，但α=n在0范围内变化≤ α ≤ 0.95. 我们选择基本强度u=1- 确保每个过程具有相同的平均事件率∧=1。我们使用[23]中所述的模拟算法1模拟时间T=10的过程。这个过程容易受到边缘效应的影响，因此我们忽略了大小为10的初始周期，以确保过程在研究期间接近平稳。我们在窗口sizeW=20的情况下估计分支比率，其显著大于我们过程β的相关时间尺度-1= 1.

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nandehutu2022

2022-5-6 00:52:46

然而，窗口sizechosen也非常小，因此我们有大量的独立观测值m=（0.9×10）/20，用以可靠地估计N的方差。我们发现我们的分支比估计值和模拟的输入分支比之间有很好的一致性，见图1。然而，请注意，我们的近似值并没有系统地低估分支比率，因为我们的有限窗口大小并没有完全覆盖自相关函数的支持区域。这在图1中对于大n尤为明显。我们现在研究窗口大小对获得的估计值的影响。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0n=模拟0的α/β。00.20.40.60.81.0nmedian“1-r¨uW¨σ2W#精确值图。1：将均值-方差分支比近似方法应用于指数核形式和尺度参数β=1.0的模拟Hawkes过程。α变化以确定分支比率，μ变化以保持平均事件率固定在∧=1.0。对T=100000s的过程进行了模拟，并使用方程7对窗口大小为W=20的分支比进行了估计。平均值和[5%，95%]置信区间是在每个参数集的100个过程中计算的。（6）为了准确起见，我们必须选择一个更大的。然而，对于有限的样本量，大W意味着小m=（T/W），因此用于估计事件计数nW方差的统计能力较低。这种折衷如图2所示，我们模拟了指数霍克斯过程的集合，参数α=0.75，β=1.0和u=0.25。我们注意到，对于增加窗口大小W，我们估计的密集带收敛于预期值N=0.75。然而，当我们将窗口大小设置得太大时，我们会因估计方差而产生显著误差。

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何人来此

2022-5-6 00:52:48

为了将该程序实际应用于经验数据，我们建议选择窗口大小足够大，以捕获事件率中存在的大部分自相关，但窗口大小足够小，可以获得该窗口中事件计数方差的可靠估计。通过自举重采样，我们可以从时间序列的单一实现中估计出分支比率的上下置信区间。公式（9）的简单方差估计不是最优的，可以通过使用重叠窗口或蒙特卡罗抽样方案（例如，通过替换选择随机窗口）来改进。10-1100101102103104窗户尺寸W0。00.20.40.60.81.0北（西）中位“1”-r|uW|σ2W#精确值n=0.75图。2：将均值-方差分支比近似方法应用于模拟数据。阴影区域代表[5%，95%]置信区间。我们注意到，随着窗口大小的增加，分支比率估计收敛于0.75的预期值。对于非常大的W，我们缺乏足够数量的事件计数观测，无法精确估计NW的方差，置信区间也会大幅增长。B.幂律核最后，我们测试了（接近）临界幂律霍克斯过程的估计程序，最近的一些出版物认为这是一种很好的金融事件数据的估计方法[15,20]。具体地说，我们考虑一个具有anOmori定律形式的核：φ（τ）=nτ(τ+ τ )(1+)在n=1且0< < 0.5该过程将表现出长程依赖性，自相关函数ν（τ）将以幂律形式渐近衰减：ν（τ）~ τ-(1-2.)[20, 24]. 因此，对于较大的τ，自相关函数的积分是发散的，在sizeW窗口中，事件计数的方差随着σW的增加而增加~ W1+2. 等式中的quWσW项。

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kedemingshi

2022-5-6 00:52:52

7在这种情况下，不会收敛到一个大的有限常数，而是收缩到零，导致1- ~n~ W-.我们用指数模拟了这样一个过程 =0.35，切割系数τ=1.0。使我们的模拟达到平均事件率∧的稳态≈ 1.我们通过选择n=0.99和u=0.01，使我们的工艺非常接近临界值。我们模拟了一个维隆周期T=1×10，并丢弃了前0.9×10，以确保过程接近平稳（在0.9×10时∧>0.99）。在图3中，我们展示了使用公式（7）和各种窗口的branchingratio估计结果。我们注意到，我们得到的分支比估计值在很大程度上取决于所用窗口大小的选择。为了捕捉过程中存在的所有相关性，并获得接近真实输入值n=0.99的估计值，我们必须在非常大的范围内，通过选择非常大的W值来探索相关性。根据W定律，所获得的分支确实随窗口大小而变化-, 与核φ（τ）的积分类似，见图3.10-310-210-1100101102103104105106107窗口大小W10-210-11001-~n（W）中值“ruWσW#~W-0.35图。3: 1 - 模拟近临界（n=0.99， =0.35）幂律霍克斯过程。1的值- ~n我们得到的比例大约为~ W-0.35W为大尺寸。请注意，模拟过程仅为“接近临界”（分支比n=1）- 1 × 10-2）因此，对于非常大的W，曲线能级的作用和收敛到1×10-2.V.经验应用A。重温闪电崩盘为了证明这个简单估计器的有效性，我们重复了Filimonov&Sornette[3]的闪电崩盘日分支比率分析。我们认为，在金融危机之前和之后的交易时间中，10分钟的时间是不重叠的。

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mingdashike22

2022-5-6 00:52:55

对于每10分钟，我们计算所包含的纵向=10秒的60个窗口中中间价格变化数量的样本均值和方差。将所得值插入式（7）中，以获得每个周期分支比的近似值。结果如下图所示。4.11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00时间（EST）0.30.40.50.60.70.80.91.0n方差估计器，W=10sExponential MLE Fit，1秒随机10601080111000114014014014011801200price图。4：使用均值-方差估计器再现Filimonov&Sornette的流动比率分析。我们的结果与通过最大化指数模型的可能性（1秒随机）获得的结果进行了很好的比较。虚线是E-mini S&Pprice。这些点被放置在分支比率估计的10分钟周期的末尾。阴影区域是自举重采样产生的[10%，90%]置信区间。注意，这个简单的估计是有偏差的，对于一般的W，通常会低估R的值∞-∞ν（t）dt和分支比。由于我们考虑了窗口大小W=10s，因此我们在图4中系统性地低估了n，因为对该数据的测量在区间之外有支持[-10s，10s]-在超过10s的标度下，事件率仍然存在显著的自相关。然而，我们已经确定，大约10到30秒的窗口大小W会产生我们的数据上的分支比率估计值，这与在秒内随机（应用于[3]中的方法）后通过拟合指数模型得到的结果一致请注意，我们的最大似然系数中没有β，但它会自然地在最大似然系数的值上稳定下来。我们观察到该值^β非常大，为10-310-210-1100101102103104105106W（秒）10-210-11001-^n（西）~W-0.37图。

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大多数88

2022-5-6 00:52:58

5: 1 - n，2010年E-mini标准普尔中价变动的分支比率作为窗口大小函数的估计值。估计了全年的平均值和方差。幂律行为的变化发生在100秒左右。请注意，我们已经“缝合”了所有包含至少一个事件的5分钟常规交易时间（美国东部时间09:30至16:00）（这解决了半天丢失数据的问题）。然后，我们将每5分钟的事件计数除以全年计算的交易日每5分钟的标准化平均事件率，对日内的季节性进行去趋势化。取决于时间戳的随机周期。当我们在每毫秒内随机化时间戳时，我们得到^β-1.≈ 10-2对于2010年的周期，但以更大的间隔进行随机分组（例如菲利莫诺夫和索内特的秒内随机分组）可以防止β-1避免超过随机等级的数量级。注意，由于我们的W=10s结果与使用Filimonov&Sornette[3]方法获得的结果一致，他们的程序也必须低估分支比率。为了在期望值中收敛于真n，我们必须在W的极限下采用等式（7）→ ∞.图5显示了2010年迷你标准普尔期货合约的中间价格变化。我们注意到，随着窗口大小的增加，分支比率以一种非平凡的方式收敛到n=1。正如[20]中所述，对于短时间尺度和长时间尺度下的内核结构，在大约五分钟的时间内可以检测到两种状态。分支比随着标度指数逐渐趋向于Sn=1.0 = -0.37与[20]中估算的14年期0.45的值兼容。

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能者818

2022-5-6 00:53:03

注意，在取极限W时→ ∞ 我们考虑了事件发生率在重要时间尺度上的变化，由平稳的霍克斯模型来解释。为了解决[3]中事件数据的精度有限的问题，作者在报告时间戳的第二秒内统一随机化时间戳。1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013次。10.20.30.40.50.60.70.8N方差估计，W=20指数MLE拟合，1秒随机化图。6：使用Filimonov&Sornette[3]的方法对15分钟窗口的分支比率进行估计，并使用窗口大小为W=30s的均值-方差估计器进行估计。请注意，我们的MLE结果与[3]中给出的图有所不同。我们将其归因于数据来源的差异或中间价格变化的识别。B.反应性：1998-2013年使用均值-方差估计，我们还可以很容易地得出[3]的结果，该结果表明，自1998年以来，标准普尔未来市场的反应性一直在增加。为此，我们只设置了参数w=30s，并在15分钟内估计分支比率。在图6中，我们展示了这些估计值的2个月中值，以及使用指数最大似然法在秒内随机化后获得的branchingratio估计值的中值。由于我们预计数据中的最小相关时间尺度在过去几十年中有所降低（由于技术进步导致延迟降低），我们现在重新进行实验，但窗口大小遵循摩尔定律，以保持WT中事件的平均数量大致恒定。更确切地说，每18个月窗户的大小会减少一半；这很好地描述了市场高频活动的增加，见[20]。实验结果如图所示。

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能者818

2022-5-6 00:53:05

7.确认核积分在时间上近似不变，前提是测量窗口被适当地重新调整，以考虑市场中相互作用的变化速度。我们发现这一点非常显著，因为这表明金融市场中的自我反应量是规模不变的，并且没有因高频交易而显著增加。六、我们引进了一个简单的Hawkes自激点过程分支比的估计。该方法可直接应用于经验事件1998 2000 2002 2006 2008 2010 2012 20140.00.20.40.60.81.0nW0=30sW0=2minW0=5minW0=30minIG。7：使用窗口大小的均值-方差估计器估计2个月期间的分支比率，该估计器遵循摩尔定律：Wt=We-c（t）-t）用c=- 对数（1/2）/（18个月）和t=1998。我们再次将常规交易时间段拼接在一起，并根据每年的日内U型趋势对事件计数进行趋势分析。当W被适当地重新标度时，对于W的所有值，分支比率估计值随时间大致恒定，对于大的W数据，分支比率估计值趋于n=1.0，因为它只需要对事件率的平均值和方差进行初步计算。该估计器不受似然最大化方法中核选择这一有争议问题固有的偏差的影响，而且它避免了复杂的数值最小化技术的需要。尽管它很简单，我们的估计器可以准确地重现使用这种先验方法得到的分支比结果。

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可人4

2022-5-6 00:53:10

本文给出的估计量确实是一个基于A的估计量，但它可以在大W和T的极限下渐近无偏，因此我们观察到E-mini S&P期货合约的经验中间价格变化的分支比率接近于统一，与之前的理论和经验结果一致[20]。此外，我们还证明，如果允许窗口大小按照摩尔定律进行缩放，并适应过去五年市场互动的变化速度，则恢复的分支比近似值是恒定的，支持[20]中霍克斯核和分支比随时间变化的先验观察。最后，让我们重申上面提出的警告：霍克斯对金融市场活动的分析得出结论，这一过程必须至关重要。然而，市场的动态很可能更加复杂，需要方程（1）定义的霍克斯过程中没有的非线性。在这个问题上做更多的工作将非常有趣，而且我们小组正在取得进展。感谢我们感谢V.菲利莫诺夫就这个话题进行了许多富有成效的讨论。我们还感谢N.贝科特、J.科克尔科伦、M.波特、I.马斯特罗马特奥、P.布兰科和J.多尼尔提供了有趣而有用的评论。[1] A.G.霍克斯，“一些相互激发的点过程的光谱”，生物计量学58（1970）83。[2] A.G.Hawkes，“一些相互激发点过程的点谱”，《皇家统计学会期刊》，B系列33第3期，（1971）438–443。[3] V.Filimonov和D.Sornette，“量化金融市场的流动性：预测流动性崩溃”，物理评论E 85（2012）056108。[4] T.Ozaki，“霍克斯自我激励点过程的最大似然估计”，《统计数学研究所年鉴》31（1979）145–155。B部分[5]T.E.哈里斯，分支过程理论。

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kedemingshi

2022-5-6 00:53:13

多佛出版社，2002年。[6] V.菲利莫诺夫、D.比切蒂、N.梅斯特和D。Sornette，“高水平的内生性和结构性制度变迁在商品市场中的量化”，《国际货币与金融杂志》42（2013年4月）174-192。[7] V.Pernice、B.Staude、S.Cardanobile和S.Rotter，“结构如何决定神经元网络中的相关性”，PLOS计算生物学7（2011）e1002059。[8] R.Crane和D.Sornette，“通过测量社会系统的响应函数来评估鲁棒动态类别”，《美国统计协会杂志》105第41期（2008年9月）15649–15653。[9] G.O.Mohler，M.B.Short，P.J.Brantingham，F.P.Schoenberg和G.E.Tita，“犯罪的自激点过程建模”，美国统计协会杂志106（2011）100-108。[10] Y.Ogata，“通过点过程建模进行地震活动性分析：综述”，纯粹和应用地球物理155号。2-4, (1999) 471–507.[11] A.Helmstetter和D.Sornette，“地震余震流行病模型中的亚临界和超临界状态”，《地球物理研究杂志：SolidEarth 107第B10期》（2002）ESE 10-1-ESE 10-21。[12] G.Bormetti、L.M.Calagnile、M.Treccani、F.Corsi、S.Marmi和F.Lillo，“用霍克斯因子模型对系统性协同跳变进行建模”，arXiv:1301.6141[q-fin.ST]。[13] L.Bauwens和N.Hautsch，“使用点过程建模金融高频数据”，摘自《金融时间序列手册》，T.Mikosch，J.-P.Kreiss，R.A.Davis和T.G.Andersen，Springer BerlinHeidelberg编辑，2009年。[14] P.Embrechts、T.Liniger和L.Lin，“多变量霍克斯过程：对金融数据的应用”，《应用概率杂志》48A（2011年8月）367–378。[15] E.Bacry，K.Dayri和J.-F.Muzy，“对称Hawkes过程的非参数核估计。对高频金融数据的应用”，《欧洲物理学杂志》B 85号。

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5, (2012) 157.[16] E.Bacry和J.-F.Muzy，“价格和交易高频动态的霍克斯模型”，定量金融14（2014）1147–1166。[17] I.M.Toke和F.Pomponio，“使用HawkesProcess在限额订单簿中建模交易”，经济学：开放获取，开放评估电子期刊6（2012）。[18] J.D.Fonseca和R.Zaatour，“霍克斯过程：快速校准、交易聚类应用和差异化”，期货市场杂志（2013年）。[19] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.-F.Muzy，“用相互激发点过程建模微观结构噪声”，定量金融13（2012）65–77。[20] S.J.Hardiman，N.Bercot和J.-P.Bouchaud，“金融市场的临界反应：霍克斯过程分析”，欧洲物理杂志B 86no。10, (2013) 1–9.[21]V.Filimonov和D.Sornette，“霍克斯自激点过程模型中的表观临界性和校准问题：高频金融数据的应用”，arXiv:1308.6756[q-fin.ST]。[22]I.Rubin，“正则点过程及其检测”，IEEE信息论学报IT-18（1972年9月）547–557。[23]J.Moller和J.G.Rasmussen，“霍克斯过程的完美模拟”，应用概率进展（2005）629–646。[24]P.Br\'emaud和L.Massouli\'e，“没有祖先的霍克斯分支点过程”，《应用可能性杂志》第38期第1期，（2001）122-135页。

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