这就完成了[1]关于F和G下局部可积性问题的分析，其中充分讨论了τ之前的部分。T当前结果与[1]的结果之间存在一个主要差异，这是因为对于τ之前的情况，当我们传递到F时，我们在F停止后丢失了信息。然而，对于τ之后的部分，只要τ是有限的，我们在不丢失任何信息的情况下，从G局部化传递到F局部化。以下是佩迪克斯最具创新性的成果。建议B.1以下断言成立。（a） 如果τ几乎肯定是一个诚实时间，且（σGn）n≥1是一个有限的G-停止时间序列，增加到有限，然后存在一个有限的F-停止时间序列，（σFn）n≥1，这也会增加到完整性和max（σGn，τ）=max（σFn，τ），P- a、 s.（B.1）（B）如果τ∈ 几乎可以肯定的是，这里存在一系列的Fstopping时间，（σn）n≥1.几乎可以肯定的是，这一数字会增加到新西兰-< 1o∩]]0，σn]]n1- Z-≥不 N≥ 1.（B.2）或相当于（1）- Z-)-1I{Z-<1} 当τ∈ 几乎可以肯定，它是有限的。无套利和诚实时间证明这个命题的证明分为两部分，分别证明（a）和（b）。1） 断言（a）的证明归结为以下事实：对于任何G-停止时间σG，都存在一个F-停止时间σF，例如σG∨ τ=σF∨ τP- a、 s.（B.3）的确，如果这个事实成立，那么存在F-停止时间（σn）n≥1任何情况下都是如此≥ 1.配对（σGn，σn）满足（B.1）。由于σgnin随n增加，通过将σFn:=sup1≤K≤nσk，我们可以很容易地证明这对（σGn，σFn）也满足（B.1）（这是由于max1）≤我≤n（xi）∨ y） =（最大值1≤我≤nxi）∨ y对于任何非负xi，y）。然后，断言（a）紧随（B.1）中的极限并利用τ<+∞ P-a.s.这意味着≥1σn=limn-→+∞σFn=+∞ P-a.s。

这表明，只要我们证明索赔（B.3），就可以实现断言（a）的证明。这是本证明剩余部分的主要重点。通过将下面的建议（完全归因于巴洛[6]）应用于过程YG=I[[σG]∨τ,+∞[]，我们得到了一个F-pr渐进可测过程kf的存在性，使得yg=KFI[[τ+∞因此，很容易用I{KF=1}代替KF+∞[[ {Z<1}，也很容易检查人们是否可以选择KF，在{τ<σG，{KF=1} {Z<1}。然后，把σ：=inf{t≥ 0:KFt=1}。（B.5）这是一个F停止时间，由于[[σG]∨ τ, +∞[[ {KF=1}，我们得到σ≤ τ ∨ σGP- a、 s.（B.6）利用命题B.2，我们推导出F-停止时间（αnm）n，m的两个双序列的存在性≥1和（βnm）n，m≥1满足命题的四个断言。结果，我们得到，{τ<σG，我们有[[σG，]+∞[[ {KF=1}[n，m]≥1[[αnm，βnm[]通过将其与（B.5）结合，我们推断{τ<σG}[n，m]≥1{αnm≤ σ ≤ σG<βnm}。由于位置B.2的断言（i）和（ii），即τ取[βn（m）中的值-1） ，αnm[仅，我们得到{αnm]≤ σ ≤ σG<βnm}={τ<αnm≤σ ≤ σG<βnm}，因此{τ<σG}[n，m]≥1{τ<αnm≤ σ ≤ σG<βnm}。（B.7）26 Anna Aksamit等人，现在，由于（B.4）和[σ，σ+[∩{KF=1}6= P- a、 我们得出结论τ ≤ σ<σG这是不可能的。因此，（B.7）导致{τ<σG} {σ=σG}。因此，通过将其与（B.6）结合，我们得出τ∨ σG=（τ）∨ σG）I{σG≤τ }+ (τ ∨ σG）I{τ<σG}=τI{σG≤τ }+ (τ ∨ σ） I{τ<σG}=（τ∨ σ） I{σG≤τ }+ (τ ∨ σ） I{τ<σG}=τ∨ σ.这证明了（B.3），断言（a）的教授已经完成。2） 这里，我们证明断言（b）。自τ∈ H、 然后（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[由于引理2.6-（b）是全局有界的。因此，一方面，存在一个G-停止时间序列，（σGn）n≥1这几乎肯定会增加到[1]τ+∞[[ ∩ [[0，σGn]]n1- Z-≥ 1/没有。

（B.8）另一方面，由于a项，存在一系列的Fstopping时间（σn）n≥1这几乎可以肯定地增加到完整性和满意度（B.1）。然后，通过将其插入（B.8），我们得到]]τ+∞[[ ∩ [0，σn]]n1- Z-≥ 1/不。通过在两个ide上进行F-可预测投影，我们得到0≤ (1 - Z-)I[[0，σn]]≤ In1-Z-≥1/不，这意味着- Z-< 1/否 {Z-= 1}∪]]σn+∞[[，相当于（B.2）。因此，实现了断言（B）的证明以及命题的证明。假设τ是一个诚实的时间。那么，下面的例子就成立了。（i） 存在两个F-停止时间的双序列（αn，m）n，m≥1和（βn，m）n，m≥那么αn，m≤ βn，mP-a.s.适用于所有n，m≥ 1和]]τ+∞[[ {Z<1}[n，m]≥1[[αn，m，βn，m[（B.9）（ii）对于任何n，m≥ 1 , {τ ≥ αnm} { τ ≥ βnm}P- a、 s.（iii）对于任何G-可选过程YG，存在一个F-逐步可测过程kf，使得ygi[[τ+∞[[=KFI[[τ+∞[[（B.10）（iv）对于任何G-可选的c`adl`ag过程，使得在[[0，αn，m]上的YG=0，[[βn，m]上的常数+∞[[，存在一个F-逐步可测量的过程，即c`adl`ag和满意度（B.10）。无套利和诚实时间27证明我们向读者提供的证据[6]。事实上，断言（i）在[6]中是引理4.1-（iv），而断言（ii）是命题4的组合。3和引理4.4-（ii）。下一个结果涉及涉及随机测度的G-局部可积性，这对于定理2.14的证明至关重要。假设τ∈ 几乎可以肯定，H是有限的。让我们来看看α（.）（对于α>0）在（4.9）中定义。然后，以下属性成立。（a） 设f为实值andeP（H）-m可测泛函。那么，p（f）- 1) u属于A+loc（H）当且仅当Φα（f） u ∈ A+loc（H）有。（b） 设f为实值andeP（H）-可测泛函。

那么，p（f）- 1） I]]τ+∞[[ u ∈ A+loc（G）i ffΦα（f）（1）- Z-- fm）I{Z-<1} u ∈ A+loc（F）。（c） 设φ为非负且F-可预测过程。那么，P A.- a、 e.]]τ+∞[[ {φ < +∞} 当且仅当{Z-< 1}  {φ < +∞}.（d） 设φ为F-可预测过程。那么，P A-A.e.]]τ+∞[[ {φ=0}当且仅当{Z-< 1}  {φ = 0}.证据（a）断言（a）借用自[1]（见提案C.3–（a））。（b） 由于断言n（a），我们推导出p（f）- 1） I]]τ+∞[[ u ∈ A+loc（G）i ffα（f） 微克∈ A+loc（G）iα（f）1.-fm1- Z-一] ]τ+∞[[ ν=Φα（f） νG∈ A+loc（G）。（B.11）然后，将引理3.2–（d）直接应用于该对（φ，V）：=[1 - fm（1）- Z-)-1] I{Z-<1} ，Φα（f） ν,断言n（b）的证明紧随其后。（c） 假设P A-A.e.]]τ+∞[[ {φ < +∞}. 这相当于toI]]τ+∞[[≤ I{φ<+∞}P A-A.e。。然后，通过两边的F-可预测投影，我们得到1- Z-≤ I{φ<+∞}P A-A.e。。这显然证明了]]τ+∞[[ {φ < +∞} 暗指{Z-< 1}  {φ < +∞}. 反向传感器从]]τ开始+∞[[ {Z-< 1}. 这就结束了断言（c）的证明。（d） 断言证明（d）与断言证明（c）相似，将被省略。这就结束了这个命题的证明。第3小节引理3.1和3.2的C证明。引理的证明3.1引理的证明将分三步进行。1） 这一步证明了断言（a）。Fr-om引理2.6I]]τ+∞[[ 五、- 一] ]τ+∞[[ Vp，F+I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1. hV，28 Anna Aksamit等人是G-局部鞅，因此一] ]τ+∞[[ 五、p、 G=I]]τ+∞[[ 副总裁，F- 一] ]τ+∞[[(1 - Z-)-1. hV，miF=I]]τ+∞[[ 副总裁，F- 一] ]τ+∞[[(1 - Z-)-1. (M V）p，F=I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1.(1 - Z-- m） 五、p、 其中第二个等式来自于Yoeurp引理。这就结束了（3.1）的证明。等式（3.2）紧跟在（3.1）之后，通过在两侧跳，并使用Kp，H=p、 H(K） 当两个术语都存在时。2） 现在，我们证明断言（b）。

通过对V，δ应用（3.2）∈ 由v给出的Aloc（F），δ：=X(M） （1）-（埃兹）-1I{|M|≥, 1-简单≥δ} ，我们得到，]τ+∞[p，G](M） （1）-（埃兹）-1I{|M|≥, 1-简单≥δ}= (1 - Z-)-1 p，F我{|M|≥, 1-简单≥δ}.然后，（3.3）中的第一个等式是让和δ为零，然后我们得到]]τ+∞[p，G]M1-简单= (1 - Z-)-1 p，FM{1-eZ>0}= (1 - Z-)-1 p，FM I{eZ<1}.为了证明（3.3）中的第二个等式，我们在]]τ上写下+∞[p，G]1.-简单= (1 - Z-)-1+ (1 - Z-)-1个p，Gm1-简单= (1 - Z-)-1+ (1 - Z-)-2 p，FmI{1-eZ>0}= (1 - Z-)-1.- (1 - Z-)-1 p，FI{eZ=1}= (1 - Z-)-1 p，FI{eZ<1}.第二个等式由（3.2）得出，第三个等式由m组合P，F得出(m） =0，并且m=eZ- Z-. 这就结束了断言（b）的证明。（3.4）的证明紧跟着断言（b）和瘦进程p，F的事实M I{eZ<1}可在county上取非零值仅可在任意可预测的停止时间上我已经消失了。这就完成了引理的证明。无套利与诚实时间证明引理3.2引理的证明分为三部分。在第一部分中，我们证明了（a）和（b）两种断言，而在第二部分和第三部分中，我们分别关注（c）和（d）断言。1） 设V为具有有限变化的F适应过程。然后，我们得到var（U）=（1）- Z）-1I]]τ+∞[[ Var（V）。因此，自1-eZt=P（τ<t | Ft）≤ 1.-Zt，对于任何有界和F-可选过程φ，使得φ Var（V）∈ A+（F），我们得到了eh（φ） Var（U））∞i=EZ∞φtI{t>τ}1- ZtdVar（V）t= EZ∞φtP（τ<t | Ft）1- ZtI{Zt<1}dVar（V）t≤ Eh（φ） Var（V））∞i、 （C.1）因此，对于F-s打顶时间σ，取φ=i]]0，σ[[in（C.1），即Var（V）σ-∈ A+（F），我们得到EhVar（U）σ-我≤ 超高压ar（V）σ-i、 这证明过程U具有有限的变化，因此也得到了很好的定义。

很明显，从（c.1）开始，你就可以立即成为“U”的“gadapt”，而从（c.1）开始，你就可以成为“c`adl`ag”。这就结束了断言（a）的证明。为了证明断言（b），我们假设V∈ Aloc（F）和考虑（θn）n≥1，一系列F停止时间增加到+∞ 这样Var（V）θn∈A+（F）。然后，通过在（C.1）中选择φ=I]]0，θn]]n，我们得出结论，只要V在F下，U就属于loc（G）∈ A（G），取φ=1 in（C.1），得出U∈ A（G）。为了证明（3.6），为了anyn≥ 1、我们普顿：=（1）- Z）-1I]]τ+∞[I{eZ≤1.-n}五=1.-简单-1I]]τ+∞[I{eZ≤1.-n}五、 n≥ 1.然后，多亏了（3.1），我们得到了riveUp，G=limn-→+∞（Un）p，G=limn-→+∞(1 - Z-)-1I]]τ+∞[[我{eZ≤1.-n} 五、p、 F.这清楚地暗示了（3.6）。2）很容易看出，当NV不是ndec原因时，证明该主张就足够了。因此，假设V是非减量的。显然（1）-（埃兹） 五、∈ A+loc（F）表示I]]τ+∞[[ 五、∈ A+loc（G）。因此，在本部分的其余部分中，我们将重点证明相反的情况。补充I]]τ+∞[[ 五、∈ A+loc（G）。然后，存在一个序列G-停止时间，增加到完整性和一] ]τ+∞[[ 五、σGn∈ A+（G）。由于命题A.3-（c），我们得到了F-停止时间序列（σFn）n≥1，增加到完整性和σGn∨ τ = τ ∨ σFn。因此，我们得到一] ]τ+∞[[ 五、σGn≡一] ]τ+∞[[ 五、海恩斯和亨西(1 -（埃兹） VσFn= E一] ]τ+∞[[ VσFn= E一] ]τ+∞[[ VσGn< +∞. （C.2）30 Anna Aksamit等人。这证明了该过程（1-（埃兹） V b e长到A+loc（F），并且实现了评估（c）的证明。3） 断言（d）的证明遵循断言（c）证明的所有步骤，除了（c.2）采用E的形式(1 - Z-)φ  VσFn= E一] ]τ+∞[[φ  VσFn= E一] ]τ+∞[[φ  VσGn< +∞而是因为V的可预测性。

这证明了I]]τ+∞[[φ五、∈ A+loc（G）i且仅当（1）-Z-)φ五、∈ A+loc（F），而等价物（1-Z-)φ五、∈ A+loc（F）i ffi{Z-<1}φ  五、∈ A+loc（F）由以下事实得出：- Z-)-1I{Z-<1} 是有边界的（见第B.1-（B）条）。这就结束了断言（d）的证明，也结束了lemma的证明。命题4.5的D证明该证明主要依赖于定理a.1的一个充分应用。为此，我们考虑z（ψ）：=E（N（ψ）），其中N（ψ）：=（ψ）- 1） I{ψ>0} (u - ν） ，并指出Z（ψ）是一个正F-局部鞅。因此，借助于命题A.2，我们可以在不损失一般性的情况下假设Z（ψ）是一致可积鞅，并将Q:=Zψ∞·P（相当于P的概率度量）。因此，其余的证明将定理A.1应用于这两个模型S（1），Q，F和S（0）：=I{Z-<1} Ta（S），F, 并比较与e模型相关的条件（A.1）-（A.2）-（A.3）。为此，我们需要推导出可预测的特征，b（1，Q），c（1，Q），F（1，Q）（dx），A（1，Q）, 属于S（1），Q，F.那么，Q下u（1）的F-补偿器是ν（1，Q）（dt，dx）：=ψ（x）ν（dt，dx），与ν（0）重合。然后，使用（hI{eZ=1>Z-}u）p，F=h（1-ψ） I{Z-<1}ν和Q of H下的补偿器 u–对于任何非负的andeP（F）可测H–是H（I{ψ=0}+ψ） ν、 我们得到b（1，Q）：=b-Zh（x）（ψ（x）- 1） F（dx），c（1，Q）：=c，F（1，Q）（dx）：=ψ（x）F（dx），A（1，Q）：=I{Z-<1} A.通过将上述四个模型与（4.18）中给出的四个模型进行比较，我们得出以下结论：，S（1），Q，F和S（0）：=I{Z-<1} Ta（S），F,具有相同的可预测特征。因此，命题的证明可以直接从应用定理A.1和使用同一对可预测泛函（即。

（β（0），f（0））=（β（1），f（1）），因为两种模型的条件（A.1）（A.2）-（A.3）完全相同。确认Tahir Choulli和Jun Deng的研究由加拿大自然科学和工程研究委员会通过GrantG121210818资助。安娜·阿克萨米特（Anna Aksamit）和莫妮克·珍布兰科（Monique Jeanblanc）的研究得到了法国银行业联合会（French Banking Federation）ChaireNon套利和诚实时报31Markets in transition的支持。第二作者TC非常感谢莫妮克·让布兰科和拉梅（埃弗里·瓦尔德·埃松大学），这项工作是在那里开始和完成的，感谢他们的欢迎和热情款待。参考文献1。Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：半鞅模型随机视界下的无套利，http://arxiv.org/abs/1310.1142, 2014.2. Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.：渐进式扩张环境中的套利，套利，信用和信息风险，北京大学数学系列第6卷，55-88，世界科学（2014）3。Aksamit，A.，随机时间，扩大过滤和套利，埃夫里瓦尔·德松大学博士论文，2014年6月。安塞尔，J.-P.，斯特里克，C.：特遣队行动方案。安。Henri Poincar\'e30303-315研究所（1994年）。Assmussen，S.（2000）：Rui n概率。科学世界。6.巴洛M.T。，对过滤的研究扩展到包括诚实的时间，Z.Wahrscheinlichkeitsforerie verw。格比特，44307-3231978.7。Choulli T.和Stricker C.合著的《渡边捷昭大学化学与化学应用》，S\'emi naire de Probabilit\'es XXX。编辑：J.Az\'ema，M.Yor，M.Emery；课堂讲稿第1626卷，斯普林格出版社，1996年8月。Choulli，T.，Stricker，C.，和Li J.：q阶的最小Hellinger鞅测度。金融与随机11.3（2007）：399-427.9。周立泰，邓，J.和马，J。

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