几乎不稳定Hawkes过程的极限定理

2022-5-5 02:02:00

《应用概率年鉴2015》，第25卷，第2600-631DOI期：10.1214/14-AAP1005c数学统计研究所，2015年，Thibault Jaisson和Mathieu Rosenbaum’Ecole Polytec Hnique e Paris和Universit’e Pierre et Marie Curie（巴黎6）提出的几乎不稳定Hawkes过程的极限定理。由于Hawkes过程的可处理性和对市场数量的自然解释，Hawkes过程如今广泛用于高频金融。然而，在实践中，统计模拟结果似乎表明，通常只有几乎不稳定的霍克斯过程才能正确地拟合数据。我们所说的几乎不稳定，是指它们的内核的形式接近统一。在这项工作中，我们研究了最不符合稳定性条件的过程。我们的主要结果表明，经过适当的重新缩放后，它们的行为类似于集成的Cox–Ingersoll–Ross模型。因此，将金融需求流建模为几乎不稳定的Hawkes过程可能是重现其高频和低频风格化事实的好方法。然后，我们将这一结果推广到Bacry等人提出的基于霍克斯的价格模型。[定量金融13（2013）65–77]。我们证明了在相似的临界条件下，这个过程收敛到赫斯顿模型。再次，我们从微观结构层面和宏观层面上恢复了众所周知的价格程式化事实。1.导言。Hawkes过程（Nt）t≥0是自激点过程，其在时间t时的强度，用λt表示，其形式为λt=u+X0<Ji<tφ（t-Ji）=u+Z（0，t）φ（t）-s） dNs，其中u是一个正实数，φ是一个回归核和时间t之前的过程的Jiarethe点；有关更准确的定义，请参见第2节。

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2022-5-5 02:02:03

这些过程于1971年由霍克斯（见[22–24]）引入，目的是模拟地震及其余震；见[1]。然而，它们也用于其他各种学科。特别是2013年10月。AMS 2000学科分类。60F05，60F17，60G55，62P05。关键词和短语。点过程、霍克斯过程、极限定理、微观结构建模、高频数据、顺序流、Cox–Ingersoll–Ross模型、H eston模型。这是数理统计研究所在《应用概率年鉴》2015年第25卷第2600–631期中发表的原始文章的电子版。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。2 T.JAISSON和M.Rosenbaum近年来，随着（超）高频数据的可用性，金融已成为霍克斯流程应用的主要领域之一。在金融领域引入霍克斯流程可能是因为ChavezDemoulin等人（见[14]）在风险价值估计的背景下，以及Bowsher（见[12]），他使用霍克斯框架联合研究了ied交易时间和中期报价变化。然后，在[9]中，鲍文和豪斯建立了所谓的潜在因子强度霍克斯模型，并将其应用于交易数据。这种方法的另一个先驱是Hewlett。他在[26]中考虑了外汇市场的特殊情况，并对买卖交易数据进行了双变量霍克斯过程。最近，Bacry等人根据两种Hawkes工艺的不同，开发了一种微观结构模型，形成报价；见[6]。此外，Bacry and Muzy在[7]中扩展了这种方法，他们设计了一个能够研究市场影响的框架。

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2022-5-5 02:02:06

除了中期报价和交易价格之外，还通过霍克斯流程调查了完整的限价订单数据（不仅是市场订单，还包括限价订单和取消）。特别是，在[34]一个十变量多维Hawkes过程中，大量使用了这种方法。请注意，除了微观未来问题外，霍克斯过程也被引入到其他社会问题的研究中，如日常数据分析（见[17]）、金融传染（见[2]）或信用风险；见[18]。霍克斯过程之所以在财务建模中流行，主要有两个原因。首先，这些过程代表了泊松过程的一个非常自然且易于处理的扩展。事实上，与点过程和传统时间序列相比，泊松过程通常被视为i.i.d.随机变量的对立面，而霍克斯过程p扮演着自回归过程的角色；有关这个类比的更多细节，请参见[16]。霍克斯过程吸引力的另一个解释是，通常很容易对这种建模做出令人信服的解释。要做到这一点，霍克斯过程的分支结构非常有用。回想一下，在假设kφk<1的情况下，其中kφk表示φ的形式，霍克斯过程可以表示为一个计算过程，其中移民根据参数为u的泊松过程到达。然后每个移民按照强度函数φ的非齐次泊松过程生育子女，这些子女也按照同一非齐次泊松过程生育子女；见[24]。现在考虑一下，例如，购买（或出售）市场订单的经典案例，正如上面提到的几篇论文所研究的那样。

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能者818

2022-5-5 02:02:09

然后，移民可以被视为外生命令，而孩子则被视为由其他命令触发的命令。除了使我们能够建立这种种群动力学解释，假设kφk<1在霍克斯过程的研究中是至关重要的。为了避免这种情况，让我们把自己放在霍克斯过程（Nt）开始的经典框架中-∞. 在这种情况下，如果想要得到一个关于几乎不稳定的HAWKES过程的平稳极限定理，那么条件kφk<1是必要的。此外，即使在非平稳环境中，为了获得过程的经典遍历性质，通常也需要这个条件；见[5]。由于这些原因，在霍克斯文献中，这种条件通常被称为稳定条件。从实用的角度来看，最近人们对参数kφk非常感兴趣。例如，Hardiman、Bercot和Bouch au d（见[21]）以及Filimonov和S ornette（见[19,20]）使用Haw-kes过程对中期报价数据的分支解释来测量所谓的市场内生性程度。这个度数简单地用kφk来定义，也被称为b牧场比率。对kφkgo的这种解释背后的直觉如下：参数kφk对应于一个人的平均子女数，kφk对应于一个人的平均孙辈数。因此，如果我们称集群为移民的后代，集群的平均大小由pk给出≥1kφkk=kφk/（1）-kφk）。

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2022-5-5 02:02:12

因此，内生事件的平均比例为φ1/（内生事件的平均比例）-kφk）d除以1+kφk/（1）-kφk），等于kφk。这个分支比可以用霍克斯过程的参数和非参数估计方法来测量；See[36,37]表示基于似然的方法，See[4,39]表示函数φ的函数估计。在[21]中，对1998年至2012年间的E mini S&P期货的kφkare进行了非常稳定的估计，结果在统计学上接近于1。在[19]中，获得了多个资产的0.7–0.8级价值。目前，两个小组正在就这些结果的有效性进行辩论。特别是，在[21]中，有人认为[19]中指数核的选择可能会导致纯粹的结果，而[20]中强调了可能影响[21]中研究的各种偏见。在任何情况下，我们都可以注意到，两组的kφk值都接近一，这与[4]的结果一致，其中对德国国债和Dax期货进行了估计。这一看似持久的统计结果应该让霍克斯过程的用户非常担心。事实上，在参数被推到极限的情况下，应用统计模型几乎是不合适的。事实上，kφkon经验数据的这些值并不令人惊讶。事实上，高频金融中最有记录的典型事实之一是持续性（或长记忆）流动和市场活动度量；例如，参见[11,35]。与自回归p过程一样，通常的霍克斯过程只能表现出短期依赖性，无法再现这一经典经验特征；详见[29]。尽管Hawkes Processs的市场数据相对不足，但它拥有许多吸引人的特性，人们可以尝试将其应用于某些特定情况。

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2022-5-5 02:02:16

在[21]中，建议我们使用Br’emaud和Massouli’e在[13]中介绍的Hawkes过程的“无祖先”版本。4 T.JAISSON和M.ROSENBAUMFor su-ch过程，kφk=1，但为了保持平稳性和强度的精确预期，需要使用u=0。这可能是一个相关的方法。然而，将参数u设置为0并不完全令人满意，因为该参数具有良好的解释（外生顺序）。此外，在实践中，它并不等于零，见[21]。最后，时变u是一种简单的方法，可以反映市场上观察到的季节性；参见[7]（然而，为了简单起见，我们在本文中使用常数u>0）。这些kφk的经验测量值接近于1，是这项工作的起点。实际上，我们的目标是研究早期不稳定霍克斯过程在大时间尺度上的行为，这与这些估计相对应。更准确地说，我们考虑在[0，T]上观察到的一系列霍克斯过程，其中T进入单位。在范数严格小于1的固定核（不依赖于T）情况下，Hawkes p进程的缩放限制已在[5]中研究过，关于非线性Hawkes进程的情况，另见[42]f。在这个框架中，Bacry等人为Hawkes过程的适当规范化序列获得了一个确定性极限，因为它是偶然重标度Poisson过程的情况。在由两个霍克斯过程的差组成的价格模型中，极限处存在布朗运动（具有一定的波动性）。这两个结果实际上相当直观。实际上，正如泊松p过程和自回归模型一样，霍克斯过程具有短记忆特性。在这项工作中，我们表明，当霍克斯过程几乎不稳定时，这些弱依赖的类行为在中间时间尺度上不再被观察到。

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2022-5-5 02:02:19

为此，我们认为Haw-kes过程的核依赖于T。更确切地说，我们将近不稳定条件转化为假设，即随着观察尺度T的趋于一致，核的标准值趋于1。我们的主要定理表明，当核的范数以正确的速度趋于一时（意味着观测尺度和核的范数以合适的方式平衡），我们的Haw-kes过程序列的极限不再是一个决定论过程，而是一个综合的Cox–Ingersoll–Ross过程（简称CIR），如[15]中所介绍的。在实践中，这意味着当在适当的时间尺度上服务于内核范数接近1的霍克斯过程时，它看起来像一个集成的CIR。此外，对于[6]中定义的价格模型，在极限情况下，在[5]中获得的布朗运动被赫斯顿模型取代；定义见[25]。这可能更符合经验数据。本文的组织结构如下。第2节给出了假设和主要结果，尤其是向综合CI R的收敛。第3节研究了两个霍克斯过程不同的情况。证据被归入第四部分。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理52。几乎不稳定的Hawkes过程的标度极限。在这一节中，我们给出了一系列几乎不稳定的Hawkes过程的极限beh-avior的主要结果。我们首先介绍我们的假设，并定义我们的渐近设置。2.1. 假设和渐近框架。我们考虑一个点过程序列（NTt）≥0被T索引。对于给定的T，（NTt）满意度=0，过程在时间间隔[0，T]上观察。此外，我们的渐近设置是观察尺度T趋于一致。

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2022-5-5 02:02:22

强度过程（λTt）定义为t≥ 0乘以λTt=u+ZtφT（T-s） dNTs，其中u是正实数，φTa是R+上满足kφTk<+∞. 对于给定的T，过程（NTt）定义在概率空间上(OhmT、配备过滤装置（FTt）的∈[0，T]，这是由（NTs）s生成的σ-代数≤t、此外，我们假设任何0≤ a<b≤T和A∈ FTa，E[（NTb）-NTa）1A]=EZbaλtsad,设置λTas为NT的强度。特别是，如果我们用（JTn）n表示≥1JU mp次（NTt），流程NTt∧JTn-Zt∧JTnλtsds是一个鞅，其特征是λT。从Jacod[27]中可以得到这样的构造。这个过程被称为霍克斯过程。现在让我们给出关于函数φT的更具体假设。我们用k.k表示∞L∞R+上的范数。假设1。对于t∈ R+，φT（T）=aTφ（T），其中（aT）T≥0是一个正数序列，收敛到一，这样对于所有T，aT<1，φ是一个非负可测函数，这样z+∞φ（s）ds=1和z+∞sφ（s）ds=m<∞.此外，φ与导数φ′是可微分的，因此kφ′k∞< +∞ 和kφ′k<+∞.当然，我们所说的T，暗指的是tn∈ 倾向于贫困。6 T.JAISSON和M.ROSENBAUMRemark 2.1。注意，在假设1下，kφk∞现在是最后一天。因此，函数φT的形式依赖于T，因此其形状是固定的，但其形式随T而变化。对于给定的T，这个形式等于，所以比一小，这意味着稳定条件有效。注意，在这个框架中，我们几乎没有爆炸，limn→+∞JTn=+∞.但是，请注意，我们不在固定设置下工作，因为我们的流程从时间t=0开始，而不是从时间t=0开始-∞.kφTkis大于1的情况对应于违反稳定性条件的情况。由于aT=kφTk<1趋于1，我们的框架是接近不稳定性的一种方式。

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2022-5-5 02:02:25

因此我们称我们的过程为几乎不稳定的霍克斯过程。当然，除了这里使用的乘法器，还有许多其他方法可以使φt的形式收敛为1。然而，这种参数化对于应用来说是足够的，并且非常方便地说明可以获得的不同状态。2.2. 观察量表。在我们的框架中，两个参数退化为完整性：T和（1）-在）-1.这两个序列之间的关系将决定Hawkes过程序列的缩放行为。回想一下，在[5]中，当kφkis固定且小于e时，经过适当的缩放后，霍克斯过程序列的极限是确定的，例如泊松过程的情况。如果1- 将“缓慢”降至零，我们可以期待相同的结果。事实上，我们可能没有足够大的空间来达到渐近区域，对于这样的区域，我们仍然远远没有统一。正如下一个定理所述，这正是所发生的。定理2.1。假设T（1-在）→ +∞. 然后，在假设1下，Hawkes过程序列是渐近确定的，在这个意义上，Lholds中的以下收敛：supv∈[0,1]1 -aTT | NTT v-E[NTT v]|→0.相反，如果1- 注意力太快而归零，情况很可能相当复杂。因此，对于给定的T，霍克斯过程可能已经非常接近不稳定性，而T不足以达到渐近状态。

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2022-5-5 02:02:28

最后一种情况可能是最有趣的，对于霍克斯过程来说，在较弱的条件下，例如Rtφ（s）ds<∞ 对于任何t>0；见[5]。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理7one是中间情况，其中1- 以这样一种方式关注于零，即在不处于递减退化设置的情况下，获得不确定的缩放极限。我们将在下一节中详细介绍这种情况。2.3. 几乎不稳定Hawkes过程的非退化标度极限。在这一节中我们给出了我们的主要结果：关于适当重整化的几乎不稳定的Hawkes过程序列的退化标度极限。在给出这个定理之前，我们希望提供它是如何推导出来的直觉。让我们来看看与NT有关的马丁-盖尔过程，也就是t≥ 0，MTt=NTt-ZtλTsds。我们还设置了ψT，通过ψT（T）在R+上定义的函数=∞Xk=1（φT）*k（t），其中（φt）*1=k的φTand≥ 2，（φT）*kdenotes（φT）的卷积乘积*（k）-1）对于函数φT，注意ψT（T）在cekφTk<1时定义良好。在续集中，可以方便地使用另一种形式的强度。我们得到以下结果，其证明在第4节中给出。提议2.1。尽管如此，t≥ 0，我们有λTt=u+ZtψT（T-s） uds+ZtψT（T-s） dMTs。现在回想一下，我们在[0，T]上观察了这个过程（NTt）。为了能够给出一个适当的极限定理，这里的过程存在于相同的时间间隔上，我们重新调整我们的过程，使它们定义在[0,1]上。为此，我们考虑t∈[0,1]λTtT=u+ZtTψT（T-s） uds+ZtTψT（T-s） dMTs。对于空间中的标度，自然乘法因子为（1-在）。实际上，在静止情况下，λTtisu/（1）的期望值-kφTk）。因此，强度的量级为（1-在）-1.

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2022-5-5 02:02:31

这就是为什么我们定义t=λTtT（1-在）。（1）理解CTtwill的渐近行为是为重整化过程序列推导合适的标度极限的关键。我们将看到，这一行为与8 T.JAISSON和M.Rosenbaumf函数ψT的行为密切相关。关于ψT，我们可以首先指出，函数定义为x≥ 0乘以ρT（x）=TψTkψTk（tx）（2）是随机变量的密度xt=TITXi=1Xi，其中（Xi）是密度为φ的i.i.d.随机变量，是参数为1的几何随机变量- 在(k>0，P[IT=k]=（1）-在（aT）k-1). 现在让z∈R.随机变量XT的特征函数，用bρT表示，满足bρT（z）=E[eizXT]=∞Xk=1（1-在（aT）k-1E[ei（z/T）Pki=1Xi]=∞Xk=1（1-在（aT）k-1.^φzTk=φ（z/T）1-（在/（1）-^φ（z/T）-1），其中φ表示X.SinceZ的特征函数+∞sφ（s）ds=m<∞,函数^φ在点0处的一阶导数等于im时连续可微。因此，当T和φ（zT）都趋向于1时，bρT（z）等于1-izm/（T（1）-至少。因此，我们在这里精确地看到，合适的区域，我们得到了x的一个离心极限定律，即存在λ>0，这样t（1-在）→T→+∞λ.（3）当（3）成立时，我们写出d=m/λ。事实上，我们刚刚证明了以下结果。提议2.2。假设（3）成立。在假设1下，随机变量Xt的序列在规律上收敛于参数为1/d的指数随机变量。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理9这个简单的结果当然不是新的。例如，在[32]中详细研究了这些类型的随机变量几何曲面。还要注意，当Xis呈指数分布时，即使对于固定的T，xt也呈指数分布。假设fr om现在在（3）上保持并设置uT=T（1）- aT//λ（因此取1）。

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2022-5-5 02:02:34

命题2。2特别重要，因为它给出了ψTin在该设置下的渐近行为。事实上，它告诉我们，ψT（tx）=ρT（x）在λuT处≈λ我-x（λ/m）λ=me-x（λ/m）。现在让我们回到过程CTt，我可以写CTt=（1）-aT）u+uZtuTλψT（ts）ds+Zt√λψT（T（T）-s））qCTsdBTs，（4）带BTT=√T√uTZtTdMTspλTs.（5）通过研究它的二次变化，我们将讨论bt如何表示收敛于布朗运动的鞅序列。所以，用布朗运动B和ψT（tx）来试探性地替换bt-xλ/min（4），我们得到c∞t=u（1-E-t（λ/m））+√λmZte-（t）-s）（λ/m）pC∞SDB。应用It^o公式，给出∞t=Zt（u）-C∞s） λmds+√λmZtpC∞sdBs，精确对应于CIR过程满足的随机微分方程（SDE）。在说明使前面的启发式推导变得严格的定理之前，我们考虑一个额外的假设。假设2。存在Kρ>0，因此对于所有x≥ 0和T>0，|ρT（x）|≤Kρ。请注意，假设2实际上并没有真正的限制性。事实上，如果φ减小，那么任何ρ都会减小。因此，由于|ρT（0）|是有界的，假设2在这种情况下成立。此外，从[38]（第214页，第5点）我们得到如果kφk∞< ∞ 安德烈+∞|s|φ（s）ds<+∞, 接着是假设2。10 T.JAISSON和M.ROSENBAUMFrom[32]（第5章，引理4.1），得到假设2的另一个有效条件是，密度为φ的随机变量X可以写成（定律）形式X=E+Y，其中E遵循指数定律，参数γ>0，Y独立于E。我们现在给出主要定理。定理2.2。一个（3）持有的ssu me。

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2022-5-5 02:02:37

在假设1和2下，（1）中定义的重整化霍克斯强度（CTt）序列，对于Skorood地形y，收敛于[0,1]上的下列Cox–Ingersoll–Ross随机微分方程的唯一强解定律：Xt=Zt（u-Xs）λmds+√λmZtpXsdBs。此外，重整化霍克斯过程的序列vtt=1-对于Skorohod拓扑，ATTNTTT在定律上收敛于processZtXsds，t∈ [0, 1].2.4. 讨论理论2。2意味着当kφkis接近1时，如果观测时间t被适当地选择[这是1/（1）阶]- kφk）]，对于重标度过程，可以获得非简并行为（既不是爆炸性的，也不是确定性的）例如，这可以用于霍克斯过程参数的统计估计。事实上，根据霍克斯过程的小尺度特性设计估算程序是一项非常艰巨的任务：非参数方法很难使用，并呈现各种不稳定性（见[4,20]），而eas参数方法当然对模型规格非常敏感；见[20,21]。考虑到中间规模，其过程行为类似于CIR模型，可以使用专门开发的统计方法来估计CIR参数；有关调查，请参见[3]。当然，只有参数λ、m和u可以通过这种方式覆盖。因此，这种方法显然存在信息损失。然而，它仍然让我们能够获得在实践中很重要的数量；见第1节。在某种意义上，它可以与基于极值理论的极端分位数估计方法相比较，在这种方法中，我们假设i.i.d.样本的随机变量属于某个最大稳定吸引域。

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2022-5-5 02:02:40

事实上，这两种方法介于全参数方法和全非参数方法之间，前者假设参数形式（对于几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理，即随机变量定律或函数φ），后者使用函数估值器（重分函数或φ），以达到感兴趣的量（分位数或φ的Lnorm）CIR过程是模拟金融中随机（平方）波动的一种非常经典的方法；参见著名的赫斯顿模型[25]。此外，人们普遍认为，累计订单流量和综合平方波动率之间存在线性关系；例如，见[41]。因此，我们的设置kφkis接近1，并且在定理2中得到了限制行为。2似乎与marketdata非常一致对于霍克斯过程的平稳版本，我们可以证明T（1）阶NTTI的方差-kφTk）-3.例如，见[13]。在此之前，如果T（1- aT）趋于零，即kφTkgo等于e，则方差为（1）-aT）TNTT随着T的进入而爆炸。因此，这种情况与斯图在这里去世的情况非常不同，因此超出了本文的范围协会+∞sφ（s）ds<+∞ 对于使用命题2通过指数函数逼近ψtb至关重要。2.现在让我们考虑肥尾情况，其中前面的积分是有限的。更准确地说，让我们取一个函数φ，它的阶数为x1+α，0<α<1，当x到单位时。在这种情况下，遵循命题2的证明。我们可以看到下面的结果，在这里我们借用命题2的符号。2.提议2.3。设EαCbe是一个随机变量，其特征函数满足[eizEαC]=1-C（iz）α。假设φ（z）- 1.~σ（iz）α对于某些σ>0，0<α<1和（1- aT）Tα→λ > 0.

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2022-5-5 02:02:43

然后Xt向随机变量Eασλ收敛。因此，当内核的形状为x阶时-（1+α），“右”观察量表不再是T~ 1/(1 -kφk），但T~ 1/(1 -kφk）1/α。还要注意的是，如果我们用Eα，β来表示（α，β）Mittag–Le Frienger f函数，即Eα，β（z）=∞Xn=1znΓ（αn+β）（参见，例如[40]），则密度φαcofeαCis与该函数相关，因为φα（x）=xα-1Eα，α(-12 T.JAISSON和M.ROSENBAUMNow让我们考虑一下渐近设置，其中uT=uTα-1，φT=aTφ，aT=1-λTα和φ如命题2中所示。3.如果我们将第2节中使用的相同的神经论参数应用于重整化强度TT=λTtT（1）-aT）Tα-1，对于我们的HawkeSitentials序列，我们得到了以下类型的极限定律：Xt=uZtφασ/λ（t-s） ds+Ztφασ/λ（t-（s）√λpXsdBs。然而，这些启发性的论点远不是证据。实际上，在这种情况下，我们可能需要处理一个非半鞅极限。此外，在本文的证明中很重要的紧性性质更难显示（尤其是函数φαCis notbounded）。我们将此案例留作进一步研究在经典的时间序列设置中，让我们提到文献[8]，作者研究了不稳定整值自回归模型（INAR过程）的渐近行为。在这种情况下，CIR过程也出现在极限。事实上，这并不令人惊讶，因为INAR过程与霍克斯过程有一些相似之处。特别是，它们在某种程度上可以被视为Hawkes进程，其内核是Dirac函数的总和。3.理论的推广2。2.价格模型。在上一节中，我们研究了e维几乎不稳定的Hawkes过程。

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2022-5-5 02:02:47

例如，在金融应用中，当内生订单的数量远大于外生订单的数量时，它们可用于建模订单的到达，这在实践中似乎是如此；见[19,21]。在本节中，我们考虑[6]中介绍的高频pr ice模型，该模型基本上被定义为两个霍克斯过程的差异。使用与定理2.2相同的方法，我们研究了该模型在稳定条件接近饱和时的极限行为。3.1. 基于霍克斯的价格模型。在[6]中，中间价（Pt）t的逐点移动≥0是通过二维霍克斯过程建模的，如下所示：≥0，Pt=N+t-N-t、式中（N+，N-) 是一个具有强度的二维Haw-kes过程λ+tλ-T=uu+Ztφ（t）-s） φ（t）-s） φ（t）-s） φ（t）-（s）dN+sdN-s,几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理，其中φ和φ是两个非负可测函数，其稳定性条件为+∞φ（s）ds+Z+∞φ（s）ds<1是满意的。该模型考虑了微观结构水平上价格的离散性和负自相关。此外，在[5]中，当我们在大时间尺度上考虑这个价格时，稳定性条件意味着经过适当的重整化后，它会收敛到布朗运动（具有给定的波动率）。3.2。缩放限制。在与第2节相同的理论中，我们考虑了稳定性条件几乎被违反时基于霍克斯的过程的标度极限。更准确地说，在构造[5]的多元霍克斯过程之后，对于每个观察区间[0，T]，我们定义了霍克斯过程（NT+，NT-) 激烈地λT+TλT-T=uu+ZtφT（T）-s） φT（T）-s） φT（T）-s） φT（T）-（s）dNT+sdNT-s,对于φ和φT，两个非负可测函数。

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2022-5-5 02:02:51

注意，在这个结构中，NT+和NT-没有常见的跳跃；详见[5]。我们考虑以下假设。假设3。对于i=1、2和t∈R+，φTi（t）=在φi（t）处，其中（aT）t≥0是一个正数序列，收敛到一，因此对于所有T，aT<1，φ和φ是两个非负可测函数，包括z+∞φ（s）+φ（s）ds=1和z+∞s（φ（s）+φ（s））ds=m<∞.此外，φ的支撑具有非零勒贝格测度，对于i=1，2，φiis可与导数φ′i区分，因此kφ′ik∞< +∞ 和kφ′ik<+∞.我们还将做出以下技术假设。假设4。设ψT+=Xk≥1（在（φ+φ）处）*kρT（x）=TψT+kψT+k（tx）。14 T.JAISSON和M.Rosenbaumt存在kρ>0，因此对于所有x≥ 0和T>0，|ρT（x）|≤Kρ。我们使用重新规范化的价格过程ptt=T（NT+T-新界-T）。（6）下面的定理表明，如果我们在正确的时间间隔内考虑重新标度的价格过程，也就是说，如果我们取T的阶数为1/（1）- kφk-kφk），其渐近行为类似于赫斯顿模型；见[25]。定理3.1。设φ=φ-φ. 假设（3）成立。在假设3和4下，基于霍克斯的价格模型（PTt）序列在Skorohod拓扑中收敛于[0,1]定义的Heston型过程P离散余弦变换=2uλ-计算机断层扫描λmdt+mpCtdBt，C=0，dPt=1-kφkpCtdBt，P=0，具有（B，B）二维布朗运动。4.证据。我们在这一节收集了定理2的证明。1，命题2。1，定理2.2和3.1。在下文中，c表示一个常数，该常数可能因行而异。4.1. 定理2.1的证明。让v∈ [0, 1].

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2022-5-5 02:02:55

从[5]中的引理4，我们得到了[NTTV]=uTV+uZTVψT（tV- s） s dsandNTT v-E[NTT v]=MTT v+ZT vψT（T v- s） MTsds。因此，使用thatkψTk=kφTk1-kφTk，我们推导出1-kφTkT（NTT v）-E[NTT v]）≤1.-kφTkT（1+kψTk）支持∈[0，T]| MTt|≤Tsupt∈[0，T]| MTt |。几乎不稳定的HAWKES过程的极限定理现在回想起来，Mt是一个具有二次变分过程NT的平方可积鞅。因此我们可以应用Doob不等式监督∈[0，T]MTt我≤4支持∈[0，T]E[（MTt）]≤ 4E[NTT]≤ 4uT1-kφTk。因此，我们最终获得supv∈[0,1]1.-kφTkT（NTT v）-E[NTT v]）≤4uT（1-kφTk），它给出了从T（1）开始的结果-kφTk）趋于一致。4.2. 命题的证明2。1.从λT的定义出发，利用φ在[0，T]上有界的事实，我们可以写出λTt=u+ZtφT（T）-s） dMTs+ZtφT（T-s） λTsds。我们现在回想一下下面的经典引理；例如，参见[5]以获取证据。引理4.1。如果f（t）=h（t）+Rtφt（t- s） f（s）ds与h是可测局部有界函数，则f（t）=h（t）+Ztψt（t-s） h（s）ds。我们将这个引理应用于由h（t）=u+Ztφt（t）定义的函数h-s） dMTs。因此，我们得到λTt=u+ZtφT（T-s） dMTs（7）+ZtψT（T）-（s）u+ZsφT（s）-r） dMTrds。现在注意使用Fubini定理和ψT*φT=ψT-φT，我们得到ztψT（T-s） ZsφT（s）-r） dMTrds=ztr≤sψT（T）-s） φT（s）-r） ds dMTr16 T.JAISSON和M.ROSENBAUM=ZT-rψT（T）-R- s） φT（s）ds dMTr=ZtψT*φT（T）-r） dMTr=ZtψT（T-r） dMTr-ZtφT（T-r） dMTr。我们用最后这个等式来结束证明重写（7）。4.3. 理论证明2。在开始证明T heorem 2.2之前，我们给出了一些初步的引理。4.3.1. 初步引理。我们从φ及其四阶变换φ（相关特征函数）的一些引理开始。引理4.2。让δ>0。对于任何带| z的实数z，存在ε>0 such|≥ δ,|1 -^φ（z）|≥ ε.证据

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2022-5-5 02:02:59

因为φ是有界的，所以φ（z）趋于零，因为z趋于完整。因此，存在b>δ，对于所有z，存在| z |≥ b、 |^φ（z）|≤.现在，让M表示^φ的实部的上确界[-B-δ]∪[δ，b]，由于^φ是连续的，这个上确界是在某个点z上得到的。我们有m=Re（^φ（z））=E[cos（zX）]，X是一个密度为φ的随机变量。由于φ是连续的，几乎可以肯定，X不属于2π/zZ。T hus M=E[cos（zX）]<1。因此，取ε=min（，1- M）我们有引理。使用kφ′k<+∞, 通过部分积分，我们立即得到下面的引理。引理4.3。让z∈ R.我们有|φ（z）|≤ c/| z |。现在我们来看看（2）中定义的乐趣。我们有以下结果。引理4.4。对于所有实z和T，都存在c>0≥ |T（124b）≤ C1.∧Z.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。首先注意，作为随机变量的傅里叶变换，|bρT |≤1.此外，使用引理。2加上Z+∞xφ（x）dx=m<+∞,我们得到存在δ>0和ε>0，如果| x |≤ δ、 |Im（^φ）（x）|≥m | x |和if |x |≥δ,|1 -^φ（x）|≥ε.因此，我们推断如果| z/T|≤ δ、 |bρT（z）|=(1 -aT）φ（z/T）1-^φ（z/T）≤(1 -aT）aT|Im（^φ）（z/T）|≤2(1 -aT）塔姆| z|≤c/| z |还有，多亏了Lemma4。3，如果| z/T |≥ δ| bρT（z）|≤(1 -aT）|φ（z/T）| 1-^φ（z/T）|≤c（1）-aT）T | z |ε≤c/| z |。下一个引理给出了ρT引理4.5的l收敛性。设ρ（x）=λme-xλ/mbe参数为λ/m的指数随机变量的密度。我们有以下收敛性，其中|·|表示R+上的Lnorm:|ρT-ρ|→0.证明。利用傅里叶等距，我们得到|ρT-ρ|=2π| bρT- bρ|。来自命题2。对于给定的z，我们有（bρT（z）- bρ（z））→ 0.谢谢你。4.我们可以应用支配收敛定理，它给出了这种收敛也发生在L。现在我们给出ρT引理4.6的一个Lipschitz型性质。

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能者818

2022-5-5 02:03:03

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2022-5-5 02:03:07

通过p arts积分（用于有限变量过程），我们得到CTT=RTt+udZte-v/ddv+√λmZtqCTvdBTv-√λmdZt兹夫-（五）-s） /dqCTsdBTsdv。然后说√λmdZve-（五）-s） /dqCTsdBTs=d（CTv-RTv-u(1 - E-v/d）），我们最终得出vCtt=UTt+dZt（u-CTs）ds+√λmZtqCTsdBTs，（8）20 T.JAISSON和M.ROSENBAUMwithUTt=RTt+dZtRTsds。为了研究CTt的渐近行为，表（8）将非常方便。事实上，我们将证明UTtvan ishes（8）几乎代表了一个随机微分方程。第2步：UT收敛的准备工作。我们现在想证明过程的顺序（UTt）∈对于KoroHod拓扑，[0,1]在定律上收敛到零，因此在[0,1]（u.c.p.）上的紧集上一致收敛。我们在这里展示，要做到这一点，研究一个比UT（稍微）简单的过程就足够了。首先，很明显，显示（RTt）t的收敛性∈[0,1]到零也给出了UT的收敛性。现在回想一下RTT=u（1-在）-u(1 -E-电汇（日）-ZtaTTψTkψTk（ts）ds+√λZtψT（T（T）-s） )-我-（t）-s） /dqCTtdBTs。由于注意到一，第一项趋于零。对于t∈ [0,1]，命题2。2给出了ztattψTkψTk（ts）dstoward 1的收敛性- E-t/d.利用Dini定理，我们得到了[0，1]上的收敛实际上是一致的。因此，使用等式（5），我们可以看到（YTt）t仍然保持不变∈[0,1]将es归零，其中ytt=Zt（mψT（T-u） )-E-（t）-u） /d）dMTt，其中MTT=MTtT/T。第三步：YT的有限维收敛。我们现在展示了（YTt）t的有限维收敛性∈[0,1].引理4.8。对于任何（t，…，tn）∈[0，1]n，我们有以下收敛规律：（YTt，…，YTtn）→ 0.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。

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2022-5-5 02:03:11

首先，NTtT/t给出了时间t的二次变化，其在时间t的可预测补偿器过程是简单相等的OTZTTλTsds。再加上e[λTt]=u+uZtψT（T-s） ds≤ u+uaT1-在≤cT，我们得到[（YTt）]≤ cZt（mψT（T-s） )- E-（t）-s） /d）ds。现在说明th atmψT（T（T-s） )-E-（t）-s） /d=fT（t-s）其中，对于x<0，fti定义为fT（x）=0，而fT（x）=mλaTuTρT（x）-E-x/D为x≥ 0，ρt方程（2）中引入的函数。来自推论4。1，E[（YTt）]→0，这将给出结果。第四步：Kolmogorov型不等式f或YT。为了证明YT向0的收敛性，需要证明它的紧密性。我们有以下关于YT增量矩的Kolmogorov型不等式，这是获得紧度的第一步。引理4.9。对于任何ε>0，存在cε>0，因此对于所有T≥ 1,0 ≤t、 s≤ 1，E[（YTt）-YTs）]≤cε|T-s|3/2-ε+T | T-s | 1-ε.（9）证据。设uE[MT]表示MT的四阶矩度量；定义和属性见[30]中的附录。我们有-YTs]=TZ[0，T]Yi=1英尺T-山雀-英尺s-山雀!uE[MT]（dt，dt，dt，dt）。22 T.JAISSON和M.Rosenbaumt因此，使用[30]中的引理A.17，我们得到[（YTt-YTs）]≤中兴通讯英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州du+cTZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜×ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜。然后，用柯西-施瓦兹不等式和推论4。2和引理4.7，我们得到了英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州杜≤ cεTp | t-s | 1-ε和对于p=2,3,4,ZT英尺T-美国犹他州-英尺s-美国犹他州pdu≤ cεT | T-s | 1-ε、这使我们能够完成p屋顶。第五步：紧密性。

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2022-5-5 02:03:14

让我们用网格1/T定义YT的线性插值，~YT=YTtT/T+（tT-tT)（YT）(tT+1） /T-YTtT/T）。我们用这个插值来表示t- s=1/T，（9）右侧的两个项具有相同的数量级，对于T-s>1/t第二项可忽略不计。我们有下面的引理。引理4.10。顺序（~YT）很紧。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理。我们想应用经典的Kolmogorov紧度准则（见[10]），该准则指出，如果存在γ>1和c>0，那么对于任何0≤s≤ T≤1，E | | YTt-~YTs|≤c|t-s |γ，然后| y太紧了。当然，这种不平等并不是持续的。让nTt=tT 和nTs=圣. 设0<ε，ε′≤1/4和T≥ 1.有三种情况：o如果nTt=nTs，使用引理4。9.我们得到了-~YTs]小于| t-s|TE[（Y（nTt+1）/T-YnTt/T）]≤ cεT4（3/2-ε） T | T-s|≤ cεT4（3/2-ε） T | T-s | 1+ε′T4（3-ε′).因为0<ε，ε′≤1/4，这导致脚趾[（~YTt-~YTs）]≤ cεt-s|1+ε′.o如果nTt=nTs+1，则E[（~YTt-~YTs）]≤ cE[（~YTt）-~YTnTt/T）]+cE[（~YTnTt/T）-~YTs）]≤cεt-s|1+ε′.o如果nTt≥nTs+2，再次使用引理4。9.我们得到了-~YTs）]≤ cE[（~YTt）-~YTnTt/T）]+cE[（~YT（nTs+1）/T-~YTs]+cE[（~YTnTt/T）-~YT（nTs+1）/T）]≤ cεT1+ε′+cεnTtT-nTs+1T3/2-ε≤ cεt-s|min（3/2-ε,1+ε′).因此，科尔莫戈罗夫标准成立，这意味着YT的紧密性。我们现在表明，Yt和Yt之间的差异一致趋于零。引理4.11。我们有以下概率收敛：sup | t-s|≤1/T | YTt-YTs|→ 0.24 T.贾森和M.罗森鲍姆屋顶。

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2022-5-5 02:03:17

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2022-5-5 02:03:20

这一结果本质上表明，对于一系列SDE，当定义方程的函数和过程满足某些收敛性质时，SDE的解的规律收敛到极限SDE的解的规律。我们现在检查这些收敛性。过程序列（BT）是一个以c为界的鞅序列/√u. 此外，对于t∈ Tt=Tt的二次变化是t+zttdmsttλTs.现在，请注意zttdmsttλTs≤EZTTλTsds≤c/（Tu）。因此，对于任何t，我们都可以得到∈ [0，1]，点t处（BT）的二次变化概率收敛于t。因此，我们可以应用定理VIII。3.11in[28]推导出（BTt）t∈[0,1]对于Skorohod拓扑学向布朗运动收敛。由于UTt收敛到一个确定性极限，我们得到了偶（UTt，BTt）的乘积拓扑的收敛定律∈[0,1]至（0，Bt）∈[0,1]，其中26 T.JAISSON和M.ROSENBAUMB是布朗运动。（0，Bt）的分量是连续的，产品sp ace上的Skorohod拓扑也会发生最后收敛。最后，回想一下（CIR）随机微分方程xt=Zt（u- Xs）dds+√λmztpxsdbs在[0,1]上给出了一个唯一的强解。这与前面的元素一起，使我们能够很容易地将[33]中的定理5.4应用于sequenceCT，从而得出结果。4.3.3. 定理2第二部分的证明。2.我们现在给出定理2.2的第二部分的证明，它涉及Hawkes过程序列NT。LetVTt=（1）-在）TNTtT。我们写了evtt=ZtCTsds+^MTt，其中^MTt=（1）-aT）TNTtT-ZtTλTsds这是一个鞅。利用Doob不等式，我们得到监督∈[0,1]^MTt我≤4E[（^MT）]≤ 4.(1 -aT）TE[NTT]≤4u(1 -aT）T→此外，对于Skorokod拓扑，（CT，t）在[0，1]到（C，t）的律上收敛。

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2022-5-5 02:03:24

最后一条评论和[31]中关于随机积分序列极限的定理2.6给出了结果lt.4.4。理论证明3。1.我们首先介绍一些符号。在这个证明中，我们写出φT=φT-φTandψT=+∞Xk=1（φT）*k、此外，我们设置CTT=λT+tT+λT-几乎不稳定HAWKES过程的tTTLIMIT定理和定义（B）Tt=ZtTdMT+s+dMT-sqT（λT+s+λT）-s），（B）Tt=ZtTdMT+s-dMT-sqT（λT+s+λT）-s），其中MT+s=NT+s-ZsλT+sds，MT-s=NT-s-ZsλT-sds。最后，我们设置MT+t=MT+ttt，MT-t=MT-T tT。我们把理论的证明分成了两半。1分为几个步骤。第一步：方便重写。在第一步中，我们用更方便的形式重写了价格、强度和鞅过程。我们有λT+T-λT-t=Ztφt（t-s）（λT+s）-λT-s） ds+ZtφT（T-s）（dMT+s）-dMT-s）。因此，与命题2的证明方法相同。1，我们得到λT+T-λT-t=Ztψt（t-s）（dMT+s）-dMT-s）。从最后一个表达式中，我们很容易得到+t-新界-t=Zt（1+ψt（t-u））（dMT+u-dMT-u），（11）带有ψT（x）=ZxψT（s）ds。最后，请注意mt+t-机器翻译-t=t（MT+t）-机器翻译-T=ZtqCTsd（B）Ts.（12）步骤2：初步结果。对于s∈ [0,1]，我们定义=λT+sT-λT-sTT。我们得到了以下重要结果。引理4.12。该过程将[0,1]上的UCP收敛到0。28 T.JAISSON和M.ROSENBAUMProof。我们写的是t=ZtfT（t-s） d（MT+s）-机器翻译-s），其中fT（x）=ψT（tx）。注意推论4。1、4.2、4.3和4.4都是有效的，如果在他们的声明中，FTI被理论上的FTI所取代。2，我们已经证明了过程ytt=ZTfT（t）收敛到零-s） dMTs。因此，采用相同的策略，但以FTA和MTBYMT取代FTA+-机器翻译-, 很明显，我们得到了结果。第三步：收敛（B，B）。在这一步中，我们证明了（B，B）向二维布朗运动的收敛性。为此，我们研究了过程的二次（共）变化。让我∈ {1,2}，j∈ {1, 2}.

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2022-5-5 02:03:27

Wedenote by[（Bi）T，（Bj）T]T时间T的bian和Bj的二次共变异。引理4.13。我们有以下概率收敛：[（Bi）T，（Bj）T]T→t1i=j.证明。有三种情况：o如果i=j=1，则使用该NT+和NT-如果没有常见的跳跃，我们得到[（B）T，（B）T]T=ZtTdNT+s+dNT-sT（λT+s+λT）-s） =t+ZtTdMT+s+dMT-sT（λT+s+λT）-s）。傅·瑟莫尔，EZtTdMT+s+dMT-sT（λT+s+λT）-（s）≤ctTu→因此我们得到了i=j=1的结果如果i=j=2，则证明类似如果i=1和j=2，[（B）T，（B）T]T=ZtTdNT+s-dNT-sT（λT+s+λT）-s） =ZtTdMT+s-dMT-s+λT+sds-λT-sdsT（λT+s+λT-s）。对于i=j=1的情况，我们很容易得到zttdmt+s-dMT-sT（λT+s+λT）-（s）→0.几乎不稳定HAWKES过程的极限定理29仍需证明ZTtde定义的ZTtde=ZtXTsCTsds收敛到零。对于任何ε>0，我们有| ZTt|≤Zt1.∧XTsεds+ZtCTs<εds。来自外稃4。12，我们有收敛到零的过程。Fu rthermore，在引理4.15中，我们将证明CT在[0，1]上向C指定的CIR过程收敛。因此，由于限制过程是连续的，我们有（XT，CT）到（0，C）的联合收敛。我们现在使用Skorohod表示定理（不改变符号）。几乎可以肯定的是，我们没有足够大的食物∈[0,1]|XTs |≤ε、小吃∈[0,1]|CTs-Cs|≤ε.这意味着1.∧XTsεds+ZtCTs<εds≤ ε+ZCs<2εds。回想一下，在有限的时间间隔内，CIR过程的零点集具有零勒贝格测度。因此，利用支配收敛定理，我们很容易看到，方便地选择ε，可以使前面不等式中的第二项任意变小，这就完成了证明。因此，对于任何T，（B）和（B）Tare，两个具有统一边界跳跃和二次（共）变化的鞅满足引理4。13.因此，定理八。[28]中的3.11给出了以下引理。引理4.14。

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2022-5-5 02:03:30

我们有（（B）T，（B）T）→ （B，B），在定律中，对于Sk-orohod拓扑，其中（B，B）是二维布朗运动。第四步：（CT，（B）T）的收敛。这一步的目的是证明耦合（CT，（B）T）在定律上收敛于（C，（B）），具有C aCIR过程和Ba布朗运动，与C无关。更准确地说，我们有以下引理。30 T.JAISSON和M.ROSENBAUMLemma 4.15。对于Skorhod拓扑，过程偶（CT，（B）T）在[0,1]上向（C，B）收敛，其中，独立于C和C的布朗运动是满足CT=Zt的CIR过程2uλ-铯λmds+mZtpCsdWs，具有另一布朗运动，与B.Proof无关。让我们考虑一下进程NT=NT++NT-. 这是一个强度为λTt=λT+T+λT的点过程-t=2u+aTZt（φ+φ）（t-s） dNTs。因此，我们处于理论2的框架内。2:NTI是一个Hawkes过程，其内核的范数在适当的速度下趋向于1，其重整化强度Ct收敛于CIR。注意，这里的重整化因子是1/T，而不是（1）- 在），这不是一个问题，因为（3）成立。因此，我们得到了Ct对CIR的收敛性。为了获得联合收敛性，我们只需要给出与定理2相同的证明。2（直到出现明显的变化），但将[33]中的时间定理5.4与引理4一起使用。14第五步：技术成果。第五步是证明两个技术结果。第一个例子如下。引理4.16。进程rtt=ZtZ+∞T（T-u） ψT（s）ds d（MT+u）-机器翻译-u）在[0,1]上将UCP收敛到0。证据我们写的是t=ZtfT（t-u） d（MT+u）-机器翻译-u），其中ft（x）=Z+∞txψT（s）ds。结果跟引理4的证明一样。12现在我们给出这一步的最后一个引理。几乎不稳定HAWKES过程的极限定理31引理4.17。我们有∞Z∞xφi（s）ds dx<∞.证据

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