效用无差异估值的伪线性定价规则

2022-5-6 02:14:19

Ut i Lityin差异估值的伪线性定价规则Vicky Henderson+，还有梁格春——，+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL，Vicky。Henderson@warwick.ac.uk——伦敦国王学院数学系，伦敦，WC2R 2LS，英国，格春。liang@kcl.ac.uk英国牛津大学牛津人研究所摘要本文考虑了多维非交易资产模型的指数效用差异定价，并给出了效用差异价格的两种线性近似。关键工具是通过函数微分方程的解对效用差异价格进行概率表示，该方程被称为伪线性定价规则。我们还提供了效用差异价格的二次BSDE表示的替代推导。关键词：效用差异定价，二次BSDE，FBSDE，函数微分方程。数学学科分类（2010）：91G40 91G80 60H30。作者感谢副主编马丁·施韦泽和两位推荐人提出的宝贵建议，以及达米亚诺·布里戈、拉玛·康特、大卫·霍布森、莫妮克·珍布兰科、江立尚、伊娃·吕特克博赫默特、安德里亚·麦克里纳、彭师歌、邢业岳和塔莱娅·扎里波普洛的有益讨论。作者感谢参加弗赖堡大学、伦敦国王学院、中法随机建模与应用研究所（北京，2011年6月）、随机分析：中英研讨会（拉夫伯勒，2011年7月）和第四届国际会议：金融数学（南非，2011年8月）的与会者，会上介绍了正在进行的工作。1简介在本文中，我们考虑多维非交易资产环境中的指数效用差异定价。

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2022-5-6 02:14:22

我们的兴趣在于对不可交易的资产进行定价和套期保值。由于无法完全对冲非贸易资产风险，市场不完整。在指数效用独立性估值领域已有大量研究，但尽管人们对这种定价和套期保值方法感兴趣，但可用的明确公式相对较少。众所周知的一维非交易资产模型是一个例外，在马尔可夫框架下，对单一的非交易资产写下一个指令，对金融资产进行部分hedg，Henderson and Hobson[23]，Henderson[22]，Musiela和Zariphopoulou[33]使用Cole-Hopf变换（或失真功率）对值函数的非线性偏微分方程（s hort的偏微分方程）进行线性化。Tehranchi[35]、Frei和Schweizer[20][21]对模型的后续推广表明，指数效用差异价格仍然可以用封闭的形式表示，类似于已知的布朗环境，尽管公式的结构可能不太明确。另一方面，Davis[13]利用对偶性推导出最优套期保值策略的显式公式，Becher[5]表明，对偶定价公式甚至在一般半鞅环境下也成立。我们在多维环境中研究指数效用差异估值，目的是开发定价方法。我们用来描述定价动态的主要工具是具有二次增长的倒向随机微分方程（简称二次BSDE）。文献中众所周知，效用差异价格可以写成原始物理测度下的非线性预期，以及二次BSDE指定的非线性经验。

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2022-5-6 02:14:25

几位作者在具有不同普遍性的模型中推导出了指数效用独立值的二次B SDE表示——见胡等人[25]、马尼亚和施韦泽[30]、贝切尔[6]、莫莱斯[32]、弗雷和施韦泽[20][21]、比莱基和詹布兰科[7]以及安基尔什纳等人[3]。他们的推导使用了鞅最优性原理。我们的第一个贡献是提供一种替代方法，来推导公用事业独立价格的二次B分解表示。马尔廷格尔最优性原则在我们的推导中不起任何作用。相反，我们从风险敏感的控制角度考虑效用差异估值的相关效用最大化问题。我们首先将效用最大化问题转化为风险敏感的控制问题，然后利用交易策略索引的二次BSDE族的比较原理，推导出效用差异价格的定价动态。细节见定理2.3。我们称这种效用差异价格的二次BSDE表示为非线性定价规则。关于二次BSDE理论，Kobylanski[28]首先在布朗环境中证明了有界解的存在唯一性，Briand和Hu[9,10]以及Delbaen等人[15,16]将其推广到无界解和凸驱动。Morlais[32]和Tev zadze[36]中可以找到有界解的相应半鞅情况，其中前者、[28]和[25]中的主要定理得到了扩展，而后者采用了BMO鞅技术的定点论证。关于无界解的扩展，请参见Mocha和Westray[31]。

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kedemingshi

2022-5-6 02:14:28

此外，Ankirchner等人[2]和Imkeller等人[26]考虑了二次BSDE的可微性，Frei等人[19]给出了s解的凸界。最近，Barrieu和El Karoui[4]引入了二次半鞅的概念来研究解的稳定性，而Briand和Elie[8]发现了一种简化方法，用于研究相应的延迟方程。最后，Becherer[6]和El Karoui e t al[17]分别对有界解和无界解研究了带跳跃的二次BSDE。我们的主要贡献是为公用事业差异价格提供了一个新的定价公式，我们称之为伪线性定价规则。在定理3.1中，我们将效用差异价格表示为报酬加上定价溢价的线性预期，后者由函数微分方程的解表示。这种想法是由Liang等人[29]提出的，他们将BSDE转换为泛函微分方程，并在一般的过滤概率空间中求解。这种表述的优点之一是，我们只需要解一个函数微分方程就可以计算出效用差异价格。此外，函数微分方程向前运行，避免了后向方程和基础前向方程之间的相互影响。为了应用这种伪线性定价规则，我们为效用差异价格提供了两种线性近似值。和[29]中的驱动力是Lipschitz连续的相比，本文中考虑的函数微分方程的驱动力是二次的。然而，我们可以使用Picard迭代来近似其解。第一个线性近似是基于函数微分方程的扰动，其思想受到Tevzadze[36]命题2的启发。

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2022-5-6 02:14:32

第二次线性近似基于Girsanov变换的非线性版本，以使驱动消失。例如，这种想法出现在BSDE文献中，如Ma nia和Schweizer[30]中的命题11，以及Kirchner et a l[1]中BSDE的测量解，其中他们将终端数据（支付）建模为一般随机变量。相比之下，当我们详细描述下卧层和支付结构的动力学时，自然会出现一个耦合的正向反向随机微分方程（简称FBSDE）。本文的结构如下：在第2节中，我们介绍了我们的多维非交易资产模型，并预先发送了非线性定价规则，即效用差异价格的二次BSDE表示。在第3节中，我们介绍了我们的伪线性定价规则，即效用差异价格的函数微分方程表示，以及基于这种重新表示公式的效用差异价格的双线性近似。2二次BSDE和非线性定价规则集W=（W，··，Wd）是某个过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、满足通常条件的{Ft}，P），其中fti是由（Wu:0）生成的增广σ-代数≤ U≤ t）。市场由交易金融指数P和一组可观察但非交易资产S=（S，····，Sd）组成，其贴现价格过程由PT=P+ZtPs（uPsds+hσPs，dWsi）给出，对于i=1，···，d.h·，i表示其欧几里德范数的内积，其贴现价格过程由IT=Si+ZtSis（uisds+hσis，dWsi）（2.2）给出。我们有μPt，μit∈ R、 σPt=（σp1t，···，σpdt）∈ Rd和σit=（σi1t，···，σidt）∈ 路。

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可人4

2022-5-6 02:14:35

还有一个无风险债券或银行账户，t的贴现价格Bt=1≥ 0.我们的兴趣在于对非交易资产S上的或有权益进行定价和套期保值（路径依赖）。具体而言，我们关注的是到期时支付Tof g（S·）的合同，这可能取决于S的整个路径。我们实施以下假设，这些假设将贯穿始终：o假设（A1）：所有系数uit（ω），σit（ω），uPt（ω）和σPt（ω）是Ft可预测的，一致有界于（t，ω）假设（A2）：金融指数P的波动率一致为椭圆形：| |σPt（ω）|≥>0表示所有（t，ω）。o假设（A3）：作为随机过程S的一个函数，支付g（S·）是有界的。我们的方法是考虑此类未定权益的效用差异估值。关于效用差异评估的总体概述，我们参考了卡莫纳[11]编辑的专著，尤其是亨德森和霍布森[24]在其中的调查文章。为此，我们需要考虑投资者在有期权和无期权情况下的优化问题。投资者拥有最初的财富∈ t任何开始时间t∈ [0，T]，并且能够将金融指数与价格Pt（以及价格为1的无风险债券）进行交易。这将使投资者能够通过其在索赔中的地位部分对冲其面临的风险。期权持有人对其最终财富具有指数效用函数：UT（x）=-E-γxf或γ>0和x∈ R.投资者持有λ个资产单位，其在t时的价格为∈ [0，T]表示为Cλ，并将其剩余财富投资于Xt- Cλtin指的是自然指数P。

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2022-5-6 02:14:38

投资者将遵循可接受的交易策略π∈ Aad[0，T]=（π：π是Ft可预测的，supτEP“ZTτ|πt | dtFτ#∞< ∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]，而且≤ 以弗-γRTtπsPsdPsFti≤ K表示a.e（t，ω）∈ [0，T]×Ohmo、对于某些常数K≥ >0，这会导致以下财富等式：0≤ T≤ s≤ T，XXt-Cλts（π）=Xt- Cλt+ZstπuPudPu=Xt- Cλt+ZstπuuPudu+hσPu，dWui. （2.3）备注2.1交易策略π的可积性条件与胡等人[25]定义1中要求的条件略有不同。他们假设EP[RT |πt | dt]<∞ 以保证无套利条件，并保证收益过程的效用- E-为了应用鞅最优性原理，在Doob类中引入了γR·πsPsdPsis。我们的第一个可积条件是R·πsdWs的BMO鞅性质。关于效用剩余可积的第二个条件是效用剩余可积-E-γRT·πsPsdPs。在下面的定理2.3中，为了推导效用差异价格的二次BSDE表示，需要这两个可积条件。然而，如果我们只对有界收益的或有目标进行定价和对冲，则它们并不具有限制性，因为相应的最优交易策略始终满足这些条件，并且与[25]中获得的最优交易策略一致。我们回忆起一个连续鞅M和EP[M，M]T<∞ 被称为P-BMO马氏体ifsupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞< ∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]。

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2022-5-6 02:14:42

根据Kazamaki[27]的定理2.3，如果M是P-BMO鞅，则其Dol’eans-Dade指数E（M）属于Doob的D类，因此一致可积。后面将使用的另一个有用属性是以下版本的John NirenburginequalitysupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞≤ KsupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞（2.4）对于某些常数K>0（见[27]的推论2.1]）。投资者将优化可接受的交易策略，以选择最佳π*,λ通过最大化其预期终端效用supπ∈Aad[t，t]EP“-E-γXXt型-CλtT（π）+λg（S·）英尺#。（2.5）为了确定期权的效用差异价格，我们还需要考虑没有期权的投资者的优化问题。这涉及投资者只投资于金融指数本身。她的财富方程与（2.3）相同，但从Xt开始，她会选择一个不理想的π*,0通过最大化supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γXXtT（π）Fti。（2.6）我们注意到（2.6）是λ=0的（2.5）的特例。定义2.2（效用差异估值和套期保值）具有收益g（S·）的衍生工具的效用差异价格Cλtofλ单位由解决方案supπ定义∈Aad[t，t]EP“-E-γXXt-CλtT（π）+λg（S·）Ft#=ess supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γXXtT（π）Fti。衍生工具λ单位的套期保值策略由两种最佳交易策略π的差异确定*,λ- π*,0.此操作的主要结果是表明期权的价格和相应的边缘策略可以用二次BSDE的解来表示。定理2.3（非线性定价规则）假设满足假设（A1）（A2）和（A3）。

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2022-5-6 02:14:45

如果（Yλ，Zλ）是下列二次BSDEYλt=λg（S·）+ZTθsds的唯一解+ZTtFs（Zλs）ds-ZTthZλs，dWsi，（2.7），其中θs=|uPs | 2γ| | |σPs | |，驱动器Fs（z）由Fs（z）给出=-γ| | z | |+γ2 | |σPs||zi，hσ-uPsγ- θsfor z∈ Rd，则效用差异价格Cλ表示为二次b（2.7）Cλt=Yλt的解- Yt，（2.8）和期权λ单位的套期保值策略如下所示：-hσPt，Zλt- Zti | |σPt |。备注2.4众所周知，上述类型的二次BSDE（2.7）可以通过鞅最优性原理推导出来——例如，在布朗运动环境中，参见Hu等人[25]的定理7和Ankirchneret等人[3]的第3节；在一般半鞅环境中，参见Mania和Schweizer[30]的定理13和Morlais[32]的第2.1节。下面，我们提供定理2.3的一个新证明，其中鞅最优性原则不起任何作用。相反，我们从风险敏感控制的角度考虑这个问题，并使用可容许交易策略π索引的一系列二次BSDE（2.11）的比较原理来推导二次BSDE表示。虽然这项技术在文献中有所体现（见Quenez[34]第19-21节和El Karoui等人[18]第3节），但我们首次将其应用于具有无界随机系数的二次BSDE。另一方面，从风险敏感控制的角度处理效用差异评估也可能会带来新的效用最大化问题。证据我们考虑效用最大化问题（2.5）。

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2022-5-6 02:14:48

通过在（2.5）中使用（2.3），我们得到了supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γ（Xt）-Cλt+RTtπsPsdPs+λg（S·））Fti=- E-γ（Xt）-Cλt）ess infπ∈以弗所-γ（RTtπsPsdPs+λg（S·））Fti=- E-γ（Xt）-Cλt）ess infπ∈以弗所-γ（RTtπ）sPsdPs-θsds）e-γ（λg（S·）+RTθsds）FtieγRtθsds=- E-γ（Xt）-Cλt）exp(-γess supπ∈πt（πt，λY）表示风险控制-γ-ln-EPhe-γ（RTtπs（uPsds+hσPs，dWsi）-θsds）e-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti。根据假设（A1）-（A3），λg（·）+Rtθsds≤ K对于某些常数K>1。此外，根据可容许交易策略π的条件，我们知道Yλt（π）对于a.e.（t，ω）是有界的∈[0，T]×Ohm:-γlnk- K≤ Yt（π）≤ -γln+K.我们进一步引入了风险敏感控制问题^Yλt=ess supπ∈Aad[t，t]Yλt（π）。在下文中，我们通过二次BSDE的解来刻画Yλ（π）和^Yλ。首先，我们考虑不同概率测度下的风险敏感控制准则Yλ（π）。对于任何给定的交易策略π∈ Aad[0，T]，我们定义了一个P-BMO鞅（π）=-ZtγπshσPs，dWsi，对于t∈ [0，T]。实际上，对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]，利用可容许交易策略π上的条件和假设（A1），我们得到了supτEP[|NT（π）- Nτ（π）| | Fτ]∞= supτEP“ZTτγ| |σPs | | |πs | dsFτ#∞≤ K supτEP“ZTτ|πs | dsFτ#∞< ∞对于某些常数K>0。

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2022-5-6 02:14:53

因此，Dol\'eans Dade指数E（N（π））是一致可积的，我们通过定义dPπdP=E（N（π））=E来改变概率测度E(-Z·γπshσPs，dWsi）。Pπ变λt（π）=-γln EPπhe-RTt（γuPsπs）-γ| |σPs | | |πs|-γθs）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti=-γln EPπhe-γRTtFs（π）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti，其中我们表示fs（π）=uPsπs-γ| |σPs | | |πs|- 注意，Fs（π）只依赖于πs，而不是所有π。接下来，我们通过具有无界随机系数的二次BSDE的解来刻画Yλ（π），其存在性通过直接证明Yλ（π）确实满足此BSDE而得到证明。的确，请注意，对于t∈ [0，T]，\'YλT（π）=e-γ（Yλt（π）+RtFs（π）ds）是Pπ下的一致可积马氏体-γ（Yλt（π）+RtFs（π）ds）=EPπhe-γRTFs（π）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti。根据鞅表示定理，存在一个Ft可预测过程Zλ（π），使得Yλt（π）=e-γ（λg（S·）+RT（θS+Fs（π））ds）-ZTth′Zλs（π），dWs（π）i，（2.9），其中W（π）=W- [W，N（π）]是通过Girsanov变换在Pπ下的布朗运动。无论如何∈ [0，T]，如果我们定义ZλT（π）=-γ′Zλt（π）／Yλt（π），并将其^o公式应用于Yλt（π）=-γln′Yλt（π）-RtFs（π）ds，那么很容易验证（Yλ（π），Zλ（π））是以下二次BSDEYλt（π）=λg（S·）+ZTθsds的解+ZTtFs（π）-γ| | Zλs（π）||ds-ZTthZλs（π），dWs（π）i.（2.10）在原概率测度P下等价地写出λt（π）=λg（s·）+ZTθsds+ZTtFs（π）- γhσPs，Zλs（π）iπs-γ| | Zλs（π）||ds-ZTthZλs（π），dWsi。（2.11）我们注意到，BSDE（2.11）在z中具有无限随机系数的量子增长，满足Mania和Schweizer[30]定理8中的BMO条件。由于解λ（π）是有界的，因此[30]中的定理8暗示了（2.11）的比较定理成立。设π，π∈ Aad[0，T]这样的thatFs（π）- γhσPs，ziπs≥ Fs（π）- γhσPs，ziπsfor z∈ 然后Yλt（π）≥ Yλt（π）表示a.e.（t，ω）。

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可人4

2022-5-6 02:14:56

这可以通过改变[30]中的概率度量或通过变量的指数变化来证明。作为副产品，我们还得到了二次BSDE（2.11）允许唯一解（Yλ（π），Zλ（π）），其中Yλ（π）是一个有界特殊半鞅，Zλ（π）是其相应的鞅表示。第三，我们证明了风险敏感控制问题的解由^Yλt=Yλt（2.12）给出，最优交易策略由π给出*,λs=-s的hσPs，Zλsi | |σPs | |+uPsγ| |σPs | |（2.13）∈ [t，t]，其中（Yλ，Zλ）求解二次BSDE（2.5），其存在唯一性由Kobylanski[28]的定理2.3和2.6或Tevzadze[36]的定理1保证。事实上，（2.5）s的驱动等于Ft（0）=0，并且在z方向上平滑zFt（z）=-γz+γ| |σPt||hσPt，zi-uPtγσPt，zzFt（z）=-γ1+γ| |σPt | | |（σPt）TσPt，其中上标T表示矩阵转置。因此，通过假设（A1）-（A3）||zFt（z）| |≤ K（1+| | | | | | | | | | | | |/K）≤ ZzzFt（z）zT≤ K | | z | |，（2.14）和终端数据满意度λg（·）+ZTθsds≤ K（2.15）对于某些常数K≥ 1.因此，BSDE（2.5）存在唯一解（Yλ，Zλ），其中Yλ是一个有界特殊半鞅，其鞅表示为Zλ。此外，马尔廷加部分r·hZλ，dWi是一个P-BMO马尔廷加。现在，我们继续讨论（2.12）和（2.13）。注意，对于任何π∈ Aad[t，t]，Fs（π）- γhσps，Zλsiπs-γ| | Zλs | |=-γ| |σPs | | |πs- π*,λs |+Fs（Zλs）≤ Fs（Zλs），对于π=π*,λ、 Fs（π）*,λ) - γhσps，Zλsiπ*,λs-γ| | Zλs | |=Fs（Zλs）。如果π*,λ∈ Aad[t，t]，然后应用四次B-SDE（2.7）的比较定理，我们得到Yλt（π）≤ 任意π的Yλt∈ Aad[t，t]和Yλt（π*,λ） =Yλt.因为^Yλt=supπ∈Aad[t，t]Yλt（π），我们得到^Yλt=Yλ和π*,λ达到最大值。我们需要验证π*,λ∈ Aad[t，t]。

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2022-5-6 02:14:59

为此，我们只需要注意r·hZλs，dWsi是一个P-BMOmartingale，andYλt=Yλt（π）*,λ) = -γln EPE-γRTtπ*,λsPsdPse-γλg（S·）英尺a.e.（t，ω）有界∈ [0，T]×Ohm, EP[e]也是如此-γRTtπ*,λsPsdPs | Ft]。优化问题（2.6）是λ=0的（2.5）的特例。最后，根据定义2.2，价格Cλ由-E-γ（Xt）-Cλt+Yλt）eγRtθsds=EP“-E-γXXt-CλtT（π）*,λ） +λg（S·）英尺#=EPh-E-γXXtT（π）*,0)Fti=- E-γ（Xt+Yt）eγRtθsds。因此，Cλt=Yλt- Yt，期权λ单位的套期保值策略由π给出*,λt- π*,0t=-hσPt，Zλti | |σPt | |+uPtγ| |σPt |+hσPt，Zti | |σPt||-uPtγ| |σPt | |=-hσPt，Zλt- Zti | |σPt | |，完成了证明。3函数微分方程和伪线性定价规则在本节中，我们介绍了效用微分价格Cλt的伪线性定价规则。其主要思想是由Liang等人[29]提出的，其中作者介绍了一类函数微分方程，以便在一般的过滤概率空间上解BSDE。关于该方法在求解FBSDE中的推广，请参见lsoCasserini和Liang[12]。解Y-toBSDE（2.7）是一个有界特殊半鞅，因此在P:Yλt=Mλ，Pt下允许一个唯一的解composition- Vλ，Pt，表示t∈ [0，T]，其中Mλ，Pis是鞅部分，它是P-BMO鞅，而Vλ，Pis是Vλ的有限变量部分，P=0。由Mλ，P，Yλt=EPhYλt+Vλ，PT的鞅性质Fti- Vλ，Pt=EP“λg（S·）+ZTθsdsFt#+EP[Vλ，PT- Vλ，Pt | Ft]。（3.1）换句话说，知道有限的变化过程s Vλ和终端数据Yλ就足以计算Yλ，这反过来给我们提供了一个新的公用事业独立价格的定价规则Cλt。定理3.1（伪线性定价规则）假设满足假设（A1）（A2）和（A3）。

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2022-5-6 02:15:02

如果Vλ，Pis是以下泛函微分方程Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Ps（Vλ，P））ds，（3.2）与Zλ，P（·）的唯一解，作为s-tochastic过程V的一个有效泛函，由ztthzλ，Ps（V），dWsi=λg（s·）+ZTθsds！+及物动词- EP“λg（S·）+ZTθsds！+VTFt#，则效用差异价格Cλt可以用以下线性条件期望Cλt=EP[λg（S·）|Ft]+EP[Vλ，PT表示- Vλ，Pt | Ft]- EP[V0，PT- V0，Pt | Ft]，（3.3）以及期权λ单位的套期保值策略如下所示：-hσPt，Zλ，Pt（Vλ，P）- Z0，Pt（V0，P）i | |σPt |。证据为了得到泛函微分方程（3.2），我们在Ft:Yλt=EP“λg（S·）+ZTθsds！+ZTtFs（ZλS）ds上取（2.7）的条件期望Ft#=EP“λg（S·）+ZTθsds！+ZTFs（ZλS）ds英尺#-ZtFs（Zλs）ds。另一方面，Yλ允许分解Yλt=Mλ，Pt- Vλ，Pt。由于特殊半鞅分解的唯一性，我们通过识别上述两个Yλ表达式的有限变化部分，得到了（3.2）。为了证明Zλt=Zλ，Pt（Vλ，P），我们只需要注意Zλ是Mλ，P的鞅表示。最后，（3.3）来自（2.8）和（3.1）。由于（3.3）处于线性预期下，我们将其称为效用差异价格Cλt的伪线性定价规则。与非线性定价规则（2.8）相比，该定价规则的优势在于，我们只需要求解Vλ的函数微分方程（3.2），以计算效用差异价格Cλt。此外，函数微分方程（3.2）向前延伸。因此，避免了反向方程和潜在正向方程之间的矛盾。然而，在[29]中，驱动力是L ipschitz连续的，函数微分方程（3.2）的驱动力Ft（z）是z中的二次函数。然而，我们可以使用Picard迭代来近似evλ，P，因此效用差异价格Cλt。

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2022-5-6 02:15:05

我们主要依赖于概率测度的变化，我们将根据概率测度的不同选择，给出Cλt的两个线性近似。我们首先给出了伪线性定价规则在不同概率测度下的等效公式。推论3.2设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。假设N是某个Q-BMO鞅，使得它的Dol\'eans-dadee指数E（N）是一致可积的。PDE=定义。假设Vλ，Qs求解以下泛函微分方程Vλ，Qt=ZtFs（Zλ，Qs（Vλ，Q））ds+hZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si，（3.4），Zλ，Q（·），作为V的一个有效泛函，由ztthzλ，Qs（V），dBsi=λg（S·）+ZTθsds！+及物动词- 方程“λg（S·）+ZTθsds！+VTFt#和S=（S，··，Sd）由it=Si+ZtSis（uisds）给出- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi）。（3.5）然后Vλ，Pt=Vλ，Qt-ZthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si（3.6）在滤波概率空间上解（3.2）(Ohm, F、 {Ft}，P）。证据通过定义Vλ，Pin（3.6）和泛函微分方程（3.4），我们得到了Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Qs（Vλ，Q））ds。因此，我们只需要知道，对于t，Zλ，Qt（Vλ，Q）=Zλ，Pt（Vλ，P）∈ [0，T]，这意味着Zλ，Q（Vλ，Q）在概率测度的变化下是不变的。换句话说，鞅表示在概率测度变化下是不变的：ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dWsi=Mλ，PT- Mλ，Pt，其中Mλ，Pt=EP“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PtFt#，W=B- [B，N]是概率测度P下的布朗运动。

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2022-5-6 02:15:09

实际上，使用Girsanov变换，ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dWsi=ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dBsi，-ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si=λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，QT- 方程“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，QT英尺#-ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si=λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PT- EP“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PTFt#=Mλ，PT- Mλ，Pt。3.1函数微分方程的扰动根据伪线性定价规则（3.3），我们只需要求解Vλ的函数微分方程（3.2），以获得效用微分价格Cλt。我们对效用微分价格Cλ的第一个线性近似是基于函数微分方程（3.2）的扰动，由Tevzadze[36]的命题2推动的概念。我们感谢其中一位推荐人对这种方法的建议。我们首先将选项λ的单位分解为以下有限和：λ=PJj=1λj，如λj≤λ32KK，其中Kis是来自John Nirenburg不等式（2.4）的常数，Kis是来自BSDE（2.7）的常数（见（2.14）和（2.15））。然后我们对泛函微分方程（3.2）进行如下扰动：Vλj，Pt=ZtFsjXk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！- Fsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！ds，（3.7），Zλj，P（·），作为V的一个有效泛函，由ztthzλj，Ps（V），dWsi=λjλλg（S·）+ZTθsds！+及物动词- EP“λjλg（S·）+ZTθsds！+VTFt#，按照惯例，pk=1=0。然后很容易验证Vλ，Pt=PJj=1Vλj，ptsolves函数微分方程（3.2）。对于泛函微分方程（3.7），我们可以给出其解Vλj，P的以下线性近似。对于R值的连续和Ft适应过程，定义Banach空间V（[0，T]；R），赋以范数| | V | V[0，T]=supτkE[|VT]- Vτ| Fτ]k∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]。此外，定义其子空间（[0，T]；Br）=五、∈ V（[0，T]；R）：| | V | | V[0，T]≤ r代表r=32KK.命题3.3设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。

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2022-5-6 02:15:13

对于固定j，其中1≤ J≤ J、假设我们已经解了泛函微分方程（3.7），并得到了它的解Vλk，Pfor k=1，··，J- 1，所以我们有一个有效的泛函Zλk，P（·）。然后nj定义为byNj=Z·hzFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！，我是Q-BMO mart ingale。定义以下序列{Vλj，Q（m）}m≥0迭代：Vλj，Q（0）=0，Vλj，Qt（m+1）=Zt~FsZλj，Qs（Vλj，Q（m））ds，其中Fs（z）由Fjs（z）=Fsj给出-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）+z！- Fsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！- HzFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！，子。然后{Vλj，Q（m）}m≥0以收敛速度| | Vλj，Q收敛于空间V（[0，T]；Br）- Vλj，Q（m）|V[0，T]≤ RM-1和Vλj，Pis由（3.6）得到：Vλj，Pt=Vλj，Qt-ZthZλj，Qs（Vλj，Q），zFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！身份证。证据对于固定j，我们首先验证nj是Q-BMO鞅。通过推论y3.2，我们得到了Zλk，Ps（Vλk，P）=Zλk，Qs（Vλk，Q），对于k=1，··，j- 1.因此，supτEQ[| NjT- Njτ| | Fτ]∞= supτ情商ZTtzFsj-1Xk=1Zλk，Qs（Vλk，Q）！dsFτ∞≤ supτ方程“ZTt2K（1+| | Zλk，Qs（Vλk，Q）| |）dsFτ#∞< ∞,其中我们使用了（2.14）和z·hZλk，Qs（Vλk，Q），dBsi的Q-BMO鞅性质。接下来，我们考虑序列e{Vλj，Q（m）}m的收敛性≥0.与[36]中的注释1类似，通过两次使用|Fjs（·）的中值定理和（2.14），可以验证|Fjs（z）-~Fjs（\'z）|≤ K（| | z | |+| | | | z |）| | z- \'z | | | | Fjs（z）|≤ K | | z | |。假设Vλj，Q（m）∈ V（[0，T]；Br），我们需要验证Vλj，Q（m+1）在相同的spa c eV（[0，T]；Br）中。实际上，|Vλj，Q（m+1）|V[0，T]=supτ情商“ZTτFsZλj，Qs（Vλj，Q（m））dsFτ#∞≤ KsupτEQ“ZTτZλj，Qs（Vλj，Q（m））dsFτ#∞= Ksupτ情商ZTτhZλj，Qs（Vλj，Q（m）），dBsiFτ∞≤ KKsupτ情商“ZTτhZλj，Qs（Vλj，Q（m）），dBsiFτ#∞, （3.8）我们在上一个不等式中使用了John Nirenburg不等式（2.4）。

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2022-5-6 02:15:16

在下面，我们表示ξj=λjλg（S·）+ZTθsds！。通过定义λjand（2.15），|ξj |≤32KK。用符号ξj，函数Zλj，Q（·）重写为ztthzλj，Qs（V），dBsi=ξj+VT- 式[ξj+VT | Ft]。因此，在（3.8）之后，|Vλj，Q（m+1）|V[0，T]进一步由kksupτ控制EQhξj+Vλj，QT（m）- 式[ξj+Vλj，QT（m）| Fτ]Fτi∞= KKsupτEQhξj- 式[ξj | Fτ]+Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）-等式[Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）| Fτ]Fτi∞≤ 4KKsupτ等式[|ξj | Fτ]∞+ supτ情商式（ξj | Fτ）|Fτ∞+ supτEQhVλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）Fτi∞+ supτEQh情商Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）|FτFτi∞≤ 8KK|ξj |+|Vλj，Q（m）|V[0，T]≤ 1/（64KK）≤ r、类似地，我们考虑差异δVλj，Q（m）=Vλj，Q（m+1）- Vλj，Q（m），| |δVλj，Q（m）| | V[0，T]≤ 2KKsupτ情商“ZTthδZλj，Q（Vλj，Q（m- 1） dBsiFτ#∞×supτ情商“ZTthZλj，Q（Vλj，Q（m）），dBsiFτ#∞+ supτ情商“ZTthZλj，Q（Vλj，Q（m- 1）），dBsiFτ#∞≤ 2KK×4 | |δVλj，Q（m- 1） |V[0，T]×28 | |ξj | |+4 | | Vλj，Q（m）| | V[0，T]+4 | | Vλj，Q（m）- 1） |V[0，T]≤||δVλj，Q（m）- 1） |V[0，T]。我们迭代上述不等式，得到| |δVλj，Q（m）| | V[0，T]≤m | | Vλj，Q（1）| | V[0，T]≤m32KK。因此，对于任何自然数p，|Vλj，Q（m+p）- Vλj，Q（m）|V[0，T]≤pXj=1 | | Vλj，Q（m+j）- Vλj，Q（m+j）- 1） |V[0，T]≤M-1×32KK。让我↑ ∞, 我们推导出{Vλj，Q（m）}m≥0是一个柯西序列，收敛到so me limitVλj，Q。另一方面，让p↑ ∞, 我们得到了收敛速度。3.2非线性Girsanov变换我们的伪线性定价规则（3.3）的关键步骤是利用泛函微分方程（3.2），以获得Vλ，P。我们对效用差异价格Cλ的第二次线性近似是基于非线性版本的Girsanov变换，以消除（3.2）的驱动因子Ft（z）。这种想法在BSDE文献中已有记载。

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2022-5-6 02:15:20

例如，Mania和Schweizer[30]中出现了一个s命题n11，Ankirchner等人[1]中测量了BSDE的解，他们将终端数据（支付）建模为一般随机变量。相比之下，当我们指定基础和支付结构的动力学时，一个耦合的FBSDE自然出现。直观的想法如下：注意，在推论3.2中，如果我们选择N:N=Z·γhZλ，Qs（Vλ，Q），dBsi-Z·γ2 | |σPs||hσPs，Zλ，Qs（Vλ，Q）i-2uPsγhσPs，dBsi，（3.9），那么函数微分方程（3.4）的驱动力将消失，而t的Vλ，Qt=0∈ [0，T]。似乎可以通过（3.6）和（3.4）：Vλ，Pt=0轻松获得Vλ，pca-ZthZλ，Qs（0），d[B，N]si=0+ZtFs（Zλ，Qs（0））ds。然而，在这种情况下，随机过程Zλ，Q（0）和S作为一个循环相互依赖：ZTthZλ，Qs（0），dBsi=λg（S·）+ZTθsds！- EQ“λg（S·）+ZTθsds！Ft#，（3.10）和S=（S，··，Sd）由it=Si+ZtSis（uisds）给出- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi）。（3.11）因此，我们必须将（3.11）作为一个函数微分方程来求解，它依赖于Zλ，Q（0）作为S的整个路径的函数。注意，（3.10）和（3.11）也构成了一个偶合bsdes的特例，如果我们引入一个反向过程Yλ作为条件期望：Yλt=EQ“λg（S·）+ZTθsds！英尺#。借助这种非线性Girsanov变换，剩下的任务是求解泛函微分方程（3.11）。在下面的例子中，我们在一个特殊的马尔可夫环境中求出了它的解：o假设（A4）：所有的系数都是确定性的，并且支付函数g（·）是一个满足以下条件的正基函数：|g（ST）- g（\'ST）|≤KλdXi=1 | ln-SiT- 坐着。我们记住的一个典型例子是，对于某个常数K>0，g（s）=min（K，s）。在假设（A1）-（A4）下，条件预期Yλt可以写成时间t和价格过程St的函数：Yλt=Yλ（t，St）。

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2022-5-6 02:15:23

如果我们定义对数过程Xit=ln siti=1，···，d，那么yλ（t，eXt）在Xt=（Xt，····，Xdt）中一致Lipschitz连续（见Delarue[14]的定理2.9）。我们仍然将这样一个Lipschitz常数表示为K。我们首先对[0，T]进行如下划分：0=T<T<···<tJ=T，使得max1≤J≤Jj=max1≤J≤J | tj- tj-1| ≤8KK，其中Kis的定义在以下命题3.4的证明中给出。在每个间隔上[tj-函数微分方程（3.11）可以用X:Xit=Xitj重新表示-1+Zttj-1（u）是-||σ为| |）ds- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi。（3.12）对于泛函微分方程（3.12），我们可以给出其解X的以下线性近似值。确定班纳赫的速度（[tj-1，tj]；Rd）对于数值为inRd的连续和Ft适应过程，赋以规范：| | X | S[tj-1，tj]=E（支持）∈[tj-1，tj]| | Xt | |）1/2。命题3.4设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。

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2022-5-6 02:15:26

对于固定j，其中1≤ J≤ J、假设我们已经解了泛函微分方程（3.12），并得到了它的解XTT∈ [tj，tj+1]，···，[tj-1，T]，所以我们在时间tj有一个Lipschitz连续函数Yλ（tj，ex）。确定序列{X（m）}m≥0on[tj-1，tj]迭代：X（0）=X，Xit（m+1）=xi+Zttj-1（u）是-||σ为| |）ds- hσis，d[B，N（m）]si+hσis，dBsi，其中N（m）由（3.9）给出，Zλ，Q（Vλ，Q）替换为Zλ，Q（0，m）：ZtjthZλ，Qs（0，m），dBsi=Yλtj，eXtj（m）- EQhYλtj，eXtj（m）|Fti。然后{X（m）}m≥0在空间S（[tj]中向某个X靠拢-1，tj]；Rd）收敛速度为| | X- X（m）| S[0，T]≤M-1×| | X（1）- X（0）| | S[tj-1，tj]，从中我们得到时间tj处的Lipschitz连续函数-1Yλ（tj）-1、eXtj-1） =EQhYλtj，eXtj|Ftj-[tj]上的1i和Zλ，Q（0）-1，tj]hZtjtj-1Zλ，Q（0），dBsi=Yλtj，eXtj- Yλtj-1、eXtj-1..最后，由（3.9）定义的N是一个Q-BMO鞅，由（3.6）和（3.4）得到的Vλ，Pis:Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Qs（0））ds。证据这个证明类似于命题3.3的证明，所以我们只画了一个草图。

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